概率与统计综合应用

k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ①不作说明时，默认：
犯错的概率≤0.05时，认为X与Y有关 犯错的概率＞0.05时，认为X与Y无关 ②个别行业要求较高： 犯错的概率≤0.01时，认为X与Y有关 犯错的概率＞0.01时，认为X与Y无关
检验独立性的方法
1.频率法： 2.等高条形图法： 3.卡方检验：
(1)卡方检验简述 (2)操作步骤及三个细节 (3)书写格式
卡方检验简述
卡方检验是用途非常广泛的一种假设检验方法 卡方检验就是比较 样本的实际观测值与理论推断值之间的偏离程度 用卡方值的大小，来推断理论与实际偏离程度
卡方检验的三个主要作用
①计算公式： R 2
1
n ( yi $y i ) 2
i 1
n
( yi y)2
残 差平方 1 总 偏 差 平
i 1
②作用：解释变量对预报变量的贡献率
①°在线性回归中恰好有：相关指数R2＝相关系数r2
②°R2∈[0 ,1]
③°R2 1，说明回归方程拟合的越好 R20，说明回归方程拟合的越差
概率与统计简述
(xi , yi ) 化大为小(xi x , yi y )
S2：将新数据得到的回归方程还原即可
y新 bx新 a
y旧 y b(x旧 x ) a
求线性回归方程的书写格式
S1：由题意得
x L ,y L ,
n
xi2 ,
i 1
n
xi yi
i 1
S2：故 bˆ L , aˆ y bx
完全不相关（无关）
变量相关关系的判定
法1：经验法 法2：散点图法
①如果散点图中样本点,从整体上看大致分布 一曲线附近(该曲线称回归曲线)， 则称这两变量是相关关系
②如果回归曲线是增函数，则称为正相关 如果回归曲线是减函数，则称为负相关
法3：相关系数 r 法 (参《必修3》P：92～93) 法4：关系式法:
一表二方比大小 三写概率四决策
S1：画出2×2列联表：(列联表已知时此步可省略) S2：算出观察值 K2与临界值k0比较大小： S3：写出概率P0=P( K2 = k0)
注1：该步具体操作时，分为3小步： 第一小步：计算观察值 k (K2) 第二小步：寻找临界值 k0 第三小步：比较观察值k与临界值k0的大小
注2：而寻找临界值 k0与S3写出概率，密不可分
卡方检验的书写格式
一表二方比大小 三写概率四决策
S1：画出2×2列联表：(列联表已知时此步可省略)
S2：算出观察值 K2与临界值k0比较大小： S3：写出概率P0=P( K2 = k0)
解：由题意得
x1
x2 总计
y1 a
c a＋c
y2 b d b＋d
卡方检验的书写格式
S1：画出2×2列联表：(列联表已知时此步可省略) S2：算出观察值K2与临界值k0比较大小：
K2=……= k0 …………… * S3：写出概率P0=P( K2 = k0) S4：决策：
注1：决策表述常见三 四个填空是关键
注2：①中的XX％＝P0 ,而②③中的XX％＝1－P0 注3：“有关”与“无关”的判定标准：
卡方检验独立性的书写格式
书写格式四大步 一表二方比大小 三写概率四决策
1.操作步骤与书写格式、密不可分……
2.因操作的第一步统统是：假设两变量无关 故大题书写时，将该步略去
3.但后面的四步，均是围绕第一步展开的 类似于反证法 用Κ2的大小来判定假设的可信度……
卡方检验的书写格式
一表二方比大小 三写概率四决策
解：解 x 1 x 2 ≥1 得 x≥1 故所求概率P＝ 3 1 1
3 (3) 3
(2)(2015年湖南)在如图所示的正方形中
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随机投掷10000个点，则落入阴影部分 1
(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的
点的个数的估计值为 【C】
A.2386 C.3413
B.2718
0
D.4772
样本
抽样
估计 推断
总体
回归分析 分布列及期望 相关分析
概率 计数
检验独立性的方法
1.频率法：列表算率三决策
注：优点：直观；简便 缺点：粗糙；主观性较强
2.等高条形图法：列：表画图三决策
注1：实际上，是频率法的图形化 注2：优点：更加直观；简便
缺点：粗糙；主观性较强 以上方法，详参新课课件§268～ 269的内容
回归模型拟合效果的评判
1.散点图法： 2.残差法：
①残差图法： ②残差平方和法： 3.相关指数R2法：
残差法评判拟合效果
①残差的定义：
数据点和它在回归曲线上相应位置的差异(yi $yi )
即称 e$i =yi $yi 为残差 ②残差分析：
①°残差图法 ②°残差平方和法
误差 e (Error)：
①独立性(关联性)检验： ②拟合度(一致性)检验： ③构成比(构成比率)检验：
卡方检验的操作步骤及三个细节
卡方检验五大步 假设无关列联表 参课本《选修2-3》P：92～96 算方查表五决策
三个细节要留心
算方 b c 要分清
查表左右要灵活 决策表述常见三 犯错概率不超过 几成把握可信度 四个填空是关键
总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
因 K2 ＝…≈ … k0 而 P0 ＝ P( K2 = k0) ＝……
卡方检验的书写格式
一表二方比大小 三写概率四决策
S1：画出2×2列联表：(列联表已知时此步可省略) S2：算出观察值K2与临界值k0比较大小：
K2=……= k0 ……… * 注：k0题中无指定时：一般的，用左不用右
注4：可以“认为”与不能“认为”的标准：
①当k0题中无指定时，一般地都用“认为” ②当k0题中指定时：
* 式中“≥”时;“可以认为”;反之,“不能认为”
§121 综合应用
综合应用很复杂 知识方法及内外
(1)(2013年山东)在区间[-3,3]上随机取一个数x 使得 x 1 x 2 ≥1 成立的概率为____
任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成
平的行平四行边四形边的形个的数 个为 数为m n, 则，其mn 中＝面y积不·超·过·4的
A. 4
B.1
15
3
5 4
C
F
C. 2
D. 2
3 2
B
E
5
3
析：如图，易得 n＝ C62 15
1
0
A
D
1234x
m＝？
(3)(2011年四川)在集合{1,2,3,4,5}中任取ur 一个偶数a , 和一个奇数b ,构成以原点为起点的向量 (a,b) .从 所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边
①不作说明时，默认： 犯错的概率≤0.05时，认为X与Y有关 犯错的概率＞0.05时，认为X与Y无关
②个别行业要求较高： 犯错的概率≤0.01时，认为X与Y有关 犯错的概率＞0.01时，认为X与Y无关
“有关”与“无关”的分水岭
P( K2 ≥ k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0题中有指定时：用指定值 S3：写出概率P0=P( K2 = k0)
P( K2 ≥ k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
主要是利用回归方程…… 法5：数表法:
主要观察是否具有单调性……
法3：相关系数 r ——衡量变量之间相关程度的指标
(1)计算公式：r
(2)性质：
n
(xi x)( yi y)
i1
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
i1
i 1
① |r|≤1
完
不
全
相
相
② 关 弱相关
一般相关 ？！
强相关 关
2.步骤：
①画散点图或求出相关系数，判定是否相关
②求回归方程 yˆ bˆx aˆ
③用回归方程作预报
画图求数定相关 二求方程三预报 直线必过中心点 先算中心再斜率 代入求得纵截距 小题形法可估算
注：回归直线 yˆ bx a 一定经过样本中心点 (x, y)
线性回归的运算技巧
S1：旧数据 化大为小 新数据
S3：即所求回归方程为 yˆ bˆx aˆ
S4：利用回归方程做出预报
画图求数定相关 二求方程三预报 直线必过中心点 先算中心再斜率 代入求得纵截距 小题形法可估算
线性回归
S1.画散点图或求出相关系数，判定是否相关
S2.求回归方程 yˆ bˆx aˆ
S3.用回归方程作预报
非线性回归
非线性回归 换元法 线性回归
析：3δ原则： 若X～N(μ,δ2).则
C 1
区间
取值概率
δ原则 2δ原则 3δ原则
X ,
X 2 , 2
X 3, 3
0.6826 0.9544 0.9974
解：由3δ原则得
(3)(2011年四川)在集合{1,2,3,4,5}中任取一个
u偶r 数a 和一个奇数b ,构成以原点为起点的向量 (a,b) , 从所有得到的以原点为起点的向量中
§121 综合应用
综合应用很复杂 知识方法及内外
概率与统计简述
样本
抽样
估计 推断
总体
回归分析 分布列及期望 相关分析
概率 计数
变量的分类
①
定量变量 分类(定性，属性)变量
定量变量: 如长度、重量、速度、温度……
定性变量: 如某种产品分为一等品、二等品、三等品 身份证的编号……
②
解释变量 预报(响应)变量
③若个别样本点的残差比较大 即有异常点存在 需确认是否数据的采集有错误
回归模型拟合效果的评判方法
1.散点图法： 2.残差法：
①残差图法： ②残差平方和法：
<1> n ( yi $yi )2 称为残差平方和 i 1
<2> 残差平方和越小，说明拟合效果越好
3.相关指数R2法：
相关指数(样本决定系数或判定系数)R2法：
不相关
变量间的关系 相关关系
函数关系
注：相关关系的分类
①按相关的方向分为
正相关(暂理解成回归曲线为增函数) 负相关(暂理解成回归曲线为减函数)
②按回归曲线分为
线性相关(回归曲线为直线) 非线性相关(回归曲线为曲线)
单相关 ③按影响因素的数量可分为 复相关
偏相关
完全相关 ④按关联的密切程度可分为 不完全相关
卡方检验的书写格式
一表二方比大小 三写概率四决策
S1：画出2×2列联表：(列联表已知时此步可省略) S2：算出观察值K2与临界值k0比较大小： S3：写出概率P0=P( K2 = k0) S4：决策：
注1：决策表述常见三 四个填空是关键 ① 在犯错的概率不超过XX％的前提下 可认为X与Y有(无)关 ② 有XX％的把握认为X与Y有(无)关 ③ 认为X与Y有(无)关的可信度为XX％
S1：画出2×2列联表：(列联表已知时此步可省略)
解：由题意得
x1
x2 总计
y1 a
c a＋c
y2
总计
b
a＋b
d
c＋d
b＋d a＋b＋c＋d
卡方检验的书写格式 一表二方比大小 三写概率四决策
S1：画出2×2列联表：(列联表已知时此步可省略) S2：算出观察值 K2与临界值k0比较大小：
n ad bc2 k2 a bc d a cb d
残差 =真实值－预报值 yi yˆi 点(个体)误差 偏差 =真实值－均值 yi y
回归差 =预报值－均值 yˆi y
随机(整体)误差
残差图法评判拟合效果 ①以残差为纵坐标
以其他指定的量为横坐标的散点图
②若残差点比较均匀地落在水平的 带状区域中、说明选用的模型计较合适 这样的带状区域的宽度越窄 说明模型拟合精度越高 回归方程的预报精度越高
其中n=a＋b＋c＋d
注1：K2是一个随机变量，随实测数据变化而变化 k是根据实测数据带入公式算出的一个观察值 暂时理解成 K2 = k
注2：考试时，虽然会给出 K2 计算公式
但试题中，只有具体的数字，没有a,b,c,d,n……
故一定要明确：a,b,c,d,n的含义,尤其是b,c的位置
卡方检验的书写格式
0
0.25
0.30 0.75
1
|r|
③ 正相关 负相关
r＞0 r＜0
增函数 减函数
回归分析的操作步骤
S1：确定研究对象，明确解释变量和预报变量 S2：判定它们是否存在相关关系 S3：确定回归方程类型 S4：利用公式，求出回归方程 S5：评价拟合效果，得出结论
线性相关(线性回归)简介
1.含义：
回归分析的特例，回归曲线是直线
注2：①中的XX％＝P0 ,而②③中的XX％＝1－P0
卡方检验的书写格式
S1：画出2×2列联表：(列联表已知时此步可省略) S2：算出观察值K2与临界值k0比较大小： S3：写出概率P0=P( K2 = k0) S4：决策：
注1：决策表述常见三 四个填空是关键
注2：①中的XX％＝P0 ,而②③中的XX％＝1－P0 注3：“有关”与“无关”的判定标准：