全国100所名校高三AB测试示范卷·数学

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2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三数学文科卷(二)(解析版)

全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4,5}B =，则A B =U （） A. {1,2,3,4,5} B. {0,1,4,5}C. {2,3}D. {0,1,2,3,4,5}【答案】D 【解析】【分析】根据并集的定义可直接求得结果. 【详解】由并集的定义可得：{}0,1,2,3,4,5A B =U .故选：D .【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题. 2.i 是虚数单位，2z i =-，则||z =（）A.B. 2C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数模长的定义可直接求得结果.详解】2z i =-Q ，z ∴==故选：C .【点睛】本题考查复数模长的求解问题，属于基础题.3.已知向量()1,2a =r ，()1,b λ=-r ，若//a b rr ，则实数λ等于（）A. 1-B. 1C. 2-D. 2【答案】C 【解析】【分析】由向量平行关系可构造方程求得结果.【详解】//a b r r Q ，()121λ∴⨯=⨯-，解得：2λ=-.故选：C .【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题. 4.“22x -<≤”是“22x -≤≤”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】直接利用充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】“22x -<≤”是“22x -≤≤”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，属于基础题.5.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为53，则该双曲线的渐近线方程为（） A. 45y x =±B. 54y x =±C. 43y x =±D. 34y x =?【答案】C 【解析】【分析】由双曲线的离心率，结合,,a b c 的关系求出,a b 的关系，代入双曲线的渐近线方程即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为53，即53c e a ==，所以53c a =，又222c a b =+，所以43b a =，因为双曲线的渐近线方程为by x a=±，所以该双曲线的渐近线方程为43y x =±.故选：C【点睛】本题考查双曲线的标准方程及其几何性质；考查运算求解能力；属于基础题.6.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（）A. 第一场得分的中位数为52B. 第二场得分的平均数为193C. 第一场得分的极差大于第二场得分的极差D. 第一场与第二场得分的众数相等【答案】C 【解析】【分析】根据茎叶图按顺序排列第一场、第二场得分分数，中间两数的平均数即为中位数，出现次数最多的数为众数，最大数减最小数为极差，求出相应数据即可判断各项正误.【详解】由茎叶图可知第一场得分为：0,0,0,0,0,2,3,7,10,12,17,19，中位数为52，众数为0，极差为19，第二场得分为：0,0,0,0,3,6,7,7,9,10,10,24，众数为0，平均数为193，极差为24，所以选项C 的说法是错误的. 故选：C【点睛】本题考查茎叶图，根据茎叶图计算样本数据的中位数、众数及平均数，属于基础题.7.ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5b =，22625c c a =---，则cos A =（） A.45B.35C.310D.25【答案】B 【解析】【分析】由已知条件可得2226b c a c +-=，再利用余弦定理即可求得cos A . 【详解】因为5b =，22625c c a =---，所以2226b c a c +-=，又2222cos bc A b c a ⋅=+-，所以62cos c bc A =⋅，所以3cos 5A =. 故选：B【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.8.函数()()21e ln 11exxf x x x -=+-+的图象大致为（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数()f x 的奇偶性排除选项,C D ；利用()20f >排除选项A 即可.【详解】由题意知，函数())21e ln 11e xxf x x x -=++的定义域为R ，其定义域关于原点对称，因为())21ln11xxe f x x x e ----=++)21ln11x x e x x e -=++又因为()))1222ln1ln1ln1x x x xx x -+=+=-+，所以()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，故排除,C D ；又因为())2212ln5201e f e -=>+，故排除A.故选：B【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.9.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（）A.152πB. 12πC.112π D.212π【答案】A 【解析】【分析】由三视图可知，该几何体为由18的球体和14的圆锥体组成，结合三视图中的数据，利用球和圆锥的体积公式求解即可.【详解】由三视图可知，该几何体为由18的球体和14的圆锥体组成，所以所求几何体的体积为11+84V V V =球圆锥，因为31149=3=8832V ππ⨯⨯球， 221111=34344312V r h πππ⨯⨯=⨯⨯⨯=圆锥，所以915322V πππ=+=，即所求几何体的体积为152π. 故选：A【点睛】本题考查三视图还原几何体及球和圆锥的体积公式；考查学生的空间想象能力和运算求解能力；三视图正确还原几何体是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.10.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”，他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于323d （d 为球的直径），并得到球的体积为316V d π=，这种算法比外国人早了一千多年，人们还用过一些类似的公式，根据 3.1415926π=⋅⋅⋅，判断下列公式中最精确的一个是（）A. d ≈B. d ≈C. d ≈D. d ≈【答案】C 【解析】【分析】利用选项中的公式化简求得π，找到最精确的选项即可. 【详解】由316V d π=得：36V d π=. 由A 得：3916V d ≈，69 3.37516π=∴⨯≈；由B 得：312V d ≈，632π∴≈=；由C 得：3157300Vd≈，6157 3.14300π⨯∴≈=；由D 得：3815V d ≈，683.215π⨯∴≈=， C ∴的公式最精确.故选：C .【点睛】本题考查数学史与立体几何的知识，关键是能够对选项中的公式进行准确化简求得π的近似值.11.已知32cos cos 2αβ-=，2sin sin 2αβ+=，则cos()αβ+等于（） A.12B. 12-C.14D. 14-【答案】A 【解析】【分析】把已知两等式平方后作和，结合同角三角函数平方关系和两角和差余弦公式可化简求得结果. 【详解】由32cos cos 2αβ-=得：()22292cos cos 4cos 4cos cos cos 4αβααββ-=-+=，由2sin sin αβ+=()22232sin sin 4sin 4sin sin sin 4αβααββ+=++=，两式相加得：()54cos cos sin sin 3αβαβ--=，即()4cos 2αβ+=，()1cos 2αβ∴+=. 故选：A .【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值的问题，涉及到同角三角函数平方关系的应用；关键是能够通过平方运算配凑出符合两角和差余弦公式的形式.12.已知,,A B C 为椭圆2214x y +=上三个不同的点，若坐标原点O 为ABC V 的重心，则ABC V 的面积为( )A.B.C.2D.【答案】C 【解析】【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，C 到直线AB 的距离为d ，分直线AB 斜率不存在与存在两种情况讨论：斜率不存在时，求出AB 与d ，计算ABC V 的面积；斜率存在时，设直线AB ：y kx b =+，联立消元，应用韦达定理得到12x x +与12x x ，化简表示出AB 与C ，将点C 坐标代入椭圆方程得到22441b k =+，计算ABC V 的面积.综合两种情况，可得答案.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，记C 到直线AB 的距离为d ，Q O 为ABC V 的重心，∴1230x x x ++=，1230y y y ++=，①当直线AB 斜率不存在时，根据椭圆对称性可知，12y y =-，12x x =，则12AB y =，由O 为ABC V 的重心知，12312x x x ==-，30=y ，则()2,0C 或()2,0C -， ∴133332d x x x =-==，1y ==AB ，∴ABC S =△，②当直线AB 斜率存在时，设直线AB ：y kx b =+，易知0b ≠，联立方程2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2214kx x b ++=，化简整理得，()222418440k x kbx b +++-=，()()()222228441446416160kb k b k b ∆=-+-=-+>，由韦达定理得，122841kb x x k +=-+，21224441b x x k -=+， ∴12x x -==，∴12241AB x k ==-+，Q O 为ABC V 的重心，∴()3122841kbx x x k =-+=+，()()()312121221224kx b kx b k x by y y k x b +++=-+--+==-=-+，∴22824141,kbb k C k ⎛-++⎫ ⎪⎝⎭，∴C 到直线AB的距离为d ==将点C 代入椭圆方程得，222282411441kb b k k ⎛⎫⎪-+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭，整理得22441b k =+，222641616480k b b ∆=-+=>，∴AB ==，∴ABC V 的面积为212SAB d ==⋅=，综上所述，ABC V 的面积恒为2. 故选：C.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及弦长公式的应用，考查了三角形重心的性质，考查了运算能力，另外,作为选择题，本题可直接通过特殊位置求出ABC V 的面积，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.设()f x 是定义在R 上的函数，若()()g x f x x =+是偶函数，且(2)4g -=-，则(2)f =________.【答案】6- 【解析】【分析】根据偶函数的定义可构造方程()()f x x f x x +=--，代入2x =和()24g -=-即可求得结果. 【详解】()g x Q 为偶函数，()()g x g x ∴=-，即()()f x x f x x +=--，()()2222f f ∴+=--，又()()2224g f -=--=-，()26f ∴=-.故答案为：6-.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解函数值的问题，属于基础题. 14.已知数列()*{}n a n ∈N是等差数列，其前n 项和为nS，若11=66S ，36927a a a +=，则12S =___________.【答案】78 【解析】【分析】由11=66S 及等差数列的性质可得66a =，代入所给等式可得39627a a =+，两式联立即可求得1a 、d ，再利用等差数列的前n 项和公式即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为116611666S a a ==⇒=①，所以36939627a a a a a +=+=②，由①②可得115672027a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以121=126678S a d +=. 故答案为：78【点睛】本题考查等差数列基本量的求解，等差数列性质的应用及前n 项和公式，属于基础题. 15.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>，点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，则ω=_________. 【答案】2 【解析】【分析】根据正弦函数两相邻对称中心横坐标间隔为半个最小正周期可求得最小正周期，由此可求得ω.【详解】2,0 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭Q和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x两个相邻的对称中心，722632Tπππ∴=-=，即2Tππω==，2ω∴=.故答案为：2.【点睛】本题考查正弦型函数对称性和周期性的综合应用问题，关键是明确正弦型函数相邻的两个对称中心横坐标间隔为半个最小正周期.16.在正三棱柱111ABC A B C-中，23AB=，12AA=，,E F分别为1AB，11A C的中点，平面α过点1C，且平面//α平面11A B C，平面αI平面111A B C l=，则异面直线EF与l所成角的余弦值为________.【答案】34【解析】【分析】由面面平行性质可知11//l A B，取1111,A B B C的中点分别为,H G，可证得//GF l，由此得到异面直线所成角为GFE∠或其补角，通过求得cos GFE∠可确定所成角为GFE∠，进而得到结果.【详解】Q平面//α平面11A B C，平面αI平面111A B C l=，平面11A B C I平面11111A B C A B=，11//l A B∴取1111,A B B C的中点分别为,H G，连接1,,,,EH EG GH GF AC，如图所示，则11//GF A B，//GF l∴，∴异面直线EF与l所成的角为GFE∠或其补角，23AB=Q12AA=，14AC∴=，1EH=，3HF GF==2EG EF∴==，3322cos02GFGFEEF∴∠===>，∴异面直线EF与l所成的角为GFE∠，∴异面直线EF 与l 所成角的余弦值为34.故答案为：3. 【点睛】本题以三棱柱为载体，综合考查异面直线所成角的求解；解答的基本方法是通过平移直线，把异面直线平移到两条相交直线上，将异面直线所成角的问题转变为相交直线所成角的问题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情结.如图是2015~2019年全国硕士研究生报考人数趋势图（单位：万人）的折线图.（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，预测2021年全国硕士研究生报考人数. 参考数据：()()51311iii tty y =--=∑.回归方程y a bt =+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别：()()()121ii i ni i tty y b t t ∞==--=-∑∑$，$ay bt =-$. 【答案】（1）$31.1120.9y t =+；（2）338.6万人. 【解析】分析】（1）根据所给数据求出样本平均数以及对应的系数即可求得y 关于t 的线性回归方程；（2）令7t =代入所得线性回归方程即可求得预测值. 【详解】（1）由题中数据计算得1(12345)35t =++++=， 165177201238290214.25y ++++==，()22232521(2)(1)01210i i tt =-=-+-+++=∑，由参考数据知，()()51311iii t t y y =--=∑，所以()()()5=125131131.110iii ii ttty y bt=--===-∑∑$， $214.231.13120.9ay bt =-=-⨯=$，故所求回归方程为$31.1120.9y t =+.（2）将2021年对应的7t =代人回归方程得$31.17120.9338.6y =⨯+=，所以预测2021年全国硕士研究生报考人数约为338.6万人. 【点睛】本题考查线性回归方程，最小二乘估计，属于基础题.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，()1314n n n S a -+=-，()212(1)log n n n b a +=-⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）4nn a =；（2）24(21)n T n n =-+【解析】【分析】（1）利用n a 与n S 的关系可证得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列通项公式求得结果；（2）由（1）可求得{}n b 的通项公式，采用并项求和的方法，结合等差数列求和公式可求得结果. 【详解】（1）()1314nn n S a-+=-Q ，∴当2n ≥且n *∈N 时，()11314n n n S a -+-=-，()()()111331414n n n n n n n a S S a a --+-+∴=-=---，整理可得：()()11440nn n aa -+--=，Q 当2n ≥且n *∈N 时，140n --≠，14n n a a +∴=；当1n =时，()1112331412S a a-==-=，216a ∴=，满足214a a =，∴数列{}n a 是以4为首项，4为公比的等比数列，1444n n n a -∴=⨯=.（2）由（1）知：()()()()()2211122221log 41log 214n n n n n n b n +++=-⋅=-⋅=-⋅，()()22222241234212n T n n ⎡⎤∴=-+-+⋅⋅⋅+--⎣⎦()()()()()()412123434411n =+⨯-++⨯-+⋅⋅⋅+-⨯-⎡⎤⎣⎦()()()()424374144212n n n n n +=⨯---⋅⋅⋅--=-⨯=-+【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系证明数列为等比数列并求通项、并项求和法求解数列的前n 项和的问题，涉及到等差数列求和公式的应用；关键是明确对于通项公式含有()1n-的数列求和时，通常采用并项求和的方式，通过分组找到数列的规律.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥ ，//BC AD ，2222AD BC PA AB ====，点E F G ，，分别为线段AD DC PB ，，的中点.（1）证明：直线//AG 平面PEF . （2）求多面体AGCPEF 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】【分析】（1）由//OG PE 推出//GO 平面PEF ，//AC EF 推出//AC 平面PEF ，从而推出平面//PEF 平面GAC ，由AC ⊂平面GAC 可得//AC 平面PEF ；（2）间接由多面体P ABCD -的体积减去三棱锥G ABC -、P EFD -的体积即可得解.【详解】（1）连接EC ，连接BE 交AC 于点O ，连接GO ，因为//2BC AD AD BC E =，，为线段AD 的中点，所以//BC AE 且BC AE =，又AB AD ⊥，所以四边形ABCE 为矩形，则点O 为BE 的中点，因为O 、G 分别为线段BE 、PB 的中点，所以//OG PE ，因为GO ⊄平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，所以//GO 平面PEF ，同理可得//AC 平面PEF ，又因为GO ⊂平面GAC ，AC ⊂平面GAC ，AC GO O ⋂=，所以平面//PEF 平面GAC ，又因AC ⊂平面GAC ，所以直线//AC 平面PEF .（2）因为22 2 AD BC PA ===，1AB =，所以111(12)11322P ABCD V -=⨯⨯+⨯⨯=， 11111132212G ABC V -=⨯⨯⨯⨯=， 11111132212P DEF V -=⨯⨯⨯⨯=，故所求多面体AGCPEF 的体积为1111212123--=. 【点睛】本题考查面面平行、线面平行的判定及证明，多面体体积的求法，属于中档题.20.已知函数2(),x f x e ax x a R =--∈，()g x 为函数()f x 的导函数.（1）若函数()g x 的最小值为0，求实数a 的值；（2）若0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x ≥--++恒成立，求实数a 取值范围.【答案】（1）12；（2）[2,)e -+∞. 【解析】【分析】（1）令()g x =()f x '，当0a ≤时根据导数判断函数()g x 单调递增不符合题意，当0a >时利用导数判断函数单调性从而求出最小值，根据最小值为0列出方程求解即可；（2）不等式化简为210x e x ax -+-≥，则21x e x a x ---≤对任意0x >恒成立，令21()x e x x xϕ--=，利用导数求出函数()x ϕ的最小值，根据不等式恒成立的条件即可求得a 的值. 【详解】（1）()21x f x e ax '=--，所以()21x g x e ax =--，()2x g x e a '=-，①当0a ≤时，()0g x '>，所以()21x g x e ax =--在R 上单调递增，不合题意； ②当0a >时，(,ln 2)x a ∈-∞时，()0g x '<，(ln 2,)x a ∈+∞时，()0g x '>，所以函数()g x 在区间(,ln 2)a -∞上单调递减，在区间(ln 2,)a +∞上单调递增，()(ln 2)2(1ln 2)10g x g a a a ≥=--=，令()(1ln )1x x x μ=--，则()ln x x μ'=-，因为()0,1x ∈时()0x μ'>，(1,)x ∈+∞时()0x μ'<，所以()x μ在区间()0,1上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以()()10x μμ≤=，所以由2(1ln 2)10a a --=知21a =，解得12a =，即实数a 的值为12. （2）因为0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x ≥--++恒成立，所以210x e x ax -+-≥，即21x e x a x---≤对任意0x >恒成立，令21()x e x x x ϕ--=，则()2(1)1()x x e x x xϕ---'=，由（1）知，10x e x --≥，当且仅当0x =时，等号成立，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ单调递增，所以()(1)2x e ϕϕ=-…，所以2a e -≤-，即2a e ≥-. 所以实数a 的取值范围为[2,)e -+∞.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，利用导数证明不等式，涉及利用导数判断函数的单调性及求函数的最值，属于较难题. 21.已知点()(),80Pt t <是抛物线2:2(0)C xpy p =>上一点，点F 为抛物线C 的焦点，||10PF =.（1）求直线PF 的方程；（2）若直线l 过点()0,4，与抛物线相交于M N ，两点，且曲线C 在点M 与点N 处的切线分别为m n ，，直线m n ，相交于点G ，求||PG 的最小值. 【答案】（1）3480x y +-=；（2）12 【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义可由||10PF =求出p ，即可求得抛物线方程及焦点F ，由点P 在抛物线上即可求出t 从而得点P 的坐标，即可写出直线PF 的两点式方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，()33,G x y ，求出直线m 、n 的方程，联立可得直线l 的方程，由直线l 过点()0,4可得34y =-，所以点G 在定直线4y =-上，数形结合可得PG 的最小值. 【详解】（1）因为||10PF =，所以8102p+=，解得4p =，所以()0,2F ，抛物线方程为：28x y =，又点(),8P t 在抛物线上，所以288t =⨯，又0t <，所以8t =-，则()8,8P -，故直线PF 的方程为822(0)80y x --=---，化简得3480x y +-=.（2）由（1）知，抛物线方程为28x y =，点()0,2F .设()()1122,,,M x y N x y ，则2118x y =，2228x y =，因为14y x '=，所以直线m 的方程为()11114y y x x x -=-，整理得1114y x x y =-，同理可得直线n方程为2214y x x y =-，设()33,G x y ，因为直线m n ，相交于点G ，联立313132321414y x x y y x x y⎧-⎪⎪⎨⎪=-⎩=⎪，得直线l 的方程为3314y xx y =-，又因为直线l 过点()0,4，所以34y =-，即点G 在定直线4y =-上，所以PG 的最小值为()8412--=.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，属于较难题.解决直线与抛物线的综合问题时，需要注意：（1）观察、应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 3πm ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）若直线l 与曲线C 至多只有一个公共点，求实数m 的取值范围；（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且A ，B 的中点为P ，求点P 的轨迹方程．【答案】（1）2m ≥或2m ≤-；（220y m +-= 【解析】【分析】（1）利用参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式把曲线C 和直线l 的方程化为直角坐标方程，并联立直线l 和曲线C 的直角坐标方程，得到关于x 的一元二次方程，利用判别式0∆≤即可求出实数m 的取值范围；()2根据题意，设()()1122,,,A x y B x y ，A ，B 的中点P 为(),x y ，直线l 和曲线C 的直角坐标方程联立，得到关于x 的一元二次方程，由两个交点A ，B 可得判别式>0∆，求出m 取值范围，利用韦达定理和点P 在直线l 上表示出点P 坐标，消去参数m 即可求出A ，B 的中点P 的轨迹方程. 【详解】（1）因为曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），消去参数α可得，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，由题意知，直线l的极坐标方程可化为1sin cos 22m ρθρθ-=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l20y m -+=，联立方程22420x y y m ⎧+=⎪-+=，可得2210x m +-=，因为直线l 与曲线C 至多只有一个公共点，所以判别式)()22410m ∆=--≤，解得2m ≥或2m ≤-，所以所求实数m 的取值范围为2m ≥或2m ≤-.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，A ，B 的中点P 为(),x y ，联立方程22420x y y m ⎧+=⎪-+=，可得2210x m +-=，所以判别式)()22410m ∆=-->，解得22m -<<，由韦达定理可得，122x x x m +==，因为点P 在直线l上，所以222my m m ⎫=-+=⎪⎪⎭，所以可得0x +=，()11y -<<即为点P 的轨迹方程.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式、动点轨迹方程的求法；考查运算求解能力；熟练掌握参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式是求解本题的关键；属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知a ，b 为正实数，222a b +=．（1）证明：2a b ab +≥．（2）证明：442a b +≥．【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）利用基本不等式222a b ab +≥，证得01ab <≤，再利用作差法证得ab ≤，然后由基本不等式a b +≥即可得证；（2）由()222422424a b a a b b +=++=知，224424a b a b =--，结合（1）中01ab <≤，证得2222a b ≤即得证.【详解】（1）证明：因为0,0a b >>，222a b +=，由基本不等式222a b ab +≥可得，01ab <≤，当且仅当a b =时等号成立，所以01<≤，即110-<≤，所以)10ab =≤，所以ab ≤2ab ≥，由基本不等式可得，a b +≥所以2a b ab +≥≥，即2a b ab +≥得证. （2）证明：因为222a b +=，所以()222422424a b a a b b +=++=，即224424a b a b =--，由（1）知，01ab <≤，所以2222a b ≤，所以4442a b --≤，即442a b +≥得证.【点睛】本题主要考查利用两个正数的基本不等式进行不等式的证明；考查运算求解能力和逻辑推理能力；灵活运用两个正数的基本不等式是求解本题的关键；属于中档题.。

2023金太阳全国100所名校最新高考模拟示范卷数学参考答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试（一）参考答案1．【答案】B 【命题意图】本题考查复数的四则运算，要求考生掌握复数代数表示式的四则运算．【解析】i(1i)i 111i 1i+-==---． 2．【答案】D【命题意图】本题考查集合的运算，要求考生理解两个集合的交集的含义，能求两个集合的交集．【解析】因为{|22,}{0,1,2}x B y y x x A ==-∈=，所以{0,1,2}A B = ．3．【答案】A 【命题意图】本题考查向量的数量积，要求考生会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算，能用坐标表示平面向量的数量积．【解析】2(1,2)(4,2)(3,4)a b -=--=-- ，(2)1(3)(2)(4)5a a b ∴⋅-=⨯-+-⨯-=．4．【答案】C 【命题意图】本题考查椭圆，要求考生掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．【解析】依题意，甲：5a =．乙：4b =．丙：45c a =．丁：8a c +=．可知甲、乙、丁为真命题，丙为假命题． 5．【答案】B【命题意图】本题考查圆柱与球的表面积，要求考生认识圆柱与球及简单组合体的结构特征，知道球与圆柱的表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．【解析】由题意得222408122R -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得20cm R =，20164cm h =-=，所以两个球冠的表面积之和为224320cm ππS Rh ==，灯笼中间球面的表面积为2243201280cm R πππ-=．因为上下两个圆柱的侧面积之和为22244192cm ππ⨯⨯=，所以围成该灯笼所需布料的面积为212801921472cm πππ+=． 6．【答案】D【命题意图】本题以泊松分布为情境，考查离散型随机变量的概率分布，要求考生理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．主要考查考生获取信息、运用所学知识解决问题的能力，体现了逻辑推理与数学运算的学科素养，突出基础性、应用性的考查要求．【解析】由题可知(2)(3)P X P X ===，即232e 6e λλλλ=，解得3λ=，故33()e (0,1,2,)!k P X k k k -=== ，13333(1)e 1!eP X -===，故两个站台各有1个乘客候车的概率为23639e eP ⎛⎫== ⎪⎝⎭．7．【答案】C【命题意图】本题考查比较大小，要求考生知道两个数比较大小的常用方法，会利用构造法比较大小．【解析】令ln ()x f x x =，则21ln ()x f x x-'=，当e x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，因为2e >73e >>，所以2(e )(7)(3)f f f <<，22ln e ln 7ln 3e 73<<，即22ln 7ln 3e 73<<，故b c a <<． 8．【答案】C【命题意图】本题考查二面角的最值，要求考生能解决平面与平面的夹角的计算问题．【解析】如图，平面1D MN 平面ABCD PN =，过点D 作DG PN ⊥，垂足为G ，连接1D G ，则1D GD ∠即为平面1D MN 与平面ABCD 所成的锐二面角， 1tan D GD ∠=1D DDG，当DG 最大时，1D GD ∠最小，不妨设4AB =，因为5DG DN ===≤，所以4tan 5θ=，cos θ=． 9．【答案】ABC【命题意图】本题考查异面直线的夹角，要求考生在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．【解析】对于A ：因为SD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以SD AB ⊥，因为ABCD 是正方形，所以AB AD ⊥，因为SD AD D = ，,SD AD ⊂平面SAD ，所以AB ⊥平面SAD ，因为SA ⊂平面SAD ，所以AB SA ⊥，故A 项正确；对于B ：因为,SD AC AC BD ⊥⊥，因为SD BD D = ，,SD BD ⊂平面SBD ，所以AC ⊥平面SBD ，因为SB ⊂平面SBD ，所以AC SB ⊥，故B 项正确；对于C ：AD 与SB 所成的角为SBC ∠，CD 与SB 所成的角为SBA ∠，因为cos cos BC ABSBC SBA SB SB∠===∠，所以AD 与SB 所成的角等于CD 与SB 所成的角，故C 项正确；对于D ：因为//AB CD ，所以CD SA ⊥，则DC 与SA 所成的角为90︒，因为AB 与SC 所成的角为90SCD ∠<︒，所以AB 与SC 所成的角不等于DC 与SA 所成的角，故D 项不正确． 10．【答案】BCD【命题意图】本题考查换底公式，要求考生理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．【解析】因为lg 2a =，lg 3b =，所以102a=，103b=，所以21012a b+=，A 项错误；2lg 4lg 3lg12a b +=+=，B 项正确；2lg(29)lg18a b +=⨯=，1811log 102lg18a b ==+，C 项正确；36lg 51lg 21log 5lg 362(lg 2lg 3)22aa b--===++，D 项正确． 11．【答案】ABC【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，要求考生掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质，理解数形结合的思想．【解析】对于A ：由题意知(1,0)F ，直线l 的斜率存在且不为0，设其方程为(1)y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，可得22222(2)0k x k x k -++=，216(1)0k ∆=+>，故21222(2)k x x k ++=，121x x =，则122424x x kAF BF =++=++，1212122244(1)(1)11214x x x x x x k k AF BF =++=+++=+++=+⋅，所以AF BF AF BF +=⋅，故A 项正确．对于B ：过点A 作AD x ⊥轴，垂足为D ，因为(1,0)K -，所以11tan 1y AKF x ∠=+， 111cos cos sin 21y y MQF MFQ AFD AF x ⎛⎫∠=-∠=∠== ⎪+⎝⎭，所以tan cos AKF MQF ∠=∠，故B 项正确．对于C ：因为1222y y k +=，所以M 点的纵坐标为2k ，故21,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，212NFk k k==--，1NF AB k k =-⋅，故NF AB ⊥，故//NF MQ ，故C 项正确．对于D ：2111212122224()()4()4y x y y y y x x y x ⎧=⇒+-=-⎨=⎩，则121212042y y k x x y y y -===-+，所以MQ 的方程为000()2y y y x x -=--，令0y =，得0000()22yy x x x x -=--⇒=+，所以0(2,0)Q x +，所以00211FQ x x =+-=+，所以1202222AB x x x FQ =++=+=，故D 项错误．12．【答案】ABC【命题意图】本题考查抽象函数的性质，要求考生理解函数的奇偶性与周期性的含义．【解析】令1x =，可得(1)(3)40f f -+=，所以(3)5f =，A 项正确；令2x =，可得(0)(4)80f f -+=，因为(0)0f =，所以(4)8f =，B 项正确；设()()2g x f x x =-，则()g x 为R 上的奇函数，又因为(2)(2)40f x f x x --++=，所以(2)2(2)(2)2(2)f x x f x x ---=+-+，则(2)(2)g x g x -=+，所以()g x 的图象关于直线2x =对称，因为(4)()()g x g x g x +=-=-，(8)(4)()g x g x g x +=-+=，所以()g x 的一个周期为8，因为(2023)(1)(1)1,(2023)(2023)220231g g g g f =-=-==-⨯=，所以(2023)4047f =，C 项正确；因为(2024)(0)0g g ==，则(2024)220240,(2024)4048f f -⨯==，D 项错误．13．【答案】160-【命题意图】本题考查二项式定理，要求考生会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【解析】因为62x ⎛ ⎝的展开式的通项为36662166C (2)(1)C 2rr r r r r r r T x x---+⎛==- ⎝，所以第四项的系数为3336(1)C 2160-=-．14．【答案】223(3)102x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭或223(3)102x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭【命题意图】本题考查圆的方程，要求考生掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．【解析】设圆心坐标为(,2)a a ，可得2(2)110a +=，解得32a =±，所以圆心坐标为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭或3,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故圆的标准方程为223(3)102x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭或223(3)102x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭．15．【答案】53【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，要求考生了解函数sin()ωϕy A x =+中各参数对图象的影响．【解析】因为6855ππf f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合图象可知725πf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以72()562Z ωππππk k +=+∈，解得510()217Z ωk k =+∈．由图象可知862555283552ππππωππππωT T ⎧-=<=⎪⎪⎨⎪-=>=⎪⎩，可得512ω<<，所以1k =，53ω=．16．【答案】[0,e]【命题意图】本题考查函数的极值，要求考生能借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，能利用导数求某些函数的极大值、极小值，体会导数与极值的关系．【解析】()(1)(e )x f x x ax '=+-．令()e xg x ax =-，因为函数3211()e 32xf x x ax ax =--有唯一一个极值点，且(0)10g =>，所以()0g x ≥恒成立．当0a =时，符合题意；当0a <时，()e 0xg x a '=->，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，且当x →-∞时，()g x →-∞，不合题意，舍去；当0a >时，由()0g x '=，可得ln x a =，()g x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，所以min ()(ln )ln g x g a a a a ==-，由ln 0a a a -≥，解得0e a <≤．综上所述，实数a 的取值范围是[0,e]． 17．【命题意图】本题考查数列的通项公式与前n 项和，要求考生掌握数列的前n 项和的求法，能运用等差数列解决相应问题．【解析】（1）当1n =时，31248a =⨯=，12a =，··························································1分当2n ≥时，3333221232(1)n a a a a n n ++++=+ ，33332212312(1)n a a a a n n -++++=- ，·······2分两式相减得323248n a n n n =⨯=，即2n a n =，································································4分当1n =时，也符合上式，故2n a n =．··········································································5分（2）因为12211122(1)21n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⨯++⎝⎭，····················································7分所以11111111122231222n S n n n ⎛⎫=-+-++-=- ⎪++⎝⎭ ．················································10分 18．【命题意图】本题考查解三角形，要求考生能够运用余弦定理等知识和方法解决一些与几何计算有关的实际问题．【解析】（1）因为cos cos 2cos bc A ab C ac B +=，由余弦定理可得2222222222222b c a a b c a c b bc ab acbc ab ac+-+-+-+=，·································2分整理得2222a c b +=，································································································4分所以2a ，2b ，2c 成等差数列．····················································································5分（2）因为sin 3sin A C =，所以3a c =．·······································································7分又因为2222a c b +=，所以22292c c b +=，即b =．·················································9分由余弦定理可得222222955cos 2236a cbc c c B ac c c +-+-===⋅．··············································12分19．【命题意图】本题考查面面平行的性质定理与线面角，要求考生能运用面面平行的性质定理解决问题，能用向量方法解决直线与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．【解析】（1）在1BB 上取点M ，使得11B M =，连接1A M ，延长1CC 至点N ，使得11C N =，连接MN ，1A N ，则平面1A MN 与平面α重合．············································································1分理由如下：因为1//A D BM ，且1A D BM =，所以四边形1A DBM 是平行四边形，1//A M BD ，············2分同理可得//MN BE ，所以平面1//A MN 平面BDE ，又平面α过点1A ，且平面//α平面BDE ，(3分) 所以平面1A MN 与平面α重合，则F 为MN 与11B C 的交点．又易知11FB M FC N ≅△△，所以11FB FC =，即F 为11B C 的中点，··································4分所以1A F ===．·································································5分（2）因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，所以BA ，BC ，1BB 两两垂直．分别以BA ，BC ，1BB 的方向为x 轴、y 轴、z则(0,0,0)B ，(2,0,2)E ，(0,2,1)D ，(1,0,3)F ，·········6分所以(2,0,2)BE = ，(0,2,1)BD = ，(1,0,3)BF =，······7分设平面BDE 的法向量为(,,)m x y z =，则0m BE ⋅= ，0m BD ⋅= ，即22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，得(2,1,2)m =- ．···············9分设直线BF 与平面BDE 所成的角为θ，则sin |cos ,|BF m BF m BF mθ⋅=〈〉===⋅ ，······································11分所以直线BF 与平面BDE ．·······················································12分 20．【命题意图】本题以二氧化碳的排放导致全球气候变暖为情境，要求考生运用所学回归分析与正态分布等必备知识解答相关问题，主要考查数学运算与数据分析的学科素养，突出综合性、应用性的考查要求．【解析】1(1)(141721273239)256x =⨯+++++=，····················································1分 1(0.20.30.50.8 1.0 1.4)0.76y =⨯+++++=，·····························································2分61126.6i i i x y ==∑==66?21.60.9970.7521.66i ix y x yr -∴==≈≈>∑，·································4分故可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．·····································································5分（2）61621()621.6ˆ0.048450i ii ii x y xybx x ==-===-∑∑，······································································7分 ˆ0.70.048250.5a∴=-⨯=-，·····················································································8分 y ∴关于x 的线性回归方程为ˆ0.0480.5yx =-．·····························································9分（3）~(5,4)Z N ，1(5252)(7)0.158652P Z P Z --<+∴>==≤，···························11分∴该企业每天的二氧化碳排放量Z 超过7吨的概率为0.15865．···········································12 分 21．【命题意图】本题考查导数的几何意义与方程的根，要求考生通过函数图象直观理解导数的几何意义，能利用导数求某些函数的最大值、最小值，体会导数与最大 (小) 值的关系，掌握函数与方程的数学思想．【解析】（1）因为()lnx 1af xx =+-'，所以()ln f a a '=，又因为()1f a =-，所以曲线()y f x =在x a =处的切线方程为1()ln y x a a +=-，·············································································2分则1ln ln 1a ab a a -=⎧⎨=--⎩，易知1ln a a -≥，当且仅当1a =时取等号，·······································4分所以1a =，1b =-．·································································································6分（2）当2a =时，由()f x mx =，可得(2)ln 1x x mx --=，(2)ln 1x x m x--=．令(2)ln 1()x x g x x --=，则22ln 1()x x g x x+-'=．························································8分设函数()2ln 1h x x x =+-，易知函数()h x 为增函数，(1)0h =，所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，············································································································10分所以()g x 的最小值为(1)1g =-，故实数m 的取值范围是(1,)-+∞．···································12分 22．【命题意图】本题考查直线与双曲线的位置关系，要求考生了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质，通过圆雉曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．【解析】（1）由已知可得22b a =224a b +=，又0a >，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线C 的方程为2213x y -=．·············································································2分当l x ⊥轴时，直线l 的方程为2x =，则122x x ==，1221212()x y x y y y -=-成立；当直线l 的斜率存在时，AF BF k k =，121222y y x x =--，整理得1221212()x y x y y y -=-．·········4分综上所述，1221212()x y x y y y -=-成立．······································································5分（2）设点M 的坐标为(,0)m ，222AMBM AB λ+-=．当l x ⊥轴时，直线l 的方程为2x =，不妨设A ⎛ ⎝⎭，2,B ⎛ ⎝⎭，则2221222(2)2833λm m m ⎡⎤=-+-=-+⎢⎥⎣⎦⎝⎭．当l y ⊥轴时，直线l 的方程为0y =，代入2213x y -=，得x =不妨设(A ，B ，则2222((26λm m m =++-=-．令222228263m m m -+=-，得53m =，24269m λ=-=-．··········································7分当l 不与坐标轴垂直时，设直线l 的方程为2(x ty t =+≠，代入2213x y -=，得22(2)33ty y +-=，即22(3)410t y ty -++=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12122241,33t y y y y t t +=-=--．对于点5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22222211221255()()133x y x y y y t λ⎛⎫⎛⎫=-++-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222221212222222(1)826(1)822(1)()3933(3)93(3)9t t t t t t y y y y t t t ++-=++++=-+=+--- 226222243(3)9399t t -=+=-+=--．·················································································11分综上所述，存在定点5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得222AMBM AB +-为定值49-．····························12分。

精品解析：2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(二)(解析版)

所以目标函数的最大值为 .
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数，点和是函数图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位，，则（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，点，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出与坐标，表示出，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性排除选项；利用排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数的定义域为，其定义域关于原点对称，
因为
又因为，
所以，即函数为偶函数，故排除；
又因为，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.

2021年全国100所名校高考数学示范试卷

2021年全国100所名校高考数学示范试卷（三）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，所以，故选：D．先根据复数除法的运算法则进行化简，然后根据复数的共轭复数的定义进行求解即可．本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的求解，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．2.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】B【解析】解：集合，，所以，故A故选：B．先利用一元二次不等式的解法以及一元一次不等式的解法求出集合A，B，再由补集的定义求出，结合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集与补集的求解，同时考查了一元二次不等式的解法以及一元一次不等式的解法，属于基础题．3.已知非零向量，满足，若与垂直，则与的夹角A. B. C. D.【答案】B【解析】解：与垂直，，，且，，且，．故选：B．根据与垂直即可得出，然后根据即可求出的值，进而求出的大小．本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．4.已知x为锐角，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：因为x为锐角，且，所以，因为，所以，所以x为锐角，“”能推出“”，“”不能推出“”，所以x为锐角，则“”是“”的充分不必要条件．故选：A．分别解三角不等式与，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．本题主要考查了三角不等式的解法，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了推理能力，属于基础题．5.某大型金字形墙体如图所示，最上层码有2块长方体石块，第2层6块石块，第3层10块石块，以下每层都比其上一层多4块石块已知总层数为奇数，其中中间一层有310块石块，则该建筑的总层数为A. 157B. 153C. 155D. 151【答案】C【解析】解：设从上至下各层的石块数构成数列，由题设知数列是首项为2，公差为4的等差数列，设中间一层的石块数为，则，解得：，该建筑的总层数为，故选：C．设从上至下各层的石块数构成数列，由题设知数列是首项为2，公差为4的等差数列，然后利用其通项公式及题设条件求得中间一层是第几层，即可求得结果．本题主要考查等差数列在实际问题中的应用及等差数列基本量的计算，属于基础题．6.已知倾斜角为的直线l过抛物线：的焦点F，若l与圆：相切，则A. 12B. 10C. 8D. 6【答案】A【解析】解：设倾斜角为的直线过抛物线C：的焦点F，如图，切点为：B，连接，则，直线l的倾斜角为：，所以，，故F所以，可得，故选：A．画出图形，利用圆心到直线的距离等于半径，转化求解F的坐标，求解即可．本题考查抛物线的简单性质以及直线与圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，是中档题．7.据水利部消息，受降雨影响，嫩江尼尔基水库9月4日2时入库流量3510立方米每秒，依据水利部全国主要江河洪水编号规定，编号为“嫩江2020年第1号洪水”现有7名消防员志愿者到A，B，C三个社区参加抗洪救灾工作，根据工作实际需要，A社区要分配三名志愿者，B，C两个社区各2名志愿者，则不同的分配方法共有A. 210种B. 240种C. 420种D. 105种【答案】A【解析】解：由题意可得：先从7名消防员志愿者选择3名到A社区，再从剩下的4名志愿者中选出2名到B社区，剩下的2名志愿者中到C社区，根据分步乘法原理可得不同的分配方法共有：种．故选：A．由题意可得：先从7名消防员志愿者选择3名到A社区，再从剩下的4名志愿者中选出2名到B社区，剩下的2名志愿者中到C社区，根据分步乘法原理可得不同的分配方法．本题考查了分步乘法原理与排列组合的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.已知函数，当时，恒有，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：当时，恒有，恒有，即恒有．构造函数，，在上单调递减，在上单调递增．，，，，，，两边取自然对数得，，令，则，在上单调递增，在上单调递减，当时，，，的取值范围为．故选：B．根据条件可知，当时，恒成立，然后构造函数，得到，再构造函数，求出的最大值，进一步求出m的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的解法，考查了函数思想和转化思想，属中档题．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.射频前端芯片是无线产品中的关键部件，在进入5G时代后，其背后牵动的经济和社会价值尤为重要射频前端芯片包括射频开关、射频低噪声放大器、射频功率放大器、双工器、射频滤波器等芯片，是移动智能终端产品的核心组成部分，我国是全球最大的射频前端芯片市场，但国内企业占比较小，国产化任重而道远如图是年全球射频前端芯片市场规模及预测其中年份后带字母“E”为预测由图可知，下列说法中正确的是某年至某年包含两端年份A. 从2014年至2019年全球射频前端芯片市场规模每年比上一年增长以上B. 预测从2020年至2023年全球射频前端芯片市场规模的增量在逐年上升C. 从2015年至2019年全球射频前端芯片市场规模每年较上一年增长率的平均值为D. 预测2019年至2021年全球射频前端芯片市场规模波动比2013年至2015年的波动大【答案】ABD【解析】解：由折线图可知，从2014年至2019年全球射频前端芯片市场规模每年比上一年增长以上，所以选项A正确；因为根据预测从2020年至2023年全球射频前端芯片市场规模的增量依次为亿美元，亿美元，亿美元，故增量在逐年上升，所以选项B正确；因为，所以从20015年至2019年全球射频前端芯片市场规模每年比上一年增长率的平均值为，所以选项C不正确；从折线图可以看成波动较大，所以选项D正确．故选：ABD．利用题中给出的条形统计图和折线统计图，对四个选项进行逐一分析判断即可．本题是一道统计题，阅读量大，涉及条形统计图和折线统计图，考查学生逻辑推理能力与分析数据能力，属于基础题．10.已知，，且，则A. B.C. D.【答案】AC【解析】解：对于A：，，且，故，当且仅当时，等号成立故A正确；对于B：，由于，故B错误；对于C：当且仅当等号成立，故C正确；对于D：当且仅当时等号成立，故D错误．故选：AC．直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：基本不等式的基本性质，关系式的变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．11.如图，这是函数的部分图象，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则A. 的最小正周期为B.C. 的一条对称轴方程为D. 的单调递增区间为【答案】BCD【解析】解：对于选项A，由图可知，最小正周期，即选项A错误；对于选项B，，，，又点在的图象上，，即，，，，，，即选项B正确；对于选项C，由上可知，，，令，，则，，当时，，即选项C正确；对于选项D，令，，则，，函数的单调递增区间为，，即选项D正确．故选：BCD．由图可得，，，代入点，求得，从而知函数的解析式，由“左加右减”的平移原则求得的解析式后，再结合正弦函数的轴对称和单调性，即可得解．本题考查利用图象求三角函数的解析式，三角函数的图象与性质，函数图象的平移变换等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.在四面体ABCD中，，，二面角的大小为，在侧面诸边及内部有一动点P，满足点P到直线AB的距离等于点P 到平面BCD的距离，则A. 点P到直线AB的距离等于点P到直线BC的距离B. 点P的轨迹为一段圆弧C.D. 点P的轨迹长为【答案】CD【解析】解：过点P作于H，作平面BCD于M，过点M作于N，连接PN，二面角的大小为，，，，，点P的轨迹是一端点为点B，另一端点在AC上的线段，即选项A和B均错误；在中，，，由余弦定理知，，，即选项C正确；在中，由余弦定理知，，当点P在AC上时，，，，，，点P的轨迹长度为，即选项D正确．故选：CD．选项A和B，过点P作于H，作平面BCD于M，过点M作于N，连接PN，易知，从而推出，于是得点P的轨迹为线段；选项C，在中，由余弦定理，可求得AC的长度；选项D，在中，由余弦定理求得的值，当点P在AC上时，由可推出AP和PC的比值，从而得CN和PN的长，最后利用勾股定理求出BP的长，即可．本题考查立体几何的综合应用，包含二面角、点到线和点到面的距离等，考查学生的空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数为奇函数，则实数______ ．【答案】【解析】解：根据题意，函数为奇函数，则，即，变形可得，必有，故答案为：．根据题意，由奇函数的定义可得，即，变形分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．14.在本届秋季运动会中，同学们热情高涨，踊跃报名，有不少同学报了多个项目高三四班有50名学生，报了100米短跑或1500米长跑的有16人，其中报了100米短跑的同学有10名，报了1500米长跑的同学有12名，则该班既报了100米短跑又报了1500米长跑的的学生数占该班学生总数的比例是______ ．【答案】【解析】解：该班既报了100米短跑又报了1500米长跑的的学生数人，占该班学生总数的比例．由题意可得该班既报了100米短跑又报了1500米长跑的的学生数人，进而得出占该班学生总数的比例．本题考查了集合有关知识、频率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.九章算术卷五商功中，记载一个问题“今有圆堡瑽，”这里所说的圆堡瑽就是圆柱体形土筑小城堡如图，一圆堡瑽的轴截面是边长为4的正方形ABCD，点E为上底圆周上一个动点与C、D点不重合，三棱锥外接球的表面积为______ ．【答案】【解析】解：圆堡瑽的轴截面是边长为4的正方形ABCD，点E为上底圆周上一个动点与C、D点不重合，取AC的中点为O，则，所以三棱锥的外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为．故答案为：．取AC的中点为O，求出外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可．本题考查数学文化与交换条件，考查发现问题的能力，是基础题．16.已知双曲线C：的右顶点为A，左、右焦点分别为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交双曲线的渐近线于点R，M为PQ的中点，若，且，，则双曲线C的标准方程为______ ．【答案】【解析】解：因为，所以，设，所以，解得，所以，所以直线的斜率为，设，，，因为，所以，因为，，联立，解得，用可得，结合可得，从而，所以，所以，因为，所以，，所以双曲线的方程为，故答案为：．因为，所以，设，由此求出点R的坐标，进而求出直线的斜率，设出点M，P，Q的坐标，利用点P，Q在双曲线上建立等式关系，再由已知关系建立等式关系，联立即可求解．本题考查了双曲线的方程，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.从，，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并作答．问题：已知数列为等比数列，且_____．若，，求数列的前n项和．【答案】解：若选，设等比数列的公比为q，因为，所以，又，所以，即，解得或，由于，所以，所以，于是，所以．若选，设等比数列的公比为q，因为，，所以，即，即，解得，所以，于是，所以．若选，设等比数列的公比为q，因为，，所以，所以，所以，于是，所以．【解析】若选，由等比数列的通项公式即可求出公比q，从而可得数列的通项，利用分组法求和即可．若选，由等比数列的性质即可求出公比q，从而可得数列的通项，利用分组法求和即可．本题主要考查等比数列及数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．18.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且．求sin A；若，求面积的最大值．【答案】解：，，，由正弦定理知，，，由余弦定理知，，，．由知，，，，当且仅当时，等号成立，面积，故面积的最大值为．【解析】结合三角形的内角和定理与正弦定理，可推出，再由余弦定理和同角三角函数的平方关系，即可得解；由知，，利用基本不等式可得，再由，得解．本题主要考查解三角形的应用，还涉及基本不等式，利用正弦定理将角化边是解题的突破口，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点．求证：平面平面；记的重心为G，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】证明：取中点M，连接ME、MD，因为E为中点，所以，，又因为，，所以，，所以四边形ADME为平行四边形，所以，又因为，所以，又因为，，，所以平面平面E.解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，由已知得各点坐标如下：6，，0，，6，，6，，所以4，，，，0，，设平面的法向量为y，，又因为平面平面，，令，1，所以．故直线与平面所成角的正弦值为．【解析】用两条相交直线分别平行证明两平面平行；用向量数量积求直线与平面成角正弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角的计算问题，属于中档题．20.学生的学习方式是多种多样的，为了应对重大传染疾病所要求的人员的社交距离，也为了提高学生的学习效率，开展多渠道学习形式，市教育局鼓励学生参加网上学习某中学课题组的数学教师为了调查学生在家学习数学的情况，对本校随机选取100名学生进行问卷调查，统计他们学习数学的时间，结果如图所示．若此次学习数学时间X整体近似服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这100名学生学习数学时间的平均值和标准差，并求得，该校共有1000名学生，试估计该校学生中此次学习数学时间超过87分钟的学生人数结果四舍五人取整数；若从全市学生中利用电脑抽取学籍号的方式有放回地随机抽取3次，每次抽取1人，用频率估计概率，设其中数学学习时间在80分钟及以上的次数为，求随机变量的分布列和均值．参考公式：若随机变量服从正态分布，则，，．【答案】解：，，，，人，估计该校学生中学习数学时间超过87分钟的学生数为159人．从全市学生中有放回地抽取1名学生，该学生学习数学时间在80分钟及以上的概率为，随机变量，，，，，的分布列为：0 1 2 3P．【解析】由，，，求出，由此能估计该校学生中学习数学时间超过87分钟的学生数．从全市学生中有放回地抽取1名学生，该学生学习数学时间在80分钟及以上的概率为，随机变量，由此能求出的分布列和数学期望．本题考查频数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、正态分布、二项分布等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是中档题．21.已知函数，．判断的单调性；求函数在上的最大值．【答案】解：，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增；，则，令，解得：，，令，则，故在上单调递增，故，从而，故，故当时，，当时，，故F，令，则，令，则，故在单调递减，而，故存在，使得，当时，，当时，，故H在递增，在递减，，，故H在上恒成立，当且仅当时“”成立综上：函数在上的最大值是．【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；求出函数的导数，根据函数的单调性求出，令，根据函数的单调性求出，求出的最大值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．22.在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点O对称，且A、B及它们关于x轴对称的点都在曲线T上，P是曲线T上不同于上述四点的一动点，且直线AP与BP的斜率之积等于．求曲线T的方程，并说明是什么曲线；设直线l：与曲线T相交于M、N两点，以线段CM，ON为邻边作平行四边形CMEN，其中顶点E在曲线上，求的取值范围．【答案】解：设点P的坐标为，因为直线AP与BP的斜率之积为，且点B与点关于原点O对称，所以，化简得，所以曲线T的方程为，该曲线为一个椭圆除去横坐标为的四点．当时，在椭圆T上，解得，所以，当时，则由，消去y化简得，所以，设M，N，E点的坐标分别为，，，则，，由于点E在椭圆T上，所以，从而，化简得，满足，所以，因为，有，故，综上，所以的取值范围为．【解析】设点P的坐标为，由直线AP与BP的斜率之积为，得，化简得答案．当时，在椭圆T上，解得m，进而可得；当时，设M，N，E点的坐标分别为，，，联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由于点E在椭圆T上，解得，进而计算得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。

2021届新高考全国100所名校高考模拟示范卷(一)数学试题(word版,含解析)

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试一､选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.若,2z i i =-+则z= A.2-iB.1-2iC.-1+2iD.-2+i 2.已知集合2{|30},{2,2}A x x x a B =-+==-,若A∩B={2},则A ∪B=A.{-2,1,2}B.{-2,-1,2}C.{-2,3,2}D.{-2,2}3.62()x x-的展开式的常数项为 A.-120 B.-60 C.120 D.604.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗,并在500名志愿者身上进行了人体注射实验,发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答｡若这些志愿者的某免疫反应蛋白M 的数值X(单位:mg/L)近似服从正态分布2(15,),N σ且X 在区间(10,20)内的人数占总人数的19,25则这些志愿者中免疫反应蛋白M 的数值X 不低于20的人数大约为A.30B.60C.70D.140 5.天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念｡星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,它的光就越暗｡到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念｡天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述｡两颗星的星等与亮度满足12212.5(lg lg )m m E E -=-,其中星等为i m 的星星的亮度为(1,2).i E i =已知"角宿一"的星等是0.97,"水委一"的星等是0.47.“水委一”的亮度是"角宿一"亮度的r 倍,则与r 最接近的是(当|x|较小时,2101 2.3 2.7x x x ≈++)A.1.56B.1.57C.1.58D.1.596.已知圆C:22(3)(3)9x y -++=,直线l:(m+1)x+(2-m)y-3m=0,则当圆心C 到直线l 的距离最大时,直线l 被圆C 所截得的弦长为A.4 .25B .23C .27D7.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,底面ABCD 是梯形,2//,,43AB CD BCD AB π∠==,PD=BC=CD=2,则四棱锥P-ABCD 的外接球的表面积为A.16πB.18πC.20πD.24π8.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F(1,0),准线为l,过焦点F 的直线交抛物线C 于点A ､B(A 在x 轴上方),且点A 的横坐标为3,D 是y 轴正半轴上一点,O 为坐标原点,∠ODA 的角平分线过AF 的中点,则点D 的坐标为A.(0,2) 53.(0,)2B C.(0,3) .(0,33)D二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分｡9.已知曲线C:221.x y a b+= A.若C 是双曲线,则ab<0B.若a>0,C 是离心率为2的双曲线,则3b a =- C.若ab>0,则C 是椭圆D.若C 是离心率为12的椭圆,则34b a = 10.已知()cos()(0,0,0)f x A x B A ωϕωϕπ=++>><<,其部分图象如图所示,M ､N 分别为最高点､最低点,则A.A=7B.B=29 .4C πϕ= D.f(11)=32.511.如图,平面α∩平面β=直线l,点A,C ∈α,点B,D ∈β,且A ､B ､C ､D ∉l,点M ､N 分别是线段AB ､CD 的中点｡A.当直线AC 与BD 相交时,交点一定在直线l 上B.当直线AB 与CD 异面时,MN 可能与l 平行C.当A ､B ､C ､D 四点共面且AC//l 时,BD//lD.当M 、N 两点重合时,直线AC 与l 不可能相交12.已知数列{}n a 的通项公式是2,n n a =1a 和2a 之间插入1个数11,x 使1112,,a x a 成等差数列;在2a 和3a 之间插入2个数2122,x x ,使221223,,,a x x a 成等差数列;…;在n a 和1n a +之间插入n 个数12,,,n n n n x x x ,使121,,,,,n nn n n n a x x x a +成等差数列｡这样得到新数列{}:n b 1112212233132334,,,,,,,,,a x a x x a x x x a …,记数列{}n b 的前n 项和为,n S 则836.A a b =B.112132n n n n n n n a x x x a n -++++++=⋅ 38.320C b = 45.6401D S =三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡把答案填在答题卡中的横线上｡13.若向量a =(1,2),b -a =(-2,1),则a ·b =____.14.若函数21()7ln 2f x x x a x =-++在x=2处取极值,则a=____ ,f(x)的极大值为____.15.已知正实数a,b,c 满足22243,a b c +=则2c c a b +的最小值为____. 16.如图,在△ABC 中,,3BAC A π∠=B=3,AC=2,点D 为边BC 上一个动点,将△ABD 沿AD 翻折,使得点B到达B '的位置,且平面AB D '⊥平面ACD.当CD=_____时,B C '到最小值｡四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡17.(本小题满分10分)在3210,9,3a S b ==<-①②③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中｡设n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,满足____2,36nn n a a S b +=+是否存在实数b,使得数列{}n a 成为等差数列?若存在,求出b 和数列{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由｡(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)18.(本小题满分12分)第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查,普查标准时点是2020年11月1日零时,将彻查人口出生变动情况以及房屋情况｡普查对象是普查标准时点在中华人民共和国境内的自然人以及在中华人民共和国境外但未定居的中国公民,不包括在中华人民共和国境内短期停留的境外人员｡普查主要调查人口和住户的基本情况,内容包括:姓名､公民身份证号码､性别､年龄､民族､受教育程度､行业､职业､迁移流动､婚姻生育､死亡､住房情况等｡普查登记方式全程电子化方式普查,由普查员使用手机上门入户登记或由普查对象通过互联网自主填报｡某机构调查了100位居名的普查登记方式,数据统计如下表,部分数据缺失普查员使用手机上门入户登记通过互联网自主填报年龄不超过40岁10 a 年龄超过40岁b 15已知从调查的居民中任取一人,其年龄不超过40岁的概率比其年龄超过40岁的概率大110. (1)求a,b 的值；(2)是否有99%的把握认为年龄与普查登记方式有关?附:22()()()()()n ad bc a b c K d a c b d -=++++其中n=a+b+c+d.P(K 2≥k 0) 0.050 0.010 0.001K 0 3.841 6.635 10.82819.(本小题满分12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知28sin 72cos2.2B C A -+-=(1)求A;(2)若7,a =b+c=5,求BC 边上的高.20.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,∠ACB=90°,1,.AC BC AB AA ==D ､E 分别是1CC 、1BB 的中点.(1)证明:1C E ⊥平面ACB 1；(2)求二面角1C AB D --的余弦值.21.(本小题满分12分)已知12F F 、分别为椭圆C:22184x y +=的左､右焦点,点M 是椭圆C 上异于左､右顶点的一点,过点1F 作12F MF ∠的外角平分线的垂线交2F M 的延长线于P 点.(1)当M 点在椭圆C.上运动时,求P 点的轨迹方程E.(2)设点N(t,0)(t≠0),过点N 作一条斜率存在且不为0的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,点B 关于x 轴的对称点为B '直线AB '交x 轴于点T,O 是坐标原点,求证:|ON|·|OT|为定值.22.(本小题满分12分)已知函数2()ln 1.f x x x =-+(1)求曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若方程f(x)=b 有两个实数根12,,x x 且12,x x <证明:2112.x x b -<-。

2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷(三)高三数学(理)试题解析

绝密★启用前2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷（三）高三数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{|10}A x x =->，{|lg }B x y x ==，则A B =I ( ) A ．(1,)+∞ B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞答案：B首先解不等式求出集合A ，求对数函数的定义域得集合B ，再利用集合的交运算即可求解. 解：因为10x ->.所以1x <，所以(,1)A =-∞，因为0x >，所以(0,)B =+∞，所以(0,1)A B =I . 故选：B 点评：本题考查了集合的交集概念以及基本运算、对数函数的定义域，属于基础题. 2．复数31iz i+=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A由题，根据复数的运算，将复数化简，可得点坐标，即得结果. 解：因为复数3i (3)(1)121i (1)(1)i i z i i i +++===+--+ 所以在复平面所对应的点为(1,2),在第一象限故选A 点评：本题考查了复数，掌握好复数的运算法则，属于基础题.3．已知3log 0.3a =， 4.13b -=，32c =，则（） A ．c b a << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<答案：C利用指对数函数的知识得出,a b 的范围即可. 解：因为3log 0.30a =<， 4.13(0,1)b -=∈，312c =>，所以a b c <<．故选：C 点评：本题考查指数、对数的大小比较，较简单. 4．已知3sin 24θ=-，则1tan tan θθ+=（） A ．83- B ．43- C ．83D ．43答案：A由二倍角公式求得sin cos θθ，切化弦后，结合同角三角函数平方关系可求得结果. 解：3sin 22sin cos 4θθθ==-Q ，3sin cos 8θθ∴=-，221sin cos sin cos 18tan 3tan cos sin sin cos 38θθθθθθθθθθ+∴+=+===--. 故选：A . 点评：本题考查三角函数值的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数平方关系的应用，属于基础题. 5．已知||||a b ==r r21a a b +⋅=r r r，则向量a r ，b r 的夹角θ=（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π答案：C首先算出1a b ⋅=-r r，然后求出cos θ即可. 解：因为21a a b +⋅=r r r ，所以1a b ⋅=-r r ，所以1cos 2||||a b a b θ=⋅=-r r r r，所以23θπ=故选：C 点评：本题考查的是向量的数量积的有关计算，较简单.6．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（p áo ）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（） A ．314B ．1114C ．114D ．27答案：B分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 解：从“八音”中任取不同的“两音”共有2828C =种取法；“两音”中含有打击乐器的取法共有228422C C -=种取法；∴所求概率22112814p ==. 故选：B . 点评：本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.7．函数()3ln ||xf x x =的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．答案：A由函数()f x 为非奇非偶函数可排除选项C ，D ，当x →+∞时，函数值()f x →+∞，可排除选项B ．解：因为函数()f x 为非奇非偶函数，所以函数图象不关于y 轴对称，排除选项C ，D ，当x →+∞时，函数值()f x →+∞，故排除选项B ．故选：A 点评：解决本类题时，通常是利用函数的单调性、奇偶性、函数值等排除选项.8．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（）A ．若//αβ，则l//mB ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥答案：C根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果. 解：对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误；对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误；对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确；对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误. 故选：C . 点评：本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.9．在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a b c-=（） A ．32B ．12C ．14D ．18答案：D利用余弦定理角化边整理可得结果. 解：由余弦定理得：222222224a cb bc a ca b ac bc +-+-⋅-⋅=，整理可得：2224c a b -=，222128a b c -∴=. 故选：D . 点评：本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.10．已知函数()3sin()f x x ωϕ=+（其中0ω<，0ϕπ<<），其图象向右平移6π个单位长度得()y g x =的图象，若函数()g x 的最小正周期是π，且3122g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．12ω=-，23ϕπ=B ．12ω=-，3πϕ=C ．2ω=-，23ϕπ=D ．2ω=-，3πϕ=答案：C由题意可得()3sin 6g x x πωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，首先利用函数()g x 的最小正周期是π可求出ω，然后利用3122g π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ϕ 解：由题意可得()3sin 6g x x πωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为函数()g x 的最小正周期是π，所以2||ππω=，所以2ω=±，因为0ω<，所以2ω=-，所以()3sin 23g x x πϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，因为3122g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1sin 62πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2k ϕ=π或22()3k k Z ππ+∈，因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=．故选：C 点评：本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题.11．在三棱锥P ABC -中，AB AP ⊥，CB AP ⊥，CB AB ⊥，2AB BC ==，点P 到底面ABC 的距离为1，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为( ) A ．3π B ．9π C ．12πD ．24π答案：B根据题意，确定CP 为三棱锥P ABC -的外接球的直径，再利用球的表面积公式即可求解. 解：因为AB AP ⊥，CB AP ⊥，CB AB B ⋂=，所以PA ⊥底面ABC ，因为点P 到底面ABC 的距离为1.所以1AP =. 因为CB AP ⊥，CB AB ⊥，AB PA A ⋂=，所以BC ⊥平面PAB ，故BC PB ⊥，90PBC PAC ∠=∠=︒，即该球的直径为3CP ===，所以球的半径为32R =，249S R ππ==. 故选：B 点评：本题考查了多面体的外接球问题、球的表面积公式，考查了学生的空间想象能力以及推理能力，属于中档题12．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（） A ．25B ．2C ．72D ．3答案：B过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 解：过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =Q ，13SASF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=，由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB p TS p∴==. 故选：B . 点评：本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件20300x y x y x y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值为__________．答案：32根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线322zy x =-+在y 轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的方式可确定过13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z 取最大值，代入可求得结果. 解：由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将32z x y =+化为322z y x =-+，则z 最大时，直线322zy x =-+在y 轴截距最大；由直线32y x =-平移可知，当322zy x =-+过B 时，在y 轴截距最大，由2030x y x y -+=⎧⎨+=⎩得：13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，max 13332222z ⎛⎫∴=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：32. 点评：本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.14．已知双曲线22:144y x C -=，P 是双曲线渐近线上第一象限的一点，O 为坐标原点，且||2OP =，则点P 的坐标是_______. 答案：()2,2首先求出双曲线过第一象限的渐近线方程y x =，利用两点间的距离公式即可求解. 解：双曲线224y x -=过第一象限的渐近线方程为y x =，设(),P x x ，0x >因为||2OP =P 的坐标为()2,2. 故答案为：()2,2 点评：本题考查了双曲线的几何性质、两点间的距离公式，属于基础题.15．已知函数[]22()(0)x f x f e kx '=-（e 为自然对数的底数，()f x '为函数()f x 的导函数且(0)0f '≠，()f x 至少有两个零点，则实数k 的取值范围是__________.答案：2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭令0x =，求出()01f '=，可得函数 ()2xf x e kx =-，分离参数可得2xek x=，记2()x e g x x=，利用导数作出()g x 的大致图像，数形结合可得2(2)4k g e =…，从而求出实数k 的取值范围. 解：因为[]2()(0)2x f x f e kx ''=-，所以2(0)[(0)]f f ''=，解得()01f '=或()00f '=（不合题意，舍去），所以()2xf x e kx =-，由()y f x =至少有两个零点，所以20x e kx -=至少有两根，因为0x =不是方程的根，所以方程可化为2xe k x =，记2()xe g x x=，因为()22222(2)()x xx e x xe e x g x x x --'==，所以()g x 在区间()0,2单调递减，在区间(,0)-∞和(2,)+∞单调递增，函数()g x 大致图象如图，所以当2(2)4k g e =…时，函数()f x 至少有2个零点，所以实数k 的取值范围是2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭点评：本题考查了导数在研究函数单调性、最值中的应用、根据函数的零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.三、双空题16．甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为45和34；乙笔试、面试通过的概率分别为23和12.若笔试、面试都通过则被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试甲、乙同时被录取的概率是________，只有一人被录取的概率是__________. 答案：15815根据相互独立事件的概率乘法求出甲、乙被录取的概率，再次利用概率的乘法运算可求出甲、乙同时被录取的概率；分类并利用概率的乘法以及加法可求出只有一人被录取的概率. 解：甲被录取的概率为1433545P =⨯=，乙被录取的概率为2211323P =⨯=，则该次考试甲，乙同时被录取的概率是12311535P PP ==⨯=，只有一人被录取的概率是()()22113221815353115P P P P P +-=⨯+⨯==-. 故答案为：15；815点评：本题考查了相互独立事件的概率乘法运算，考查了分析以及基本运算能力，属于基础题.四、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．答案：（1）2n a n =；（2）211343n nS n n =+-+⨯. （1）根据等比中项性质可构造方程求得1a ，由等差数列通项公式可求得结果；（2）由（1）可得n b ，可知{}n b 为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果. 解：（1）124,,a a a Q 成等比数列，2214a a a ∴=，即()()21113a d a a d +=+，()()211126a a a ∴+=+，解得：12a =，()2212n a n n ∴=+-=.（2）由（1）得：2111224n a n nn b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，114n n b b +∴=，114b =，∴数列{}n b 是首项为14，公比为14的等比数列， ()()123123n n n S a a a a b b b b ∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()2322111124444nn n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦211343nn n =+-+⨯．点评：本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前n 项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列{}n b 为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.18．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，AC BD O =I ，1A O ⊥平面ABCD .（1）证明1//AO 平面11B CD . （2）若1AB AA =，求二面角1A A B D --的正弦值.答案：（1）证明见解析；（2）63. （1）连接11A C ，设11111B D AC O ⋂=，连接1O C ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，证出11//A O O C ，再利用线面平行的判定定理即可证出结论.（2）以O 为原点，OB ，OC ，1OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，求出平面1AA B 的一个法向量，平面1DA B 的一个法向量，利用空间向量的数量积由2112|cos |n n n n θ⋅=u r u u r u r u u r 即可求解. 解：（1）连接11A C ，设11111B D AC O ⋂=，连接1O C ，因为在四棱柱1111ABCD A B C D -中，O ，1O 分别为AC ，11A C 的中点，所以11//OC A O ，11OC AO =，所以四边形11AOCO 为平行四边形，所以11//A O O C ，因为1AO ⊄平面11B CD ，1O C ⊂平面11B CD ，所以1//AO 平面11B CB . （2）以O 为原点，OB ，OC ，1OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -. 设1OA =.因为1AB AA -，所以11OA =，所以(0,1,0)A -，1(0,0,1)A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，所以1(0,1,1)AA =u u u r ，()1,1,0AB =u u u r ，设()1111,,n x y z =u r为平面1AA B 的一个法向量，因为11100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，所以111100y z x y +=⎧⎨+=⎩，令11y =，所以1(1,1,1)n =--u r，因为平面1DA B 的一个法向量为2(0,1,0)n =u u r，设二面角1A A B D --的平面角为θ，所以21123|cos |31n n n n θ⋅===⨯u r u u u r ur ur ，所以sin 6θ=.点评：本题考查了线面平行的判定定理、空间向量法求面面角，属于中档题.19．金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：愿意不愿意男生 60 20 女士 4040（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X ．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥ 0.05 0.01 0.0010k3.841 6.635 10.828答案：（1）有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）详见解析. （1）计算得到 6.635k >，由此可得结论；（2）根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得X 的所有可能取值所对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望. 解：（1）∵2K Q 的观测值()2160604040203210.667 6.6358080100603k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．（2）根据分层抽样方法得：男生有31065⨯=人，女生有21045⨯=人， ∴选取的10人中，男生有6人，女生有4人．则X 的可能取值有0,1,2,3，()306431020101206C C P X C ∴====，()216431060111202C C P X C ====，()1264310363212010C C P X C ====，()036431041312030C C P X C ====，X ∴的分布列为：()1131601236210305E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．点评：本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解；关键是能够明确随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.20．已知函数2()(ln )2f x a x x x x =-+-，e 为自然对数的底数. （1）当2a e =-时，求函数()f x 的极值；（2）若2x π…，求证：()22(sin ln )2x e x e x π>-+--.答案：（1）当1x =时，极大值21e --，当x e =时，极小值2e -；（2）证明见解析. （1）首先求出导函数()f x '，将2a e =-代入，求出()f x '的正负，从而确定函数的单调区间，再根据极值的定义即可求解.（2）由（1）知，当2a e =-，2x π…时，可得222(ln )2e x x x x e --+--…，即2()22ln e x x e x --…，构造()sin 12g x x x π=--+，利用导数可得函数()g x 在,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，即()02g x g π⎛⎫= ⎪⎝⎭…，证出sin 12x x π+-…，进而证出不等式. 解：（1）因为1(1)(2)()122x x a f x a x x x-+⎛⎫'=-+-= ⎪⎝⎭，所以当2a e =-时，2(1)()()x x e f x x--'=，因为当01x <<时，()0f x '>；当1x e <<时，()0f x '<；当x e >时，()0f x '>；所以函数()y f x =在(0,1)和(,)e +∞上单调递增，在(1,)e 上单调递减，所以当1x =时，函数有极大值(1)21f e =--，当x e =时，函数有极小值2()f e e =-.（2）由（1）知，当2a e =-，2x π…时，函数()y f x =在x e =时取得极小值，即最小值2e -，所以222(ln )2e x x x x e --+--…，化简可得2()22ln e x x e x --…，令()sin 12g x x x π=--+，则()1cos 0g x x '=-…，所以函数()g x 在,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以()02g x g π⎛⎫= ⎪⎝⎭…，所以sin 12x x π+-…，从而可得2)22ln 2sin (12ln 2x x e x x e x e π⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭-厖，因为不等式的两个等号不同时成立，所以2()2(sin ln )2e x x e x π->-+-. 点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值、最值，构造函数求导函数证明不等式，属于难题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，且1()0,1B ，112A B B V 为等边三角形，过点(1,0)的直线与椭圆C 在y 轴右侧的部分交于M 、N 两点，O 为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求OMN V 面积的取值范围.答案：（1）2213x y +=；（2）364⎛ ⎝⎦.（1）由题意可得1b =，3a b ，根据椭圆的标准方程即可求解.（2）分类讨论：当直线MN 的斜率不存在时，求出OMN V 的面积；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的斜率为k ，直线MN 的方程为(1)y k x =-，将直线与椭圆联立，利用韦达定理结合121||12S y y =⨯-⨯即可求出面积的最值. 解：（1）因为1()0,1B ，所以1b =，因为112A B B V 为等边三角形，所以3a b ，所以3a =所以椭圆的标准方程为2213x y +=.（2）设OMN V 的面积为S .①当直线MN的斜率不存在时，可得1,M ⎛ ⎝⎭，N ⎛⎝⎭，所以112S ==②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的斜率为k ，则直线MN 的方程为(1)y k x =-，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立2213(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，化简得()2222316330k x k x k +-+-=，所以2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()12122|31k y y k x x k -=-=+，因为1>0x ，20x >，所以||1k >，面积121||12S y y =⨯-⨯22|313k k k ==++令t =21S t =+，t ∈，由())()22211t S t t -'=+则()S t 在定义域内单调递减，所以343S <<OMN V面积的取值范围是34⎛ ⎝⎦.点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的面积问题，考查了学生的计算能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l经过点(1,M --且倾斜角为α.（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B ，满足A 为MB 的中点，求tan α.答案：（1）4cos ρθ=，1cos t sin x t y αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2（1）由曲线C 的参数方程消去参数可得曲线C 的普通方程，由此可求曲线C 的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；（2）将直线的参数方程，代入曲线C 的普通方程224x y x +=，整理得)26cos 320t tαα-++=，利用韦达定理，根据A 为MB 的中点，解出α即可. 解：（1）由22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数，可得()2224x y -+=，即224x y x +=，∴已知曲线C 的普通方程为224x y x +=， Q cos x ρθ=，222x y ρ=+，∴24cos ρρθ=，即4cos ρθ=， ∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，Q 直线l经过点(1,M --，且倾斜角为α，∴直线l的参数方程：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数，0απ≤≤）.（2）设,A B 对应的参数分别为A t ，B t . 将直线l 的参数方程代入C 并整理，得)26cos 320t tαα-++=，∴)6cos A B t t αα+=+，32A B t t ⋅=.又A 为MB 的中点，∴2B A t t =，∴)2cos 4sin 6A t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，8sin 6B t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴232sin 326A B t t πα⎛⎫⋅=+= ⎪⎝⎭，即2sin ()16πα+=，Q 0απ≤≤，∴7666πππα≤+<， ∴62ππα+=，即3πα=，∴tan 3π=点评：本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.23．设函数()121f x x x a =++-+．（1）当1a =时，解不等式()6f x ≤；（2）设12a <-，且当21a x ≤<-时，不等式()26f x x ≤+有解，求实数a 的取值范围．答案：（1）[2,3]-；（2）12,2⎛⎫--⎪⎝⎭. （1）通过分类讨论去掉绝对值符号，进而解不等式组求得结果；（2）将不等式整理为3a x --≤，根据能成立思想可知max 3a x --≤，由此构造不等式求得结果. 解：（1）当1a =时，()6f x ≤可化为125x x ++-≤，21,2123,1212,1x x x x x x x ->⎧⎪++-=-≤≤⎨⎪-<-⎩Q∴由2215x x >⎧⎨-≤⎩，解得23x <≤；由1235x -≤≤⎧⎨≤⎩，解得12x -≤≤；由1125x x <-⎧⎨-≤⎩，解得21x -≤<-．综上所述：所以原不等式的解集为[]2,3-．（2）21a x ≤<-Q ，()26f x x ≤+，12126x x a x ∴--+-+≤+，3a x ∴--≤，()26f x x ≤+Q 有解，31a ∴--<-，即2a >-，又21a <-，12a ∴<-， ∴实数a 的取值范围是12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．点评：本题考查绝对值不等式的求解、根据不等式有解求解参数范围的问题；关键是明确对于不等式能成立的问题，通过分离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较问题.。

全国100所名校2025届数学高三第一学期期末检测模拟试题含解析

全国100所名校2025届数学高三第一学期期末检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（） A ．32 B ．33 C ．12 D ．222．下列与函数1y x=定义域和单调性都相同的函数是（） A ．2log 2x y = B ．21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．21log y x = D ．14y x = 3．若23455012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（）A ．54B ．58C ．516D ．5324．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A ．1B ．43C ．3D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M 满足2MA MO = ，则·OM ON 的取值范围是（）A ．[]0,2B ．0,22⎡⎤⎣⎦C ．[]22-,D ．22,22-⎡⎤⎣⎦ 6．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（） A ． B ． C ． D ．7．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且23SA AB ==；若点P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（）A ．131+B ．132+C ．151+D ．152+ 8．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（） A ． B ． C ．D ．9．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则A ．{|02}AB x x ⋂=<<B ．{|2}A B x x ⋂=<C ．{|2}A B x x ⋃=<D ．{|12}A B x x =-<<10．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（）A ．命题p 是真命题B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥”D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <”11．若i 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数2i z 的点是（）A ．EB ．FC ．GD ．H12．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM xBA yBD =+(,)x y ∈R ，则2x y +的最大值为（）A ．2B ．3C ．2D ．22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学(一二三)【附答案】

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全国100所名校高三ab测试示范卷数学

全国100所名校高三ab测试示范卷数学一、前言数学作为一门重要的学科，在高中阶段占有特别重要的地位。

为了让学生更好地掌握数学知识，提高数学综合应用能力，全国100所名校联合起来设计制作了高三AB测试示范卷，本文将具体介绍此次测试示范卷的相关内容。

二、试卷设计1.试卷类型本次AB测试示范卷的数学部分，分为两个卷别。

其中，A卷认为是难度较大、注重考查学生数学知识的掌握程度和数学运用能力的考察；B 卷则是难度较小，注重考查学生基础知识的掌握程度和数学思维的灵活度。

2.试卷内容A、B卷相同的内容：数列与数列极限、函数与导数、三角函数与解三角形、概率统计与随机事件。

A卷特色部分：微积分、向量与空间解析几何、矩阵与行列式、复数与平面向量。

B卷特色部分：初中数学延伸、数学思维与证明、数学史及应用、竞赛数学。

三、试卷难度就整体而言，本次AB试卷设计难度较高，注重考查学生数学思维能力和创新能力的发展。

A卷设计的试题更为难，涵盖面也更加广泛，能较好地实现对学生知识综合能力的考察。

B卷设计的试题相对更加基础，重点在于学生对数学基础知识的掌握。

四、试卷评分本次AB测试示范卷数学部分，每个部分的分数比重如下：数列与数列极限（10分）、函数与导数（24分）、三角函数与解三角形（16分）、概率统计与随机事件（20分），A卷特色部分（30分），B卷特色部分（26分）。

五、试卷用途本次测试示范卷主要用于对学生数学知识掌握程度和数学综合基础知识的考查，综合评价学生能力表现，具有一定的参考价值。

六、试卷适用范围本次AB测试示范卷数学部分，适用于全国100所名校。

七、总结本次全国100所名校高三AB测试示范卷数学部分难度较高，可以有效地提高学生的数学思维能力和创新能力，同时对学生的基础知识掌握程度也提出了一定的要求。

此次测试示范卷将成为未来高中数学教育教材的参考标准之一，为学生的数学学习提供参考和指导。

全国一百所名校高考模拟示范卷2024数学

全国一百所名校高考模拟示范卷2024数学选择题：1. 以下哪个数是3的倍数？A. 25B. 33C. 38D. 422. 如果a + b = 12，a - b = 4，那么a的值是多少？A. 6B. 8C. 10D. 123. 如果sinθ = 1/2，那么θ的值为多少度？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 下列哪个不是正整数？A. 17B. 0C. 33D. 425. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，则f(2)的值为多少？A. 9B. 11C. 13D. 15填空题：1. 解方程3x - 5 = 16，得出x的值为______。

2. 一条直线上有两点A(5, -3)和B(9, 4)，求AB的斜率k = ______。

3. 5的阶乘是______。

4. 已知平行四边形的底边长为8cm，高为4cm，求面积S = ______。

5. 若tanθ = 3/4，求sinθ = ______。

应用题：1. 甲乙两人同时从相距800公里的两地相向而行，甲每小时行50公里，乙每小时行60公里，几小时能够相遇？2. 商场打折活动，某商品原价150元，现打8.5折出售，打折后的价格是多少元？3. 一条梯形的上底长为6cm，下底长为10cm，高为8cm，求梯形的面积。

4. 现存某商品库存量为1200件，每天减少10%，几天后库存量将减少到1000件？5. 一光滑的斜面上有一个质量为2kg的物体，斜面的倾角为30°，物体下滑过程中受到的摩擦力为10N，求物体下滑的加速度。

全国100所名校2025届高三下第一次测试数学试题含解析

全国100所名校2025届高三下第一次测试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知(2sin,cos),(3cos,2cos)2222xxxxa b ωωωω==，函数()f x a b =·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（） A ．85[,)52B ．75[,)42C ．57[,)34D ．7(,2]42．已知某口袋中有3个白球和a 个黑球（*a N ∈），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3E ξ=，则D ξ= ( ) A ．12B ．1C ．32D ．23．已知集合A ＝{y |y =}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣2x 2）}，则∁R （A ∩B ）＝（）A ．[0，12） B ．（﹣∞，0）∪[12，+∞） C ．（0，12）D ．（﹣∞，0]∪[12，+∞） 4．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–205．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（） A ．单调递增 B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减6．i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A ．－15B ．－3C ．3D ．157．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 8．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA |=|OF |，则双曲线的离心率为（）A B C ．2D 9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°10．已知x 与y 之间的一组数据：若y 关于x 的线性回归方程为 2.10.25y x =-，则m 的值为（） A ．1.5B ．2.5C ．3.5D ．4.511．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（） A ．96里B ．72里C ．48里D ．24里12．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（） A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

百所名校试卷答案高三数学

一、选择题1. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，则$f(2)$的值为（）A. 0B. 2C. 4D. 8答案：A解析：将$x=2$代入函数$f(x)$中，得$f(2)=2^3-3\times2^2+4\times2=0$。

2. 下列命题中，正确的是（）A. $x^2+y^2=1$表示圆心在原点，半径为1的圆B. $x^2+y^2=1$表示圆心在$(1,0)$，半径为1的圆C. $x^2+y^2=1$表示圆心在$(0,1)$，半径为1的圆D. $x^2+y^2=1$表示圆心在$(0,0)$，半径为$\sqrt{2}$的圆答案：A解析：$x^2+y^2=1$是圆的标准方程，圆心在原点$(0,0)$，半径为1。

3. 函数$y=\log_2(3-x)$的图像在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：D解析：由于$3-x>0$，解得$x<3$，因此函数的定义域为$x<3$。

由于$\log_2(3-x)$随$x$增大而减小，故函数图像在第四象限。

4. 若$a+b=2$，$ab=1$，则$a^2+b^2$的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6答案：C解析：由$a+b=2$，得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=4$。

又因为$ab=1$，所以$a^2+b^2=4-2ab=4-2=2$。

5. 已知向量$\vec{a}=(2,-3)$，$\vec{b}=(4,-6)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值为（）A. -12B. -8C. 12D. 8答案：A解析：向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的点积$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times4+(-3)\times(-6)=8+18=26$。

二、填空题6. 函数$y=\frac{1}{x}$在$x=2$处的导数为__________。

答案：$-\frac{1}{2}$解析：函数$y=\frac{1}{x}$的导数为$y'=-\frac{1}{x^2}$，将$x=2$代入得$y'=-\frac{1}{2^2}=-\frac{1}{4}$。

全国百所名校2022届高三上学期大联考调研试卷(二)文科数学试题

一、单选题二、多选题1. 在中，若，则的形状是（）A ．为钝角的三角形B．为直角的直角三角形C ．锐角三角形D ．为直角的直角三角形2.已知等差数列的前n 项和为，，与的等差中项为2，则的值为（）A ．6B．C ．或6D ．2或63. 已知复数z 满足，则（）A ．1B．C．D ．54. （）A．B ．1C．D．5. 某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为的半球．已知该胶囊的体积为，则它的表面积为（）A．B．C．D．6. 已知空间三条直线，，.若，，则（）A．与平行B．与相交C．与异面D．与平行、相交、异面都有可能7. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB ，作一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D （第一段圆弧），再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E ，再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（）A．B．C．D．8. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且y 随时间t （单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t （单位：分钟）的最小整数值为（）（参考数据）A ．5B ．7C ．9D ．109. 如图所示，该多面体是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，所有棱长均为1，所有顶点均在球的球面上.关于这个多面体给全国百所名校2022届高三上学期大联考调研试卷（二）文科数学试题全国百所名校2022届高三上学期大联考调研试卷（二）文科数学试题三、填空题出以下结论，其中正确的有（）A．平面B．与平面所成的角的余弦值为C．该多面体的体积为D．该多面体的外接球的表面积为10. 用“五点法”画函数（，，）在一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表，则下列说法正确的是（）x200A．B ．不等式的解集为C．函数的图象关于直线对称D ．函数在区间上单调递增11.已知椭圆的左、右两个焦点分别是，，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，则下列说法中正确的有（）A ．当时，的周长为B．若的中点为，则（为坐标原点，与不重合）C ．若，则椭圆的离心率的取值范围是D ．若的最小值为，则椭圆的离心率12. 已知数列，均为等比数列，则下列结论中一定正确的有（）A．数列是等比数列B ．数列是等比数列C ．数列是等差数列D ．数列是等差数列13. 已知在棱长为1的正方体中，为的中心，为的中点，过作交于点，则三棱锥体积为______.14. 已知函数．给出下列四个结论：①的最小正周期是；②的一条对称轴方程为；③若函数在区间上有5个零点，从小到大依次记为，则；④存在实数a，使得对任意，都存在且，满足．其中所有正确结论的序号是__________．四、解答题15.已知随机变量，则___________.16. 已知函数，其中，．(1)求函数的单调区间；(2)当时，函数恰有两个零点，求a 的取值范围．17.已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n 项和.18. 已知点，直线，点是上的动点，过点垂直于轴的直线与线段的垂直平分线相交于点．（1）求点的轨迹方程；（2）若，直线与点的轨迹交于两点，试问的轨迹上是否存在两点，使得四点共圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．19. 盒中有 4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球．(1)求取到2个标有数字1的球的概率；(2)设X 为取出的2个球上的数字之和，求随机变量X 的分布列及数学期望．20. 为实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的办法，为此相关部门在该市随机调查了200位居民的户月均用电量（单位：千瓦时）得到了频率分布直方图，如图：（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，精确到个位）（1）试估计该地区居民的户月均用电量平均值；（2）如果该市计划实施3阶的阶梯电价，使用户在第一档（最低一档），用户在第二档，用户在第三档（最高一档）.①试估计第一档与第二档的临界值，第二档与第三档的临界值；②市政府给出的阶梯电价标准是：第一档元/千瓦时，第二档元/千瓦时，第三档元/千瓦时，即：设用户的用电量是千瓦时，电费是元，则，试估计该地区居民的户月均电费平均值.21. 已知棱长为2的正方体中，E ，F 分别是棱，的中点.(1)求多面体的体积；(2)求直线和平面所成角的正弦值.。