专题九几何综合体、代数和几何综合题(含问题详解)

2012年中考第二轮专题复习九：几何综合体、代数和几何综

合题

1（2011省）如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．

（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG

（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG

（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的

特殊四边形，并证明你的猜想：

（4）当时，请直接写出的值．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图。分析：（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；

（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG；（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；

（4）由已知表示出的值．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°．

又∵CE=AG，

∴△DCE≌△GDA，

∴DE=DG，

∠EDC=∠GDA，

又∵∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠ADE+∠GDA=90°，

∴DE⊥DG．

（2）如图．

（3）四边形CEFK为平行四边形．

证明：设CK、DE相交于M点，

∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，

∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG，

∵BK=AG，

∴KG=AB=CD，

∴四边形CKGD是平行四边形，

∴CK=DG=EF，CK∥DG，

∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°，

∴∠KME+∠DEF=180°，

∴CK∥EF，

∴四边形CEFK为平行四边形．

（4）=．

点评：此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂

2（2011建设兵团）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．

（1）求AB的长；

（2）设BP=x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，

并求出最大值；

（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为

菱形？请说明理由．

考点：等腰梯形的性质；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形。

分析：（1）作AE⊥BC，根据题意可知BE的长度，然后，根据∠B的正弦值，即可推出AB 的长度；

（2）作QF⊥BC，根据题意推出BP=CQ，推出CP关于x的表达式，然后，根据∠C的正弦值推出高QF关于x的表达式，即可推出面积关于x的二次函数式，最后根据二次函数的最值即可推出x的值；

（3）首先假设存在M点，然后根据菱形的性质推出，∠B=∠APB=∠BAP=45°，这是不符合三角形角和定理的，所以假设是错误的，故AB上不存在M点．

解答：解：（1）作AE⊥BC，

∵等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，

∴BE=（BC﹣AD）÷2=2.5，

∵∠B=45°，

∴AB=，

（2）作QF⊥BC，

∵等腰梯形ABCD，

∴∠B=∠C=45°，

∵点P和点Q的运动速度、运动时间相同，BP=x，

∴BP=CQ=x，

∵BC=9，

∴CP=9﹣x，QF=，

设△PQC的面积为y，

∴y=（9﹣x）•，

即y=，

∴当x==时，y的值最大，

∴当x=时，△PQC的面积最大，

（3）假设AB上存在点M，使得四边形PCQM为菱形，

∵等腰梯形ABCD，∠B=∠C=45°，

∴CQ=CP=BP=MP，∠B=∠C=∠MPB=45°，

∴∠BMP=45°，

∵∠B=∠APB=∠BMP=45°，不符合三角形角和定理，

∴假设不存在，

∴边AB上不存在点M，使得四边形PCQM为菱形．

点评：本题主要考查等腰梯形的性质、解直角三角形、二次函数的最值、角和定理、菱形的性质，关键在于根据图形画出相应的辅助线，熟练掌握相关的性质定理即可．

3（2011省市）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q分别从B、

D两点同时

．．出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA 向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0

（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？

（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生

改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改

变，请说明理由。

考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；梯形。

分析：（1）如果四边形PCDQ为平行四边形，则DQ=CP，根据P、Q两点的运动速度，结合运动时间t，求出DQ、CP的长度表达式，解方程即可；

（2）PH的长度不变，根据P、Q两点的速度比，即可推出QD：BP=1：2，根据平行线的性质推出三角形相似，得出相似比，即可推出PH=20．

解答：解：（1）∵AD∥BC，BC=20cm，AD=10cm，点P、Q分别从B、D两点同时出发，点