量子力学 中心力场 氢原子共66页
氢原子的量子力学理论讲义
DeBroglie Waves in Bohr's Model
（1）主量子数 n
En
mee42(4 0 )2 Nhomakorabea2
1 n2
,
n 1,
2,
3,
（2）角量子数 l
对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1)
氢原子系统的轨道角动量 p l(l 1)
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
径向函数 球谐函数
• 电子波函数的径向分布和角分布
电子的能量本征函数为径向函数和球谐 函数的乘积：
nlm (r) Rnl (r)Ylm ( ,)
电子的径向分布
Wnl
(r)
R2 nl
(r)r2
电子的角分布
Wlm ( ,) | Ylm ( ,) |2
设在空间（r,θ,φ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, ,)dV
m2
0
1
sin
d
d
sin
d
d
m2
sin2
0
1
r 2
d dr
r
2
dR dr
2me
2
E
e2
4 0 r
r2
R
0
式中m, 是常数
在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件
用基础量子力学解释氢原子
用基础量子力学解释氢原子四川师范大学本科毕业论文用基本量子力学解释氢原子——量子力学与氢原子的相遇相知相交学生姓名黄兰院系名称物理与电子工程学院专业名称物理学班级2008级 2 班学号2008070219指导教师侯邦品四川师范大学教务处二○一二年五月用基本量子力学解释氢原子本科生：黄兰指导老师：侯邦品内容摘要：主要从以下几个方面来运用基本量子力学解释氢原子。
1、氢原子的能级和能量本征函数。
首先介绍在量子力学中的波函数，再利用薛定谔方程来导出氢原子的能量本征函数，最后再分析它的物理含义。
2、氢原子的四个量子数的物理意义。
解释它们其与氢原子的能级的关系。
3、径向波函数和角度波函数。
主要是得出径向波函数和角度波函数同时给出它的物理意义。
4、简并性破除与量子激光。
氢原子的内部结构中电子在原子中受到的磁场的作用所产生的正常塞曼效应和反常塞曼效应，以及可能引起的电子跃迁。
5、氢原子的Stark效应。
氢原子在外场的作用下表现的Stark 效应，这部分将作简单的介绍。
关键词：量子量子力学氢原子 stark效应Schr?dinger方程Using quantum mechanics to explain the physical phenomena in hydrogen atomsAbstract:we shall use quantum mechanics to explain the physicalphenomena in the hydrogen atoms as follows: 1, the energy eigenfunctions for hydrogen are obtained after introducing the wave function in quantum mechanics . 2 , physical significance of the four quantum numbers in the hydrogen atoms.Here we shall focus on the hydrogen atom electron spin and its physical meaning of the four quantum numbers . 3, the radial wave function and the angle wave function . Coming to the radial wave function and the angle of the wave function at the same time we will get its physical significance. 4, the degeneracy is broken by magnetic fields. The normal and the anomalous Zeeman effect induced by magnetic field are introduced. 5, Finally, the the Stark effect in the hydrogen atomis briefly introduced.Key Words:Quantum Quantum mechanics Hydrogen atoms stark effect Schr?dinger equation目录引言 (4)1氢原子的能级和能量本征函数 (6)1.1波函数与Shr?dinger方程 (6)1.1.1波函数 (6)1.1.2波函数的归一化 (6)1.2 Shr?dinger方程 (7)1.2.1不含时Shr?dinger方程 (7)1.2.2 Shr?dinger方程的一般形式 (7)1.3中心力场中角动量守恒与径向方程 (7)1.4氢原子的能级与本征函数波函数 (8)2氢原子四个量子数 (11)2.1氢原子的定态薛定谔方程 (11)2.2 三个量子数 (12)2.3电子的自旋与第四量子数 (15)2.3.1斯特恩--盖拉赫实验(1921年) (15)3径向波函数和角度波函数 (17)3.1径向几率分布 (17)3.2电子的几率密度随角度的变化 (19)4氢原子四个量子数 ................................................................ 错误！未定义书签。
3.6量子力学对氢原子的描述
e 子电荷在原子内的几率分布 ψ
2
称为“电子云” 称为 “ 电子云 ” 。 因 的具体形式， 的具体形式，
ψ nlm 此只要给出氢原子定态波函数 (r , θ , ϕ )
就可计算在此状态下的几率云密度。 就可计算在此状态下的几率云密度。 几率云密度
6. 量子力学与波尔理论对氢原子处理的分 析比较 1）理论出发点不同 ） 波尔理论从实验上得 到的原子的线状光谱 和原子的稳定性出发 量子力学则从实物粒 子的波粒二象性出发
d态电子（l=2）： 态电子（ =2）：
f态电子（l=3）： 态电子（ =3）：
3、几率随 r 的变化 、
R = Cρ e
l
−
ρ
2
L
2 n +1 n +1
(ρ )
在 r —— r + dr 的球壳内找到电子的概率 ω波尔
ω(r)
ω量子
r
n=1 l=0
n=2
0.2 0.1 0 10
n=3 l=0
Pψ = nψ h
子 数 ： n, l, m
n = 1, 2 , 3 ..., l = 0 ,1, 2 , ..., n − 1, m = 0 , ± 1, .. . ± l
角动量大小：L = l ( l + 1) h , Lz = m h
作业题
第三章习题：1、2、7
0.2
l=0
r2R2
0.5 0.4
0.1 0 4 8 12 16
20
l =1 0.1
0.3
l=1
0
10
20 l =2
0.2 0.1 0 2 a1 4 6 r/a1
0.2 0.1 0.1
0
量子力学 第三章3.4 氢原子
Z 3/ 2 a0
2e
Z a r 0
R10 (r )
2 2
Z 3/ 2 a0
2e
2r a0
Z a r 0
1 3 w10 R10 r ( ) 4e a0
r
2
w10 (r )
w 经典
dw10 0 ，则可得： 令 dr
(r10 ) max a0 (玻尔半径)
w 量子
巴尔末公式
若用约化质量 ，则 R 10967758 米－1 与实验值
R实验＝ 10967757 米－1 .6
符合的很好。
3.简并度：
es 4 En 2 2 2n
( n 1, 2,3, )
氢原子（电子）的能量本征值 En 依赖于主量子 数
n 。对于给定的能级 En ， 0,1,2, n 1 共 n 个；而
n 1
给定 , m 0, 1, 2 共 (2 1) 个，所以能级 En 的 简并度 f (n) (2 1) n 2 。
0
氢原子能量的简并度比一般中心辏力场的能级简
1 并度 (2 1) 要大。原因在于库仑势 。这样的中心 r
力场比一般的中心场 V(r ) 具有更多的对称性所致。
同理：
2 x 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 M Xx x M X
2
2 2 2 2 同理可得： y 2 、 y 2 、 2 和 2 的变换式。 1 z1 z 2 2
把这些式子代入薛定谔方程(1)中，可得到以相对坐
标和质心坐标表示的体系薛定谔方程：
内找到电子的几率是：
dWm ( , ) wm ( , )d
氢原子的量子力学理论
角量子数
角量子数（l）：描述电子在核周围的角动量，取值范围为0 到n-1的正整数。
角量子数决定了电子的角动量，进而影响电子云的形状和 方向。
磁量子数
磁量子数（m）：描述电子在磁场中的取向，取值范围为-l到l的正整数。
磁量子数决定了电子在磁场中的自旋方向和状态，是描述电子自旋状态的量子数 之一。
波函数具有全同性，即对于任意实数a和b，若将波函数中的x替换为ax+b， 其概率幅不变。
波函数具有连续性，即它在整个空间中是连续的，没有跳跃或间断点。
波函数具有周期性，即对于某些特定的能级，波函数可能呈现出周期性振 动的模式。
03
氢原子的波函数
径向波函数
定义
径向波函数描述了电子在核周 围不同半径的分布概率。
氢原子光谱在实验室和天文观测中都有广泛应用。在实验室中，可以通过控制氢原子所处的环境，如 温度、压力等，来研究其光谱特性，进而了解物质的基本性质。在天文学领域，通过对氢原子光谱的 观测和分析，可以研究宇宙中氢气分布、星系演化等重要问题。
原子钟
原子钟是一种利用原子能级跃迁频率 作为计时基准的精密计时仪器。其中， 氢原子钟是其中一种较为精准的原子 钟。
自旋量子数
自旋量子数（s）：描述电子的自旋状 态，取值范围为±1/2。
自旋量子数决定了电子的自旋方向， 是描述电子自旋状态的唯一量子数。
能级与能级间距
能级
由主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数共同决定，不同能级对应不同的能量状 态。
能级间距
相邻能级之间的能量差值，与主量子数和角量子数有关，随着主量子数的增加而减小。
量子力学是描述微观粒子运动规律的 物理学分支。
11讲-氢原子
l −r2 / 2
u (r )～r e
l −ξ / 2
F →re
ξ →∞
l ξ /2
ξ →∞
→∞
9
∴ F (α , γ , ξ )不能作为波函数，必须将其中断为多项式
一、回顾(8)
α = (l + 3 / 2 − E ) / 2
r → 0时，χ l (r ) ∝ r l +1，r → ∞时，χ l (r ) ∝ e − βr ∴ 令χ l (r ) = r l +1e − βr u (r ), 得到合流超几何方程 d d ξ 2 u + (γ − ξ ) u − αu = 0, 其中，ξ = 2βr dξ dξ
2
γ = 2(l + 1), α = l + 1 − 1 / β , β = − 2 E ∴ u (r ) = F (α , γ , ξ ) → 合流超几何级数
Rl′′(r ) + 2r −1 Rl′(r ) + [2 E − r 2 − l (l + 1)r −2 ]Rl (r ) = 0 (1) 寻找Rl (r ) = f (r )u (r ), 考察r = 0，∞时的渐近行为。 r → 0时, Rl (r ) ∝ r , r → ∞时 → Rl (r ) ∝ e
2
ξ →∞
ξ →∞
∴ F (α , γ , ξ )不能作为波函数，必须将其中断为多项式 当α = 0或负整数时，可以达到此目的。 ∴ 设α = −nr , nr = 0,1,2,⋅ ⋅ ⋅, → E = (2nr + l + 3 / 2) 此时，Rl (r )～r l e −ξ / 2 F = r l e −ξ / 2 D(ξ ) → 多项式 Rl (r ) → 0, Rl (r ) → 0,∴ D(ξ )是可以接受的形式。
量子力学 6 氢原子问题
2
在r—r+dr的球壳内，对θ从 0 ，对
2 2 2
从
0 2积分：
nlm d Rnl r r 2 dr Ylm , sin dd
0 0
4
dr
r
Ylm , sin dd 1
0 0
En
z e
3、量子化能量值由n唯一确定，而波函数 nlm r , , 由(n ,l ,m)确定。 一个确定的n ,l可取n个值；
2 n
L2 l l 1 2
Lz m
一个确定的l ,m可取(2l+1)个值。
1 2n 1 1 N 2l 1 n n2 一个确定的En,有： 2 l 0
n 1
个波函数与之对应，其简并度为n2
ˆ ˆ ˆ 例：定态波函数 是总能量算符 H T U 的本征函数，
ˆ ˆ 但有人却把 误认为是 T 和 U 的本征函数，试以
基态氢原子为例，直接证明 不是 基态
ˆ ˆ T 和 U 的本征函数。
证明：
n 1, l 0, m 0
3 2
m
cos eim
9
(7)式：
l l 1, l 0,1,2, m 0,1,2 l
ˆ2 的本征值是 L2 l l 1 2 L
10
将 l l 1代入8中，令＝r : 1 d 2 dRr 1 l l 1 d 4 2 Rr 0 2 d
第三章 量子力学中的力学量
氢原子的能级和波函数 氢原子核外电子的概率分布
第三节
氢原子的能级和波函数
氢原子核外电子在原子核的库仑势场中运动， 设 U 0 , 则
氢原子的量子理论
1)
R
0
(1) (2)
(3)
其中 m 和 l 是引入的常数。
解此三个方程，并考虑到波函数应满足的
标准化条件，即可得到波函数 (r, , )
并且可得到： 能量量子化 角动量量子化 角动量空间量子化
三个量子数
1.能量量子化和主量子数
求解方程(3) ，并使 R ( r ) 满足标准化条件，求得 E必等于
32 2022
1 n2
L l(l 1)
Lz m
对于给定的 n ，l 可以有n 个值
对于给定的 l ，m 可以有 2l+1 个值
对于给定的 n ，可能的波函数(状态)数量
n1
N (2l 1) n2 简并度
l 0
n 1, 2 , 3 ,
K, L, M, N, …… 壳层
l 0,1, 2 , , n 1
26.5.2.原子的壳层结构
原子中的电子 n , l , m , ms
壳层 n 1, 2,3, K, L, M, N, …… 壳层
次壳层 l 0, 1, 2 , , n 1 s, p, d, f, g, …… 次壳层
如：n = 3, l = 0, 1, 2 分别称为3s态,3p态,3d态
电子在原子内的分布 多电子原子系统中，核外电子在不同的壳层上
r 2 r r r 2 sin
r 2 (sin )2 2
同乘 r 2/RY,并且移项
1 R
d dr
(r 2
dR ) dr
K 2r2
Y
1 sin
(sin
Y
)
Y
1 (sin
)2
2Y
2
1 R
d dr
(r 2
大学课件 量子力学 氢原子
c[ d 1 * Fˆ 2 d (Fˆ 1 ) * 2 ] c * [ d (Fˆ 2 ) * 1 d 2 * Fˆ 1 ]
令c = 1，得：
d 1 * Fˆ 2 d (Fˆ 1 ) * 2 d (Fˆ 2 ) * 1 d 2 * Fˆ 1
令c = i，得：
[ d 1 * Fˆ 1 ]* | c |2 [ d 2 * Fˆ 2 ]* c * d (Fˆ 2 ) * 1 c d (Fˆ 1 ) * 2
左式=右式 d 1 * Fˆ 1 | c |2 d 2 * Fˆ 2 c * d 2 * Fˆ 1 c d 1 * Fˆ 2
2
2
r 2
(r )
V
(
r
)
(r )
E
(r )
问题的求解上一节已经
解决，只要令： Z = 1, 是折合质量即可。于 是氢原子能级和相应的本 征函数是：
e4
En 22n2
n 1,2,3,
nlm
(r )
Rnl
(r )Ylm
(
,
)
V(r) e2 r
r x2 y2 z2
（I）能级
1. 基态及电离能
[ r] re 3/ 2 2
1
1
1 3 a0
r
27 3 81 3a0 a0
R31(r)
2 a0
( r ) e 3/ 2 1 1 81 15 a0
2
3
1 a0
r
W10 (r ) R102 (r )r 2 r e 4 2 2r / a0
a03
的归一化
求最可几半径极值
dW10(r ) dr
4 a03
（1）二体问题的处理
（I）基本考虑 二体运动动, 二粒子作为一个整体的质心运动。
氢原子的量子力学处理
峰值位置：r a0
0.2
0.1
n2 l 1 r a0
5 10
R21 (r )
15
1 2 a0
3/ 2
1 a0 3
re
21 a0 r
0
0.1
峰值位置：r 4a0
n3 l 2 r a0
0
峰值位置：r 9a0
5
10
15
20
25
结论：电子在玻尔轨道上
出现的概率最大。
玻尔的氢原子轨道半径：
解此方程组可得波函数
(r, , ) Rn,l (r)Yl ,m ( , )
l
电子的几个波函数 nlm r , ,
l
1 100 (r , , ) R 10 (r )Y 00 ( , ) 1 200 (r , , ) R 20 (r )Y 00 ( , ) 4 2
K壳层——s次壳层： 两个电子
1s
2
1 1 （ 1， 0， 0，）和（ 1， 0， 0， ） 2 2
n = 2， l = 0
l=1
ml = 0
ms = 1/2 ，- 1/2
2s 2
ml = -1，0，1 ，ms = 1/2 ，- 1/2 2p 6
L（n＝2）壳层共有八个电子。
原子壳层和次壳层上最多可能容纳的电子数 l n
r n2 a0
a0
基态氢原子电子云
电子的磁矩 原子的壳层结构
塞曼效应：在磁场中一些光谱线 会发生分裂的现象。 电子环电流： I ev 2r 无外磁场 有外磁场
ev evr 2 r 轨道磁矩： μ IS 2r 2
电子的角动量： L mvr e L 轨道磁矩矢量式： μ 2m 电子磁矩与磁场的相互作用能：
简明量子力学教程 第3章 中心势场中的粒子-氢原子
W10 ( x) 4 x e
2 2 x
r ,x a1
1 2 r 2 x W20 ( x) x (2 x) e , x 8 a1
1 2 4 4 2 2 2 r x 3 W30 ( x) x (2 x x ) e ,x 27 3 27 a1
例3.9 氢原子基态的归一化波函数为
4.讨论：
①能级简并度 对于给定的能级En，即n一定时， l=0,1,2,3, · · · (n-1) 而对于每个l， m=0, ±1, ±2, · · · , ±l. 简并度
②径向位置概率分布 氢原子中电子的概率分布为：
Wnlm (r, , )r 2 sin drdd | nlm (r, , ) |2 r 2 sin drdd
100 (r, , )
1
a
3 1
e
r / a1
求r的最概然值和平均值。
解:对于处于基态的氢原子，电子出现在r+dr 球壳内的概率为
4 2 2 r / a1 W10 (r ) R (r )r 3 r e a1
2 10 2
令
dW10 (r ) 4 2 3 (2 r )re 2 r / a1 0 dr a1 a1
x
用分离变量法求解,令 (r , , ) R(r )Y ( , ) 2 代入上式,并用 2 R (r)Y(, ) 除方程 两边，有：
2r
1 d 2 dR 2r 2 1 1 Y 1 2Y (r ) 2 ( E V (r )) [ (sin ) 2 ] 2 R dr dr Y sin sin
（3.31）
因此，中心势场问题的关键是根据势 的具体形式求解方程（3.31）。方程（3.31） 解出后，中心势场的定态波函数的形式为：
氢原子的量子力学描述
氢原子是最简单的原子，核外只有一个电子绕核运动，质子和电子之间存在库仑相互作用。
由于质子的质量是电子质量的大约2000倍，一般可以建立一个坐标系，把坐标原点取在质子上。
电子受原子核的库仑场作用，势能函数为：r e r U 024)(πε-=0222=-+∇)r ()]r (U E [m )r ( ψψ0)()4(2)(0222=++∇r r e E m r ψπεψ由于氢原子具有球对称性，可用球坐标系表示定态薛定谔方程：)(sin sin 1)(1222θψθθθψ∂∂∂∂+∂∂∂∂r r r r r 0)4(2sin 10222222=++∂∂+ψπεϕψθr e E m r 其解一般为的函数：ϕθ,,r ),,(ϕθψψr =定态薛定谔方程设波函数为)()()(),,(ϕθϕθψΦΘ=r R r 代入球坐标系的薛定谔方程，在求解波函数时，考虑到波函数应满足的单值、有限、连续以及归一化的标准化条件，可得到氢原子的量子化特征。
我们主要对一些重要的结论进行讨论。
()),3,2,1(12422204 =⋅-=n nme E n πε1. 能量量子化 主量子数求解薛定谔方程，得到氢原子的能量为n — 主量子数注意：⑴ 氢原子能量是一系列离散值 —— 反映能量量子化能级间隔随主量子的增大而减小，↓∆↑⇒E n ⑵ 最低能级对应1=n eV E 6.131-=基态能量eV nE n 26.13-=采用分离变量法，可得到三个常微分方程，分别求解出相应的函数和量子数。
n =1 基态能量eV 6.131-=E eV 6.131=-∞E E n = 2,3,… 对应的能量 称为激发态能量eV 40.32-=E eV 51.13-=E 当 n 很大时，能级间隔消失而变为连续值对应于电子被电离∞=n 当 ，0=∞E ∞=n 11E 232E 3E 454E ∞E ∞2. 角动量（动量矩）量子化 角量子数电子绕核运动 求解薛定谔方程结论：电子绕核运动的转动角动量是量子化的)1(+=l l L 角动量— l 副量子数（角量子数）氢原子的电子电离能为：eV n E n 26.13-=氢原子能量公式)1(,,2,1,0-=n l氢原子中电子的量子态n =1n =2n =3n =4n =5n =6l = 0l = 1l = 5l = 4l = 3l = 2( s )( p )( h )( g )( f )( d )1s 5f 5d 5p 5s 6s 6p 6d 6f 6g 6h 4s 3s 3p 4f 3d 4p 4d 5g 2p 2s )1(+=l l L 共有 n 个可能的取值用,,,,f d p s 分别代表 ,3,2,1,0=l 等各个量子态玻尔的旧量子论与量子力学描述电子运动的角动量量子化的区别注意：若 l = 0有 L = 0电子的概率分布具有球对称性角动量为零)1(,,2,1,0-=n l 角动量（动量矩）量子化3. 空间量子化（空间取向量子化） 磁量子数角动量空间取向是量子化的—— 电子运动具有角动量量子化波函数 电子运动相当于一圆电流圆电流具有一定磁矩 磁矩在外磁场作用下具有一定取向 电子运动的磁矩方向与其角动量方向相反 电子转动角动量方向有确定的空间取向ZB , LθμzL o 经典理论：空间取向连续θ可取π→0的任意值量子力学：空间取向不连续z L ，只取一系列的离散值 m L z =ll l l l m -----=),1(,,2,1, 角动量空间取向是量子化的 m —— 磁量子数对应一个角量子数 l ，角动量有 2 l +1个取值例 11=l 1,0±=m Z B , o -例 22=l 2,1,0±±=m Z B , o- 22- 6)1(=+=l l L 2=L 21=+=)l (l L 例 3 设氢原子处于2 p 态，试分析氢原子的能量、角动量大小及角动量的空间取向？解：2 p 态表示： n = 2, l = 1得eV 40.32-=E 角动量的大小为2)1(=+=l l L 当 l =1 时，磁量子数 m l 的可能值：-1, 0, +1，则角动量方向与外磁场的夹角的可能值为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=4324)1(arccos πππθl l m l eV 6.132nE n -=4. 电子云 （Electron cloud ）—— 电子的概率分布电子在绕核运动中无固定点、无轨道概念，只能用各处出现的概率来描述电子运动的状态，故用电子云的密度形象地显示概率分布。
量子力学(第五章中心力场)
1.角动量守恒与径向方程
在中心力场中V(r)运动的粒子，角动量
L r p 守恒。这个结论,对于经典粒子
是明显的,因为
d dr dp L pr dt dt dt
v mv r F r [V (r )]
r dV r 0 r dr
第五章 中心力场
本章所讲的主要内容
一般性质(5.1) 无限球方势阱(5.2)
三维各向同性谐振子(5.3) 氢原子(5.4)
§5.1
中心力场中粒子运动的一般 性质
无论经典力学或是量子力学中,中心力场都 占有重要的地位.而且，最重要的几种中心力 场－Coulomb场或万有引力场，各向同性谐振 子场以及无限深球方势阱，是量子力学中能 够精确求解的少数几个问题中的几个。中心 力场中运动的最重要特点是：角动量守恒。
而在边界上要求
Rl (r ) |r a 0
引进无量纲变量
(11)
(12)
kr
则式(10)化为
l (l 1) d 2 d Rl Rl 1 Rl 0 2 2 d d
2
(13)
此即球Bessel方程。令 可求出 u l 满足下列方程
Rl ul ( )
所以，径向波函数的两个解为 1 1 Rl J l 1/ 2 ( ) ， J l 1/ 2 ( )
通常用球 Bessel 函数及球 Neumann 函数 表示，其定义如下
jl ( ) Jl 1/ 2 ( ) 2
nl ( ) (1)
l 1
当 0 时，它们的渐进行为是
由于径向方程(6)或(8)中不出现磁量子数m , 因此能量本征值 E与m 无关。这是因为中心 力场具有球对称性，粒子能量显然与 z 轴的 取向无关。但在中心力场中运动的粒子能量 与角动量量子数 l 有关，而对于给定 l 的情况 下， m l , l 1, , l 1, l 共计有 2l 1 个 可能取值。因此,一般来说,中心力场中粒子 能级一般为 (2l 1) 重简并。
chapter7氢原子详解
6.1
6.1 中心力问题 考虑，对于具有一定能量的定态，是否具有 一定的角动量呢？
ˆ, L ˆ T ˆ, L ˆ ˆ, L ˆ H V
2 2 2
2 2 2 1 2 2 2 ˆ ˆ ˆ Tˆ, L L , L 2m r 2 r r 2 2mr 2 2 2 ˆ2 1 ˆ 2 ˆ2 ,L L ,L 2 2 2m r r r 2mr ˆ 算符中只含有θ和φ， 0 0 0 L
为了书写简便，定义常数a为：
6.9
2 a 2 μe
6.3 氢原子
这样，(6.9)式变为：
2 2E 2Z l l 1 R R 2 R0 2 r ar r ae
6.10
此时，如果直接给以幂级数解，我们将得到一个三
项的递推关系式。这是我们不想看到的。为了得到二
项的递推关系式，我们考虑当r值大时解的行为。 当r大时，(6.10)时变为：
2E R 2 R 0 ae
6.3 氢原子
1 2 2E 通过辅助方程可求得，其解为：exp r 2 ae
6.11
假定E是正的。则：
Rr e
2
所以此对易子为0。
6.1 中心力问题
ˆ2中不含r，所 由于势能函数V只含有r，而算符 L
以有：
ˆ 0 Vˆ, L
2
这样，就得到：
2 ˆ ˆ H, L 0
这意味着：当势能函数只是 r的函数时，体系
的哈密顿算符与角动量大小的平方算符可对易，
ˆ 与L ˆ2 有共同的本征函数。 这样， H
令M为体系的总质量：
第五章 中心力场
2 2 R ( R) EC ( R) 2M
2 2 [ V ( r )] ( r ) E ( r ), E ET EC 2
第一式为质心的运动波函数(R)满足的方程，
系一质量为M (=m1+m2)、以能量为Ec运动的自由 粒子的定态薛定谔方程，波函数(R)为平面波， 因此氢原子质心按自由粒子方式运动，氢原子整 体处于无外场作用下的平面波状态（确定状态）。
2 2 R ( R) EC ( R) 2M
2 2 [ V ( r )] ( r ) E ( r ), E ET EC 2
第二式为氢原子内部运动波函数(r)满足的方程，
它描述电子相对于核的运动状态，相对运动能量E 就是电子的能级。氢原子内部运动相当于处于 Coulomb场V(r)中的单电子的运动，只是电子的质 量m1必须用约化质量 取代。相应地，第二式，即 波函数(r)的求解按§1所述方法处理。
(r ) r r r , (r ) e
r 0,
l 1
其中
2 2 E
2
是电子的约化质量
按照“抓两头、带中间”的策略，方程(4)的解可 以表示成
(r ) r e
l 1 r
u(r )
回代方程(4)，有
d2 d e2 r 2 u [2( l 1) 2 r ] u 2[ ( l 1) 2 ]u 0 dr dr
e2 V (r ) r
2
（6）
对于氢原子问题，中心势场为Coulomb势，即
(CGS)
故当r的时，方程(6)进一(r ) 0 2 dr
（7）