第4章寿险精算现值

Ax E ( Z )
k 0 k 1

t

0
v t px x t dt
t
k
v t p x x t dt px x s k ds
1 s 1 s
v
k 0 0
1
sk sk
v
k 0
k 1 k
px v
单位元赔付现值随机变量为
v , k 0,1, 2,, n 1 Z n v , k n, n 1,
k 1
(x) 的1单位元n年两全保险的精算现值为
Ax : n v
k 0 1
n 1
k 1
k qx v n px
n 1
Ax : n Ax : n
Z2 的方差为
Var ( Z 2 ) E ( Z 2 ) [ E ( Z 2 )]
2 2n n
2
v n p x [v n p x ] v n px n qx
2n
2
例3: 设（35）投保5年两全保险，保险
金额为1万元， 保险金死亡年末给付， 按附表1示例生命表计算其趸缴纯保费。
Ax (1 i)
单利计息时
1/ 2
Ax
Ax (1 i / 2) Ax
Z的方差为
Var ( Z ) E ( Z ) [ E ( Z )] Ax ( Ax )
2 2 2 2
其中
2
Ax E ( Z ) e
2 0

2 t
t px x t dt
例：设(x)投保终身寿险，保险金额为1元， 保险金在死亡即刻赔付，利息力为 0.03 ， 签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为
延期m年的n 年期两全保险
m
Ax :n

m
Ax :n
1
m
Ax :n Ax :m Ax m :n
1 1
1
递增终身寿险 ( IA) x kv k 1 px qx k j Ax : j
k 1 k 1 j 0
递减n年 定期寿险
( DA) x:n (n k 1)v k 1 px qx k Ax :n j
0
px k x k s ds
①在死亡均匀分布假设下，有
s
px k x k s qx k , 0 s 1
k 1 k
Ax v
k 0
px qx k v
0
1
s 1
ds Ax v
0
1
s 1
ds
i

Ax
②假设死亡集中发生在每个年龄的中间，这时 死亡时赔付平均来说比死亡年末赔付早半年。 复利计息时
2 1 1 2
其中
2 1 2
Ax : n E ( Z ) v
k 0
n 1
2( k 1)
k qx
v
k 0
n 1
2 ( k 1)
k qx
例1: 某40岁的人投保了5年10000元定期寿险， 保险金在死亡年末给付，根据中国人寿保险 业经验生命表（2000-2003）（男性表）计 算趸缴纯保费（利率5%）。
Z v ,
T
T 0
T的概率密度为 t p x x t ，其精算现值 Ax 为
Ax E ( Z ) v fT (t )dt v t px x t d t
t t 0 0
注: 被保险人存活函数给出时该精算现值才能
直接被估计出来。但实际中，通常只有生命表 提供的整数年龄上的死亡概率，因此需要对上 面的积分进行变换。
本节考虑如下险种的精算现值：
●
●
●
● ● ●
终身寿险 定期寿险 生存保险 两全保险 延期保险 变额保险
Whole life insurance Term life insurance Pure endowment insurance Endowment insurance Deferred insurance Varying insurance
A40 : 3 5% v
1 k 0
4
k 1 k
q40
k 0
4
1 1.05
k 1

d 40 k l40
例2: 某人在50岁时购买了保险金额为10万元 的终身寿险，假设生存函数为
s ( x) 1 x 105 ,
保险金在死亡年末给付，i=10%，求这一保 单的精算现值。
第4章 寿险精算现值
精算现值（Actuarial present value） 是保险赔付在投保时的期望现值，也就是趸缴
纯保费（Net single premium） 。
保险费又称为总保费或毛保费，可以分为 净保费（纯保费）和附加保费。 净保费是补偿 保单所承诺的赔付和给付责任必需的缴费部分， 附加保费是补偿保险公司因出售和管理保单发 生的费用需要的缴费部分。
v
k 0
k 1 k
qx
1 x 1 lx
k 0
d
xk
v
k 1
●
赔付现值随机变量的方差：
2 2
Var ( Z ) E ( Z ) [ E ( Z )]
E (Z ) v
2 k 0
2

2( k 1) k
qx e
k 0

2 ( k 1) k
qx
其精算现值以
Ax 或 mn
m
Ax :n 表示，有
k 1
1
m n 1 mn
Ax E ( Z )
1
k m

1
v
k qx
Ax : m n Ax : m
6.标准变额寿险
如果保险契约规定的赔付数额随着死亡时 间的变动而不同，这样的寿险称为变额寿险。 如果赔付额 bK 1 K 1，K是从投保开始到 死亡时存活的整数年数，这时的变额寿险称为 标准递增的变额寿险。
终身寿险
Ax

k 0
v
k 1 k
x 1
qx
1

k 0
v
k 1 k
px qx k
1
延期m年的n 年定期寿险
延期m年的 终身寿险 n年期两全 保险
m
Ax:n Ax:m n Ax:m
1
m
Ax Ax Ax:m
1
1 1
Ax:n Ax:n Ax:n
死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳
1
其中 Ax : n 表示1单位元给付纯生存险的 精算现值。
☆两全保险现值随机变量的方差
设Z为两全保险现值随机变量，Z1为n年 定期现值随机变量，Z2为n年纯生存保险现值 随机变量，则Z1和Z2不会同时发生，我们有
Var ( Z ) Var ( Z1 Z 2 ) Var ( Z1 ) Var ( Z 2 ) 2 E ( Z1 ) E ( Z 2 )
A35 : 5 A35 : 5 A35 : 5
1
1
v
k 0
4
k 1 k 4
q35 v
k 1
5 5
p35
5

1 l35
( v
k 0
d 35 k v l40 )
4.延期m年终身寿险
对(x) 的1单位元死亡年末赔付 m年延期
终身寿险，现值随机变量为
0, K 0,1, 2, , m 1 Z K 1 v , K m, m 1,
E ( Z ) 相当于以计算趸缴净保费利息力
的两倍计算的趸缴净保费。
记 有
2
Ax E ( Z )
2
2 2
Var ( Z ) Ax ( Ax )
赔付现值随机变量的方差反映赔付现值 随机变量的变动幅度，用于衡量保险公司承 担的赔付风险程度。
2.定期寿险
对(x) 的1单位元死亡年末赔付n年定期寿险， 其现值随机变量为
试求（1）其精算现值 10 Ax ; （2） Var ( Z ) ； （3）中位数 0.5 .
解：已知 0.06
d fT (t ) s( x t ) s ( x)

s ( x) e
[e e
0.04 x
,x0
0.04( x t )
] 0.04e
0.04 t
险，其精算现值以 Ax 表示。 记 K ( x) k 为 x 岁投保人的整值剩余寿命， 下面计算 Ax
死亡年末1单位元赔付在投保时的现值随 机变量为 Z v K 1 ，它的期望就是其精算现值. 因为
P( K k ) k px qx k k qx
x 1
所以
Ax E ( Z )
标准递增的终身寿险
Z ( K 1)v
K 1
,
1

1 1
…
…
K 0,1, 2,

1 1 1 … … …

1 1

1 1
…
… …
x
x+1 x+2
x+n-1 x+n
其精算现值以 ( IA) x 表示，有
( IA) x E ( Z ) (k 1)v
k 0 k 1
k q x
精算现值，有
( DA) x:n (n k ) v
1 k 0 n 1 k 1 k
qx Ax:n k
1 k 0
n 1
例：设 lx 100 x, 0 x 100, i 0.05, 计算 ( IA)40 。