高考数学模拟试题及答案解析,评分标准(知识点分析)
2024年高考数学模拟试题与答案解析
2024年高考数学模拟试题与答案解析一、选择题1.设集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=3k,k∈Z}，则A∩B={()}A.{x|x=6k,k∈Z}B.{x|x=2k,k∈Z}C.{x|x=3k,k∈Z}D.{x|x=k,k∈Z}【答案】B解析：集合A包含所有2的倍数，集合B包含所有3的倍数。
A ∩B表示同时属于A和B的元素，即同时是2和3的倍数的数，也就是6的倍数。
所以A∩B={x|x=6k,k∈Z}，故选B。
2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=2，则c的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】A解析：函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=-b/2a，即x=2。
根据对称轴的公式，得到-(-4)/(21)=2，解得c=4。
故选A。
3.已知等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2，若S3=18，S6-S3=24，则a4的值为()A.6B.8C.10D.12【答案】B解析：根据等差数列的前n项和公式，得到S3=3(a1+a3)/2=18，即a1+a3=12。
又因为S6-S3=24，得到a4+a5+a6=24。
由等差数列的性质，a3+a6=a4+a5。
将a3+a6替换为a4+a5，得到3a4+3a5=48，即a4+a5=16。
解方程组a1+a3=12和a4+a5=16，得到a4=8。
故选B。
二、填空题4.若|x-2|≤3，则|x+1|的取值范围是______【答案】-2≤x≤5解析：由|x-2|≤3，得到-3≤x-2≤3，即-1≤x≤5。
再由|x+1|的图像可知，当-3≤x≤5时，|x+1|的取值范围是-2≤x≤5。
5.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求f(1/2)的值。
【答案】3/4解析：将x=1/2代入函数f(x)，得到f(1/2)=2(1/2)²-3(1/2)+1=2/4-3/2+1=3/4。
三、解答题6.（1）求证：对任意正整数n，都有n²+2n+1≥n+2。
高考数学全国统一模拟考试江苏卷、参考答案与评分标准
高考数学全国统一模拟考试数 学（江苏卷）第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．是符合题目要求的。
1. 已知集合}11log |{2+-==x xy x M ,]}1,0[,|{3∈+==x x x y y N 且,M ∩N = A.]2,1(B.)1,1(-C.)1,0[D.)1,0(2. 数列}{n a (*N n ∈)中,1231,3,5a a a ===,且1237n n n n a a a a +++⋅⋅⋅=,则99a =A.1B.3C.5D.无法确定3. nxx )1(+的展开式中常数项等于20,则n 等于A.4B.6C.8D.104. 空间直线b a ,是成060的异面直线,分别过b a ,作平面βα,,使βα,也成060.这样的平面βα,A.有无穷对B.只有5对C.只有3对D. 只有1对5. 如图AOB ∆，MN 是边AB 的垂直平分线，交OB 于点N ，设b OB a OA ==,，且OB ON λ=，则=λA ．b b a 2+B ．)(222b a b b a -⋅-C ．bb a 2-D ．)(222a b b b a -⋅-注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、填空题（第11题～第16题，共6题）、解答题（第17题～第21题，共5题）三部分。
本次考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。
3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。
4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
2023届新高考高三模拟数学试题
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学（考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A {}01242<--∈x x Z x ,{}R x x e y y B ∈=,sin ，求B A （）{}2,1,0,1,2.--A {}21.<<-x x B {}2,1,0,1.-C {}12.-≤≥x x x D ，2、化简=++-3)]60sin 60)(cos 2321[( i i （）1.-A 1.B iC .iD -.3、在ABC ∆中，点D 在BC 边上，且DC BD =，点E 在AC 边上，且AC AE 54=，连接DE ，若AC n AB m DE +=，则=+n m （）51.-A 54.B 54.-C 51.D 4、日常生活中，我们定义一个食堂的菜品受欢迎程度为菜品新鲜度。
其表达式为NR σ=,其中R 的取值与在本窗口就餐人数有关，其函数关系式我们可简化为xy 75.56.81470-+=，其中y 为就餐人数（本窗口），x 为餐品新鲜度（R ），则当2000,2==σN 时，y 近似等于（）（已知675.51023.46.8--⨯≈）470.A 471.B 423.C 432.D 5、素数对)2,(+p p 称为孪生素数，将素数17拆分成n 个互不相等的素数之和，其中任选2个数构成素数对，则为孪生素数的概率为（）51.A 31.B 41.C 21.D 6、设)2023.0sin(,20232024ln ,2023120231===c b e a ，则（）ba c A >>.cb a B >>.ca b C >>.ab c D >>.7、已知空间四边形ABCD ，BC DB AC BC AB ⊥==,，且6,4==BD BC ，面ABC 与面BCD 夹角正弦值为1，则空间四边形ABCD 外接球与内切球的表面积之比为（）363301172.+A 365301172.+B 363172301.+C 365172301.+D 8、已知函数3)ln )(1()(++-+=x x a xe x f x ，对于[)+∞∈∀,0x ，4)(≥x f 恒成立，则满足题意的a 的取值集合为（）{}0.A {}1,0.B {}1,0,1.-C {}1.D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学模拟考试卷(附答案解析)
高三数学模拟考试卷（附答案解析）一、单选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知p:sinx=siny，q:x=y，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为()A. y=±3xB. y=±2xC. y=±2xD. y=±x3.函数y=f(x)是定义域为R的奇函数，且对于任意的x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<1成立．如果f(m)>m，则实数m的取值集合是()A. {0}B. {m|m>0}C. {m|m<0}D. R4.已知数列{an}满足a1+a2+⋯+an=n(n+3)，n∈N*，则an=()A. 2nB. 2n+2C. n+3D. 3n+1二、填空题（本大题共12小题，共54分）5.不等式|2x+1|+|x−1|<2的解集为______．6.函数f(x)=x+9x(x>0)的值域为______．7.函数f(x)=sinx+cosx(x∈R)的最小正周期为______．8.若an为(1+x)n的二项展开式中x2项的系数，则n→+∞lim ann2=______．9.在所有由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数中，任取一个数，则取出的数是奇数的概率为______．10.若实数x，y满足x+y≤4y≤3xy≥0，则2x+3y的取值范围是______．11.已知向量a,b满足|a|=2，|b|=1，|a+b|=3，则|a−b|=______．12.已知椭圆C：x29+y2b2=1(b>0)的左、右两个焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点．若△F1AB是等边三角形，则b的值等于______．13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>1，且a2+1为a1与a3的等差中项，S3=14.若数列{bn}满足bn=log2an，其前n项和为Tn，则Tn=______．14.已知A，B，C是△ABC的内角，若(sinA+i⋅cosA)(sinB+i⋅cosB)=12+32i，其中i为虚数单位，则C 等于______．15.设a∈R，k∈R，三条直线l1：ax−y−2a+5=0，l2：x+ay−3a−4=0，l3：y=kx，则l1与l2的交点M到l3的距离的最大值为．16.设函数f(x)=x2−1,x≥a|x−a−1|+a,x<a，若函数f(x)存在最小值，则a的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共76分。
高考数学模拟试题含答案详解
高考数学模拟试题含答案详解一、选择题1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，求 $ f(2) $ 的值。
答案：将 $ x = 2 $ 代入函数 $ f(x) $，得 $ f(2) = 2^2 4\times 2 + 3 = 1 $。
2. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1 = 3$，公差为 $d = 2$，求第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。
答案：等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n 1)d$，代入$a_1 = 3$ 和 $d = 2$，得 $a_n = 3 + (n 1) \times 2 = 2n + 1$。
3. 已知等比数列 $\{b_n\}$ 的首项为 $b_1 = 2$，公比为 $q = 3$，求第 $n$ 项 $b_n$ 的表达式。
答案：等比数列的通项公式为 $b_n = b_1 \times q^{n1}$，代入 $b_1 = 2$ 和 $q = 3$，得 $b_n = 2 \times 3^{n1}$。
4. 已知三角形的两边长分别为 $a = 5$ 和 $b = 8$，夹角为$60^\circ$，求第三边长 $c$。
答案：利用余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 2ab \cos C$，代入 $a = 5$，$b = 8$，$C = 60^\circ$，得 $c^2 = 5^2 + 8^2 2 \times5 \times 8 \times \cos 60^\circ = 49$，所以 $c = 7$。
5. 已知函数 $ g(x) = \frac{1}{x} $，求 $ g(x) $ 的定义域。
答案：由于 $x$ 不能为 $0$，所以 $g(x)$ 的定义域为 $x \neq 0$。
二、填空题1. 已知函数 $ h(x) = \sqrt{4 x^2} $，求 $ h(x) $ 的定义域。
答案：由于根号内的值不能为负，所以 $4 x^2 \geq 0$，解得$2 \leq x \leq 2$。
2023届高三新高考数学原创模拟试题(含答案解析)
2023届高三新高考数学原创模拟试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．||OQB ．|5．若()20230112x a a x -=++A ．2-B ．-6．函数y=ax 2+bx 与y=log b aA ．．C ．．7．以()x φ表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量()2,N μσ，则概率(P ξμ-A ．()()φμσφμσ+--()() 11φφ--C ．1 μφσ-⎛⎫⎪⎝⎭．()2φμσ-8．若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量1111ABCD A B C D -，下列四组量中，一定能成为该长方体的“基本量”的是（A ．1AB ，AC ，1AD 的长度B ．AC ，1B D ，1AC 的长度D ．1AC ，BD ，1CC 的长度二、多选题三、双空题13．设i 是虚数单位，已知2i 3-是关于x 的方程220(,)x px q p q ++=∈R 的一个根，则p =________，q =________．四、填空题五、双空题16．正方形ABCD 位于平面直角坐标系上，其中(1,1)A ，(1,1)B -，(1,1)C --，(1,1)D -．考虑对这个正方形执行下面三种变换：（1）L ：逆时针旋转90︒．（2）R ：顺时针旋转90︒．（3）S ：关于原点对称．上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是A ，B ，C ，D 四个点所在的位置会发生变化．例如，对原正方形作变换R 之后，顶点A 从(1,1)移动到(1,1)-，然后再作一次变换S 之后，A 移动到(1,1)-．对原来的正方形按1a ，2a ，L ，k a 的顺序作k 次变换记为12k a a a ，其中{,,}i a L R S ∈，1,2,,i k = ．如果经过k 次变换之后，顶点的位置恢复为原来的样子，那么我们称这样的变换是k -恒等变换．例如，RRS 是一个3-恒等变换．则3-恒等变换共________种；对于正整数n ，n -恒等变换共________种．六、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M ，N 分别为PC ，PB 的中点．(1)证明：PB DM ⊥．(2)求BD 与平面ADMN 所成角的正弦值．18．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晩期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆AB 和横档CD 构成，并且E 是CD 的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持(1)在某次测量中，40AE =，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值．(2)在杆AB 上有两点1A ，2A 满足1212AA AA =．当横档CD 的中点E 位于度角为(1,2)i i α=，其中1α，2α都是锐角．证明：122αα<．19．设正项数列{}n a 满足11a =，12121n n n a a a ++=-，*n ∈N ．数列{}n x 满足π0,2n x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，*n ∈N ．已知如下结论：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x (1)求{}n x 的通项公式．(2)证明：222212π11112111n n n a a a -<+++<+++ ．20．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，O 为坐标原点．椭圆C 于A ，B 两点．(1)若直线l 与x 轴垂直，并且OA OB ⊥，求a 的值．(2)若直线l 绕点F 任意转动，当A ，O ，B 不共线时，都满足AOB ∠取值范围．21．某校20名学生的数学成绩(1,2,,20)i x i = 和知识竞赛成绩(1,i y i =学生编号i 123456789数学成绩i x 1009996939088858380知识竞赛成绩iy 29016022020065709010060参考答案：【详解】，，或是，，根据集合元素的互异性，集合为，共含有9．AC【分析】对于A：根据线面平行分析判断；对于D：根据线面、面面垂直的判定定理分析判断【详解】对于选项A：因为D，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF所以BC∥平面PDF，故A正确；对于选项B：因为D，E分别是且PA与AC夹角为60︒，所以异面直线对于选项C：因为E是BC的中点，且同理可得：AE BC ⊥，PE AE E = ，,PE AE ⊂平面PAE ，所以DF ⊥平面PAE ，且DF ⊂平面ABC ，所以平面PAE ⊥平面ABC ，故C 正确；对于选项D ：取底面ABC 的中心O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABC ，但PO 与平面PDF 相交，所以平面PDF 与平面ABC 不垂直，故D 错误；故选：AC.10．ABD【分析】由n S 与n a 的关系得出n a 与1n a -的关系式即可判断ABD ，通过举反例即可判断出C ．【详解】对于A ，当2n ≥时，n n S a =且11n n S a --=，两式相减可得11n n n n n a S S a a --=-=-，即10n a -=．所以{}n a 是恒为0的数列，即{}n a 是公差为0的等差数列，故A 正确；对于B ，当2n ≥时，n n S na =且11(1)n n S n a --=-，两式相减可得11(1)n n n n n a S S na n a --=-=--，即1(1)(1)n n n a n a --=-，所以1n n a a -=，即{}n a 是常数列，是公差为0的等差数列，故B 正确；对于C ，如果10a ≠，令1n =可得21a =，当2n ≥时，1n n n S a a +=且11n n n S a a --=，两式相减可得()111n n n n n n a S S a a a -+-=-=-，如果0n a ≠，则111n n a a +--=，这并不能推出{}n a 是等差数列，例如：考虑如下定义的数列{}n a ：1，1，2，2，3，3，L ，则其通项公式可写成2n a n =，21n a n -=．则()222122111(2)(1)nnn k k n n k k S a a k n n a a -+===+==+=∑∑，）DN．由（1）可知PB⊥平面BDN∠是BD与平面ADMN所成角．2AD AB BC a====，于是另一方面，22BD AB AD=+=因此，在直角三角形BDN中，sinBD与平面ADMN所成角的正弦值为(1)8 17证明见解析【分析】（1）方法一，根据三边长度，利用余弦定理，求方法二，先求sin CAE∠，再根据二倍角公式求）如图：轴垂直，则直线l ：1x =，联立直线与椭圆方程可得2b a =±．所以不妨设1,A ⎛ ⎝，所以4210b OA OB a ⋅=-= ，则b a，所以210a a --=，解得）如图：（i ）若直线AB 与x 轴垂直，由（1）可知钝角，只需4210b OA OB a ⋅=-< ，即21b a >．代入152-（舍去）．）若直线AB 与x 轴不垂直，设()11,A x y ，221b a =-，椭圆方程变为222211x y a a +=-．联立直线与椭圆方程选做（ii ）问：根据()g x 的单调性，可知：()g x 在区间π3π2π,2π()22m m m ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 即()1,m m a b +()g x 在ππ2,2π()22m m m π⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 即(),m m b a 中的值域为结合①②两式以及()1(0)g g b >，可知当N m ∈时，()g x 在πππ,π[0,22m m ⎛⎫-+++∞ ⎪⎝⎭I 当21m k =-时，()()()211,k k k A g a g b --=；当2m k =。
2022年高考数学模拟试卷(含答案)
高考数学模拟试卷一一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，则A∩B=．2．（5分）若复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a=．3．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为．4．（5分）从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．5．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．6．（5分）三棱锥S﹣ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S﹣ABC的表面积是．7．（5分）已知F为双曲线C：2x2﹣my2=4m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为．8．（5分）与的大小关系是．（用“＞”或“＜”连接）9．（5分）为了得到y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，则φ的最小值为．10．（5分）若函数f（x）=，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为．11．（5分）已知{a n}，{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，总有=，则=．12．（5分）如图，在圆O：x2+y2=4上取一点A（﹣，1），E、F为y轴上的两点，且AE=AF，延长AE，AF分别与圆交于点MN．则直线MN的斜率为．13．（5分）如图，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=45°，则•=．14．（5分）已知正实数a、b、c满足+=1，++=1，则实数c的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角θ；（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．16．（14分）如图，平面ABC⊥平面DBC，AB=AC，AB⊥AC，DB=DC；DE⊥平面DBC，BC=2DE，（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：AE⊥平面ABC．17．（14分）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的三种的养殖区域．若OA=1km，，．（1）求区域Ⅱ的总面积；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元．试问当θ为多少时，年总收入最大？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆：+y2=1的左、右顶点，P（2，t）（t∈R，且t≠0）为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F．（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；（2）若t=﹣1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2，求证：+定值；（3）求证：四边形AFBE为平行四边形．19．（16分）已知数列{a n}，{b n}满足：对于任意的正整数n，当n≥2时，a n2+b n a n﹣12=2n+1．（1）若b n=（﹣1）n，求的值；（2）若数列{a n}的各项均为正数，且a1=2，b n=﹣1．设S n=，T n=，试比较S n与T n的大小，并说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）21．（10分）在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2=AB•ED．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2=0，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9．求证：++≥．解答题25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l的距离为d，且d=λp （λ＞0）．（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．26．（10分）在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P n（k）．（1）求P3（1）（2）求P4（k）；（3）证明kP n（k）=n P n﹣1（k），并求出kP n（k）的值．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）（2016•南通模拟）已知集合A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，则A∩B= {0，1} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，∴A∩B={0，1}，故答案为：{0，1}2．（5分）（2016•南通模拟）若复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a=1．【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】根据纯虚数的定义，得到实部为0，虚部不为0列出不等式和方程，解不等式组求出a的值．【解答】解：∵复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数∴解得∴a=1故答案为：13．（5分）（2016•南通模拟）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为32．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题．【分析】由频率分布直方图分析可得“中间一个小长方形”对应的频率，再由频率与频数的关系，中间一组的频数．【解答】解：设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，则有：，解得：x=0.2，∴中间一组的频数=160×0.2=32．故填：32．4．（5分）（2016•江苏模拟）从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】根据互斥时间的概率公式计算即可．【解答】解：从5个球中任意取两个共有C52=10种，两球颜色相同的有2种，两球颜色不同的概率是1﹣=，故答案为：．5．（5分）（2016•南通模拟）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为205．【考点】顺序结构．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值，∵i+2=101时，满足条件，∴输出的S值为S=2×101+3=205．故答案为：205．6．（5分）（2016•南通模拟）三棱锥S﹣ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S﹣ABC的表面积是3+．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题．【分析】先求面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形的面积，再求正三角形△ABC的面积，求解即可．【解答】解：设侧棱长为a，则a=2，a=，侧面积为3××a2=3，底面积为×22=，表面积为3+．故答案为：3+．7．（5分）（2016•南通模拟）已知F为双曲线C：2x2﹣my2=4m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的标准方程，根据焦点在x轴上的双曲线的焦点到渐近线的距离为b 进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，双曲线的焦点在x轴，则a2=2m，b2=4，则b=2，设焦点在x轴的双曲线的方程为=1，设焦点F（c，0），双曲线的一条渐近线方程为y=x，即bx﹣ay=0则点F到C的一条渐近线的距离d==2故答案为：28．（5分）（2016•南通模拟）与的大小关系是＞．（用“＞”或“＜”连接）【考点】不等式比较大小．【专题】转化思想；数学模型法；不等式．【分析】由于=＞=＞，即可得出．【解答】解：∵==＞=＞，∴＞，故答案为：＞．9．（5分）（2016•南通模拟）为了得到y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，则φ的最小值为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】将y=sinx化为y=cos[（x﹣π）]，再根据三角函数的图象变换知识确定平移的方向和长度即可．【解答】解：∵y=sin=cos（﹣）=cos[（x﹣π）]，∴将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数图象对于的解析式为：y=cos[（x ﹣π+φ）]，又∵y=cos（﹣）=cos[（x﹣）]，∴由题意可得：（x﹣π+φ）=（x﹣）+2kπ，k∈Z，解得：φ=4kπ+，k∈Z，∵φ＞0∴当k=0时，φ的最小值为．故答案为：．10．（5分）（2016•南通模拟）若函数f（x）=，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】当x≤0时，f（x）=x+2x，单调递增，由f（﹣1）f（0）＜0，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一个零点；x＞0时，f（x）=ax﹣lnx有且只有一个零点，即有a=有且只有一个实根．令g（x）=，求出导数，求得单调区间，极值，即可得到a的值．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x+2x，单调递增，f（﹣1）=﹣1+2﹣1＜0，f（0）=1＞0，由零点存在定理，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一个零点；则由题意可得x＞0时，f（x）=ax﹣lnx有且只有一个零点，即有a=有且只有一个实根．令g（x）=，g′（x）=，当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增．即有x=e处取得极大值，也为最大值，且为，如图g（x）的图象，当直线y=a（a＞0）与g（x）的图象只有一个交点时，则a=．故答案为：．11．（5分）（2015•淮安模拟）已知{a n}，{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，总有=，则=9．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设{a n}，{b n}的公比分别为q，q′，利用=，求出q=9，q′=3，可得=3，即可求得结论．【解答】解：设{a n}，{b n}的公比分别为q，q′，∵=，∴n=1时，a1=b1．n=2时，．n=3时，．∴2q﹣5q′=3，7q′2+7q′﹣q2﹣q+6=0，解得：q=9，q′=3，∴．故答案为：9．12．（5分）（2016•南通模拟）如图，在圆O：x2+y2=4上取一点A（﹣，1），E、F为y 轴上的两点，且AE=AF，延长AE，AF分别与圆交于点MN．则直线MN的斜率为﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】不适一般性，取特殊点，即可得出结论．【解答】解：由题意，取M（0，2），AM的斜率为，∵AE=AF，∴AN的斜率为﹣，过原点，∴N（（，﹣1），∴直线MN的斜率为=﹣．故答案为：﹣．13．（5分）（2016•南通模拟）如图，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=45°，则•=﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】取PC中点D，连结BD，设BD=x．利用三角形中位线定理与含有45°角的直角三角形的性质，算出∠BDC=135°，CD=PD=x．在△BCD中利用余弦定理，结合题中数据建立关于x的方程，解出x，从而得出PA，PC．最后利用数量积的公式加以计算，可得则•的值【解答】解：取PC中点D，连结BD．设BD=x，∵BD是△PAC的中位线，∴BD∥PA且BD=PA．∵∠APB=90°，∴△PBD中，∠PBD=∠APB=90°，∵∠BPD=45°，BD=x，∴PD=x，CD=PD=x，△BDC中，∠BDC=∠APC=90°+450°=130°，BC=1，由余弦定理，得BC2=BD2+CD2﹣2BD•CDcos∠BDC=1，即x2+2x2﹣2x•xcos135°=1，解之得x=，即BD=，∴PA=2BD=，PC=2×=，∴•=||•||cosAPC=××（﹣）=﹣，故答案为：﹣14．（5分）（2016•南通模拟）已知正实数a、b、c满足+=1，++=1，则实数c 的取值范围是（1，] ．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由于+=1，++=1，可得，化为．由于正实数a、b满足+=1，利用基本不等式的性质可得ab≥4，据此可得c的取值范围．【解答】解：∵++=1，∴，化为．∵正实数a、b满足+=1，∴，化为ab≥4．则c==1+，ab﹣1≥3，则1＜c≤．故答案为：（1，]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2011•宝山区二模）已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角θ；（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）当时，求出向量、，利用数量积的坐标运算求出向量•，从而求出向量、的夹角θ；（2）向量，，代入函数，利用三角函数的诱导公式进行化简，转化为三角函数在定区间上的最值，即可求得结果．【解答】解：（1）当时，，所以，因而；（2），，因为，所以，当λ＞0时，，即，当λ＜0时，，即，所以．16．（14分）（2016•南通模拟）如图，平面ABC⊥平面DBC，AB=AC，AB⊥AC，DB=DC；DE⊥平面DBC，BC=2DE，（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：AE⊥平面ABC．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（1）取BC中点F，连结AF，可证AF⊥BC，由平面ABC⊥平面DBC，且交线为BC，可证AF⊥平面DBC，从而AF∥DE，即可证明DE∥平面ABC．（2）连结DF，可证DF⊥平面ABC，AE∥DF，从而有AE⊥平面ABC．【解答】解：（1）取BC中点F，连结AF，因为AB=AC，所以，AF⊥BC，又因为平面ABC⊥平面DBC，且交线为BC，所以，AF⊥平面DBC，因为DE⊥平面DBC，所以，AF∥DE，而AF在平面ABC内，DE在平面ABC外，所以，DE∥平面ABC；（2）连结DF，∵DB=DC，F为BC中点，∴DF⊥BC，∵平面ABC⊥平面DBC，DF⊂平面DBC，可证DF⊥平面ABC，∵AE∥DF，∴AE⊥平面ABC．17．（14分）（2016•南通模拟）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的三种的养殖区域．若OA=1km，，．（1）求区域Ⅱ的总面积；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元．试问当θ为多少时，年总收入最大？【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】导数的综合应用；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求区域Ⅱ的总面积；（2）建立三角函数关系式，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可．【解答】解：（1）因为BD=AC，OB=OA，所以OD=OC．因为，DE∥OA，CF∥OB，所以DE⊥OB，CF⊥OA．又因为OE=OF，所以Rt△ODE≌Rt△OCF．所以．…（2分）所以．所以，所以，．…（6分）（2）因为，所以．所以=，…（10分）所以，令y'=0，则．…（12分）当时，y'＞0，当时，y'＜0．故当时，y有最大值．答：当θ为时，年总收入最大．…（15分）18．（16分）（2016•南通模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆：+y2=1的左、右顶点，P（2，t）（t∈R，且t≠0）为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F．（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；（2）若t=﹣1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2，求证：+定值；（3）求证：四边形AFBE为平行四边形．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由题意得l：y=﹣x+1，由此能求出t的值．（2）直线AC：y=k1（x+2），与联立得C：，同理得D：，由此能证明=﹣4（定值）．（3）要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O．【解答】（1）解：由题意：椭圆：+y2=1上顶点C（0，1），右焦点E（﹣，0），所以l：y=﹣x+1，令x=2，得t=1﹣．…（2分）（2）证明：直线AC：y=k1（x+2），与联立得C：，同理得D：，…（4分）由C，D，P三点共线得：k CP=k DP，得=﹣4（定值）．…（8分）（3）证明：要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O，设点P（2，t），则OP：y=x，分别与直线AC：y=k1（x+2）与AD：y=k2（x+2）联立得：x E=，x F=，下证：x E+x F=0，即+=0化简得：t（k1+k2）﹣4k1k2=0…（12分）由（2）知C：，D：，由C，D，P三点共线得：k CP=k DP，得t（k1+k2）﹣4k1k2=0，所以四边形AFBE为平行四边形．…（16分）19．（16分）（2016•南通模拟）已知数列{a n}，{b n}满足：对于任意的正整数n，当n≥2时，a n2+b n a n﹣12=2n+1．（1）若b n=（﹣1）n，求的值；（2）若数列{a n}的各项均为正数，且a1=2，b n=﹣1．设S n=，T n=，试比较S n与T n的大小，并说明理由．【考点】数列递推式；数列与函数的综合．【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列的递推关系时，即可得到a22+a12=5，a42+a32=9，a62+a52=13，…a182+a172=37，累加即可，（2）根据数列的递推关系求出a n=n+1，n∈N，再分别表示出S n与T n，分别计算它们的平方，n=1，2，3，4，5，6，当n≥6时，构造数列c n=，利用换元法和作差法得到数列{c n}为递增数列，问题得以解决．【解答】解：（1）由题意可得a22+a12=5，a42+a32=9，a62+a52=13，…a182+a172=37，将上面的式子相加得到=5+9+13+…+37=189，（2）∵a n2+b n a n﹣12=2n+1，a1=2，b n=﹣1∴a n2﹣a n﹣12=2n+1，n≥2，∴a22﹣a12=5，a32﹣a22=7，a42﹣a32=9，a n2﹣a n﹣12=2n+1，将上面的式子相加得到a n2﹣a12=，∴a n2=（n+1）2，n≥2，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n=n+1，当n=1时，也成立，∴a n=n+1，n∈N*，∴S n==2n﹣1，T n==，下面比较S n与T n的大小，取n=1，2，3，4，5，6，∴S12＜T12，S22＞T22，S32＞T32，S42＞T42，S52＞T52，S62＜T62，当n≥6时，令c n=，则=设2n=t≥64，则（n+2）（2n﹣1）2﹣（2n+1﹣1）2=8（t﹣1）2﹣（2t﹣1）2=4t2﹣12t+7＞0∴当n≥6时，数列{c n}为递增数列，∴c n≥c6=＞1，∴n≥6时，S n2＜T n2，综上所述：当n=2，3，4，5时，S n＞T n，当n=1，n≥6时，S n＜T n．20．（16分）（2016•南通模拟）已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】分类讨论；分析法；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；（2）由题意可得即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；（3）原不等式等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，求得它的导数m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）；（3）不等式f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣==，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）21．（10分）（2016•南通模拟）在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O 相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2=AB•ED．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】连接BD，证明△EAD∽△DBA．即可证明AD2=AB•ED．【解答】证明：连接BD，因为直线AE与圆O相切，所以∠EAD=∠ABD．…（4分）又因为AB∥CD，所以∠BAD=∠ADE，所以△EAD∽△DBA．…（8分）从而=，所以AD2=AB•ED．…（10分）[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）（2016•南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2=0，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【考点】逆变换与逆矩阵．【专题】计算题；转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】在直线x+y﹣2=0上取两点M（2，0），M（0，2）．在矩阵M，N对应的变换作用下分别对应于点M′，N′．推导出M′、N′的坐标，由题意，M′、N′在直线x+y﹣2=0上，列出方程组求出A=，由此能求出矩阵A的逆矩阵A﹣1．【解答】解：在直线x+y﹣2=0上取两点M（2，0），M（0，2）．M，N在矩阵M，N对应的变换作用下分别对应于点M′，N′．∵=，∴M′的坐标为（2，2b）；=，∴N′的坐标为（2a，4）．由题意，M′、N′在直线x+y﹣2=0上，∴．解得a=﹣1，b=0．∴A=，∵→→．∴A﹣1=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2015•淮安模拟）已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】选作题；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，可得F的坐标，直线l经过点（m，0），可求m的值；（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，利用参数的几何意义，即可求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，得，∴a=5，b=3，c=4，则点F的坐标为（4，0）．∵直线l经过点（m，0），∴m=4．…（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：（9cos2α+25sin2α）t2+72tcosα﹣81=0．设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则|FA|•|FB|=|t1t2|=．…（8分）当sinα=0时，|FA|•|FB|取最大值9；当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•南通模拟）已知a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9．求证：++≥．【考点】不等式的证明．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由a，b，c均为正数，运用柯西不等式可得（a+2b+3c）（++）≥（++）2，化简整理，结合条件即可得证．【解答】证明：由a，b，c均为正数，运用柯西不等式可得：（a+2b+3c）（++）≥（++）2=（++）2=1，由a+2b+3c=9，可得++≥，当且仅当a=3b=9c，即a=，b=，c=时，等号成立．解答题25．（10分）（2016•南京三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l 的距离为d，且d=λp（λ＞0）．（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可知x1=1﹣，A点坐标为（1﹣，1），将A点坐标代入抛物线方程求得p的值，写出抛物线的标准方程；（2）直线AB过M（﹣，0），设直线AB的方程为y=k（x+），代入抛物线方程y2=2px，消去y，整理得，解出x1、x2，将d=x1+，代入d=λp，得，+λ=，可知，，将x1、x2代入，即可解得，可证直线AB的斜率为定值．【解答】解：（1）由条件知，x1=1﹣，则A点坐标为（1﹣，1），代入抛物线方程得p=1，∴抛物线方程为y2=2x，（2）证明：设B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x+），将直线AB的方程代入y2=2px，消去y得：，解得：x1=，x2=．∵d=λp，∴，+λ=，，∴p=x2﹣x1=，∴，∴直线AB的斜率为定值．26．（10分）（2015•淮安模拟）在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P n（k）．（1）求P3（1）（2）求P4（k）；（3）证明kP n（k）=n P n﹣1（k），并求出kP n（k）的值．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，即可得出；（2）类比（1）即可得出；（3）：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余n﹣k个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则，可得，利用，即可得出．【解答】（1）解：∵数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，∴P3（1）=3；（2）解：=；（3）证明：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余n﹣k个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则有，故，又∵，∴．令，则a n=na n﹣1，且a1=1．于是a2a3a4…a n﹣1a n=2a1×3a2×4a3×…×na n﹣1，左右同除以a2a3a4…a n﹣1，得a n=2×3×4×…×n=n!∴．高考数学模拟试卷二第Ⅰ卷（必做题，共160分）??一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1． 已知{}2A x x =＜，{}1B x x =＞ ，则A B = ▲ ．2． 已知复数z 满足(1i)2i z -=+，则复数z 的实部为 ▲ ． 3． 函数5()log (9)f x x =+ 的单调增区间是 ▲ ．4． 将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的的概率是 ▲ ．5． 执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是 ▲ ．6． 一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm2）分别为：9.4，9.7，9.8，10.3，10.8，则这组样本数据的方差为 ▲ ．7． 已知函数()sin()(030)f x x ωϕωϕ=+<<<<π，．若4x π=-为函数()f x 的一个零点，3x π=为函数()f x 图象的一条对称轴，则ω的值为 ▲ ． 8． 已知1==a b ，且()()22+⋅-=-a b a b ，则a 与b 的夹角为 ▲ ．9． 已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ．10．已知关于x 的一元二次不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，其中a b c ，，为常数．则不等式2 0cx bx a ++≤的解集为 ▲ ．11．已知正数x ，y 满足121x y +=，则22log log x y +的最小值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22280x y x ++-=，直线l ：(1) ()y k x k =-∈R 过定点A ，且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则三角形AEC 的周长为 ▲ ． 13．设集合{}*2n A x x n ==∈N ，，集合{}*n B x x b n ==∈N ， 满足A B =∅，且*A B =N ．若对任意的*n ∈N ，1n n b b +<，则2017b 为 ▲ ．14．定义：{}max a b ，表示a ，b 中的较大者．设函数{}()max 11f x x x =-+，，2()g x x k =+，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．（第5题）（第17题）二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知cos cos 02C C +=．（1）求C 的值．（2）若c =1，三角形ABC ，求a ，b 的值．16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABC —DEF 中，若AB//DE ，BC//EF ． （1）求证：平面ABC//平面DEF ；（2）已知CAB ∠是二面角C-AD-E 的平面角． 求证：平面ABC ⊥平面DABE ． 17．（本小题满分14分）如图，长方形ABCD 表示一张6⨯12（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点P ）到外边框AB ，AD 的距离分别为1分米，2分米． 现欲经过点P 锯掉一块三角形废料MAN ，其中M N ，分别在AB ，AD 上．设AM ，AN 的 长分别为m 分米，n 分米．（1）为使剩下木板MBCDN 的面积最大，试确 定m ，n 的值；（2）求剩下木板MBCDN 的外边框长度（MB ， BC CD DN ，，的长度之和）的最大值．18．（本小题满分16分）AFED CB（第16题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：2221x y a +=（a ＞1）.（1）若椭圆C 的焦距为2，求a 的值；（2）求直线1y kx =+被椭圆C 截得的线段长（用a ，k 表示）；（3）若以A （0，1）为圆心的圆与椭圆C 总有4个公共点，求椭圆C 的离心率e 的 取值范围. 19．（本小题满分16分）已知函数32()2()f x x ax bx c a b c =+++∈R ，，． （1）若函数()f x 为奇函数，且图象过点(12)-，，求()f x 的解析式； （2）若1x =和2x =是函数()f x 的两个极值点． ①求a ，b 的值；②求函数()f x 在区间[03]，上的零点个数．20．（本小题满分16分）设等差数列{}n a 与等比数列{}n b 共有m *( )m ∈N 个对应项相等． （1）若110a b =>，11110a b =>，试比较66a b ，的大小； （2）若34n a n =-，()12n nb -=--，求m 的值．（3）若等比数列{}n b 的公比0q >，且1q ≠，求证：3m ≠．【参考结论】若R 上可导函数()f x 满足()()f a f b =（a b <），则()a b ξ∃∈，，()0f ξ'=．（第18题）（第21-A 题）第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.A ，（选修4-1；几何证明选讲） 如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD =，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ．求证：AE 是四边形ABCDB ．（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，11201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB 的逆矩阵．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，求圆24sin 50ρρθ--=截直线π()3θρ=∈R所得线段长．D．（选修4-5：不等式选讲）求证：5． 【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．在平面直角坐标系xOy 中，设点2(2)A a a ，，2(2)B b b ，，(12)C ，均在抛物线 22(0)y px p =>上，且90BCA ∠=︒． （1）求p 的值； （2）试用a 表示b ；（3）求直线5x =与直线AB 交点的纵坐标．23． (1)2n n +（2n n ∈*N ≥，）个不同数随机排成如下的一个三角形：k M ()1 k n k ∈*N ≤≤，是从上往下数第k 行中的最大数，n p 为12n M M M <<⋅⋅⋅<的概率． （1）求2p 的值；＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ……………………＊ ＊ … ＊ ＊（2）猜想n p 的表达式，并证明．参考答案一、填空题 1．()12，．A B =()12，．2．12． (2)(1)2i 13.1i (1)(1)2i i i z i i ++++===--+，则复数z 的实部为 12．3．（-9，+∞）．函数5()log (9)f x x =+的单调增区间（-9，+∞）.4． 536．点数之和是6包括(15)(24)(33)(42)(15)，，，，，，，，，共5种情况，则所 求概率是536．5． 8．若613x =，则1326x =>，不符；若513x +=，则82x =>．6． 0. 244．这组数据的平均数为10，方差为222221(109.4)(109.7)(109.8)(1010.3)(1010.8)0.245⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦. 7． 76．函数()f x 的周期4(3T π=⨯)43π7π+=，又Τω2π=，所以ω的值为76. 8． π．依题意，2220+⋅-=a a b b ，又1==a b ，故1⋅=a b ，则a 与b 的夹角为π．9． 113．()()()()11tan tan 25tan tan 111tan tan 125αββααββαββ--+=-+===⎡⎤⎣⎦---⨯-113． 10． 115⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．因为不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，所以(1)(5)>0a x x +-，且0a <，即245>0ax ax a --，则45b a c a =-=-，，则2 0cx bx a ++≤即为254 0ax ax a --+≤，从而254 1 0x x +-≤，故解集为115⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． 11．3．由121x y +=得，02y x y =>-，则()222222222log log log log log 22y y x y xy y y -++===--()224log 24log 832y y ⎡⎤=-++=⎢⎥-⎣⎦≥．12． 5．易得圆C ：22(1)9x y -+=，定点A (10)-，，EA ED =，则3EC EA EC ED +=+=，从而三角形AEC 的周长为5．13． 2027．易得数列{}n b ：1，3，5，6，7，9，10，11，12，13，14，15，17，…，则1137++++…12121k k k ++-=--，当10k =，12120372017k k +--=>，2037201720-=，从而第2017项为1121202027--=． 14．()()5114-∞-，，．{}()max 11f x x x =-+， 2()()g x x k k =+∈R 恰有4个零点，当54k =时，()f x 与()g x 相切．如图，()514，，．二、解答题15． （1）因为cos cos 02C C +=，所以22cos cos 1022C C +-=， 解得cos 12C =-或1cos 22C =， 又0C π＜＜ ，故22C π0＜＜， 从而23C π=，即23C π=． （2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得，221a b ab ++=， ①由三角形ABC 的面积1sin 2ab C =得， 13ab =， ② 由①②得，a b =． 16． （1）因为AB//DE ，又AB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以AB//平面DEF ， 同理BC//平面DEF ， 又因为ABBC C =，OAB BC ⊂，平面ABC ，所以平面ABC//平面DEF. （2）因为CAB ∠是二面角C-AD-E 的平面角，所以CA AD BA AD ⊥⊥，， 又因为CA AB A =， AB ，CA ⊂平面ABC ，所以DA ⊥平面ABC ，又DA ⊂平面DABE ，所以平面ABC ⊥平面DABE. 17． （1）过点P 分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为E ，F ， 则△PNF 与△MPE 相似，从而PF NFEM PE =，所以2121n m -=-， 即211m n +=． 欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料MAN 的面积 12S mn=最小．由211m n =+≥得，8mn ≥ （当且仅当21m n =，即4m =，2n =时， “=”成立），此时min 4S =（平方分米）． （2）欲使剩下木板的外边框长度最大，即要m n +最小．由（1）知，()()212333n m m n m n m n m n +=++=++=≥，（当且仅当2n mm n =即2m =，1n =时，“=”成立），答：此时剩下木板的外边框长度的最大值为33-分米． 18． （1）由椭圆C ：2221x y a +=（a ＞1）知，焦距为2=，解得a =因为a ＞1，所以a .（第17题）。
2021年新高考数学模拟试卷全国卷(附参考答案和详解)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（3）数学（适用新高考地区）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位，复数3i1i+=-（ ）A.12i +B.24i +C.12i --D.2i -2.设常数a ∈R ，集合{|(1)()0}A x x x a =--≥，{|1}B x x a =≥-，若A B =R ，则a 的取值范围为（ ）A.(,2)-∞B.(,2]-∞C.(2,)+∞D.[2,)+∞3.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=（ ）A.2B.1C.0D.2-4.设向量=a (1,cos )θ与b (1,2cos )θ=-垂直，则cos2θ等于（ ）A.2 B.12C.0D.1-5.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则“1k =”是“OAB 的面积为12”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.2πa B.27π3a C.211π3a D.25πa7.已知命题122121:,,(()())()0p x x f x f x x x ∀∈--≥R ，则p ⌝是（ ） A.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∃∈--≤R B.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∀∈--≤R C.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∃∈--<RD.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∀∈--<R8.函数()2ln f x x =的图像与函数2()45g x x x =-+的图像的交点个数为（ ） A.3B.2C.1D.0二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图．根据这两幅图中的信息，下列统计结论中正确的有（ ）A.样本中的女生数量等于男生数量B.样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C.样本中的男生偏爱理科D.样本中的女生偏爱文科10.已知两定点(1,0)A -，(1,0)B ，若直线l 上存在点M ，使得||||3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”．则下列给出的直线中，是“M 型直线”的有（ ）A.2x =B.3y x =+C.21y x =--D.23y x =+11.如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列判断正确的为（ ）A.MN 与1CC 垂直B.MN 与AC 垂直C.MN 与BD 平行D.MN 与11A B 平行12.下列结论中正确的有（ ） A.命题：”(0,2)x ∀∈，33x x >“的否定是“(0,2)x ∃∈，33x x ≤” B.若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l αC.若随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，且(2)0.8P ξ<=，则(01)0.2P ξ<<=D.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若43a =，则721S =第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2022届新高考数学模拟试题及详细解析 含答案详解
2022新高考数学模拟试题一．选择题（共8小题）1．若z ＝5﹣2i （i 是虚数单位），则z 2﹣4z =（ ） A ．1﹣12iB ．1﹣28iC ．﹣1﹣12iD ．﹣1+28i2．已知四棱锥P ﹣ABCD 的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，AB ＝2AD ＝4，平面P AD ⊥底面ABCD ，△P AD 为等边三角形，则球面O 的表面积为（ ） A ．32π3B ．32πC ．64πD ．64π33．已知α，β为锐角，tan α＝2，cos β=2√55，则tan （α﹣2β）＝（ ） A ．13B ．−13C ．211D ．8114．已知函数f （x ）＝3sin x +4cos x 的图象与直线y ＝m 恒有公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[﹣7，7] B ．[﹣5，5]C ．[﹣4，4]D ．[﹣3，3]5．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为12，直线y ＝kx 与该椭圆交于A 、B 两点，分别过A 、B 向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k 等于（ ） A ．±32 B ．±23C ．±12D ．±26．已知tanθ+1tanθ=4，则sin 4θ+cos 4θ＝（ ） A ．38B ．12C ．34D ．787．若函数f （x ）＝lnx +ax 2﹣2在区间（12，2）内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2]B ．（−18，+∞）C ．（﹣2，−18）D ．（﹣2，+∞）8．某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（ ） A ．38B ．310C ．311D ．35二．多选题（共4小题）9．某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加“网络安全知识竞赛”，于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的十次成绩，将统计情况绘制成如图所示的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A ．乙的成绩的极差为7B ．甲的成绩的平均数与中位数均为7C ．甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差D ．甲从第二次到第三次成绩的上升速率要大于乙从第六次到第八次的上升速率 10．已知函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）的图象向右平移π4个单位长度得y ＝g （x ）的图象，则下列关于函数f （x ）和g （x ）的说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）与g （x ）有相同的周期B ．函数f （x ）的图象与函数g （x ）的图象的对称中心一定不同C ．若函数g （x ）的图象在[−π2，π2]上至少可取到两次最大值1，则ω≥2D ．若ω＝2，则函数g （x ）与函数f （x ）在[0，π2]上具有相同的单调性11．已知直线l ：kx ﹣y +2k ＝0和圆O ：x 2+y 2＝r 2，则（ ） A ．存在k 使得直线l 与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直 B ．直线l 恒过定点（2，0） C ．若r ＞4，则直线l 与圆O 相交D ．若r ＝4，则直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为(2√3，8]12．在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ＝1，BD =√2，三棱锥A ﹣BCD 的所有顶点均在球O 的表面上，若点M 、N 分别为△BCD 与△ABD 的重心，直线MN 与球O 的表面相交于F 、G 两点，则 （ ） A ．三棱锥A ﹣BCD 的外接球表面积为3π B ．点O 到线段MN 的距离为√33C ．|FG |=2√63D ．|FG |：|MN |＝2√3 三．填空题（共4小题） 13．若函数f （x ）={x 3，x ⩽t ，x 2，x ＞t是R 上的增函数，则实数t 的取值范围是 ．14．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F （O 为坐标原点），过点F 的直线l 交抛物线C 于点A ，B ，若|F A |﹣|FB |=83，则△OAB 的面积为 ．15．函数f(x)=2e xe x +e−x +sinx （e 为自然对数的底数）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值之和等于 ．16．在数列{a n }中，对任意n ∈N *，a n ＝k ，当且仅当2k ≤n ＜2k +1，k ∈N ，若满足a m +a 2m +a 4m +a 8m +a 16m ≥52，则m 的最小值为 ． 四．解答题（共6小题）17．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 5＝17，a 2a 4＝16． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2n ＞1609a n ，求n 的最小值．18．核酸检测是诊断新冠病毒（nCoV ）的重要标准之一，通过被检者核酸检测可以尽早发现感染者，感染者新冠病毒核酸检测呈阳性．2020年抗疫期间，某社区拟对其中850户4口之家以家庭为单位进行核酸检测，假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈阳性的概率都是p （0＜p ＜1）．在进行核酸检测时，可以逐个检测，也可以将几个样本混合在一起检测．检测方式有三种选择： 方式一：逐个检测；方式二：将每个4口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测； 方式三：将每个4口之家4个检测样本混合在一起检测；其中，若混合样本1次检测结果呈阴性，则认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，若混合样本1次检测结果呈阳性，则对该组样本中的各个样本再逐个检测．（1）假设某4口之家中有2个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来的概率；（2）若p ＝0.01，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中850户4口之家进行核酸检测次数的数学期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实际意义（不要求证明）．（附：0.992≈0.98，0.993≈0.97，0.994≈0.96．）19．已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且√3a sin C ＝c cos A +c ． （1）求A ；（2）在①△ABC 的面积为√3，②△ABC 的周长为6+2√3，③c−1cosB=√32，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：已知b ＝2，___．20．如图，在棱柱ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，底面ABCD 为平行四边形，CD ＝2AD ＝4，∠BAD =π3，且D ′在底面上的投影H 恰为CD 的中点．（1）过D ′H 作与BC 垂直的平面α，交棱BC 于点N ，试确定点N 的位置，并说明理由；（2）若二面角C ′﹣BH ﹣A 为3π4，求棱柱ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的体积．21．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，△AF 1F 2是面积为4的直角三角形． （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆O ：x 2+y 2=83上任意一点P 处的切线l 交椭圆C 于点M ，N ，问：PM →⋅PN →是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由． 22．已知函数f （x ）＝e ax lnx ﹣x +1（a ∈R ）． （1）当a ＝0时，求f （x ）的单调区间；（2）若对任意x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【解答】解：∵z＝5﹣2i，∴z2−4z=(5−2i)2−4(5+2i)=1−28i．故选：B．2．【解答】解：令△P AD所在圆的圆心为O1，则圆O1的半径r=2√3 3，因为平面P AD⊥底面ABCD，所以OO1=12AB＝2，所以球O的半径R=4+(2√33)2=√3，所以球O的表面积＝4πR2=64π3．故选：D．3．【解答】解：∵β为锐角，cosβ=2√5 5，∴sinβ=√1−cos2β=1−(2√55)2=√55，∴tanβ=sinβcosβ=√552√55=12，又∵tan2β=2tanβ1−tan2β=2×121−14=43，∴tan(α−2β)=tanα−tan2β1+tanα⋅tan2β=2−431+83=211．故选：C．4．【解答】解：根据三角函数的辅助角公式，则f（x）＝3sin x+4cos x=√32+42sin(x+φ)=5sin（x+cosφ），即cosφ=3 5，∴f（x）的值域为[﹣5，5]，∵直线y＝m与f（x）恒有公共点，即y＝m与函数f（x）相交，则m取值介于最小值和最大值之间，∴m∈[﹣5，5]，故选：B．5．【解答】解：由题可知，不妨设A、B两点的坐标分别为（﹣c，﹣kc），（c，kc），∵A 、B 均在椭圆上，∴c 2a 2+k 2c 2b 2=1，又椭圆的离心率为12，∴ca=12，∴cb=√a 2−c 2=√4c 2−c 2=√3，∴14+k 23=1，解得k =±32．故选：A ．6．【解答】解：由tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=sin 2θ+cos 2θsinθcosθ=1sinθcosθ=4，得sinθcosθ=14，∴sin 4θ+cos 4θ＝（sin 2θ+cos 2θ）2﹣2sin 2θcos 2θ ＝1﹣2×116=78． 故选：D ．7．【解答】解：f ′（x ）=1x+2ax ， 若f （x ）在区间（12，2）内存在单调递增区间， 则f ′（x ）＞0在x ∈（12，2）有解，故a ＞(−12x2)min ， 而g （x ）=−12x2在（12，2）递增， g （x ）＞g （12）＝﹣2， 故a ＞﹣2， 故选：D ．8．【解答】解：需要从我市某医院某科室的5名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，设事件A 表示“有一名主任医师被选派”，B 表示“另一名主任医师被选派”， P （A ）=C 11C 42C 32C 53C 42+C 43C 11C 31C 53C 42+C 22C 42C 31C 53C 42=45，P （AB ）=C 22C 42C 31C 53C 42=310，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为：P （B |A ）=P(AB)P(A)=31045=38．故选：A ．二．多选题（共4小题）9．【解答】解：对于A ，将乙十次的成绩从小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，所以乙的成绩的极差为8，故选项A 错误；对于B ，甲的十次成绩从小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，所以中位数为7，平均数为7，故选项B 正确；对于C ，从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大，所以甲的方差小于乙的方差，故选项C 错误；对于D ，从折线图可以看出，甲从第二次到第三次成绩的上升速率要大于乙从第六次到第八次的上升速率，故选项D 正确． 故选：BD ．10．【解答】解：函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）的图象向右平移π4个单位长度得y ＝g （x ）＝sin （ωx −ωπ4）的图象， 显然，f （x ）和g （x ）有相同的周期2π，故A 正确；令x ＝0，可得f （x ）＝g （x ）＝0，故（0，0）是f （x ）与g （x ）的对称中心，故B 错误；若函数g （x ）的图象在[−π2，π2]上至少可取到两次最大值1，则2πω≤π2+π2，即ω≥2，故C 正确；若ω＝2，则函数g （x ）＝sin （2x −π2）＝﹣cos2x 在[0，π2]上单调递增，函数f （x ）＝sin2x 在[0，π2]上没有单调性，故D 错误，故选：AC ．11．【解答】解：对于A ，直线l 0：x ﹣2y +2＝0的斜率为12，则当k ＝﹣2时，满足直线l 与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直，故A 正确；对于B ，由l ：kx ﹣y +2k ＝0，得k （x +2）﹣y ＝0，令{x +2=0−y =0，解得{x =−2y =0，∴直线l 恒过定点（﹣2，0），故B 错误；对于C ，若r ＞4，则直线l 所过定点（﹣2，0）在圆O 内部，则直线l 与圆O 相交，故C 正确；对于D，若r＝4，则直线l被圆O截得的弦长的最大值为8，最小值为2√42−22=4√3，即直线l被圆O截得的弦长的取值范围为[4√3，8]，故D错误．故选：AC．12．【解答】解：如图所示，三棱锥A﹣BCD可放在边长为1的正方体中，故外接球球心即为正方体的中心．所以R=√32，S=4πR2=3π，所以A选项说法正确．设E为CD中点，因为点M，N分别为BE，BO的远离B点的三等分点，故|MN|=23|OE|=23×12|AC|=√23；在△OBE中，|OB|=√32，|OE|=√22，|BE|=√52，由勾股定理得BO⊥OE，又MN∥OE，所以MN⊥OB，故点O到线段MN的距离为|ON|=13|OB|=√36，所以B选项说法错误．|FG|=2√R2−|ON|2=2√63，|FG|：|MN|=2√63：√23=2√3，所以C、D选项说法正确．故选：ACD．三．填空题（共4小题）13．【解答】解：函数f（x）={x3，x⩽t，x2，x＞t是R上的增函数，则有t3≤t2且t≥0，即t2（t﹣1）≤0，解得0≤t≤1，所以实数t的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．14．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，由|F A|﹣|FB|=83，可得AB的斜率存在，设为k，k≠0，过F的直线AB的方程为y＝k（x﹣1），与抛物线的方程y2＝4x联立，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2，可得x 1+x 2＝2+4k2，x 1x 2＝1，由抛物线的定义可得|AF |﹣|BF |＝x 1+1﹣x 2﹣1＝x 1﹣x 2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√(2+4k2)2−4=83，解得k ＝±√3，即有直线AB 的方程为y ＝±√3（x ﹣1）， 可得O 到直线AB 的距离为d =|√3|√1+3=√32， |AB |＝x 1+x 2+2＝2+43+2=163， 所以△ABO 的面积为S =12d •|AB |=12×√32×163=4√33． 故答案为：4√33． 15．【解答】解：f(x)=2e x e x +e −x +sinx ⇒f(x)−1=e x −e −xe x +e−x +sinx ，设h （x ）＝f （x ）﹣1，x ∈[﹣1，1]，则ℎ(−x)=e −x −e x e −x +e x +sin(−x)=−e x −e −xe x +e −x −sinx =−ℎ(x)，所以h （x ）为奇函数， h ′（x ）＝f ′（x ）=4e 2x(e 2x +1)2+cos x ＞0，因此函数h （x ）在x ∈[﹣1，1]上单调递增．∴h （x ）的最大值和最小值之和＝h （1）+h （﹣1）＝0， 故f （x ）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值之和为2． 故答案为：2．16．【解答】解：不妨设2k ≤m ＜2k +1，k ∈N *，m ∈N *， 由题意可得，a m ＝k ， 因为2k +1≤2m ＜2k +2， 所以a 2m ＝k +1，同理可得，a 4m ＝k +2，a 8m ＝k +3，a 16m ＝k +4，…所以a m +a 2m +a 4m +a 8m +a 16m ＝k +（k +1）+（k +2）+（k +3）+（k +4）＝5k +10， 因为a m +a 2m +a 4m +a 8m +a 16m ≥52， 所以5k +10≥52， 解得k ≥425，又k ∈N *， 所以k 的最小值整数解为9，故m 的最小值为29＝512．故答案为：512．四．解答题（共6小题）17．【解答】解：（1）∵数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 5＝17，a 2a 4＝16，∴a 1a 5＝a 2a 4＝16，设数列{a n }的公比为q （q ＞1），由{a 1+a 5=17a 1a 5=16，解得{a 1=1a 5=16，或{a 1=16a 5=1（舍）， 又a 5=a 1q 4，∴q ＝2，则数列{a n }的通项公式为a n =2n−1；（2）∵S n =a 1(1−q n )1−q =1−2n 1−2=2n −1，∴S 2n =22n−1，∵S 2n ＞1609a n ，∴9（22n ﹣1）＞80×2n ，即（9×2n +1）（2n ﹣9）＞0，∴2n ﹣9＞0，又n ∈N *，∴正整数n 的最小值为4．18．【解答】解：（1）记恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来为事件A ，则P （A ）=C 21C 21C 21A 22A 43=23． （2）当P ＝0.01时，每个人核酸检测呈阴性的概率为0.99．若选择方式一，该社区对其中850户4口之家需进行X 1＝3400次核酸检测．若选择方式二，记每个4口之家检测次数为ξ2，则ξ2可能取值为2，4，6，其分布列为ξ22 4 6 P 0.994 C 21(1−0.992)×0.992 （1﹣0.992）2Eξ2=2×0.994+4×C 21(1−0.992)×0.992+6×(1−0.992)2=6−4×0.992=2.08．故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检测总次数期望EX 2＝850E ξ2＝1768次． 若选择方式三进行核酸检测，记每个4口之家检测次数为ξ3，则ξ3可能取值为1，5．其分布列为ξ31 5 P 0.994 1﹣0.994故选择方式三每个4口之家检测次数的期望为Eξ3=1×0.994+5(1−0.994)=5−4×0.994≈1.16故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检测总次数期望为EX 3＝850×1.16≈986次． 显然EX 3＜EX 2＜EX 1由上可知，当每个人核酸检测呈阳性概率很小时，采取每个家庭检测样本混合在一起检测时，检测总次数期望相较其他方式少，对人数众多的群体采用方式三进行核酸检测显著提高了检测效率，大大节约了检测成本．19．【解答】解：（1）因为 √3a sin C ＝c cos A +c ，利用正弦定理可得√3sin A sin C ＝sin C cos A +sin C ，因为sin C ≠0，可得√3sin A ＝cos A +1，所以sin （A −π6）=12，因为A ∈（0，π），A −π6∈（−π6，5π6）， 所以A −π6=π6，可得A =π3．（2）若选①，因为△ABC 的面积为√3，则12×2×c sin π3=√32c =√3，得c ＝2， 则a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos π3=4，得a ＝2，则三角形为等边三角形，故B =π3；若选②，△ABC 的周长为6+2√3，A =π3，b ＝2，可得a +c ＝4+2√3，由余弦定理得a 2＝4+c 2﹣2×2c cos π3，即a 2＝4+（4+2√3−a ）2﹣2×（4+2√3−a ）， 解得a ＝2√3，由2√3sin π3=2sinB ，得sin B =12， 由a ＞b ，可得B =π6；若选③，c−1cosB =√32，则c ﹣1=√32cos B =√32×a 2+c 2−42ac ， 又由余弦定理得，a 2＝4+c 2﹣2c ，代入上式得c ﹣1=√32×c 2−c ac =√32×c−1a ，得c ﹣1＝0或√32a=1，即a =√32，若c＝1，则B＝90°（舍），若a=√32，由sin B=√3a=2，可知三角形不存在，因此满足③的三角形不存在．20．【解答】解：（1）当点N为BC中点时，符合题目要求．证明如下：分别连接NH，ND′在△HNC中，NH=√NC2+CH2−2NC⋅CH⋅cos π3=√3，∴HC2＝NC2+HN2，∴∠HNC=π2，∴NH⊥BC，∵D′在底面上的投影H恰为CD的中点，∴D′H⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴D′H⊥BC，∵NH⊥BC，D′H∩NH＝H，D′H，NH⊂平面D‘HN，∴BC⊥平面D‘HN，∴点N即为所求，平面D′HN即为α．（2）由（1）知HN⊥BC，HN∥DB，AD∥BC，∴AD⊥BD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，∵CD＝2AD＝4，∠BAD=π3，且D′在底面上的投影H恰为CD的中点．∴B（0，2√3，0），C（﹣2，2√3，0），H（﹣1，√3，0），设D ′H ＝t ，则C ′（﹣3，3√3，t ），BH →=（﹣1，−√3，0），BC′→=（﹣2，√3，t ），设平面BHC ′的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅BH →=−x −√3y =0m →⋅BC′→=−2x +√3y −tz =0，取x =√3，得m →=（√3，﹣1，−3√3t ），平面ABH 的法向量n →=（0，0，1），∵二面角C ′﹣BH ﹣A 为3π4， ∴cos 3π4=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=−3√3t√4+27t 2，解得t =3√32， ∴棱柱ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的体积为：V ＝S 四边形ABCD ×D 'H ＝AD ×DB ×D ′H ＝2×2√3×3√32=18． 21．【解答】解：（1）由A 为椭圆的上顶点，△AF 1F 2是面积为4的直角三角形．可得：12•2c •b ＝4，且b ＝c ， 解得：b ＝c ＝2，所以a 2＝2b 2＝8，所以椭圆的方程为：x 28+y 24=1；（2）当切线l 的斜率不存在时，其方程x ＝±2√63，将x =2√63代入椭圆的方程：x 28+y 24=1得y ＝±2√63，设M （2√63，−2√63），N （2√63，2√63）， 又P （2√63，0），所以PM →•PN →=−83， 同理可得x =−2√63，也有PM →•PN →=−83，当切线l 的斜率存在时，设方程为：y ＝kx +m ，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），直线l 与圆O ：x 2+y 2=83相切，所以√1+k 2=2√63，即3m 2＝8+8k 2，联立{y =kx +m x 28+y 24=1，整理可得：（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0，x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，又因为PM →•PN →=（PO →+OM →）•（PO →+ON →）＝|PO →|2﹣（OM →+ON →）•OP →+OM →•ON →=−|PO →|2+ON →•OM →，又OM →•ON →=x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+（kx 1+m ）（kx 2+m ）＝（1+k 2）x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2=(1+k 2)(2m 2−8)1+2k 2+−4k 2m 21+2k 2+m 2=3m 2−8k 2−81+2k 2，因为3m 2＝8+8k 2，所以OM →•ON →=0，综上所述：PM →•PN →=−83．22．【解答】解：（1）当a ＝0时，f （x ）＝lnx ﹣x +1，得f ′（x ）=1x −1，（x ＞0）， 当0＜x ＜1时，f ′（x ）=1x −1＞0；当x ＞1时，f ′（x ）＜0， 所以f （x ）的单调增区间为（0，1），单调减区间为[1，+∞）．（2）由（1）知当a ＝0时，f （x ）的单调增区间为（0，1），则f （x ）＜f （1）＝0符合题意；当a ＞0时，x ∈（0，1），则e ax ＞1，lnx ＜0，所以e ax lnx ＜lnx ，由（1）知f （x ）＝lnx ﹣x +1＜f （1）＝0，所以e ax lnx ＜lnx ＜x ﹣1，故f （x ）＜lnx ﹣x +1＜0成立，则a ＞0成立；当a ＜0时，由f ′（x ）＝e ax （alnx +1x ）﹣1，x ∈（0，1），令g （x ）＝alnx +1x ，则g ′（x ）=ax−1x 2＜0， 所以g （x ）在x ∈（0，1）上单调递减，得g （x ）＞g （1）＝1，又y ＝e ax ∈（0，1）且为减函数，所以f ′（x ）＝e ax g （x ）﹣1为减函数，又f ′（1）＝e a ﹣1＜0，故设f ′（x 0）＝0，当x 0＜x ＜1时，有f ′（x ）＜0，所以f （x ）在（x 0，1）为减函数， 则有f （x 0）＞f （1）＝0，故a ＜0不符合题意，综上所述：a ≥0．。
高考模拟数学试卷及答案
高考模拟数学试卷及答案高考模拟数学试卷及答案高考即将到来，数学作为一门重要的科目，对于许多学生来说都是一个挑战。
为了帮助大家更好地备考，我们为大家提供了一份高考模拟数学试卷及答案，希望对大家有所帮助。
一、选择题（每题5分，共40分）1、在等差数列{an}中，a1=1，an=6n-5，则公差d的值为（） A. 1B. 2C. 3D. 4 答案：B2、已知复数z满足|z|=1，则|z-i|的最大值为（） A. 1 B. 2 C. 3D. 4 答案：B3、已知函数f(x)=x3+ax2+bx在x=1处取得极小值-2，则a、b的值为（） A. a=1，b=0 B. a=3，b=3 C. a=1，b=2 D. a=3，b=2 答案：A4、已知双曲线x2-y2=1的焦点为F1、F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，则|PF1|•|PF2|的值为（） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 答案：B5、已知{an}为等比数列，a1=1，公比为q，则“q>1”是“{an}为递增数列”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件答案：A6、已知向量a、b的夹角为60°，|a|=2，|b|=4，则|a-b|=（） A.2 B. 4 C. 6 D. 8 答案：C7、已知函数f(x)=x3+ax2+bx在x=1处取得极小值-2，则a、b的值为（） A. a=1，b=0 B. a=3，b=3 C. a=1，b=2 D. a=3，b=2 答案：A8、等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a2=3，S9=45，则数列{an}的前多少项的和最大（） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 答案：C二、填空题（每题6分，共30分）9、已知角α的终边过点P(3,-4)，则sin(α-π)=__________。
答案：-4/591、若空间中有四个点A、B、C、D，则直线AB和直线CD的位置关系为____________。
高考数学模拟试题及答案解析,评分标准知识点分析精编版
高考数学模拟试题及答案解析,评分标准知识点分析精编版MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】高考数学模拟试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试用时120分钟. 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ). 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的. 1.复数21z i=-的值是1i -1i +1i -+1i--A AB B A B ..∩中有个元素∩中有个元素313．向量a =(1,2)，b =(x ,1)，c =a +b ，d =a -b ，若c A ．21B ．21-C ．61D ．61-4.若110a b<<，则下列结论不正确．．．的是（）（）A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切图形可能是（）8已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，m ⊥α，n ⊥β，则下列命题中的假命题是（） A.若m ∥n ，则α∥β B.若α⊥β，则m ⊥n C.若α、β相交，则m 、n 相交 D.若m 、n 相交，则α、β相交 9设)(1x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b fa f，则)(b a f +的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．3log 2已知，则方程 与 在同一坐标系下的 7 0 1 0 2 2 2 mn mx ny mx ny ? ? ? ? ? 函数 在下面哪个区间内是增 函数（ ） 6 y x x x ? ? sin cos ? ? 设 ，则直线 与圆 的位置关系为 0 2 1 0 2 2 m x y m x y m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?设集合 ，集合 ，则（ ）2 2 2 A x y y x B x y y x ? ? ? ? ( , )| sin ( , )| 510在765)1()1()1(x x x +++++的展开式中含4x 项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的（）A ．第19项B ．第20项C ．第21项D ．第22项值为（）12．如图，将正三角形ABC 以平行于一边BC 的直线l 为折痕，折成直二面角后，顶点A 转到A '，当B A '取得最小值时，l 将AC 边截成的两段之比为（）::::3第Ⅱ卷非选择题(共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数_____________的图象。
高考数学重难点全真模拟试卷01(新高考专用)(答案及评分标准)
新高考数学重难点全真模拟试卷01数学·答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．12345678ADBACBDC二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．CD10．ABD11．BC12．BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．28-14．315．116．3四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）【答案】（1）12n n b -=；（2）()12326n n S n +=-⋅+【分析】（1）由题设求得等差数列{}n a 的公差d 与等比数列{}n b 的公比q ，即可求得n a 和n b .（2）先由（1）求得n c ，再利用错位相减法求得其前n 项和即可.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q (0q >)，由题设可得：()()214316233b q q a d d b q⎧+=⎪⎨+++=⎪⎩，即()2463233q q d d q ⎧+=⎪⎨+++=⎪⎩，解得21q d =⎧⎨=⎩，所以()33n a a n d n =+-=，1112n n n b b q --==.（2）由（1）可得：()212nn n c -=，()123123252212n n S n ∴=⨯+⨯+⨯++-⋅ ，又()()23121232232212n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅ ，两式相减得：()()23122222212nn n S n +-=++++--⋅ ()()2112122221212n n n -+-=+⨯-⋅-，整理得：()12326n n S n +=-⋅+.18．（12分）【答案】（1）2π3B =；（2）【分析】（1）利用正弦定理和三角公式得到1cos 2B =-，即可求出2π3B =；（2）利用正弦定理表示出2sin ,2sin c C a A ==，利用三角函数求出最值.【解析】（1）在ABC 中，,,A B C 的对边分别为(),,,2sin 2tan a b c c B a c C =+，由正弦定理得()sin 2sin sin 2sin sin cos CC B A C C=+.因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，()()2sin cos 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C A C B C C B C B C C∴=+=++=++2cos sin sin 0B C C ∴+=.∵sin 0C ≠，∴()π1cos ,0,2B B =-∈.2π3B ∴=.（2）由题意2sin sin sin a b cA B C===，则2sin ,2sin c C a A ==，则π22sin 4sin 23a c A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，由2π3B =，得π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2a c +∈，故2a c +的取值范围为19．（12分）【答案】（1）6；（2）【分析】（1）取CE 的中点F ，连接PF ，证明出PF 为四棱锥P AECD -的高，即可求出四棱锥P AECD -的体积；（2）过E 作//Ez PF ，以,,EC EA Ez 分别为,,x y z 轴正方向，建立空间坐标系，用向量法求解.【解析】（1）因为四边形ABCD 为边长为4的菱形，60ABC ∠=︒，所以,60AB CB ABC =∠=︒,所以ABC 为等边三角形.因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥.将ABE 沿AE 翻折至PAE △位置（如图2），所以,,AE PE AE CE ⊥⊥所以PEC ∠即为二面角P AE D --的平面角，所以60PEC ∠=︒.因为E 为BC 的中点，所以PE CE =，所以PEC 为等边三角形.取CE 的中点F ，连接PF ，则PF CE ⊥.因为,,AE PE AE CE ⊥⊥PE ⊂面PCE ，CE ⊂面PCE ，所以⊥AE 面PCE .因为AE ⊂面AECD ，所以面AECD ⊥面PCE .因为PF CE ⊥，所以PF ⊥面AECD .即PF 为四棱锥P AECD -的高.因为菱形ABCD 的边长为4，所以4AD AB BC ===.在等边ABC 中，3sin 604232AE AB =︒=⨯=2BE CE ==.在等边PEC 中，3sin 60232PF PE =︒=⨯在四棱锥P AECD -中，底面积()()1142236322AECD S AD EC AE =+⋅=+⨯=，高3PF =663133V =⨯=.（2）过E 作//Ez PF ，则⊥Ez 面AECD .可以以,,EC EA Ez分别为,,x y z 轴正方向，建立空间坐标系，则()0,0,0,E ()1,0,0,F ()2,0,0,C ()0,3,0,A ()4,3,0,D (3,P ()(0,,0,03M m m ≤≤，所以()0,23,0EA =，(3,3,3PD = ,()4,23,0MD m =因为面AECD ⊥面PCE ，面AECD ⋂面PCE EC =,AE EC ⊥,所以⊥AE 面PCE ，所以()0,23,0EA =为面PCE 的一个法向量.不妨设(),,n x y z = 为面PDM 的一个法向量，则()3233042300PD n x MD n x m y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-+=⎪⎩.设1y =，则2332m m n -+=⎝⎭.由图知：平面PDM 与平面PEC 所成的角为α为锐角，所以22220230cos 8233223144EA nEA nm m m α++⋅==⨯+⎛⎫⎛⎫-+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为余弦函数在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，所以只需α取得最小值，只需cos α最大，只需28m +最小.因为023m ≤≤0m =时，28m +最小.此时，,E M 重合，所以23AM AE ==.20．（12分）【答案】（1）列联表见解析，能；（2）分布列见解析，23【分析】（1）根据题意和表中数据补全列联表，再结合独立性检验公式，即可求解.（2）根据已知条件，可分别求出7、8月份不合格率以及7、8月份首次参加考试的学员概率，从而可列出X 的分布列，并求出数学期望.【解析】（1）由题得合格不合格合计2022年7月205252022年8月101525合计3020502250(2015510)18 3.841252530203K ⋅-⋅==>⋅⋅⋅，∴可以在犯错的概率不超过0.05的前提下认为“驾考新规的实施”对该驾校学员首次参加科目一考试的合格率有影响.（2）由题可知，该地7月份不合格率为51255=，8月份不合格率为153255=，抽取7月份首次参加考试的学员概率为23，抽取8月份首次参加考试的学员概率为13X 可能的取值为0，1，2()2222122421421240C 353355359P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅⋅⋅⋅+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222122121131312C 353355359P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4(1)1(2)(0)9P X P X P X ==-=-==X 012P494919()44120129993E X =⋅+⋅+⋅=.21．（12分）【答案】（1）2214x y +=；（2）【分析】（1）根据焦距及椭圆过点列出方程求解即可；（2）设直线AB 方程为(4)y k x =-，联立方程，由根与系数的关系求出12x x +，12x x ，再由斜率公式直接计算12k k +即可得解.【解析】（1）2c =c ∴=223a b ∴=+，1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 在椭圆上，221314a b ∴+=，解得21b =，24a =，故椭圆的方程为2214x y +=.（2）因为过点()4,0Q 的直线与C 交于A 、B 两点，所以直线AB 斜率存在，设直线AB 方程为(4)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22286)(114x k x x +-+=，即2222(14)326440k x k x k +-+-=，当2222(32)4(14)(644)0k k k ∆=--+->，即2112k <时，21223214k x x k +=+，212264414k x x k-=+，1212121212(4)(4)22221111y y k x k x k k x x x x --+=+=+----121233332211kx k k kx k k x x -----=+--12213333311222(3)()11211k k k k k k x x x x +=-+-=-++----，2221222*********3222112422146443211()13633+11414k x x k k k k x x x x x x k k k -+--++====----++--++，1222(32(23k k k k k k +=-+⋅=-+=-∴12k k ∴+为定值3.22．（12分）【答案】（1）证明见解析；（2）(]1,2【分析】（1）首先求函数的导数()21x g x x -'=，利用导数讨论函数的单调性，并求函数的最小值；即可证明；（2）分三种情况讨论，利用导数讨论函数的最值，求a 的取值范围.【解析】（1）证明：()g x 的定义域为()0,∞+，且()21x g x x -'=，当()0g x '>时，1x >，()0g x '<时，01x <<，所以()g x 在区间（0，1）内单调递减，在区间()1,+∞内单调递增．故()g x 的最小值为()10g =，因此()0g x ≥恒成立．（2）①当01a <<时，取2log ax a <，则()2xf x a a>>，即01a <<不符合题意；②当2a >时，取2log 0ax a <<，则()2x f x a a>>，即2a >不符合题意；③当12a <≤时，由12xxa a a≤+，所以1112x x a a ++≤-，即()111log 2x a a x++≤-对(),0x ∀∈-∞恒成立．令1x t a +=，0t a <<，且log 1a x t =-，所以()()log log 2log log 20a a a a t t t t +---≥对()0,t a ∀∈恒成立．设()()()log log 2log log 2a a a a h t t t t t =+---，0t a <<，则()()()1log 2log 1ln 2ln a a t t h t t a t a ---'=+-，设()()()1log 2log 1ln 2ln a a t t m t t at a---=+-，则()()()()()22222ln 2ln ln ln 2ln 2ln t t t a t a t t t a t t a m -+--+'=--+-，由（1）知2ln ln 202t tg t t -⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，所以2ln ln ln 2ln 0tt a a t-+-≥-≥，同理，由202t g -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭可推出()ln 2ln 02t t a t +--≥-，所以()0m t '≥，即()h t '在()0,t a ∈上单调递增，又()10h '=，所以()h t 在（0，1）内单调递减，在()1,a 内单调递增，故()()10h t h ≥=成立．综上a 的取值范围为(]1,2．。
高考数学模拟试卷(理科)-Word版含解析
云南省多校联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设P、Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P且x∉Q}为P、Q的“差集”，已知P={x|1﹣＜0}，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|2≤x＜3}2．已知（a﹣i）2=﹣2i，其中i是虚数单位，a是实数，则|ai|=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣23．同时具有性质：①图象的相邻两条对称轴间的距离是；②在[﹣，]上是增函数的一个函数为（）A．y=sin（+）B．y=cos（2x+） C．y=sin（2x﹣）D．y=cos（﹣）4．若向量=（1，﹣2），=（2，1），=（﹣4，﹣2），则下列说法中正确的个数是（）①⊥；②向量与向量的夹角为90°；③对同一平面内的任意向量，都存在一对实数k1，k2，使得=k1+k2．A．3 B．2 C．1 D．05．已知函数f（x）=f（log23）的值为（）A．B．C．D．6．直线l：y=k（x+）与曲线C：x2﹣y2=1（x＜0）相交于P，Q两点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．（，）∪（，）B．（，）C．（0，）∪（，π）D．[0，π）7．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b分别为36，28，则输出的a=（）A．4 B．8 C．12 D．208．某几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的表面积为（）A．B．C． +4+D．π+8+9．图所示的阴影部分由坐标轴、直线x=1及曲线y=e x﹣lne围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在非阴影区域的概率是（）A．B． C．1﹣D．1﹣10．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC的外接圆面积与内切圆面积的比值为（）A．4 B．2 C．D．111．已知A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C在第一象限的公共点，其中圆心C（0，4），点A到M的焦点F的距离与C的半径相等，M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值等于C的直径，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（）A．2 B．2 C．D．12．已知函数f（x）=x2﹣tcosx．若其导函数f′（x）在R上单调递增，则实数t的取值范围为（）A．[﹣1，﹣]B．[﹣，]C．[﹣1，1]D．[﹣1，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（1﹣2x）2017=a0+a1x+…a2017x2017（x∈R），则++…+的值为．14．已知等差数列{a n}满足：a1+a5=4，则数列{2}的前5项之积为（用数字作答）15．设实数x ，y 满足约束条件若目标函数z=ax +by （a ＞0，b ＞0）的最大值为2，记m 为+的最小值，则y=sin （mx +）的最小正周期为 ．16．已知三棱锥O ﹣ABC 中，A ，B ，C 三点均在球心O 的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，若球O 的体积为，则三棱锥O ﹣ABC 的体积是 ．三、解答题（共70分）17．（12分）已知函数f （x ）=，函数y=f （x ）﹣在（0，+∞）上的零点按从小到大的顺序构成数列{a n }（n ∈N*） （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =，求数列{b n }的前n 项和S n ．18．（12分）拖延症总是表现在各种小事上，但日积月累，特别影响个人发展，某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中，随机发放了110份问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表：（Ⅰ）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从40份女生问卷中抽取了8份问卷，现从这8份问卷中再随机抽取3份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为X ，试求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若在犯错误的概率不超过P 的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P 的值应为多少？请说明理由附：独立性检验统计量K 2=，n=a +b +c +d19．（12分）如图，在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC ，AE ⊥平面ABC ，且△ABC 是的边长为4的等边三角形，AE=2，CD与平面ABDE所成角的余弦值为，F是线段CD上一点．（Ⅰ）若F是线段CD的中点，证明：平面CDE⊥面DBC；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，P是椭圆C上任意一点，且点P到椭圆C的一个焦点的最大距离等于+1（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于不同两点A，B，设N为椭圆上一点，是否存在整数t，使得t•=+（其中O为坐标原点）？若存在，试求整数t的所有取值；若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax2﹣ex+b，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线f（x）在y轴上的截距为﹣1，且在点x=1处的切线垂直于直线y=x，求实数a，b的值；（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x），g（x）在区间[0，1]上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）．倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l与曲线C交于M，N两点（Ⅰ）写出直线l的参数方程的标准形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|，x∈R（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求实数a的最小值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知正实数m，n，p满足m+2n+3p=M，求++的最小值．2017年云南省曲靖一中等多校联考高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设P、Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P且x∉Q}为P、Q的“差集”，已知P={x|1﹣＜0}，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|2≤x＜3}【考点】元素与集合关系的判断；绝对值不等式的解法．【分析】首先分别对P，Q两个集合进行化简，然后按照P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，求出P ﹣Q即可．【解答】解：∵化简得：P={x|0＜x＜2}而Q={x||x﹣2|＜1}化简得：Q={x|1＜x＜3}∵定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，∴P﹣Q={x|0＜x≤1}故选B【点评】本题考查元素与集合关系的判断，以及绝对值不等式的解法，考查对集合知识的熟练掌握，属于基础题．2．已知（a﹣i）2=﹣2i，其中i是虚数单位，a是实数，则|ai|=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．【解答】解：（a﹣i）2=﹣2i，其中i是虚数单位，a是实数，∴a2﹣1﹣2ai=﹣2i，∴a2﹣1=0，﹣2a=﹣2，∴a=1．则|ai|=|i|=1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．同时具有性质：①图象的相邻两条对称轴间的距离是；②在[﹣，]上是增函数的一个函数为（）A．y=sin（+）B．y=cos（2x+） C．y=sin（2x﹣）D．y=cos（﹣）【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意求出函数周期，可知满足条件的函数是选项B或C，再由在[﹣，]上是增函数进一步判断只有C符合．【解答】解：由图象的相邻两条对称轴间的距离是，可知，T=π，选项B、C满足．由x∈[﹣，]，得2x∈[0，π]，函数y=cos（2x+）为减函数，不合题意．由x∈[﹣，]，得2x﹣∈[，]，函数y=sin（2x﹣）为增函数，符合合题意．故选：C．【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．4．若向量=（1，﹣2），=（2，1），=（﹣4，﹣2），则下列说法中正确的个数是（）①⊥；②向量与向量的夹角为90°；③对同一平面内的任意向量，都存在一对实数k1，k2，使得=k1+k2．A．3 B．2 C．1 D．0【考点】向量在几何中的应用．【分析】运用向量垂直的条件：数量积为0，计算即可判断①②；由向量共线定理，可得，共线，由平面向量基本定理，即可判断③．【解答】解：向量=（1，﹣2），=（2，1），=（﹣4，﹣2），由•=1×2+（﹣2）×1=0，可得⊥，故①正确；由•=1×（﹣4）+（﹣2）×（﹣2）=0，可得⊥，故②正确；由=﹣2可得，共线，由平面向量基本定理，可得对同一平面内的任意向量，不都存在一对实数k1，k2，使得=k1+k2．故③错误．综上可得，正确的个数为2．故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的性质，主要是向量垂直的条件：数量积为0，考查平面向量基本定理的运用以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于基础题．5．已知函数f（x）=f（log23）的值为（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用．【分析】根据log23的范围循环代入分段函数的下段，当满足自变量的值大于等于3时代入f（x）的解析式求值．【解答】解：由f（x）=，∵log23＜3，∴f（log23）=f（log23+1）=f（log26），由log26＜3，∴f（log26）=f（log26+1）=f（log212），∵log212＞3，∴f（log23）=f（log212）==．故选：C．【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了分段函数的函数值的求法，关键是注意适用范围，是基础题．6．直线l：y=k（x+）与曲线C：x2﹣y2=1（x＜0）相交于P，Q两点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．（，）∪（，）B．（，）C．（0，）∪（，π）D．[0，π）【考点】直线与双曲线的位置关系．【分析】首先根据题意直线l：y=k（x+）与曲线x2﹣y2=1（x＜0）相交于A、B两点，进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果．【解答】解：曲线x2﹣y2=1（x＜0）的渐近线方程为：y=±x直线l：y=k（x+）与相交于A、B两点所以：直线的斜率k＞1或k＜﹣1α∈（，）由于直线的斜率存在：倾斜角a≠，故直线l的倾斜角的取值范围是（，）∪（，）故选：A．【点评】本题考查的知识要点：直线与双曲线的关系，直线的斜率和渐近线的斜率的关系．7．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b分别为36，28，则输出的a=（）A．4 B．8 C．12 D．20【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=4，b=4时，不满足条件a≠b，退出循环，输出a的值．【解答】解：第一次循环，a=36，b=28，a＞b，a=8；第二次循环，a=8，b=28，a＜b，b=20；第三次循环，a=8，b=20，a＜b，b=12；第四次循环，a=8，b=12，a＜b，b=4，第五次循环，a=8，b=4，a＞b，a=4，第六次循环，a=4，b=4，a=b，不满足条件a≠b，退出循环，输出a=4，故选：A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的a，b的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．某几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的表面积为（）A．B．C． +4+D．π+8+【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆锥与一个四棱锥组合而成的几何体，进而可得答案．【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆锥与一个四棱锥组合而成的几何体，其表面积由半圆锥的曲面，底面及四棱锥的底面，前，后，右侧面组成，∵其侧视图是一个等边三角形，∴半圆锥的底面半径为1，高为，故圆锥的母线长为：2，故半圆锥的底面面积为：，曲侧面面积为：π，四棱锥的底面面积为：4，前后侧面均为腰长为2的等腰直角三角形，面积均为：2，右侧面是腰为2，底为2的等腰三角形，面积为：，故组合体的表面积为：π+8+，故选：D【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，圆锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．9．图所示的阴影部分由坐标轴、直线x=1及曲线y=e x﹣lne围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在非阴影区域的概率是（）A．B． C．1﹣D．1﹣【考点】定积分；几何概型．【分析】求出阴影部分的面积，以面积为测度，即可得出结论．【解答】解：由题意，阴影部分的面积为（e x﹣1）dx=（e x﹣x）|=e﹣2，∵矩形区域OABC的面积为e﹣1，∴该点落在阴影部分的概率是=1﹣．故选D．【点评】本题考查概率的计算，考查定积分知识的运用，属于中档题．10．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC的外接圆面积与内切圆面积的比值为（）A．4 B．2 C．D．1【考点】余弦定理．【分析】（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，（b+c）2﹣a2=3bc，化为：b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得A=．sinA=2sinBcosC，利用正弦定理与余弦定理可得：b=c．因此△ABC是等边三角形．即可得出．【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，∴（b+c）2﹣a2=3bc，化为：b2+c2﹣a2=bc．∴cosA==，A∈（0，π），∴A=．∵sinA=2sinBcosC，∴a=2b×，化为：b=c．∴△ABC是等边三角形．那么△ABC的外接圆面积与内切圆面积的比值==4．故选：A．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C在第一象限的公共点，其中圆心C（0，4），点A到M的焦点F的距离与C的半径相等，M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值等于C的直径，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（）A．2 B．2 C．D．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，设出A，C，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得a，求得C到直线OA的距离，运用圆的弦长公式计算即可得到所求值．【解答】解：圆C：x2+（y﹣4）2=a2的圆心C（0，4），半径为a，则|AC|+|AF|=2a，由抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a，可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，由C（0，4），F（，0），可得A（，2），代入抛物线的方程可得，4=2p•，解得p=2，即有a=+=，A（，2），可得C到直线OA：y=2x的距离为d==，可得直线OA被圆C所截得的弦长为2=，直线OA被圆C所截得的弦长为，故选D【点评】本题考查圆的弦长的求法，注意运用抛物线的定义和三点共线和最小，同时考查弦长公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．12．已知函数f（x）=x2﹣tcosx．若其导函数f′（x）在R上单调递增，则实数t的取值范围为（）A．[﹣1，﹣]B．[﹣，]C．[﹣1，1]D．[﹣1，]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求导数f′（x）=x+tsinx，并设g（x）=f′（x），并求出g′（x）=1+tcosx，由f′（x）在R上单调递增即可得出tcosx≥﹣1恒成立，这样即可求出t的取值范围．【解答】解：f′（x）=x+tsinx，设g（x）=f′（x）；∵f′（x）在R上单调递增；∴g′（x）=1+tcosx≥0恒成立；∴tcosx≥﹣1恒成立；∵cosx∈[﹣1，1]；∴；∴﹣1≤t≤1；∴实数t的取值范围为[﹣1，1]．故选：C．【点评】考查基本初等函数的求导公式，函数的单调性和函数导数符号的关系．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（1﹣2x）2017=a0+a1x+…a2017x2017（x∈R），则++…+的值为﹣1．【考点】二项式定理的应用．【分析】由（1﹣2x）2017=a0+a1x+…a2017x2017（x∈R），令x=0，可得1=a0．令x=，可得0=1+++…+，即可得出．【解答】解：由（1﹣2x）2017=a0+a1x+…a2017x2017（x∈R），令x=0，可得1=a0．令x=，可得0=1+++…+，∴++…+=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了二项式定理的应用、方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知等差数列{a n}满足：a1+a5=4，则数列{2}的前5项之积为1024（用数字作答）【考点】数列的求和．【分析】根据等差数列的性质可得a1+a5=a2+a4=2a3=4，即可求出前5项和，再根据指数幂的运算性质即可求出答案．【解答】解：∵等差数列{a n}满足：a1+a5=4，∴a1+a5=a2+a4=2a3=4，∴a1+a5+a2+a4+a3=4+4+2=10，∴数列{2}的前5项之积为2=210=1024，故答案为：1024【点评】本题考查了等差数列的性质和指数幂的运算性质，属于中档题15．设实数x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，记m 为+的最小值，则y=sin （mx +）的最小正周期为 π ．【考点】简单线性规划．【分析】首先根据线性规划问题和基本不等式求出函数的最值，再利用正弦型函数的最小正周期，求出结果．【解答】解：设x 、y 的线性约束条件，如图所示：解得A （1，1）目标函数z=ax +by （a ＞0，b ＞0）的最大值为2， 即：a +b=2，所以： +=≥2，则y=sin （2x +）的最小正周期为π，故答案为：π．【点评】本题考查的知识要点：线性规划问题，基本不等式的应用，正弦型函数的最小正周期，属于基础题型．16．已知三棱锥O ﹣ABC 中，A ，B ，C 三点均在球心O 的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，若球O 的体积为，则三棱锥O ﹣ABC 的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【分析】由已知条件可求出AC ，求出△ABC 的面积，设球半径为R ，由球的体积可解得R ，再设△ABC 的外接圆的圆心为G ，进一步求出OG ，则三棱锥O ﹣ABC 的体积可求．【解答】解：三棱锥O ﹣ABC 中，A ，B ，C 三点均在球心O 的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，则AC=，∴，设球半径为R ，由球的体积，解得R=4．设△ABC的外接圆的圆心为G，∴外接圆的半径为GA=，∴OG=．∴三棱锥O﹣ABC的体积是=．故答案为：．【点评】本题考查球的有关计算问题，考查棱锥的体积，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．三、解答题（共70分）17．（12分）（2017•曲靖模拟）已知函数f（x）=，函数y=f（x）﹣在（0，+∞）上的零点按从小到大的顺序构成数列{a n}（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据二倍角公式先化简得到f（x）=tanx，再根据函数零点定理可得x=+kπ，k∈Z，即可得到数列的通项公式，（Ⅱ）化简bn=（﹣），再裂项求和即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）===tanx，∵y=f（x）﹣=0，∴tanx=，∴x=+kπ，k∈Z，∵函数y=f（x）﹣在（0，+∞）上的零点按从小到大的顺序构成数列{a n}，∴a n=+（n﹣1）π，（Ⅱ）b n====（﹣），∴数列{b n }的前n 项和S n =（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=【点评】本题考查了三角函数的化简和函数零点定理以及数列的通项公式和裂项法求前n 项和，属于中档题18．（12分）（2017•曲靖模拟）拖延症总是表现在各种小事上，但日积月累，特别影响个人发展，某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中，随机发放了110份问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表：（Ⅰ）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从40份女生问卷中抽取了8份问卷，现从这8份问卷中再随机抽取3份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为X ，试求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若在犯错误的概率不超过P 的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P 的值应为多少？请说明理由 附：独立性检验统计量K 2=，n=a +b +c +d【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验．【分析】（1）分层从40份女生问卷中抽取了8份问卷，有明显拖延症6人，“无明显拖延症2人，若从这8份问卷中随机抽取3份，随机变量X=0，1，2．利用“超几何分布”即可得出分布列及其数学期望；（2）根据“独立性检验的基本思想的应用”计算公式可得K2的观测值k，即可得出．【解答】解：（1）从40份女生问卷中抽取了8份问卷，有明显拖延症6人，“无明显拖延症2人．…（2分）则随机变量X=0，1，2，…（3分） ∴P （X=0）==；P （X=1）==，P （X=2）==…（6分）分布列为…（7分）E（X）=0×+1×+2×=．…（8分）（2）K2=≈2.930 …（10分）由表可知2.706＜2.93＜3.840；∴P=0.10．…（12分）【点评】本题考查了组合数的计算公式、古典概率计算公式、“超几何分布”分布列及其数学期望公式、“独立性检验的基本思想的应用”计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•曲靖模拟）如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，且△ABC是的边长为4的等边三角形，AE=2，CD与平面ABDE所成角的余弦值为，F是线段CD上一点．（Ⅰ）若F是线段CD的中点，证明：平面CDE⊥面DBC；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AB中点O，连结OC，OD，取ED的中点为M，以O为原点，OC为x 轴，OB为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面CDE⊥平面DBC．（Ⅱ）求出平面DEC 的一个法向量和平面BCE的一个法向量，利用向量法能求出二面角B ﹣EC﹣D的平面角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AB中点O，连结OC，OD，∵DB⊥平面ABC，DB⊂平面ABDE，∴平面ABDE⊥平面ABC，∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，又OC⊂平面ABC，平面ABDE∩平面ABC=AB，∴OC⊥平面ABD，∴OD是CD在平面ABDE上的射影，∠CDO是CD与平面ABDE所成角，∵CD与平面ABDE所成角的余弦值为，∴CD 与平面ABDE 所成角的正弦值为，∴sin ，∵OC=2，∴CD=4，BD=4，取ED 的中点为M ，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OM 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，﹣2，0），B （0，2，0），C （2，0，0），D （0，2，4），E （0，﹣2，2），F （，1，2），∴=（），=（2，﹣2，0），=（0，0，4），∴，，∴EF ⊥BC ，EF ⊥BD ，∵DB ，BC ⊂平面DBC ，且DB ∩BC=B ， ∴∴EF ⊥平面DBC ，又EF ⊂平面BDF ， ∴平面CDE ⊥平面DBC ．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当F 是线段CD 的中点时，得BF ⊥平面DEC ，又=（），则可取平面DEC 的一个法向量==（），设平面BCE 的一个法向量=（x ，y ，z ），=（2，﹣2，0），=（2，2，﹣2），则，取x=1，得=（1，），则cos ＜＞===，sin ＜＞=，∴二面角B ﹣EC ﹣D 的平面角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．20．（12分）（2017•曲靖模拟）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，P是椭圆C上任意一点，且点P到椭圆C的一个焦点的最大距离等于+1（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于不同两点A，B，设N为椭圆上一点，是否存在整数t，使得t•=+（其中O为坐标原点）？若存在，试求整数t的所有取值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的定义．【分析】（Ⅰ）由离心率为，可得a2=2b2，代入点（0，﹣1），可求解a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设出直线方程，和椭圆联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求出k的范围，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，代入t•=+后得到P 点的坐标，把P点坐标代入椭圆方程后得到t与k的关系，由k的范围确定t的范围，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题知离心率为，所以a2=2b2．又因为点P到椭圆C的一个焦点的最大距离等于+1，所以a+c=+1，所以b2=1，a2=2．故C的方程为=1…（3分）（Ⅱ）由题意知直线直线AB的斜率存在．设AB方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由y=k（x﹣2）代入=1，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．△=64k2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，∴k2＜．…x1+x2=，x1x2=，∵t•=+，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）．∴x=，y=﹣．…（8分）∵点N在椭圆上，∴[]2+2•[﹣]=2，∴16k2=t2（1+2k2），∴t2=＜4，∴﹣2＜t＜2．∴整数t值为﹣1，0，1．…（12分）【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量的坐标运算，训练了利用代入法求解变量的取值范围．属中档题．21．（12分）（2017•曲靖模拟）设函数f（x）=e x﹣ax2﹣ex+b，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线f（x）在y轴上的截距为﹣1，且在点x=1处的切线垂直于直线y=x，求实数a，b的值；（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x），g（x）在区间[0，1]上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）将（0，﹣1），代入f（x），即可求得b的值，求导，由f′（1）=﹣2，即可求得a的值；（Ⅱ）求导，g′（x）=e x﹣2a，分类分别取得g（x）在区间[0，1]上的最小值h（a）解析式，根据函数的单调性即可求得h（a）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线f（x）在y轴上的截距为﹣1，则过点（0，﹣1），代入f（x）=e x﹣ax2﹣ex+b，则1+b=﹣1，则b=﹣2，求导f′（x）=e x﹣2ax﹣e，由f′（1）=﹣2，即e﹣2a﹣e=﹣2，则a=1，∴实数a，b的值分别为1，﹣2；（Ⅱ）f（x）=e x﹣ax2﹣ex+b，g（x）=f′（x）=e x﹣2ax﹣e，g′（x）=e x﹣2a，（1）当a≤时，∵x∈[0，1]，1≤e x≤e，∴2a≤e x恒成立，即g′（x）=e x﹣2a≥0，g（x）在[0，1]上单调递增，∴g（x）≥g（0）=1﹣e．（2）当a＞时，∵x∈[0，1]，1≤e x≤e，∴2a＞e x恒成立，即g′（x）=e x﹣2a＜0，g（x）在[0，1]上单调递减，∴g（x）≥g（1）=﹣2a（3）当＜a≤时，g′（x）=e x﹣2a=0，得x=ln（2a），g（x）在[0，ln2a]上单调递减，在[ln2a，1]上单调递增，所以g（x）≥g（ln2a）=2a﹣2aln2a﹣e，∴h（a）=，∴当a≤时，h（a）=1﹣e，当＜a≤时，h（a）=2a﹣2aln2a﹣e，求导，h′（a）=2﹣2ln2a﹣2=2ln2a，由＜a≤时，h′（a）＜0，∴h（a）单调递减，h（a）∈（1﹣e，﹣e]，当a＞时，h（a）=﹣2a，单调递减，h（a）∈（﹣∞，﹣e），h（a）的最大值1﹣e．【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，函数的最值的求法，考查计算能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•曲靖模拟）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）．倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l与曲线C交于M，N两点（Ⅰ）写出直线l的参数方程的标准形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）由倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l的参数方程为：．曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+），展开：ρ2=2×（sinθ+cosθ），利用互化公式可得直角坐标方程．（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程为：t2﹣t﹣1=0，可得+=+==即可得出．【解答】解：（I）由倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l的参数方程为：，化为：．曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+），展开：ρ2=2×（sinθ+cosθ），可得直角坐标方程：x2+y2=2x+2y．（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程为：t2﹣t﹣1=0，t1+t2=1，t1t2=﹣1．∴+=+====．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•曲靖模拟）已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|，x∈R（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求实数a的最小值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知正实数m，n，p满足m+2n+3p=M，求++的最小值．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求出f（x）的最小值，即可求实数a的最小值M；（Ⅱ）利用柯西不等式，即可求++的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|≥|a﹣2|，∵关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，∴|a﹣2|≤a，∴a≥1，∴实数a的最小值M=1；（Ⅱ）m+2n+3p=1， ++=（++）（m+2n+3p）≥（+2+）2=16+8，∴++的最小值为16+8．【点评】本题考查绝对值不等式的运用，考查柯西不等式在最值中的应用，考查计算能力．。
高考数学模拟试卷附答案解析
高考数学模拟试卷附答案解析请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且满足f(x)=f(2一x)，当x e[0,1]时，f(x)=x，则函数F(x)=f(x)+x+4在区间[一9,10]上零点的个数为() 1一2xA．9B．10C．18D．202．如图，ABC中经A=2经B=60。
，点D在BC上，经BAD=30。
，将△ABD沿AD旋转得到三棱锥B,一ADC，分别记B,A，B,D与平面ADC所成角为C，β,则C，β的大小关系是()A．C<β<2C B．2C<β<3CC.β<2C，2C<β<3C两种情况都存在D．存在某一位置使得β>3a3．为计算S=1一2x2+3x22一4x23+...+100x(一2)99，设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入()A．i<100B．i>100C．i<100D．i之1004．已知定义在[1,+伪)上的函数f(x)满足f(3x)=3f(x)，且当1<x<3时，f(x)=1一x一2，则方程f (x )=f (2019)的最小实根的值为()A ．168B ．249C ．411D ．5615．已知抛物线C :x 2=4y ,过抛物线C 上两点A ,B 分别作抛物线的两条切线PA ,PB ,P 为两切线的交点O 为坐标原点若PA .PB =0,则直线OA 与OB 的斜率之积为()11A ．—-B ．—3C ．—-486．在复平面内，复数z =a +bi （a ，b e R ）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ =r ，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ,则z =r (cos θ+isin θ)，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z 1=r (cos θ+isin θ)，111z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1z 2=r 2cos r (cos θ+isin θ)n =r n (cos n θ+isinn θ)(θ+θ)+isin (θ+121,已知z =(3+i )4θ2)，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：,则z =()A ．23B ．4C ．83D ．167．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18C ．240，208．直角坐标系xOy 中，双曲线边三角形，则该双曲线的离心率x 2y 2—a 2b 2e =()A .43B .54B ．200，20D ．200，18=1（a ，b >0）与抛物线y 2=2bx?相交于A 、B 两点，若ΔOAB 是等C .65D .76119．在平行四边形ABCD 中，AB =3,AD =2,AP =AB,AQ =AD,若CP .CQ =12,则经ADC =()32A .5π6B .3π4C .2π3D .π210．在ABC 中，角A ,B,C 的对边分别为a ,b,c ，若c —a cos B =(2a —b)cos A ，则ABC 的形状为()D ．—4A ．直角三角形C ．等腰或直角三角形B ．等腰非等边三角形D ．钝角三角形11．若复数z =21+i,其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是()A ．z 的虚部为-iB ．z =2C ．z 的共轭复数为-1-iD ．z 2为纯虚数12．下图为一个正四面体的侧面展开图，G 为BF 的中点，则在原正四面体中，直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为()A .C .3336B .D .63336二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学模拟试题含解析 试题
2021届新高考数学模拟试题〔含解析〕一、单项选择题1.集合1|244xA x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，1|lg 10B y y x x ⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭,，那么AB =〔 〕A. []22-,B. (1,)+∞C. (]1,2-D.(](1)2-∞-⋃+∞,,【答案】C 【解析】 【分析】先解得不等式1244x ≤≤及110x >时函数lg y x =的值域,再根据交集的定义求解即可. 【详解】由题,不等式1244x ≤≤,解得22x -≤≤,即{}|22A x x =-≤≤； 因为函数lg y x =单调递增,且110x >,所以1y >-,即{}|1B y y =>-, 那么(]1,2A B ⋂=-, 应选:C【点睛】此题考察集合的交集运算,考察解指数不等式,考察对数函数的值域. 2.设i 是虚数单位，假设复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，那么a 的值是〔 〕 A. 3- B. 3C. 1D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】整理复数为b ci +的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.【详解】由题,()()()()5252112222i i ia a a i a i i i i -+=+=++=++++-, 因为纯虚数,所以10a +=,那么1a =-, 应选:D【点睛】此题考察复数的类型求参数范围,考察复数的除法运算. 3.“2a <〞是“10,x a x x∀>≤+〞的〔 〕 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】假设10,x a x x ∀>≤+,那么min 1a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,利用均值定理可得min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,那么2a ≤,进而判断命题之间的关系.【详解】假设10,x a x x ∀>≤+,那么min 1a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,因为12x x +≥,当且仅当1x x=时等号成立, 所以2a ≤,因为{}{}|2|2a a a a <⊆≤, 所以“2a <〞是“10,x a x x∀>≤+〞的充分不必要条件, 应选:A【点睛】此题考察充分条件和必要条件的断定,考察利用均值定理求最值. 4.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如下图.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的选项是〔 〕 A. ③④ B. ①②C. ②④D. ①③④【答案】A 【解析】 【分析】由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④. 【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为8082812+=,乙同学成绩的中位数为878887.52+=,故①错误； ()1=72+76+80+82+86+90=816x ⨯甲,()1=69+78+87+88+92+96=856x ⨯乙,那么x x <甲乙,故②错误,③正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确, 应选:A【点睛】此题考察由茎叶图分析数据特征,考察由茎叶图求中位数、平均数.5.刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割，那么与圆周合体而无所失矣〞，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如下图)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2的近似值为〔 〕A.π90B.π180C.π270D.π360【答案】A 【解析】 【分析】设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n︒,那么每个等腰三角形的面积为21360sin 2r n ︒,由割圆术可得圆的面积为221360sin 2r n r n π︒=⋅,整理可得3602sin n nπ︒=,当180n =时即可为所求.【详解】由割圆术可知当n 变得很大时,这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n︒, 所以每个等腰三角形的面积为21360sin 2r n ︒, 所以圆的面积为221360sin 2r n r n π︒=⋅,即3602sin n n π︒=,所以当180n =时,可得3602sin sin 218018090ππ︒=︒==, 应选:A【点睛】此题考察三角形面积公式的应用,考察阅读分析才能. 6.函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A. ()1,3 B. ()1,2C. ()0,3D. ()0,2【答案】C【解析】 【分析】显然函数()22xf x a x=--在区间()1,2内连续,由()f x 的一个零点在区间()1,2内,那么()()120f f <,即可求解.【详解】由题,显然函数()22xf x a x=--在区间()1,2内连续,因为()f x 的一个零点在区间()1,2内,所以()()120f f <,即()()22410a a ----<,解得0<<3a , 应选:C【点睛】此题考察零点存在性定理的应用,属于根底题.7.圆()22:200M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是，那么圆M 与圆()()22:111N x y -+-=的位置关系是〔 〕 A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离【答案】B 【解析】化简圆()()2221:0,,M x y a a M a r a M +-=⇒=⇒到直线0x y +=的间隔d =⇒ ()221220,2,2a a M r +=⇒=⇒=，又()2121,1,1N r MN r r MN =⇒=⇒-<< 12r r +⇒两圆相交. 选B8.?九章算术?中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为〔 〕A.4π3B.82π3C.32π3D.642【答案】B 【解析】 【分析】利用均值不等式可得()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=,即可求得AB ,进而求得外接球的半径,即可求解. 【详解】由题意易得BC ⊥平面11ACC A , 所以()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=, 当且仅当AC BC =时等号成立, 又阳马11B ACC A -体积的最大值为43, 所以2AB =,所以堑堵111ABC A B C -的外接球的半径221222AA AB R ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以外接球的体积348233V r π==, 应选:B【点睛】此题以中国传统文化为背景,考察四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、根本不等式的应用,表达了数学运算、直观想象等核心素养.二、多项选择题9.以下函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是〔 〕A. 3)y x =B. e e x xy -=+ C. 21y x =+ D. cos 3y x =+【答案】BC 【解析】 【分析】易知A,B,C,D 四个选项里面的函数的定义域均为R ,先利用()f x -与()f x 的关系判断奇偶性,再判断单调性,即可得到结果.【详解】由题,易知A,B,C,D 四个选项里面的函数的定义域均为R ,对于选项A,()()))ln3ln30f x f x x x -+=+=,那么()3)f x x =为奇函数,故A 不符合题意；对于选项B,()()xx f x ee f x --=+=,即()e e x x f x -=+为偶函数,当(0,)x ∈+∞时,设()1xt et =>,那么1y t t=+,由对勾函数性质可得,当()1,t ∈+∞时是增函数,又x t e =单调递增,所以()e e xxf x -=+在(0,)+∞上单调递增,故B 符合题意； 对于选项C,()()()2211f x x x f x -=-+=+=,即()21f x x =+为偶函数,由二次函数性质可知对称轴为0x =,那么()21f x x =+在(0,)+∞上单调递增,故C 符合题意；对于选项D,由余弦函数的性质可知cos 3y x =+是偶函数,但在(0,)+∞不恒增,故D 不符合题意； 应选:BC【点睛】此题考察由解析式判断函数的奇偶性和单调性,纯熟掌握各函数的根本性质是解题关键.10.2((0)n ax a+>的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，那么以下说法正确的选项是〔 〕 A. 展开式中奇数项的二项式系数和为256 B. 展开式中第6项的系数最大 C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含15x 项的系数为45 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知10n =,由展开式的各项系数之和为1024可得1a =,那么二项式为10101222x x x-⎛⎫⎛+=+ ⎪ ⎝⎝⎭,易得该二项式展开式的二项式系数与系数一样,利用二项式系数的对称性判断A,B ；根据通项判断C,D 即可. 【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知10n =, 又展开式的各项系数之和为1024,即当1x =时,()1011024a +=,所以1a =,所以二项式为10101222x x x-⎛⎫⎛+=+ ⎪ ⎝⎝⎭, 那么二项式系数和为1021024=,那么奇数项的二项式系数和为110245122⨯=,故A 错误； 由10n =可知展开式一共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大, 因为2x 与12x -的系数均为1,那么该二项式展开式的二项式系数与系数一样,所以第6项的系数最大,故B 正确；假设展开式中存在常数项,由通项()12102110r r r r TC xx--+=可得()121002r r --=,解得8r =,故C 正确； 由通项()12102110r r r r TC xx--+=可得()1210152r r --=,解得2r ,所以系数为21045C =,故D 正确, 应选: BCD【点睛】此题考察二项式的定理的应用,考察系数最大值的项,考察求指定项系数,考察运算才能.11.在ABC 中，D 在线段AB 上，且5,3AD BD ==假设2,cos CB CD CDB =∠=，那么〔 〕 A. 3sin 10CDB ∠=B. ABC 的面积为8C. ABC 的周长为8+D. ABC 为钝角三角形【答案】BCD 【解析】 【分析】由同角的三角函数关系即可判断选项A ；设CD a =,那么2BC a =,在BCD 中,利用余弦定理求得a ,即可求得DBC S △,进而求得ABCS,即可判断选项B ；在ADC 中,利用余弦定理求得AC ,进而判断选项C ；由BC 为最大边,利用余弦定理求得cos C ,即可判断选项D.【详解】因为cos CDB ∠=,所以sin CDB ∠==,故A 错误； 设CD a =,那么2BC a =,在BCD 中,2222cos BC CD BD BC CD CDB =+-⋅⋅∠,解得a =所以11sin 3322DBCSBD CD CDB =⋅⋅∠=⨯=, 所以3583ABCDBCSS +==,故B 正确；因为ADC CDB π∠=-∠,所以()cos cos cos ADC CDB CDB π∠=-∠=-∠=,在ADC 中,2222cos AC AD CD AD DC ADC =+-⋅⋅∠,解得25AC =, 所以()352525845ABCCAB AC BC =++=+++=+,故C 正确；因为8AB =为最大边,所以2223cos 025BC AC AB C BC AC +-==-<⋅,即C ∠为钝角,所以ABC 为钝角三角形,故D 正确.应选:BCD【点睛】此题考察利用余弦定理解三角形,考察三角形面积的公式的应用,考察判断三角形的形状.12.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，那么以下说法正确的选项是〔 〕A. 假设2PB PE =，那么//EF 平面PACB. 假设2PB PE =，那么四棱锥P ABCD -的体积是三棱锥E ACB -体积的6倍C. 三棱锥P ADC -中有且只有三个面是直角三角形D. 平面BCP ⊥平面ACE 【答案】AD 【解析】 【分析】利用中位线的性质即可判断选项A ；先求得四棱锥P ABCD -的体积与四棱锥E ABCD-的体积的关系,再由四棱锥E ABCD -的体积与三棱锥E ABC -的关系进而判断选项B ；由线面垂直的性质及勾股定理判断选项C ；先证明AC ⊥平面BCP ,进而证明平面BCP ⊥平面ACE ,即可判断选项D.【详解】对于选项A,因为2PB PE =,所以E 是PB 的中点, 因为F 是AB 的中点,所以//EF PA ,因为PA ⊂平面PAC ,EF ⊄平面PAC ,所以//EF 平面PAC ,故A 正确； 对于选项B,因为2PB PE =,所以2P ABCD E ABCD V V --=, 因为//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===, 所以梯形ABCD 的面积为()()113121222CD AB AD +⋅=⨯+⨯=,1121122ABCS AB AD =⋅=⨯⨯=,所以32E ABCD E ABC V V --=,所以3P ABCD E ABC V V --=,故B 错误；对于选项C,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,PC CD ⊥,所以PAC ,PCD 为直角三角形,又//,AB CD AB AD ⊥,所以AD CD ⊥,那么ACD 为直角三角形, 所以222222PA PC AC PC AD CD =+=++,222PD CD PC =+, 那么222PA PD AD =+,所以PAD △是直角三角形, 故三棱锥P ADC -的四个面都是直角三角形,故C 错误； 对于选项D,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,在Rt ACD 中,AC =在直角梯形ABCD 中,BC ==,所以222AC BC AB +=,那么AC BC ⊥,因为BC PC C ⋂=,所以AC ⊥平面BCP , 所以平面BCP ⊥平面ACE ,故D 正确, 应选:AD【点睛】此题考察线面平行的断定,考察面面垂直的判断,考察棱锥的体积,考察空间想象才能与推理论证才能.三、填空题.13.向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且a b ⊥，那么实数m 的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据a b ⊥即可得出220a b m ⋅=-=，从而求出m 的值． 【详解】解：∵a b ⊥； ∴220a b m ⋅=-=； ∴m ＝1． 故答案为：1．【点睛】此题考察向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．14.数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，那么数列{}n a 的通项公式为___．【答案】2,143,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】 【分析】由题意，根据数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系，即可求得数列的通项公式．【详解】由题意，可知当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，()221221143n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-. 又因为11a =不满足43n a n =-，所以2,143,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.【点睛】此题主要考察了利用数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．15.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，那么双曲线C 的离心率为________.【解析】 【分析】由等腰三角形及双曲线的对称性可知121F F PF =或者122F F PF =,进而利用两点间间隔 公式求解即可.【详解】由题设双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -,()2,0F c , 因为左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点,当122F F PF =时,2c =,由222b c a =-可得222430c ac a +-=,等式两边同除2a 可得22430e e +-=,解得212e =<〔舍〕；当121F F PF =时,2c =由222b c a =-可得222430c ac a --=,等式两边同除2a 可得22430e e --=,解得22e =,故答案为【点睛】此题考察求双曲线的离心率,考察双曲线的几何性质的应用,考察分类讨论思想. 16.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，那么不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________． 【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】根据条件构造函数F 〔x 〕()xf x e=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F 〔x 〕()xf x e=，那么F ′〔x 〕()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′〔x 〕＞0，即函数F 〔x 〕在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x e e --＜，即F 〔x 〕＜F 〔2x 1-〕∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为()1,+∞【点睛】此题主要考察函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决此题的关键．四、解答题.17.函数()21cos 2cos f x x x x m =--+在R 上的最大值为3.〔1〕求m 的值及函数()f x 的单调递增区间;〔2〕假设锐角ABC ∆中角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且()0f A =，求b c的取值范围.【答案】〔1〕1m =,函数()f x 的单调递增区间为263k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，，；〔2〕122bc<<. 【解析】 【分析】〔1〕运用降幂公式和辅助角公式，把函数的解析式化为正弦型函数解析式形式，根据，可以求出m 的值，再结合正弦型函数的性质求出函数()f x 的单调递增区间; 〔2〕由〔1〕结合()0f A =，可以求出角A 的值，通过正弦定理把问题b c的取值范围转化为两边对角的正弦值的比值的取值范围，结合ABC ∆是锐角三角形，三角形内角和定理，最后求出b c的取值范围.【详解】解：〔1〕()21cos 2cos f x x x x m =--+)2cos 22sin 26x x m x m π⎛⎫=-++=-++ ⎪⎝⎭由23m +=，所以1m = 因此()2sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭令3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因此函数()f x 的单调递增区间为263k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，， 〔2〕由2sin 2106A π⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，∴1sin 2=62A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭由02A π<<得72666A πππ<+<，因此5266A ππ+= 所以3A π=1sin 3cos sin sin 3132sin sin sin 2tan 2C C Cb Bc C C C C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭====+ 因为为锐角三角形ABC ∆，所以022032C B C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得62C ππ<<因此3tan 3C >，那么122b c <<【点睛】此题考察了降幂公式、辅助角公式，考察了正弦定理，考察了正弦型三角函数的单调性，考察了数学运算才能.{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.〔Ⅰ〕求数列{}n b 的通项公式；〔Ⅱ〕令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】〔Ⅰ〕;〔Ⅱ〕【解析】试题分析：〔1〕先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；〔2〕由〔1〕可得()1312n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法〞求数列{}n c 的前n 项和n T .试题解析：〔1〕由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+， 当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+． 设数列{}n b 的公差为d ，由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b d b d=+=+，可解得14,3b d ==， 所以31n b n =+．〔2〕由〔1〕知()()()116631233n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得()2341322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，()34522322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得()()()23412224213222221234123221nn n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦所以232n n T n +=⋅．考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法〞求数列的前n 项和. 【易错点晴】此题主要考察待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法〞求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法〞求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法〞求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法〞求数列的和的条件〔一个等差数列与一个等比数列的积〕；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.19.如图，四棱锥P ABCD -的底面是等腰梯形，//AD BC ，2AD =，4BC =，60ABC ∠=︒，PAD △为等边三角形，且点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ，点E 在线段BC 上，且:1:3CE EB =.〔1〕求证：DE ⊥平面PAD . 〔2〕求二面角A PC D --的余弦值.【答案】〔1〕证明见解析〔2〕13【解析】 【分析】〔1〕由等腰梯形的性质可证得DE AD ⊥,由射影可得PG ⊥平面ABCD ,进而求证； 〔2〕取BC 的中点F ,连接GF ,以G 为原点,GA 所在直线为x 轴,GF 所在直线为y 轴,GP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面APC 与平面DPC 的法向量,再利用数量积求解即可.【详解】〔1〕在等腰梯形ABCD 中, 点E 在线段BC 上,且:1:3CE EB =,∴点E 为BC 上靠近C 点的四等分点,2AD =,4BC =,1CE =,∴DE AD ⊥,点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ,连接PG ,PG ∴⊥平面ABCD ,DE ⊂平面ABCD ,PG DE ∴⊥.又AD PG G ⋂=,AD ⊂平面PAD ,PG ⊂平面PAD ,DE ∴⊥平面PAD .〔2〕取BC 的中点F ,连接GF ,以G 为原点,GA 所在直线为x 轴,GF 所在直线为y 轴,GP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如下图,由〔1〕易知,DE CB ⊥,1CE =, 又60ABC DCB ∠=∠=︒,3DE GF ∴=2AD =,PAD △为等边三角形,3PG ∴=,那么(0,0,0)G ,(1,0,0)A ,(1,0,0)D -,3)P ,(3,0)C -,(33)0AC ∴=-,,,(13)AP =-,()3DC =-,,,3)DP =,设平面APC 的法向量为111(,,)m x y z =,那么00m AC m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111133030x x z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩,令13x =那么13y =,11z =,3,)1(3,m ∴=, 设平面DPC 的法向量为222(,,)n x y z =,那么00n DC n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即22223030x y x z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩,令23x =,那么21y =,21z =-,3,1,()1n ∴=-, 设平面APC 与平面DPC 的夹角为θ,那么33cos 13m n m nθ⋅+===⋅⨯∴二面角A PC D --的余弦值为13.【点睛】此题考察线面垂直的证明,考察空间向量法求二面角,考察运算才能与空间想象才能.20.某单位准备购置三台设备，型号分别为,,A B C 这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购置设备的同时购置该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购置易耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购置设备时应购置的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上互相HY. 〔1〕求该单位一个月中,,A B C 三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；〔2〕以该单位一个月购置易耗品所需总费用的期望值为决策根据，该单位在购置设备时应同时购置20件还是21件易耗品？ 【答案】〔1〕16〔2〕应该购置21件易耗品 【解析】【分析】〔1〕由统计表中数据可得型号分别为,,A B C 在一个月使用易耗品的件数为6,7,8时的概率,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X ,那么(21)(22)(23)P X P X P X >==+=,利用HY 事件概率公式进而求解即可；〔2〕由题可得X 所有可能的取值为19,20,21,22,23,即可求得对应的概率,再分别讨论该单位在购置设备时应同时购置20件易耗品和21件易耗品时总费用的可能取值及期望,即可分析求解.【详解】〔1〕由题中的表格可知A 型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为301602=； B 型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率分别为201301101,,603602606===； C 型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率分别为453151,604604==； 设该单位一个月中,,A B C 三台设备使用易耗品的件数分别为,,x y z ,那么 1(6)(7)2P x P x ====,11(6),(7)32P y P y ====,131(8),(7),(8)644P y P z P z ======, 设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X , 那么(21)(22)(23)P X P X P X >==+=而(22)(6,8,8)(7,7,8)(7,8,7)P X P x y z P x y z P x y z =====+===+=== 111111113726422426448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 1111(23)(7,8,8)26448P X P x y z ======⨯⨯=,故711(21)48486P X >=+=, 即该单位一个月中,,A B C 三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为16. 〔2〕以题意知,X 所有可能的取值为19,20,21,22,23 1131(19)(6,6,7)2348P X P x y z ======⨯⨯=；(20)(6,6,8)(6,7,7)(7,6,7)P X P x y z x y z P x y z =====+===+===1111131131723422423448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； (21)(6,7,8)(6,8,7)(7,6,8)(7,7,7)P X P x y z x y z P x y z P x y z =====+===+===+===1111131111131722426423422448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； 由〔1〕知,71(22),(23)4848P X P X ====, 假设该单位在购置设备的同时购置了20件易耗品,设该单位一个月中购置易耗品所需的总费用为1Y 元,那么1Y 的所有可能取值为2000,2200,2400,2600, 111723(2000)(19)(20)84848P Y P X P X ===+==+=；117(2200)(21)48P Y P X ====； 17(2400)(22)48P Y P X ====； 11(2600)(23)48P Y P X ====； 12317712000220024002600214248484848EY =⨯+⨯+⨯+⨯≈； 假设该单位在肋买设备的同时购置了21件易耗品,设该单位一个月中购置易耗品所需的总费用为2Y 元,那么2Y 的所有可能取值为2100,2300,2500,2117175(2100)(19)(20)(21)848486P Y P X P X P X ===+=+==++=；27(2300)(22)48P Y P X ====； 21(2500)(23)48P Y P X ====； 2571210023002500213864848EY =⨯+⨯+⨯≈；21EY EY <,所以该单位在购置设备时应该购置21件易耗品【点睛】此题考察HY 事件的概率,考察离散型随机变量的分布列和期望,考察数据处理才能.21.直线1x y +=过椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，且交椭圆于A ，B 两点，线段AB的中点是21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭，〔1〕求椭圆的方程；〔2〕过原点的直线l 与线段AB 相交〔不含端点〕且交椭圆于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.【答案】〔1〕2212x y +=〔2【解析】 【分析】〔1〕由直线1x y +=可得椭圆右焦点的坐标为(1,0),由中点M 可得121242,33x x y y +=+=,且由斜率公式可得21211y y x x -=--,由点,A B 在椭圆上,那么2222112222221,1x y x y a b a b+=+=,二者作差,进而代入整理可得222a b =,即可求解；〔2〕设直线:l y kx =,点,A B 到直线l 的间隔 为12,d d ,那么四边形的面积为()1212111222S CD d CD d CD d d =⋅+⋅=+,将y kx =代入椭圆方程,再利用弦长公式求得CD ,利用点到直线间隔 求得12,d d ,根据直线l 与线段AB 〔不含端点〕相交,可得()4101033k k ⎛⎫⨯-+<⎪⎝⎭,即14k >-,进而整理换元,由二次函数性质求解最值即可.【详解】〔1〕直线1x y +=与x 轴交于点(1,0),所以椭圆右焦点的坐标为(1,0),故1c =,因为线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭, 设()()1122,,,A x y B x y ,那么121242,33x x y y +=+=,且21211y y x x -=--, 又2222112222221,1x y x y a b a b +=+=,作差可得22222121220x x y y a b --+=, 那么()()()()21212121220x x x x y y y y a b-+-++=,得222a b =又222,1a b c c =+=, 所以222,1a b ==,因此椭圆的方程为2212x y +=.〔2〕由〔1〕联立22121x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得01x y =⎧⎨=⎩或者4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,不妨令()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,易知直线l 的斜率存在,设直线:l y kx =,代入2212x y +=,得()22212k x +=,解得x =或者,设()()3344,,,C D x y y x ,那么34x x =-=,那么34C x D -==因为()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线y kx =的间隔分别是12d d ==,由于直线l 与线段AB 〔不含端点〕相交,所以()4101033k k ⎛⎫⨯-+< ⎪⎝⎭,即14k >-,所以()124441k k d d +++==,四边形ACBD 的面积()1212111222S CD d CD d CD d d =⋅+⋅=+=, 令1k t +=,34t >,那么2221243k t t +=-+,所以S ==当123t =,即12k =时,min S =因此四边形ACBD面积的最大值为3. 【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程,考察椭圆中的四边形面积问题,考察直线与椭圆的位置关系的应用,考察运算才能. 22.函数()()2ln 12a f x x x xb =---，,R a b ∈. 〔1〕当-1b =时，讨论函数()f x 的零点个数；〔2〕假设()f x 在()0,∞+上单调递增，且2a b c e +≤求c 的最大值. 【答案】〔1〕见解析〔2〕2 【解析】 【分析】〔1〕将1b =-代入可得()2ln 2a f x x x x =-,令0f x ,那么ln 2a xx =,设()ln x g x x=,那么转化问题为()g x 与2ay =的交点问题,利用导函数判断()g x 的图象,即可求解； 〔2〕由题可得()ln 0f x ax b x '=+-≥在0,上恒成立,设()ln h x ax b x =+-,利用导函数可得()min 11ln h x h b a a ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,那么()min 0h x ≥,即221ln a b a a +≥--,再设()21ln m x x x =--,利用导函数求得()m x 的最小值,那么2ln2a b +≥,进而求解.【详解】〔1〕当-1b =时,()2ln 2a f x x x x =-,定义域为0,,由0f x 可得ln 2a xx=, 令()ln xg x x =,那么()21ln x g x x -'=, 由0g x,得0x e <<；由0g x,得x e >,所以()g x 在()0,e 上单调递增,在(),e +∞上单调递减,那么()g x 的最大值为()1g e e=, 且当x e >时,()10g x e <<；当0x e <≤时,()1g x e ≤,由此作出函数()g x 的大致图象,如下图.由图可知,当20a e <<时,直线2a y =和函数()g x 的图象有两个交点,即函数()f x 有两个零点； 当12a e =或者02a ≤,即2a e =或者0a ≤时,直线2a y =和函数()g x 的图象有一个交点,即函数()f x 有一个零点； 当12a e >即2a e>时,直线2a y =与函数()g x 的象没有交点,即函数()f x 无零点. 〔2〕因为()f x 在0,上单调递增,即()ln 0f x ax b x '=+-≥在0,上恒成立,设()ln h x ax b x =+-,那么()1h x a x '=-,①假设0a =,那么()0h x '<,那么()h x 在0,上单调递减,显然()ln 0f x b x '=-≥,在0,上不恒成立；②假设0a <,那么()0h x '<,()h x 在0,上单调递减,当max ,1bx a>-时,0,ln 0ax b x +<-<,故()0h x <,()f x 单调递减,不符合题意； ③假设 0a >,当10x a<<时,()0h x '<,()h x 单调递减, 当1x a>时,()0h x '>,()h x 单调递增, 所以()min 11ln h x h b a a ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,由()min 0h x ≥得221ln a b a a +≥--,设()21ln ,0m x x x x =-->,那么()12m x x '=-,当102x <<时,()0m x '<,()m x 单调递减； 当12x >时,()0m x '>,()m x 单调递增, 所以()1ln 22m x m ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭,所以2ln2a b +≥,又2a b c e +≤,所以2≤c ,即c 的最大值为2.【点睛】此题考察利用导函数研究函数的零点问题,考察利用导函数求最值,考察运算才能与分类讨论思想.。
1. 《2024年高考数学模拟试题及答案》
1. 《2024年高考数学模拟试题及答案》一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1、已知集合 A ＝｛x ｜－2 ＜ x ＜ 3}，B ＝｛x ｜ x² 5x ＋ 4 ＜0}，则A ∩ B ＝（）A ｛x ｜ 1 ＜ x ＜ 3}B ｛x ｜－2 ＜ x ＜ 1}C ｛x ｜ 1 ＜ x ＜ 4}D ｛x ｜－2 ＜ x ＜ 4}2、复数 z ＝（1 ＋ i)（2 i)在复平面内对应的点位于（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3、已知向量 a ＝（1, 2)，b ＝（m, －1)，若 a ⊥ b，则 m ＝（）A －2B 2C －1/2D 1/24、某中学高一年级有学生 1000 人，高二年级有学生 800 人，高三年级有学生 600 人，现采用分层抽样的方法从该校抽取一个容量为 n的样本，若从高二年级抽取了 80 人，则 n 的值为（）A 200B 240C 280D 3205、函数 f(x) ＝ log₂(x² 4x ＋ 3)的单调递增区间是（）A （∞， 1)B （∞， 2)C （2, ＋∞）D （3, ＋∞）6、若直线 l₁：ax ＋ 2y ＋ 6 ＝ 0 与直线 l₂：x ＋（a 1)y ＋ a² 1＝ 0 平行，则 a ＝（）A －1B 2C －1 或 2D 17、已知等差数列{aₙ}的前 n 项和为 Sₙ，若 a₁＝ 2，S₃＝ S₅，则公差 d ＝（）A －2B 0C 2D 48、已知圆 C：（x 1)²＋（y 2)²＝ 4 与直线 l：x y ＋ 1 ＝ 0 相交于 A，B 两点，则弦长|AB| ＝（）A 2√2B 2√3C 4D 69、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（正视图和侧视图是等腰三角形，底边为 4，高为 4；俯视图是边长为 4 的正方形）A 32B 64C 128/3D 256/310、设函数 f(x) ＝sin(ωx ＋φ)（ω ＞ 0，｜φ| ＜π/2）的最小正周期为π，且f(π/8) ＝√2/2，则（）A f(x)在(0, π/2)上单调递减B f(x)在(π/8, 3π/8)上单调递增C f(x)在(0, π/2)上单调递增D f(x)在(π/8, 3π/8)上单调递减11、已知函数 f(x) ＝ x³ 3x，若过点 M(2, t)可作曲线 y ＝ f(x)的三条切线，则实数 t 的取值范围是（）A （－6, －2)B （－4, －2)C （－6, 2)D （0, 2)12、已知双曲线 C：x²/a² y²/b²＝ 1（a ＞ 0，b ＞ 0）的左、右焦点分别为 F₁，F₂，过 F₂作双曲线 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 H，若|F₂H| ＝ 2a，则双曲线 C 的离心率为（）A √5B 2C √3D √2二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、已知函数 f(x) ＝ 2sin(2x ＋π/6)，则 f(x)的最小正周期为_____14、若 x，y 满足约束条件 x ＋y ≥ 1，x y ≥ －1，2x y ≤ 2，则 z＝ x ＋ 2y 的最大值为_____15、已知抛物线 y²＝ 2px（p ＞ 0）的焦点为 F，点 A(4, 2)在抛物线上，且|AF| ＝ 5，则 p ＝＿____16、已知数列{aₙ}满足 a₁＝ 1，aₙ₊₁＝ 2aₙ ＋ 1，则 a₅＝＿____三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17、（10 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a ＝ 3，b ＝ 5，c ＝ 7、（1）求角 C 的大小；（2）求△ABC 的面积18、（12 分）已知数列{aₙ}是等差数列，a₁＝ 1，a₃＋ a₅＝14、（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）设数列{bₙ}满足 bₙ ＝ aₙ × 2ⁿ，求数列{bₙ}的前 n 项和 Sₙ19、（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面 ABCD，PA ＝ AB ＝ 2，AD ＝ 4，∠BAD ＝ 60°（1）证明：BD ⊥平面 PAC；（2）求二面角 P BD A 的余弦值20、（12 分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B原料 3 吨。
高考数学模拟题与答案解析
三轮复习精编模拟套题（七）A. 选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，满分40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 定义集合运算： A B z| z xy, x A,y B ．设A 1,2 ,B 0,2 ，则集合 A B 的所有元素之和为（）A．0；B．2；C．3；D． 62. 复数4(2 2i)5(1 3i)等于（）A.1+ 3 iB.－1+ 3iC.1－ 3 iD.－1－3i个单位，再沿y 轴向下平移 1 个单位，得到3. 把曲线ycosx+2y－1=0 先沿x 轴向右平移2的曲线方程是（）A. （1－y）sinx+2y－3=0B.（y－1）sinx+2y－3=0C.（y+1）sinx+2y+1=0D.－(y+1)sin x+2 y+1=04. 在区间1,1 上随机取一个数x,cosx2的值介于0 到12之间的概率为（）A．13B．2C．12D．235. 等差数列{a } 的前n 项和为n S ，且nS =6 ，3a =4，则公差 d 等于1A．1 B 53C.- 2 D 36. 若log2 a＜0，1( )2b ＞1，则( )A ．a＞1,b ＞0 B．a＞1,b ＜0 C. 0 ＜a＜1, b ＞0 D. 0 ＜a＜1, b ＜07. 若a 0,b 0且a b 4，则下列不等式恒成立的是（）A．1ab121 1B． 1a bC．ab 2 D．12 ba218x8. 若函数 f x 的零点与g x 4 2x 2 的零点之差的绝对值不超过0.25，则f x 可以是A. f x 4x 1B. 2f x (x 1)xC. f x e 1D. f x In x 1 21 / 13二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题 5 分，满分30 分．（一）必做题（９～１２题）x9. 若函数f(x)=a -x-a(a>0 且a 1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是.10. 设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。
高考数学模拟试题及答案解析,评分标准(知识点分析)
高考数学模拟试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试用时120分钟. 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ). 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且1.复数A .1-A .3A 4.若1a <（） A. C.图形可能是（）8已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，m ⊥α，n ⊥β，则下列命题中的假命题是（） A.若m ∥n ，则α∥β B.若α⊥β，则m ⊥n C.若α、β相交，则m 、n 相交 D.若m 、n 相交，则α、β相交 9设)(1x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b fa f，则)(b a f +的值为（）设 2 6 已知，则方程 与 在同一坐标系下的 7 0 1 0 2 2 2 mn mx ny mx ny ≠ + = + = 5A ．1B ．2C ．3D ．3log 210在765)1()1()1(x x x +++++的展开式中含4x 项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的（）A ．第19项B ．第20项C ．第21项D ．第22项值为（）12．如图，将正三角形ABC 以平行于一边BC 的直线l 为折痕，折成直二面角后，顶点的图象。
14若地B 两点15设F ， 使|FP 1|，实数x其中是F 函数的序号为___________________________。
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知2()2cos cos f x x x x a =++（a为常数）.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若()f x 在[,]66ππ-上的最大值与最小值之和为3，求a 的值.18.（本小题满分12分） ( ) ( ) 设动点坐标（ ， ）满足 ，则 的最小 1 4 0 3 2 2 x y x y x y x x y - + + - ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎩ + 16 把 y 11 13在举办的奥运知识有奖问答比赛中，甲、乙、丙同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答对这道题目的概率是34，甲、丙两人都回答错的概率是112，乙、丙两人都回答对的概率是14.（1）求乙、丙两人各自回答对这道题目的概率.（2）（理）求回答对这道题目的人数的随机变量ξ的分布列和期望.19（本小题满分14分）四棱锥P —ABCD 中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ADC ︒=60的菱形，M 为PB 的中点，Q 为CD 的中点.(1)(2)求2021．（1（2（3P 点，22．(已知数列 112n a ++<一．选择题1复数，2集合3向量，4简单逻辑5圆6三角函数7圆锥曲线8立体几何9反函数10二项式11线性规划12空间几何 二．填空题13三角函数性质14球15圆锥曲线16函数性质三．解答题17三角函数性质18概率19立体几何20圆锥曲线21导数22数列试题答案一．选择题1B2解析：如图3B 4C5解析：6解析：答案C7解析：8解析：9．B 1-f 10B 11如图，双线阴影部分为符合约束条件的区域（包括边界） 显然点A 到原点距离最近。
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高考数学模拟试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试用时120分钟. 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ).如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的. 1.复数21z i=-的值是 A .1i - B .1i + C .1i -+ D .1i -- A A B B A B ..∩中有个元素∩中有个元素31C A BD A B ..∩中有个元素∪2=R3． 向量a = (1,2)，b = (x ,1)，c = a + b ，d = a - b ，若c //d ，则实数x 的值等于( ).A ．21 B ．21- C ．61 D ． 61- 4.若110a b<<，则下列结论不正确．．．的是 （ ） 22A.a b < 2B.ab b < C.a b a b +>+ b aD.2a b+>（ ） A. 相切B. 相交C. 相切或相离D. 相交或相切()A B ..ππππ2322，，⎛⎝ ⎫⎭⎪()C D ..325223ππππ，，⎛⎝ ⎫⎭⎪( ) 设 ，则直线 与圆 的位置关系为 0 2 1 0 2 2 m x ym x y m > + + + = + = { } { }设集合 ，集合 ，则（ ）2 2 2 A x y y x B x y y x = = = = ( , )| sin ( , )| 函数 在下面哪个区间内是增 函数（） 6 y x x x = + sin cos 5图形可能是（ ）8已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，m ⊥α，n ⊥β，则下列命题中的假命题是（ ） A. 若m ∥n ，则α∥β B. 若α⊥β，则m ⊥n C. 若α、β相交，则m 、n 相交 D. 若m 、n 相交，则α、β相交 9设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则)(b a f +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．3log 210在765)1()1()1(x x x +++++的展开式中含4x 项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的（ ） A ．第19项B ．第20项C ．第21项D ．第22项值为（ ）A B C D ....5101721012．如图，将正三角形ABC 以平行于一边BC 的直线l 为折痕，折成直二面角后，顶点A 转到A '，当B A '取得最小值时，l 将AC 边截成的两段之比为（ ）A.1:1B.2:1C.2:3D.1:3已知 ，则方程 与 在同一坐标系下的 70 1 0 2 2 2 mn mx ny mx ny ≠ + = + = () ( ) 设动点坐标（ ， ）满足 ，则 的最小 1 4 032 2 x y x y x y x x y - + + - ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎩ + 11第Ⅱ卷 非选择题(共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数_____________的图象。
14若地球半径为R ，地面上两点A 、B 的纬度均为北纬45°，又A 、B 两点的球面距离为，则、两点的经度差为。
π3R A B15设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i （i =1，2，3，…）， 使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为 。
实数x 均成立，则称f(x)为F 函数。
给出下列函数： ①；f x ()=0②；f x x ()=2()③；f x x x ()sin cos =+2④；f x xx x ()=++21⑤是定义在上的奇函数，且满足对一切实数，，均有f x R x x ()12|()()|.f x f x x x 12122-≤-其中是F 函数的序号为___________________________。
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知2()2cos cos f x x x x a =++（a 为常数）. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若()f x 在[,]66ππ-上的最大值与最小值之和为3，求a 的值.16设函数 的定义域为 ，若存在常数 ，使 对一切 0 f x R M f x M x ( ) | ( )| | | > ≤ 把 的图象向左平移 个单位，得到函数的图象；3y x = sin π1318.（本小题满分12分）在举办的奥运知识有奖问答比赛中，甲、乙、丙同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答对这道题目的概率是34，甲、丙两人都回答错的概率是112，乙、丙两人都回答对的概率是14.（1）求乙、丙两人各自回答对这道题目的概率.（2）（理）求回答对这道题目的人数的随机变量ξ的分布列和期望.19（本小题满分14分）四棱锥P —ABCD 中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ADC ︒=60的菱形，M 为PB 的中点，Q 为CD 的中点.(1) 求证：PA ⊥CD ；(2) 求AQ 与平面CDM 所成的角.20本小题满分14分()设椭圆的左焦点为（，），左准线与轴交x a y b a b F x 2222111020+=>>-l于点（，），过点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点。
N N o -3030l A B（）求直线和椭圆的方程；I l（）求证：点（，）在以线段为直径的圆上；II F AB 120-第17题图C B AD Q P M21．（本小题满分14分）已知函数)(x f =bx ax+2，在1=x 处取得极值2。
（1）求函数)(x f 的解析式；（2）m 满足什么条件时，区间)12,(+m m 为函数)(x f 的单调增区间？ （3）若),(00y x P 为)(x f =b x ax +2图象上的任意一点，直线l 与)(x f =bx ax+2的图象切于P 点，求直线l 的斜率的取值范围。
22．(本小题满分14分) 已知数列{}n a 满足12115,5,6(n n n a a a a a n +-===+≥2,)n *∈N ，若数列{}1n n a a λ++ 是等比数列．（Ⅰ）求出所有λ的值,并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：当k 为奇数时，111143k k k a a +++<； （Ⅲ）求证：121111()2n n a a a *+++<∈N ．知识点分布一．选择题1复数，2集合3向量，4简单逻辑5圆6三角函数7圆锥曲线8立体几何9反函数10二项式11线性规划12空间几何 二．填空题13三角函数性质14球15圆锥曲线16函数性质 三．解答题17三角函数性质18概率19立体几何20圆锥曲线21导数22数列试题答案一．选择题1 B 2解析：如图y21O 1 π xπ2y x =22sin y x =直线与曲线有三个交点y x y x ==22sin ∴∩有个元素A B 33B 4C5解析：圆心O （0，0）到直线的距离()d mmm =++++=+>20012212022()()则d m m m m m m -=+-=-+=-≥12212122∴直线与圆相切或相离答案：C6解析：()∵y x x x x x x x x x 'sin cos 'sin cos sin cos =+=+-=只在区间，内有32520ππ⎛⎝ ⎫⎭⎪>y'∴，为函数的一个增区间3252ππ⎛⎝ ⎫⎭⎪答案C7解析：若，且，则为椭圆m n mxny >>+=00122又为开口向左的抛物线，此时无选项。
y mn x 2=-若·，则抛物线为开口向右的抛物线m n y mn x <=-02曲线为双曲线，所以选项符合要求。
mx ny A 221+=答案：A8解析：∵⊥，⊥m n αβ①若∥，则∥，∴选项正确m n A αβ ②若⊥，则⊥，∴选项正确αβm n B③若、相交，、不一定相交，∴选项错αβm n C ④若、相交，、不平行必相交，∴选项正确m n D αβ答案：C9． B12)(1-=-x x f，则题设转化为a+b=3，故结果是f(3)=210 B 系数为55474645=++C C C ，是等差数列的第20项。
11解析：()()由x y x y x -++-≥≥⎧⎨⎩1403∵或x y x y x x y x y x -+≥+-≥≥⎧⎨⎪⎩⎪-+≤+-≤≥⎧⎨⎪⎩⎪1040310403如图，双线阴影部分为符合约束条件的区域（包括边界）又由得到点（，）x x y A =+-=⎧⎨⎩34031显然点A 到原点距离最近。
()∴x y 22223110+=+=min答案：D12．A 过A '作DE O A ⊥'，则O 为DE 的中点，设M 为BC 的中点，连结OM ，则当BA '最短时，OMOA '即为所求.设x A O ='，则x OM -=23（设ABC ∆的边长为1），43,85)43(2)23()21(22222=∴+-=+-+='x x x x B A 当时，B A '最小，此时，l 将AC 边截成的两段之比为1:1.故选A.二．填空题13解析：把的图象向左平移个单位，得到函数y x y x ==+⎛⎝ ⎫⎭⎪sin sin ππ33的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标不变，得到函数y x =+⎛⎝ ⎫⎭⎪sin 123π的图象。
14解析：∵、两点的球面距离为A B R π3∴∠，在中有AOB RR AOB AB R ===ππ33∆又在中，，又∆AO B O A O B R AB R 11122===∴∠AO B 12=π∴、两点的经度差为A B π215．]101,0()0,101[⋃- 转化为至少21个点到右准线的距离成等差数列，而得结果16解析：符合条件，|()|||f x M x M ≤>0对一切x 都成立的函数为①，④，⑤ 其中：①显然符合要求。
②f x x ()=2不存在正数，使M ||||x M x 2≤即对任意恒成立||x M x R ≤∈所以②不符合要求。