几何学概论期末精彩试题及问题详解

《几何学概论》试题（１）

1. 试确定仿射变换，使y 轴，x 轴的象分别为直线01=++y x ，01=--y x ，且点（1，1）

的象为原点.(51')

2. 利用仿射变换求椭圆的面积.(01')

3. 写出直线12x +23x -3x =0,x 轴,y 轴,无穷远直线的齐次线坐标.(01')

4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51')

5. 已知A (1,2,3),B (5,-1,2),C (11,0,7),D (6,1,5),验证它们共线,并求(CD AB ,)的

值.(8')

6. 设1P (1,1,1),2P (1,-1,1),4P (1,0,1)为共线三点,且(4321,P P P P )=2,求3P 的坐标.(21')

7. 叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.(01')

8.一维射影对应使直线l 上三点P (-1),Q (0),R (1)顺次对应直线l '上三点

P '(0),Q '(1),R '(3),求这个对应的代数表达式.(01')

9.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.(01')

《高等几何》试题（２）

1.求仿射变换424,17++='+-='y x y y x x 的不变点和不变直线. (51')

2. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51')

3.求证a (1,2,-1) ,b (-1,1,2),c (3,0,-5)共线,并求l 的值,使

).3,2,1(=+=i mb la c i i i (01')

4.已知直线421,,l l l 的方程分别为02321=-+x x x ，0321=+-x x x ，

01=x ，且=),(4321l l l l 3

2-

，求2l 的方程.(51') 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (01') 6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底

的交点自对应. (01')

7.求两对对应元素,其参数为12

1→

,0→2,所确定对合的参数方 程. (01')

8.两个重叠一维基本形B A B A λλ'++,成为对合的充要条件是对应点的参数λ与λ'满足以下方

程: )0(0)(2

≠-=+'++'b ad d b a λλλλ (51')

《高等几何》试题（３）

1. 求仿射变换424,17++='+-='y x y y x x 的不变点和不变直线. (51')

2. 求椭圆的面积.(01')

3. 写出直线12x +23x -3x =0,x 轴,y 轴,无穷远直线的齐次线坐

标.(01')

4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51')

5. 已知直线421,,l l l 的方程分别为02321=-+x x x ，0321=+-x x x ， 01=x ，且=),(4321l l l l 3

2-，求2l 的方程.(51') 6. 在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是对合. (51')

7. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系, 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (02')

[2005—2006第二学期期末考试试题]

《高等几何》试题（A ）

一、 填空题（每题3分共15分）

1、 是仿射不变量， 是射影不变量

2、 直线30x y +=上的无穷远点坐标为

3、 过点（1,i,0）的实直线方程为

4、 二重元素参数为2与3的对合方程为

5、 二次曲线22611240x y y -+-=过点(1,2)P 的切线方程

二、 判断题（每题2分共10分）

1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形 （ ）

2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ）

3、一个角的外角平分线调和分离角的两边 （ ）

4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应容是射影几何对应容的子集 （ ）

5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线 （ ）

三、(7分)求一仿射变换，它使直线210x y +-=上的每个点都不变，且使点（1,-1）

变为（-1，2）

四、（8分）求证:点 (1,2,1),(1,1,2),(3,0,5)A B C --三点共线，并求,t s

使,(1,2,3)i i i c ta sb i =+=

五、(10分)设一直线上的点的射影变换是/324

x x x +=+证明变换有两个自对应点，且这两自对应点与任一对对应点的交比为常数。

六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。

七、（10分）

（1）求点（5，1，7）关于二阶曲线222123121323236240x x x x x x x x x ++---=的极线

（2）已知二阶曲线外一点P 求作其极线。（写出作法，并画图）

八、（10分）叙述并证明德萨格定理的逆定理

九、（10分）求通过两直线[1,3,1],[1,5,1]a b -交点且属于二级曲线

222123420u u u +-=的直线

十、（10分）已知,,,,A B P Q R 是共线不同点，

如果(,)1,(,)1,(,)PA QB QR AB PR AB =-=-求

《高等几何》试题（B ）

一、 填空题（每题3分共15分）

1、 仿射变换//71424x x y y x y ⎧=-+⎨=++⎩

的不变点为 2、 两点决定一条直线的对偶命题为

3、 直线[i ,2,1-i] 上的实点为

4、 若交比(,)2AB CD = 则(,)AD BC =

5、 二次曲线中的配极原则

二、判断题（每题2分共10分）

1、不变直线上的点都是不变点 （ ）

2、在一复直线上有唯一一个实点 （ ）

3、两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应 （ ）

4、射影群⊃仿射群⊃正交群 （ ）

5、二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数 （ ）

三、(7分)

经过(3,2)(6,1)A B -和的直线AB 与直线360x y +-=相交于P ，求 ()ABP

四、（8分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群

五、（10分）已知直线1234,,,L L L L 的方程