初中数学竞赛教程
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七年级
第一讲 有理数（一）
一、【能力训练点】
1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：
3、有理数的本质定义，能表成
m
n
（0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）；
② 四则运算的封闭性（0不作除数）；
③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0)
a a a a a ≥⎧=⎨
-≤⎩ ② 非负性 2
(||0,0)a a ≥≥
③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】：
1． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）
A.相反数
B.倒数
C.绝对值
D.平方
2.已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求
22006
()(
)()x a b c d x a b c d -+++++-的值。
3.如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ）
A.2a
B.2a -
C.0
D.2b
4.有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,
a b b c c a
b c c a a b
------中有几个负数？
5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，
b
a
，b 的形式，求20062007a b +。
6.三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac
=
+++++则321ax bx cx +++的值是多少？
7.若,,a b c 为整数，且2007
2007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
第二讲 有理数（二）
一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义
① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】：
1．若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++- 2．试化简|1||2|x x +--
3.若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。
4.已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。
5．若|1|a b ++与2
(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。
6.如果0abc ≠，求||||||
a b c a b c
++
的值。
7.x 是什么样的有理数时 |(2)(4)||2||4|x x x x -+-=-+-等式成立？
第三讲 有理数（三）
一、【能力训练点】： 1、运算的分级与运算顺序；
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
3、巧算的一般性技巧：
① 凑整（凑0）； ② 巧用分配律 ③ 去、添括号法则； ④ 裂项法 4、综合运用有理数的知识解有关问题。 二、【典型例题解析】： 1．计算：23797
0.71 6.6 2.20.7 3.31173118
⨯-⨯-÷+⨯+÷
2．11
1111111
1
(1)()(1)23
1996234
199723
1997
---
-
⨯++++
-----
1111
()2341996
⨯+++
+
3．计算：22222
222213141
1213141
1
n n S n ++++=++++----
4.比较123424816
2n n
n
S =+++++
与2的大小。
5.计算（1）
1111142870130208++++ （2）22
2
1335
99101
++
+
⨯⨯⨯
第四讲 代数式（一）
一、【能力训练点】：
（1）列代数式； （2）代数式的意义； （3）代数式的求值（整体代入法） 二、【典型例题解析】： 1.求代数式的值： （1）已知25a b a b -=+，求代数式2(2)3()
2a b a b a b a b
-++
+-的值。
（2）已知2
25x y ++的值是7，求代数式2
364x y ++的值。
（3）已知113b a -=，求
222a b ab
a b ab
---+的值。
（4）已知：当1x =时，代数式3
1Px qx ++的值为2007，求当1x =-时，代数式3
1Px qx ++的值。
（5）已知等式(27)(38)810A B x A B x -+-=+对一切x 都成立，求A 、B 的值。