极坐标与参数方程知识点、题型总结

极坐标与参数方程知识点、
题型总结
标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
极坐标与参数方程知识点、题型总结
一、极坐标：直角坐标⇒极坐标
cos
sin
x
y
ρθ
ρθ
=
⎧
⎨
=
⎩
极坐标⇒直角坐标
222
tan
(0)
x y
y
x
x
ρ
θ
⎧=+
⎪
⎨
=≠
⎪
⎩
二、直线的参数方程：过定点（x0，y0）倾角为α的直线：
α
α
sin
cos
t
y
y
t
x
x
+
=
+
=
（t为参数）
直线上
12
,P P对应的参数是
12
,t t。

|P1P2|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2.
直线的一般参数方程：0
x x at
y y bt
=+
=+
（t为参数）若221
a b
+=，则上面几何意义成立，否则，不成立。

此时，需要换参，令)
(
2
2
2
2
2
2
为参数
t
b
a
t b
y
y
b
a
t a
x
x
b
a
t
t'
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
'
+
=
+
'
+
=
⇒
+
'
=
三、圆、椭圆的参数方程
圆心在（x0，y0），半径等于r的圆：
α
α
sin
cos
r
y
y
r
x
x
+
=
+
=
（α为参数）
椭圆
22
22
1
x y
a b
+=（或
22
22
1
y x
a b
+=）：
α
α
sin
cos
b
y
a
x
=
=
（α为参数）（或
α
α
sin
cos
a
y
b
x
=
=
）
补充知识：伸缩变换：点)
,
(y
x
P是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩
⎨
⎧
>
⋅
='
>
⋅
='
).
(,y
y
0),
(
x,
x
:
μ
μ
λ
λ
ϕ的作用下，点)
,
(y
x
P对应到点)
,
(y
x
P'
'
'，称伸缩变换抛物线22
y px
=：
pt
y
pt
x
2
22
=
=
（t为参数，p＞0）
题型归类：方程的互化：1、代公式；2、消参
一、极坐标的几何意义的应用
1在直角坐标系xOy中。

直线1C:2
x=-，圆
2
C：()()
22
121
x y
-+-=,以坐标原点为
极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求
1
C，
2
C的极坐标方程；
（2）3C 的极坐标方程()4
R π
θρ=
∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求
2C MN 的面积
2．曲线C 1：cos sin x t y t α
α=⎧⎨=⎩
（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O 为极点，x 轴正半
轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3
：ρθ=。

（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值 3在直线坐标系xoy 中，圆C 的方程为（x +6）2+y 2=25. （I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （II ）直线l 的参数方程是)(sin cos 为参数αα
α
⎩⎨
⎧==t y t x
,l 与C 交于A 、B 两点，求AB
4在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos t ，
y ＝1+ a sin t （t 为参数，a ＞0）。

在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求α。

5在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足
||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π
，点
B 在曲线2
C 上，求OAB ∆面积的最大值．
6在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2,
x t y kt =+⎧⎨
=⎩
（t 为参数），直线2l 的参数方程
为2,
x m m
y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩
（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标
系，设3l
：(cos sin )0ρθθ+=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．
7.（2017二卷） 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为(2,
)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
8在直线坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（t 为参数，a ＞0）。

在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.
（I ）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a 。

二、直线的参数t 的几何意义的应用 9.直线l 过点(1,1)P ，倾斜角6
π
α=，（1）写出l 的参数方程；
（2）直线l 与圆2cos (2sin x y θ
θθ
=⎧⎨
=⎩为参数）
相交于A 、B 两点，求||||PA PB 。

11、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=
，①写出直线l 的参数方程;
②设l 与圆42
2
=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.2
12、求直线415
315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
（为参数t ）被曲线2cos()4πρθ=+所截的弦长. 7
5
13直线12()2x t
t y t
=+⎧⎨
=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为
三、圆或椭圆的参数α的应用
14．已知某圆的极坐标方程为06)4
cos(242=+-
-π
θρρ
（I ）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； （II ）
若点(,)P x y 在该圆上，求x y +的最大值和最小值．6,2
15. 已知直线: t t y t x (.23,211⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=+=为参数), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨
=⎩ （θ为参数）. （Ⅰ）设 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ；1
（Ⅱ）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的
2
1
倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲
线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.
)
12(46
-
16.点P(x,y)为椭圆2
213
x y +=上一点，求（1）S x y =+的范围； （2）若0x y a ++≥垣成立，求a 的范围。

17、在曲线1C ：⎩⎨⎧=+=）y x 为参数θθθ
(sin cos 1上求一点，使它到直线2C
：
12(112
x t t y t ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）距离最小，并求出该点坐标和最小距离。

1 P （1-22，-22）18、曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，设直线L 的参数方程是⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+-=,54253t
y t x （t 为参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
0222=-+y y x
（Ⅱ）设直线L 与x 轴的交点是M ，N 曲线C 上一动点，求MN
的最大值
1。