《离散数学课件》1-2集合基本概念
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例 A={ a, {b,c}, d, {{d}} } {b,c}A b,cA {{d}}A {d}A dA
二、集合的表示
(1) 列举出这个集合中的所有元素。枚举法
♦ A={a,b,c} ♦ B={1,3,5}
(2) 利用元素所具有的性质来表示。
♦ D={x │x2-3x+2=0, x∈R } 描述法
伯数字集。 ④数0，1, 3, 4可以组成一个集合。 ⑤二十六个英文字母可以组成一个集合, 英文字母集
13
一、集合与元素
集合：某些确定的、能够区分的对象的聚合。 元素：组成一个集合的那些对象称为这一集合
的元素和成员。 用大写字母代表集合， 用小写英文字母代表集合的元素。
14
百度文库
常用的集合
• N代表自然数集, {0,1,2,…} • Z代表整数集, {…, -2, -1, 0, 1, 2,…} • Q代表有理数集 • R代表实数集 • R+={x│x∈R, x>0}是表示非负的实数集 • R2={(x,y) │x,y ∈ R}是XOY坐标平面上
11
6.1 集合的基本概念
集合是最基本的数学概念之一，由于它太基本 了，所以不能用更基本的概念来定义它。 集合是不能精确定义的数学概念。但是，这并 不影响我们去理解它和掌握它。
12
每一个人都知道许多集合
例如： ①逻辑值T, F可以组成一个集合, 记为{T, F} , 真值集。 ②数0，1可以组成一个集合, 记为{0,1} , 真值集。 ③数0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 可以组成一个集合, 阿拉
S是自己的元素，
S不是自己的元素，
二者居其一且只居其一。
容易说明我们假定S是集合是错误的。
19
三、集合的包含关系
定义1：A,B是二个集合， 对于任意的x ，若x∊A ，则 x∊B， 我们说集合A是集合B的子集， 也说集合B包含集合A， 记为A⊆B 。
若A不是B的子集, 记为A⊄B。 也说B不包含A 。
5
理发师难题
西班牙的塞维利亚有一个理发师，这位理发师 有一条极为特殊的规定：他只给那些“不给自 己刮胡子”的人刮胡子。
6
罗素悖论与第三次数学危机
“数学大厦的基石”竟然出现了明显的“裂缝 ”，那么人类耗费数千年心血建立起来的“数 学殿堂”，会不会倒塌呢？一时间，数学界众 说纷纭，这就是数学史上著名的“第三次数学 危机”。
集合论
1
集合论部分
第6章 集合 第7章 （二元）关系 第8章 函数
2
康托集合论——公理集合论
德国数学家康托 (G. Cantor) 朴素集合论: 十九世纪七十年代 悖论 公理集合论: 在二十世纪初
✓ 数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范 畴中人类活动的最美的表现。
✓ 可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。
♦ E={x │ x是南京理工大学学生 }
一般地 ，S={a│a具有性质ξ} 表示 a ∊ S当且仅当 a具有性质ξ 。
18
罗素(B. Russell)悖论
S={A│A是不以自身为元素的集合, 即A∉A}
S是集合吗？ 如果S∊S，则与性质矛盾；
如果S∉S，则S满足性质，矛盾。
如果我们假定S是集合，那么
“裱糊匠”: 希尔伯特 …… 蔡梅罗: 找到摆脱困境的方法
7
ZF公理系统
数学家们创造了公理化集合论，明确提出形成 集合的原则，且规定只能按照这些确定的原则 形成集合，以避免已知的一些集合论的悖论。
最著名的一个系统是由蔡梅罗 (Ernst Zermelo) 1908年提出，后经弗兰克尔 (Abraham A. Fraenkel) 等人改进而建立的。人们称之为ZF系 统。
点的集合。
15
集合与元素的关系
如果 a是集合A 的一个元素，就叫做 a属于 集合A，这时记为 a∊A 。
如果 a不是集合A中的一个元素，就叫做a 不属于A ，这时记为a∉A 。
对于任给的一个对象a和任给的一个集合A， 或者a属于A，或者 a不属于A， 二者必居其一，不可得兼。
16
隶属关系的层次结构
9
第一次数学危机: 发现了“无理数”
毕达格拉斯的一个弟子发现边长为1的正方形 的对角线是不能用任何比例来表示的。 对于毕氏学派来说, 这是天大的罪过,结果被 扔进海里喂了鲨鱼。
10
第六章 集合
6.1 集合的基本概念 6.1.1 集合的定义 6.1.2 集合的表示 6.1.3 集合的包含关系 6.1.4 集合的特点
3
康托 Georg Cantor，1845－1918
1845年3月3日生于彼得堡。 1856年全家迁居法兰克福。 先后就学于苏黎世大学、哥 廷根大学、法兰克福大学和 柏林大学，主要学习哲学、 数学和物理。
在柏林大学，他受到著名分析学家魏尔斯特拉斯的影 响，对纯粹数学产生了兴趣。1867年，他以求不定方 程ax2+by2+cz2= 0的整数解（其中，a、b、c为任意 整数）的博士论文获哲学博士学位。
4
罗素（Bertrand Arthur William Russell，1872-1970）
著名的英国数学家、逻辑学 家。 1890年剑挢大学学习数学和 哲学。 1901年开始与怀特海 (Whitehead)合作，经过10年 的奋战，写成3卷本巨著《 数学原理》。
罗素还是2l世纪最有影响的哲学家之一。 1920年应邀来中国讲学一年。1950年获诺贝尔 文学奖。1964年创设罗素和平基金会。
8
第二次数学危机: 关于微积分
在牛顿和莱布尼茨发现了微积分的年代里,老是 有那么几个敌对分子跟他们作对,其中有一位爱 尔兰的大主教贝克莱就讥讽牛顿的“一刹那” 是“已死量的幽灵”。
还有一位意大利的数学教授格兰蒂把
1/2=1-1+1-1+...=(1-1)+(1-1)+...=0
这样的式子看作是"从虚无创造万有"等等不一 而足.
我们都知道集合 K中什么元素也没有。
20
例
{1，2} ⊆ {1，2，3} {1，3} ⊆ {1，3，2，4} {1} ⊆ {1，2} 1 ⊄ {1，2} 1 ∈ {1，2}
21
例：是否存在这样两个集合， 其中一个既是 另一个的子集， 又是它的元素？
{1} ∈{1， {1} } {1} ⊆{1， {1} }
22
空集Ø
设K是一个集合， K={x∊R│x2+1=0} 。
二、集合的表示
(1) 列举出这个集合中的所有元素。枚举法
♦ A={a,b,c} ♦ B={1,3,5}
(2) 利用元素所具有的性质来表示。
♦ D={x │x2-3x+2=0, x∈R } 描述法
伯数字集。 ④数0，1, 3, 4可以组成一个集合。 ⑤二十六个英文字母可以组成一个集合, 英文字母集
13
一、集合与元素
集合：某些确定的、能够区分的对象的聚合。 元素：组成一个集合的那些对象称为这一集合
的元素和成员。 用大写字母代表集合， 用小写英文字母代表集合的元素。
14
百度文库
常用的集合
• N代表自然数集, {0,1,2,…} • Z代表整数集, {…, -2, -1, 0, 1, 2,…} • Q代表有理数集 • R代表实数集 • R+={x│x∈R, x>0}是表示非负的实数集 • R2={(x,y) │x,y ∈ R}是XOY坐标平面上
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6.1 集合的基本概念
集合是最基本的数学概念之一，由于它太基本 了，所以不能用更基本的概念来定义它。 集合是不能精确定义的数学概念。但是，这并 不影响我们去理解它和掌握它。
12
每一个人都知道许多集合
例如： ①逻辑值T, F可以组成一个集合, 记为{T, F} , 真值集。 ②数0，1可以组成一个集合, 记为{0,1} , 真值集。 ③数0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 可以组成一个集合, 阿拉
S是自己的元素，
S不是自己的元素，
二者居其一且只居其一。
容易说明我们假定S是集合是错误的。
19
三、集合的包含关系
定义1：A,B是二个集合， 对于任意的x ，若x∊A ，则 x∊B， 我们说集合A是集合B的子集， 也说集合B包含集合A， 记为A⊆B 。
若A不是B的子集, 记为A⊄B。 也说B不包含A 。
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理发师难题
西班牙的塞维利亚有一个理发师，这位理发师 有一条极为特殊的规定：他只给那些“不给自 己刮胡子”的人刮胡子。
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罗素悖论与第三次数学危机
“数学大厦的基石”竟然出现了明显的“裂缝 ”，那么人类耗费数千年心血建立起来的“数 学殿堂”，会不会倒塌呢？一时间，数学界众 说纷纭，这就是数学史上著名的“第三次数学 危机”。
集合论
1
集合论部分
第6章 集合 第7章 （二元）关系 第8章 函数
2
康托集合论——公理集合论
德国数学家康托 (G. Cantor) 朴素集合论: 十九世纪七十年代 悖论 公理集合论: 在二十世纪初
✓ 数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范 畴中人类活动的最美的表现。
✓ 可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。
♦ E={x │ x是南京理工大学学生 }
一般地 ，S={a│a具有性质ξ} 表示 a ∊ S当且仅当 a具有性质ξ 。
18
罗素(B. Russell)悖论
S={A│A是不以自身为元素的集合, 即A∉A}
S是集合吗？ 如果S∊S，则与性质矛盾；
如果S∉S，则S满足性质，矛盾。
如果我们假定S是集合，那么
“裱糊匠”: 希尔伯特 …… 蔡梅罗: 找到摆脱困境的方法
7
ZF公理系统
数学家们创造了公理化集合论，明确提出形成 集合的原则，且规定只能按照这些确定的原则 形成集合，以避免已知的一些集合论的悖论。
最著名的一个系统是由蔡梅罗 (Ernst Zermelo) 1908年提出，后经弗兰克尔 (Abraham A. Fraenkel) 等人改进而建立的。人们称之为ZF系 统。
点的集合。
15
集合与元素的关系
如果 a是集合A 的一个元素，就叫做 a属于 集合A，这时记为 a∊A 。
如果 a不是集合A中的一个元素，就叫做a 不属于A ，这时记为a∉A 。
对于任给的一个对象a和任给的一个集合A， 或者a属于A，或者 a不属于A， 二者必居其一，不可得兼。
16
隶属关系的层次结构
9
第一次数学危机: 发现了“无理数”
毕达格拉斯的一个弟子发现边长为1的正方形 的对角线是不能用任何比例来表示的。 对于毕氏学派来说, 这是天大的罪过,结果被 扔进海里喂了鲨鱼。
10
第六章 集合
6.1 集合的基本概念 6.1.1 集合的定义 6.1.2 集合的表示 6.1.3 集合的包含关系 6.1.4 集合的特点
3
康托 Georg Cantor，1845－1918
1845年3月3日生于彼得堡。 1856年全家迁居法兰克福。 先后就学于苏黎世大学、哥 廷根大学、法兰克福大学和 柏林大学，主要学习哲学、 数学和物理。
在柏林大学，他受到著名分析学家魏尔斯特拉斯的影 响，对纯粹数学产生了兴趣。1867年，他以求不定方 程ax2+by2+cz2= 0的整数解（其中，a、b、c为任意 整数）的博士论文获哲学博士学位。
4
罗素（Bertrand Arthur William Russell，1872-1970）
著名的英国数学家、逻辑学 家。 1890年剑挢大学学习数学和 哲学。 1901年开始与怀特海 (Whitehead)合作，经过10年 的奋战，写成3卷本巨著《 数学原理》。
罗素还是2l世纪最有影响的哲学家之一。 1920年应邀来中国讲学一年。1950年获诺贝尔 文学奖。1964年创设罗素和平基金会。
8
第二次数学危机: 关于微积分
在牛顿和莱布尼茨发现了微积分的年代里,老是 有那么几个敌对分子跟他们作对,其中有一位爱 尔兰的大主教贝克莱就讥讽牛顿的“一刹那” 是“已死量的幽灵”。
还有一位意大利的数学教授格兰蒂把
1/2=1-1+1-1+...=(1-1)+(1-1)+...=0
这样的式子看作是"从虚无创造万有"等等不一 而足.
我们都知道集合 K中什么元素也没有。
20
例
{1，2} ⊆ {1，2，3} {1，3} ⊆ {1，3，2，4} {1} ⊆ {1，2} 1 ⊄ {1，2} 1 ∈ {1，2}
21
例：是否存在这样两个集合， 其中一个既是 另一个的子集， 又是它的元素？
{1} ∈{1， {1} } {1} ⊆{1， {1} }
22
空集Ø
设K是一个集合， K={x∊R│x2+1=0} 。