理论力学第二章
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理论力学 第2章 虚功原理
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
讨论：虚位移与真正运动时发生的实位移不同：
实位移：一定的力作用下和给定的初条件下运动实际发生的 虚位移：在约束容许的条件下可能发生的
实位移：具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值虚 位移：微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向 实位移：在一定的时间内发生的
广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x, y,
z, s 等）也可以取角位移（如 , , , 等）。
在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。
2.2 自由度和广义坐标
问题: 确定系统的自由度和广义坐标
例1：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：
xA r cos , yA r sin xB r cos l 2 r 2 sin2 , yB 0
• 什么是虚位移 • 什么是虚功 • 什么是虚功原理的适用条件
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
一、实位移和虚位移
（ real displacement ）
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
（ virtual displacement ）
（ 补充）
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
2、光滑铰链
WN N r 0
W N N r N 'r 0
FA'
Foy O
ArA FA
B rB
Fox
FN
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
理想约束的典型例子： 3、无重刚杆 4、不可伸长的柔索 5、刚体在粗糙面上的纯滚动
WN (N F )rC 0
2.3 虚功原理 达朗贝尔原理
理论力学第二章
第2章 力系的等效与简化2－1试求图示中力F 对O 点的矩。
解：（a ）l F F M F M F M M y O y O x O O ⋅==+=αsin )()()()(F （b ）l F M O ⋅=αsin )(F（c ）)(sin cos )()()(312l l Fl F F M F M M y O x O O +--=+=ααF （d ）2221sin )()()()(l l F F M F M F M M y O y O x O O +==+=αF2－2 图示正方体的边长a =0.5m ，其上作用的力F =100N ，求力F 对O 点的矩及对x 轴的力矩。
解：)(2)()(j i k i Fr F M +-⨯+=⨯=Fa A O m kN )(36.35)(2⋅+--=+--=k j i k j i Fam kN 36.35)(⋅-=F x M2－3 曲拐手柄如图所示，已知作用于手柄上的力F =100N ，AB =100mm ，BC =400mm ，CD =200mm ，α = 30°。
试求力F 对x 、y 、z 轴之矩。
解：)cos cos sin (sin )4.03.0()(2k j i k j F r F M αααα--⨯-=⨯=F D Ak j i αααα22sin 30sin 40)sin 4.03.0(cos 100--+-=力F 对x 、y 、z 轴之矩为：m N 3.43)2.03.0(350)sin 4.03.0(cos 100)(⋅-=+-=+-=ααF x M m N 10sin 40)(2⋅-=-=αF y Mm N 5.7sin 30)(2⋅-=-=αF z M2—4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB =a ，在平面ABED 内沿对角线AE 有一个力F ， 图中θ =30°，试求此力对各坐标轴之矩。
习题2-1图A r A习题2-2图（a ）习题2-3图(a)ABr 解：)sin 45sin cos 45cos cos ()(k j i i F r F M θθθ+︒+︒-⨯=⨯=F a A O )45sin cos sin (k j ︒+-=θθaF 力F 对x 、y 、z 轴之矩为：0)(=F x M230sin )(aF aF M y -=︒-==F Fa aF M z 4645sin 30cos )(=︒︒=F2－5 如图所示，试求力F 对A 点之矩及对x 、y 、z 轴之矩。
理论力学第二章.
(a)
(b) 图2.1 力多边形
(c)
3
从图2—1b可见，在合成该平面汇交力的合力时，也可不必将中间力矢量
FR1 、 FR 2 一一求出。只需从力 F1 的终点B作出与力 F2 相等的矢量 BC ，再从
BC 的终点C作出一个与力 F3相等的矢量 CD ，最后从CD 的终点D作出一个与 F4 力相等的矢量力相等的矢量 DE 。连接 F1 的始点A与最后一个矢量的终点
FR F1 F2 Fn Fi
（2-1）
三、平面汇交力学平衡的几何条件
当力多边形自行闭合，即合力 FR 0，于是平面汇交力系平衡；反之，若平面汇 交力系平衡，即合力 FR 0。所以，平面汇交力系平衡的充分必要条件是：力多边形 自行闭合，或平面汇交力系的合力等于0，即
例2.1 AC和BC两杆用铰链C连接，两杆的另一端分别铰支在墙上，如 图2-2(a)示。在点C悬挂重10kN的物体，已知AB=AC=2m,BC=1m,如杆重 不计，求两杆所受的力。 解（1）取销钉C为研究对象； （2）画销钉C的受力图，如图2-2（b)示； （3）作封闭力三角形，如图2-2(c)示。 由于封闭的力三角形与三角形ABC相似，故
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于 23.1kN。
此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
例2-3 已知： AC CB, F 10 kN ,各杆自重不计； 求：CD 杆及铰链 A 的受力.
解：CD 为二力杆，取 AB杆，画受力图. 用几何法，画封闭力三角形.
求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
解： ①选碾子为研究对象 ②取分离体画受力图
理论力学第二章
得 h 2l 3
Ph
l
q dx x
0
l
0
x2 l
q dx
§2-4 平面力偶理论
一.力偶和力偶矩 1.力偶
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组
成的力系称为力偶，记作 F, F
2.力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂 两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向 力偶矩
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的 大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时 针转向时为正，反之为负.常用单位N·m或kN·m
二、合力矩定理 平面汇交力系
MO FR MO Fi
该结论适用于任何合力存在的力系
三、力矩与合力矩的解析表达式
MO F MO Fy MO Fx
求： 光滑螺柱AB所受水平力. 解：由力偶只能由力偶平衡的性 质，其受力图为
M 0
FAl M1 M2 M3 0
解得
FA
FB
M1 M2 l
M3
200N
例2-10 已知 M 2kN m,OA r 0.5m,θ 30 ;
1
求：平衡时的 M 2及铰链O，B处的约束力. 解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.
例2-1
已知： P=20kN，R=0.6m， h=0.08m 求：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？？
解： 1.取碾子，画受力图. 用几何法，按比例画封闭力四边形
Ph
l
q dx x
0
l
0
x2 l
q dx
§2-4 平面力偶理论
一.力偶和力偶矩 1.力偶
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组
成的力系称为力偶，记作 F, F
2.力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂 两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向 力偶矩
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的 大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时 针转向时为正，反之为负.常用单位N·m或kN·m
二、合力矩定理 平面汇交力系
MO FR MO Fi
该结论适用于任何合力存在的力系
三、力矩与合力矩的解析表达式
MO F MO Fy MO Fx
求： 光滑螺柱AB所受水平力. 解：由力偶只能由力偶平衡的性 质，其受力图为
M 0
FAl M1 M2 M3 0
解得
FA
FB
M1 M2 l
M3
200N
例2-10 已知 M 2kN m,OA r 0.5m,θ 30 ;
1
求：平衡时的 M 2及铰链O，B处的约束力. 解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.
例2-1
已知： P=20kN，R=0.6m， h=0.08m 求：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？？
解： 1.取碾子，画受力图. 用几何法，按比例画封闭力四边形
理论力学第二章
cos T1 T2 P 2P 1 2
(1)
(2)
0
60
T2
T1 α
由(2)式解得：
N D Q - T2 sin
Q
Q 2 P sin 60
0
Q
3P
ND
END
(b)
[习题2-1] B
600
A
SAB SAC
A
B SAB
300
W (a)
W
200 700
C
∑X=0：
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 一、合成的几何法 1. 两个共点力的合成 公理3：作如右图所示。
A
F1
R α φ
F2
也可用力的三角形法则来作， 如右下图所示R ： 合力R大小和方向可直接由图上
按比例尺寸量取，此法叫图解法。
除了上面介绍的图解法之外，也可用三角函数来计算 合力R的大小和方向: 由余弦定理求合力R的大小：
C
解: 2)用解析法求解
a. 取AC杆为分离体: b.画其受力图:
600
(二力体)
c.选择坐标系:
(1)
B y A RA
W = 5kN (三力体)
d.列平衡方程: ΣX=0: SBC = RA
ΣY=0: SBC· sin30o+RA· sin30o= W C x 将(1)代入得: SBC = RA 0 30 = W/(2· sin30o) SBC = W = 5 kN
第一篇
静力学
Statics
第2章
平面汇交力系 与平面力偶理论
引 言
力系的概念：
平面力系 ------ ? ...... 在同一平面上。 空间力系 ------ ???
(1)
(2)
0
60
T2
T1 α
由(2)式解得：
N D Q - T2 sin
Q
Q 2 P sin 60
0
Q
3P
ND
END
(b)
[习题2-1] B
600
A
SAB SAC
A
B SAB
300
W (a)
W
200 700
C
∑X=0：
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 一、合成的几何法 1. 两个共点力的合成 公理3：作如右图所示。
A
F1
R α φ
F2
也可用力的三角形法则来作， 如右下图所示R ： 合力R大小和方向可直接由图上
按比例尺寸量取，此法叫图解法。
除了上面介绍的图解法之外，也可用三角函数来计算 合力R的大小和方向: 由余弦定理求合力R的大小：
C
解: 2)用解析法求解
a. 取AC杆为分离体: b.画其受力图:
600
(二力体)
c.选择坐标系:
(1)
B y A RA
W = 5kN (三力体)
d.列平衡方程: ΣX=0: SBC = RA
ΣY=0: SBC· sin30o+RA· sin30o= W C x 将(1)代入得: SBC = RA 0 30 = W/(2· sin30o) SBC = W = 5 kN
第一篇
静力学
Statics
第2章
平面汇交力系 与平面力偶理论
引 言
力系的概念：
平面力系 ------ ? ...... 在同一平面上。 空间力系 ------ ???
理论力学 第二章
扭矩扳手
2-3 平面力对点之矩的概念及计算
一、力对点的矩（力矩） 力对点的矩（力矩）
M O ( F ) = ± F ⋅ d ，单位N•m或KN•m 单位N KN•
→
→
① ②
是代数量。 M O ( F ) 是代数量。
M O ( F ) 正负判定： 正负判定：
→
→
M O (F ) (F
+
→ →
-
③ 当F=0或d=0时， O (F ) =0。 =0或 =0时 M =0。 点O为矩心，d为力臂。 为矩心， 为力臂。 角 形面积，或是矢量积的模。 面积，或是矢量积的模。 ④ M O (F ) = ± 2⊿AOB= r × F 2⊿AOB= 力对点0矩的大小等于2 力对点0矩的大小等于2倍三
Fx = X i , F y = Y j
F = X +Y
2 2
→
→ →
→
X cos α = F
Y cos β = F
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
区分力沿轴的分力和力在两轴上的投影： 区分力沿轴的分力和力在两轴上的投影： 力沿轴的分力和力在两轴上的投影 • 分力是矢量，投影是代 分力是矢量， 数量，二者性质不同。 数量，二者性质不同。 • 在直角坐标系中，投影 在直角坐标系中， 的大小与分力的大小相 但在斜角坐标系中， 同，但在斜角坐标系中， 二者不等。 二者不等。
∑F = 0 ix
− FBA + F cos60 − F2 cos30 = 0 1
o o
∑F =0 iy
FBC − F cos30 − F cos60 = 0 1 2
o o
F = F2 = P 1
解得： FC = 27 32kN 解得： B .
理论力学第2章平面任意力系
空载时轨道A 、 B的约束反力，并问此起重机在使用过程中有无翻
倒的危险。
解：
（1）起重机受力图如图
（2）列平衡方程 ：
MA 0:
Q
Q(6 2) RB 4 W 2 P(12 2) 0
MB 0:
Q(6 2) W 2 P(12 2) RA 4 0
6m
解方程得:
W
P
12m
RA 170 2.5P
FR' Fi Fxi Fy j
MO MO (Fi )
3. 平面任意力系的简化结果
（1）FR´= 0，Mo ≠ 0, （2）FR´ ≠ 0，Mo = 0, （3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0, （4）FR´= 0，Mo = 0,
合力偶，合力偶矩，MO MO (Fi )
合力，合力作用线通过简化中心O。
3
F2
j
F3
x
(437.6)2 (161.6)2
F1
1 1
100
Oi
1 2
466.5N
200
MO 21.44N m
y
合力及其与原点O的距离如图(c) 。 MO
x
y
d
x
O
FR FR′ 466.5N FR´
FR
O
d MO 45.96mm
(b)
(c)
FR
10
例11 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷的
M
l
l
30
B
D
° F
3l
P
q
A
21
解：T字形刚架ABD的受力如图所示。
M
l
l
Fx 0
30
B
FAx 1 • q • 3a Fcos30 0
理论力学 第二章 刚体的基本运动
0
nπ 式中n为转速 单位：转/ 分(r/min) 。 山东大学 土建与水利学院工程力学系 THEORETICAL MECHANICS 30
§ 2.2 刚体绕定轴的转动
3.角加速度
描述角速度变化的快慢程度
2
d d lim 2 t 0 t dt dt
单位：弧度/秒2 (rad/s2 ) α与同号，刚体加速转动；
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§2.4 轮系的传动比
1 n1 r2 Z2 i1,2 2 n2 r1 Z1
此结论对于锥齿轮传动和带 轮传动同样适用。 在一些复杂轮系（如变速器） 中包含有几对齿轮。可将每一对 齿轮的传动算出后，将它们连乘 起来，变为可得总的传动比。
392.8 62.5 转 2π
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
例2- 3 轮子绕O点作定轴转动，其加速度方向和轮的半径
成60度角，求轮的转动方程，以及角速度和转角之间的关系。
00, 0.
M
O
a
60
THEORETICAL MECHANICS
解 ： AB 杆 为 平 移 ， O1A 为 定 轴 转 动 。 根 据 平移的特点，在同一瞬 时，M、A两点具有相同 的速度和加速度。
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
A点作圆周运动，其运动方程为
s O1 A 3π t
ds dv vA 3π （m/s) a A t 0 dt dt
§ 2.1 刚体的平行移动
理论力学第二章汇交力系与平面力偶系
FBC= 224.23 kN 代入（3）、（4）解得
tan θ = 1.631 , θ = 58.5°
FA= 303.29 kN
y
FBC
FD
C
45°
30°
x
W2
y
FA
θB
x
45°
W1 F'BC
第二章 汇交力系与平面力偶系
§2–1 平面汇交力系的合成与平衡
投影法的符号法则： 当由平衡方程求得某一未知力的值
y
FBC
B 30°
x
FAB
FD 30° W
b
联立求解,得
FAB= －54.5kN , FBC= 74.5kN
反力FAB为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。 即杆AB实际上受拉力。
第二章 汇交力系与平面力偶系
§2–1 平面汇交力系的合成与平衡
例2–5 如图已知W1=100 kN， W2=250 kN。不计各
Fx F cos
Fy
Fy F cos
O 2、力在空间直角坐标轴上的投影：
F
Fx x
一次投影法：
Z
Fx F cos Fy F cos
F
O
y
FZ F cos
第二章 汇交力系与平面力偶系
x
★§2–2 空间汇交力系的合成与平衡 二次投影法：
已知力F 和某一平面（oxy)的夹
角为θ，又已知力F 在该平面
杆自重，A，B，C，D各点均为光滑铰链。试求平衡状
态下杆AB内力及与水平的夹角。
A
θB
D
W1
45° C
30°
W2 第二章 汇交力系与平面力偶系
§2–1 平面汇交力系的合成与平衡
理论力学第二章
rm2 h
rm
p 1 e
p mh2 k2
r p
E k 4 (e2 1)
1 e cos
2mh2
e 1 2mh2 E k4
质点的总 机械能与 轨道偏心 率的关系
e<1, 则 E<0, 则轨道为椭圆 e=1, 则 E=0, 则轨道为抛物线 e>1, 则 E>0, 则轨道为双曲线
r r2 F (r)
m
r 2 h
r
dr
d
d
dt
dr d
h r2
dr
d
h d
d
(1) r
进行变换 u 1 r
将
r h du
d hu2
代入 r r 2 F(r)
m
r
h
d 2u
d 2
h 2u 2
d 2u
d 2
mh2u
2
(
d 2u
d 2
u)
F (u)
有心运动的轨道微分方程 --- Binet （比内)公式
• 有心力的特性：
– ◆ 质点做有心运动时角动量守恒（质点所受到的力 始终沿着力心，导致其对力心的力矩始终为0）
– ◆ 质点做有心运动时，机械能守恒（有心力是保守 力，质点在保守力的作用下运动，只发生势能和动 能的相互转化，总的机械能保持恒定）
dL
M
dt
E T V
• 有心运动的运动方程
– 在平面极坐标系下面考虑有心运动，则质点的动量 矩（角动量）与极坐标平面垂直，质点运动微分方 程为：
p
mh2 p
u2
mh2 p
1 r2
§2.2 距离平方反比引力下的质点运动
•
理论力学第二章(汇交力系)
力多边形 各分力矢与合力矢构成的多边形。
2) 合力
力矢量合成的力多边形法则： 1) 各分力首尾相接，次序可变；
R 为封闭边。
z F3 FR F2 F1 x
5
2、空间汇交力系合成的几何法
r r r r r r FR = F1 + F2 + F3 + F4 = Σ Fi ,
合成为一个合力，合力的大小与方向等于 各分力的矢量和，合力的作用线过汇交点.
FR = F1 + F2 + L + Fn = ∑ Fi
向两个坐标轴投影，
FR = FRx + FRy = (∑ Fix ) + (∑ Fiy )
2 2 2
2
FR
合力方向 FRx ∑ Fix FRy cos θ = = , sin θ = = FR FR FR 合力投影定理：
∑F
FR
iy
10 合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
FDA
P
FDB=FDC=289N。
18
例 ：起重机起吊重量P = 1 kN， ABC 在 yz 平面内，求：立柱 x’ AB、绳BC，BD，BE 的拉力。 解：B点有四个未知力汇 交，故先从C点求解，
[C] 平面汇交力系 z 750
B 450 E FBE FBD 450 450 D x A y 450 F BA 450 FCB FBC 300 FCA
汇交力系的平衡条件为：力系中各力在x、y、z三个坐标 轴的每一轴上投影之代数和均为零。 14 汇交力系平衡的几何条件为：力多边形自行封闭。
汇交力系平衡条件的应用
例：园柱物置于光滑的燕尾槽内，已知：P 为 500 N,求： 接触处A、B的约束力。
2) 合力
力矢量合成的力多边形法则： 1) 各分力首尾相接，次序可变；
R 为封闭边。
z F3 FR F2 F1 x
5
2、空间汇交力系合成的几何法
r r r r r r FR = F1 + F2 + F3 + F4 = Σ Fi ,
合成为一个合力，合力的大小与方向等于 各分力的矢量和，合力的作用线过汇交点.
FR = F1 + F2 + L + Fn = ∑ Fi
向两个坐标轴投影，
FR = FRx + FRy = (∑ Fix ) + (∑ Fiy )
2 2 2
2
FR
合力方向 FRx ∑ Fix FRy cos θ = = , sin θ = = FR FR FR 合力投影定理：
∑F
FR
iy
10 合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
FDA
P
FDB=FDC=289N。
18
例 ：起重机起吊重量P = 1 kN， ABC 在 yz 平面内，求：立柱 x’ AB、绳BC，BD，BE 的拉力。 解：B点有四个未知力汇 交，故先从C点求解，
[C] 平面汇交力系 z 750
B 450 E FBE FBD 450 450 D x A y 450 F BA 450 FCB FBC 300 FCA
汇交力系的平衡条件为：力系中各力在x、y、z三个坐标 轴的每一轴上投影之代数和均为零。 14 汇交力系平衡的几何条件为：力多边形自行封闭。
汇交力系平衡条件的应用
例：园柱物置于光滑的燕尾槽内，已知：P 为 500 N,求： 接触处A、B的约束力。
理论力学 第二章
平面任意力系1第二章平面力系第二部分平面任意力系平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交于一点，又不相互平行的力系。
[例]第二章平面力系第二部分平面任意力系§2–5 力的平移定理§2–6 平面任意力系向一点简化§2–7 平面任意力系的简化结果• 合力矩定理§2–8 平面任意力系的平衡条件和平衡方程§2–9 平面平行力系的平衡方程§2–10 静定与超静定问题的概念•物体系统的平衡§2–11 平面简单桁架的内力分析平面任意力系习题课§2-5 力的平移定理力的平移定理：作用在刚体上点A的力可以平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶。
这个力偶的矩等于原来的力对新作用点B的矩。
FF[证] 力力系），力偶（力FFF''+'FFF''',,F说明：①力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力力+力偶（例断丝锥）②力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关，M=F•d③力的平移定理是力系简化的理论基础。
任意力系向一点简化汇交力系+力偶系未知力系）（已知力系）汇交力系力，F R '(主矢) ，(作用在简化中心)力偶系力偶，M O (主矩) ，(作用在该平面上)§2-6平面任意力系向一点简化大小：主矢方向：与简化中心的关系：'R F 123'R iF F F F F =+++=∑ 主矢12312 ()()()O O O O i M M M M M F M F M F =+++=++=∑主矩2222'''()()R Rx Ry x y F F F F F =+=+∑∑11tg tg xRyRx yF F F F α--==∑∑（移动效应）(与简化中心位置无关)[因主矢等于各力的矢量和]大小：主矩M O 方向：与简化中心的关系：()O O i M M F =∑（转动效应）固定端（插入端）约束在工程中常见的雨搭车刀方向规定+ —(与简化中心有关)[因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和]固定端（插入端）约束说明①认为F i 这群力在同一平面内;②将F i 向A 点简化得一力和一力偶;③F RA 方向不定可用正交分力F Ay ,F Ax 表示;④F Ay ,F Ax , M A 为固定端约束力;⑤F Ay , F Ax 限制物体平动, M A 限制转动。
理论力学-课件第2章
三、简化结果的进一步讨论 合力矩定理的证明
对平面力系向作用面内一点简化后得到的主矢和主矩做进一步分析后，
可能出现以下四种情况：
分别讨论这些情况
（1） FR 0，MO 0 （2） FR 0，MO 0 （3） FR 0，MO 0 （4） FR 0，MO 0
情况（1）FR 0，MO 0，说明该力系无主矢，而最终简化为一个力偶， 其力偶矩就等于力系的主矩。 值得指出，当力系简化为一个力偶时，主矩与简化中心的选取无关。
MO (F) Fh
其中，点O称为矩心；h称为力臂；Fh表示力使物体绕点O转动效果的大小； MO (F) 是一个代数量。
规定：使物体逆时针方向转动的力矩为正，反之为负。
根据定义
图2-3所示的力 F1 对点O的矩为
MO (F1) F1h1 F1hsin
由定义知：力对点的矩与矩心的位置有关， 同一个力对不同点的矩是不同的。因此，对力矩要指明矩心。
方程式（2-19）也完全表达了力系的平衡条件：由 M A 0 知，
该力系不能与力偶等效，只能简化为一个作用线过矩心A的合力，
或者为平衡力系；
由 M B 0 知，若该力系有合力，则合力必通过A，B连线
最后，由 Fx 0 知，若有合力，则它必垂直于x轴；而据限制条件，
A，B连线不垂直于x轴，故该力系不可能简化为一个合力，
三、简化结果的进一步讨论 合力矩定理的证明
情况（4）FR 0，MO 0 ，表明该力系对刚体总的作用效果为零。 根据牛顿惯性定律， 此时物体将处于静止或匀速直线运动状态，即物体处于平衡状态。
第四节 平面力系的平衡条件与平衡 方程式
平面力系平衡的充分和必要条件是 力系的主矢及作用面内任意一点的主矩同时为零。
理论力学 第二章 平面力系的等效简化
y
MO R'
Ox
简化结果：主矢 R ，主矩 MO 。
1. R' 0 , MO 0
2 . R' 0 , MO 0
3 . R' 0 , MO 0
4 . R' 0 , MO 0 力系平衡。
1. R' 0 , MO 0
F1 F2
AB
I
Fi
y
MO Ox
1. R ' = 0,MO≠0 简化结果
系，否则为空间平行力系。
6
五、 任意力系（一般力系） 若力系中各力的作用线既不汇交于一点，又不全部相互
平行，则该力系称为任意力系。 如各力作用线还位于同一平面内，则称为平面任意力系，
简称平面力系；否则称为空间任意力系，简称空间力系。
空 间 力 系
7
平面力系 P26.图2.6
8Байду номын сангаас
§2.２ 力的平移定理
这种合成方法叫力系向O点简化，O称为简化中心。
17
y
MO
AB
R'
主矢： R' F 'i
OI x
大小：R' R'x2 R'y2 ( Fx)2 ( Fy)2
主矢 R
方向：
arccosRx R
arccos Fx F
与简化中心位置无关.
主矩MO
大小：MO mO (Fi )
方向：方向规定
+,
为一合力偶,MO=M 与简化中心 O 无关。
20
2 R' 0 , MO 0
F1 F2
AB
I
Fi
y
R'
Ox
理论力学第2章
力作用线通过三角形的几何中心。
★力对点之矩与力对轴之矩
★力偶系
F1r1 rBA r2
F2
力 偶(couple): 大 小相等,方向相反,不 共线的两个力所组成 的力系.
F1
力偶作用面(acting plane of
F2
a couple) : 二力所在平面。
力偶臂(arm of couple):二力作用线之间的垂直距离。
■空间任意力系简化
主矢的特点： ◆ 对于给定的力系，主矢唯一； ◆ 主矢仅与各力的大小和方向有关，主矢不 涉及作用点和作用线,因而主矢是自由矢。
主矩的特点:
◆力系主矩MO与矩心( O )的位置有关；
◆ 力系主矩是定位矢,其作用点为矩心。
■空间任意力系简化
FB
MC
MD
FC
FA
ME
怎样判断不同力系的 运动效应是否相同？
M rBA F
★力偶系
MO = MO(F) + MO(F´)
= rA×F + rB× F´
= rA× F - rB× F
=( rA - rB )× F
O1
= rBA× F
？ MO1 =
其方向亦可由 右手定则确定。
★力偶系
●力偶的性质
性质一 : 力偶无合力,即主矢FR=0. 性质二 : 力偶对刚体的运动效应
FA 8.66kN
FA为正值，表明所设的 F
AB
A方向正确， 为 压 杆。
力对点的矩
■力偶系
★力对点之矩与力对轴之矩 ★力偶系
★力对点之矩与力对轴之矩
1、力对点之矩
( m o ment of a force about a
力对点之矩是力使物体绕某点转动效果的度量。
理论力学第二章
静力学的理论和方法，特别是对物体进行受力分析和画受力 图的方法是学习理论力学及后续许多课程的基础，在工程技术中也 有广泛的应用。
返回
第二章 刚体静力分析基础
第二章 刚体静力分析基础
本章介绍刚体、力、平面内力对点之矩、力偶、力系等基本概念及静力学公 理，并在介绍约束和约束反力概念的基础上，具体分析工程实际中常见的几种典 型约束的特点及其约束力的性质，着重阐述物体受力分析的方法和受力图的画法， 为学习静力学打下必要的基础。
目录
第二章 刚体静力分析基础\刚体和力的概念 分布在狭长面积上的力可看作线分布力，其集度单位为N/m或
kN/m。图示在梁AB上沿长度方向作用着向下的均匀分布力，其集 度为q=2 kN/m。
目录
第二章 刚体静力分析基础\刚体和力的概念 5.力系、平衡力系等效力系、合力的概念 作用于一个物体上的若干个力称为力系。 如果作用于物体上的力系使物体处于平衡状态，则称该力系为
目录
第二章 刚体静力分析基础\刚体和力的概念
4.集中力和分布力
作用于物体上某一点处的力称为集中 力。对于集中力，可以用一个矢量来表示 （如图）。该矢量的长度AB按一定比例尺 绘出表示力的大小；矢量的方向表示力的 方向；矢量的始端（点A）或终端（点B） 表示力的作用点；矢量AB所沿的直线（图 上的虚线）表示力的作用线。由于表示力 的矢量不仅有大小和方向还有确定的始端 （或终端），所以常称其为定位矢量。规 定用黑体字母F表示力的矢量，而用普通 字母F表示力的大小。在国际单位制(SI)中， 力的单位为牛顿(N)或千牛顿(kN)。
目录
第二章 刚体静力分析基础\刚体和力的概念 物体之间相互接触时，其接触处多数情况下并不是一个点，而
是一个面。因此，无论是施力物体还是受力物体，其接触处所受的 力都是作用在接触面上的，这种分布在一定面积上的力称为分布力。 分布力的大小用力的集度表示，例如，水对容器壁的压力是作用在 一定面积上的分布力，其大小用面积集度表示，单位为N/m2或 kN/m2。
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第二章 刚体静力分析基础
第二章 刚体静力分析基础
本章介绍刚体、力、平面内力对点之矩、力偶、力系等基本概念及静力学公 理，并在介绍约束和约束反力概念的基础上，具体分析工程实际中常见的几种典 型约束的特点及其约束力的性质，着重阐述物体受力分析的方法和受力图的画法， 为学习静力学打下必要的基础。
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第二章 刚体静力分析基础\刚体和力的概念 分布在狭长面积上的力可看作线分布力，其集度单位为N/m或
kN/m。图示在梁AB上沿长度方向作用着向下的均匀分布力，其集 度为q=2 kN/m。
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第二章 刚体静力分析基础\刚体和力的概念 5.力系、平衡力系等效力系、合力的概念 作用于一个物体上的若干个力称为力系。 如果作用于物体上的力系使物体处于平衡状态，则称该力系为
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第二章 刚体静力分析基础\刚体和力的概念
4.集中力和分布力
作用于物体上某一点处的力称为集中 力。对于集中力，可以用一个矢量来表示 （如图）。该矢量的长度AB按一定比例尺 绘出表示力的大小；矢量的方向表示力的 方向；矢量的始端（点A）或终端（点B） 表示力的作用点；矢量AB所沿的直线（图 上的虚线）表示力的作用线。由于表示力 的矢量不仅有大小和方向还有确定的始端 （或终端），所以常称其为定位矢量。规 定用黑体字母F表示力的矢量，而用普通 字母F表示力的大小。在国际单位制(SI)中， 力的单位为牛顿(N)或千牛顿(kN)。
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第二章 刚体静力分析基础\刚体和力的概念 物体之间相互接触时，其接触处多数情况下并不是一个点，而
是一个面。因此，无论是施力物体还是受力物体，其接触处所受的 力都是作用在接触面上的，这种分布在一定面积上的力称为分布力。 分布力的大小用力的集度表示，例如，水对容器壁的压力是作用在 一定面积上的分布力，其大小用面积集度表示，单位为N/m2或 kN/m2。
理论力学第二章
T
T1
T2
二、平面汇交力系合成的几何法
设有一个平面汇交力系 F1、F2、F3、F4作用于汇交点，如图2-1a
所示。我们可以依次地应用力三角形法则来求该平面汇交力系的
合力。即先将力 F1与 F2合成为一个力 FR1，再将力FR1与F3 合成 为一个力 FR2，最后将力FR2 与F4合成，即得该平面汇交力系的合 力 FR ，且合力的作用线通过汇交点，如图2-1b所示。
第二章 平面汇交力系和平面力偶系
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 2.3 平面力对点之矩的概念与计算 2.4 平面力偶
武汉大学出版社
1
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一.平面汇交力系的概念
平面汇交力系：各力在同一平面内，作用线交于一
点的力系。
例：起重机的挂钩。
例2-3
已知：图示平面共点力系； 求：此力系的合力.
解：用解析法
FRx
F ix
F1
cos 30
F2
cos 60
F3
cos 45
F4
cos 45
129.3N
FRy
F iy
F1
sin
30
F2
sin
60
F3
sin
45
F4
sin
45
112.3N
FR
FCA AC 1 P AB
FCB BC 1 P AB 2
图2-2
解得
FCA 10 kN, FCB 5 kN
也可给P一定比例，量出FCA和FCB的大小，如取比例尺为1cm=5kN，作
理论力学-第2章
♣ 力对点之矩
TSINGHUA UNIVERSITY TSINGHUA UNIVERSITY
力对点之矩（ 力对点之矩（moment of a force about a point）是力作用效应的度量之一。 ）是力作用效应的度量之一。 在物理学的基础上， 在物理学的基础上，考察空间任意力对某 一点之矩。这一点称为力矩中心（ 一点之矩。这一点称为力矩中心（center of moment），简称矩心。 ），简称矩心。 ），简称矩心
TSINGHUA UNIVERSITY TSINGHUA UNIVERSITY
♣ 力偶系的合成006007 力偶系的合成006007
力偶与力偶系
力偶与力偶 系
♣ 力偶系的合成
TSINGHUA UNIVERSITY TSINGHUA UNIVERSITY
力偶系及其合成
力偶系: 力偶系:由两个或两个 以上力偶组成的特殊力系
力对轴之矩的计算
方法一 : 将力向垂直于该轴的 平面投影 ,力的投影与投影至轴 力的投影与投影至轴 的垂直距离的乘积。 的垂直距离的乘积。 Mz (F) = Fxyd = 2( OAB)
力对点之矩与力对轴之矩
♣ 力对轴之矩
TSINGHUA UNIVERSITY TSINGHUA UNIVERSITY
力对点之矩与力对轴之矩
♣ 力对点之矩
力对点之矩的矢量运算
Fz F
TSINGHUA UNIVERSITY TSINGHUA UNIVERSITY
z
Fx r Fy
MO (F) = r×F = x Fx
i
j y Fy
k z Fz
= (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j+(Fyx-Fxy) k
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力对点之矩（ 力对点之矩（moment of a force about a point）是力作用效应的度量之一。 ）是力作用效应的度量之一。 在物理学的基础上， 在物理学的基础上，考察空间任意力对某 一点之矩。这一点称为力矩中心（ 一点之矩。这一点称为力矩中心（center of moment），简称矩心。 ），简称矩心。 ），简称矩心
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♣ 力偶系的合成006007 力偶系的合成006007
力偶与力偶系
力偶与力偶 系
♣ 力偶系的合成
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力偶系及其合成
力偶系: 力偶系:由两个或两个 以上力偶组成的特殊力系
力对轴之矩的计算
方法一 : 将力向垂直于该轴的 平面投影 ,力的投影与投影至轴 力的投影与投影至轴 的垂直距离的乘积。 的垂直距离的乘积。 Mz (F) = Fxyd = 2( OAB)
力对点之矩与力对轴之矩
♣ 力对轴之矩
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力对点之矩与力对轴之矩
♣ 力对点之矩
力对点之矩的矢量运算
Fz F
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z
Fx r Fy
MO (F) = r×F = x Fx
i
j y Fy
k z Fz
= (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j+(Fyx-Fxy) k
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i1 j1
ji
3、所一ri对有对内f任内ij 力力意rj对对参OfOji考的的力r点力i 矩矩Of矢ij矢，量量r质j和和点fij 系 (内ri 所rj 有) 内fij 力rij对 fOij 的0 力fij 矩i矢rir量ij 和rjj为0f。ji
n
M (i)
n
ri
fij
0
O
i1 j1
4、质点系内ji所有内力做功之和一般不为0。
§2.3 质点系的角动量定理和角动量守恒定律
一、质点系的角动量
J
n
(ri miri )
i 1
二、质点系对固定点O的角动量定理
miri
F (i)
i
F (e)
i
ri miri ri F（i i） ri Fie
ri miri ri F（i i） ri Fie
i
i
i
=0
d dt
Fi
i
drvi
Frie drvi dV
i
i
dT dV dT dV d (T V ) 0 T V E(const)
四、柯尼希定理(质点组相对于固定点的动能=?相对于质心的动能) ri rc ri '
T i 12miri 2 i 12mi (rc ri ' )2 i 12mirc2 i 12miri '2 i mirc ri '
内力：质点组内各个质点之间相互作用的力，就叫做内力 。 F (i) 外力：质点组以外的物体作用于质点组的力就叫外力。F (e)
内、外力之分是相对的。 三、质点系动力学研究方法
方法1 对质点系内每个质点建立运动微分方程，用计算机数值求解；
方法2 从整体上研究质点系存在哪些普遍规律（动量、角动量等）。
i 1
M
i 1
rc
rdm M
z rc
O
m1 m2
c
mi
ri
y
它是诸质点位置的加权平均，质量相当于权重。x
2、几点说明
(1) 分量式
n
mi xi
xc
i 1
M
n
mi yi
yc
i 1
M
n
mi zi
zc
i 1
M
连续体的质心
xdm xc M
ydm
zdm
yc M
zc M
(2) 对于质量均匀分布的连续体，其质心就是它的几何中心。
pr
mirv&i
r MvC
二、质点系的动量定理
d dt
n i1
pi
dp dt
=0
dp
F (e)
dt
质点组总动量的变化与内力无关，内力只能改变组内各 质点的运动情况而不能改变整体的动量 。
三、质心运动定理
质心的加速度
ac
rc
n miri
i 1
M
n mi ai
i 1
M
质心运动定理
f
e
iy
)
0
i
J C
Jx Cx
四、质点组对质心的角动量定理
建立随质心平动的参照系C-x’y’z’,即质心坐标系
mi
ri r'i'mFiir(ii')
Fir(ie')F（i (i）mi
rcr)'i
Fie
(ri 'mirc )
i
i
i
i
d
dt
(ri 'mi
ri ')
0
d dt
i
(ri 'miri ')
i
F (i)
i
dri '
i
(mirc ) dri ' Nhomakorabead
i
(
1 2
mi
r'i2
)
i
Fie dri '
i
F (i)
i
dri '
rc midri '
i
rc d miri ' 0
i
小结：
对固定点
dp
F (e)
dt
dJ
M (e)
dt
对质心
Mrc
F (e)
dJ '
M
A O
质量为m均质圆盘，平放在光滑的水平面上，其受力情况如图 所示，开始时，圆盘静止，且R=2r，则圆盘将如何运动？
R r
F
F R
r
F
R
r 2F
F
有关质心和内力的讨论
1、利用质心系分解质点组的运动。
根据质心运动定理易于确定质心的运动；在质心系中研究 问题可以使问题简化，因此一般把质点组的运动分解为一 质心为代表的“平动”和相对质心系的运动。
vc '
n miri '
i 1
0
M
ac
'
0
例题、求腰长为 a的等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
解：质心必位于x轴上
xc
xdm M
a/ 2
0 x2x dx
1 a2
2
y a
o
x
x dx
2a 3
例题、求夹角为的匀质扇形盘面的质心位置。
ydm
解： yc M
y R
yrdrd
因为y r cos
2、一个人在圆形水平台上沿边缘走动，此台可绕其中心的铅垂 轴转动，开始时两者都静止。试求人在平台上走完一周时的绝 对角位移（假定人和平台的重量相等）。
3、已知桌面水平光滑，起初m作半径为L的匀速圆周运动，
速率v0，重物M静止，后放手，M下落。求：下落h(h< L)时
的重物M的速度。
v0
Lm
M
§2.4 动能定理与机械能守恒律
i
ri 'Fie
(miri 'rc ) ( miri ')rc 0
i
i
dJ '
M '(e)
dt
对于一般动点，大多不成立。
例题、在一光滑的水平面上有两个质量均为m的质点连接在一根 刚性轻杆两端，杆长为L，整个体系处于静止状态。在t=0时刻， 一个大小恒定的力F作用于其中一个质点上，方向始终在该水平 面上并保持与轻杆垂直。试证明，当轻杆转过θ角度时杆的角速
Mac
n
mi ai
n
(Fi(i) Fi(e) )
i 1
i 1
n
n
n
F (i) i
F (e) i
F (e) i
i 1
i 1
i 1
M&rr&c
r F
(e)
四、质点系的动量守恒律
F(e) 0
p
C
Fx(e) 0
F (e) 0
px C
vrc rr&c cr
dp
F (e)
(3) 如果一个体系由几个部分组成，其质心位置？
CB
CA
C
mB
(4) 质心位矢、速度、加速度 对于惯性参照系O—xyz，
mA
B
A
n
rc
mi ri
i 1
M
vc
rc
n miri
i 1
M
ac
rc
n miri
i 1
M
对于质心参照系 C-x’y’z’
n
rc '
miri '
i 1
0
M
i 1
质心将按惯性运动
2、两体相对于质心的运动
(也即r1 '
,
r2
'
的变化规律)
2相对于1的位矢
由质心定义 两体相对质心的运动可以通过两体的相对运动求得。
因此当轻杆转过θ角度时杆的角速度为
2F mL
课本p92例题
例题、半径为r,质量为M的水平匀质圆盘可绕通过其圆心的铅
直轴转动。一个质量为m的甲虫，以相对圆盘速度为 v at
（ a 为常数）的规律沿圆盘的边缘爬行。开始时，两者都静止，
假设桌面光滑，试求甲虫爬行后，圆盘的角速度。
解：该系统对竖直轴r 的力矩r 为0，故角动量守恒，即 L圆盘 L甲虫 0
2、内力的作用
质点系的总动量和总角动量对时间的变化率与内力无关，但 这并非表明内力对质点系的运动没有贡献，它改变了质点组 内单个质点的动量和角动量。
3、质点系内的质点是在外力和内力的共同作用下运动的，对 质点系内的质点来说，内力与外力有等同的作用。
4、质点系内的一对对内力造成了单个质点间动量与角动量的等 量转移，内力对质点系的运动至关重要。
第二章 质点组力学
理论体系：质点→ 质点组→ 刚体
本章内容： 质点组三大定理、三大守恒律
动量定理和动量守恒律 角动量定理和角动量守恒律 动能定理和机械能守恒律 两个例子 两体运动 变质量物体的运动 ➢ 质心坐标系和实验室坐标系 ➢ 维里定理
§2.1 质点组 一、质点组：由许多质点组成的系统，叫做质点组，也称质点系。 二、内力与外力
四、学好本章的要点：
明确质点系要从整体上进行研究的思想； 理解内力对三大定理的影响； 掌握质心的概念和质点组相对质心系的运动特点。
五、质点组内力的特点
1、内力成对出现。
每对内力大小相等、方向相反，沿两质点连线方向。 fij f ji
2、质点系所有内力之和为0。
n n
F (i)
fij 0
M
R r 2dr 0
2
cosd
2
O
x
M
R3 2sin
3 2