这个空间的几何学就叫做黎曼几何学

Poincaré上半平面模型： 取上半平面
R2 x, y R 2 | y 0
按如下的方式
ds 2 dx 2 dy 2 y2
求曲线长度。
若 rt xt, yt, t a,b 是 R2 中曲线，长度
为
b xt 2 yt 2
其中 S 是三角形的面积。
B
c a
A b
C
2020/2/29
18
定理2 （正弦定理）三角形三个角 A, B,C 与对应三边 a,b, c 关系为
sin A sin B sin C sin a sin b sin c
定理3 （余弦定理）三角形三个角 A, B,C 与 对应三边 a,b, c 关系为
其中 S 是三角形的面积。
2020/2/29
20
定理2 （正弦定理）三角形三个角 A, B,C 与 对应三边 a,b, c 关系为
shA shB shC
定理3 （余弦定sh理a ）s三hb角形sh三c 个角 A, B,C 与对 应三边 a,b, c 关系为
cha chbchc shbshcchA chb chachc shashcchB chc chbcha shbshachC
四、Riemann 几何
Riemann 在他的报告中，提出了一般的几 何学，欧氏几何、罗氏几何、椭圆几何，都是 它的特例。这个一般几何学的思想是：在空间 中，给出决定任何已知点到任何与之无限接近 的点之间的距离法则，这个法则叫做度量。在 无限小的范围内欧氏几何关系在其中成立，但 并非精确成立。只是区域越小，精确度越大， 当空间的距离变大时，就不能按欧氏方法度量 距离，这个空间就叫做黎曼空间，这个空间的 几何学就叫做黎曼几何学。因此，无限小范围 之内，黎曼几何与欧氏几何几乎是一样的。
热烈欢迎各位专家光临我系！
祝大家在长期间生活愉快！
2020/2/29
1
题目：从欧氏几何谈起
Thus Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about nor whether what we are saying is true.
2020/2/29
10
Y B
A
2020/2/29
X
11
Y
X
2020/2/29
12
三、球几何
继 Gauss 和 Lobachevsky 之后，Riemann 也研究了几何的基础问题。1854年在 Götingen 大学，Riemann 做了“关于作为几 何学基础的假设”的学术报告，提出了一种更 为广泛的几何理论的初始概念，给出了另一种 简单的非欧氏几何，即椭圆几何学。
2020/2/29
22
具有内蕴几何的任何光滑曲面，是二维的黎
曼几何。实际上光滑曲面在其每一点附近与切 平面相差很少，所以在微小的区域里，它的几 何与平面欧氏差异很小，可以用平面线近似代 替曲面线。
2020/2/29
15
把球面上对径点粘起来，不改变原来曲线的长 度，这个新的几何模型，就是 Riemann 的一 个非欧氏几何,椭圆几何。
球面几何上一些基本结论
球面上三点 A, B, C ，任何两点不是对径点，
连接三点的三条劣弧围成图形称为球面三角形。
定理1 三角形 ABC 三角之和为
ABC S
s a
yt
dt
在欧氏平面上，两点之间最短的曲线即测地线，是直
线段。在这里，连接两点最短的曲线是中心在 X 轴上圆弧。半圆弧是最短的曲线，它与欧氏平面中
直线段地位一样。
2020/2/29
9
可验证这里的几何模型满足罗氏的五个假设
过两点存在一条“直线” “直线”无限延长 （测地）圆存在 所有直角相等 过一点至少有两“直线”于已知“直线”平行
在 R3 中取单位球面
S 2 1 x, y, zZR3 | x2 y 2 z 2 1
A
B
Y
X
பைடு நூலகம்
在球面上连接两点 A与 B的曲线中，最短的是过
两点的（大圆中短的一段)劣弧,大圆地位与直 线在平面中的地线一样，是测地线。 满足如下假设 过两点至少可连一“直线”（有问题） “直线”可无限延长 （测地）圆存在（有问题） 直角相等 过“直线”外一点没有“直线”与之平行
欧氏五条基本公理：
过两点可连一直线 直线可无限延长 以一点为中心，任意长为半径可做一个圆 所有直角都相等 过直线外一点，有只有一直线与已知直线 平行
从这五条公理出发，可演绎出欧氏几何系 统，其中第五条就是著名的第五公设。第五条 是不是前四条的推论，这是著名的第五公设问 题。长达二千多年的时间里，这个问题折磨了 一代又一代数学家，直到18世纪中期才被德国 数学家Gauss、匈牙利数学家Bolyai、俄罗斯数
学家Lobachevsky彻底解决，即第五假设是独 立存在的。
把第五条改为过直线外一点至少有两条直线 与已知直线平行导出非欧氏几何，即罗氏几何， 非欧氏几何直到意大利数学家Beltrami建立了 模型之后才被人们所接受。
二、罗氏几何
罗氏几何满足如下公理
过两点可连一直线 直线可无限延长 以一点为中心任意长为半径可做一个圆 所有直角相等 过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行
cosa cosbcosc sin bsin c cos A cosc cosbcosa sin bsin a cosC cosb cosa cosc sin asin c cosB
2020/2/29
19
对于罗氏几何也有类似的结论
定理1 三角形 ABC 三角之和为
ABC S
Bertrand Russell (quoted by Chern)
一、欧氏几何
公元前300年，Euclid总结前人的成果基础上， 写出了巨著《几何原本》（《Elements》,对人 类的发展产生了巨大的影响。美国《时代周刊》 主编在一本书中，列出对人类发展最有影响的一 百位人物中，Euclid 排在二十二位。欧氏的公理 化方法对科学产生了重大影响，一直为后来科学 巨匠们所推崇。比如牛顿在写巨著《数学原理》 时，就遵循欧氏的思想和方法。