水文学与水文地质学课件教学配套课件杨维第三章2统计参数与抽样误差
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对于连续随机变量，把概率密度曲线下的面积分为 两个相等部分所对应的 x 值为中值。即中值是该系列
频率 P=50% 时的 x 值，有 x50%.
示意图
均方差
2.离散程度特征参数 （1）均方差
◇ 描述概率分布离散趋势的特征参数。随机变量分布越分散， 均方差越大；分布越集中，均方差越小。
◇ 限于比较均值相同的系列。
绝对误差：
sx
n
sCv
Cv 2n
1
2Cv2
3 4
Cs2
2CvCs
（3-15）
sCs
6 n
(1
3 2
Cs2
5 16
Cs4
)
相对误差公式
相对误差：
s x'
Cv n
100%
s' Cv
1 2n
1
2Cv2
3 4
Cs2
2CvCs
100%
s' Cs
1 Cs
6 n
(1
3 2
Cs2
5 16
【例题】 据某水文站50年实测洪水位系列资料，变差系数 Cv=0.5，偏态系数Cs=1.25，求百年一遇设计洪 水位为423m的均方误差。
1
2Cv2
3 4
Cs2
2CvCs
100%
s' Cs
1 Cs
6 n
(1
3 2
Cs2
5 16
C
4 s
)
100%
Cs经验值
设计暴雨量
Cs 与 Cv 经验关系 Cs = 3.5 Cv
设计最大流量
Cv < 0.5， Cs = (3~4)Cv
Cv >0.5， Cs = (2~3)Cv
设计年径流量及年降水量 Cs = 2Cv √ 偏态系数依据上述关系式给定初始值。
▲ 随机变量 x 对中心分布 E (x) 离差的 k 次幂的数学期望 E {[x – E (x)]k}，则称为随机变量 x 的 k 阶中心矩。
√ 统计参数： 均值 x 称为一阶原点矩；
变差系数 Cv 称为二阶中心矩； 偏态系数 Cs 称为三阶中心矩； 各统计参数的计算公式亦称为矩法公式。
End
二. 抽样误差 (Sampling error) 1 抽样误差 2 抽样误差分布 ※ 3 抽样误差计算公式
0.5
5 7 10 16 8 11 16 25 41 58 82 130
0.7
7 10 14 22 9 12 17 27 40 56 80 126
1.0
10 14 20 32 10 14 20 32 42 60 85 134
相对标准误差计算公式
相对误差：
s x'
Cv n
100%
s' Cv
1 2n
☆ 总体的 ☆ 样本的
样
(xi x)2 n 1
（3-10） Cv
（2） 变差系数（Cv）
比较两个不同均值系列的离散程度时，采用均方差与均值之比 值，用于衡量系列相对离散程度。
Cv
x
（3-11）
☆ 总体的Cv ☆ 样本的Cv
◇ 对于某条河流的年径流量来说，Cv越大，其年际变化越 大；若两个河流比较，一般大河的调节作用比小河要大，所以 大河年径流分布的Cv值比小河的小。
总体：
n xi x 3
n
K i 13
CS
i 1
n 3
i 1
n
C
3 V
（3-12）
样本： Cs
( xi x )3 (K i 1)3
(n 3) 3
(n 3)Cv 3
（3-13）
Cs影响形状图
当Cs>0，密度曲线峰顶在均值的左边，叫做左偏或正偏。 当Cs<0，密度曲线峰顶在均值的右边，叫做右偏或负偏。 当Cs=0，密度曲线峰顶在均值处，叫做对称分布或正态分布。
公式
1.抽样误差: 由随机抽样而引起的误差。
均方误差[标准误差]
以均值为例：
sx
m
( x i x 总体 ) 2
i 1
m
（3-14）
误差分布图
2.抽样误差分布：服从正态分布
P( x总 x x x总 x ) 68.3%
误差计算公式
3.抽样误差计算公式——随机变量服从皮尔逊III型分布
◇ 水文现象大多属于正偏，Cs>0。
图总结
位置特征参数
离散程度特征参数
均值（平均数）
均方差
众值（众数） 中值（中位数）
对称程度特征参数 偏态系数Cs
变差系数Cv
※ 统计参数物理意义； 统计参数对频率密度曲线形状的影响。
复习：矩的概念
矩
▲ 随机变量 x 对原点离差的 k 次幂的数学期望 E(xk)，称为随机 变量 x 的 k 阶原点矩。
Cv等值线
湖北省部分地区年径流量变差系数Cv等值线图
Cv的曲线形状影响
Cv越大，频率密度曲线矮而宽,系列数值相对 分x 布越分散。
Cv越小,频率密度曲线瘦而高,系列数值相对 x分布越集中。
Cs
3. 对称程度特征参数
偏态系数 CS
反映密度曲线的对称特征，即衡量系列在均值的两侧分布对 称或不对称（偏态）程度的系数。
§3-2 统计参数与抽样误差
（Statistical parameters & Sampling error ）
一. 统计参数 能说明随机变量统计规律的某些特征数值，称为
统计参数，或特征参数，有时称为分布参数。
各参数
1.
位置特征参数
2. 离散程度特征参数
均值（平均数）
均方差
众值（众数） 中值（中位数）
均值图示
我国多年平均年降水量分布图（单位：mm）
Y图
湖北省部分地区多年平均年径流深等值线图（mm）
模比系数
◇ 模比系数（或称为变率）：
Ki
xi x
据平均数的数学特性，有：
Ki ?
(Ki 1) ?
（3-9）
众值
（2） 众值（众数） xˆ
概率密度曲线峰值在x坐标上相应的位置值。
（3）中值（中位数） x
3. 对称程度特征参数
偏态系数Cs
变差系数Cv
无偏估计
无偏估计量： Eห้องสมุดไป่ตู้(ˆ) 有偏估计量： E(ˆ)
▲ 对于有偏估计量，大量样本平均的结果都不等于总 体的相应参数，需要进行修正，以得到对总体的无偏估 计值公式。
均值
1.位置特征参数 (1) 均值（数学期望） x
均值表示系列的分布中心，代表随机变量系列的平均水平。 ◇ 算数平均值 ◇ 加权平均值
C
4 s
)
100%
（3-16）
Xp误差公式
以 Cs = 2Cv 为例：
样本统计参数的标准误差
参数 误
（x%）
Cv
Cs
差 Cv
n 100 50 25
10
100 50 25 10 100 50
25
10
0.1
1 1 2 3 7 10 14 22 126 178 252 399
0.3
3 4 6 10 7 10 15 23 51 72 102 162
频率 P=50% 时的 x 值，有 x50%.
示意图
均方差
2.离散程度特征参数 （1）均方差
◇ 描述概率分布离散趋势的特征参数。随机变量分布越分散， 均方差越大；分布越集中，均方差越小。
◇ 限于比较均值相同的系列。
绝对误差：
sx
n
sCv
Cv 2n
1
2Cv2
3 4
Cs2
2CvCs
（3-15）
sCs
6 n
(1
3 2
Cs2
5 16
Cs4
)
相对误差公式
相对误差：
s x'
Cv n
100%
s' Cv
1 2n
1
2Cv2
3 4
Cs2
2CvCs
100%
s' Cs
1 Cs
6 n
(1
3 2
Cs2
5 16
【例题】 据某水文站50年实测洪水位系列资料，变差系数 Cv=0.5，偏态系数Cs=1.25，求百年一遇设计洪 水位为423m的均方误差。
1
2Cv2
3 4
Cs2
2CvCs
100%
s' Cs
1 Cs
6 n
(1
3 2
Cs2
5 16
C
4 s
)
100%
Cs经验值
设计暴雨量
Cs 与 Cv 经验关系 Cs = 3.5 Cv
设计最大流量
Cv < 0.5， Cs = (3~4)Cv
Cv >0.5， Cs = (2~3)Cv
设计年径流量及年降水量 Cs = 2Cv √ 偏态系数依据上述关系式给定初始值。
▲ 随机变量 x 对中心分布 E (x) 离差的 k 次幂的数学期望 E {[x – E (x)]k}，则称为随机变量 x 的 k 阶中心矩。
√ 统计参数： 均值 x 称为一阶原点矩；
变差系数 Cv 称为二阶中心矩； 偏态系数 Cs 称为三阶中心矩； 各统计参数的计算公式亦称为矩法公式。
End
二. 抽样误差 (Sampling error) 1 抽样误差 2 抽样误差分布 ※ 3 抽样误差计算公式
0.5
5 7 10 16 8 11 16 25 41 58 82 130
0.7
7 10 14 22 9 12 17 27 40 56 80 126
1.0
10 14 20 32 10 14 20 32 42 60 85 134
相对标准误差计算公式
相对误差：
s x'
Cv n
100%
s' Cv
1 2n
☆ 总体的 ☆ 样本的
样
(xi x)2 n 1
（3-10） Cv
（2） 变差系数（Cv）
比较两个不同均值系列的离散程度时，采用均方差与均值之比 值，用于衡量系列相对离散程度。
Cv
x
（3-11）
☆ 总体的Cv ☆ 样本的Cv
◇ 对于某条河流的年径流量来说，Cv越大，其年际变化越 大；若两个河流比较，一般大河的调节作用比小河要大，所以 大河年径流分布的Cv值比小河的小。
总体：
n xi x 3
n
K i 13
CS
i 1
n 3
i 1
n
C
3 V
（3-12）
样本： Cs
( xi x )3 (K i 1)3
(n 3) 3
(n 3)Cv 3
（3-13）
Cs影响形状图
当Cs>0，密度曲线峰顶在均值的左边，叫做左偏或正偏。 当Cs<0，密度曲线峰顶在均值的右边，叫做右偏或负偏。 当Cs=0，密度曲线峰顶在均值处，叫做对称分布或正态分布。
公式
1.抽样误差: 由随机抽样而引起的误差。
均方误差[标准误差]
以均值为例：
sx
m
( x i x 总体 ) 2
i 1
m
（3-14）
误差分布图
2.抽样误差分布：服从正态分布
P( x总 x x x总 x ) 68.3%
误差计算公式
3.抽样误差计算公式——随机变量服从皮尔逊III型分布
◇ 水文现象大多属于正偏，Cs>0。
图总结
位置特征参数
离散程度特征参数
均值（平均数）
均方差
众值（众数） 中值（中位数）
对称程度特征参数 偏态系数Cs
变差系数Cv
※ 统计参数物理意义； 统计参数对频率密度曲线形状的影响。
复习：矩的概念
矩
▲ 随机变量 x 对原点离差的 k 次幂的数学期望 E(xk)，称为随机 变量 x 的 k 阶原点矩。
Cv等值线
湖北省部分地区年径流量变差系数Cv等值线图
Cv的曲线形状影响
Cv越大，频率密度曲线矮而宽,系列数值相对 分x 布越分散。
Cv越小,频率密度曲线瘦而高,系列数值相对 x分布越集中。
Cs
3. 对称程度特征参数
偏态系数 CS
反映密度曲线的对称特征，即衡量系列在均值的两侧分布对 称或不对称（偏态）程度的系数。
§3-2 统计参数与抽样误差
（Statistical parameters & Sampling error ）
一. 统计参数 能说明随机变量统计规律的某些特征数值，称为
统计参数，或特征参数，有时称为分布参数。
各参数
1.
位置特征参数
2. 离散程度特征参数
均值（平均数）
均方差
众值（众数） 中值（中位数）
均值图示
我国多年平均年降水量分布图（单位：mm）
Y图
湖北省部分地区多年平均年径流深等值线图（mm）
模比系数
◇ 模比系数（或称为变率）：
Ki
xi x
据平均数的数学特性，有：
Ki ?
(Ki 1) ?
（3-9）
众值
（2） 众值（众数） xˆ
概率密度曲线峰值在x坐标上相应的位置值。
（3）中值（中位数） x
3. 对称程度特征参数
偏态系数Cs
变差系数Cv
无偏估计
无偏估计量： Eห้องสมุดไป่ตู้(ˆ) 有偏估计量： E(ˆ)
▲ 对于有偏估计量，大量样本平均的结果都不等于总 体的相应参数，需要进行修正，以得到对总体的无偏估 计值公式。
均值
1.位置特征参数 (1) 均值（数学期望） x
均值表示系列的分布中心，代表随机变量系列的平均水平。 ◇ 算数平均值 ◇ 加权平均值
C
4 s
)
100%
（3-16）
Xp误差公式
以 Cs = 2Cv 为例：
样本统计参数的标准误差
参数 误
（x%）
Cv
Cs
差 Cv
n 100 50 25
10
100 50 25 10 100 50
25
10
0.1
1 1 2 3 7 10 14 22 126 178 252 399
0.3
3 4 6 10 7 10 15 23 51 72 102 162