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最全高考复习数列专题及练习答案详解

高考复习数列专题：数列(参考答案附后)第一节数列的概念与数列的简单表示一、选择题1．已知数列{}a n 对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－21 2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n3．若数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝n 2C ．a n ＝n ＋12n 2D ．a n ＝n 2n －124．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6的值是( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．195．已知数列{a n }中，a n ＝n －79n －80(n ∈N *)，则在数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别是( )A ．a 1，a 50B ．a 1，a 8C ．a 8，a 9D ．a 9，a 50二、填空题6．若数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为________；数列{}na n 中数值最小的项是第__________项．7．数列35，12，511，37，717，…的一个通项公式是___________________________．8．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__________. 三、解答题9．如果数列{}a n 的前n 项和为S n ＝32a n －3，求这个数列的通项公式．10．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N＋)在函数y ＝x 2＋1的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若列数{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2＜b 2n ＋1.参考答案1．解析：由已知a 4＝a 2＋a 2＝－12，a 8＝a 4＋a 4＝－24，a 10＝a 8＋a 2＝－30.答案：C2．解析：a 2＝a 1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋11，a 3＝a 2＋ln ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋12，…，a n ＝a n －1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1n －1⇒a n ＝a 1＋ln ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43…⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n n －1＝2＋ln n . 答案：A3．解析：由a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2得，当n ≥2时，a 1·a 2·a 3…a n －1＝(n －1)2，两式相除得a n ＝n 2n －12.答案：D4．解析：由a n ＋1＝a n ＋2＋a n ⇒a n ＋2＝a n ＋1－a n ，∴a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－5，a 6＝a 5－a 4＝－3.答案：A5．解析：a n ＝n －79n －80＝1＋80－79n －80.当n ＝8,9时，|n －80|最小．故选择C. 答案：C6．解析：数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，数列为等差数列，数列的通项公式为a n ＝S n －S n －1＝2n －11，数列{}na n 的通项公式为na n ＝2n 2－11n ，其中数值最小的项应是最靠近对称轴n ＝114的项，即n ＝3，第3项是数列{}na n 中数值最小的项．答案：a n ＝2n －11 37．a n ＝n ＋23n ＋28．解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＝a n －1＋(n －1)＋1，a n －1＝a n －2＋(n －2)＋1，a n －2＝a n －3＋(n －3)＋1，…，a 3＝a 2＋2＋1， a 2＝a 1＋1＋1，a 1＝2＝1＋1.将以上各式相加得：a n ＝[(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋n ＋1 ＝n －1[n －1＋1]2＋n ＋1＝n －1n2＋n ＋1＝n n ＋12＋1；答案：n n ＋12＋19．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝32a 1－3，∴a 1＝6.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32a n －3－32a n －1＋3.∴a na n －1＝3.依定义知数列{}a n 是以3为公比，6为首项的等比数列，∴a n ＝6×3n －1＝2×3n(n ∈N ＋)．10．解析：法一：(1)由已知得a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋1－a n ＝1，又a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，公差为1的等差数列．故a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)证明：由(1)知：a n ＝n 从而b n ＋1－b n ＝2n.b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.因为b n ·b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝(22n ＋2－2n ＋2－2n ＋1)－(22n ＋2－2－2n ＋1－1)＝－5·2n＋4·2n＝－2n＜0，所以b n ·b n ＋2＜b 2n ＋1. 法二：(1)同法一． (2)证明：因为b 2＝1，b n ·b n ＋2－b 2n ＋1＝(b n ＋1－2n )(b n ＋1＋2n ＋1)－b 2n ＋1 ＝2n ＋1·b n －1－2n ·b n ＋1－2n ·2n ＋1＝2n(b n ＋1－2n ＋1)＝2n(b n＋2n－2n＋1) ＝2n(b n－2n)＝…＝2n(b1－2)＝－2n<0，所以b n－b n＋2<b2n＋1.第二节等差数列一、选择题1．已知{a n}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0.则公差d＝( )A．－2 B．－12C.12D．22．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝6，a1＝4，则公差d＝( )A．1 B.53C．－2 D．33．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A．90 B．100 C．145 D．190 4．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是( ) A．21 B．20 C．19 D．185．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S2＝10，S5＝55，则过点P(n，a n)和Q(n＋2，a n＋2)(n∈N*)的直线的斜率是( ) A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝S3＝12，则a n＝________.7．在等差数列{a n}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________. 8．等差数列{a n}前n项和为S n.已知a m－1＋a m＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，则m＝________.三、解答题9．已知等差数列{a n}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{a n}前n项和S n.10．已知f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7，(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n}，求证：{a n}为等差数列；(2)设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{b n}，求{b n}的前n项和S n.参考答案1．解析：a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d )＝2d ＝－1⇒d ＝－12.答案：B2．解析：S 3＝6⇒3a 2＝6⇒a 2＝2，∴d ＝a 2－a 1＝－2.选C.答案：C3．解析：设公差为d ，则(1＋d )2＝1·(1＋4d )．∵d ≠0，解得d ＝2，∴S 10＝100.答案：B4．解析：由a 1＋a 3＋a 5＝105得3a 3＝105，即a 3＝35，由a 2＋a 4＋a 6＝99得3a 4＝99，即a 4＝33，∴d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)×(－2)＝41－2n ，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1＜0得n ＝20，选B.答案：B 5．A6．解析：由a 6＝S 3＝12可得{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝2，得a n ＝2n .答案：2n7．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2.∴a 6＝a 1＋5d ＝13. 答案：138．解析：由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得：2a m －a 2m ＝0， ∴a m ＝0或a m ＝2. 又S 2m －1＝2m －1a 1＋a 2m －12＝(2m －1)a m ＝38知a m ≠0.∴m ＝10. 答案：10 9．解析：设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d a 1＋6d ＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．10．解析：(1)证明：∵f (x )＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8， ∴a n ＝3n －8，∵a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列． (2)∵b n ＝|3n －8|，当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，b 1＝5.S n ＝n 5＋8－3n2＝13n －3n22.当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝5＋2＋1＋4＋…＋(3n －8)＝7＋n －21＋3n －82＝3n 2－13n ＋282.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧13n －3n22，1≤n ≤23n 2－13n ＋282，n ≥3.第三节等比数列一、选择题1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A ．2 B.73 C.83D ．32．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝ ( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)23．设x ∈R ，记不超过x 的最大整数为[x ]，令{x }＝x －[x ]，则)215(+，)215(+，215+ ( )A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列4．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝ ( )A ．64B ．81C ．128D ．2435．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 二、填空题6．等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.7．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |＞1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,81}中则6q ＝________.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．三、解答题9．等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n ，参考答案1．解析：设公比为q ，则S 6S 3＝1＋q 3S 3S 3＝1＋q 3＝3⇒q 3＝2.于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 61＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73. 答案：B2．解析：由a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)得a 2n ＝22n，a n ＞0，则a n ＝2n， log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2. 答案：C3．解析：可分别求得)215(+＝5－12，)215(+＝1，则三数成等比数列．答案：B4．解析：由a 2＋a 3＝q (a 1＋a 2)＝3q ＝6， ∴q ＝2，∴a 1(1＋q )＝3，∴a 1＝1， ∴a 7＝26＝64. 答案：A5．解析：∵等比数列{a n }中a 2＝1，∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3 ＝a 2(1＋q ＋1q )＝1＋q ＋1q.∴当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q＝3(当且仅当q＝1q即q ＝1时取“＝”)；当公比q <0时， S 3＝1－(－q －1q)≤1－2－q ·－1q＝－1，(当且仅当－q ＝－1q即q ＝－1时取等号)．∴S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D. 答案：D6．解析：由a n ＋2＋a n －1＝6a n 得：qn ＋1＋q n ＝6qn －1，即q 2＋q －6＝0，q ＞0，解得：q ＝2，又a 2＝1， ∴a 1＝12，S 4＝121－241－2＝152. 答案：1527．解析：{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，四项－24,36，－54,81成等比数列，公比为q ＝－32，6q ＝－9.答案：－98．解析：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 89．解析：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2·2n －1＝2n. (2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32. 设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8b 1＋4d ＝32解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16d ＝12，从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －282＝6n 2－22n .10．解析：(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2) 由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－12.(2)由已知可得a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－122＝3，故a 1＝4.故S n ＝4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝83⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n第四节数列通项的求法一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝a n－1(a 为不为零的实数)，则此数列 ( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或是等差数列或是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列2．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )，则数列{}a n 的通项公式a n ＝ ( )A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n 3．如果数列{a n }满足a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a na n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，则a 100＝( )A ．2100B ．299C ．25050D ．249504．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2009＝( )A ．2B ．－13C ．－32 D ．15．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝a ，a 2＝b ，记S n＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则下列结论正确的是 ( )A ．a 2008＝－a ，S 2008＝2b －aB ．a 2008＝－b ，S 2008＝2b －aC ．a 2008＝－b ，S 2008＝b －aD ．a 2008＝－a ，S 2008＝b －a 二、填空题6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则a n ＝________.7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－2a n ＝2n，则a n ＝________. 8．设函数f (x )＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a n xn －1，f (0)＝12，数列{a n }满足f (1)＝n 2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________________. 三、解答题9．设曲线y ＝x 2＋x ＋1－ln x 在x ＝1处的切线为l ，数列{a n }中，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)在切线l 上． (1)求证：数列{1＋a n }是等比数列，并求a n ； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .10．已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N .(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列： (2)求{a n }的通项公式．参考答案1．解析：n ＝1时，a 1＝S 1＝a －1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a n－1)－(an －1－1)＝a n －1(a －1)．①当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }的通项公式a n ＝0，是等差数列，但不是等比数列；②当a ≠1时，∵a ≠0，数列{a n }的通项公式a n ＝(a －1)·a n －1，是等比数列，但不是等差数列，选C. 答案：C2．解析：由a n ＝n (a n ＋1－a n )⇒(n ＋1)a n ＝na n ＋1⇒a n ＋1a n ＝n ＋1n ，∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，…，a n a n ＋1＝nn －1(n ≥2) 相乘得：a na 1＝n ，又a 1＝1，∴a n ＝n .选D.答案：D3．解析：由题设知：a 1＝1，a n a n －1＝2n －1(n ≥2)，∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1，相乘得： a n a 1＝21·22·23…2n －1＝2n n －12，a n ＝2n n －12，a 100＝24950. 答案：D4．解析：由a 1＝2，a n ＋1＝－11＋a n ⇒a 2＝－11＋2＝－13a 3＝－11－13＝－32，a 4＝－11－32＝2，a 5＝－13，a 6＝－32，…故数列{a n }具有周期性，a 3n －2＝2，a 3n －1＝－13，a 3n ＝－32.∵2009＝3×669＋2，∴a 2009＝a 2＝－13. 答案：B5．解析：由a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)⇒a 3＝a 2－a 1＝b －a ，a 4＝a 3－a 2＝b －a －b ＝－a ， a 5＝a 4－a 3＝－a －(b －a )＝－b ， a 6＝a 5－a 4＝－b －(－a )＝a －b a 7＝a 6－a 5＝a －b －(－b )＝a .故数列具有周期性，a 6n ＋1＝a 1，a 6n ＋2＝a 2，a 6n ＋3＝b －a ，a 6n ＋4＝－a ，a 6n ＋5＝－b ，a 6n ＝a －b .且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0.∵2008＝6×334＋4. ∴a 2008＝a 4＝－a ，S 2008＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2b －a .故选A. 答案：A6．解析：由a n ＋1＝a n1＋3a n ⇒1a n ＋1＝1a n＋3，又a 1＝1，∴1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，a n ＝13n －2. 答案：13n －27．解析：由a n ＋1＝2a n ＋2n⇒a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋12，又a 1＝1∴a n 2n ＝12＋(n －1)·12＝n 2，a n ＝n ·2n －1. 答案：n ·2n －18．解析：a 1＝f (0)＝12，a 1＋a 2＋…＋a n ＝f (1)＝n 2·a n当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2·a n －1两式相减得：a n ＝n 2·a n －(n －1)2·a n －1⇒a n a n －1＝n －1n ＋1.∴a 2a 1＝13，a 3a 2＝24，a 4a 3＝35，…，a n a n －1＝n －1n ＋1，相乘得：a n a 1＝1×2n n ＋1，又a 1＝12，∴a n ＝1n n ＋1.答案：1nn ＋19．解析：(1)由y ＝x 2＋x ＋1－ln x ，知x ＝1时，y ＝3. 又y ′|x ＝1＝2x ＋1－1x|x ＝1＝2，∴切线l 的方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1. ∵点(a n ，a n ＋1)在切线l 上， ∴a n ＋1＝2a n ＋1,1＋a n ＋1＝2(1＋a n )．又a 1＝1，∴数列{1＋a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴1＋a n ＝2·2n －1，即a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1) ＝2＋22＋…＋2n －n ＝2n ＋1－2－n .10．解析：(1)证明：b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项；－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －1 ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －1，当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －1＝1＝a 1，所以a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －1()n ∈N *.第五节数列的求和一、选择题1．数列{}a n 中，a 1＝－60，且a n ＋1＝a n ＋3，则这个数列的前30项的绝对值之和为 ( )A ．495B ．765C ．3105D ．120 2．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －1＋2n －1的结果是 ( ) A ．2n－2n ＋1 B ．2n ＋1－n ＋2 C ．2n ＋n －2 D ．2n ＋1－n －23．在项数为2n ＋1且中间项不为零的等差数列中，所有奇数项和与偶数项和之比为( )A.n ＋1nB.n ＋12nC.2n ＋1nD ．14．数列{}a n 的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为 ( )A ．11B ．99C ．120D ．121 5．设S n 和T n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，若对任意n ∈N ，都有S n T n ＝7n ＋14n ＋27，则数列{a n }的第11项与数列{b n }的第11项的比是 ( ) A ．4∶3 B ．3∶2 C ．7∶4 D ．78∶71二、填空题6．对于每个正整数n ，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交于两点a n 、B n ，则||a 1B 1＋||A 2B 2＋…＋||A 2010B 2010的值为______．7．一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如下图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石，则第5件工艺品所用的宝石数为________颗；第n 件工艺品所用的宝石数为________颗(结果用n 表示)．8．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝23a n －13，且1＜S k ＜9，则a 1的值为：________；k 的值为：________.三、解答题9．设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ；数列{a n }为等差数列，且a 5＝14，a 7＝20. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n ·b n ，n ＝1,2,3，…，T n 为数列{c n }的前n 项和，求证：T n ＜72.10．已知点⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，13是函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n ＞0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝ S n ＋ S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{1b n b n ＋1}前n 项和为T n ，问T n ＞10002009的最小正整数n 是多少？参考答案1．解析：数列{a n }是首项a 1＝－60，公差d ＝3的等差数列， ∴a n ＝－60＋(n －1)×3＝3n －63.当a n ≤0时，3n －63≤0⇒1≤n ≤21；当n ≥22时，a n ＞0. ∴前30项的绝对值之和S 30＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 21|＋|a 22|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋a 22＋…＋a 30＝630＋135＝765. 答案：B2．解析：由S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋1×2n －1⇒2S n ＝n ×2＋(n －1)×22＋…＋3×2n －2＋2×2n －1＋1×2n相式相减得：S n ＝2＋22＋…＋2n －1＋2n －n ＝2(2n－1)－n ＝2n ＋1－n－2.选D. 答案：D3．解析：奇数项之和S 1＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝a 1＋a 2n ＋12×(n ＋1)＝(n ＋1)a n ＋1，偶数项之和S 2＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝a 2＋a 2n2×n ＝na n ＋1∵中间项不为零，∴a n ＋1≠0即S 1S 2＝n ＋1n.选A.答案：A4．解析：由a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n 得：a 1＝2－1，a 2＝3－2，…，a n ＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n ＋1－1 令n ＋1－1＝10⇒n ＝120.选C. 答案：C5．解析：因为a n b n ＝12a 1＋a 2n －112b 1＋b 2n －1＝12a 1＋a 2n －12n －112b 1＋b 2n －12n －1＝S 2n －1T 2n －1，所以a 11b 11＝S 2×11－1T 2×11－1＝S 21T 21＝7×21＋14×21＋27＝43.故选A.答案：A6．解析：令y ＝0⇒(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0⇒ (nx －1)[(n ＋1)x －1]＝0解得x 1＝1n ，x 2＝1n ＋1，∴|A n B n |＝|x 1－x 2|＝1n －1n ＋1.∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2010B 2010|＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12010－12011 ＝1－12011＝20102011.答案：201020117．解析：设第n 件工艺品所用的宝石数为a n ，则a 1＝4×(1＋2)－3×2＝6，a 2＝4×(1＋2＋3)－3×3＝15， a 3＝4×(1＋2＋3＋4)－3×4＝28， a 4＝4×(1＋2＋3＋4＋5)－3×5＝45，a 5＝4×(1＋2＋3＋4＋5＋6)－3×6＝66.依此规律， a n ＝4×[1＋2＋3＋…＋n ＋(n ＋1)]－3×(n ＋1)＝4×n ＋2n ＋12－3(n ＋1)＝(2n ＋1)(n ＋1)．答案：66 2n 2＋3n ＋18．解析：令n ＝1，得a 1＝S 1＝23a 1－13⇒a 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.∴S n ＝23(S n －S n －1)－13⇒S n ＝－2S n －1－1，∴S n ＋13＝－2⎝⎛⎭⎪⎪⎫S n －1＋13. ∴S n ＋13＝－23×(－2)n －1，∴S n ＝－13－23×(－2)n －1＝13[(－2)n－1]由1＜S k ＜9⇒1＜13[(－2)k －1]＜9⇒3＜(－2)k－1＜27，∴k ＝4. 答案：－1 49．解析：(1)由b n ＝2－2S n ，令n ＝1，则b 1＝2－2S 1，又S 1＝b 1，所以b 1＝23.b 2＝2－2(b 1＋b 2)，则b 2＝29.当n ≥2时，由b n ＝2－2S n ，可得b n －b n －1＝－2(S n －S n －1)＝－2b n ，即b n b n －1＝13.所以{b n }是以b 1＝23为首项，13为公比的等比数列，于是b n ＝2·13n .当n ＝1时，b 1＝23也适合上式，∴b n ＝2·13n (n ∈N *)(2)证明：数列{a n }为等差数列，公差d ＝12(a 7－a 5)＝3，a 1＝2，可得a n ＝3n －1.从而c n ＝a n ·b n ＝2(3n －1)·13n .∴T n ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫23＋532＋833＋…＋3n －13n ， 13T n ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫232＋533＋…＋3n －43n ＋3n －13n ＋1， ∴23T n ＝2⎣⎢⎢⎡3·13＋3·132＋3·133＋…＋3·13n －13－(3n －1)·⎦⎥⎥⎤13n ＋1. 从而T n ＝72－72·13n －n 3n －1＜72.10．解析：(1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x ， a 1＝f (1)－c ＝13－c ，a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29，a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227.又数列{a n }成等比数列，a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，所以c ＝1；又公比q ＝a 2a 1＝13，所以a n ＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n (n ∈N *)； ∵S n －S n －1＝()S n －S n －1S n ＋S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)又b n ＞0，S n ＞0，∴ S n －S n －1＝1；数列{S n }构成一个首项为1公差为1的等差数列，S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又∵当n ＝1时，b 1＝1满足上式． ∴b n ＝2n －1(n ∈N *)； (2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋12n －1×2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13－15＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15－17＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 由T n ＝n2n ＋1＞10002009得n ＞10009，∴满足T n ＞10002009的最小正整数为112.第六节数列的综合应用一、选择题1．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 7＝21，那么S 10等于( )A ．55B ．40C ．35D ．70 2．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－2008，S 20072007－S 20052005＝2，则S 2008的值为( )A ．－2006B ．2006C ．－2008D ．2008 3．若x 的方程x 2－x ＋a ＝0和x 2－x ＋b ＝0(a ≠b )的四个根可组成首项为14的等差数列，则a ＋b 的值为( )A.38B.1124C.1324D.31724．若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ， 0≤a n <12；2a n－1， 12≤a n <1.若a 1＝67，则a 20的值为 ( )A.67B.57C.37D.17 5．已知等比数列{}a n 的公比为q <0，前n 项和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( )A ．S 4a 5＝S 5a 4B ．S 4a 5>S 5a 4C ．S 4a 5<S 5a 4D ．以上都不正确二、填空题6．设等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n＋a ，等差数列{b n }的前n 项和T n ＝n 2－2n ＋b ，则a ＋b ＝________.7．已知实数数列{a n }中，a 1＝1，a 6＝32，a n ＋2＝a 2n ＋1a n，把数列{a n }的各项排成如下图的三角形形状．记A (m ，n )为第m 行从左起第n 个数，则A (12,5)＝______.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9… … …若A (m ，n )·A (n ，m )＝250，则m ＋n ＝________.8．如下图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中Oa 1＝a 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记Oa 1，OA 2，…，Oa n ，…的长度构成数列{}a n ，则此数列的通项公式为a n ＝________.三、解答题9．已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2＋2n，数列{b n}的前n项和T n＝2－b n，(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)设c n＝a2n·b n，证明：当且仅当n≥3时，c n＋1＜c n.10．已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，且a n＋1＝(1＋q)a n－qa n－1(n ≥2，q≠0)．(1)设b n＝a n＋1－a n(n∈N)，证明：{b n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n ∈N*，a n是a n＋3与a n＋6的等差中项．参考答案1．解析：∵S 7＝21，∴a 1＋a 72×7＝21，即a 1＋5＝6，∴a 1＝1又a 7＝5，∴公差d ＝a 7－a 17－1＝23. ∴S 10＝10×a 1＋10×92×23＝40.答案：B2．解析：∵S n ＝a 1＋a n2×n ，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又由S 20072007－S 20052005＝2⇒a 1＋a 20072－a 1＋a 20052＝2⇒a 2007－a 2005＝4，∴公差d ＝2.∴S 2008＝2008a 1＋2008×20072×2＝2008×(a 1＋2007)＝－2008.故选C. 答案：C3．解析：由题意四个根为14，14＋16，14＋26，34.则a ＝14×34＝316，b ＝512×712＝35144.答案：D4．解析：∵a 1＝67＞12，∴a 2＝2a 1－1＝57＞12，a 3＝2a 2－1＝37＜1，a 4＝2a 3＝67，故数列{a n }满足a 1＝a 4＝a 7＝…＝a 3k ＋1且a m ＝a m ＋3. 又20＝3×6＋2，∴a 20＝a 2＝57.选B.答案：B5．解析：当n ≥2时，S n ·a n ＋1－S n ＋1·a n ＝S n (S n ＋1－S n )－S n ＋1·(S n －S n －1)＝－S 2n ＋S n ＋1·S n －1∵S n ＋1＝a 11－q n ＋11－q ，S n ＝a 11－q n 1－q ，S n －1＝a 11－q n －11－q∴S n ＋1·S n －1－S 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 11－q 2[(1－q n ＋1)(1－q n －1)－(1－q n )2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 11－q 2()2q n －q n＋1－qn －1＝－qn －1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 11－q 2(1－q )2 当n 是奇数时，S n ＋1·S n －1－S 2n ＜0；当n 是偶数时，S n ＋1·S n －1－S 2n ＞0. ∴S 4·a 5－S 5·a 4＞0.选B. 答案：B6．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋a －(2n －1＋a )＝2n －1，又a 1＝S 1，∴1＝21＋a ⇒a ＝－1；又当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝n 2－2n ＋b －(n －1)2＋2(n －1)－b ＝2n －3，由b 1＝T 1⇒－1＝1－2＋b ⇒b ＝0.∴a ＋b ＝－1. 答案：－17．解析：由a n ＋2＝a 2n ＋1a n ⇒a n ＋2a n ＋1＝a n ＋1a n ，知数列{a n }是等比数列，又a 1＝1，a 6＝32，设公比为q ，则32＝q 5⇒q ＝2.∴a n ＝2n －1，由图示规律，第11行最右边的数为a 121，∴A (12,5)＝a 126＝2125.(2)(理)一般地，A (m ，n )是数列{a n }中的第(m －1)2＋n 项．由A (m ，n )·A (n ，m )＝250⇒m 2－2m ＋n ＋n 2－2n ＋m ＝50⇒m 2－m ＋n 2－n －50＝0，Δ＝1－4(n 2－n －50)＝202－(2n －1)2，当(2n －1)2＝81或121时，Δ为完全平方数．解得n ＝5或6，m ＝6或5.∴m ＋n ＝11. 答案：2125118．解析：依题意a 2m －a 2n －1＝1，a 1＝1， ∴a 2n ＝1＋(n －1)＝n ，a n ＝n . 答案：n9．解析：(1)a 1＝s 1＝4.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ，∴a n ＝4n (n ∈N *)．又当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝2－b n －(2－b n －1)， ∴2b n ＝b n －1，数列{b n }是首项1，公比为12的等比数列，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1. (2)由(1)知c n ＝a 2n ·b n ＝16n2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1， ∴C n ＋1C n ＝16n ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ＋1－116n 2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＝n ＋122n2.由C n ＋1C n ＜1得n ＋122n2＜1即n 2－2n －1＞0，∴n ＞1＋2即n ≥3.又n ≥3时n ＋122n2＜1成立，即C n ＋1C n＜1，又C n ＞0，因此，当且令当n ≥3时，C n ＋1＜C n .10．解析：(1)证明：由题设a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2)，得a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)，即b n ＝qb n －1，n ≥2.又b 1＝a 2－a 1＝1，q ≠0，所以{b n }是首项为1，公比为q 的等比数列．(2)由(1)，a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝q ，…a n －a n －1＝q n －2(n ≥2)．将以上各式相加，得a n －a 1＝1＋q ＋…＋q n －2(n ≥2)．所以当n ≥2时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1－q n －11－q ，q ≠1，n ， q ＝1.上式对n ＝1显然成立．(3)由(2)，当q ＝1时，显然a 3不是a 6与a 9的等差中项，故q ≠1.由a 3－a 6＝a 9－a 3可得q 5－q 2＝q 2－q 8，由q ≠0得q 3－1＝1－q 6，①整理得(q 3)2＋q 3－2＝0，解得q 3＝－2或q 3＝1(舍去)，于是q ＝－32.另一方面，a n －a n ＋3＝q n ＋2－q n －11－q ＝q n －11－q (q 3－1)，a n ＋6－a n ＝q n －1－q n ＋51－q ＝q n －11－q (1－q 6)．由①可得a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n ，n ∈N *.所以对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．。

高考数列专题练习(精选课件)

高考数列专题练习数列综合题１．已知等差数列{}n a 满足：37a=，5726a a +=,{}n a 的前n 项和为nS .ﻩ（Ⅰ）求na 及nS ；ﻩ（Ⅱ）令b n =211n a -(*n ∈N ）,求数列{}n b 的前n 项和nT 。

2.已知递增的等比数列{}na 满足234328,2a a a a ++=+且是24,a a 的等差中项。

ﻩ(Ⅰ)求数列{}na 的通项公式;ﻩ（Ⅱ）若n n n S a b ,12log +=是数列{}n na b 的前n 项和,求.nS3.等比数列}{n a 为递增数列，且,324=a 92053=+a a ,数列2log 3nn ab =（n ∈N ※)（1）求数列}{n b 的前n 项和n S ；（2）122221-++++=n b b b b T n ，求使0>n T 成立的最小值n .4.已知数列{ na ｝、{ nb ｝满足：1121,1,41nn n n n b a a b b a +=+==-.(１）求1,234,,b b b b ;（2)求数列{ nb ｝的通项公式；(３）设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4nnaSb <恒成立5．在数列{}na 中，nS 为其前n 项和,满足2,(,*)n n S ka n n k R n N =∈∈+-。

(I)若1k =，求数列{}na 的通项公式；（II)若数列{21}n a n --为公比不为1的等比数列，且1>k ,求nS .6.已知数列{}n a 中，14a=，12(1)n n a a n +=-+,(1）求证：数列{}2n a n -为等比数列。

（２)设数列{}n a 的前n 项和为nS ,若22nn Sa n ≥+，求正整数列n 的最小值。

ﻩ7．已知数列{}na 的前n 项和为nS ,若112,.n n n n n n a S a n b a a +-=+=且ﻩ（1)求证:{1}na-为等比数列；(2)求数列{}nb 的前n 项和.8．已知数列{}n a 中，113a =,当2n ≥时,其前n 项和nS 满足2221nn n S a S =-. （1）求nS 的表达；（2）求数列{}n a 的通项公式； 9．已知数列{}n a 的首项135a =，1231+=+n nn a a a ,其中*∈N n .（1）求证:数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列;（2)记12111n nS a a a =++，若100nS<，求最大的正整数n .10已知数列{}na 的前n 项和为nS ，且对任意*N n ∈,有,,nnn a S 成等差数列．(１)记数列*1(N )nn ba n =+∈，求证:数列{}nb 是等比数列；(2）数列{}n a 的前n 项和为nT ，求满足221117227n n T n T n ++<<++的所有n 的值。

(完整版)历年数列高考题汇编,推荐文档

历年高考真题汇编---数列（含）1、(全国新课标卷理）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。

有条件可知a>0,故13q =。

由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =。

故数列{a n }的通项式为a n =13n 。

（Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=-故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21n n -+2、（全国新课标卷理）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=g（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S解（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L21233(222)2n n --=++++L 2(1)12n +-=。

而 12,a =所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=。

（Ⅱ）由212n n n b na n -==⋅知35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅L ①从而 23572121222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅++⋅L ②①-②得 2352121(12)22222n n n S n -+-⋅=++++-⋅L 。

(word版)高中数学数列专题复习(综合训练篇含答案),文档

数列———综合训练篇一、选择题：1．在等差数列a n中，a13a8a15120，那么2a9a10的值为〔〕A．18B．20C．22D．242．等差数列a n满足：a1a38,S530，假设等比数列bn满足b1a1,b3a4,那么b5为〔〕A．16B．32C．64D．273．等差数列a n中,a1a4a739,a3a6a927,那么数列a n 的前9项之和S等于〔〕9A．66B．144C．99D．2974．各项都是正数的等比数列a n 的公比q≠1，且a2，1a3，a1成等差数列，那么a3a4为〔〕2a4a5A．51B．51C．15D．51或51 222225.设等比数列a的前n项和为S n，假设S63,那么S9〔〕nS3S6A.278 B. C.336．等差数列a n的前n项的和为S n，且S210，S555，那么过点P(n,a n)和Q(n2,a n2)(nN)的直线的一个方向向量的坐标是()A.(2,1)B.(1,2)C.(1,1)D.(1,1)222、、1、1、1成等差数列，那么a cc为实数,3a、4b、5c 成等比数列,且的值为〔〕7．设a bb c ca aA．94B．9434D．34 1515C．15152n12n18．数列a n的通项a n1,那么以下表述正确的选项是() 33A．最大项为a1,最小项为a3B．最大项为a1,最小项不存在C．最大项不存在，最小项为a3D．最大项为a1,最小项为a49.a为等差数列，a1+a3+a5=105，a2a4a6=99.以S n表示a 的前n项和，那么使得S n到达最大值n n 的n是〔〕A．21B．20C．19D．1810．一系列椭圆都以一定直线l为准线，所有椭圆的中心都在定点M，且点M到l的距离为2，假设这一系列椭1圆的离心率组成以3为首项，1为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为ai n43=(i=1，2，，n)，设b=2〔2n+1〕·3n－2·a n，且Cn=1，Tn=C1+C2++Cn，假设对任意n∈N*，总有Tn>m恒成立，那么m的最b n b n190大正整数为〔〕A．3B．5C．6D．9二、填空题：11．等差数列a nn2n最大，那么t的取值范围是.前n项和S=－n+2tn，当n仅当n=7时Sn为奇数)12．数列a n的通项公式是a(n，那么数列的前2m〔m为正整数〕项和是. nn22)为偶数(n13．数列{a n}满足：a4n31,a4n10,a2n an,nN,那么a2021________；a2021=_________.14．在数列a n和b n中，b是a 与a n+1的等差中项，a=2且对任意nN都有n n1*3a－a =0，那么数列{b}的通项公式.n+1n n12⋯n1(x0)图像上的点〔如15．设P，P，P顺次为函数yx图〕，Q1，Q2，Qn顺次为x轴上的点，且OP1Q1,O1P2Q2,Q n1P n Q n，，均为等腰直角三角形〔其中Pn为直角顶点〕.设Qn的坐标为x n,0)(0N*)，那么数列{an}的通项公式为.三、解答题：16．{a n}是等比数列，Sn是其前n项的和，a1，a7，a4成等差数列，求证：2S3，S6，S12－S6，成等比数列.17.数列{an}的前 n 项和为Sn，且对任意自然数n 总有S n p(a n1),(p为常数，且p 0,p 1),数列{b n}中有b n2n q(q为常数〕。

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =，（1）证明:数列{}n a 是等比数列；（2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式．2.（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式.2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和.3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．5.已知数列{a n}满足，，n∈N×．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式．1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =，所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-，整理得143n n a a -=． 5分由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ．所以{}n a 是首项为1，公比为43的等比数列． 7分（2）解：因为14()3n n a -=，由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114()3n n n b b -+-=． 9分由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b＝1)34(3341)34(1211-=--+--n n ，（2≥n ），当n=1时也满足，所以1)34(31-=-n n b ．2.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。

高中数学数列专题训练6套含答案

目录第一套：等比数列例题精讲第二套：等差等比数列基础试题一第三套：等差等比数列基础试题二第四套：等差等比数列提升试题一第五套：等差等比数列提升试题二第六套：数列的极限拓展等比数列·例题解析【例1】已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N*)，那么数列{a n }．[ ]A ．是等比数列B ．当p ≠0时是等比数列C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列D ．不是等比数列分析由S n ＝p n (n ∈N*)，有a 1=S 1＝p ，并且当n ≥2时， a n =S n －S n-1＝p n －p n-1＝(p －1)p n-1但满足此条件的实数p 是不存在的，故本题应选D ．说明数列{a n }成等比数列的必要条件是a n ≠0(n ∈N*)，还要注【例2】已知等比数列1，x 1，x 2，…，x 2n ，2，求x 1·x 2·x 3·…·x 2n ．解 ∵1，x 1，x 2，…，x 2n ，2成等比数列，公比q ∴2＝1·q 2n+1x 1x 2x 3...x 2n ＝q .q 2.q 3...q 2n =q 1+2+3+ (2)式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．故－，因此数列成等比数列≠－≠a =(p 1)p {a }p 0p 10(p 1)p 2n n 1⇔--=-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪--()()p pp p p n 212意对任∈，≥，都为同一常数是其定义规定的准确含义．n *n 2N a a nn -1=q2n(1+2n)2==+q n n n ()212【例3】 {a }(1)a =4a n 25等比数列中，已知，＝－，求通项公12解 (1)a =a q q =5252-∴－12∴a 4＝2【例4】已知a ＞0，b ＞0且a ≠b ，在a ，b 之间插入n 个正数x 1，x 2，…，x n ，使得a ，x 1，x 2，…，x n ，b 成等比数列，求证明设这n ＋2个数所成数列的公比为q ，则b=aq n+1【例5】设a 、b 、c 、d 成等比数列，求证：(b －c)2＋(c －a)2＋(d －b)2＝(a －d)2．证法一 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列∴b 2＝ac ，c 2＝bd ，ad ＝bc∴左边=b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2＋d 2－2bd ＋b 2 =2(b 2－ac)＋2(c 2－bd)＋(a 2－2bc ＋d 2) ＝a 2－2ad ＋d 2 ＝(a －d)2＝右边证毕．证法二 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，设其公比为q ，则： b ＝aq ，c ＝aq 2，d=aq 3∴＝＝－＝∵·＝··＝a a q 4()()(2)a a a a a a a =8n 2n 2n 2n 4354234543----1212又＝＝∴a a a a a a a a a a =a =322635423456452证…＜．x x x a bn n 122+∴∴……＜q b ax x x aqaq aq aqab a bn n n nn n ++====+1122122∴a b b c c d==∴左边＝(aq －aq 2)2＋(aq 2－a)2＋(aq 3－aq)2 ＝a 2－2a 2q 3＋a 2q 6 =(a －aq 3)2 ＝(a －d)2=右边证毕．说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b 、c 的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b 、c 的路子．证法二则是把a 、b 、c 、d 统一化成等比数列的基本元素a 、q 去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．【例6】求数列的通项公式：(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0 思路：转化为等比数列．∴{a n ＋1}是等比数列 ∴a n ＋1=3·3n-1 ∴a n =3n －1∴{a n+1－a n }是等比数列，即 a n+1－a n =(a 2－a 1)·2n-1=3·2n-1再注意到a 2－a 1=3，a 3－a 2=3·21，a 4－a 3=3·22，…，a n －a n-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{a n ＋1}是等比数列，(2)中发现{a n+1－a n }是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．解 (1)a =3a 2a 1=3(a 1)n+1n n+1n ＋＋＋⇒(2)a 3a 2a =0a a =2(a a )n+2n+1n n+2n+1n+1n －＋－－⇒a =3[1222]=3=3(21)n 2n-2n 1＋＋＋…＋·－21211n ----证 ∵a 1、a 2、a 3、a 4均为不为零的实数∴上述方程的判别式Δ≥0，即又∵a 1、a 2、a 3为实数因而a 1、a 2、a 3成等比数列∴a 4即为等比数列a 1、a 2、a 3的公比．【例8】若a 、b 、c 成等差数列，且a ＋1、b 、c 与a 、b 、c ＋2都成等比数列，求b 的值．解设a 、b 、c 分别为b －d 、b 、b ＋d ，由已知b －d ＋1、b 、b ＋d 与b －d 、b 、b ＋d ＋2都成等比数列，有整理，得∴b ＋d=2b －2d 即b=3d 代入①，得9d 2=(3d －d ＋1)(3d ＋d) 9d 2=(2d ＋1)·4d 解之，得d=4或d=0(舍) ∴b=12【例7】 a a a a (a a )a 2a (a a )a a a =0a a a a 1234122242213422321234若实数、、、都不为零，且满足＋－＋＋＋求证：、、成等比数列，且公比为．∴＋－＋＋＋为实系数一元二次方程等式＋－＋＋＋说明上述方程有实数根．(a a )x 2a (a a )x a a =0(a a )a 2a (a a )a a a =0a 122222132232122242213422324[2a (a a )]4(a a )(a a )=4(a a a )0(a a a )02132122222322213222132－＋－＋＋－－≥∴－≤∴－≥必有－即(a a a )0a a a =0a =a a 2213222132213又∵a =2a 42()()()a a a a a a a a a a a a 1312222131213212++=++=b =(b d 1)(b d)b =(b d)(b d 2)22－＋＋①－＋＋②⎧⎨⎪⎩⎪b =b d b db =b d 2b 2d 222222－＋＋－＋－⎧⎨⎪⎩⎪【例9】已知等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d ，又知d ≠1，且a 4=b 4，a 10=b 10：(1)求a 1与d 的值； (2)b 16是不是{a n }中的项？思路：运用通项公式列方程(2)∵b 16=b 1·d 15=－32b 1∴b 16=－32b 1=－32a 1，如果b 16是{a n }中的第k 项，则－32a 1=a 1＋(k －1)d ∴(k －1)d=－33a 1=33d∴k=34即b 16是{a n }中的第34项．解设等差数列{a n }的公差为d ，则a n =a 1＋(n －1)d解 (1)a =b a =b 3d =a d a 9d =a da (1d )=3d a (1d )=9d4410101131191319由＋＋－－－－⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎪⎩⎪⇒⎧⎨⎪⎩⎪a ⇒⇒==-=-==-d d 2=063＋－舍或∴d d a d d 1231331222()且＋·－－∴a =a 3d =22=b b =b d =2b =22b =a =2413441313113-【例10】 {a }b =(12)b b b =218b b b =18n n a n 123123设是等差数列，，已知＋＋，，求等差数列的通项．∴·b =(12)b b =(12)(12)=(12)b n a 13a a +2d 2(a +d)221111+-()n d1解这个方程组，得∴a 1=－1，d=2或a 1=3，d=－2∴当a 1=－1，d=2时，a n =a 1＋(n －1)d=2n －3 当a 1=3，d=2时，a n =a 1＋(n －1)d=5－2n【例11】三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解法一按等比数列设三个数，设原数列为a ，aq ，aq 2 由已知：a ，aq ＋4，aq 2成等差数列即：2(aq ＋4)=a ＋aq 2①a ，aq ＋4，aq 2＋32成等比数列即：(aq ＋4)2=a(aq 2＋32)解法二按等差数列设三个数，设原数列为b －d ，b －4，b ＋d由已知：三个数成等比数列即：(b －4)2=(b －d)(b ＋d)b －d ，b ，b ＋d ＋32成等比数列由，解得，解得，代入已知条件整理得＋b b b =18b =18b =12b b b =18b b =14b b =1781232321231313b b b 123218++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪b =2b =18b =18b =21313，或，⇒aq 2=4a ＋②①，②两式联立解得：或－∴这三数为：，，或，，．a =2q =3a =29q =52618⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪-29109509⇒8b d =162－①即b 2=(b －d)(b ＋d ＋32)解法三任意设三个未知数，设原数列为a 1，a 2，a 3 由已知：a 1，a 2，a 3成等比数列a 1，a 2＋4，a 3成等差数列得：2(a 2＋4)=a 1＋a 3②a 1，a 2＋4，a 3＋32成等比数列得：(a 2＋4)2=a 1(a 3＋32)③说明将三个成等差数列的数设为a －d ，a ，a ＋d ；将三个成简化计算过程的作用．【例12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．分析本题有三种设未知数的方法方法一设前三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则第四个数由已知条⇒32b d 32d =02－－②①、②两式联立，解得：或∴三数为，，或，，．b =269d =83b =10d =82618⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎩-29109509得：①a =a a 2213①、②、③式联立，解得：或a =29a =109a =509a =2a =6a =18123123-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪等比数列的数设为，，或，，是一种常用技巧，可起到a aq aq (a aq)2aq方法二设后三个数为b ，bq ，bq 2，则第一个数由已知条件推得为2b －bq ．方法三设第一个数与第二个数分别为x ，y ，则第三、第四个数依次为12－y ，16－x ．由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．解法二设后三个数为：b ，bq ，bq 2，则第一个数为：2b －bq所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．解法三设四个数依次为x ，y ，12－y ，16－x ．这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．【例13】已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求这两个数列．解设成等差数列的三个数为b －d ，b ，b ＋d ，由已知，b －d ＋b ＋b ＋d=126 ∴b=42这三个数可写成42－d ，42，42＋d ．再设另三个数为a ，aq ，aq 2．由题设，得件可推得：()a d a+2解法一 a d a a d 设前三个数为－，，＋，则第四个数为．()a d a+2依题意，有－＋＋＋a d =16a (a d)=12()a d a+⎧⎨⎪⎩⎪2解方程组得：或－a =4d =4a =9d =61122⎧⎨⎩⎧⎨⎩依题意有：－＋＋2b bq bq =16b bq =122⎧⎨⎩解方程组得：或b =4q =2 b =9q =131122⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪依题意有＋－·－－x (12y)=2yy (16x)=(12y)2⎧⎨⎩解方程组得：或x =0y =4x =15y =91122⎧⎨⎩⎧⎨⎩解这个方程组，得 a 1=17或a 2=68当a=17时，q=2，d=－26从而得到：成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67．【例14】已知在数列{a n }中，a 1、a 2、a 3成等差数列，a 2、a 3、a 4成等比数列，a 3、a 4、a 5的倒数成等差数列，证明：a 1、a 3、a 5成等比数列．证明由已知，有 2a 2=a 1＋a 3①即 a 3(a 3＋a 5)=a 5(a 1＋a 3)所以a 1、a 3、a 5成等比数列．a 42d =85ap 42=76aq 42d =842＋－＋＋＋⎧⎨⎪⎩⎪整理，得－①②＋③a d =43aq =34aq d =422⎧⎨⎪⎩⎪当时，，a =68q =12d =25a =a a 3224·②③211435a a a =+由③，得·由①，得代入②，得··a =2a a a +a a =a +a 2a =a +a 243535213321323535a a a a +整理，得a =a (a +a )a +a 351235a a a =a a a a a =a a 323515353215＋＋∴·【例15】已知(b－c)log m x＋(c－a)log m y＋(a－b)log m z=0．(1)设a，b，c依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z成等比数列．(2)设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列．证明(1)∵a，b，c成等差数列，且公差d≠0∴b－c=a－b=－d，c－a=2d代入已知条件，得：－d(log m x－2log m y＋log m z)=0∴log m x＋log m z=2log m y∴y2=xz∵x，y，z均为正数∴x，y，z成等比数列(2)∵x，y，z成等比数列且公比q≠1∴y=xq，z=xq2代入已知条件得：(b－c)log m x＋(c－a)log m xq＋(a－b)log m xq2=0变形、整理得：(c＋a－2b)log m q=0∵q≠1 ∴log m q≠0∴c＋a－2b=0 即2b=a＋c即a，b，c成等差数列高一数学数列练习【同步达纲练习】一、选择题1.已知数列1，21，31，…，n1…，则其通项的表示为( ) A.｛a n ｝B.｛n 1｝C. n1D.n2.已知数列｛a n ｝中，a n =4n-13·2n+2，则50是其( )A.第3项B.第4项C.第5项D.不是这个数列的项3.已知数列的通项公式a n =2n-1，则2047是这个数列的( ) A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第13项 4.数列-1，58，-715，924，…的通项公式是( ) A.a n =(-1)n 122++n nnB.a n =(-1)n12)3(++n n nC.a n =(-1)n1222-+n nnD.a n =(-1)n12)2(++n n n5.在数列a 1,a 2,a 3,…，a n ，…的每相邻两项中插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第29项( )A.不是原数列的项B.是原数列的第7项C.是原数列的第8项D.是原数列的第9项6.已知数列的通项公式为a n =1213+-n n ，则a n 与a n+1的大小关系是( ) A.a n ＜a n+1 B.a n ＞a n+1C.a n =a n+1D.大小不能确定7.数列｛a n ｝中，a n =-2n 2+29n+3，则此数列的最大项的值是( ) A.107B.108C.10881 D.1098.数列1，3，6，10，15，…的通项公式a n ，等于( ) A.n 2-(n-1) B.2)1(-n n C.2)1(+n n D.n 2-2n+2二、填空题1.数列-31，91，-271，…的一个通项公式是 .2.数列1，1，2，2，3，3，…的一个通项公式是 .3.数列1×3，2×4，3×5，…，n(n+2)，…，问120是否是这个数列的项 .若是，120是第项.4.已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n+1=pa n +q ，且a 2=3,a 4=15,则p= ,q= .5.一个数列的前n 项之和是n n，则此数列的第4项为 .6.-1103，4203，-7403，10803，-131603，…的一个通项公式为 . 三、解答题1.已知数列｛a n ｝的通项a n =)1(1+-n n n ,207、1207是不是这个数列的项?如果是，则是第几项?2.写出以下数列的一个通项公式.①-31，256，-499，274，-12115…； ②9，99，999，9999，99999，….3.已知下列数列｛a n ｝的前n 项和S n ，求数列｛a n ｝的通项公式.①S n =3+2n ; ②S n =2n 2+n+3【素质优化训练】1.已知数列的前4项如下，试写出下列各数列的一个通项公式：(1) 21，61，121，201； (2)-1，23，-45，87；(3)0.9，0.99，0.999，0.9999； (4)35，810，1517，2426.2.已知数列的通项公式为a n =-0.3n 2+2n+732，求它的数值最大的项.3.若数列｛a n ｝由a 1=2，a n+1=a n +2n(n ≥1)确定，求通项公式a n .【生活实际运用】参加一次国际商贸洽谈会的国际友人居住在西安某大楼的不同楼层内，该大楼共有n 层，每层均住有参会人员.现要求每层指派一人，共n 人集中到第k 层开会，试问k 如何确定，能使n 位参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最少?(假定相邻两层楼楼长都相等)【知识探究学习】某人从A 地到B 地乘坐出租车，有两种方案：第一种方案：利用起步价10元，每千米价为1.2元的汽车.第二种方案：租用起步价是8元，每千米价为4元的汽车.按出租车管理条例，在起步价内，不同型号车行驶的里程是相等的.则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较合适.解：设起步价内行驶里程为a 千米，A 地到B 地的距离是m 千米. 当m ≤a 时，选起步价8元的出租车比较合适. 当m ＞a 时，设m=a+x(x ＞0)乘坐起步价10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的费用为Q(x)元，则：P(x)=10+1.2x Q(x)=8+1.4x令P(x)=Q(x)得10+1.28+1.4x 解得x=10(千米) 此时两种出租车任选.当x ＞10时，P(x)-Q(x)=2-0.2x ＜0，故P(x)＜Q(x) 此时选起步价为10元合适.当x ＜10时，P(x)-Q(x)=2-0.2x ＞0，故P(x)＞Q(x) 此时选起步价为8元的出租车合适.参考答案：【同步达纲练习】一、1.C 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A 7.B 8.C二、1.a n =nn3)1(- 2.a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+为偶数为奇数n n n n ,2,213.是，104.2或-3，1或65.2296.a n =(-1)n［(3n-2)+12103-∙n ］三、1.207不是｛a n ｝中的项，1207是｛a n ｝中的第15项. 2.①a n =(-1)n2)12(3+n n ;②a n =10n-1.3.①a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=2)(n 21)(n 51-n ②a n =⎩⎨⎧≥-=2)(n 1n 41)(n 6。

精选高考——数学数列多选题专项训练专项练习及答案

一、数列多选题1．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（） A ．15B ．25C ．45D ．65答案：ABC 【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列满足，，依次取代入计算得，，，，，因此继续下去会循环解析：ABC 【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.2．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（）A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列答案：AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得. 【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；解析：AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+=11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确；当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.3．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>0答案：AC 【分析】由，可得，且，然后逐个分析判断即可得答案【详解】解：因为，所以，且，所以数列的公差，且数列中Sn 的最大项为S5，所以A 正确，B 错误，所以，，所以C 正确，D 错误，故选：AC解析：AC 【分析】由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案【详解】解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误，所以110105610()5()02a a S a a +==+>，11111611()1102a a S a +==<，所以C 正确，D 错误，故选：AC4．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.答案：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且，所以公差，所以，即，根据等差数列的性质可得，又，所以，，故A 正解析：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <，所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=，根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <，所以50a >，60a <，故A 正确；对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >，所以890,0a a ><，所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===，所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确；对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <，所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >，所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确，故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.5．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（） A ．4B ．5C ．7D ．8答案：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-，因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数，验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.6．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列答案：BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，为常数，则是等方差数列，B 选项中的结论正解析：BCD【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n-是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2na 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==，此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.7．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k N k ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列答案：BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列中，是常数，是等方差数解析：BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n nn a a---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k kk aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k aa kp ∴-=，()221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确；对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.8．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（） A ．0d > B ．0d <C ．80a =D ．n S 的最大值是8S 或者9S答案：BD 【分析】由，即，进而可得答案．【详解】解：，因为所以，，最大，故选：．【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题．解析：BD 【分析】由6111160S S S S =⇒-=，即950a =，进而可得答案．【详解】解：1167891011950S S a a a a a a -=++++==，因为10a >所以90a =，0d <，89S S =最大，故选：BD ．【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈，公差0d ≠，690S =，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（） A ．2d =-B ．120a =-C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为22答案：AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由解不等式可判断D ．【详解】等差数列的前n 项和为，公差，由，可解析：AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n S <解不等式可判断D ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-，由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110；由2102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22. 故选：AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.10．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（） A ．17aB ．35SC ．1719a a -D ．1916S S -答案：BD 【分析】由得，利用可知不正确；；根据可知正确；根据可知不正确；根据可知正确. 【详解】因为，所以，所以，因为公差，所以，故不正确；，故正确；，故不正确；，故正确. 故选：BD.解析：BD 【分析】由1718S S =得180a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可知 B 正确；根据171920a a d -=-≠可知C 不正确；根据19161830S S a -==可知D 正确. 【详解】因为1718S S =，所以18170S S -=，所以180a =，因为公差0d ≠，所以17180a a d d =-=-≠，故A 不正确；13518351835()35235022a a a S a +⨯====，故B 正确； 171920a a d -=-≠，故C 不正确；19161718191830S S a a a a -=++==，故D 正确.故选：BD.【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.。

(完整word版)高考数列专题练习(整理)

数列综合题1．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -（*n ∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T 。

2.已知递增的等比数列{}n a 满足234328,2a a a a ++=+且是24,a a 的等差中项。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n n S a b ,12log +=是数列{}n n a b 的前n 项和，求.n S3.等比数列}{n a 为递增数列，且,324=a 92053=+a a ，数列2log 3n n a b =(n ∈N ※)（1）求数列}{n b 的前n 项和n S ；（2）122221-++++=n b b b b T n ，求使0>n T 成立的最小值n ．4．已知数列{ n a }、{ n b }满足：1121,1,41n n n n n b a a b b a +=+==-. (1)求1,234,,b b b b ; (2)求数列{ n b }的通项公式；(3)设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立5．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2,(,*)n n S ka n n k R n N =∈∈+-．（I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{21}n a n --为公比不为1的等比数列，且1>k ，求n S ．6．已知数列{}n a 中，14a =，12(1)n n a a n +=-+，（1）求证：数列{}2n a n -为等比数列。

（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22n n S a n ≥+，求正整数列n 的最小值。

7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,.n n n n n n a S a n b a a +-=+=且（1）求证：{1}n a -为等比数列；（2）求数列{}n b 的前n 项和。