必修四任意角与弧度制知识点汇总教师版

３、终边共线且反向的角：
终边在y=ｘ轴上的角的集合:
终边在 轴上的角的集合：
４、终边互相对称的角：
若角 与角 的终边关于x轴对称,则角 与角 的关系:
若角 与角 的终边关于ｙ轴对称,则角 与角 的关系：
若角 与角 的终边在一条直线上,则角 与角 的关系:
角 与角 的终边互相垂直,则角 与角 的关系:
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角
角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、30；390；3３0是第象限角 ３00;60是第象限角
58５； 1１80是第象限角2０00是第象限角。
例２、（1）A=｛小于90°的角｝，B={第一象限的角｝,则A∩B=（填序号).
①{小于9０°的角}ﻩ②｛０°~90°的角}
４、常用的角的集合表示方法
１、终边相同的角：
（1）终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与 个周角的和。
(2)所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合
即：任何一个与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和
注意：
1、
2、 是任意角
3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差3６０°的整数倍。
4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。
例1、（１)若 角的终边与 角的终边相同,则在 上终边与 的角终边相同的角为。
若θ角的终边与8π/5的终边相同ﻫ则有：θ=２kπ+8π/5 (k为整数）
所以有:θ/4=（2kπ＋8π／5)／4=kπ/2+2π/5ﻫ当:0≤kπ／2+2π/5≤2πﻫ有:k＝0 时，有２π／5 与θ/4角的终边相同的角
n·3６0°+22５°＜ <n·36０°＋2７0°.
∴ 是第一或第三象限的角．
拓展：已知 是第三象限角,问 是哪个象限的角?
∵ 是第三象限角，∴180°+k·360°＜ <270°＋ｋ·360°（ｋ∈Z)，
６0°+k·120°＜ <90°＋k·1２０°.
①当ｋ＝3m(m∈Z)时，可得
６0°＋m·36０°< ＜9０°+m·3６0°（m∈Z).
如图:AOB=1ｒａd ，AOC=2ｒａd ， 周角=2rad
注意：
1、正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数，零角的弧度数是０
2、角的弧度数的绝对值 ( 为弧长, 为半径)
3、用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同（都是０)
用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同。
4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
例2、（1)时针走过2小时40分,则分针转过的角度是
（２）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是．
3、 “象限角”
为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点,角的始边合于 轴的正半轴。
注意:
（1）“旋转”形成角,突出“旋转”
（2)“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于 轴正半轴
(3)“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
例1、若 ,求 和 的范围。（0，４5) （1８0,270）
２、角的分类：
由于用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。
2、角度制与弧度制的换算
弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度
角度与弧度的互换关系:∵ 36０=raｄ 180=rad
∴ 1=
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.
例1、 把 化成弧度
∴
例2、 把 化成度
例3、将下列各角从弧度化成角度
(1） rad （2）2.１ rad （3）
(１)∵2ｋ·3６0°＋1８0°＜2 <2k·360°＋3６0°（ｋ∈Z）,
∴2 是第三或第四象限的角,或角的终边在y轴的非正半轴上.
（２）∵k·1８0°＋45°＜ <k·180°+90°（ｋ∈Z），
当k=2n(n∈Ｚ）时，
n·360°+4５°＜ ＜n·３60°+90°;
当ｋ=２n+1(n∈Z)时，
故 的终边在第一象限.
②当k=３m+1 （ｍ∈Ｚ）时,可得
180°+m·３６0°< <210°+ｍ·3６０°（m∈Z）．
故 的终边在第三象限.
③当k＝3ｍ＋2 （m∈Z）时,可得
３00°+m·３6０°＜ <330°+m·36０°（m∈Z)．
故 的终边在第四象限.
综上可知, 是第一、第三或第四象限的角.
例１、若 , 则角 与角 的中变得位置关系是（ ）。
A.重合 Ｂ.关于原点对称 Ｃ.关于x轴对称 D．有关于y轴对称
例2、将下列各角化成0到 的角加上 的形式
(1) （2)
例3、设集合 ,
Hale Waihona Puke ,求 , ．二、弧度与弧度制
1、弧度与弧度制:
弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度
定义：长度等于的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
例4、用弧度制表示:1终边在 轴上的角的集合2终边在 轴上的角的集合
三、弧长公式和扇形面积公式
必修四-任意角与弧度制－-知识点汇总(教师版)
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美博教育任意角与弧度制
知识梳理:
一、任意角和弧度制
1、角的概念的推广
定义：一条射线ＯA由原来的位置,绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB,就形成了角 ,记作：角 或 可以简记成 。
k=1 时,有９π／1０ 与θ／4角的终边相同的角
(2）若 是终边相同的角。那么 在
例2、求所有与所给角终边相同的角的集合,并求出其中的最小正角,最大负角：
(１） ； （2） ．
例3、求 ，使 与 角的终边相同，且 .
2、终边在坐标轴上的点:
终边在x轴上的角的集合：
终边在y轴上的角的集合：
终边在坐标轴上的角的集合:
③ {第一象限的角}ﻩ④以上都不对
（２）已知Ａ＝{第一象限角},B={锐角｝，Ｃ={小于90°的角}，那么Ａ、B、Ｃ关系是（）
A．Ｂ=Ａ∩ＣB．B∪C＝Cﻩ C．A ＣD.A=B＝C
例3、写出各个象限角的集合：
例4、若 是第二象限的角,试分别确定2 , 的终边所在位置.
解∵ 是第二象限的角,
∴k·３60°＋90°＜ ＜k·３６0°+18０°(k∈Z).