b <1，a －b <0，
则(a b
)a －
b >1，于是a a b b >a b b a . 综上所述，对于不相等的正数a 、b ，都有a a b b >a b b a .
【点评】比较大小的常用方法：
(1)作差法
一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用
配
方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子
都
为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法
一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法
若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探
究
思路，其实质就是利用特殊值判断．
【例题2】
【题干】对于实数a 、b 、c ，判断下列命题的真假．
(1)若a >b ，则ac >bc ； (2)若a >b ，则ac 2>bc 2； (3)若a ab >b 2；
(4)若a 1
b
.
【解析】(1)因未知c 的正负或是否为零，无法确定ac 与bc 的大小，所以是假命题．
(2)因为c 2≥0，所以只有c ≠0时才能正确．c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以是假命题． (3)a ab ；a b 2，命题是真命题． (4)由性质定理a 1
b
，命题是真命题．
【点评】(1)要注意不等式性质成立的条件．例如，重要结论a >b ，ab >0⇒1a <1
b
，不能弱
化条件得a >b ⇒1a <1
b
.
(2)要正确处理带等号的情况．如由a >b ，b ≥c 或a ≥b ，b >c 均可得出a >c ；而 由a ≥b ，b ≥c 可能是a >c ，也可能有a ＝c ，当且仅当a ＝b 且b ＝c 时，才会 有a ＝c .
【例题3】
【题干】设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．
【解析】设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )．
即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，
于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
m ＝3n ＝1，
∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故5≤f (－2)≤10.
【点评】一般地，由a 定系数法解决，即设g (x 1，y 1)＝pf 1(x 1，y 1)＋qf 2(x 1，y 1)，用恒等变形求得p ， q ，再利用不等式的性质求得g (x 1，y 1)的取值范围．
【例题4】
【题干】已知－π2≤α<β≤π
2，求α＋β2，α－β2的取值范围．
【解析】∵－π2≤α<π
2
，①
－π2<β≤π
2
，② ①＋②得－π<α＋β<π， ∴－π2<α＋β2<π2.
∵－π2<β≤π2，
∴－π2≤－β<π2.③
①＋③得－π≤α－β<π， ∴－π2≤α－β2<π2.
又α<β，∴α－β2<0，
∴－π2≤α－β2
<0.
四、课堂运用
【基础】
1． x ＝(a ＋3)(a －5)与y ＝(a ＋2)(a －4)的大小关系是( ) A ．x >y B ．x ＝y C ．x [答案] C
[解析] ∵x －y ＝a 2＋3a －5a －15－a 2－2a ＋4a ＋8 ＝－7<0，∴x 2．设a ＞b >0，则下列不等式成立的是( ) A ．|b －a |≥1 B ．2a <2b C ．lg a
b <0
D ．0
[答案] D
[解析] ∵a >b >0 ∴0a
<1.故选D.
3．设a >1>b >－1，则下列不等式恒成立的是( ) A.1a <1b B.1a >1b C ．a 2>1
b 2
D ．a >b 2 [答案] D
