小波变换基本原理.doc

第五章小波变换基本原理

问题

①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？—尺度

②小波发展史

1910 Harr 小波

80 年代初兴起Meyer—小波解析形式

小波80 年代末 Mallat 多分辨率分析— WT 无须尺度

构造？和小波函数—滤波器组实现

90 年代初 Daubechies 正交小波变换

90 年代中后期 Sweblews 第二代小波变换

③小波变换与短时傅里叶变换比较

a．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数WT（要容许性条件）

④小波相关概念，数值实现算法

多分辨率分析（哈尔小波为例）Daubechies正交小波构造

MRA 的滤波器实现

⑤小波的历史地位仍不如FT，并不是万能的

5.1连续小波变换

一． CWT 与时频分析

1t b

1.概念： CWT (a, b)S(t) * ()dt

a

a

2.小波变换与 STFT 用于时频分析的区别

STFT小波变换

基函数

(t )(t mT )e jwt(t)1* ( t b )

a a

时频轴平移 +调制（线性频轴）平移+伸缩 a —尺度—对数频

轴

基函数特包络恒定，振荡不同振荡恒定，包络恒定

征

时频分辨(t mT )e jwt，[mT,w]附近w0

附近

b, 率 a

适用情况渐变信号突变信号

2 轴spectrogram scalogram

结果复数实数

3.WT 与 STFT 对比举例（ Fig5–6, Fig5–7）

二． WT 几个注意的问题

1.WT 与(t) 选择有关—应用信号分析还是信号复原

2.母小波(t ) 必须满足容许性条件

2

( w)

C dw

w

①隐含要求(0) 0,即(t) 具有带通特性

②利用 C可推出反变换表达式

S(t) 1 1 CWT (a,b) (t b

)dadb

C a 2 a

3.CWT 高度冗余（与 CSTFT 相似）

4.二进小波变换（对平移量 b 和尺度进行离散化）

2 m , b n 2 m 1 ( t b

)

m

(2m t n)

a a,

b (t )

m,n (t ) 2 2

a a

d

m,n CWT (2 m , n 2 m ) S(t ) m,n * (t) dt 5.小波变换具有时移不变性

S(t ) C W T(a, b)

S(t b0 ) C WT(a,b b0 )

6.用小波重构信号

S(t)

? ?

d m,n m,n (t )正交小波 d m,n m,n (t ) m n mn

中心问题：如何构建对偶框架?

m, n

如何构建正交小波？

5.2 分段逼近

学习目的—理解 MRA

一．分段逼近的引入

很显然采样率越高，T s越小，PAM

逼近误差越小，采样率无误信号近似

ADC 差

T s 1

t f s

1.采样率增大的尺度体现

1

1, 0 t 1

(t)

0,其它

1 t 用平移的(t ) 版本对S(t)作近似

逼近函数(t n) 2 ( 2t n)

S(t) C0,n (t n) S(t) 2 C1, n (2t n)

1 尺度 a

n n 2

m

一般式： S(t) 2 2 C m,n (2m t n) 尺度 a 2 m

n

m ,a 0, 逼近收敛于S( )

m 0, a , 逼近0

(t)

2.两尺度函数间关系 1 张成 V0空间

(t)(2t)(2t 1)

1 ①张成空间满足 V0 V1

1 (2t)

空间

②两尺度空间差异在哪？张成 V

1

3.表征细节的小波变换的引入

1

2

1 (2t 1)

(t )

(2t)

(t ) (t)

2 (t ) 表细节发现

(t) (t )

(2t 1)

2

S( t)2 C1, n (2t n)

n

n 2m,2m 1

2

C

1, 2 m (2t 2m) C1, 2 m 1 (2t 2m 1)

m m

2 C1,2m

(t m) (t m) (t m) (t m)

2

C1, 2m 1

2 m m

m

C

1,2 n

C

1, 2 n 1

(t

C

1,2 n

C

1, 2n 1

(t n) n

2

n)

2

m n

V1 V0 W0 4.推广

m=-1 V 1

尺

度

m=0V0

m=1V0

m=2V1 W0V1

W1

V2

V1V1W0V

V1V W 1

W

1

W

V

m

W

m W 2 W 1 W0 2

W

1

W

V m W

m 3

W

m 2 W m 1, m

m , 逼近精度V lim V m W 2 W 1 W0 W1

m

m , 逼近精度V 0

m

2 2 (2m t n) 包含信息量决定形成最简单的 MRA