高中数学青年教师基本功大赛(笔试)试题

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2010年姜堰市高中数学青年教师基本功大赛（笔试）试题

（考试时间120分钟 满分200分）

姜堰市教研室命制

一、 基础知识（30分）

1、在创建解析几何学的过程中，法国数学家 笛卡尔 和费马做出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。

2、我国齐梁时代的数学家祖冲之的儿子 祖暅 提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”这句话的大致意思是 两等高的几何体若在所有等高处的水平切面的面积相等，则这两个几何体的体积相等 。

3、在物理学中利用了三角函数“任意的正弦函数与余弦函数的 叠加 函数()f x 都可以化成sin()a x θ+或者cos()a x θ+的形式，而且周期不变”的结论，可以解释声波的共振现象。

4、《江苏省2010年高考说明》对数学基本能力的考查主要包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、 数据处理 这五个能力。

5、《江苏省2010年高考说明》对知识的考查要求依次为了解、理解、 掌握 三个层次（分别对应A 、B 、C ）

6、《普通高中数学课程标准（试验）》简称新课标中提出的三维目标是指：知识与技能、过程与方法、 情感态度与价值观 。

二、 解题能力（90分）

1、函数3213()2132

f x x x x =-+-的单调增区间为 （-。。。，1），(2, +。。。) 。

2、设复数()2

()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数,则a = 1 ． 3、已知y x ,满足条件⎪⎩

⎪⎨⎧≤+≥≥12430y x x y x ，则132+++x y x 的取值范围是____[3, 9]___________．

4、1200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在[50,60)的汽车大约有 360 辆．

5、已知某算法的流程图如下图所示，则输出的结果是 5 ．

6、已知P 和Q 分别是函数1ln 2

y x =和函数2x y e =上关于直线y x =对称的两点，则线段PQ 长度的最小值为

7、(本题满分15分)

试证明定理：

在空间，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

0.04 0.02

0.01 0 40 50 60 70 80 时速 频率 组距 开始 1,2a b ←← c a b ←+ a b ← b c ← 5b < 输出c 结束 否 是 第4图

第5图

8、(本题满分15分)

△ABC 中，BC=10，AB=c ，AC=b ，∠ABC=θ，()tan ,1m B =，()1tan ,1tan n C C =-+ 且m n ⊥

（Ⅰ）求角A ；

（Ⅱ）①试用θ（不含b ，c ）表示△ABC 的面积()f θ；

②试用b ，c （不含θ）表示△ABC 的面积(),g b c ；

（Ⅲ）求△ABC 面积的最大值．

9、(本题满分15分)

某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f (x )=1-ax 2 (a >0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线切于点P ，设(,())P t f t （Ⅰ）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数()S t ； （Ⅱ）若在12t =

处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t 的最小值．

O x

y M N P

10、(本题满分15分) 将曲线x

y C 1:=

绕原点逆时针旋转 45得曲线'C ，分别运用中学选修4-2矩阵变换、选修4-4坐标系与参数方程的知识，求曲线C '的方程。

三、 教学设计 （80分） 将曲线x

y C 1:=

绕原点逆时针旋转 45得曲线'C ，求曲线C '的方程。

1、 评析上题并作拓展（至少阐述三点）（15分）

2、 评讲上题时需运用高中数学新课程改革的哪些基本理念？（至少阐述三点）（15分）

3、 针对上题设计一节（或片段）习题讲评课的教学设计（不等少于500字）（50分）

2010年姜堰市高中数学青年教师基本功大赛（笔试）试题参考答案

一、 基础知识（30分）

1、笛卡尔

2、祖暅 、两等高的几何体若在所有等高处的水平切面的面积相等，则这两个几何体的体积相等

3、叠加

4、数据处理

5、掌握

6、情感、态度和价值观

二、 解题能力（90分）

1、(,1),(2,)-∞+∞

2、1

3、[3，9]

4、360

5、5

6、

)2ln 1(22+

7、已知：（略）

求证：（略）（5分）

证明：（略）（详见必修2 P 25 ）（10分）

8、（Ⅰ）4π

=A （5分） （Ⅱ）θπ

θθsin )4sin(250)(+=f ，bc c b g 4

2),(=（5分） （Ⅲ）)12(25max +=S （5分）

9、（1）2y ax '=-，切线的斜率为2at -，∴切线l 的方程为2

(1)2()y at at x t --=-- 令0,y =得2222

1121222at at at at x t at at at

--++=+== 2

1(,0)2at M at

+∴,令0t =,得2222121,(0,1)y at at at N at =-+=+∴+