专题九几何综合体、代数和几何综合题(含问题详解)
专题九几何综合体、代数和几何综合题(含答案)
2012年中考第二轮专题复习九：几何综合体、代数和几何综合题1（2011河北省）如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA 的延长线上，且CE=BK=AG．（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当时，请直接写出的值．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图。
分析：（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG；（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；（4）由已知表示出的值．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°．又∵CE=AG，∴△DCE≌△GDA，∴DE=DG，∠EDC=∠GDA，又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°，∴DE⊥DG．（2）如图．（3）四边形CEFK为平行四边形．证明：设CK、DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG，∵BK=AG，∴KG=AB=CD，∴四边形CKGD是平行四边形，∴CK=DG=EF，CK∥DG，∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°，∴∠KME+∠DEF=180°，∴CK∥EF，∴四边形CEFK为平行四边形．（4）=．点评：此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂2（2011新疆建设兵团）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求AB的长；（2）设BP=x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．考点：等腰梯形的性质；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形。
中考数学专题练习 综合问题(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
综合题综合题是初中数学中涵盖广、综合性最强的题型，它可以包含初中阶段所学的代数、平面几何、解析几何、统计概率的若干知识点和各种数学思想方法，还能有机结合探索性、开放性等有关问题；它既突出考查了初中数学的主干知识，又突出了与高中衔接的重要内容，如函数、方程、不等式、三角形、四边形、相似形、圆等.它不但考查学生数学基础知识和灵活运用知识的能力还可以考查学生对数学知识迁移整合能力；既考查学生对几何与代数之间的内在联系，多角度、多层面综合运用数学知识、数学思想方法分析问题和解决问题的能力，还考查学生知识网络化、创新意识和实践能力。
前面专题已对代数之方程和不等式综合问题、函数之一次函数和反比例函数综合问题、函数之一次函数、反比例函数和二次函数综合问题、代数和函数综合问题、静态几何之综合问题等有过介绍，本专题主要原创编写代数和平面几何的综合问题、代数和统计概率的综合问题、平面几何和统计概率的综合问题、解析几何和统计概率的综合问题、平面几何和解析几何的综合问题模拟题。
1.已知一元二次方程x2－11x＋30=0 的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC底边上的高为。
【答案】4或1192。
【考点】因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理，分类思想的应用。
1. 已知关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=0的一个根是2，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积。
【答案】解：∵此方程的一个根是1，∴12－1×（m ＋2）＋（2m －1）=0，解得，m=2， 则方程的另一根为：m ＋2－1=2+1=3。
①该直角三角形的两直角边是1、3时，该直角三角形的面积为131322⋅⋅=。
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；则该直角三角形的面积为112222⋅⋅=。
综上所述，该直角三角形的面积为32或2。
【初三数学】代数几何综合题(含答案)(共15页)
代数几何综合题代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。
例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
解：（1） PC PB BO PO ⊥⊥,∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠CPA OPB PBO OPB CPA PBO 9090, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒BOP PAC 90∴∆∆BOP PAC ~∴=PO AC BOPA，∴=+||||||x y x 22， x y x y x<<∴=-0022，，∴=-+y x x 122（2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 ,当x =-1时，y =-32，∴=CA 32BO a BOQ CAQ OQ AQ BOCA//~,，∴∴=∆∆ 设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2∴-=∴=m m m 223287，Q 点坐标为()870，说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。
关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。
练习1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.(1)求证：CD ∥AO ；（3分）(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。
（4分）B2．如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O 的两根，且x1<0<x2．(1)求m的取值范围；(2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式.3．一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。
初中数学代数与几何综合题
初中数学代数与⼏何综合题初中数学代数与⼏何综合题代数与⼏何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、⽅程与不等式、函数，⼏何中的三⾓形、四边形、圆等图形的性质，以及解直⾓三⾓形的⽅法、图形的变换、相似等内容有机地结合在⼀起，同时也融⼊了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。
经常考察的题⽬类型主要有坐标系中的⼏何问题（简称坐标⼏何问题），以及图形运动过程中求函数解析式问题等。
解决代数与⼏何综合题，第⼀，需要认真审题，分析、挖掘题⽬的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第⼆，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进⾏恰当地组合，进⼀步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使⽤分析综合法及⽅程与函数的思想、转化思想、数⾏结合思想、分类与整合思想等数学思想⽅法，能更有效地解决问题。
第⼀类：与反⽐例函数相关1. （09北京）如图，点 C 为O O 直径AB 上⼀点，过点 C 的直线交O O 于点D 、E 两点，且/ ACD=45°，DF _AB 于点 F ，EG _ AB 于点G .当点C 在AB 上运动时，设 AF =x ， DE = y ，下列-a -2、、ab b > 0， a b > 2、、ab ，只有当 a = b 时，等号成⽴.图象中，能表⽰ y 与x 的函数关系的图象⼤致是（经过正⽅形 ABOC 的三个顶点 A 、B 、C3. （09延庆）阅读理解：对于任意正实数 a ，2.如图，在平⾯直⾓坐标系中y结论：在a b > 2 ab ( a , b 均为正实数)中，若 ab 为定值p ，则a b > 2 p ,12(2)探索应⽤：已知A(-3,0) , B(0,_4)，点P 为双曲线y (x ■ 0)上的任意⼀点,过点P 作PC _ x 轴于点C , PD _ y 轴于D . 求四边形ABCD ⾯积的最⼩值，并说明此时四边形ABCD 的形状.1 、y x 相交4(m , n )(在A 点左侧)是双曲线y =上的动点.过点B 作xBD // y 轴交x 轴于点D.过N(0, - n)作NC // x 轴交双曲线y ⼆⾊于点E ,交BD 于点C .x(1) 若点D 坐标是(―坐标及k 的值. (2) 若B 是CD 的中点，为4,求直线CM(3) 设直线 AM 、BM 分别与y 轴相交于 P 、Q 两点，且 MA=pMP , MB=qMQ ,求p - q 的值.285. (09.5西城)已知：反⽐例函数y 和y在平⾯直⾓坐标系 xOy 第⼀象限中的图 xx82只有当a =b 时，a - b 有最⼩值2 p .根据上述内容，回答下列问题:(1)若m ，只有当m ⼯时,m ?丄有最⼩值mk4. (08南通)已知双曲线 y 与直线x于A 、B 两点.第⼀象限上的点 Mk 8，0)，求A 、B 两点四边形OBCE 的⾯积的解析式?象如图所⽰，点A在y 的图象上，AB // y轴，与y 的图象交于点B, AC、BDx x与x轴平⾏，分别与y=2、y=8的图象交于点C、D.x x(1) 若点A的横坐标为2,求梯形ACBD的对⾓线的交点F的坐标；(2) 若点A的横坐标为m,⽐较△ OBC与⼛ABC的⾯积的⼤⼩；(3) 若⼛ABC与以A、B、D为顶点的三⾓形相似，请直接写出点A的坐标.点F 的坐标为(2,17).5-S ABC . (3)点A 的坐标为(2,4)函数y = m ( x - 0 , m 是常数)的图象经过 A(1,4),xB(a ，b)，其中a 1 .过点A 作x 轴垂线，垂⾜为C ，连结 AD ，DC ，CB .(1) 若△ ABD 的⾯积为4,求点B 的坐标； (2) 求证：DC // AB ；(3) 当AD =BC 时，求直线 AB 的函数解析式. 答案： (3)所求直线 AB 的函数解析式是 y = -2x ? 6或y = -x 5⼆、与三⾓形相关7. (07北京)在平⾯直⾓坐标系 xOy 中，抛物线y = mx 2 + 2 .3 mx + n 经过P 「3, 5),A(0, 2)两点.(1)求此抛物线的解析式；(2) 设抛物线的顶点为 B,将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线 I,直线I 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；⑶在⑵的条件下，求到直线OB, OC, BC 距离相等的点的坐标.答案：(1)抛物线的解析式为：y = ^x 2- 3x+ 2 3 3(2) 直线I 的解析式为y =守x(3) ⾄煩线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标分别为：M 1(-"^, 0)、 M 2 (0, 2)、 M 3(0, -2)、M 4 (-2.3, 0).36.( 07上海)如图，在直⾓坐标平⾯内,(1)点B 的坐标为3,; .3⑺.DC // AB .过点2&(08北京)平⾯直⾓坐标系 xOy 中，抛物线y = x + bx + c 与x 轴交于A, B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C,点B 的坐标为(3, 0),将直线y = kx 沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过 B, C 两点.(1) 求直线BC 及抛物线的解析式；(2) 设抛物线的顶点为 D,点P 在抛物线的对称轴上，且⼄APD =WACB,求点P 的坐标；⑶连结CD,求￡OCA 与MOCD 两⾓和的度数.答案：(1)直线BC 的解析式为y = -x + 3.抛物线的解析式为y = x 2 - 4x + 3.(2) 点P 的坐标为(2, 2)或(2, -2). (3) . OCA 与.OCD 两⾓和的度数为 45 ... 2 29. (10.6密云) 已知：如图，抛物线 y = -X mx 2m (m 0)与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，C 是抛物线上⼀动点(点C 与点A 、B 不重合)，D 是OC 中点，连结BD 并延长，交AC 于点E .(1) 求A 、B 两点的坐标(⽤含 m 的代数式表⽰)；CE(2 )求的值；AE物线和直线BE 的解析式.且OB = OC ⼆3OA . (I )求抛物线的解析式；(II) 探究坐标轴上是否存在点 P ，使得以点P,代C 为顶点的三⾓形为直⾓三⾓形？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由；1(III) 直线y x 1交y 轴于D 点，E 为抛物线顶(3)当C 、A 两点到y 轴的距离相等，且SCED答案: (1) A (-m , 0), B ( 2m , 0).(2) CEAE(3) 抛物线的解析式为 y = -X 22x 8 .直线BE 的解析式为4丄16 y x3310.(崇⽂ 09)如图，抛物线y =ax 2bx - 3与x 轴交于A, B 两点，与y 轴交于点C ,求抛3点?若.DBC ⼆：…CBE = ■-,求爲「？的值. 答案：（I ）y = x 2-2x-3（II ）R（0,1）P 2（9,0） , P 3（0,0）3（IIIDBO EOBC =45 .11. (11.6东城)如图，已知在平⾯直⾓坐标系xOy 中，直⾓梯形 OABC 的边0A 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA = AB = 2, OC = 3，过点B 作BD 丄BC ,交OA于点D .将/ DBC 绕点B 按顺时针⽅向旋转，⾓的两边分别交正半轴于点E 和F .(1) 求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； (2) 当BE 经过(1)中抛物线的顶点时，求 CF 的长；(3) 在抛物线的对称轴上取两点 P 、Q (点Q 在点P 的上⽅)，且PQ = 1,要使四边形 BCPQ 的周长最⼩，求出 P 、Q 两点的坐标.答案：（1） y - -2x 24x 2 .333⼀ 2(3)点P 的坐标为(1,3、与⾯积有相关12. ( 11.6通县)已知如图， AABC 中，AC =BC , BC 与x 轴平⾏，点 A 在x 轴上，点 C 在y 轴上，抛物线y =ax 2 -5ax - 4经过：ABC 的三个顶点，(1) 求出该抛物线的解析式；(2) 若直线y ⼆kx 7将四边形 ACBD ⾯积平分，求此直线的解析式 .(3) 若直线y =kx b 将四边形ACBD 的周长和⾯积同时分成相等的两部分，请你确定y = kx ? b 中k 的取值范围.2 2 4⑵由 y 「2x 3x 2 =- 2（x-1）2 8 3 3CF = FM + CM y 轴的正半轴、x 轴的。
(河南省)聚焦中考数学复习课件：专题9-综合型问题(含答案)
则D的 y＝172a，
坐标是(172a，172a)，OA 的垂直平分线的解析式是 x＝32a，则 C 的坐标是(32a，32a)，则 k＝
94a2.∵以 CD 为边的正方形的面积为27，∴2(172a－32a)2＝27，则 a2＝2(2015·钦州)如图，在平面直角坐标系中，以点 B(0，8)为端点的射线 BG∥x 轴，点 A 是射线 BG 上一个动点(点 A 与点 B 不重合)，在射线 AG 上取 AD＝OB，作线段 AD 的垂直平分线，垂足为 E，且与 x 轴交于点 F，过点 A 作 AC⊥OA，交直线 EF 于点 C， 连接 OC，CD.设点 A 的横坐标为 t.
点拨：作∠DAE＝∠BAD 交 BC 于 E，作 DF⊥AE 交 AE 于 F，作 AG⊥BC 交 BC 于 G.∵∠C＋∠BAD＝∠DAC，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE＝EC，∵tan∠BAD＝47，∴设 DF＝ 4x，则 AF＝7x，在 Rt△ADF 中，AD2＝DF2＋AF2，即( 65)2＝(4x)2＋(7x)2，解得 x1＝－1(不 合题意，舍去)，x2＝1，∴DF＝4，AF＝7，设 EF＝y，则 CE＝7＋y，则 DE＝6－y，在 Rt△ DEF 中，DE2＝DF2＋EF2，即(6－y)2＝42＋y2，解得 y＝53，∴DE＝6－y＝133，AE＝236，∴设 DG＝z，则 EG＝133－z，则( 65)2－z2＝(236)2－(133－z)2，解得 z＝1，∴CG＝12，在 Rt△ADG 中，AG＝ AD2－DG2＝8，在 Rt△ACG 中，AC＝ AG2＋CG2＝4 13.故答案为：4 13
5．(2015·乌鲁木齐)如图，在直角坐标系 xOy 中，点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴，OOAB＝ 34.∠AOB 的角平分线与 OA 的垂直平分线交于点 C，与 AB 交于点 D，反比例函数 y＝kx的图 象过点 C.当以 CD 为边的正方形的面积为27时，k 的值是( D )
2019中考数学专项九-几何综合体、代数和几何综合题
2019中考数学专项九-几何综合体、代数和几何综合题1〔2017河北省〕如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G 在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG、〔1〕求证：①DE＝DG；②DE⊥DG〔2〕尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG〔要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明〕；〔3〕连接〔2〕中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：〔4〕当时，请直接写出的值、考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图。
分析：〔1〕由证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；〔2〕根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG；〔3〕由首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；〔4〕由表示出的值、解答：〔1〕证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°、又∵CE＝AG，∴△DCE≌△GDA，∴DE＝DG，∠EDC＝∠GDA，又∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＋∠GDA＝90°，∴DE⊥DG、〔2〕如图、〔3〕四边形CEFK为平行四边形、证明：设CK、DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG，∵BK＝AG，∴KG＝AB＝CD，∴四边形CKGD是平行四边形，∴CK＝DG＝EF，CK∥DG，∴∠KME＝∠GDE＝∠DEF＝90°，∴∠KME＋∠DEF＝180°，∴CK∥EF，∴四边形CEFK为平行四边形、〔4〕＝、点评：此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂2〔2017新疆建设兵团〕如图，在等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠B＝45°、动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动、〔1〕求AB的长；〔2〕设BP＝X，问当X为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；〔3〕探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由、考点：等腰梯形的性质；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形。
中考数学复习专题 代数与几何综合(含答案)
5. 如图 2－5-16，在矩形 ABCD 中，AB=10。cm，BC=8cm．点 P 从 A 出发，沿 A→B→C→D 路线运动，到 D 停止；点 Q 从 D 出发，沿 D→C→B→A 路线运动，到 A 停止，若点 P、 点 Q 同时出发，点 P 的速度为 1cm/s，点 Q 的速度为 2cm/s，a s 时点 P、点 Q 同时改变 速度，点 P 的速度变为 bcm/s，点 Q 的速度变为 d cm/s，图 2－5－17 是点 P 出发 x 秒 后△APD 的面积 S1（cm2）与 x（s）的函数关系图象；图 2－5－18 是点 Q 出发 xs 后面 AQD 的面积 S2（cm2）与 x（s）的函数关系图象． ⑴ 参照图 2－5－17，求 a、b 及图中 c 的值； ⑵ 求 d 的值； ⑶ 设点 P 离开点 A 的路程为 y1(cm)，点 Q 到点 A 还需走的路程为 y2(cm)，请分别写出 动点 P、Q 改变速度后，y1、y2 与出发后的运动时间 x（s）的函数解析式，并求出 P、 Q 相遇时 x 的值． ⑷ 当点 Q 出发_______s 时，点 P、点 Q 在运动路线上相距的路程为 25cm．
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答案 一、ABDCB DAACD
二、1、 3 2、 2 -1
三、1、（1）y=- 1 x2+x 2
3、 11
6
4、（-502，502）
（2）x 取最大整数为-1，∴ y=- 1 ×(-1)2-1=– 3 ∴AC= 3
2
2
2
由△BOQ∽△CAQ,可得 BO = OQ
AC AQ
C． y x
D． y 3 x 2
７．如图，反比例函数 y 4 的图象与直线 y 1 x 的
中考数学复习专题：几何综合题(含答案解析)
几何综合题1.已知△ABC 中，AD 是的平分线，且AD =AB ， 过点C 作AD 的垂线，交 AD 的延长线于点H ． （1）如图1，若①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB =2，求AC 和AH 的长；（2）如图2，用等式表示线段AH 与AB +AC 之间的数量关系，并证明．答案：（1）①75B ∠=︒，45ACB ∠=︒；②作DE ⊥AC 交AC 于点E .Rt △ADE 中，由30DAC ∠=︒，AD =2可得DE =1，AE 3. Rt △CDE 中，由45ACD ∠=︒，DE=1，可得EC =1. ∴AC 31.Rt △ACH 中，由30DAC ∠=︒，可得AH 33+=；（2）线段AH 与AB +AC 之间的数量关系：2AH =AB +AC证明： 延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH .易证△ACH ≌△AFH .∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =，∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =.∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==.2.正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ． （1）如图1，当045α︒<<︒时， ①依题意补全图1．②用等式表示NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系：__________．BAC ∠60BAC ∠=︒（2）当4590α︒<<︒时，探究NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系并加以证明． （3）当090α︒<<︒时，若边AD 的中点为F ，直接写出线段EF 长的最大值．答案：（1）①补全的图形如图7所示．② ∠NCE =2∠BAM ．（2）当45°<α<90°时，=1802NCE BAM ∠︒-∠．证明：如图8，连接CM ，设射线AM 与CD 的交点为H ．∵ 四边形ABCD 为正方形， ∴ ∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，直线BD 为正方形ABCD 的对称轴，点A 与点C 关于直线BD 对称． ∵ 射线AM 与线段BD 交于点M ， ∴ ∠BAM=∠BCM=α． ∴ ∠1=∠2=90α︒-． ∵ CE ⊥AM ， ∴ ∠CEH=90°，∠3+∠5=90°． 又∵∠1+∠4=90°，∠4=∠5， ∴ ∠1=∠3．∴ ∠3=∠2=90α︒-．∵ 点N 与点M 关于直线CE 对称，∴ ∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=1802BAM ︒-∠． （31CDBA图1备用图C DBAM3. 如图，已知60AOB ∠=︒，点P 为射线OA内，且满足DPA OPE ∠=∠，6DP PE +=. （1）当DP PE =时，求DE 的长；（2）在点P 的运动过程中，请判断是否存在一个定点M答案：（1）作PF ⊥DE 交DE 于F . ∵PE ⊥BO ，60AOB ∠=， ∴30OPE ∠=.∴30DPA OPE ∠=∠=. ∴120EPD ∠=. ∵DP PE =,6DP PE +=,∴30PDE ∠=,3PD PE ==. ∴cos30DF PD =⋅︒=∴2DE DF ==（2）当M 点在射线OA 上且满足OM =DMME的值不变，始终为1.理由如下： 当点P 与点M 不重合时，延长EP 到K 使得PK PD =. ∵,DPA OPE OPE KPA ∠=∠∠=∠, ∴KPA DPA ∠=∠. ∴KPM DPM ∠=∠.∵PK PD =,PM 是公共边, ∴KPM △≌DPM △.∴MK MD =.作ML ⊥OE 于L ,MN ⊥EK 于N . ∵60MO MOL =∠=，∴sin 603ML MO =⋅=.∵PE ⊥BO ,ML ⊥OE ,MN ⊥EK ， ∴四边形MNEL 为矩形. ∴3EN ML ==.∵6EK PE PK PE PD =+=+=, ∴EN NK =. ∵MN ⊥EK ,∴MK ME =.∴ME MK MD ==,即1DMME=. 当点P 与点M 重合时，由上过程可知结论成立.4. 如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，点E 为AB 边上一动点（与点A ，B 不重合），连接CE ，将∠ACE 的两边所在射线CE ，CA 以点C 为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD 于点F ，G. （1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）； （3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系，并证明． 答案：（1）补全的图形如图所示.（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°， ∴∠DAC=∠BAC= 30°. ∴∠AGC=30°. ∴∠AFC =α+30°.（3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系为CG AF AE 3=+.证明：作CH ⊥AG 于点H.由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°. ∴CA=CG. ∴HG =21AG. ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ， ∴△ACE ≌△GCF. ∴AE =FG .在Rt △HCG 中， .23cos CG CGH CG HG =∠⋅= ∴AG =3CG .即AF+AE =3CG .5.如图，Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，CA = CB ，过点C 在△ABC 外作射线CE ，且∠BCE = α，点B 关于CE 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CE 于点M ，N . （1）依题意补全图形；（2）当α= 30°时，直接写出∠CMA 的度数； （3）当0°<α< 45°时，用等式表示线段AM ，CN 之间的数量关系，并证明．答案：（1）如图；（2）45°；（3）结论：AM 2CN ．A BC E证明：作AG ⊥EC 的延长线于点G ．∵点B 与点D 关于CE 对称， ∴CE 是BD 的垂直平分线． ∴CB =CD ．∴∠1=∠2=α．∵CA =CB ，∴CA =CD ．∴∠3=∠CAD ． ∵∠4=90°，∴∠3=（180°∠ACD ）=（180°90°αα）=45°．∴∠5=∠2+∠3=α+45°-=45°． ∵∠4=90°，CE 是BD 的垂直平分线， ∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°． ∴∠6=∠7． ∵AG ⊥EC ，∴∠G =90°=∠8． ∴在△BCN 和△CAG 中，∠8=∠G ， ∠7=∠6， BC =CA ，BCN ≌△CAG ．∴CN =AG ． ∵Rt △AMG 中，∠G =90°，∠5=45°，∴AM AG ．∴AM CN ．答案：（1）补全图形略 （2）①证明：连接BD ，如图2，∵线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ， ∴AQ AP =，90QAP ∠=°． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD AB =，90DAB ∠=°． ∴12∠=∠．∴△ADQ ≌△ABP ． ∴DQ BP =，3Q ∠=∠．∵在Rt QAP ∆中，90Q QPA ∠+∠=°， ∴390BPD QPA ∠=∠+∠=°． ∵在Rt BPD ∆中，222DP BP BD +=，12-12----αα又∵DQ BP =，222BD AB =，∴2222DP DQ AB +=． ②BP AB =．7.如图，在等腰直角△ABC 中，∠CAB=90°，F 是AB 边上一点，作射线CF ， 过点B 作BG ⊥C F 于点G ，连接AG ． （1）求证：∠ABG =∠ACF ；（2）用等式表示线段C G ，AG ，BG 之间 的等量关系，并证明．答案：（1）证明 :∵ ∠CAB=90°. ∵ BG ⊥CF 于点G ， ∴ ∠BGF =∠CAB =90°. ∵∠GFB =∠CFA . ∴ ∠ABG =∠ACF .（2）CG =2AG +BG .证明：在CG 上截取CH =BG ，连接AH ， ∵ △ABC 是等腰直角三角形， ∴ ∠CAB =90°，AB =AC . ∵ ∠ABG =∠ACH . ∴ △ABG ≌△ACH . ∴ AG =AH ,∠GAB =∠HAC . ∴ ∠GAH =90°. ∴ 222AG AH GH +=. ∴ GH =2AG . ∴ CG =CH +GH =2AG +BG .8.如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，连接AE ，延长CB 至点F ，使BF=BE ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，射线FH 分别交AB 、CD 于点M 、N ，交对角线AC 于点P ，连接AF ． （1）依题意补全图形； （2）求证：∠FAC =∠APF ；（3）判断线段FM 与PN 的数量关系，并加以证明．答案：（1）补全图如图所示． （2）证明∵正方形ABCD ，∴∠BAC =∠BCA =45°，∠ABC =90°， ∴∠PAH =45°-∠BAE ． ∵FH ⊥AE ．∴∠APF =45°+∠BAE ．EDCBAM H PDAC∵BF=BE ，∴AF=AE ，∠BAF =∠BAE ． ∴∠FAC =45°+∠BAF ． ∴∠FAC =∠APF ．（3）判断：FM =PN ．证明：过B 作BQ ∥MN 交CD 于点Q ，∴MN =BQ ，BQ ⊥AE ． ∵正方形ABCD ，∴AB =BC ，∠ABC =∠BCD=90°． ∴∠BAE =∠CBQ ． ∴△ABE ≌△BCQ ． ∴AE =BQ ． ∴AE =MN ．∵∠FAC =∠APF ， ∴AF =FP ． ∵AF=AE ， ∴AE =FP ． ∴FP =MN ． ∴FM =PN ．9.如图所示，点P 位于等边ABC △的内部，且∠ACP =∠CBP ．(1) ∠BPC 的度数为________°；(2) 延长BP 至点D ，使得PD =PC ，连接AD ，CD ．①依题意，补全图形； ②证明：AD +CD =BD ；(3) 在(2)的条件下，若BD 的长为2，求四边形ABCD 的面积．解：(1)120°. ----------------------------2分(2)①∵如图1所示.②在等边ABC △中，60ACB ∠=︒， ∴60.ACP BCP ∠+∠=︒ ∵=ACP CBP ∠∠，∴60.CBP BCP ∠+∠=︒ ()180120.BPC CBP BCP ∠=︒-∠+∠=︒∴∴18060.CPD BPC ∠=︒-∠=︒ ∵=PD PC ，∴CDP △为等边三角形.∵60ACD ACP ACP BCP ∠+∠=∠+∠=︒， ∴.ACD BCP ∠=∠ 在ACD △和BCP △中，M H PDA CDAC BC ACD BCP CD CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴()SAS ACD BCP △≌△.∴.AD BP =∴.AD CD BP PD BD +=+=-----------------------------------------4分 （3）如图2，作BM AD ⊥于点M ，BN DC ⊥延长线于点N . ∵=60ADB ADC PDC ∠∠-∠=︒， ∴=60.ADB CDB ∠∠=︒ ∴=60.ADB CDB ∠∠=︒∴3= 3.BM BN BD == 又由（2）得，=2AD CD BD +=，ABD BCD ABCD S S S ∴△△四边形=+1122AD BM CD BN =+()32AD CD =+ 32=3.=-----------------------------------7分10.如图1，在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A的对应点E 落在射线BC 上，连接BQ ，设∠DAQ =α（0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （用含α的式子表示）； ②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系.解：（1）①． ………………………………………………………………………… 1分3-图1 备用图② 0≤QL2分（2）设直线+3y =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B ，可得A ，(0,3)B ．∴ OA =，3OB =，30OAB ∠=︒． 由0≤QL y =．①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的圆心1D 满足题意，其横坐标取到最大值．作11D E x ⊥轴于点1E ， 可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO=． ∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 111D E =．∴ 1AE =11OE OA AE =-=． ∴1D x =②如图14，当⊙D 与直线y =相切时， 相应的圆心2D 满足题意，其横坐标取到最小值．作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ． 设直线y =与直线+33y x =的交点为F 可得60AOF ∠=︒，OF ⊥AB ．则9cos2AF OA OAF =⋅∠==．∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 21D F =．∴2272AD AF D F =-=．∴ 22cos AE AD OAF=⋅∠72==，224OE OA AE =-=．图13∴2D x =．由①②可得，D x≤D x≤． ………………………………………… 5分（3）画图见图15．．……………………………… 7分11.如图，在等边ABC △中， ,D E 分别是边,AC BC 上的点，且CD CE = ,30DBC ∠<︒ ，点C 与点F 关于BD对称，连接,AF FE ，FE 交BD 于G .（1）连接,DE DF ，则,DE DF 之间的数量关系是 ；（2）若DBC α∠=，求FEC ∠的大小; （用α的式子表示） （3）用等式表示线段,BG GF 和FA 之间的数量关系，并证明.（1）DE DF =； （2）解：连接DE ，DF ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴60C ∠=︒. ∵DBC α∠=， ∴120BDC α∠=︒-.∵点C 与点F 关于BD 对称，∴120BDF BDC α∠=∠=︒-，DF DC =. ∴1202FDC α∠=︒+. 由（1）知DE DF =.∴F ，E ，C 在以D 为圆心，DC 为半径的圆上.∴1602FEC FDC ∠=∠=︒+α.（3）BG GF FA =+.理由如下：GFE DCBA图15GFEDCBA连接BF ，延长AF ，BD 交于点H ， ∵△ABC 是等边三角形，∴60ABC BAC ∠=∠=︒，AB BC CA ==. ∵点C 与点F 关于BD 对称， ∴BF BC =，FBD CBD ∠=∠. ∴BF BA =. ∴BAF BFA ∠=∠. 设CBD α∠=， 则602ABF α∠=︒-. ∴60BAF α∠=︒+. ∴FAD α∠=.∴FAD DBC ∠=∠. 由（2）知60FEC α∠=︒+. ∴60BGE FEC DBC ∠=∠-∠=︒. ∴120FGB ∠=︒，60FGD ∠=︒.四边形AFGB 中，360120AFE FAB ABG FGB ∠=︒-∠-∠-∠=︒. ∴60HFG ∠=︒.∴△FGH 是等边三角形. ∴FH FG =，60H ∠=︒. ∵CD CE =， ∴DA EB =.在△AHD 与△BGE 中，,,.AHD BGE HAD GBE AD BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△△AHD BGE ≅. ∴BG AH =.∵AH HF FA GF FA =+=+，∴BG GF FA =+．12.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°，M 是BC 的中点，延长AM 到点D ，AE = AD ，∠EAD =90°，CE 交AB 于点F ，CD =DF .（1）∠CAD = 度； （2）求∠CDF 的度数；（3）用等式表示线段CD 和CE 之间的数量关系，并证明.HGFEDCBA解：（1）45 ……………………………………………………………1分（2）解：如图，连接DB.∵90 AB AC BAC =∠=，°，M 是BC 的中点，∴∠BAD=∠CAD=45°.∴△BAD ≌△CAD . ………………………………2分 ∴∠DBA =∠DCA ，BD = CD . ∵CD =DF ,∴B D =DF . ………………………………………3分 ∴∠DBA =∠DFB =∠DCA . ∵∠DFB +∠DFA =180°, ∴∠DCA +∠DFA =180°. ∴∠BAC +∠CDF =180°.∴∠CDF =90°. ………………………………………4分 （3）CE =)21CD . ……………………………………5分证明：∵90 EAD ∠=°，∴∠EAF =∠DAF =45°. ∵AD =AE ，∴△EAF ≌△DAF . …………………………………6分 ∴DF =EF .由②可知，CF 2CD . …………………………7分 ∴CE =()21C D .13.如图，正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ，连接EF ，交对角线BD 于点G ，连接AG ． （1）根据题意补全图形；（2）判定AG 与EF 的位置关系并证明；（3）当AB = 3，BE = 2时，求线段BG 的长．解：（1）图形补全后如图…………………1分（2）结论：AG ⊥EF ． …………………2分证明：连接FD ，过F 点FM ∥BC ，交BD 的延长线于点M ．GFAB DCAB CE D∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=DA=DC=BC ，∠DAB =∠ABE =∠ADC =90°， ∠ADB =∠5=45°．∵线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ， ∴AE=AF ，∠FAE =90°． ∴∠1=∠2．∴△FDA ≌△EBA ． …………………3分 ∴∠FDA =∠EBA =90°，FD=BE ． ∵∠ADC =90°，∴∠FDA +∠ADC =180°。
专题九几何综合体、代数和几何综合题(含答案)讲解学习
专题九几何综合体、代数和几何综合题(含答案)2012年中考第二轮专题复习九：几何综合体、代数和几何综合题1（2011河北省）如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB 上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当时，请直接写出的值．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图。
分析：（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG；（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；（4）由已知表示出的值．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°．又∵CE=AG，∴△DCE≌△GDA，∴DE=DG，∠EDC=∠GDA，又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°，∴DE⊥DG．（2）如图．（3）四边形CEFK为平行四边形．证明：设CK、DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG，∵BK=AG，∴KG=AB=CD，∴四边形CKGD是平行四边形，∴CK=DG=EF，CK∥DG，∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°，∴∠KME+∠DEF=180°，∴CK∥EF，∴四边形CEFK为平行四边形．（4）=．点评：此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂2（2011新疆建设兵团）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求AB的长；（2）设BP=x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．考点：等腰梯形的性质；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形。
2019年中考数学复习专题《代数综合、代数几何综合》(有答案)
代数综合题一：对于实数a，b，我们用符号min{a，b}表示a，b两数中较小的数，如min{3，5}=3，因此，min{－1，－2}=________；若{}22min(1),4+=，则x=___________．x x题二：对于实数c，d，我们用符号max{c，d}表示c，d两数中较大的数，如max{3，5}=5，因此，题四：在平面直角坐标系中，点P(0，m2)(m>0)在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y A、B，交抛物线C2：y于点C、D．(1)如图①，原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC 和QD，求△AOB与△CQD面积比为_______．(2)如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F，在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为_______．题七： 设函数y =⎩⎨⎧<+≥+-0130242x x x x x ， ，，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3，满足y 1=y 2=y 3， 求x 1+x 2+x 3的取值范围．题八： 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =243x x ++与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ． (1)求直线AC 的表达式；(2)在x 轴下方且垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，与直线AC 交于点N (x 3，y 3)，若x 1>x 2>x 3，结合函数的图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围．参考答案题一：－2，－3或2．详解：∵－2<－1，∴min{－1，－2}=－2，∵{}22+=，x xmin(1),4当(x+1)2=x2时，解得：x=－0.5，(x+1)2=x2=0.25，这时不可能得出最小值为4，当x>－0.5，(x+1)2>x2，则x2=4，解得x1=2或x2=－2(舍去)，当x<－0.5，(x+1)2<x2，则(x+1)2=4，解得x1=－3或x2=1(舍去)，∴x=－3或x=2．题二：∵{}22++=，max22,2x x x当x2+2x+2=x2时，解得：x=－1，x2+2x+2=x2=1，这时不可能得出最大值为2，当x>－1，x2+2x+2>x2，则x2+2x+2=2，解得x1=0或x2=－2(舍去)，∴x=0．题三：∴C (－3m ，m 2)，D (3m ，m 2)，∴CD =6m ，∵O 、Q 关于直线CD 对称， ∴PQ =OP ，∵CD ∥x 轴，∴∠DPQ =∠DPO =90°，∴△AOB 与△CQD 的高相等， PQ CD PO AB ⋅⋅2121=mm 64=32．AEM DFMS S=∵S △OEF +S △OFD =S △OEC +S 梯形ECDF ，而S △OFD =S △OEC =2， 2详解：先作出函数y =⎩⎨⎧<+≥+-0130242x x x x x ， ，的图象，如图，不妨设x 1<x 2<x 3，∵y =242x x -+(x ≥0)的对称轴为x =2，y 1=y 2，∴x 2+x 3=4， ∵y =242x x -+(x ≥0)的顶点坐标为(2，－2)，令y =－2，代入y =3x +1，解得：x =－1，∴－1<x 1<0，则x 1+x 2+x 3的取值范围是：－1+4<x 1+x 2+x 3<0+4，∴3<x 1+x 2+x 3<4．题八： (1)y =x +3；(2)－8<x 1+x 2+x 3<－7．详解：(1)由y =243x x ++得到：y =(x +3)(x +1)，C，∴A (－3，0)，B (－1，0)，设直线AC 的表达式为：y =kx +b (k ≠0)， ∴⎩⎨⎧==+303-b b k ，解得:⎩⎨⎧==31b k ，所以直线AC 的表达式为y =x +3，(2)由y =243x x ++得到：y =(x +2)2－1，∴抛物线y =243x x ++的对称轴是x =－2， 顶点坐标是(－2，－1)，∵y 1=y 2，∴x 1+x 2=－4，令y =－1，代入y =x +3，解得：x =－4，∵x 1>x 2>x 3，∴－4<x 3<－3，∴－4－4<x 1+x 2+x 3<－3－4，∴－8<x 1+x 2+x 3<－7．代数几何综合题一：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△P AC的周长最小，并求出点P 的坐标.题二：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-4，0），B（1，0），与y轴交于点D（0，4），点C（-2，n）也在此抛物线上．（1）求此抛物线的解析式及点C的坐标；（2）设BC交y轴于点E，连接AE，AC请判断△ACE的形状，并说明理由.题三：在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．（1）如图1，⊙O的半径为2，①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）=，d（B，⊙O）=.是⊙O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．参考答案题一： （1）y =214x --+（），M （1，4）；（2）P （1，2）. 详解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）过A （-1，0）、B （3，0），C （0，3）三点，∴93003a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得12c=3a b =-⎧⎪=⎨⎪⎩.故抛物线的解析式为222314y x x x =-++=--+（），故顶点M 为（1，4）； （2）如图1，∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P ．设对称轴与x 轴交于点H ，题二： （1）y =-x 2-3x +4，C （-2，6）；（2）△ACE 为等腰直角三角形.详解：（1）∵抛物线经过A 、B 、D 三点，∴代入抛物线解析式可得164004a b c a b c c -+⎧⎪++⎨⎪⎩＝＝＝，解得134a b c -⎧⎪-⎨⎪⎩＝＝＝，∴抛物线的解析式为 y =-x 2-3x +4， ∵点C （-2，n ）也在此抛物线上，∴n =-4+6+4=6，∴C 点坐标为（-2，6）；∴AE2+CE2=20+20=40=AC2，且AE=CE，∴△ACE为等腰直角三角形.。
数学代数与几何综合题
数学代数与几何综合题一、简答题1. 请解释什么是代数与几何的综合题？代数与几何综合题是一类需要同时运用代数和几何概念与方法来解答的数学题目。
通常这类题目会结合代数方程、函数关系以及几何图形等知识点，要求考生既能够理解代数概念的本质，又能够将其与几何图形进行有效地联结，从而得出正确的解答。
2. 举例说明一个代数与几何综合题。
考虑一个代数与几何综合题的例子：已知一个矩形的长为x，宽为y，其面积为100，求出矩形的周长。
解答思路如下：首先，根据面积定义，我们可以列出代数方程xy = 100。
接着，我们考虑矩形的周长等于两倍的长加上两倍的宽，即2(x+y)。
由于我们已知面积为100，所以可以将该条件带入代数方程中，得到2(x+y) = 2(10) = 20。
因此，矩形的周长为20。
二、综合题已知平面上有一条弧线AB，其中A(2,1)和B(5,4)。
求以下问题：1. 弧线AB的长度。
解答思路如下：首先，我们可以计算出弧线AB的斜率。
斜率的计算公式为k = (y2-y1)/(x2-x1)。
代入A(2,1)和B(5,4)的坐标，得到k = (4-1)/(5-2) = 1。
由于斜率为1，说明弧线AB与x轴的夹角为45度。
然后，根据两点间的距离公式d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)，我们可以计算出弧线AB的长度为√((5-2)^2 + (4-1)^2) = √18。
2. 弧线AB所在的直线方程。
解答思路如下：由于已知A(2,1)和B(5,4)在弧线上，我们可以利用这两个点的坐标来确定所求直线方程。
首先，我们可以计算出直线的斜率，使用斜率公式k = (y2-y1)/(x2-x1)，代入A(2,1)和B(5,4)的坐标，得到k = (4-1)/(5-2) = 1。
接着，我们可以利用其中一点的坐标(x1,y1)和斜率k来得到直线的方程。
选择点A(2,1)和斜率k = 1，代入直线方程的一般公式y-y1 = k(x-x1)，得到y-1 = 1(x-2)。
2019北京市中考数学专题突破九：几何综合(含答案)
专题突破(九) 几何综合在北京中考试卷中，几何综合题通常出现在后两题，分值为8分或7分．几何综合题主要包含三角形(全等、相似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识，主要研究图形中的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律．求解几何综合题时，关键是抓住“基本图形”，能在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，或运用图形变换的思想将分散的条件集中起来，从而产生基本图形，再根据基本图形的性质，合理运用方程、三角函数的运算等进行推理与计算．1．[2019·北京] 在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线，点P 在射线CD 上(与点C ，D 不重合)，连接AP ，平移△ADP ，使点D 移动到点C ，得到△BCQ ，过点Q 作QH ⊥BD 于点H ，连接AH ，PH .(1)若点P 在线段CD 上，如图Z9－1(a )． ①依题意补全图(a )；②判断AH 与PH 的数量关系与位置关系，并加以证明．(2)若点P 在线段CD 的延长线上，且∠AHQ ＝152°，正方形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路．(可以不写出计算结果．．．．．．．．．)图Z9－12．[2019·北京]在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图Z9－2①；(2)若∠P AB＝20°，求∠ADF的度数；(3)如图②，若45°<∠P AB<90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．图Z9－23．[2019·北京]在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B 逆时针旋转60°得到线段B D.(1)如图Z9－3①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；(2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．图Z9－34．[2019·北京]在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段P A绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.(1)若α＝60°且点P与点M重合(如图Z9－4①)，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；(2)在图②中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB 的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；(3)对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B，M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝DQ，请直接写出α的范围．图Z9－45．[2011·北京]在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.(1)在图Z9－5①中证明CE＝CF；(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图②)，直接写出∠BDG的度数；(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB，DG(如图③)，求∠BDG的度数．图Z9－51．[2019·怀柔一模]在等边三角形ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E.(1)依题意补全图Z9－6①；(2)若∠P AB＝30°，求∠ACE的度数；(3)如图②，若60°<∠P AB<120°，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明．图Z9－62．[2019·朝阳一模]在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上(不与点B，C重合)，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE.(1)如图Z9－7(a)，点D在BC边上．①依题意补全图(a)；②作DF⊥BC交AB于点F，若AC＝8，DF＝3，求BE的长．(2)如图(b)，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB，BD，BE之间的数量关系(直接写出结论)．图Z9－73．[2019·海淀一模]在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E是对角线AC上一点，连接DE，∠DEC＝50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G.(1)依题意补全图形；(2)求证：EG＝BC；(3)用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：________．图Z9－84．[2019·海淀二模]如图Z9－9①，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＋∠BAC＝180°.(1)直接写出∠ADE的度数(用含α的式子表示)．(2)以AB，AE为边作平行四边形ABFE.①如图②，若点F恰好落在DE上，求证：BD＝CD；②如图③，若点F恰好落在BC上，求证：BD＝CF.图Z9－95．[2019·西城一模] 在△ABC 中，AB ＝AC ，取BC 边的中点D ，作DE ⊥AC 于点E ，取DE 的中点F ，连接BE ，AF 交于点H .(1)如图Z9－10①，如果∠BAC ＝90°，那么∠AHB ＝________°，AFBE ＝________；(2)如图②，如果∠BAC ＝60°，猜想∠AHB 的度数和AFBE 的值，并证明你的结论；(3)如果∠BAC ＝α，那么AFBE＝________．(用含α的代数式表示)图Z9－106．[2019·丰台一模] 在△ABC 中，CA ＝CB ，CD 为AB 边上的中线，点P 是线段AC 上任意一点(不与点C 重合)，过点P 作PE 交CD 于点E ，使∠CPE ＝12∠CAB ，过点C 作CF ⊥PE 交PE 的延长线于点F ，交AB 于点G .(1)如果∠ACB ＝90°，①如图Z9－11(a)，当点P 与点A 重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG 全等的一个三角形；②如图(b)，当点P 不与点A 重合时，求CFPE的值．(2)如果∠CAB ＝a ，如图(c )，请直接写出CFPE的值．(用含a 的式子表示)图Z9－117．[2019·海淀]将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α(0°<α<120°)得到线段AD，连接CD.(1)连接BD，①如图Z9－12(a)，若α＝80°，则∠BDC的度数为________．②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．(2)如图(b)，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE.若∠CED ＝90°，求α的值．图Z9－128．[2019·西城二模]正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE＝DF.连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.(1)如图Z9－13①，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是________．(2)如图②，当点E在DC边上且不是DC的中点时，(1)中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由．(3)如图③，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．图Z9－13参考答案1.解：(1)①如图(a)所示．②AH ＝PH ，AH ⊥PH . 证明：连接CH ，由条件易得：△DHQ 为等腰直角三角形， 又∵DP ＝CQ ，∴△HDP ≌△HQC ， ∴PH ＝CH ，∠HPC ＝∠HCP . ∵BD 为正方形ABCD 的对称轴， ∴AH ＝CH ，∠DAH ＝∠HCP ， ∴AH ＝PH ，∠DAH ＝∠HPC ， ∴∠AHP ＝180°－∠ADP ＝90°， ∴AH ＝PH 且AH ⊥PH.(2)如图(b)，过点H 作HR ⊥PC 于点R ， ∵∠AHQ ＝152°， ∴∠AHB ＝62°， ∴∠DAH ＝17°， ∴∠DCH ＝17°.设DP ＝x ，则DR ＝HR ＝RQ ＝1－x2.由tan17°＝HRCR 得1－x 21＋x2＝tan17°，∴x ＝1－tan17°1＋tan17°.2．解：(1)补全图形如图①所示：(2)如图①，连接AE ，则∠P AB ＝∠P AE ＝20°，AE ＝AB. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝90°，AB ＝AD ， ∴∠EAD ＝130°，AE ＝AD. ∴∠ADF ＝25°.(3)如图②，连接AE ，BF ，BD.由轴对称的性质可得EF ＝BF ，AE ＝AB ＝AD ，∠ABF ＝∠AEF ＝∠ADF ， ∴∠BFD ＝∠BAD ＝90°. ∴BF 2＋FD 2＝BD 2. ∴EF 2＋FD 2＝2AB 2.3．解：(1)∵AB ＝AC ，∠A ＝α，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－∠A )＝90°－12α.∵∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ，∠DBC ＝60°， ∴∠ABD ＝30°－12α.(2)△ABE 是等边三角形． 证明：连接AD ，CD ，ED ，∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ， 则BC ＝BD ，∠DBC ＝60°. ∴△BCD 为等边三角形． ∴BD ＝CD.∵∠ABE ＝60°，∴∠ABD ＝60°－∠DBE ＝∠EBC ＝30°－12α.在△ABD 与△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ， ∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝12α.∵∠BCE ＝150°，∴∠BEC ＝180°－(30°－12α)－150°＝12α＝∠BAD.在△ABD 和△EBC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠BAD ，∠EBC ＝∠ABD ，BC ＝BD ，∴△ABD ≌△EBC ， ∴AB ＝BE .又∵∠ABE ＝60°，∴△ABE 是等边三角形．(3)∵∠BCD ＝60°，∠BCE ＝150°， ∴∠DCE ＝150°－60°＝90°. ∵∠DEC ＝45°，∴△DEC 为等腰直角三角形， ∴DC ＝CE ＝BC. ∵∠BCE ＝150°.∴∠EBC ＝12(180°－150°)＝15°.∵∠EBC ＝30°－12α＝15°，∴α＝30°.4．解：(1)如图①，∵BA ＝BC ，∠BAC ＝60°，M 是AC 的中点， ∴BM ⊥AC ，AM ＝MC.∵将线段P A 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ， ∴AM ＝MQ ，∠AMQ ＝120°， ∴CM ＝MQ ，∠ CMQ ＝60°， ∴△CMQ 是等边三角形， ∴∠ACQ ＝60°， ∴∠CDB ＝30°. (2)连接PC ，AD ，∵AB ＝BC ，M 是AC 的中点， ∴BM ⊥AC ，∴AD ＝CD ，AP ＝PC. 在△APD 与△CPD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，PD ＝PD ，P A ＝PC ， ∴△APD ≌△CPD ，∴∠ADB ＝∠CDB ，∠P AD ＝∠PCD ， ∴∠ADC ＝2∠CDB. 又∵PQ ＝P A ，∴PQ ＝PC ，∴∠PQC ＝∠PCD ＝∠P AD ， ∴∠P AD ＋∠PQD ＝∠PQC ＋∠PQD ＝180°，∴∠APQ ＋∠ADC ＝360°－(∠P AD ＋∠PQD )＝180°， ∴∠ADC ＝180°－∠APQ ＝180°－2α， ∴2∠CDB ＝180°－2α， ∴∠CDB ＝90°－α.(3)∵∠CDB ＝90°－α，且PQ ＝QD ，∴∠P AD ＝∠PCQ ＝∠PQC ＝2∠CDB ＝180°－2α. ∵点P 不与点B ，M 重合， ∴∠BAD ＞∠P AD ＞∠MAD ， ∴2α＞180°－2α＞α， ∴45°＜α＜60°.5．解：(1)∵AF 平分∠BAD ， ∴∠BAF ＝∠DAF .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF ＝∠CEF ，∠BAF ＝∠F . ∴∠CEF ＝∠F . ∴CE ＝CF .(2)∠BDG ＝45°.(3)如图，分别连接GB ，GE ，GC ，∵AD ∥BC ，AB ∥CD ，∠ABC ＝120°， ∴∠ECF ＝∠ABC ＝120°. ∵FG ∥CE 且FG ＝CE ，∴四边形CEGF 是平行四边形． 由(1)得CE ＝CF .∴四边形CEGF 是菱形， ∴GE ＝EC ，①∠GCF ＝∠GCE ＝12∠ECF ＝60°，∴△ECG 与△FCG 是等边三角形， ∴∠GEC ＝∠FCG ，∴∠BEG ＝∠DCG ，②由AD ∥BC 及AF 平分∠BAD 可得∠BAE ＝∠AEB ， ∴AB ＝BE .在▱ABCD 中，AB ＝DC ， ∴BE ＝D C.③由①②③得△BEG ≌△DCG ， ∴BG ＝DG ，∠1＝∠2，∴∠BGD ＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠EGC ＝60°， ∴∠BDG ＝180°－∠BGD2＝60°.1.解：(2)连接AD ，如图①.∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，∠DAP ＝∠BAP ＝30°，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴AD ＝AC ，∠DAC ＝120°， ∴2∠ACE ＋120°＝180°.∴∠ACE ＝30°.(3)线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形． 证明：连接AD ，EB ，如图②.∵点D 与点B 关于直线AP 对称， ∴AD ＝AB ，DE ＝BE ， 可证得∠EDA ＝∠EB A. ∵AB ＝AC ，AB ＝AD ，∴AD ＝AC ，∴∠ADE ＝∠ACE ， ∴∠ABE ＝∠ACE . 设AC ，BE 交于点F ，∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠BAC ＝∠BEC ＝60°，∴线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形． 2．解：(1)①补全图形，如图(a )所示．②如图(b )，由题意可知AD ＝DE ，∠ADE ＝90°. ∵DF ⊥BC ，∴∠FDB ＝90°. ∴∠ADF ＝∠ED B.∵∠C ＝90°，AC ＝BC ， ∴∠ABC ＝∠DFB ＝45°. ∴DB ＝DF .∴△ADF ≌△EDB. ∴AF ＝EB.在△ABC 和△DFB 中，∵AC ＝8，DF ＝3，∴AB ＝8 2，BF ＝3 2. AF ＝AB －BF ＝5 2， 即BE ＝5 2， (2)2BD ＝BE ＋AB.3．解：(1)补全图形，如图①所示．(2)方法一：证明：连接BE ，如图②. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC.∵∠ADC ＝120°， ∴∠DCB ＝60°.∵AC ]是菱形ABCD 的对角线， ∴∠DCA ＝12∠DCB ＝30°.∴∠EDC ＝180°－∠DEC －∠DCA ＝100°.由菱形的对称性可知，∠BEC ＝∠DEC ＝50°，∠EBC ＝∠EDC ＝100°， ∴∠GEB ＝∠DEC ＋∠BEC ＝100°. ∴∠GEB ＝∠CBE . ∵∠FBC ＝50°，∴∠EBG ＝∠EBC －∠FBC ＝50°. ∴∠EBG ＝∠BEC.在△GEB 与△CBE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠GEB ＝∠CBE ，BE ＝EB ，∠EBG ＝∠BEC ，∴△GEB ≌△CBE . ∴EG ＝BC .方法二：证明：连接BE ，设BG 与EC 交于点H ，如图②. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC.∵∠ADC ＝120°， ∴∠DCB ＝60°.∵AC 是菱形ABCD 的对角线， ∴∠DCA ＝12∠DCB ＝30°.∴∠EDC ＝180°－∠DEC －∠DCA ＝100°.由菱形的对称性可知，∠BEC ＝∠DEC ＝50°，∠EBC ＝∠EDC ＝100°， ∵∠FBC ＝50°，∴∠EBG ＝∠EBC －∠FBC ＝50°＝∠BEC . ∴BH ＝EH .在△GEH 与△CBH 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠GEH ＝∠CBH ，EH ＝BH ，∠EHG ＝∠B HC ， ∴△GEH ≌△CBH . ∴EG ＝BC .(3)AE ＋BG ＝3EG .4．解：(1)∠ADE ＝90°－α.(2)①证明：∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AB ∥EF .∴∠EDC ＝∠ABC ＝α. 由(1)知∠ADE ＝90°－α，∴∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝90°. ∴AD ⊥BC. ∵AB ＝AC ， ∴BD ＝CD.②证明：∵AB ＝AC ，∠ABC ＝α， ∴∠C ＝α.∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AE ∥BF ，AE ＝BF . ∴∠EAC ＝∠C ＝α.由(1)知∠DAE ＝180°－2∠ADE ＝180°－2(90°－α)＝2α， ∴∠DAC ＝α. ∴∠DAC ＝∠C. ∴AD ＝CD .∵AD ＝AE ＝BF ， ∴BF ＝CD. ∴BD ＝CF .5．解：(1)90 12(2)结论：∠AHB ＝90°，AF BE ＝32.证明：如图，连接AD .∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． ∵D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC.∴∠1＋∠2＝90°. 又∵DE ⊥AC ， ∴∠DEC ＝90°. ∴∠2＋∠C ＝90°. ∴∠1＝∠C ＝60°. 设AB ＝BC ＝k (k >0)， 则CE ＝12CD ＝k 4，DE ＝34k .∵F 为DE 的中点，∴DF ＝12DE ＝38k ，AD ＝32AB ＝32k .∴AD BC ＝32，DF CE ＝32. ∴AD BC ＝DF CE. 又∵∠1＝∠C ， ∴△ADF ∽△BCE . ∴AF BE ＝AD BC ＝32， ∠3＝∠4.又∵∠4＋∠5＝90°，∠5＝∠6， ∴∠3＋∠6＝90°. ∴∠AHB ＝90°. (3)12tan(90°－α2)． 6．解：(1)①作图．△ADE (或△PDE )．②过点P 作PN ∥AG 交CG 于点N ，交CD 于点M ，∴∠CPM ＝∠CAB. ∵∠CPE ＝12∠CAB ，∴∠CPE ＝12∠CPN .∴∠CPE ＝∠FPN .∵PF ⊥CG ，∴∠PFC ＝∠PFN ＝90°. ∵PF ＝PF ，∴△PFC ≌△PFN .∴CF ＝FN . 由①得：△PME ≌△CMN . ∴PE ＝CN .∴CF PE ＝CF CN ＝12.(2)12tan α. 7．解：(1)①30°.②不改变，∠BDC 的度数为30°. 方法一：由题意知AB ＝AC ＝A D.∴点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上． ∴∠BDC ＝12∠BAC ＝30°.方法二：由题意知AB ＝AC ＝A D. ∵AC ＝AD ，∠CAD ＝α，∴∠ADC ＝∠ABD ＝180°－α2＝90°－12α.∵AB ＝AD ，∠BAD ＝60°＋α，∴∠ADB ＝∠ABD ＝180°－()60°＋α2＝120°－α2＝60°－12α.∴∠BDC ＝∠ADC －∠ADB ＝(90°－12α)－(60°－12α)＝30°.(2)过点A 作AM ⊥CD 于点M ，连接EM .∴∠AMC ＝90°.在△AEB 与△AMC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠AMC ，∠B ＝∠ACD ，AB ＝AC ，∴△AEB ≌△AMC.∴AE ＝AM ，∠BAE ＝∠CAM .∴∠EAM ＝∠EAC ＋∠CAM ＝∠EAC ＋∠BAE ＝∠BAC ＝60°. ∴△AEM 是等边三角形． ∴EM ＝AM ＝AE .∵AC ＝AD ，AM ⊥CD ， ∴CM ＝DM .又∵∠DEC ＝90°， ∴EM ＝CM ＝DM . ∴AM ＝CM ＝DM .∴点A ，C ，D 在以M 为圆心，MC 为半径的圆上． ∴α＝∠CAD ＝90°. 8．解：(1)CH ＝AB (2)结论成立．证明：如图，连接BE .在正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠A ＝∠BCD ＝∠ABC ＝90°. ∵DE ＝DF ， ∴AF ＝CE .在△ABF 和△CBE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠A ＝∠BCE ，AF ＝CE ，∴△ABF ≌△CBE . ∴∠1＝∠2.∵EH ⊥BF ，∠BCE ＝90°，∴H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上． ∴∠3＝∠2. ∴∠3＝∠1.∵∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠HBC ＝90°， ∴∠4＝∠HB C. ∴CH ＝CB. ∴CH ＝AB. (3)3 2＋3.。
【初三数学】代数几何综合题(含答案)(共15页)
代数几何综合题代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。
例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
解：（1） PC PB BO PO ⊥⊥,∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠CPA OPB PBO OPB CPA PBO 9090, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒BOP PAC 90∴∆∆BOP PAC ~∴=PO AC BOPA，∴=+||||||x y x 22， x y x y x<<∴=-0022，，∴=-+y x x 122（2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 ,当x =-1时，y =-32，∴=CA 32BO a BOQ CAQ OQ AQ BOCA//~,，∴∴=∆∆ 设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2∴-=∴=m m m 223287，Q 点坐标为()870，说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。
关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。
练习1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.(1)求证：CD ∥AO ；（3分）(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。
（4分）B2．如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O 的两根，且x1<0<x2．(1)求m的取值范围；(2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式.3．一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。
湘教版中考数学复习课件专题九综合应用能力题
∴BE＝ 2OM，AF＝ 2ON，
∴BE·AF＝ 2OM· 2ON＝2OM·ON.
∵矩形PMON的面积为2，∴OM·ON＝2，∴BE·AF＝4. ∵OA＝OB＝2，∴OA·OB＝4，∴BE·AF＝OA·OB， 即OAFB＝OBEA.∵∠OAF＝∠EBO＝45°，∴△AOF∽△BEO.
专题九┃ 综合应用能力题
专题九┃ 综合应用能力题
②当a＜2＜b时，此时二次函数y＝
1 5
x2－
4 5
x－
7 5
的最小
值是－
11 5
＝a，根据“闭函数”的定义知，b＝
1 5
a2－
4 5
a－
75，或b＝15b2－45b－75；
(Ⅰ)当b＝
1 5
a2－
4 5
a－
7 5
时，b＝
1 5
×
－151
2
－
4 5
×
－151
－75＝116265＜2(舍去)；
专题九┃ 综合应用能力题
(3)∵y＝15x2－45x－75＝15(x－2)2－151，
∴该二次函数的图象开口向上，最小值是－
11 5
，且当x＜2时，
y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大．
①当b≤2时，此二次函数y随x的增大而减小，则根据“闭函
数”的定义知：
1515ab22－ －4545ab－ －7575＝ ＝ba， ，解得ab＝ ＝1－，2，(舍去)或ab＝ ＝－ 1. 2，
专题九┃ 综合应用能力题
(1)求∠OAB的度数； (2)求证：△AOF∽△BEO； (3)当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE， EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为 S1，△OEF的面积为S2.试探究：S1＋S2是否存在最小值？ 若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．
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2012年中考第二轮专题复习九：几何综合体、代数和几何综合题1（2011省）如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当时，请直接写出的值．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图。
分析：（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG；（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；（4）由已知表示出的值．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°．又∵CE=AG，∴△DCE≌△GDA，∴DE=DG，∠EDC=∠GDA，又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°，∴DE⊥DG．（2）如图．（3）四边形CEFK为平行四边形．证明：设CK、DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG，∵BK=AG，∴KG=AB=CD，∴四边形CKGD是平行四边形，∴CK=DG=EF，CK∥DG，∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°，∴∠KME+∠DEF=180°，∴CK∥EF，∴四边形CEFK为平行四边形．（4）=．点评：此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂2（2011建设兵团）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求AB的长；（2）设BP=x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．考点：等腰梯形的性质；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形。
分析：（1）作AE⊥BC，根据题意可知BE的长度，然后，根据∠B的正弦值，即可推出AB 的长度；（2）作QF⊥BC，根据题意推出BP=CQ，推出CP关于x的表达式，然后，根据∠C的正弦值推出高QF关于x的表达式，即可推出面积关于x的二次函数式，最后根据二次函数的最值即可推出x的值；（3）首先假设存在M点，然后根据菱形的性质推出，∠B=∠APB=∠BAP=45°，这是不符合三角形角和定理的，所以假设是错误的，故AB上不存在M点．解答：解：（1）作AE⊥BC，∵等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∴BE=（BC﹣AD）÷2=2.5，∵∠B=45°，∴AB=，（2）作QF⊥BC，∵等腰梯形ABCD，∴∠B=∠C=45°，∵点P和点Q的运动速度、运动时间相同，BP=x，∴BP=CQ=x，∵BC=9，∴CP=9﹣x，QF=，设△PQC的面积为y，∴y=（9﹣x）•，即y=，∴当x==时，y的值最大，∴当x=时，△PQC的面积最大，（3）假设AB上存在点M，使得四边形PCQM为菱形，∵等腰梯形ABCD，∠B=∠C=45°，∴CQ=CP=BP=MP，∠B=∠C=∠MPB=45°，∴∠BMP=45°，∵∠B=∠APB=∠BMP=45°，不符合三角形角和定理，∴假设不存在，∴边AB上不存在点M，使得四边形PCQM为菱形．点评：本题主要考查等腰梯形的性质、解直角三角形、二次函数的最值、角和定理、菱形的性质，关键在于根据图形画出相应的辅助线，熟练掌握相关的性质定理即可．3（2011省市）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时．．出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA 向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0<t<10）。
（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由。
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；梯形。
分析：（1）如果四边形PCDQ为平行四边形，则DQ=CP，根据P、Q两点的运动速度，结合运动时间t，求出DQ、CP的长度表达式，解方程即可；（2）PH的长度不变，根据P、Q两点的速度比，即可推出QD：BP=1：2，根据平行线的性质推出三角形相似，得出相似比，即可推出PH=20．解答：解：（1）∵AD∥BC，BC=20cm，AD=10cm，点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P 以每秒2cm 的速度沿BC 向终点C 移动，点Q 以每秒1cm 的速度沿DA 向终点A 移动，∴DQ=t ，PC=20﹣2t ，∵若四边形PCDQ 为平行四边形，则DQ=PC ， ∴20﹣2t=t ，解得：t=；（2）线段PH 的长不变，∵AD ∥BH ，P 、Q 两点的速度比为2：1， ∴QD ：BP=1：2， ∴QE ：EP=ED ：BE=1：2， ∵EF ∥BH ，∴ED ：DB=EF ：BC=1：3， ∵BC=20，∴EF=，∴：=，∴PH=20cm ．点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和梯形的性质，解题的关键在于求得DQ 和PC 的长度表达式，推出DQ 和PC 的长度比为1：2．4（2011鄂尔多斯市）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点B 的坐标为（4，2）,OC 边在x 轴上，反比例系数y=xk（x ＞0）的图像经过点A ，过点A 的直线y=-21x+25与x 轴交于点E （1）直接写出的A 的坐标与k 的值;（2）连接BE ，所得梯形OABE 是等腰三角形吗？请说明理由；(3)请判断：平行四边形OABC 的对称中心 （填“在”或“不在”） 该反比例系数的图像上。
5（2011省市）已知：如图所示的一矩形纸片ABCD(AD ＞AB)，将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连结AF 和CE. （1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AE=10cm ，△ABF 的面积为242cm ，求△ABF 的周长； （3）在线段AC 上是否存在一点P ，使得22AE AC AP =⋅？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）。
专题：几何综合题。
分析：（1）通过证明△AOE ≌△COF ，可得四边形AFCE 是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC ，即可证明；（2）由勾股定理得AB 2+FB 2=100，△ABF 的面积为24cm 2可得，AB ×BF=48；变换成完全平方式，即可解答；（3）过点E 作AD 的垂线，交AC 于点P ，通过证明△AOE ∽△AEP ，即可证明； 解答：（1）证明：由题意可知OA=OC ，EF ⊥AO ， ∵AD ∥BC ，∴∠AEO=∠CFO ，∠EAO=∠FCO ， ∴△AOE ≌△COF ， ∴AE=CF ，又AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形， ∵AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是菱形；（2）∵四边形AECF 是菱形， ∴AF=AE=10cm ， 设AB=a ，BF=b ，∵△ABF 的面积为24cm 2， ∴a 2+b 2=100，ab=48，∴（a+b ）2=196，∴a+b=14或a+b=﹣14（不合题意，舍去）， ∴△ABF 的周长为14+10=24cm ；（3）存在，过点E 作AD 的垂线，交AC 于点P ，点P 就是符合条件的点； 证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP ， ∴△AOE ∽△AEP ，∴=，∴AE 2=AO •AP ，∵四边形AECF 是菱形，∴AO=AC ，∴AE 2=AC •AP ，∴2AE 2=AC •AP ．点评：本题考查了相似和全等三角形的判定和性质、勾股定理及矩形的性质，考查了知识点较多，综合性较强，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．6（2011省）.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,∠BAD=90°，CE ⊥AD 于点E,AD=8cm ，BC=4cm,AB=5cm 。
从初始时刻开始，动点P,Q 分别从点A,B 同时出发，运动速度均为1 cm /s, 动点P 沿A-B--C--E 的方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B--C--E--D 的方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，∆PA Q 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形) 解答下列问题：(1) 当x=2s 时，y=_____ cm 2;当x =29 s 时，y=_______ cm 2(2）当5 ≤ x ≤ 14 时，求y 与x 之间的函数关系式。
(3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出154=y S 梯形ABCD 时x 的值。
（4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．CP（备用图）C解：（1） 2；9、 （2） 当5≤x ≤9时CPQy= S 梯形ABCQ –S △ABP –S △PCQ =21(5+x -4)×421-×5(x -5)21-(9-x )(x -4)2657212+-=x x 2657212+-=x x y当9＜x ≤13时y=21（x -9+4）(14-x ) 35219212-+-=x x 35219212-+-=x x y 当13＜x ≤14时(Q )y=21×8(14-x )=-4x +56 即y=-4x +56（3） 当动点P 在线段BC 上运动时， ∵154=y S 梯形ABCD 154=×21 (4+8)×5 = 8即x ²-14x +49 = 0 解得x 1 = x 2 = 7 ∴当x =7时，154=y S 梯形ABCD （4） 9101961921=x说明：（1）自变量取值不含9，13可不扣分.(2）不画草图或草图不正确，可不扣分7（2011省市）已知，矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长；（2）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质。