不等式中恒成立问题的解法专题

不等式中恒成立问题的解法专题
在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。

恒成立问题的基本类型：
类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。

类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f （
1
）
当
>a 时，
]
,[0)(βα∈>x x f 在上恒成立
⎪⎩⎪⎨⎧>>-
⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0
)(2020)(2βββαααf a
b
a b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩
⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f
（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨
⎧>>⇔0
)(0
)(βαf f
],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-
⇔0
)(2020)(2βββαααf a b
a
b f a b 或或 类型3：
αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。

类型4：
)
()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确
选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。

一、用一次函数的性质
对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：
⎩⎨
⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0
)(0
)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立
例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。

解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：
0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，
0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0
)12()1(20
)12()1(22
2
x x x x ，所以x 的范围是)2
3
1,271(
++-∈x 。

二、利用一元二次函数的判别式
对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有： （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a
例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。

解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数
m ，所以要讨论m-1是否是0。

（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；
（2）01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0
)1(8)1(0
12
m m m ，所以，)9,1[∈m 。

三、利用函数的最值（或值域）
（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(；
（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。

简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。

由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。

例3：在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )2
4
(
sin sin 4)(2<-++
=m B f B B
B B f 且π
恒成立，求实数m 的范围。

解析：由
]1,0(sin ,0,1sin 22cos )2
4
(
sin sin 4)(2∈∴<<+=++
=B B B B B
B B f ππ
，
]3,1()(∈B f ，2|)(|<-m B f 恒成立，2)(2<-<-∴m B f ，即⎩
⎨
⎧+<->2)(2
)(B f m B f m 恒成立，]3,1(∈∴m
例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。

解析：由于函]4
3,4[4),4sin(2cos sin π
πππ
-∈--
=->x x x x a ，显然函数有最大
值2，2>
∴a 。

如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式)2
,0(4,cos sin π
π
∈-
->x x x a 恒成立的实数a 的范围。

解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得x x y cos sin -=的最大值取不到2，即a 取2也满足条件，所以2≥
a 。

所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数
a 的取值。

利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。

四：数形结合法
对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。

例5：已知恒成立有时当2
1)(,)1,1(,)(,1,02<-∈-=≠>x f x a x x f a a x
，求实数a
的取值范围。

解析：由x
x a x a x x f <-<-=2
121)(22，得，在同一直角坐标系中做出两个函数
的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由122
2
1
)1(211-=--=-
a a 及得到a 分别等于2和0.5，并作出函数x
x y y )2
1(2==及的图象，所以，要想使函数
x a x <-
2
1
2在区间)1,1(-∈x 中恒成立，只须x y 2=在区间)1,1(-∈x 对应的图象在2
1
2-=x y 在区间)1,1(-∈x 对应图象的上面即可。

当2,1≤>a a 只有时才能保证，而
2
110≥
<<a a 时，只有才可以，所以]2,1()1,21
[ ∈a 。

由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。

利用函数
图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。

例6：若当P(m,n)为圆1)1(2
2
=-+y x 上任意一点时，不等式0≥++c n m 恒成立，则c 的取值范围是（ ） A 、1221-≤
≤--c B 、1212+≤≤-c
C 、12--≤c
D 、12-≥
c
解析：由0≥++c n m ，可以看作是点P(m,n)在直线0=++c y x 的右侧，而点P(m,n)在圆1)1(2
2
=-+y x 上，实质相当于是1)1(2
2
=-+y x 在直线的右侧并与它相离或相
切。

1211
1|10|0102
2-≥∴⎪⎩⎪
⎨⎧≥+++>++∴c c c ，故选D 。

其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。

以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。

其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。

下面，给出一些练习题，供同学们练习。

练习题：1、对任意实数x ，不等式),,(0cos sin R c b a c x b x a ∈>++恒成立的充要条件是_______。

][22b a c +>
2、设]1,(7
932lg
lg -∞++=在a y x x x 上有意义，求实数a 的取值范围.),95
[+∞。

3、当1||)3,31(<∈x Log x a 时，
恒成立，则实数a 的范围是____。

)],3[]3
1,0[(+∞
4、已知不等式：
3
2)1(1211......2111+->++++++a Log n n n n a 对一切大于1的自然数n 恒成立，求实数a 的范围。

)]2
5
1,1([+∈a。