2010年高考理科数学(四川卷)全解析

2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（理工农医类）

第Ⅰ卷

一、选择题：

（1）i 是虚数单位，计算2

3

i i i ++=

（A ）－1 （B ）1 （C ）i - （D ）i 解:原式11i i =--=-故选A

（2）下列四个图像所表示的函数，在点0x =处连续的是

（A ） （B ） （C ） （D ） 解:由图显然选D

（8）已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则lim

n

n n

a S →∞=

（A ）0 （B ）

1

2

（C ） 1 （D ）2 解:由已知可得1{}

n s a +是以

1

2a 为首项,2为公比的等比数

列

,

1111112222n n n n n s a a a s a a -∴+=⋅=⇒=-1

112n n n n a s s a --∴=-=⋅,

11111211lim lim 12222n n n n n n

n a a s a a -→∞→∞-===--,故选B

（9）椭圆22

221()x y a b a b

+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在

点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是

解：连接BM 、BN ，则,BM AC BN AD ⊥⊥，由三角形的面积相等，得

,AB BC AB BD BM BN AC AD ⋅=

=

，得到5

BM R =，22216

5AM R AN ==，2229cos 210AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅，22216

2cos 25MN AM AN AM AN MAN =+-⋅∠=

22217cos 225OM ON MN MON OM ON +-∠==⋅，那么M 、N 两点间的球面距离是17

arccos 25

R

（12）设0a b c >>>，则2

211

21025()

a ac c a

b a a b +

+-+-的最小值是 （A ）2 （B ）4 （C ） 5 （D ）5

解：原式2

21

21025()

a ac c

b a b =+

-+-，2

2()()24

b a b a b a b +--≤=（当且仅当

b a b =-）∴原式22222

2244210252510244a ac c a a c ac a a

=+

-+=+++-≥=（当且仅当2

2

2

4

25a c a ==

）∴选B 第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

（13）6

3(2x

的展开式中的第四项是 . （17）（本小题满分12分）

某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16

.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望E ξ.

解：显然甲、乙、丙三位同学是否中奖独立，所以甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是：

15525

666216

⋅=

（2） ξ 0 1

2 3

P

125216

75

216 15

216 1216

E ξ=01232162162162162

⨯

+⨯+⨯+⨯= （18）（本小题满分12分）

已知正方体ABCD A C D -'B'''的棱长为1，点M 是棱AA '的中点，点O 是对角线BD '的中点.

（Ⅰ）求证：OM 为异面直线AA '和BD '的公垂线； （Ⅱ）求二面角M BC B -'-'的大小； （Ⅲ）求三棱锥M OBC -的体积. （1） 证明：

'ABCD A C D DD ABCD

-'B'''

∴⊥面

连接AC ，'

AC AA ⊥MO//AC ，

•D 'A

B

C

D M O

A '

B '

C '

•

(2,3),(2,3)B C -,而B 、C 所在直线过F 点，所以存在。

（21）（本小题满分12分）

已知数列{}n a 满足1202a ,a ==，且对任意m,n N *∈都有

22121122m n m n a a (m n )+-+-+=+-

（Ⅰ）求35a ,a ；

（Ⅱ）设2121n n n b a a (n N*)+-=- ∈证明：{}n b 是等差数列；

（Ⅲ）设121210n n n n c (a a q (q ,n N*)-

+-=- ) ≠∈，求数列{}n c 的前n 项和n S .

此题是错题

（22）（本小题满分14分）