高一数学向量知识点归纳练习题.doc

向量

一、平面向量的加法和乘积

r r r r

1、向量加法的交换律：

a b

b a

r r r r r r

2、向量加法的结合律： ( a b) c a (b c)

( r ( r 3、向量乘积的结合律：

a) )a (

r r r 4、向量乘积的第一分配律：

)a a a 5、向量乘积的第二分配律： 二、平面向量的基本定理

r r

r r (a b) a b

ur ur r

如果 e 1 、 e 2 是同一平面内的两个不是共线的向量，那么对于这一平面内的任一

a ，有且只

r ur ur

有一对实数

1、 2 ，使得

a 1 e 1 2 e 2 。

ur ur

（1）我们把不是共线的 e 、 e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

1 2

（2）基底不是唯一的，关键是不是共线；

r ur ur

（3）由定理可以将平面内任一

a 在给出基底 e 1 、 e 2 的条件下进行分解；

r ur ur

（4）基底给定时，分解形式是唯一的， 1 、 2 是被 a 、 e 1 、 e 2 唯一确定的数量。

三、平面向量的直角坐标运算

r r r r r r

1、已知 a ( x 1 , y 1 ) ， b ( x 2 , y 2 ) ，则 a b ( x 1 x 2 , y 1 y 2 ) ， a b (x 1 x 2 , y 1 y 2 ) ， r r a b (x 1x 2 , y 1 y 2 ) 。

uur uur uur

2、已知 A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ，则 AB OB OA (x 2 , y 2 ) (x 1, y 1 ) ( x 2 x 1, y 2 y 1) 。

r r

3、已知 a

(x 1, y 1 )

和实数

，则

a

( x 1 , y 1) ( x 1, y 1)

。

四、两平面向量平行和垂直的充要条件 1、平行（共线） ：

r r

r

r 基本定理： a 、 b 互相平行的充要条件是存在一个实数

，使得 a b 。

定理： 已知 2、垂直：

r r r r

a ( x 1 , y 1 ) ，

b ( x 2 , y 2 ) ，则 a ∥ b 的充要条件是 x 1 y 2 x 2 y 1 0 。

r r

r r

基本定理： a 、 b 互相垂直的充要条件是 a b

0 。

r r r r

定理： 已知 a ( x , y ) ， b ( x , y ) ，则 a ⊥ b 的充要条件是 x 1 x 2 y 1 y 2

0 。

1

1

2

2

五、平面向量的数量积

r r r r r r

定义： 非零向量 a 、 b ，它们之间的夹角为 ，则 a b cos 就称作 a 与 b 的数量积，记作

r r

r r r r 0

a b ，即有 a b a b cos ，

。

r r r r

性质： 非零向量 a 、 b 的夹角为 ， e 是与 b 同向的单位向量，那么

r r r r r

（1） a e e a a cos ； r r r r

0 ；

（2） a b

a b

r r r 2 r r r （3） a a

a 或 a a a ；

r r

（4） cos

a b

；

r

r

a b

r r r r （5） a b

a b 。

数乘结合律： ( r

r r r r ( r a) b (a b) a b)

r r r r r r r 分配律： ( a b) c a c b c

六、向量的长度、距离和夹角公式

r (x

r 2

r

x 2 y 2

（1）已知 a , y ) ，则 a

x 2

y 2

，即 a

。（长度公式）

1

1

uur

x 1 )2 ( y 2 y 1 )2 。

（2）已知 A( x 1, y 1) ，B( x 2 , y 2 ) ，则 AB ( x 2 x 1, y 2 y 1) ，AB

( x 2

（距离公式）

r r

（3）已知 a (x 1, y 1 ) ， b (x 2 , y 2 ) ，它们之间的夹角为 ，则

r r cos a b x 1 x 2 y 1 y 2 ， 0

。（夹角公式）

r r x 12 x 22 y 12 y 22

a b

高一数学《平面向量》单元测试

一、选择题 (共 8 小题 ,每题 5 分)

1. 下列命题正确的是（）

A ．单位向量都相等

B ．任一向量与它的相反向量不相等C．平行向量不一定是共线向量 D ．模为0的向量与任意向量共线

2．已知向量 a＝（ 3,4）， b＝（ sinα， cosα），且 a∥ b，则 tanα等于（）

3

B．3 4

D．

4

A ．

4 C．

3

4 3

3．在以下关于向量的命题中，不正确的是（）

A ．若向量 a=(x， y)，向量 b=(－ y， x)(x、 y≠ 0)，则 a⊥ b

B ．四边形 ABCD 是菱形的充要条件是AB =DC，且|AB |=|AD |

C．点 G 是△ ABC 的重心，则GA + GB + CG =0

D．△ ABC 中，AB和CA的夹角等于 180°－ A

4．设 P（3， 6）， Q（5， 2）， R 的纵坐标为9，且 P、Q、R 三点共线，则R 点的横坐标为（）

A ． 9 B． 6 C． 9 D． 6

r r r r r r r r r

)

5．若| a | 1,|b | 2, c a b ，且 c a ，则向量 a 与 b 的夹角为(

A．30°B．60°C．120°D．150°

6．在△ ABC 中， A ＞ B 是 sinA＞ sinB 成立的什么条件（）

A ．充分不必要

B ．必要不充分C．充要 D ．既不充分也不必要

7．若将函数y sin 2x 的图象按向量 a 平移后得到函数 y sin(2x

4

)-1的图象, 则向量 a 可以是：（）A．( , 1) B．( ,1) C．( ,1) D．( , 1)

8 8 4 4

8．在△ ABC 中，已知| AB | 4,| AC | 1,S ABC 3, 则 AB AC 的值为（）A．－2 B． 2 C．± 4 D．±2

二、填空题 (共 4 小题 ,每题 5 分)

9．已知向量a、b的模分别为3，4，则｜a - b｜的取值范围为．

10．已知r r r

120O而

r r

2，则e

为一单位向量， a 与e之间的夹角是

a

在 e 方向上的投影为－

r ,

a .

11．设e1、e2是两个单位向量，它们的夹角是60 ，则(2e1e2) ( 3e1 2e2 )

12．在 ABC 中， a =5， b= 3,C= 1200 ,则sin A

三、解答题 (共 40 分)