基本不等式专题 ---完整版(非常全面)

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克*

基本不等式专题辅导

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式

（1）若R b a ∈,，则ab b a 22

2

≥+

（2）若R b a ∈,，则2

2

2b a ab +≤

2、基本不等式一般形式（均值不等式）

若*

,R b a ∈，则ab b a 2≥+

3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*

,R b a ∈，则

ab b

a ≥+2

（2）若*,R b a ∈，则2

2⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab

总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；

当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”

5、常用结论 （1）若0x >，则1

2x x

+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1

2x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）

（3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅

当b a =时取“=”）

（4）若

R

b a ∈,，则

2)2(2

22b a b a ab +≤

+≤ （

5

）

若

*

,R b a ∈，则

2

2111

22b a b

a ab

+≤+≤≤+ （

1

）

若

,,,a b c d R

∈，则

22222()()()a b c d ac bd ++≥+

（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：

2222222

1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)

22212)

n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+

二、题型分析

题型一：利用基本不等式证明不等式

1、设b a ,均为正数，证明不等

式:ab ≥

b

a 112+

2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，

求证：

ca bc ab c b a ++>++222

3、已知1a b c ++=，求证：

2221

3

a b c ++≥

4、已知,,a b c R +

∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---

5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修

4—5：不等式选讲

设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)

13

ab bc ca ++≤

;

(Ⅱ)222

1a b c b c a

++≥.

7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：

不等式选讲 已

知

>≥b a ，求

证:b a ab b a 2

2

3

3

22-≥-

题型二：利用不等式求函数值域

1、求下列函数的值域 （1）2

2

21

3x

x y +

= （2）)4(x x y -=

（3）)0(1

>+

=x x

x y （4）)0(1

<+=x x

x y

题型三：利用不等式求最值 （一）

（凑项）

1、已知2>x ，求函数

4

24

42-+-=x x y 的最小值；

变式1：已知2>x ，求函数

4

24

2-+

=x x y 的最小值；

变式2：已知2

4

24

2-+

=x x y 的最大值；

练习：1、已知5

4

x >，求函数14245

y x x =-+

-的最小值；

2、已知5

4x <

，求函数14245

y x x =-+-的最大值；

题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）

1、当时，求(82)y x x =-的

最大值； 变式

1：当时，求

4(82)y x x =-的最大值；

变式2：设2

3

0<

2、若02<

最大值；

变式：若40<

28(x x y -=的最大值；

3

、求函数

)2

5

21(2512<<-+-=x x x y 的最大

值；

（提示：平方，利用基本不等式）

变

式：求函数

)4

11

43(41134<<-+-=x x x y 的最大

值；

题型五：巧用“1”的代换求最值问题

1、已知12,0,=+>b a b a ，求

t a b

=

+11

的最小值； 法一：