离散数学图论与系中有图题目

离散数学图论与系中有图题目

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图论中有图题目 一、 没有一个简单的办法能确定图的色数以及用尽可能少的颜色给图的节点着色。Welch-Powell 给出了一个使颜色数尽可能少（不一定最少）的结点着色方法，在实际使用中比较有效： 第1步、 将图的结点按度数的非增顺序排列；第2步、用第1种颜色给第1个结点着色，并按照结点排列顺序，用同一种颜色给每个与前面已着色的结点不邻接的结点着色；第3步、换一种颜色对尚未着色的结点按上述方法着色，如此下去，直到所有结点全部着色为止。 例1 分别求右面两图的色数

（1）由于（1）中图G 中无奇数长的基本回路，由定理可知()2G χ=。 （2）由于（2）中图G 含子图轮图4W ，由于()44W χ=，故()4G χ≥。又因

为此图的最大度()4G ∆=，G 不是完全图，也不是奇数长的基本回路，由定理可知()()4G G χ≤∆=，因而()4G χ=。

（对n 阶轮图n W ，n 为奇数时有()3n W χ=，n 为偶数时有()4n W χ=；对n 阶零图n N ，有()1n N χ=；完全图n K ，有()n K n χ=；对于二部图12,,,G V V E E =<>=Φ时即()1n N χ=，E ≠Φ时即()2G χ=；在彼得森图G 中，存在奇数长的基本回路，因而()3G χ≥，又彼得森图既不是完全图也不是长度为奇数的基本回路，且()3G ∆=，由定理()3G χ≤，故()3G χ=） 例 2 给右边三个图的顶点正常着

色，每个图至少需要几种颜色。 答案：（1）

()2G χ=；（2）

()3G χ=；

（3）()4G χ= 例3 有8种化学品A,B,C,D,P,R,S,T

要放进贮藏室保管。出于安全原因，

下列各组药品不能贮在同一个室内：A-R, A-C, A-T, R-P, P-S, S-T, T-B, B-D, D-C, R-S, R-B,

4个结点、6个结点和8个结点的三次正则图

(2)

(1)

(3)

(2)(1)

P-D, S-C ,S-D ，问贮藏这8种药品至少需要多少个房间？

解 以8种药品作为结点，若两种药品不能贮在同一个室内，则它们之间有一条边，这样得右图，转化为图的正常着

色问题。（1）对各结点按度数的递减顺序排列为SRDPCTAB ；（2）对S 及不与之相邻点A ，B 着1c 色；（3）对R 及不与之

相邻点D 着2c 色；（4）对P 和C 着3c 色。故着色数()3G χ≤；又因为因S,D,P 为3K 子图，故着色数

()3G χ≥，从而

()3G χ=。因此贮藏这8种药品至少需要3个房间。贮藏方式之一为SAB, RDT, PC 。

(考试排考或老师排课让选修的学生避免冲突的问题类似处理！)

二、强连通一定单向连通，单向连通一定弱连通！

强连通图

强连通图强连通图

单向连通图

单向连通图弱连通图

弱连通图、单向连通图和强连通图

三、

均不是

哈密顿图哈密顿图

欧拉图

欧拉图同构的有向图

同构的无向图

1、设G 为无向欧拉图，求G 中一条欧拉回路的Fleury 算法如下：第1步，任取G 中的一

S

R D P C

T B A A

B T

C P D

R S K 1

K 2

K 3K 9

K 7

K 4

K 8

K 5

K 6

J 1

B 1B 3J 2B 4B 2J 3B 5

J 4

个结点0v ，令00P v =；第2步，假设0112i i i P v e v e v e =L 已选好，按下面方法从{}12,,,i E e e e -L 中选1i e +：

（1）1i e +与i e 相关联，（2）除非无别的边可供选择，否则1i e +不应该是{}12,,,i i G G e e e =-L 的断边；第3步，当第2步不能执行时，算法停止。 （有向欧拉图的欧拉回路可类似求出，可用于解决邮路问题）

邮路问题用图论的概念描述如下：在一个带权图G 中，怎样找到一条回路C ，使得C 包含G 中的每一条边至少一次，而且回路C 具有最小权。C 分以下三种情况：（1）如果G 是欧拉图，必定有欧拉回路，C 即可找到；（2）如果G 是具有从i v 到j v 的欧拉通路的半欧拉图，C 的构造如下：找到从i v 到j v 的欧拉通路及i v 到j v 的最小权通路（即最短路径）--这两条通路和并在一起就是最小权回路；（3）如果G 不是半欧拉图，一般说来，G 中包含多条边的回路，其中夫的边数与奇数结点数目有关，若奇数结点多于2，则回路中会出现更多的重复的边。问题是怎样使重复边的权综合最小。在理论上已证明：一条包括G 的所有边的回路C 具有最小权当且仅当：（1，每条边最多重复一次，（2，在G 的每个回路上，有重复边的权之和小于回路权的一半。 例：求右图所示的带权图中最优投递路线，邮局在D 点。 解 先观察奇度结点，此图中有E,F 两个。用标

号法求出其间最短路径EGF ，其权为28。然后将最短路径上的边重复一次，于是得欧拉图*

G ，

求从D 出的一条欧拉回路，如

DEGFGEBACBDCFD ，其权为281=35+8+20+20+8+40+50+30+19+6+12+10+23。

2、求接近最小权哈密顿回路的“最邻近”算法：设,,G V E W =<>是有n 个顶点的无向完全图，（1）任取0v V ∈作为始点，令L 为0v ，0k =；（2）令()(){},min ,k k w v x w v v v L =不在中，置1k v x +=。置011,1k L v v v k k +==+L ；（3）若1k n <-，转（2）

；（4）置010k L v v v v =L ，结束。（可近似解决货郎担问题） 例1 用最邻近算法求下图的最短哈密尔顿回路。

10

5

56

6148

7

14a

b

c

d e

147

6

55

e

d

c

b a

10

7

86

5

e

d

c

b

a

所得长度为14+6+5+5+7=37，与最短7+8+5+10+6=36很接近了！

10

40820

23

351261930

50

A

B C

F

E

G

D