高一数学根式与分数指数幂专题练习
人教A版(2019)高中数学必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课时训练
分析：先化简集合 ，再对所求式子化简成含绝对值的式，进而对 进行讨论去绝对值.
解答：原式 .
，
当 时，原式 ；
当 时，原式 .
∴原式
点评：本题考查一元二次不等式的求解、配方法、去绝对值的方法，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
故答案为：0或2(a－b).
点评：本题考查了根式的化简，需掌握根式的性质，属于基础题.
12．
分析：由实数指数幂的运算法则，准确运算，即可求解.
解答：由 有意义，可得 ，即 ，
所以 .
故答案为： .
点评：本题主要考查了实数指数幂的运算的化简、求值，其中解答中熟记实数指数幂的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
21．（1）41；（2）
分析：（1）直接由分数指数幂的运算性质化简即可.
（2）先化简所求，再代入x，y求值.
解答：（1） =36+9-5+1=41；
（2） ，
将 代入得 .
点评：本题考查了分数指数幂的运算性质，根式的化简，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.
22．（1） ；（2） .
分析：（1）利用根式的性质可得出结果；
对于A中，式子 中，实数 的取值为 ，所以 总有意义；
对于B中，式子 中，实数 的取值为 ，所以 总有意义；
对于C中，式子 中，实数 的取值为 ，所以 可能没有意义；
对于D中式子 中，实数 的取值为 ，所以 总有意义.
故选：C.
点评：本题主要考查了实数指数幂的运算性质及其应用，其中解答中熟记实数指数幂的性质，求得各项式子有意义的条件是解答的关键，着重考查推理能力.
点评：本题考查同底数幂的乘法运算，适当变形是解题关键，属于基础题.
高一数学上册第二章--指数函数知识点及练习题(含答案)
课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算（ 1）根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根． 当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n 次方根用符号na表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a．③根式的性质： (na )n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n | a |a (a 0) ．a (a 0)（ 2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是：a n 0, m,n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于0．②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是：a n)n n (0, m, n N , 且 n1) ．0 的负分数指aa数幂没存心义． 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域（0,+ ∞）过定点 图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)y ＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＞ 0)变化状况a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高，越凑近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越凑近 y 轴； 图象影响在第二象限内，a 越大图象越低，越凑近x 轴．在第二象限内，a 越小图象越低，越凑近x 轴．三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析： A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析： 当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= ［ f(x) ］ nD.f ［ (xy) n ］ =［ f(x) ］ n ［ f(y) ］ n (n ∈ N * )分析： 易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f ［(xy)n］ =a (xy)n , 而［ f(x) ］ n ·［f(y) ］ n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析： a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析： 令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析： 因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. ［ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析： 当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ］ ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析： 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈［ -1,1］时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______［ -5,1 ］ ___________.3分析： f(x) 在［ -1,1 ］上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析： (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩［ 2,+ ∞］=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈［ -3,2］的最大值和最小值 .解： 设 2-x=t, 由 x ∈［ -3,2 ］得 t ∈［ 1,8 ］ , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值 这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解： ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. ［ 1,2］B.［ 2,3］C.(-∞ ,2]D.［ 2,+∞ )分析： 由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈［ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为［ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. ［ -1,+∞ )B. ［ -1,63)C.［ 0,+∞ )D.(0,63 ］分析： 由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= ［ f(x)-1 ］2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈［ 1,9 ］.2.1 指数函数练习1．以下各式中建立的一项A ． ( n)71n 7 m 7B ．12 ( 3)433m3C ． 4 x 3y 3( x y) 4D ．393321111 1 52．化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D ． 9a 2 A ． 6aB ． aC ． 9a3．设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ，则以下等式中不正确的选项是f (x) A ． f(x+y)=f(x) ·f(y)B ． f （ x y ）f ( y)C ． f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D ． f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4．函数 y (x5) 0 ( x 2)2A ． { x | x 5, x 2}B ． { x | x 2}C ． { x | x 5}D ． { x | 2 x 5或 x 5}（）（）（）(n N )（ ）5．若指数函数 y a x 在 [－ 1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数 a 等于 （）A ．15 B ．1 5 C ．15D ．5 122 226．当 a0 时，函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是（）7．函数 f ( x)2 |x| 的值域是（）A ． (0,1]B ． (0,1)C ． (0, )D ． R8．函数 f ( x)2 x 1, x 0，知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x（）A ． ( 1,1)B ． ( 1, )C ． { x | x 0或 x2}D ． { x | x 1或 x1}9．函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2（）A ．[ 1,1]B ． ( , 1]C ．[2,)D ．[ 1,2]2exe x210．已知 f ( x)（）2 ，则以下正确的选项是A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．已知函数 f (x)的定义域是（1， 2），则函数 f (2 x ) 的定义域是.12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x)=a x －2－ 3 必过定点.三、解答题：13．求函数 y1的定义域 .x5 x 1114．若 a ＞0， b ＞ 0，且 a+b=c ，求证： (1) 当r ＞1时， a r +b r ＜ c r ； (2) 当r ＜ 1时， a r +b r ＞ c r .a x 1 15．已知函数 f ( x)(a ＞1) .a x1（ 1）判断函数 f (x) 的奇偶性；（ 2）证明 f (x)在 (－∞， +∞ )上是增函数 .xa16．函数 f(x) ＝ a (a>0 ，且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2，求 a 的值．参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11． (0,1)；12． (2，－ 2) ；三、 13． 解：要使函数存心义一定：x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为 ： x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114． 解：ba，c rcccc.r ＞1 ，a rb ra b 1，r r r当因此+b＜ c ；时c c c crrrrr当 r ＜ 1 时， aba b1， 因此 a +b ＞c .ccc c15． 解 ：(1)是奇函数 .(2) 设x ＜x ，则 f (x 1 )ax11 ax21 。
人教版高一根式和分数指数幂运算练习(含答案)
根式和分数指数幂例1 求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围． 解(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3)＝|a －3|a ＋3， 要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立， 需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得a ∈[－3,3]． 跟踪训练1 若a 2－2a ＋1＝a －1，求a 的取值范围．解 ∵a 2－2a ＋1＝|a －1|＝a －1，∴a －1≥0，∴a ≥1. 例2 化简：(1)4(3－π)4； (2)(a －b )2(a >b )；(3)(a －1)2＋(1－a )2＋3(1－a )3.解 (1)4(3－π)4＝|3－π|＝π－3. (2)(a －b )2＝|a －b |＝a －b .(3)由题意知a －1≥0，即a ≥1.原式＝a －1＋|1－a |＋1－a ＝a －1＋a －1＋1－a ＝a －1. 跟踪训练2 求下列各式的值：(1)7(－2)7； (2)4(3a －3)4(a ≤1)； (3)3a 3＋4(1－a )4. 解 (1)7(－2)7＝－2. (2)4(3a －3)4＝|3a －3|＝3|a －1|＝3－3a .(3)3a 3＋4(1－a )4＝a ＋|1－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a ≤1，2a －1，a >1.例3 设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.1．已知x 5＝6，则x 等于( )A. 6B.56 C ．－56 D ．±56 答案 B2．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2 B.3m C.6m D.5－m 答案 C3．(42)4运算的结果是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．不确定 答案 A4.3－8的值是________． 答案 －25.(a －b )2＋5(a －b )5的值是________． 答案 0或2(a －b )解析(a －b )2＋5(a －b )5＝|a －b |＋(a －b )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a ≤b ，2(a －b )，a >b .例1 用根式的形式表示下列各式(x >0)．25(1);x 53(2).x -解 (1) 25x ＝5x 2. (2)53x-＝13x 5.跟踪训练1 用根式表示2132x y -(x >0，y >0)．解221332121xy y x-=⋅=例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a >0，b >0.(1)5a 6； (2)13a 2； (3)4b 3a 2； (4)(－a )6.解65.a=23231.aa-==(3)4b3a2132133444242.bb a a aa--⎛⎫===⎪⎝⎭632.a a===跟踪训练2把下列根式化成分数指数幂：(1) 682；(2) a a(a>0)；(3)b3·3b2；(4)13x(5x2)2.解1776212(2)2;===313224();a a ====(3)2113333;b b b b=⋅=3591353511.()xx x-======例3计算下列各式(式中字母都是正数)：(1)10.5233177(0.027)2;1259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解10.5233177(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09.(2)211511336622(2)(6)(3);a b a b a b-÷-解原式＝211115326236[2(6)(3)]44.a b ab a+-+-⨯÷－－＝＝(3)111222.m mm m--+++解1111122222111122222().m m m mm mm m m m-----+++==+++跟踪训练3(1)化简：130.256178;86-⎛⎫⎛⎫⨯-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解 原式＝1111131(1)()36623334424481(2)2(2)(3)2223112.-⨯-+⨯+⨯+⨯=+++=(2)化简：213211113625;1546x yx y x y ---⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解 212111132(1)()332261111362565(4)51546x y x yx y x y -⎛⎫------- ⎪⎝⎭--⎛⎫=⨯-⨯-⨯⨯ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110662424.x y y ==(3)已知11225,x x -+=求x 2＋1x 的值．解 由11225,x x-+=两边同时平方得x ＋2＋x －1＝25，整理，得x ＋x －1＝23，则有x 2＋1x＝23.例4 已知a >0，b >0，且a b ＝b a ，b ＝9a ，求a 的值．解 方法一 ∵a >0，b >0，又a b ＝b a ，1119()()(9),a b a bbba b a b a a ∴=⇒=⇒=81829993a a a ∴=⇒=⇒=方法二 ∵a b ＝b a ，b ＝9a ，∴a 9a ＝(9a )a ，即(a 9)a ＝(9a )a ，∴a 9＝9a ，a 8＝9，a ＝43.跟踪训练4 已知67x ＝27,603y ＝81，求3x －4y 的值．解 由67x＝33，3673,x =得由603y＝81，46033,y=得433y x-∴＝60367＝9＝32，∴4y －3x ＝2，故3x －4y＝－2. 1．化简238的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B 2．1225-等于( )A ．25 B.125 C ．5 D.15答案 D3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A ．－x ＝12()(0)x x ->B.6y 2＝13(0)y y <C ．340)xx -=>D ．130)xx -=≠答案 C4．(36a 9)4＝________.答案 a 25．计算122-⨯________．答案 16。
根式和分数指数幂的互化及其化简运算专题含答案
根式和分数指数幂的互化及其化简运算专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 下列各式中正确的一个是（ ） A.(n m)7=n 7m 17 B.√(−3)412=√−33C.√x 3+y 34=(x +y )34 D.√354=3542. 设a >0，将2√a⋅√a 2表示成分数指数幂，其结果是（ ）A.a 12B.a 56C.a 76D.a 323. 当 √2−x 有意义时，化简 √x 2−4x +4−√x 2−6x +9的结果是（ ） A.2x −5 B.−2x −1 C.−1 D.5−2x4. 化简(√a −1)2+√(1−a)2+√(1−a)33的结果是（ ） A.1−a B.2(1−a) C.a −1 D.2(a −1)5. 化简√(x +3)2−√(x −3)33得（ ） A.6 B.2x C.6或−2x D.6或2x 或−2x6. 化简(√√a 963)4⋅(√√a 936)4的结果为（ ） A.a 16 B.a 8 C.a 4 D.a 27. 若x <13，则√9x 2−6x +1等于（ ） A.3x −1 B.1−3xC.(1−3x)2D.非以上答案8. 若n <m <0，则√m 2+2mn +n 2−√m 2−2mn +n 2等于（ ） A.2m B.2n C.−2m D.−2n9. √m ⋅√m 3⋅√m 4⋅=( )A.1B.m 12C.m 13D.m10. 下列各式成立的是（ ） A.√m 2+n 23=(m +n)23 B.(ba)2=a 12b 12C.√(−3)26=(−3)13 D.√√43=21311. 已知正数a ，b 满足√9a×√27b=3，则ab 的最小值为( ) A.6 B.12 C.18 D.2412. 已知a >0，则√a 13√a 12√a 化为( )A.a 712 B.a 512C.a 56D.a 1313. (614)−12=( )A.32B.23C.25D.5214. 若2<a <3，化简√(2−a)2+√(3−a)44的结果是( ) A.5−2a B.2a −5 C.1 D.−115. 已知 a >0 √a 23=( )A.a 12B.a 32C.a 23D.a 1316. 设a >0，将2√a⋅√a 2表示成分数指数幂，其结果是( )A.a 12B.a 56C.a 76D.a 3217. 化简√√ab 23⋅a 3b 2√b 3⋅(a 16b 12)4（a ，b 为正数）的结果是（ ）A.baB.abC.abD.a 2b18. 当x ∈(−∞, 2)时，√(x −2)2+√(x −1)33的值为（ ） A.2x −3 B.1 C.−1 D.−2x +319. 已知x 12+x −12=5，则 x 2+1x的值为（ ）A.5B.23C.25D.2720.(√a⋅√a 35)9(√a 45)3⋅(√a 2⋅√a 5)43(√a 2⋅√a 3)2的值为（ ）A.1B.a 2C.a 3D.以上答案均不正确21. 已知x +x −1=3，则x 32+x −32值为( ) A.±4√5 B.2√5C.4√5D.−4√522. 设a =√(−8)33，b =√(−10)2，则a +b =( ) A.−18 B.18 C.−2 D.223. 已知，，则________．24. 已知 x +x −1=3,则x 2+x −2=________； x 12+x −12=________.25. 已知x +x −1=3，则x 2+x −2=________；x −x −1=________.26. 计算(√23×√3)6+√2√2)43−4×(1649)−12−√24×80.25−(−2013)0=________．27. 已知x +x −1=3，则x 32+x −32值为________．28. 化简√a 72⋅√a −33÷√√a −83⋅√a 153÷√√a −3⋅√a −13=________．29. 已知x +y =12，xy =9，且x <y ，则x 12−y 12x 12+y 12=________．30. 先化简，再求值：，其中.31. 计算(1)√8+√32−√24(2)√12÷√27×√1832. 求下列各式的值： （1）0.001−13−(78)0+1634+(√2⋅√33)6．（2）设 x 12+x −12=3，求x +x −1 的值．33. 已知a <b <0，n >1，n ∈N ∗，化简 √(a −b)n n+√(a +b)n n．34. （1）计算4x 14(−3x 14y −13)÷[−6(x −12y −23)]； 34. （2）√m ⋅√m 3⋅√m 4⋅．35. 化简下列各式（1）√11+6√2+√11−6√2（2）√a 2b 2√ab3(a 14b 12)a−13b13(a >0b >0)36. 解答.(1)求值：√(−27)23+√(2−π)2+√(4−π)44；(2)计算：2x −13(12x 13+x −23)x ；(3)计算：(x 12+2y 14)(x 12−2y 14)÷y −12.37. 化简求值： (1)√254+(√π)0−2−1；(2)(2a 23b 12)(−6a 12b 13)÷(−3a 16b 56). 38. 设x =√3−2，y =√3+2，求代数式x 2+xy+y 2x+y的值．39.(1)求值： (√23×√3)6+(−2020)0−4×(1649)−12+√(3−π)44；(2)已知√a −√a=4，求值：a 12+a −12.40. 化简或求值. b √a 3⋅√ab 3a √b 2√ab3>0,b >0);(2)(214)12+0.1−2−(278)13+π0.参考答案与试题解析根式和分数指数幂的互化及其化简运算专题含答案一、 选择题 （本题共计 22 小题 ，每题 3 分 ，共计66分 ） 1.【答案】 D【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】正确计算各选项，得出答案. 【解答】解：A ，(n m)7=n 7m −7，故A 错误；B ，√(−3)412=√3412=3412=313=√33，故B 错误； C ，√x 3+y 34=(x 3+y 3)14，故C 错误；D ，√354=354，故D 正确.故选D . 2. 【答案】 C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】由根式与分数指数幂的互化规则所给的根式化简即可将其表示成分数指数幂，求得其结果选出正确选项． 【解答】 解：由题意2√a⋅√a 2=2√a⋅a 23=a 2a 56=a 76.故选C ． 3.【答案】 C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：当 √2−x 有意义时，x ≤2．√x 2−4x +4−√x 2−6x +9=|x −2|−|x −3|=2−x +x −3=−1． 故选C ． 4.【答案】 C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ √a −1 有意义， ∴ a −1≥0，即a ≥1．∴ (√a −1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=(a −1)+|1−a|+(1−a)=(a −1)+(a −1)+(1−a)=a −1． 故选C ． 5.【答案】 C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】化简√(x +3)2−√(x −3)33=|x +3|−(x −3)={6,x ≥−3−2x,x <−3．【解答】解：√(x +3)2−√(x −3)33=|x +3|−(x −3)={6,x ≥−3−2x,x <−3，故选C ． 6. 【答案】 C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】由根式和分数指数幂的关系，将式子化为分数指数幂形式，再由指数的运算法则求解即可． 【解答】解：(√√a 963)4⋅(√√a 936)4=a 9×16×13×4a 9×13×16×4=a 4 故选C 7.【答案】 B【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】利用|a|={a,a ≥0−a,a <0及其乘法公式即可得出．【解答】解：∵ x <13，∴ 1−3x >0．则√9x 2−6x +1=√(1−3x)2=1−3x ． 故选：B ． 8.【答案】 C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】利用乘法公式与根式的运算性质即可得出． 【解答】解：原式=|m +n|−|m −n|， ∵ n <m <0，∴ m +n <0，m −n >0，∴ 原式=−(m +n)−(m −n)=−2m ． 故选：C ． 9.【答案】 A【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】将根式化为分数指数幂的形式，从而计算． 【解答】解：√m ⋅√m 3⋅√m 4⋅=m 12⋅m 13⋅m 14⋅m−56⋅m −14=m (12+13+14−56−14) =m 0=1， 故选A ． 10.【答案】 D【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】利用指数幂的运算法则即可得出． 【解答】解：A ．∵ (m +n)23=√(m +n)23，因此不正确； B.(ba )2=b 2⋅a −2，因此不正确； C ．∵√(−3)26=√326=313，因此不正确；D.√√43=223×12=213，正确．11.【答案】 D【考点】基本不等式及其应用根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：√9a×√27b=32a +3b=3，即2a +3b =1，∴ ab =3a +2b ≥2√6ab ，解得ab ≥24，当且仅当3a =2b ，即a =4，b =6时，等号成立. 故选D . 12.【答案】 B【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：√a 13√a 12√a=√a 13√a 12⋅a 12 =√a 13⋅a 12=a 12×56=a 512. 故选B . 13. 【答案】 C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 有理数指数幂的化简求值 【解析】【解答】 解：原式=(254)−12=√425=25.故选C . 14.【答案】 C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】由根式的意义知√x n n=|x|，n 为偶数时，利用此式进行化简即可． 【解答】解：√(2−a)2+√(3−a)44=|2−a|+|3−a|， 因为2<a <3，所以上式=a −2+3−a =1. 故选C. 15. 【答案】 D【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 √a 23=a a 23=1a 23−1=a 13.故选D . 16.【答案】 C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】化根式为分数指数幂，然后利用有理指数幂的运算化简求值． 【解答】 解：2√a⋅√a 2=a 2√a ⋅a 23=a 2√a 1+23=2√a 53=a 2a 56=a 76． 故选C ． 17. 【答案】 C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：原式=[(ab 2)13⋅a 3⋅b 2]12b 13⋅a 23⋅b 2=a 16+32−23b 13+1−13−2=ab．故选C ． 18. 【答案】 B【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】根据根式与分数指数幂的运算法则进行化简即可． 【解答】解：∵ x ∈(−∞, 2)时，x −2<0；∴ √(x −2)2+√(x −1)33=|x −2|+(x −1) =−(x −2)+(x −1) =1．故选：B ． 19.【答案】 B【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】根据指数幂的运算法则进行求值即可． 【解答】 解：∵ x 12+x−12=5，∴ 平方得x +2+x −1=25， 即x +x −1=23，∵x2+1x =x+1x=x+x−1，∴x2+1x=23，故选：B．20.【答案】D【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】根据根式与分数指数幂的互化进行化简运算即可．【解答】解：原式=a 45×3˙⋅(a2⋅a12)23˙=a125a125⋅a2215a53=a−15，即原式的值为a−15．故选D．21.【答案】B【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】由x+x−1=3，得x12+x−12=√5．所以x32+x−32=(x12+x−12)(x+x−1−1)=2√5．【解答】解：∵x+x−1=3，∴x12+x−12=√(x12+x−12)2=√x+x−1+2=√5．∴x32+x−32=(x12+x−12)(x+x−1−1)=2√5．故选B．22.【答案】D【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】直接利用有理指数幂的运算性质化简求值．【解答】解：a=√(−8)33=−8，b=√(−10)2=10，则a+b=−8+10=2．故选：D．二、填空题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）23.【答案】23【考点】顺序结构的应用根式与分数指数幂的互化及其化简运算指数式、对数式的综合比较【解析】」利用指数及指数幂的运算律求解．【解答】10∘=210−=3，10−r=10−10∘=23故答案为：2324.【答案】7,√5【考点】有理数指数幂的化简求值根式与分数指数幂的互化及其化简运算分数指数幂【解析】此题暂无解析【解答】解：因为x+x−1=3，所以(x+x−1)2=9，即x2+x−2+2=9，所以x2+x−2=7；∵(x12+x−12)2=x+2+x−1=5，∴x12+x−12=√5.故答案为：7；√5.25.【答案】7,±√5【考点】有理数指数幂根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】（1）把已知条件平方，再化简即可得解【解答】解：∵(x+x−1)2=x2+x−2+2=9，∴x2+x−2=9−2=7，∴x2+x−2=7，(x −x −1)2=x 2+x −2−2=7−2=5， ∴ x −x −1=±√5. 故答案为：7；±√5. 26.【答案】 100【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 有理数指数幂【解析】利用分数指数幂的运算性质即可得出． 【解答】解：原式=22×33+(234)43−4×(47)2×(−12)−214+34−1=108+2−7−2−1 =100．故答案为：100． 27. 【答案】2√5【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】利用完全平方公式和立方差公式即可得出． 【解答】解：∵ (x 12+x −12)2=x +x −1+2=3+2=5， 又∵ x 12+x −12>0，∴ x 12+x −12=√5． ∴ x 32+x−32=(x 12+x −12)(x +x −1−1)=√5(3−1)=2√5．故答案为：2√5． 28. 【答案】a 16【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】本题先将根式化成指数幂的形式，再利用负指数将除转化为乘，然后利用指数运算的法则计算，得到本题的解． 【解答】解：原式=√a 72⋅a −323÷√a −83⋅a 153÷√a −32⋅a −123=√a 23÷√a 73÷√a −23=a 23÷a 76÷a−23=a 16．故答案为：a 1 6．29.【答案】−√3 3【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】由题设形式与条件的形式知，需要利用完全平方差公式与完全平方和公式构造出题设中的分子与分母的形式，求值【解答】解：由题设0<x<y∵xy=9，∴√xy=3∴x+y−2√xy=(x12−y12)2=12−6=6x+y+2√xy=(x 12+y12)2=12+6=18∴x12−y12=−√6，x12+y12=3√2∴x 12−y12x 12+y12=√63√2=−√33故答案为：−√33三、解答题（本题共计 11 小题，每题 10 分，共计110分）30.【答案】、x−13、Ex+2′2【考点】运用诱导公式化简求值根式与分数指数幂的互化及其化简运算有理数指数幂【解析】先将除法变为乘法，再约分，再同分化简．然后再将x=√2−2代入求解．【解答】原式=x+2x ×x2(x+2)2−x−2(x+2)(x−2)=xx+2−1x+2=x−1x+2再将x=√2−2代入得：√2−2−1√2−2+2=√2√2=1−3√2231.【答案】【考点】有理数指数幂的化简求值根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 32. 【答案】解：（1）原式 =(0.1)3×(−13)−1+24×34+(212)6⋅(313)6=10−1+8+8×9=89．（2）∵ x 12+x −12=3，∴ x +x−1=(x 12+x −12)2−2=32−2=7．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）原式 =(0.1)3×(−13)−1+24×34+(212)6⋅(313)6=10−1+8+8×9=89．（2）∵ x 12+x −12=3， ∴ x +x −1=(x 12+x −12)2−2=32−2=7．33.【答案】解：∵ a <b <0，∴ a −b <0，a +b <0． 当n 是奇数时，原式 =(a −b)+(a +b)=2a ；当n 是偶数时，原式= |a −b|+|a +b|=(b −a)+(−a −b)=−2a ． ∴ √(a −b)n n+√(a +b)n n={2a,n 为奇数，−2a,n 为偶数.【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ a <b <0，∴ a −b <0，a +b <0． 当n 是奇数时，原式 =(a −b)+(a +b)=2a ；当n 是偶数时，原式= |a −b|+|a +b|=(b −a)+(−a −b)=−2a ． ∴ √(a −b)n n+√(a +b)n n={2a,n 为奇数，−2a,n 为偶数.34.【答案】解：（1）4x 14(−3x 14y −13)÷[−6(x −12y −23)] =4×(−3)÷(−6)x 14+14−(−12)y −13−(−23)=2xy 13； （2）√m ⋅√m 3⋅√m 4⋅=m 12+13+14m 56+14=m 1312m 1312=1．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】（1）先把系数运算，再利用有理指数幂的运算性质化简得答案； （2）化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简得答案． 【解答】解：（1）4x 14(−3x 14y −13)÷[−6(x −12y −23)] =4×(−3)÷(−6)x14+14−(−12)y−13−(−23)=2xy 13； （2）√m ⋅√m 3⋅√m 4⋅=m 12+13+14m 56+14=m 1312m 1312=1．35. 【答案】解：（1）原式=√9+2√18+2+√9−2√18+2 =√9+√2+√9−√2 =6． （2）原式=(a2+13b 2+13)12a 14−13b 12+13=a 76+112b 76−56=a 53b 13．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 （1）（2）利用指数幂的运算法则、乘法公式即可得出． 【解答】解：（1）原式=√9+2√18+2+√9−2√18+2 =√9+√2+√9−√2 =6． （2）原式=(a2+13b 2+13)12a 14−13b 12+13=a76+112b76−56=a 53b 13．36. 【答案】解：(1)√(−27)23+√(2−π)2+√(4−π)44=32+π−2+4−π=9−2+4=11.(2)2x −13(12x 13+x −23)x=(1+2x −1)x =x +2.(3)(x 12+2y 14)(x 12−2y 14)÷y −12=(x −4y 12)y 12=x √y −4y.【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 分数指数幂 【解析】解：（1）√(−27)23+√(2−π)2+√(4−π)24=32+π−2+4−π=9−2+4=11（2)2x −13(12x 13+x −23)x =(1+2x −1)x =x +2.（3）(x 12+2y 14)(x 12−2y 14)÷y −12=(x −4y 12)y 12=x √y −4y. 【解答】解：(1)√(−27)23+√(2−π)2+√(4−π)44=32+π−2+4−π=9−2+4=11.(2)2x −13(12x 13+x −23)x=(1+2x −1)x =x +2. (3)(x 12+2y 14)(x 12−2y 14)÷y −12 =(x −4y 12)y 12=x √y −4y.37. 【答案】解：(1)原式=52+1−12=3．(2)原式=[2×(−6)÷(−3)]a 23+12−16 b 12+13−56 =4ab 0 =4a ．【考点】有理数指数幂的化简求值根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 无 无 【解答】解：(1)原式=52+1−12=3． (2)原式=[2×(−6)÷(−3)]a 23+12−16 b12+13−56=4ab 0 =4a ．38. 【答案】 解：∵ x =√3−2=−√3−2，y =√3+2=2−√3，∴ x +y =−2√3，xy =−1， ∴x 2+xy+y 2x+y=(x+y)2−xyx+y=√3)2−2√3=−13√36． 【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】首先化简x ，y ，再化简原式，最后代入计算即可． 【解答】 解：∵ x =√3−2=−√3−2，y =√3+2=2−√3，∴ x +y =−2√3，xy =−1， ∴ x 2+xy+y 2x+y=(x+y)2−xyx+y=√3)2−2√3=−13√36． 39. 【答案】解：(1) 原式=(213×312)6+1−4×(74)(−2)×(−12)+|3−π|=22×33+1−4×74+π−3=99+π. (2)∵ √a −√a=4，∴ a 12−a −12=4， ∴ (a 12−a −12)2=16， ∴ a +a −1=18，∴ (a 12+a −12)2=a +a −1+2=20. ∵ a 12+a −12>0， ∴ a 12+a−12=2√5.【考点】有理数指数幂的化简求值根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】(1)将根式转化为分数指数幂进行求解即可； (2)将已知条件两边平方，得到a +a −1=18，再代入(a 12+a −12)2=a +a −1+2=20，即可求解.【解答】解：(1) 原式=(213×312)6+1−4×(74)(−2)×(−12)+|3−π|=22×33+1−4×74+π−3=99+π. (2)∵ √a −√a=4，∴ a 12−a −12=4， ∴ (a 12−a −12)2=16， ∴ a +a −1=18，∴ (a 12+a −12)2=a +a −1+2=20. ∵ a 12+a −12>0， ∴ a 12+a −12=2√5. 40. 【答案】 解：(1)原式=b(a 3(ab)13)12a(b 2(ab)12)13=b×a 32a×b 23=a 12b 13； (2)原式 =(94)12+(110)−2−[(32)3]13+1=32+100−32+1=101.【考点】有理数指数幂的化简求值根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】（1）利用根式与分数指数幂的运算性质化简运算即可；（2）根式与分数指数幂的运算性质先进行分式指数幂的运算，再化简即可． 【解答】 解：(1)原式=b(a 3(ab)13)12a(b 2(ab)12)13=b×a 32a×b 23=a 12b 13； (2)原式 =(94)12+(110)−2−[(32)3]13+1=32+100−32+1=101.。
高中数学分数指数幂练习题(带答案)
高中数学分数指数幂练习题（带答案）高中数学分数指数幂练习题（带答案）数学必修1(苏教版)2.2 指数函数2．2.1 分数指数幂在初中我们已经知道：若x2＝a，则x叫做a的平方根，同理，若x3＝a，则x叫做a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如－8的立方根为－2；零的平方根、立方根均为零，那么类比平方根、立方根的概念，n次方根的概念是什么呢？基础巩固1．下列各式中，对xR，nN*恒成立的是()A.nxn＝xB.n|x|n＝xC．(nx)n＝x D.2nx2n＝|x|解析：nxn＝x，n为奇数|x|，n为偶数.答案：D2．设a＝424，b＝312，c＝6，则a，b，c的大小关系是() A．ac B．baC．ba D．ac解析：将根指数化为相同，再比较被开方数．答案：D3．式子3＋5＋3－5的化简结果为()解析：原式＝3＋2＋3－2＝23.答案：239．化简：（－＋1）（＋＋1）（x－＋1）＝________. 解析：原式＝[( ＋1)2－( )2](x－＋1)＝(x＋1＋ )(x－＋1)＝(x＋1)2－( )2＝x2＋x＋1.答案：x2＋x＋110.36a9463a94的结果是________．解析：[ ]4[ ]4＝＝a2＋2＝a4.答案：a411．用分数指数幂表示4a3aa＝________.解析：原式＝＝答案：12．若m＝(2＋3)－1，n＝(2－3)－1，则(m＋1)－2＋(n＋1)－2＝________.解析：∵m＝2－3，n＝2＋3，原式＝13－32＋13＋32＝112－63＋112＋63＝＝162＋3＋2－3＝46＝23.答案：2313．（）（－）6（－）＝________.解析：原式＝－2－3 ＝ .答案：14．计算： 33yx3x2y(x0)．解析：原式＝能力提升15.82＋122＋124＋128＋1＋1＝________.解析：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(28－1)(28＋1)＋1＝216－1＋1＝216.原式＝22＝4.答案：416．化简：a3b23ab2a14b1243ba(a，b0)的结果是________．解析：原式＝＝＝＝ab.答案：ab17．x12，2，则4x2－4x＋1＋2x2－4x＋4＝________.解析：原式＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝2x－1＋4－2x＝3.答案：318．已知a＝ (nN*)，求(a2＋1＋a)n的值．解析：∵a＝，a2＋1＝＋1a2＋1＋a＝＋ .(a2＋1＋a)n＝2019.19．已知a2x＝2＋1，求a3x＋a－3xax＋a－x的值．解析：原式＝＝a2x＋a－2x－1＝2＋1＋12＋1－1＝2＋2－1＝22－1. xKb 1. Com20．设x＝3a＋a2＋b3＋3a－a2＋b3，求x3＋3bx－2a的值．解析：设u＝3a＋a2＋b3，v＝3a－a2＋b3，则x＝u＋v，u3＋v3＝2a，uv＝3a2－a2＋b3＝－b.x3＝(u＋v)3＝u3＋u3＋3uv(u＋v)＝2a－3bx，x3＋3bx－2a＝0.21．化简：－ .解析：原式＝－＝－2 ＝－23xyxy.22．化简：＋－ .解析：原式看上去比较复杂，不易发现项与项之间、分子与分母之间的关系，如令b＝，式子就变得简单些了．令b＝，即a＝b3，原式＝b3－1b2＋b＋1＋b3＋1b＋1－b3－bb－1＝＋－＝b－1＋b2－b＋1－b2－b＝－b＝－ .。
4.1.1 n次方根与分数指数幂 练习(学生版)
三、解答题
11．（2019·重庆南开中学高一期中） ；
设 ，化简： ；
若 ，求 的值．
12．（2019·广东佛山一中高一期中）设 ．
（1）化简上式，求 的值；
（2）设集合 ，全集为 ， ，求集合 中的元素个数．
A. B. C. D.
5（2019·河南高一期中）式子 经过计算可得到（ ）
A． B． C．－ D．－
6．（2019·广西桂林十八中高一期中）化简 的结果是
A. B. C. D.
二、填空题
7.（2019·辽宁高一月考）计算 ______．
8．（2019·辽宁高一期中） =______．
9．已知m=2，n=3，则[ ÷ ]3的值是______．
第四章指数函数与对数函数
4.1.1 n次方根与分数指数幂2．（2019·广东高三学业考试）已知 ，则 ( )
A． B． C． D．
3．（2019·浙江镇海中学高一期中）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是( )
A． B．
C． D．
4.（2019·广西桂林十八中高一期中）若 ，则
(完整版)分数指数幂练习题
分数指数幂1．下列命题中，正确命题的个数是__________．①na n＝a ②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1③3x4＋y3＝x43＋y ④3－5＝6(－5)22．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的序号是__________．①－x＝(－x)12(x≠0) ②x x＝x34③x－13＝－3x ④3x·4x＝x112⑤(xy)－34＝4(yx)3(xy≠0) ⑥6y2＝y13(y<0)3．若a＝2，b＝3，c＝－2，则(a c)b＝__________.4．根式a a的分数指数幂形式为__________．5.4(－25)2＝__________.6．2－(2k＋1)－2－(2k－1)＋2－2k的化简结果是__________．7．(1)设α，β是方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则(14)α＋β＝__________.(2)若10x＝3,10y＝4，则10x－12y＝__________.8．(1)求下列各式的值：①2723；②(614)12；③(49)－32.(2)解方程：①x－3＝18；②x＝914.9．求下列各式的值：(1)(0.027)23＋(12527)13－(279)0.5；(2)(13)12＋3·(3－2)－1－(11764)14－(333)34－(13)－1.10．已知a 12＋a －12＝4，求a ＋a －1的值．11．化简下列各式： (1)5x －23y12(－14x －1y 12)(－56x 13y －16)；(2)m ＋m －1＋2m －12＋m12.12．[(－2)2]－12的值是__________．13．化简(36a 9)4·(63a 9)4的结果是__________．14．以下各式，化简正确的个数是__________． ①a 25a －13a －115＝1 ②(a 6b －9)－23＝a －4b 6③(－x 14y －13)(x －12y 23)(－x 14y 23)＝y④－15a 12b 13c －3425a －12b 13c54＝－35ac15．(2010山东德州模拟，4改编)如果a 3＝3，a 10＝384，则a 3[(a 10a 3)17]n等于__________．16．化简3(a －b )3＋(a －2b )2的结果是__________． 17．下列结论中，正确的序号是__________．①当a<0时，(a 2)32＝a 3②na n＝|a|(n>1且n ∈N *)③函数y ＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)④若100a＝5,10b＝2，则2a ＋b ＝118．(1)若a ＝(2＋3)－1，b ＝(2－3)－1，则(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2的值是__________． (2)若x ＞0，y ＞0，且x(x ＋y)＝3y(x ＋5y)，则2x ＋2xy ＋3yx －xy ＋y 的值是__________．19．已知a ＝2 0091n －2 009－1n 2(n ∈N *)，则(a 2＋1＋a)n的值是__________．20．若S ＝(1＋2－132)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)，那么S 等于__________．21．先化简，再求值：(1)a 2·5a310a 7·a，其中a ＝8－53；(2)a 3x＋a －3xa x ＋a －x ，其中a 2x＝5.22.(易错题)计算：(1)(235)0＋2－2·(214)－12－(0.01)0.5；(2)(279)0.5＋0.1－2＋(21027)－23－3π0＋3748；(3)(0.008 1)－14－[3×(78)0]－1×[81－0.25＋(338)－13]－12－10×0.02713.23．已知x 12＋x －12＝3，求x 32＋x －32＋2x 2＋x －2＋3的值．24．化简下列各式：(1)x －2＋y －2x －23＋y －23－x －2－y －2x －23－y －23；(2)a 43－8a 13b a 23＋23ab ＋4b 23÷(1－23b a )×3a.答案与解析基础巩固1．1 ∵na n＝⎩⎨⎧a ，当n 为奇数时，|a|，当n 为偶数时，∴①不正确；∵a ∈R ，且a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≠0，∴②正确；∵x 4＋y 3为多项式，∴③不正确；④中左边为负，右边为正显然不正确．∴只有②正确．2.②⑤ ①－x ＝－x 12，∴①错；②x x ＝(x x)12＝(x ·x 12)12＝(x 32)12＝x 34，∴②对；③x －13＝1x 13＝13x ，∴③错；④3x ·4x ＝x 13·x 14＝x 13＋14＝x 712，∴④错；⑤(x y )－34＝(y x )34＝4(y x )3， ∴⑤对；⑥6y 2＝|y|13＝－y 13(y<0)，∴⑥错．∴②⑤正确．3.164 (a c )b ＝a bc ＝23×(－2)＝2－6＝126＝164. 4．a 32 a a ＝a ·a 12＝a1＋12＝a 32.5．5 4(－25)2＝4252＝454＝5. 6．－2－(2k ＋1)∵2－(2k ＋1)－2－(2k －1)＋2－2k＝2－2k·2－1－2－2k·21＋2－2k＝(12－2＋1)·2－2k＝－12·2－2k ＝－2－(2k ＋1)．7．(1)8 (2)32 (1)由根与系数的关系，得α＋β＝－32，∴(14)α＋β＝(14)－32＝(2－2)－32＝23＝8. (2)∵10x ＝3,10y ＝4，∴10x －12y ＝10x ÷1012y ＝10x ÷(10y )12＝3÷412＝32.8．解：(1)①2723＝(33)23＝33×23＝32＝9.②(614)12＝(254)12＝[(52)2]12＝(52)2×12＝52.③(49)－32＝(23)2×(－32) ＝(23)－3＝(32)3＝278. (2)①∵x －3＝18＝2－3，∴x ＝2.②∵x ＝914，∴(x)2＝(914)2＝912.∴x ＝(32)12＝3.9．解：(1)原式＝(0.33)23＋(12527)13－(259)12＝9100＋53－53＝9100.(2)原式＝3－12＋33－2－(8164)14－(3－23)34－31＝33＋3(3＋2)－[4(34)4]14－3－12－3 ＝33＋3＋6－2·34－33－3 ＝6－342.10．解：∵a 12＋a －12＝4.∴两边平方，得a ＋a －1＋2＝16. ∴a ＋a －1＝14.11．解：(1)原式＝245×5×x －23＋1－13×y 12－12＋16＝24x 0y 16＝24y 16；(2)原式＝(m 12)2＋2m 12·m －12＋(m －12)2m －12＋m12＝(m 12＋m －12)2m 12＋m －12＝m 12＋m －12.能力提升12.22 原式＝2－12＝12＝22. 13．a 4原式＝(3a 96)4·(6a 93)4＝(a 32×13)4·(a3×16)4＝(a 12)4·(a 12)4＝a 2·a 2＝a 4. 14．3 由分数指数幂的运算法则知①②③正确； 对④，∵左边＝－35a 12＋12b 13－13c －34－54＝－35a 1b 0c －2＝－35ac －2≠右边，∴④错误．15．3·2n 原式＝3·[(3843)17]n ＝3·[(128)17]n ＝3·(27×17)n＝3·2n.16．b 或2a －3b 原式＝a －b ＋|a －2b|＝⎩⎨⎧ a －b ＋2b －a ，a ＜2b a －b ＋a －2b ，a ≥2b ＝⎩⎨⎧b ，a ＜2b ，2a －3b ，a ≥2b.17．④ ①中，当a ＜0时，(a 2)32＝[(a 2)12]3＝(|a|)3＝(－a)3＝－a 3，∴①不正确；当a ＜0，n 为奇数时，n a n＝a ， ∴②不正确；③中，有⎩⎨⎧x －2≥0，3x －7≠0，即x ≥2且x ≠73，故定义域为[2，73)∪(73，＋∞)，∴③不正确； ④中，∵100a ＝5,10b＝2，∴102a ＝5,10b ＝2,102a ×10b＝10. ∴2a ＋b ＝1.∴④正确．18．(1)23 (2)3 (1)a ＝12＋3＝2－3，b ＝12－3＝2＋3，∴(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2＝(3－3)－2＋(3＋3)－2＝1(3－3)2＋1(3＋3)2＝(3＋3)2＋(3－3)2(3－3)2·(3＋3)2＝32＋2·3·3＋3＋32－2·3·3＋3[(3－3)(3＋3)]2＝2×9＋6(9－3)2＝2436＝23. (2)由已知条件，可得 (x)2－2xy －15(y)2＝0， ∴x ＋3y ＝0或x －5y ＝0. ∵x ＞0，y ＞0， ∴x ＝5y ，x ＝25y. ∴原式＝50y ＋225y 2＋3y25y －25y 2＋y＝50y ＋10y ＋3y 25y －5y ＋y ＝63y21y＝3.19．2 009 ∵a ＝2 0091n －2 009－1n2，∴a 2＋1＝1＋2 0092n ＋2 009－2n －24＝(2 0091n )2＋2＋(2 009－1n)24＝(2 0091n ＋2 009－1n 2)2.∴a 2＋1＋a＝2 0091n ＋2 009－1n 2＋2 0091n －2 009－1n2＝2 0091n.∴(a 2＋1＋a)n＝(2 0091n )n ＝2 009.20.12(1－2－132)－1原式＝(1－2－132)(1＋2－132)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)1－2－132＝(1－2－116)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)1－2－132＝(1－2－18)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)1－2－132＝(1－2－14)(1＋2－14)(1＋2－12)1－2－132＝(1－2－12)(1＋2－12)1－2－132＝1－2－11－2－132＝12(1－2－132)－1. 21．解：(1)原式＝a2＋35－710－12＝a 75＝(8－53)75＝8－73＝(23)－73＝2－7＝1128.(2)原式＝(a x )3＋(a －x )3a x ＋a －x＝(a x＋a －x)(a 2x－a x·a －x＋a －2x)a x ＋a －x＝a 2x－1＋a－2x＝5－1＋15＝415.22．解：(1)原式＝1＋14·(49)12－(1100)12＝1＋14×23－(110)2×12＝1＋16－110＝1115.(2)原式＝(259)12＋(110)－2＋(6427)－23－3×1＋3748＝53＋100＋(43)－2－3＋3748 ＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (3)原式＝[(0.3)4]－14－3－1×[(34)－14＋(278)－13]－12－10×[(0.3)3]13＝0.3－1－13[3－1＋(32)－1]－12－10×0.3＝103－13(13＋23)－12－3＝103－13－3＝0.23．解：∵x 12＋x －12＝3，∴(x 12＋x －12)2＝9.∴x ＋x －1＝7.∴原式＝(x 12)3＋(x －12)3＋2x 2＋x －2＋3.. ＝(x 12＋x －12)(x －1＋x －1)＋2(x ＋x －1)2－2＋3＝3×(7－1)＋272－2＋3＝25. 拓展探究24．解：(1)原式＝(x －23)3＋(y －23)3x －23＋y －23－(x －23)3－(y －23)3x －23－y －23＝(x －23)2－x －23·y －23＋(y －23)2－(x －23)2－x －23·y －23－(y －23)2＝－2(xy)－23. (2)原式＝a 13[(a 13)3－(2b 13)3]a 23＋2a 13b 13＋(2b 13)2÷(1－2b 13a 13)×a 13 ＝a 13(a 13－2b 13)[a 23＋2a 13b 13＋(2b 13)2]a 23＋2a 13b 13＋(2b 13)2÷a 13－2b 13a 13×a 13＝a 13(a 13－2b 13)·11×a 13a 13－2b 13×a 13＝a 13·a 13·a 13＝a.。
高一数学根式与分数指数幂专题练习
江苏省大丰市南阳中学高一数学《根式与分数指数幂》专题练习一、选择题1．化简－x 3x 的结果是( ) A ．－－xC ．－x2．设n ∈N ＋，则18[1－(－1)n ]·(n 2－1)的值( )A ．必然是零B ．必然是偶数C ．是整数但不必然是偶数D ．不必然是整数3．化简(x ＋3)2－3(x －3)3得( )A ．6B ．2xC ．6或－2xD ．－2x 或6或24．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f 2(1)的值为()A ．2bB ．a －b ＋cC ．－2bD ．05．若xy ≠0，那么等式4x 2y 3＝－2xy y 成立的条件是( )A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x <0，y >0D ．x <0，y <0＋7－210＝( )＋2－2 5 － 6－ 2 D ．25－6－ 27．(5116)＋(－1)－1÷－2＋(21027)－23＝( )C ．－94 D ．－498．使(3－2x －x 2)－34成心义的x 的取值范围是( )A ．RB ．x ≠1且x ≠3C ．－3<x <1D ．x <－3或x >1 9．化简(a 、b >0)的结果是( )B ．ab D ．a 2b 10．设x 、y 、z ∈R ，且5x ＝9y ＝225z ，则( ) ＝1x ＋1y ＝1x ＋1y ＝2x ＋1y＝1x ＋2y二、填空题 11．已知a ＋a －1＝3，则a 2＋a －2＝__________.12．已知2a ＋2－a ＝3，则8a ＋8-a ＝________.13．已知3a ＝2,3b ＝5，则32a -b ＝________. 14．化简：3xy 26x 5·4y 3＝________. 三、解答题15．化简y ＝4x 2＋4x ＋1＋4x 2－12x ＋9，并画出简图．16．若x >0，y >0，且x (x ＋y )＝3y (x ＋5y )，求2x ＋2xy ＋3y x －xy ＋y的值．17．已知x ＝12(a b ＋b a )，(a >b >0)，求2ab x －x 2－1的值．18．计算(1)733－3324－6319＋4333；(2)－14－[－2×(73)0]2×[(－2)3]43＋10(2－3)－1－(1300)－； (3)(124＋223)12－2716＋1634－2×(8－23)－1＋52×(4－25)－1.19．化简下列各式： (1)a 35b 2·35b 34a 3； (2)(1－a )[(a －1)－2(－a )12]12；(3)(3a 2b )2·a b 4ab3.20．已知＝1000,＝1000，求证：1x －1y ＝13.。
2.1.1 根式与分数指数幂
n 次方根
1.根式的概念
xn＝a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方 (1)a 的 n 次方根：如果________
根，其中 n＞1，且 n∈N*.当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为
a R ________ ，a∈________ ；当 n 是偶数时，a 的 n 次方根表示为
n
(0，＋∞) ±n a ，a∈___________. ________
例1.计算下列各式：
(1)(0.064) ＋[(－2)3] ＋16
1 27 2 (2)－ 8 3 ＋(0.01) 2 .
1 3
4 3
－0.75
；
3 (2m2 n
3 5 10
) (m n3 )6
1 2
解：(1)原式＝(0.43) ＋(－2)－4＋(24)
1 1 1 3 3
3
1 1 1 2 3 6
＝2×3＝6.
1 2 2 1 2 1 2 2
(3)原式＝
(m n ) (m n ) (m n )(m n )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
2m＋n ＝ . m－n
式子中既含有分数指数幂，又含有根式，应该
把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于运算.
对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未
知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法
求值.
3.计算： (2m2 n ) (m n3 )6 (m, n N ) 解：原式=(2m2 n )
10
3 5 10
3 5 10
1 2
(m n3 )6
6
1 2
4.1.1n次方根与分数指数幂-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册练习
n 次方根与分数指数幂同步练习一、选择题1. 若2m ⋅4n =16，则必有（ ）A. mn =4B. mn =2C. m +2n =2D. m +2n =42.√a 55+√(2a −1)44的化简结果为（）A. 1−aB. 3a −1C. 1−a 或3a −1D. a −1或1−3a3. 当x >0时，若√√x 3=3x，则x =( )A. 927B. 327C. 925D. 3254. 若{1,a,ba }={0,a 2,a +b }，则a 2012+b 2012的值为( )A. 0B. 1C. −1D. 1或−15. 若10a =5,10b =2，则a +b =( )A. −1B. 0C. 1D. 26. 已知a m =4，a n =3，则√a m−2n 的值为（）A. 23B. 6C. 32D. 27. 化简√√ab 23⋅a 3b 2√b 3⋅(a 16b 12)4(a,b 为正数)的结果是（ ）A. baB. abC. abD. a 2b8. 有下列说法：①81的4次方根是3；②√164的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，√a n对任意a ∈R 都有意义； ④当n 为大于1的偶数时，√a n只有当a ⩾0时才有意义．其中，正确的是( )A. ①③④B. ②③④C. ②③D. ③④9. 若xy ≠0，那么等式√x 2y 3=−xy √y 成立的条件是A. x >0,y >0B. x >0,y <0C. x <0,y >0D. x <0,y <010. 已知a =0.24，b =0.32，c =0.43，则（）A. b <a <cB. a <c <bC. c <a <bD. a <b <c二、填空题11. 化简(a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)的结果是____.12. 化简：√(−4)44=__________． 三、解答题 13. (1)计算0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1;(2)若x 12+x −12=√6，求x+x −1−1x 2+x −2−2的值．14. 求下列各式的值：(1)√10044； (2)√(−0.1)55； (3)√(π−4)2； (4)√(x −y)66．15. (1)求值：(214)12−(−9.6)0−(338)−23+1.5−2+[(−5)4]14；(2)已知a 12+a −12=3，求a 32+a −32的值． (附：a 3+b 3=(a +b)(a 2−ab +b 2))答案和解析1.D【解答】解：∵2m ⋅4n =2m ⋅22n =2m+2n =24， ∴m +2n =4．2.C解：√a 55+√(2a −1)44=a +|2a −1|={1−a,a <123a −1,a ≥12，故√a 55+√(2a −1)44的化简结果为1−a 或3a −1．3.A解：∵√√x 3=3x，∴√x 3=9x 2，∴x 2⋅x 32=x 72=9， ∴x =927．4.B解：根据题意，对于{a,ba ,1}，有a ≠1，a ≠0； 又有{1,a,ba }={0,a 2,a +b }， 则有a =0或b a =0； 又由a ≠0；故b =0；代入集合中．可得{a,1，0}={a 2，a ，0}， 必有a 2=1， 又由a ≠1， 则a =−1；则a 2012+b 2012=1．5.C解：10a =5,10b =2，所以10a ·10b =10a+b =5×2=10, a +b =1，6.A解：√a m−2n =√a m (a n )2=√49=23．7.C解：原式=[(ab 2)13⋅a 3⋅b 2]12b 13⋅a 23⋅b 2=(a 13+3·b 23+2)12a 23·b 13+2=(a 103·b 83)12a 23·b 73=a 103×12−23·b 83×12−73=a ·b −1=ab．8.D解：①81的4次方根是±3，故①错误；②√164的运算结果是2，故②错误；③当n 为大于1的奇数时，√a n对任意a ∈R 都有意义，故③正确；④当n 为大于1的偶数时，√a n只有当a ⩾0时才有意义，故④正确．9.C解：∵xy ≠0，且√x 2y 3=−xy √y ， ∴y >0，xy <0， 则y >0，x <0，10.B解：∵c =0.43=0.064，a =0.24=0.0016， ∴a <c ，又∵c =0.43=0.064，b =0.32=0.09，c <b ， ∴a <c <b ，11.−9a解：(a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)=−9a 23+12−16b 12+13−56=−9a ．12.4解：根据偶次方根的性质得√(−4)44=|−4|=4． 故答案为4．13.解;(1)原式=0.33×(−13)−1(−16)2+34×0.75+1−13=103−36+27+1−13=−5．(2)若x 12+x −12=√6，两边平方得x +x −1=4， 再两边平方得x 2+x −2=14，故x+x −1−1x 2+x −2−2=4−114−2=14．14.解：(1)√10044=10044=1001=100； (2)√(−0.1)55=(−0.1)55=(−0.1)1=−0.1；；(4)√(x −y)66=|x −y |．15.解：=32−1−49+49+5 =112；(2)∵a 12+a−12=3，∴a 32+a −32=(a 12)3+(a −12)3=(a 12+a −12)(a +a −1−1)， ∵(a 12+a −12)2=9=a +a −1+2，所以a +a −1=7，代入上式得，a 32+a −32=3×(7−1)=18．。
根式与指数幂训练试题
根式与指数幂1.[2015·合肥高一检测]已知x 5＝6，则x 等于( ) A. 6 B.56C ．－56 D ．±562．下列各式正确的是( )A.3623)3(-=-B.4a 4＝aC.622＝32 D ．a 0＝1 3．计算下列各式的值：(1) 3－53＝__________.(2)设b<0，(－b)2＝__________.4．[2015·成都高一检测]已知 14)14(2--=+a a ,则实数a 的取值范围是________．5．设x ∈R ，求x 2－2x ＋1－x 2－4x ＋4的值．一、选择题1．[2014·浙江高一期中]下列命题正确的是( )A ．当n 为偶数时，n a n ＝aB ．当n 为奇数时，n a n＝aC ．(－1) 13 ＝(－1) 26 D ．0－ 12 ＝0 2．下列说法：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2； ③当n 为大于1的奇数时，na 对任意a ∈R 有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a≥0时才有意义．其中正确的是( ) A ．①③④ B ．②③④C ．②③ D ．③④ 3.6x －2·43－x 有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x≥2 B．x≤3C．2≤x≤3 D．x ∈R4.3－6 3＋45－4 4＋35－4 3的值为( ) A ．－6 B ．25－2C ．2 5 D ．65．若xy≠0，则等式4x 2y 3＝－2xy y 成立的条件是( ) A ．x>0，y>0 B ．x>0，y<0C ．x<0，y>0 D ．x<0，y<0 二、填空题6．当m ＜n 时， 4 m－n 481＝________.7．若x<0，则|x|－x 2＋x 2|x|＝________.8．[2015·吉林高一月考]已知a ∈R ，n ∈N *，给出四个式子：①6 －2 2n ；②5a 2；③6 －3 2n ＋1；④9－a 4，其中没有意义的是________(只填式子的序号即可)．三、解答题9．计算 11－230＋7－210.10．若x>0，y>0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xyy ＋2xy的值．指数幂及运算一1.若(1－2x)－ 34有意义，则x 的取值范围是( )A ．x ∈RB ．x ∈R 且x≠12C ．x>12D ．x<122．计算(2a －3b －23 )·(－3a －1b)÷(4a －4b －53 )得( )A ．－32b 2B.32b 2C ．－32b 73 D.32b733．(m 34 ·n －23 )6＝________.(m ，n>0)4．[2015·江西三校高一联考]计算3a 92 ·a －3÷3a －7·3a 13(a>0)＝________. 5．计算或化简下列各式：[2014·黑龙江哈尔滨高一期中](1)(32×3)6＋(22) 43 －4(1649)－ 12 －42×80.25＋(－2005)0(2) a 23 ·b －1－ 12 ·a － 12 ·b 13 6a·b5.指数幂及运算二一、选择题1．[2014·宁夏银川高一期中]下列各式中成立的是( )A ．(m n)7＝m 7n 17 B.12 －3 4＝3－3C.4x 3＋y 3＝(x ＋y) 34 D.39＝332．[2015·云南玉溪高一期中](36a 9)4(63a 9)4等于( )A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 23．[2014·唐县一中高一期中]化简：(a 23 b 12 )·(－3a 12 b 13 )÷(13a 16b 56)＝( )A ．6aB ．－aC ．－9aD ．9a 24．计算 2n ＋1 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＋14×8(n ∈N *)的结果为( )A.164B ．22n ＋5C ．2n 2－2n ＋6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －7 5．若102x ＝25，则10－x等于( )A ．－15 B.15C.150 D.16205二、填空题7．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝__________，(2α)β＝__________.8．[2015·广东实验高一模考]27 23 ＋16－ 12 －(12)－2－(827)－23 ＝________.三、解答题9．[2014·湖北荆州高一期中]已知x 12 ＋x － 12 ＝3，求x 2＋x －2－2x ＋x －1－3的值．10．(1)计算：0.0001－14 ＋27 23 －⎝ ⎛⎭⎪⎫4964－ 12 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－1.5；(2)化简：m 12 －n 12 m 12 ＋n 12 ＋m 12 ＋n 12m 12 －n 12.指数函数的定义与简单性质1.下列函数中一定是指数函数的是( )A ．y ＝5x ＋1B ．y ＝x 4C ．y ＝3－xD ．y ＝2·3x2．[2014·石家庄一中高一期中]若集合M ＝{y|y ＝2x}，N ＝{y|y ＝x －1}，则M∩N＝( ) A ．{y|y>1} B ．{y|y≥1}C．{y|y>0} D ．{y|y≥0}3．函数y ＝(a －1)x在R 上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a>0且a≠1 B．a>2C ．a<2 D ．1<a<24．[2014·吉林一中高一期中]函数f(x)＝(13)1－x 2的定义域是________，值域是________．5．已知指数函数的图象过点M(3,8)，求f(4)，f(－4)的值．一、选择题1．[2014·江西高考]已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax 2－x(a ∈R)．若f[g(1)]＝1，则a ＝( ) A ．1 B ．2C ．3 D ．－12．[2014·平遥高一检测]函数y ＝3x 与y ＝3－x的图象关于下列哪条直线对称( ) A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线y ＝x D ．直线y ＝－x3．[2015·石家庄一中高一期中]若函数y ＝3x＋(b －1)的图象不经过第二象限，则有( ) A ．b ＜1 B ．b≤0C．b ＞1 D ．b≥04．当x>0时，函数f(x)＝(a 2－1)x的值总大于1，则实数a 的取值范围是( )A ．1<|a|<2B ．|a|<1C ．|a|>1D ．|a|> 25．[2013·湖北荆州高一期中]函数y ＝a x(a>0且a≠1)，在[1,2]上的最大值与最小值的差为a2，则a 的值为( )A.12B.32C.23或2D.12或32 二、填空题6．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞0，x ＋1，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于________．7．[2014·云南玉溪高一期中]若a ＞0，a≠1，则函数y ＝a x ＋3－4的图象一定过点________．8．已知函数f(x)＝a x ＋a －x(a>0且a≠1)，f(1)＝3，则f(0)＋f(1)＋f(2)的值为________．三、解答题9．[2015·福建六校高一联考]已知函数f(x)＝a x －1(x≥0)的图象经过点(2，12)，其中a>0且a≠1.(1)求a 的值；(2)求函数f(x)＝a x －1(x≥0)的值域．10．求下列函数的定义域与值域：(1)y ＝(23)－|x|；(2)y ＝4x ＋2x ＋1＋1.指数函数图象与性质的应用1.若(12)2a ＋1<(12)3－2a，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(12，＋∞)C．(－∞，1) D ．(－∞，12)2．下列不等关系中，正确的是( )A ．(12)23 <1<(12)13B ．(12)13 <(12)23 <1C ．1<(12)13 <(12)23D ．(12)23 <(12)13 <13．方程3x －1＝19的解是________．4．[2015·海南中学高一期中]函数f(x)＝1－2x的定义域是________．5．[2014·湖南师大高一期中]解关于x 的不等式：a 6－x >a 2＋3x(a>0且a≠1)． s一、选择题1．[2015·杭州七校高一联考]函数f(x)＝a x－a(a>0且a≠1)的图象可能是( )2．已知函数f(x)的定义域是(1,2)，则函数f(2x)的定义域是( )A ．(0,1)B ．(2,4)C ．(12，1) D ．(1,2)3．设a ＝(25)35 ，b ＝(25)25 ，c ＝(35)52，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>b>cB ．c>a>bC ．a<b<cD ．b>c>a4．已知实数a ，b 满足等式2012a ＝2013b，下列五个关系式：①0<b<a ；②a<b<0；③0<a<b ；④b<a<0；⑤a ＝b.其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．若f(x)＝－x 2＋2ax 与g(x)＝(a ＋1)1－x(a>－1且a≠0)在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(－1,0)∪(0,1) 二、填空题6．已知函数y ＝(13)x在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为__________．7．已知函数f(x)＝a －x(a ＞0且a≠1)满足f(－2)＞f(－3)，则函数g(x)＝a 2x －1的单调增区间是________．8．[2014·江苏盐城高一期中]若函数y ＝f(x)的图象经过点(1,3)，则函数y ＝f(－x)＋1的图象必定经过的点的坐标是________．三、解答题9．[2015·江西三校高一联考](1)已知f(x)＝23－1＋m 是奇函数，求常数m 的值；(2)画出函数y ＝|3x －1|的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3x－1|＝k 无解？有一解？有两解？10．[2014·黑龙江哈尔滨高一期中]已知函数f(x)＝1－2a x －a 2x(a ＞0，a≠1)． (1)当a ＝3时，求函数f(x)的值域；(2)当a ＞1时，x ∈[－2,1]时，f(x)的最小值为－7，求a 的值．指数函数的图象和性质一A 组 基础巩固 1. 2014·长安高一检测 若函数f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)的图象过(1,2)点，则f (2)的值为( ) A ．2 B ．4C ．6 D ．82. 2014·天津高一检测 已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x＋b 的图象必定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限3．如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．b ＜a ＜1＜d ＜cC ．1＜a ＜b ＜c ＜dD ．a ＜b ＜1＜d ＜c4．函数f (x )＝a x －2＋1(a >0，a ≠1)的图象恒过点( ) A ．(0,1) B ．(0,2)C ．(2,1) D ．(2,2)5. 2013·山东高考 函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]6. 2014·贵阳高一检测 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜0，3x ，x ＞0，则f (f (－1))＝( )A ．2 B.3C ．0 D.127．已知函数y ＝(a －1)x是指数函数，且当x ＜0时，y ＞1，则实数a 的取值范围是__________．8．若y ＝(a －3)·(a －2)x是指数函数，则a ＝__________.9．已知函数y ＝a x－1(a >0，且a ≠1)的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围为________．10．设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .(1)在同一坐标系中作出f (x )、g (x )的图象；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？B 组 能力提升11．函数f (x )＝a x与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )A B C D12．已知f (x )的定义域是[1,5]，则函数y ＝f 2x －12x－4的定义域是( )A ．[1,3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3C ．[2,3) D ．(2,3] 13. 2014·安阳高一检测 已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，其中a ＞0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．15. 附加题·选做函数f (x )＝k ·a －x(k ，a 为常数，a >0且a ≠1)的图象过点A (0,1)，B (3,8)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝1)(1)(+-x f x f ，试判断函数g (x )的奇偶性．并给出证明．指数函数及其性质的应用二1．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1πa ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1πb，则a ，b 的大小关系是( )A ．1＞a ＞b ＞0B ．a ＜bC ．a ＞bD ．1＞b ＞a ＞02. 2014·天津高一检测 已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域是( )A ．[9,81] B ．[3,9]C ．[1,9] D ．[1，＋∞)3．不等式2x＞2x －x )21(的解集为( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)C．(0,2) D ．[0,2]4. 2014·天水高一检测 函数f (x )＝a x(a ＞0，a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a ＝( )A.12B.32C.12或32D.12或235．若不等式2－x＋a ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜－1 B ．a ≤－1C ．a ＞－1 D ．a ≥－16．设函数f (x )＝a －|x |(a >0且a ≠1)，f (2)＝4，则( )A ．f (－1)>f (－2)B ．f (1)>f (2)C ．f (2)<f (－2)D ．f (－3)>f (－2)7．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如下图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是( )A B C D8．若⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <23x ＋1，则x 的取值范围是________．10．已知函数f (x )＝3＋4x －ax 2)31(.(1)若a ＝－1时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值．11. 2014·商丘高一检测 若函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧≤->+1,)24(1,2x a x a x x是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞) B．(1,8)C ．(4,8) D ．[4,8) 12. 2014·台州高一检测 已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n的大小关系为__________．13. 2014·成都高一检测 已知函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a ＞0，且a ≠1) ，当x ≥0时，求函数f (x )的值域．14. 2014·襄阳高一检测 已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ＜0时，f (x )＝1＋2x. (1)求函数f (x )的解析式．(2)画出函数f (x )的图象．(3)写出函数f (x )的单调区间及值域．15. 附加题·选做 已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x2x ＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)用定义证明f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)若对于任意t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围.指数函数及其性质的应用三一、选择题1．[2015·杭州七校高一联考]函数f(x)＝a x－a(a>0且a≠1)的图象可能是( )2．已知函数f(x)的定义域是(1,2)，则函数f(2x)的定义域是( ) A ．(0,1) B ．(2,4)C ．(12，1) D ．(1,2)3．设a ＝(25)35 ，b ＝(25)25 ，c ＝(35)52，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>b>cB ．c>a>bC ．a<b<cD ．b>c>a4．已知实数a ，b 满足等式2012a＝2013b，下列五个关系式：①0<b<a ；②a<b<0；③0<a<b ；④b<a<0；⑤a ＝b.其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．若f(x)＝－x 2＋2ax 与g(x)＝(a ＋1)1－x(a>－1且a≠0)在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(－1,0)∪(0,1) 二、填空题6．已知函数y ＝(13)x在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为__________．8．[2014·江苏盐城高一期中]若函数y ＝f(x)的图象经过点(1,3)，则函数y ＝f(－x)＋1的图象必定经过的点的坐标是________．三、解答题10．[2014·黑龙江哈尔滨高一期中]已知函数f(x)＝1－2a x－a 2x(a ＞0，a≠1)． (1)当a ＝3时，求函数f(x)的值域；(2)当a ＞1时，x ∈[－2,1]时，f(x)的最小值为－7，求a 的值．。
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数1.1n次方根与分数指数幂基础训练(含解析)
n 次方根与分数指数幂课时评价作业基础达标练1.（2021浙江镇海中学高一期末）下列式子的互化正确的是( ) A.√y 26=y 13(y＜0) B.y −13=−√y 3(y ≠0)C.y−54=√(1y)54(y＞0) D.−√y =(−y )12(y＞0)答案： y2.（2020广东揭阳三中高一期中）化简：√(π−4)2+π= ( ) A.4B.2 π−4C.2 π−4 或4D.4−2 π 答案： y3.（2021湖南娄底高一期中）下列式子成立的是( ) A.y √−y =√−y 3 B.y √−y =−√−y 3 C.y √−y =√y 3 D.y √−y =−√y 3 答案： y√(y −1)44=y −1 ，则实数y 的取值范围是 . 答案： [1,+∞ ）y＜y ，则√(y −y )2= .答案： y −y√(3y −1)2=√(1−3y )33，则实数y 的取值范围是 . 答案： （−∞,13]解析： √(3y −1)2=|3y −1|,√(1−3y )33=1−3y ，由题意得|3y −1|=1−3y ，则3y −1≤0 ，即y ≤13. 7.用分数指数幂表示下列各式： （1）√y 3⋅√−y 6(y＜0) ；（2）(√y 234)23(y <0) ；（3）√y (√y 2)23y ≠0) .答案： （1）原式=y 13⋅(−y )16=−(−y )13⋅(−y )16=−(−y )12(y＜0). （2）原式=y 23×14×23=(−y )19=−y 19(y＜0). （3）原式=1y 13⋅y 45×13=1y 35=y −35(y ≠0).素养提升练yy =−5 ,则y √−y y +y √−yy 的值是( )A.2√5C.−2√5D.±2√5 答案： y解析：由题意知yy＜0,y √−y y +y √−y y=y √−yy y 2+y √−yyy 2=y √5y 2+y √5y 2=y ×√5|y |+y ×√5|y |=0 ，故选B.y (y )=yy 2+yy +0.1 的图象如图所示，则√(y −y )44化简的结果是 .答案： y −y解析： 由题图可知y (−1)=y −y +0.1＜0 ，∴y −y＜0 .∴√(y −y )44=|y −y |=−(y −y )=y −y . 10.求下列各式的值： （1）√3+2√2√3−2√2 ;（2）√5+2√6√6−4√2√7−4√3 .答案：（1）原式=√(√2)2+2√2+1+√(√2)2−2√2+1=√(√2+1)2+√(√2−1)2=√2+1+√2−1=2√2 .（2）原式=√(√3+√2)2−√(2−√2)2+√(2−√3)2=√3+√2−(2−√2)+2−√3=2√2 .√(y −3)(y 2−9)=(3−y )√y +3 成立的实数y 的取值范围. 答案： ∵√(y −3)(y 2−9)=√(y −3)2(y +3)=|y −3|√y +3 .∴ 要使等式√(y −3)(y 2−9)=(3−y )⋅√y +3 成立， 则需{|y −3|=3−y ,y +3≥0, 即{3−y ≥0,y +3≥0,解得−3≤y ≤3 .故a 的取值范围是[−3,3] . 创新拓展练y =√4y 2+4y +1+√4y 2−12y +9 ，并画出简图，写出最小值.答案： 原式=|2y +1|+|2y −3|={2−4y ,y ≤−12,4,−12＜y＜32,4y −2,y ≤32.其图象如图所示.解析：由图象易知函数的最小值为4.。
高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂精品练习(含解析
4.1.1 n次方根与分数指数幂必备知识基础练知识点一n次方根、根式的概念1.有下列四个命题：①正数的偶次方根是一个正数；②正数的奇次方根是一个正数；③负数的偶次方根是一个负数；④负数的奇次方根是一个负数．其中正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．32．已知x5＝6，则x等于( )A.6B.56C．－56D．±563．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.知识点二利用根式的性质化简或求值4.下列各式正确的是( )A.6－32＝3－3B.4a4＝aC.622＝32D．a0＝15．化简x＋32－3x－33得( )A．6 B．6或－2xC．2x D．6或2x或－2x6．当a>0时，－ax3＝( )A．x ax B．x－axC．－x－ax D．－x ax知识点三根式与分数指数幂的互化7.下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A ．－x ＝(－x)12(x>0)B .6y 2＝y 13(y<0)C ．x34-＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x>0) D ．x13-＝－3x (x≠0)8．已知a ＞0，将a2a ·3a2表示成分数指数幂，其结果是( )A ．a 12B ．a 56C ．a 32D ．a 769.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－4·(－2)－3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫140－912-＝________.关键能力综合练 一、选择题1．若x n＝a(x≠0)，则下列说法中正确的个数是( ) ①当n 为奇数时，x 的n 次方根为a ； ②当n 为奇数时，a 的n 次方根为x ； ③当n 为偶数时，x 的n 次方根为±a； ④当n 为偶数时，a 的n 次方根为±x.A ．1B ．2C ．3D ．42．下列各式正确的是( )A ．(3a)3＝aB ．(47)4＝－7C ．(5a)5＝|a| D .6a 6＝a3.a －b2＋5a －b5的值是( )A ．0B ．2(a －b)C ．0或2(a －b)D ．a －b4．化简1－2x2(x>12)的结果是( )A ．1－2xB ．0C ．2x －1D ．(1－2x)25．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( )A ．(－1)13和(－1)26B ．0－2和012C ．212和414D ．432-和⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3 6．(易错题)若n ＜m ＜0，则m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2等于( )A ．－2mB ．2nC ．2mD ．－2n二、填空题7．若x －1＋4x ＋y ＝0，则x 2 017＋y 2 018＝________. 8．(探究题)若2a －12＝31－2a3，则实数a 的取值X 围为________．9．化简31＋23＋41－24＝________.三、解答题10．求下列各式的值： (1)x －y2；(2) 5＋26－6－42＋7－4 3.学科素养升级练1．(多选题)下列各式中一定成立的有( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17 B .12－34＝33C .4x 3＋y 4＝(x ＋y)34D .39＝332．设f(x)＝x 2－4，若0<a≤1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝________.3．(学科素养—数学运算)已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a>b>0，求a －b a ＋b的值．4．1 指数4．1.1 n 次方根与分数指数幂必备知识基础练1．解析：正数的偶次方根有两个，负数的偶次方根不存在．①③错误，②④正确． 答案：C2．解析：∵5是奇数．∴x＝56. 答案：B3．解析：81的平方根为－9或9，即a ＝－9或9，－8的立方根为－2，即b ＝－2， ∴a＋b ＝－11或7. 答案：7或－11 4．解析：6－32＝632＝33，4a 4＝|a|，a 0＝1，条件为a≠0.故A 、B 、D 错．答案：C5．解析：原式＝|x ＋3|－(x －3)，当x≥－3时，原式＝6；当x ＜－3时，原式＝－2x ，故选B .答案：B6．解析：∵a>0，∴x≤0，－ax 3＝|x|－ax ＝－x·－ax ，故选C . 答案：C7．解析：－x ＝－x 12(x>0)；6y 2＝(|y|2)16＝－y 13(y<0)；x34-＝(x －3)14＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x>0)；x 13-＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 13＝31x (x≠0)．答案：C 8．解析：a2a ·3a2＝a 2÷⎝⎛⎭⎪⎫a·a 2312＝a 52-6＝a 76，故选D . 答案：D9．解析：原式＝2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＋1－13＝2＋12＋1－13＝196. 答案：196关键能力综合练1．解析：当n 为奇数时，a 的n 次方根只有1个，为x ；当n 为偶数时，由于(±x)n＝x n＝a ，所以a 的n 次方根有2个，为±x.所以说法②④是正确的，选B .答案：B2．解析：(47)4＝7，(5a)5＝a ，6a 6＝|a|，(3a)3＝a ，故选A . 答案：A 3．解析：a －b2＋5a －b5＝|a －b|＋(a －b)＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ，a≥b，0，a<b ，故选C .答案：C4．解析：∵2x>1，∴1－2x<0，∴1－2x2＝|1－2x|＝2x －1.故选C .答案：C5．解析：选项A 中，(－1)13和(－1)26均符合分数指数幂的定义，但(－1) 13＝3－1＝－1，(－1) 26＝6－12＝1，故A 不满足题意；选项B 中，0的负指数幂没有意义，故B不满足题意；选项D 中，432-和⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D 不满足题意；选项C 中，212＝2，414＝422＝212＝2，满足题意．故选C .答案：C6．解析：原式＝|m ＋n|－|m －n|，∵n＜m ＜0，∴m＋n ＜0，m －n ＞0.故原式＝－2m.故选A .答案：A7．解析：∵x －1＋4x ＋y ＝0，∴x－1＝0，x ＋y ＝0，∴x＝1，y ＝－1，x 2 017＋y 2 018＝2.答案：2 8．解析：2a －12＝|2a －1|,31－2a3＝1－2a ，∴|2a－1|＝1－2a ，即2a －1≤0，∴a≤12.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 9．解析：31＋23＋41－24＝1＋2＋(2－1)＝2 2.答案：2 2 10．解析：(1) x －y 2＝|x －y|，当x≥y 时， x －y 2＝x －y ； 当x ＜y 时， x －y 2＝y －x.(2)原式＝3＋22－2－22＋2－32＝3＋2－(2－2)＋2－3＝2 2.学科素养升级练1．解析：A 中应为⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m －7；12－34＝1234＝33，B 项正确；C 中当x ＝y ＝1时，等式不成立；D 项正确．故选BD .答案：BD2．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2－4＝a 2＋1a2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ， 因为0<a≤1，所以a≤1a，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝1a－a.答案：1a－a3．解析：解法一 ∵a，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4.∵a>b ，⎝⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15，∴a －ba ＋b ＝15＝55. 解法二 ∵a，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a>b ，而由x 2－6x ＋4＝0，得x 1＝3＋5，x 2＝3－5，∴a＝3＋5，b ＝3－5，∴a －b a ＋b＝a ＋b －2ab a －b ＝3＋5＋3－5－43＋5－3－5＝6－425＝15＝55.。