第一类曲线积分的计算
第一类曲线积分计算
第一类曲线积分计算
第一类曲线积分是指沿着曲线对一个标量场进行积分。
要计算第一类曲线积分，我们需要以下几个步骤：
1. 确定曲线的参数化表示，将曲线表示为参数的函数形式，通常使用参数t来表示。
例如，对于平面曲线，我们可以使用x =
x(t)和y = y(t)来表示。
2. 计算曲线的切向量，求出曲线在每个点上的切向量。
切向量是曲线切线的方向和长度。
3. 计算被积函数，确定要对其进行积分的标量场函数。
这个函数可以是关于x和y的表达式，或者是使用参数t表示的函数。
4. 计算积分，将被积函数与切向量进行点乘，并将结果与曲线的参数区间进行积分。
具体计算方法是将函数乘以切向量的模长，然后对参数t进行积分。
需要注意的是，曲线的参数化表示应该是连续可微的，并且曲线应该是光滑的，即没有断点或尖点。
如果曲线有多个分段，可以
将每个分段分别参数化，并分别计算积分，然后将结果相加。
此外，还需要注意积分路径的方向。
如果需要改变积分路径的方向，可以通过改变参数的取值范围或者改变参数的正向定义来实现。
总结起来，计算第一类曲线积分的步骤包括确定参数化表示、计算切向量、确定被积函数、计算积分，并确保曲线是连续可微且光滑的。
这些步骤可以帮助我们计算第一类曲线积分并得到准确的结果。
第一型曲线积分的定义
第一型曲线积分的定义第一型曲线积分，是微积分中的一种重要概念与计算方法，它涉及曲线和向量场之间的积分。
本文将介绍第一型曲线积分的定义、性质和计算方法。
一、第一型曲线积分的定义第一型曲线积分，也称为曲线的线积分，是指在曲线上某个有向长度元素$\mathrm{d}s$上的函数值与该长度元素的乘积$d\boldsymbol{s}$在整个曲线上的积分。
设$C$是曲线，其参数方程为$\boldsymbol{r}(t)=(x(t), y(t), z(t)), t\in[a,b]$，则$C$的长度由公式：$$ L(C)=\int_{C}\mathrm{d}s=\int_{a}^{b}\left[\ left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\r ight)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\f rac{1}{2}} \mathrm{d}t $$计算曲线$C$上的一个标量函数$f(x,y,z)$在曲线上的第一型曲线积分，即为：$$ \int_{C} f(x, y, z) \mathrm{d}s=\int_{a}^{b}f\left(\boldsymbol{r}(t)\right)\left[\left(x^{\prim e}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}t $$若积分路径可以看成向量值函数$\boldsymbol{r}(t)$的积分，第一型曲线积分就可以写作：$$ \int_{\boldsymbol{r}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_{a}^{b}\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{r}(t)\right) \cdot \boldsymbol{r}^{\prime}(t) \mathrm{d}t=\int_{a}^{b} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} $$其中$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$是向量场，$\mathrm{d}\boldsymbol{r}$表示一个有向长度元素，$\cdot$表示向量内积运算，$\mathrm{d}\boldsymbol{s}=\boldsymbol{r}^{\prime}(t ) \mathrm{d} t$表示线元素。
第一类曲线积分计算
第一类曲线积分计算【原创实用版】目录一、曲线积分的概述二、第一类曲线积分的计算方法1.直线参数方程2.圆参数方程3.一般曲线参数方程三、第一类曲线积分的应用实例正文一、曲线积分的概述曲线积分是一种数学工具，用于计算空间曲线上的向量场在某一段曲线上的积分。
它可以用来求解物理量，如质点在曲线路径上的速度、加速度等。
曲线积分分为两类，本篇主要介绍第一类曲线积分的计算方法。
二、第一类曲线积分的计算方法1.直线参数方程假设有一条直线 L，其参数方程为：r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中 t 为参数，x、y、z 为直线上的点。
我们可以通过以下步骤计算直线 L 上的第一类曲线积分：(1) 求出向量场 F 在直线 L 上的投影，记为 F·cosθ；(2) 计算直线 L 上的弧长 s，s = ∫dt；(3) 计算第一类曲线积分：∫(F·cosθ)·r(t)ds = ∫(F·cos θ)·(dx/dt, dy/dt, dz/dt)dt。
2.圆参数方程假设有一个圆 C，其参数方程为：r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中 t 为参数，x、y、z 为圆上的点。
我们可以通过以下步骤计算圆 C 上的第一类曲线积分：(1) 求出向量场 F 在圆 C 上的投影，记为 F·cosθ；(2) 计算圆 C 上的弧长 s，s = ∫dt；(3) 计算第一类曲线积分：∫(F·cosθ)·r(t)ds = ∫(F·cos θ)·(dx/dt, dy/dt, dz/dt)dt。
3.一般曲线参数方程对于一般的曲线，我们可以将其参数方程表示为：r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中 t 为参数，x、y、z 为曲线上的点。
我们可以通过以下步骤计算一般曲线上的第一类曲线积分：(1) 求出向量场 F 在曲线上的投影，记为 F·cosθ；(2) 计算曲线上的弧长 s，s = ∫dt；(3) 计算第一类曲线积分：∫(F·cosθ)·r(t)ds = ∫(F·cos θ)·(dx/dt, dy/dt, dz/dt)dt。
曲线积分基本概念
曲线积分基本概念曲线积分是微积分的一个重要概念，用于计算曲线上函数的积分值。
曲线积分可以帮助我们理解曲线上的物理量分布以及曲线所代表的实际问题。
一、曲线积分的定义曲线积分是将曲线划分为无限小的线段，然后计算每个线段上函数的值与线段长度的乘积，最后对所有线段的积分进行求和。
曲线积分可以分为第一类和第二类两种情况。
1. 第一类曲线积分第一类曲线积分是对曲线上的函数进行积分，计算的是函数在曲线上的沿曲线方向的积分值。
设曲线为C，函数为f(x,y)，曲线C的参数方程为x(t), y(t)，参数范围为[a, b]，则第一类曲线积分的计算公式为：∮C f(x,y) ds = ∫[a,b] f(x(t),y(t)) ||r'(t)|| dt其中，ds表示曲线的弧长元素，r'(t)表示曲线的导数。
2. 第二类曲线积分第二类曲线积分是对曲线上的向量场进行积分，计算的是向量场沿曲线方向的积分值。
设曲线为C，向量场为F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j，曲线C的参数方程为x(t), y(t)，参数范围为[a, b]，则第二类曲线积分的计算公式为：∮C F(x,y) · dr =∫[a,b] [P(x(t),y(t)) x'(t) + Q(x(t),y(t)) y'(t)] dt其中，·表示向量的点乘运算，dr表示曲线的切向量元素，x'(t)和y'(t)表示曲线参数方程的导数。
二、曲线积分的应用曲线积分在物理和工程领域有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 力学曲线积分可以用于计算物体在曲线路径上所受的力的功。
通过计算曲线上的力和位移的点积，可以求得沿曲线路径所做的功。
2. 电磁学在电磁学中，曲线积分可以用于计算沿闭合曲线的电场强度和磁场的环流。
根据所给的电场和磁场，可以计算出闭合曲线上的电场通量和磁场强度的环积分。
3. 流体力学曲线积分在流体力学中也有广泛应用。
第一类曲线积分的计算
第一类曲线积分的计算第一类曲线积分是指对于一条空间曲线上的标量函数$f(x,y,z)$的积分。
通常情况下，计算第一类曲线积分可以分为参数化和积分两个步骤。
首先，我们需要用参数化的方式将曲线表示出来。
设曲线为$C$，则$C$可以用参数方程$\vec{r}(t)=(x(t), y(t), z(t))$来表示，其中$t$为曲线上的参数。
有了曲线的参数方程，我们可以得到曲线的切向量$\vec{T}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\fr ac{dz}{dt})$和曲线的长度$dS=|\vec{T}(t)|dt$。
然后，我们可以对函数$f(x,y,z)$在曲线$C$上进行积分，即：$$\int_Cf(x,y,z)ds=\int_{t_0}^{t_1}f(x(t),y(t),z(t))|\vec{T}(t)|dt$$其中$t_0$和$t_1$为曲线的参数范围。
如果曲线参数化时是按照弧长进行的，则有$dS=dt$，积分式可以简化为：$$\int_Cf(x,y,z)ds=\int_{t_0}^{t_1}f(x(t),y(t),z(t))dt$$接下来，我们来看一个计算第一类曲线积分的例子。
例：计算函数$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$在曲线$C$：$x=\cos t$, $y=\sin t$, $z=2t$，$0\leq t \leq \pi$上的积分。
解：首先，我们需要将曲线$C$进行参数化。
由于$x=\cos t$, $y=\sin t$, $z=2t$，所以可得：$$\vec{r}(t)=(\cos t, \sin t, 2t)$$其中$0\leq t \leq \pi$。
其切向量为：$$\vec{T}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=(-\sin t, \cos t, 2)$$其长度为：$$|\vec{T}(t)|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+2^2}= \sqrt{6}$$因此，积分式为：$$\begin{aligned} \int_C f(x,y,z)ds & = \int_{t_0}^{t_1}f(x(t),y(t),z(t))|\vec{T}(t)|dt \\ & = \int_0^\pi (\cos^2 t + \sin^2 t + (2t)^2)\sqrt{6} dt\\ & = \int_0^\pi (4t^2 + 1)\sqrt{6} dt\\ & =\sqrt{6}\int_0^\pi 4t^2 dt + \sqrt{6}\int_0^\pi dt\\ & =\sqrt{6}(\frac{4}{3}\pi^3 + \pi) \approx 68.2525 \end{aligned}$$因此，函数$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$在曲线$C$：$x=\cos t$,$y=\sin t$, $z=2t$，$0\leq t \leq \pi$上的积分为约为$68.2525$。
第一类曲线积分计算公式
第一类曲线积分计算公式曲线积分是微积分学中的重要概念之一，在物理学、工程学、统计学等方面有着广泛的应用。
曲线积分又分为第一类曲线积分和第二类曲线积分，本文将为大家介绍第一类曲线积分的计算公式以及其在实际应用中的具体运用。
第一类曲线积分是指对于参数曲线C，取定其上的一个向量场F，对其在曲线C上的积分。
第一类曲线积分的计算公式为：∫CF·dr=∫abF(x(t),y(t))·r'(t)dt其中，a和b为曲线C的参数范围，x(t)和y(t)为曲线C上点的参数方程，r(t)为C上对应点的位置向量，r'(t)为其对应点在曲线上的切向量，F(x,y)为一个二元向量函数。
需要注意的是，由于不同的参数方程对应的切向量r'(t)不同，因此在实际应用中可能需要通过对曲线进行参数化来确定正确的积分范围和积分方向。
第一类曲线积分在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以用来计算电场或磁场在曲线上的沿程积分；在工程学中，它可以用来计算流体在曲线上的流量或者力对物体的作用积分等等。
因此，掌握第一类曲线积分的计算公式以及其在实际应用中的具体运用是非常重要的。
除了以上所介绍的第一类曲线积分，还有第二类曲线积分。
第二类曲线积分是指对参数曲线C，取定其上的标量函数f(x,y)和向量函数F(x,y)，对其在曲线C上的积分。
第二类曲线积分的计算公式为：∫CF·ds=∫abF(x(t),y(t))·r'(t)ds其中，ds表示曲线C上的线元素。
第二类曲线积分在实际应用中同样具有广泛的应用，例如在工程学中可以用来计算物体在曲线上的质心；在物理学中可以用来计算质点或者非定常电荷在曲线上的沿程积分。
总之，曲线积分在各个学科中都有着重要的应用，而第一类曲线积分的计算公式对于理解曲线积分的本质以及在实际运用中的具体应用都至关重要。
因此，我们建议大家认真学习并掌握这方面的知识，为以后的学习和工作打下坚实的基础。
6.4第一型曲线积分的计算
例 5（ 1） 设 L : x + y = 4， 则
2 2
∫
L
x3 1 3 ds ＝ 2 2 ∫L x ds＝0 x + y 4
x2 y2 （ 2） 设 L : + = 1， 其 周 长 为 a , 2 4
2 2
x2 y2 则 ∫ （ xy + 2 x + y ) ds ＝4 ( + )ds a L ∫L 2 4 ＝4
∫
L
f (x, y)ds = ∫ f (x, y(x)) 1+ y′ (x)dx
2 a
b
x = x(t ) ( 2) 若曲线L的方程为 ,α ≤ t ≤ β , 则 y = y (t )
∫
∫
L
f (x, y)ds =
L
∫
β
(3) 若曲线 L由极坐标方程 ρ = ρ (ϕ )(α ≤ ϕ ≤ β ） 给出, 则
π
0
∫ xds = ∫
L
R cos θ d θ = R sin θ
2 2
π
0
=0
例2
∫ ( x + y ) ds , L : 连接三点 O (0,0), A(1,0), B (0,1)的折线 .
L
y = 解 OA : 0 ≤ y = AB : 0 ≤ x = OB : 0 ≤
当f (x, y) ≥ 0 时, ∫ f (x, y) ds 表示以 L 为准线,
L
母线平行于z轴,高为z = f (x, y)的柱面面积。
例 6 求圆柱面x + y = 1位于平面z = 0上方与z = y 下方那部分的侧面积A.
2 2
解： : x 2 + y 2 = 1 , y ≥ 0 L
第一类曲线积分的三种计算方式
第一类曲线积分的三种计算方式1.参数方程法参数方程法是最常用的计算第一类曲线积分的方法之一、它利用参数方程将曲线分成若干小段，然后计算每一小段上的积分，最后将所有小段上的积分相加得到整个曲线上的积分值。
具体步骤如下：1.将曲线的参数方程表示为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中t的取值范围为[a,b]。
2.求出曲线的切线向量T(t)和曲率向量K(t)。
3.将向量场F(x,y,z)表示为F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k。
4. 计算曲线段的长度ds=sqrt(dx^2+dy^2+dz^2)，其中dx=f'(t)dt，dy=g'(t)dt，dz=h'(t)dt。
5.将向量场在曲线上的投影F·T计算出来。
6. 将F·T乘以ds，再积分得到曲线上的积分。
参数方程法的优点是适用于任意形状的曲线，缺点是当曲线的参数方程比较复杂时，计算较为繁琐。
2.向量场法向量场法是计算第一类曲线积分的另一种常见方法。
它直接利用向量场在曲线上的投影与曲线段的长度相乘然后积分，而无需转化为参数方程。
具体步骤如下：1.将向量场F(x,y,z)表示为F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k。
2.将曲线表示为r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k，其中t的取值范围为[a,b]。
3. 计算向量场在曲线上的投影F·dr，其中dr=dx i+dy j+dz k，dx=x'(t)dt，dy=y'(t)dt，dz=z'(t)dt。
4. 将F·dr积分得到曲线上的积分。
向量场法的优点是计算较为简单直接，而无需转化为参数方程，缺点是不适用于复杂的曲线形状。
3.微积分基本定理法微积分基本定理法是计算第一类曲线积分的另一个重要方法。
它利用微积分基本定理将曲线积分转化为定积分，从而简化计算过程。
第一类曲线积分计算方法例题
第一类曲线积分计算方法例题曲线积分是数学分析中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
曲线积分可以分为两类，第一类是沿曲线的积分，第二类是围绕曲线的积分。
对于第一类曲线积分，我们可以通过参数方程的方法来计算。
下面我们来看一个具体的例题：考虑曲线C：C: x = t^3, y = t^2, z = t, 0 ≤ t ≤ 1我们要计算函数f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2沿曲线C的积分。
首先，我们需要求出曲线C的切向量。
曲线C的参数方程为x = t^3, y = t^2, z = t，所以曲线的切向量为：r'(t) = (3t^2, 2t, 1)接下来，我们计算函数f(x, y, z)在曲线C上的值：f(x(t), y(t), z(t)) = (t^3)^2 + (t^2)^2 + (t)^2 = t^6 + t^4 + t^2然后，我们计算曲线C的长度。
根据参数方程，曲线C的长度为：∫(0到1) √( (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 + (dz/dt)^2 ) dt= ∫(0到1) √( (3t^2)^2 + (2t)^2 + 1^2 ) dt= ∫(0到1) √( 9t^4 + 4t^2 + 1 ) dt最后，我们将函数f(x, y, z)在曲线C上的值乘以曲线C的长度，得到曲线积分的结果：∫(0到1) ( t^6 + t^4 + t^2 ) √( 9t^4 + 4t^2 + 1 ) dt通过数值计算，可以得到最终的结果。
这个例题展示了第一类曲线积分的计算方法。
通过求出曲线的切向量和计算函数在曲线上的值，我们可以得到曲线积分的表达式。
然后，通过对曲线的参数进行积分，我们可以求得曲线积分的结果。
这个过程需要一定的数学技巧和计算能力，但是掌握了方法后，我们可以应用到更加复杂的问题中。
§6.4第一型曲线积分的计算
故 ( x2 y2 z2 )ds 9 ds 2 9 2dt 18 .
L
L2
02
例 4．设 L 为椭圆 x2 y2 1 ，其周长为 a， 43
求 (3x 2 4 y 2 2xy)ds 的值. L
解：∵ x2 y2 1 ，∴ 3 x2 4 y2 12 ， 43
∴ (3x 2 4 y 2 2xy)ds （代入L的方程） L
L
x2 y2 z2 9 与平面x z1 的交线. 2
解： L
：x2 y2Biblioteka x z1z29 2
(x 1)2 2
2 z1 x.
y2 4
1,
其参数方程为：
x 1 2cost, 2
y 2sint,
z
1 2
2 cos t .
(0t 2 ) ，
ds ( 2 sint)2 (2cos t)2 ( 2 sint)2 dt 2dt,
ds 1 y2 (x)dx R dx
R2 x2
R xR
xds
dx 0
L
R R2 x2
(法二)
:
L
:
x
y
R R
cos s in
,0
ds R 2 sin 2 R 2 cos2 d
xds R 2 cosd R 2 sin 0
L
0
0
例 2 L (x y)ds, L : 连接三点O(0,0), A(1,0), B(0,1)的折线.
而平面 x y z0 通过原点，
∴ L 为平面 x y z 0 上半径为 R 的圆，其周长为 2R .
∵曲线 L 的 方程对 x，y，z 具有轮换对称性，
∴ zds xds yds 1 ( x y z)ds 0 ，
曲线积分曲面积分公式总结
曲线积分曲面积分公式总结曲线积分是在曲线上计算函数的积分，通常用来计算沿曲线的弧长、质量、电流等物理量。
曲线积分的公式为：1.第一类曲线积分：设曲线为C，参数方程为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，函数为f(x, y, z)，则第一类曲线积分的公式为：∫[C] f(x, y, z) ds = ∫[a,b] f(r(t)) ||r'(t)|| dt其中，ds表示弧长元素，||r'(t)||表示曲线的切向量的模。
2.第二类曲线积分：设曲线为C，参数方程为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，向量场为F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，则第二类曲线积分的公式为：∫[C] F(x, y, z) · dr = ∫[a,b] F(r(t)) · r'(t) dt其中，·表示向量的点乘，dr表示位移向量，r'(t)表示曲线的切向量。
曲面积分是在曲面上计算函数的积分，通常用来计算流量、电通量等物理量。
曲面积分的公式为：1.第一类曲面积分：设曲面为S，参数方程为r(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))，函数为f(x, y, z)，则第一类曲面积分的公式为：∬[S] f(x, y, z) dS = ∬[D] f(r(u, v)) ||ru × rv|| du dv其中，dS表示面积元素，||ru × rv||表示曲面的法向量的模。
2.第二类曲面积分：设曲面为S，参数方程为r(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))，向量场为F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，则第二类曲面积分的公式为：∬[S] F(x, y, z) · dS = ∬[D] F(r(u, v)) · (ru × rv)du dv其中，·表示向量的点乘，dS表示面积元素，ru和rv分别表示曲面参数u和v方向的偏导数。
第一型曲线积分计算公式
第一型曲线积分计算公式：第一型曲线积分也称为路径积分或弧长积分，用于计算向量场沿着曲线的积分。
其计算公式如下：∫C F · dr其中，C 是曲线，F 是向量场，dr 是曲线上的微元弧长向量。
以下是两个实例：实例1：考虑曲线C，由参数方程r(t) = (cos(t), sin(t))，其中0 ≤ t ≤ π/2。
向量场F(x, y) = (x, y)。
我们可以首先计算曲线的切向量r'(t) = (-sin(t), cos(t))。
然后计算F · dr：F · dr= (x, y) · (dx, dy) = (x, y) · (dx/dt, dy/dt) dt [使用链式法则将dr 转换为dt] = (cos(t), sin(t)) · (-sin(t), cos(t)) dt = -sin(t)cos(t) + sin(t)cos(t) dt = 0由于F · dr = 0，因此该曲线上的第一型曲线积分为0。
实例2：考虑曲线C，由参数方程r(t) = (t, t^2)，其中0 ≤ t ≤ 1。
向量场F(x, y) = (y, x)。
首先计算曲线的切向量r'(t) = (1, 2t)。
然后计算F · dr：F · dr = (y, x) · (dx, dy) = (y, x) · (dx/dt, dy/dt) dt = (t^2, t) · (1, 2t) dt = t^2 + 2t^2 dt = 3t^2 dt要计算第一型曲线积分，我们需要将积分限从参数t 转换为实际的曲线长度。
曲线长度由下式给出：s = ∫[a, b] ||r'(t)|| dt计算曲线长度：s = ∫[0, 1] ||r'(t)|| dt = ∫[0, 1] ||(1, 2t)|| dt = ∫[0, 1] sqrt(1^2 + (2t)^2) dt = ∫[0, 1] sqrt(1 + 4t^2) dt = ∫[0, 1] sqrt(4t^2 + 1) dt现在我们可以计算第一型曲线积分：∫C F · dr = ∫[0, 1] 3t^2 dt = 3∫[0, 1] t^2 dt = 3[t^3/3] [0, 1] = 1因此，该曲线上的第一型曲线积分为1。
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第一类曲线积分的计算
第一类曲线积分的计算
1、定义
定义1 ：设L 为平面上可求长度的曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数．对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段)n ,,2,1i (L i ，i L 的弧长记为i s ，分割T 的细度为i n
i 1s max T ，在i L 上任取一点
(i ,).n ,,2,1i )(i 若存在极限J s ),(f lim i i n
1
i i 0T
且J 的值与分割T 及点),(i i 的取法无关，则称此极限为)y ,x (f 在L 上的第一型曲线积分，记作 .ds )y ,x (f L （1） 定义2： 若L 为空间可求长曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数，则可类似地定义)z ,y ,x (f 在空间曲线L 上的第一型曲线积分为
J s ),,(f lim i i i n
1
i i 0T ，(此处i s 为i L 的弧长,i n i 1s max T ,
J 为一常
数),并且记作 L .ds )z ,y ,x (f （2） 2、物理意义
（1）设某物体的密度函数f （P ）是定义在 上的连续函数．当 是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量。
现在研究当 是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对 作分割,把 分成n 个可求长度的小曲线段i （i=1，2，…，n)，并在每一个i 上任取一点P i
由于f （P ）为 上的连续函数,故当i 的弧长都很小时，每一小段i 的质量可近似地等于f （P i
）
i ,其中 i 为小曲线段i 的长度.于是在整个 上的质量就近似地等于和
式
i n
1
i i )P (f 当对 的分割越来越细密时,上述和式的极限就应是该物体的质量。
（2）空间曲线L 的重心坐标为
(,,)(,,)yz L
L
x x y z dl
M x M
x y z dl
,
(,,)(,,)zx L
L
y x y z dl
M y M
x y z dl
,
(,,)(,,)xy L
L
z x y z dl
M z M
x y z dl
（3） 曲线L 的绕z 轴(x, y 轴)的转动惯量是
22()(,,)z L
J x y x y z dl
3、几何意义
1） 当被积函数为1时, 积分的值恰为曲线的长度。
（2） 当.ds )y ,x (f ,0)y ,x (f L 表示以L 为准线，以平行于z 轴的线为母线的曲柱面的面积。
4、 性质
第一型曲线积分具有下述一些重要性质:
（1）若 k ,,2,1i ds y ,x f L i 存在， k ,,2,1i c i 为常数，则
ds y ,x f c i L k 1i i 也存在，且 .ds y ,x f c ds y ,x f c L i k
1
i i i L k 1i i （2）若曲线段L 由曲线k 21L ,,L ,L 首尾相接而成，且
i (ds y ,x f i L )k ,,2,1 都存在，则 ds y ,x f L 也存在，且 ds y ,x f ds y ,x f k
1
i L L I 。
（3）若 ds y ,x f L 与 ds y ,x g L 都存在，且在L 上 ,y ,x g y ,x f 则
ds y ,x g ds y ,x f L L 。
（4）若 ds y ,x f L 存在，则 .ds y ,x f L 也存在，且 ds y ,x f ds y ,x f L L 。
（5）若 ds y ,x f L 存在，L 的弧长为s ，则存在常数c,使得 ,cs ds y ,x f L 这里 y ,x f sup c y ,x f inf L
L。
5、 第一型曲线积分的计算 定理1 设有光滑曲线 L ： ,,t ,
t y ,
t x
函数 y ,x f 为定义在L 上的连
续函数，则 .dt t t t ,t f ds y ,x f 2'2'L
（3） 定理2 当曲线L 由方程 b ,a x ,x y 给出，且 x 在 b ,a 上有连续导函数
时， dx x 1x ,x f ds y ,x f 2'b a
L (5) 定理3 当曲线L 由方程 d ,c y ,y x 给出，且 y 在 d ,c 上有连续导函数
时, L d c
2'.dy y 1y ,y f ds y ,x f (6) 定理4 设函数)y ,x (f 在光滑曲线上有定义且连续，曲线的方程为
0x x t y y t t t T z z t
则
222
,,,,'''T
l
t f x y z ds f x t y t z t x t y t z t dt。
定理5 设函数)y ,x (f 在光滑曲线上有定义且连续，曲线的方程为
12(,,)0(,,)0
x y z x y z
则可化为以x 为参数的参数方程。
然后化为定理4的形式。
22
,,,,1''T
l
t f x y z ds f x y x z x y x z x dx。
定理6 设函数)y ,x (f 在光滑曲线上有定义且连续，曲线的的方程为
12(,)(,)z g x y z g x y
则在一定的条件下可化为以z 为参数的参数方程，再化为定理4的形式。
22
,,,,''1T
l
t f x y z ds f x z y z z z x z y z dz。
历年真题
1、计算 L 2ds x ，其中L 为球面2222a z y x 被平面0z y x 所截得的圆周。
【解析】
由对称性知 L
L
22L
2ds z ds y ds x
所以.a 32ds 3a ds )z y x (31ds x 3L 2L 2
22L
2
2、求 L
ds )zx yz xy (，其中L 是球面2222a z y x 与平面0
z y x 的交线。
【解析】
L
ds )zx yz xy (
L
ds )zx yz xy (221
L
2
222ds )]z y x ()z y x [(21 L
2
22ds )z y x (21
L 32a ds 2a 3、已知曲线2x 0(x y :L 2 ，则 L xds
(2009，数一，4
分)
【解析】
6
13)x 41(d x 4181dx x 41x xds 2202202L 4、已知曲线2x 1y :L ，则曲线积分 L 22ds )y x (
(1989，数一，3
分)
【解析】
将积分曲线方程2
x 1y 即)0y (1y x 22 代入被积函数，
得
L L 2
2ds 1ds )y x (
5、设L 为椭圆13
y 4x 2
2 ，其周长为a ，则 L 22ds )y 4x 3xy 2( (1998，数一，3
分)
【解析】
将积分曲线方程13
y 4x 2
2 即12y 4x 322 代入被积函数，得 a 12ds 12ds )y 4x 3(L L 2
2
由于L
关于x 轴对称，函数xy 2关于变量y 为奇函数，
所以0xyds 2L
所以a 12ds )y 4x 3xy 2(L 22。