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小波变换的基本原理和数学模型详解
小波变换的基本原理和数学模型详解一、引言小波变换是一种信号分析的数学工具，可以将信号在时间和频率上进行局部分析。
它在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍小波变换的基本原理和数学模型。
二、小波变换的基本原理小波变换的基本原理是将信号分解成不同频率的小波基函数，并通过对这些小波基函数的线性组合来表示原始信号。
与傅里叶变换不同的是，小波变换可以实现信号的时频局部化分析，能够更好地捕捉信号的瞬态特性。
三、小波基函数的选择小波基函数是小波变换的核心，不同的小波基函数对信号的分析效果有所不同。
常用的小波基函数有Haar小波、Daubechies小波、Morlet小波等。
这些小波基函数在时域和频域上具有不同的特性，可以根据具体应用的需求选择合适的小波基函数。
四、小波变换的数学模型小波变换的数学模型可以通过连续小波变换和离散小波变换表示。
连续小波变换是对连续信号进行小波变换，可以用积分来表示。
离散小波变换是对离散信号进行小波变换，可以用矩阵运算表示。
五、连续小波变换连续小波变换的数学模型可以表示为：W(a, b) = ∫f(t)ψ*[ (t-b)/a ] dt其中，W(a, b)表示小波系数，f(t)表示原始信号，ψ(t)表示小波基函数，a和b 分别表示尺度参数和平移参数。
六、离散小波变换离散小波变换的数学模型可以表示为：W(n, k) = ∑f(m)ψ*[ (m-k)/2^n ]其中，W(n, k)表示小波系数，f(m)表示原始信号，ψ(m)表示离散小波基函数，n表示尺度参数，k表示平移参数。
七、小波变换的算法小波变换的计算可以通过快速小波变换算法实现，常用的算法有快速小波变换（FWT）和快速多尺度小波变换（FWMT）。
这些算法可以大大提高小波变换的计算效率，使得小波变换在实际应用中更加可行。
八、小波变换的应用小波变换在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
在信号处理中，小波变换可以用于信号去噪、信号分析等；在图像处理中，小波变换可以用于图像压缩、边缘检测等；在数据压缩中，小波变换可以用于无损压缩和有损压缩等。
小波变换原理
小波变换原理
小波变换是一种信号分析方法，它可以将一个信号分解成不同频率和时间的小波基函数的线性组合。
这种分解能够提供关于信号局部特征的信息，并且具有较好的时频局部化性质。
小波变换的基本原理是利用小波基函数对信号进行多尺度分析。
小波基函数是一组函数，它们具有有限时间和频率的特性。
通过对不同尺度的小波基函数进行缩放和平移，可以得到不同频率和时间的基函数。
在小波变换中，通常采用离散小波变换（DWT）进行信号分析。
离散小波变换将信号分解成不同尺度和位置的小波系数，每个小波系数表示信号在相应尺度和位置上的能量。
小波变换的优点之一是可以提供多分辨率的信号分析。
通过对信号进行分解，可以得到不同尺度上的信息，从而揭示信号在局部的频率特征。
这对于处理非平稳信号和突发信号非常有用。
小波变换还具有较好的时频局部化性质。
在时域上，小波基函数具有较短的时域长度，可以更好地描述信号的瞬时特征。
在频域上，小波基函数具有较宽的频带，可以更好地描述信号的频率特征。
小波变换在信号处理、图像处理、模式识别等领域有着广泛的应用。
它可以用于信号去噪、压缩、特征提取等任务，也可以用于图像边缘检测、纹理分析等任务。
总之，小波变换是一种多尺度信号分析方法，通过对信号进行分解，可以提取信号在不同尺度和位置上的特征。
它具有较好的时频局部化性质，可以有效地描述非平稳信号和突发信号的特征。
小波变换及其应用
小波变换及其应用小波变换是一种数学工具，可以将时间或空间上的信号分解成不同频率的成分。
它广泛应用于信号处理、图像压缩、模式识别、金融分析等领域。
本文将介绍小波变换的基本原理、算法和应用。
一、基本原理小波变换采用一组基函数，称为小波基。
小波基是一组具有局部化和可逆性质的基函数。
它们具有一个中心频率和一定的时间或空间长度，可以表示不同频率范围内的信号。
小波基函数可以表示为：y(t) = A * ψ(t - τ)/s其中，y(t)是信号的值，A是尺度系数，ψ是小波基函数，τ是位移参数，s是伸缩系数。
通过改变A、τ、s的值，可以得到不同频率、不同尺度的小波基。
小波变换的基本思想是将信号分解成不同频率的小波基函数，在不同尺度上进行分解，得到信号的多尺度表示。
具体来说，小波变换包括两个步骤：分解和重构。
分解：将信号按照不同频率和尺度进行分解，得到信号的局部频谱信息。
分解通常采用多层小波分解，每一层分解都包括高频和低频分量的计算。
重构：将小波分解得到的频域信息反变换回时域信号，得到信号的多尺度表示。
重构也采用多层逆小波变换，从小尺度到大尺度逐层反变换。
二、算法小波变换的算法有多种，包括离散小波变换（DWT）、连续小波变换（CWT）和快速小波变换（FWT）等。
其中离散小波变换最常用，具有计算速度快、计算量小、精度高等优点。
下面简要介绍DWT算法。
离散小波变换是通过滤镜组将信号进行分解和重构的过程。
分解使用高通和低通滤波器，分别提取信号的高频和低频成分。
重构使用逆滤波器，恢复信号的多尺度表示。
DWT的算法流程如下：1. 对信号进行滤波和下采样，得到低频和高频分量；2. 将低频分量进一步分解，得到更低频和高频分量；3. 重复步骤1和2，直到达到最大分解层数；4. 逆小波变换，将多尺度分解得到的信号重构回原始信号。
三、应用小波变换在信号和图像处理中有广泛应用。
其中最常见的应用是压缩算法，如JPEG2000和MPEG-4等。
数字信号处理中的小波变换
数字信号处理中的小波变换数字信号处理是一种数字化处理技术，主要用于对连续信号进行采样和转换，以便在数值计算设备上进行处理。
在数字信号处理中，小波变换是一种重要的技术，可以用来分析和处理信号。
一、小波变换的定义和基本原理小波变换（Wavelet Transform）是一种数学变换方法，它将原始信号分解为不同尺度和频率的小波成分。
与傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时域和频域分辨率，并且能够捕捉信号的瞬态特性。
小波变换的数学定义如下：∫f(t)ψ*(t-k)dt其中，f(t)表示原始信号，ψ(t)是小波函数，*表示复共轭，k表示平移参数。
小波变换通过在时域内对小波函数进行平移和缩放来分析信号的不同频率成分。
二、小波变换的应用领域小波变换在数字信号处理中有广泛的应用，下面是一些常见领域：1. 信号处理：小波变换可以用于信号去噪、信号压缩和谱分析等方面。
通过对信号进行小波分解和重构，可以提取信号的主要特征信息，去除噪声干扰，实现信号的有效处理和分析。
2. 图像处理：小波变换可以应用于图像压缩、图像去噪和图像分析等方面。
通过对图像进行小波分解和重构，可以实现图像的压缩存储、去除图像中的噪声，并提取图像的局部特征。
3. 视频处理：小波变换可以用于视频压缩、视频去噪和视频分析等方面。
通过对视频信号进行小波分解和重构，可以实现视频的高效压缩和去除视频中的噪声，提取视频的运动特征。
4. 生物医学工程：小波变换可以应用于生物信号处理和医学图像分析等方面。
通过对生物信号和医学图像进行小波分解和重构，可以实现生物信号的识别和分类，以及医学图像的分割和特征提取。
三、小波变换与傅里叶变换的比较小波变换和傅里叶变换都是信号分析的重要工具，它们之间存在一些区别和联系。
1. 分辨率：小波变换具有局部分辨率，可以捕捉信号的瞬态特性，而傅里叶变换具有全局分辨率，适用于分析信号的频率成分。
2. 多尺度性：小波变换可以分解信号为不同尺度的小波成分，可以提取信号的多尺度信息，而傅里叶变换只能提取信号在不同频率上的分量。
小波变换基本原理及应用
小波变换基本原理及应用
小波变换是一种数学工具，它可以将一个时域信号转换为频域信号。
它的基本原理是通过将信号与一组特定的小波函数进行卷积运算，从而得到信号的频域表示。
小波变换具有多尺度分析的特点，可以从不同的时间和频率尺度上分析信号的特征。
小波变换的应用非常广泛。
在信号处理领域，小波变换被广泛应用于信号压缩、滤波、去噪和特征提取等方面。
由于小波变换能够提供更准确的时频分析结果，相比于传统的傅里叶变换具有更好的局部性和时频局部化特性，因此在时频分析领域也得到了广泛的应用。
在图像处理中，小波变换可以用于图像的压缩和去噪。
小波变换可以将图像分解为不同尺度和方向的小波系数，通过丢弃一部分系数可以实现图像的压缩。
同时，小波变换还可以通过去除高频小波系数来实现图像的去噪，从而提高图像的质量。
小波变换还可以应用于金融分析领域。
在金融时间序列分析中，小波变换可以用于提取金融数据中的周期性和趋势性信息。
通过对金融数据进行小波变换，可以将数据分解为不同尺度的波动成分，从而更好地分析和预测金融市场的走势。
小波变换还在语音和图像识别、地震信号处理、生物医学信号处理等领域得到了广泛的应用。
小波变换的多尺度分析特性使其能够更好地适应不同信号的特点，从而提供更准确和有效的分析结果。
小波变换是一种强大的数学工具，具有广泛的应用前景。
它可以在时域和频域上对信号进行分析，从而提取信号的特征和信息。
通过合理地选择小波函数和尺度，可以实现对不同信号的定性和定量分析。
小波变换的应用领域包括信号处理、图像处理、金融分析等，为这些领域提供了一种有效的工具和方法。
小波变换基础
- 252 -第9章 小波变换基础9.1 小波变换的定义给定一个基本函数)(t ψ，令 )(1)(,a b t at b a -=ψψ （9.1.1）式中b a ,均为常数，且0>a 。
显然，)(,t b a ψ是基本函数)(t ψ先作移位再作伸缩以后得到的。
若b a ,不断地变化，我们可得到一族函数)(,t b a ψ。
给定平方可积的信号)(t x ，即)()(2R L t x ∈，则)(t x 的小波变换（Wavelet Transform ，WT ）定义为dt a b t t x a b a WT x )()(1),(-=⎰*ψ〉〈==⎰*)(),()()(,,t t x dt t t x b a b a ψψ （9.1.2） 式中b a ,和t 均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT ）。
如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从∞-到∞+。
信号)(t x 的小波变换),(b a W T x 是a 和b 的函数，b 是时移，a 是尺度因子。
)(t ψ又称为基本小波，或母小波。
)(,t b a ψ是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。
这样，（9.1.2）式的WT 又可解释为信号)(t x 和一族小波基的内积。
母小波可以是实函数，也可以是复函数。
若)(t x 是实信号，)(t ψ也是实的，则),(b a W T x 也是实的，反之，),(b a W T x 为复函数。
在（9.1.1）式中，b 的作用是确定对)(t x 分析的时间位置，也即时间中心。
尺度因子a 的作用是把基本小波)(t ψ作伸缩。
我们在1.1节中已指出，由)(t ψ变成)(atψ，当1>a 时，若a 越大，则)(atψ的时域支撑范围（即时域宽度）较之)(t ψ变得越大，反之，当1<a- 253 -时，a 越小，则)(at ψ的宽度越窄。
这样，a 和b 联合越来确定了对)(t x 分析的中心位置及分析的时间宽度，如图9.1.1所示。
浅析数字图像处理中的小波变换原理
浅析数字图像处理中的小波变换原理
数字图像处理中，小波变换被广泛应用于图像的压缩、去噪、边缘检测等诸多方面。
小波变换的核心思想是将信号分解成时频域上不同尺度的小波基函数，从而能够更加准确地描述信号的局部特性和结构特征。
小波变换的基本原理是通过在时域上和频域上分解信号，得到其在不同尺度和频率上的分量，并将这些分量进行重组，以得到原信号或其近似。
在数字图像处理中，小波变换通常采用二维离散小波变换(DWT)。
二维离散小波变换可以将图像分解为多个尺度的子带，并且具有多分辨率分析的特性。
离散小波变换的基本步骤如下：
1. 将图像分解为不同尺度的子带。
2. 对每个子带进行小波变换，得到其时频域表示。
3. 对变换后的子带进行滤波，以滤除噪声和低频信号。
4. 将变换后的子带进行重构，得到原始图像或者其近似。
在小波变换中，使用的小波基函数通常是以Daubechies作为前缀的db1、db2、db3、db4等类型。
这些小波基函数具有良好的频域和时域性质，能够更加准确地描述信号的局部特性和结构特征。
此外，小波基函数也可以根据需要进行设计，例如可以自适应地选择小波基函数的长度、支持点数等参数，以更好地适应不同的应用场景。
总的来说，小波变换作为一种有效的数字图像处理方法，具有多尺度分析、自适应性、高精度及良好的时空特性等优点，可以更加准确地描述图像的特性，从而为图像压缩、去噪、边缘检测等诸多应用问题提供方便和有效的解决手段。
小波变换原理
小波变换原理小波变换（WaveletTransform，简称WT）是一种时频分析技术，它可以有效地用于信号和图像的处理。
小波变换的优势在于，它可以把信号或者图像分解为正交基函数.小波变换的原理十分简单，具体实现起来也比较容易。
在原理上，小波变换是一种分解式技术，它分解一个给定的函数f(x)者信号f(t)，分解的基为这一基的小波函数（wavelet），它可以以一种“分层处理”的方式，实现给定信号或者图像的分解。
这种分层处理可以将一个函数或者信号f(t)分解成不同尺度大小的组成部分，使得函数或者信号f(t)分解成不同尺度大小的组成部分，这是小波变换最重要的特征。
在小波变换中，通常使用一种称为双尺度小波变换的处理方法，该方法将小波分解成高、低频分量，这样可以保持原始信号中微小变化的部分，而忽略掉频谱上的粗大变化。
该方法还可以把原始信号分解成更小尺度的组成部分，因此能够充分发挥信号的复杂性，例如噪声的抑制、图像的重建以及心电信号的分析等等。
小波变换的运算步骤比较复杂，并且具有非常强的计算能力。
下面会介绍小波变换的主要步骤：1、小波变换：在多通道小波变换中，通过对原始信号进行一系列相互独立的频率变换，将原始信号分解成多个频域，每个频域中都包含有一系列的小波函数，这些小波函数将原始信号分解成不同尺度大小的组成部分。
2、频变换：在时频变换阶段，将原始信号进行一系列的变换，将原始信号分解成不同频率分量，这些分量可以用来描述信号的特征，或者用来检测噪声及其他外部信号。
3、波展开：小波展开是小波变换的核心技术，它可以使原始信号更加容易分解为不同尺度大小的组成部分，因此能够更加深入地揭示信号的内在特征。
4、波语义：小波语义是小波变换的一个重要技术，它允许原始信号以特定的语义被分解并进行处理，从而改善信号的处理效果。
小波变换的原理及应用极其广泛，在科学、工程、技术及其他领域都有着广泛的应用。
在声学领域，小波变换可以用于实时增强信号的识别精度；在通信领域，它可以用于信道模型的重建，从而提高信号的传输质量；在图像处理领域，它可以用于图像压缩、去噪等；在频谱分析中，它可以用于检测频谱中的非平稳调制信号；在心电信号分析及处理中，小波变换可以用于侦测心律失常等。
小波变换的基本原理与应用探究
小波变换的基本原理与应用探究引言：小波变换是一种数学工具，具有在时频域上分析信号的能力。
它的基本原理是将信号分解成不同频率的小波，从而更好地理解信号的特性。
小波变换在信号处理、图像压缩、模式识别等领域有着广泛的应用。
本文将探究小波变换的基本原理和一些实际应用。
一、小波变换的基本原理小波变换的基本原理可以通过以下几个步骤来理解：1. 选择合适的小波函数：小波函数是小波变换的基础，不同的小波函数适用于不同类型的信号。
常见的小波函数有Haar小波、Daubechies小波等。
选择合适的小波函数可以更好地适应信号的特性。
2. 信号分解：通过小波函数对信号进行分解，将信号分解成不同频率的小波系数。
这个过程类似于将信号通过滤波器组进行滤波，得到不同频率的分量。
3. 尺度变换：小波变换不仅可以分析信号的频率特性，还可以分析信号的时间特性。
通过尺度变换，可以观察信号在不同时间尺度上的变化情况。
4. 重构信号：通过小波系数和小波函数的逆变换，可以重构原始信号。
这个过程类似于将不同频率的小波系数通过滤波器组进行合成，得到原始信号。
二、小波变换的应用小波变换在许多领域都有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 信号处理：小波变换可以用于信号的去噪、特征提取和边缘检测等任务。
通过分析信号的小波系数，可以更好地理解信号的特性，从而实现对信号的有效处理。
2. 图像压缩：小波变换在图像压缩中有着重要的应用。
通过对图像进行小波变换，可以将图像分解成不同频率的小波系数。
根据小波系数的重要性，可以选择保留重要的小波系数，从而实现对图像的压缩。
3. 模式识别：小波变换可以用于模式识别任务中的特征提取。
通过提取信号的小波系数，可以获取信号的局部特征，从而实现对模式的识别。
4. 金融分析：小波变换在金融分析中有着广泛的应用。
通过对金融时间序列进行小波变换，可以分析不同频率的波动性，从而帮助投资者进行决策。
结论：小波变换作为一种有效的信号分析工具，在多个领域都有着广泛的应用。
小波变换算法实现
小波变换算法实现小波变换是现代信号处理领域中一种重要的分析方法，用于将一个时间域上的信号转换成频率-时间域上的信号。
小波变换具有时频局部化的特性，可以更好地描述信号的瞬时特征。
下面将介绍小波变换的基本原理和算法实现。
一、小波变换的基本原理小波变换本质上是将一个信号分解成不同频率和时间的成分。
它利用小波函数作为基函数，通过对信号的卷积和迭代分解，将信号分解为近似系数和细节系数。
近似系数表示信号在不同尺度上的低频成分，而细节系数表示信号在不同尺度上的高频成分。
通过迭代分解和重构，可以得到一系列尺度不同的近似系数和细节系数。
这些系数可以用于信号的压缩、去噪、边缘检测等各种信号处理任务，具有很强的应用价值。
二、小波变换的实现步骤小波变换的实现分为分解和重构两个步骤。
下面将详细介绍每个步骤的算法实现。
1.分解（1）选择小波基函数：需要选择一种合适的小波基函数作为分解的基础。
常见的小波基函数有Haar、Daubechies、Symlets等。
（2）信号补零：为了使信号长度满足小波变换的要求，需要对信号进行补零操作，通常在信号末尾添加0。
（3）小波滤波器：通过卷积操作将信号分解为低频和高频的部分。
低频部分即近似系数，高频部分即细节系数。
（4）采样：将滤波后的信号进行降采样，得到下一层的近似系数和细节系数。
（5）重复分解：将降采样后的近似系数和细节系数作为输入，重复进行上述分解操作，得到更高阶的近似系数和细节系数。
2.重构（1）插值：将近似系数和细节系数进行上采样，补齐0，得到重构所需的长度。
（2）小波滤波器：将插值后的系数与小波滤波器进行卷积操作，得到重构后的信号。
（3）重复重构：将重构信号作为输入，重复进行上述重构操作，得到原始信号的近似恢复。
三、小波变换的优缺点小波变换有以下几个优点：（1）时频局部化：小波函数具有时频局部化的特性，能更好地描述信号的瞬时特征。
（2）多分辨率分析：小波变换能够将信号在不同尺度上进行分解，分析信号的低频和高频成分。
小波变换基本原理
第五章 小波变换基本原理问题①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史③小波变换与短时傅里叶变换比较a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的5.1 连续小波变换一．CWT 与时频分析 1.概念：⎰+∞∞--ψ=dt abt t S ab a CWT )(*)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别小波 构造？1910 Harr 小波80年代初兴起 Meyer —小波解析形式80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现90年代初 Daubechies 正交小波变换90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=⎰∞+∞-ψdw ww C 2)(①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式⎰⎰+∞∞-+∞∞-ψ-ψ=dadb ab t b a CWT a C t S )(),(11)(23.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似）4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1)(2,22,,n t t a b t at n b a m mn m b a mm-ψ=ψ⇒-ψ=⇒•==--ψdt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,⎰+∞∞---ψ=•=5.小波变换具有时移不变性),()(),()(00b b a CWT b t S b a CWT t S -↔-↔6.用小波重构信号 ∑∑∑∑+∞-∞=+∞-∞=+∞-∞=+∞-∞=ψψ=m n m n nm nm nm n m t dt d t S )(ˆ)(ˆ)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{}n m ,ˆψ如何构建正交小波？5.2 分段逼近P1. =)(t φ逼近函数)2(2)(n t n t -→-φφ)2(2)()()(S ,1,0n t C t S n t C t nn nn -≈⇒-≈∑∑φφ 尺度21=a ⇒一般式：∑-=-≈nm m nm m a n t Ct S 2)2(2)(,2尺度φ)(,0,τS a m 逼近收敛于→∞→ 0,,0→∞→→逼近a m2.两尺度函数间关系 )12()2()(-+=t t t φφφ①张成空间满足10V V ⊂ ②两尺度空间差异在哪？ 3.表征细节的小波变换的引入很显然采样率越高，s T 越小， 逼近误差越小，采样率∞→无误差发现2)()()12(2)()()2(t t t t t t ϕφφϕφφ-=-+=⇒∑-≈⇒nn n t C S )2(2)t (,1φ 12,2+=m m n⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-∑∑+m m m m m t C m t C )122()22(212,12,1φφ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-+-=∑∑+m m m m m t m t C m t m t C 2)()(2)()(212,12,1ϕφϕφ ∑∑-•-+-•+→++nn n mn n n t C C n t C C n m )(2)(212,12,112,12,1ϕφ001W V V ⊕=⇒ 4.推广⇓⊕⊕⊕⊕⊕=⊕⊕=⊕=⇒----012011011W W W W V W W V W V V m m0121W W W V V ⊕⊕⊕=--∞- ↑⊕⊕⊕=---m W W W V m m m m ,123,lim ,1012=↓↓⊕⊕⊕⊕⊕==↑↑∞---∞→∞V m W W W W V V m m m 逼近精度逼近精度⎭⎬⎫⎩-)2(22n t m m ϕ包含信息量决定 →形成最简单的MRA尺 度2V二．分段逼近与小波变换（哈尔小波） 1.信号的尺度逼近与小波表示 尺度逼近 ∑→-nm nm m t S n t C)()2(2,2φ 小波表示 ∑∑+∞-∞=+∞-∞=-=m n m mnm n t dt S )2(2)(2,ϕ Harr 小波2.Harr 小波特性①同一尺度平移正交性：⎰+∞∞-'-='--)()(*)(n n dt n t n t δϕϕ②尺度，平移均正交 ⎰∞+∞-''''+''='-->=<n n m m m m m m n m n m dt n t n t t t ,,2)(,,)2(*)2(2)(),(δδϕϕϕϕ ⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⇒形成正交基)2(22n t mm ϕ⎰∞+∞--=dt n t t S d mm n m )2(*)(22,ϕ影即为小波系数信号在正交基函数上投 分段逼近的推广—MRA 一．多分辨率分析含义①由内空间 ⊂⊂⊂⊂+-110m m m V V V 组成②若0V 空间尺度函数)(t ϕ平移正交：⎰+∞∞-=-)()(*)(n n t t δφφ则)(t ϕ为0V 空间尺度函数,任一函数S(t)可用表示)(t φ③成立当且仅当1)2()(+∈∈m m V t S V t S ④{}00=m mm V V 交集为⑤平方可积空间即为并集逼近m V )(lim 2R L V m m =∞→ 问题：Harr 小波构成最简单MRA⇓同尺度m 也满足⎰+∞∞-''-=)()(*)(,,n n dt t t n m n m δϕϕ 作变量替换即可证明⎰∑∞+∞--=-=dtn t t S C n t C t S n nn )(*)()()(φφ如何构造选其它具体的MRA 体系 二．正交小波函数的系统构造 1.两尺度方程引入 ①低通滤波器与尺度关系Harr 小波满足 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+=)12(21)2(212)12()2()(t t t t t φφφφφ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nn t n h th 卷积关系满足)()(2)2(212100φφ②频域反映令 )2(2)2()()()()(00w tw t w H n h φφφφ↔⇒↔↔)()(00w w H h φφ↔*⇒)()()2()()(2)2(200w w H w w w H w φφφφ==⇒即③含义a. LPF n h H 为)(,1)0(00=b ．根据MRA ，∏∞==Φ=Φ100)0()2()2()2()(k k wH w w H w φc.1)0(=Φ 2.QMF 的引入①)(t φ的尺度正交关系的频域反映⎰+∞∞-=-)()(*)(n n t t δφφ⇒↔--)()(w e n t jnw φφ 频域也正交⎰∑+∞∞-=njnw n dw e w w )()(*)(21δφφπ两边对n 求和 ⎰∑+∞∞-=⇒ninw dw e w w 1)(*)(21φφπ利用泊松求和公式∑∑+=-nnjnwn w F en f )2()(π（令)(2)(,1)(w w F n f πδ==则） 有 ∑∑+=-nnjnwn w e)2(2πδπ∑∑-=⇒nnjnwn w e)2(21πδπ⎰∑+∞∞-=-⇒ndw n w w w 1)2()(*)(πδφφ∑⎰+∞∞-=-ndw n w w 1)2()(2πδφ即：∑∑=+⇒=-knk w n w 1)2(1)2(22πφπφ② QMF 正交镜像滤波器组的导出 利用两尺度关系∑=++k k wH k w 1)2()2(20ππφ对k 分奇偶讨论1))12(2())12(2()22()22(2020=+++++++⇒∑∑nn n wn w H n w n w H πφππφπ1))12(2()2()22()2(22220=+++++∑∑nnn ww H n w wH πφππφ 1)2()2(2020=++⇒πwH w H1)2(*)()(*)()()(00002020=+++=++⇒πππw H w H w H w H w H w H ③含义a.镜像为)()(,1)(1)0(0000w H w H H H ππ+=⇒=b.功率互补条件—半带条件 )(*)()(00w H w H w P =20)(π+w H1π20)(w H3.正交小波滤波器满足的条件 ①频域关系根据0)(),(=-k x x φϕ可推出0)(*)()(*)(1010=+++ππw H w H w H w H 上式的解为 )(*)(01π+-=-w H e w H jw ②时域关系 令 ∑-=↔↔njnw e n h w H w H n h w H n h )()()()()()(0011根据)(*)1()1()()(*)1()1()(*)()1()(*)(0010010000πππ+↔--=+↔--+↔--↔-⇒---w H e n h n h w H en h w H n h w H n h jw n jwn n③易证 QMF w H 也为)(1④小波滤波器同样满足两尺度关系∏∑∞==Φ=-=20111)2()2()2()2()()2()(2)(k k kwH w H w w H w k t k h t ϕφϕ4.尺度与小波滤波器频域关系的矩阵表示⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1001)()()()()(*)()()(11001010ππππw H w H w H w H W H w H w H w H 5.{}{}解释的与MRA t t n m n m )()(,,φϕ{}{}m nm mnm V t W t →→)()(,,φϕ 正交补 112+-⊕⊕⊕=⇒m m m W W W L⎰∑∑∞+∞-+∞-∞=+∞-∞===dtt t S d t dt S n m n m m n m n nm )(*)()()(,,,,ϕϕ例：求Harr 小波的频域尺度函数和小波函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121212110h h 解： 2)2()2()2()(11210w w Sin e w Cos e w H w k k w j k w j k •===Φ∏∏∞=∞=-+- ∑⋅⋅=-==---nwj jwjnww Sin e j e e n h w H )2()1(21)()(211 4)4()()2()2()(21w w Sin w w w H w =⇒=Φ=ϕϕ 其频域幅值图如Fig 5–13所示可发现其缺陷在于波纹太大 （原因—时域紧支撑） 例：理想LPF 也构成正交小波⎪⎩⎪⎨⎧≤=其它021)(0πw w H解：[]())1()1(2)()(00n n Sin w H IFT n h --==ππ 小波函数Sinc Sinc →•)( 三．有关小波函数的一些概念 1.小波消失矩 （vanishing moment ） 满足 阶消失矩具有则称N t N k dt t t k m k )(1,1,0,0)()(1ϕϕ-===⎰+∞∞-①母小波)(t ϕ平滑度由消失矩决定，消失矩越大，则)(w ϕ频域衰减越快)(t ϕ越平滑②消失矩越大，小波振荡程度越高 2.小波正则度（regularity ） ①定义：小波)(t ϕ的连续可导次数②正则度为n 的小波)(t ϕ具有（n +1）阶消失矩（必要条件） 四．问题讨论1.根据MRA 理论①小波和尺度函数均可由无穷频域次乘积得出，最终由)(0n h 决定 ②不关心其解析表达式2.MRA 理论 离散小波的数值实现5.4 小波变换与数字滤波器组一．时间离散小波变换的实现途径 1.不能直接对定义式离散化实现)2(2),()(),(2,,n t t S t t S d m mn m n m -==ϕϕ 令 )(采样周期→=T kT l 当m 较小时，n t m -2不为整数2.第一代小波变换：根据MRA 理论，由数字滤波器组实现3.第二代小波变换：Swelden 算法 由预测和更新滤波器进行交替提升实现 二．Mallat 算法 1.两个近似假设①∑∑∑-=+=nn m k nkn nk n m n m t dt C t S t S 1,000)()()()(ϕφ似由某一尺度空间函数近②n m C ,由采样数据直接近似 ⎰∞+∞--=dt n t t S C m m n m )2(*)(22,φm m w jnm jnw w e n t w e n t w t m----•↔-⇒↔-⇒↔2)2()2()()()()(2φφφφφφ滤波器组（Mallat 算法） （根据尺度函数和小波函数）)2(2)2(2222w en t m wjn m mm m -⋅⋅---↔-⇒φφ⎰∞+∞---⋅=⇒dw e w w S C w nj m mnm m 22,)2(*)(221φπ当分辨率m 足够高时 0)2(*→-w m φnt m m m nwj mn m m mt S n S dwe w S C --=---∞+∞--==⋅≈⇒⎰22222,)(2)2(2)(212π故可直接用样本数据取代 2.Mallat 算法 ①分解算法 a.推导⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞-∞+∞-----=-==-dtn t t S dtn t t S dt t t S C m m m m n m n m )222(*)(2)2(*)(2)()(1121*,1,1φφφ两尺度关系 ⎰∑∞+∞--+-⋅im m dt i n t i h t S ))2(2(*)(2)(2021φ∑∑∑⎰++∞+∞->=<⋅=+-=iiin m i n m im m C i h t t S i h dti n t t S i h 2,02,020)(2)(),()(2))2(2(*2)()(φφ∑-+='i i m C n i h in i ,0)2(22同理-=-i m n m C n i h d ,1,1)2(2②重构算法a.推导（由两尺度关系，正交关系，及奇偶讨论可导出）⎪⎭⎫⎝⎛-+-=∑∑--i i i m i m n m d i n h C i n h C ,11,10,)2()2(2b.滤波器组实现（上采样+滤波）5.5 小波变换的应用一．小波地位小波曾火热一时，但小波不是万能的，在某些应用场合特别适用 小波无法求解微分方程纯数字和物理地位不如FT 二．信号检测方面应用 发动机声音中的撞击声检测傅里叶分析：时间平均作用模糊了信号局部特性 Gabor 变换 ：仍需长窗去包含振荡波形 小波变换 ： 小波基可任意窄 三．降噪应用 1.适用场合经典滤波：要求信号与噪声频率足够窄且不重合 高斯类噪声和脉冲噪声 → 宽带噪声 → 小波去噪 2.滤波效果①经典滤波：丢失波形尖锐处信息②小波降噪：基本保留波形尖锐处信息（与小波基选择有关） 3.滤波手段①传统方法：Prony 参数建模法②小波降噪b.可证明其统计最优性c.阈值比较（阈值T 可基于信号标准差得出） 硬阈值：比较n m d ,软阈值：考虑n m d ,符号，及其其它系数相关性 4.小波基选择：小波基应与主体信号量相近相似度越高，主小波系数越大，噪声系数则越小 NI 信号处理工具箱分解重构。
小波变换的原理及使用方法
小波变换的原理及使用方法引言：小波变换是一种数学工具，可以将信号分解成不同频率的成分，并且能够捕捉到信号的瞬时特征。
它在信号处理、图像处理、模式识别等领域有着广泛的应用。
本文将介绍小波变换的原理和使用方法。
一、小波变换的原理小波变换是一种基于基函数的变换方法，通过将信号与一组小波基函数进行卷积运算来实现。
小波基函数具有局部化的特点，可以在时域和频域中同时提供信息。
小波基函数是由一个母小波函数通过平移和缩放得到的。
小波变换的数学表达式为：W(a,b) = ∫ f(t) ψ*(a,b) dt其中，W(a,b)表示小波变换的系数，f(t)表示原始信号，ψ(a,b)表示小波基函数，a和b分别表示缩放因子和平移因子。
二、小波变换的使用方法1. 信号分解：小波变换可以将信号分解成不同频率的成分，从而实现信号的频域分析。
通过选择合适的小波基函数，可以将感兴趣的频率范围突出显示，从而更好地理解信号的特征。
在实际应用中，可以根据需要选择不同的小波基函数，如Haar小波、Daubechies小波等。
2. 信号压缩：小波变换可以实现信号的压缩，即通过保留主要的小波系数，将信号的冗余信息去除。
这样可以减小信号的存储空间和传输带宽，提高数据的传输效率。
在图像压缩领域，小波变换被广泛应用于JPEG2000等压缩算法中。
3. 信号去噪：小波变换可以有效地去除信号中的噪声。
通过对信号进行小波变换，将噪声和信号的能量分布在不同的频率区间中，可以将噪声系数与信号系数进行分离。
然后，可以通过阈值处理或者其他方法将噪声系数置零，从而实现信号去噪。
4. 信号边缘检测：小波变换可以捕捉到信号的瞬时特征，因此在边缘检测中有着广泛的应用。
通过对信号进行小波变换，可以得到信号的高频部分，从而实现对信号边缘的检测。
这对于图像处理、语音识别等领域的应用非常重要。
结论：小波变换是一种强大的数学工具，可以在时域和频域中同时提供信号的信息。
它可以用于信号分解、信号压缩、信号去噪和信号边缘检测等应用。
小波变换的基本原理
小波变换的基本原理嘿呀，宝子，今天咱来唠唠小波变换这个超有趣的东西。
小波变换呢，就像是一个超级神奇的魔法工具。
你可以把它想象成一个特别聪明的小侦探，专门去探究信号里面的小秘密。
比如说，你听到一段音乐，这里面有高音有低音，有长音有短音，这些声音信号看起来乱乱的，但是小波变换就能像把这些声音信号拆成一个个小零件一样，仔细地研究每个零件是啥样的。
一般来说，我们平常接触到的信号啊，就像是一团乱麻。
传统的方法去看这个信号，就有点像只看这个乱麻的整体，很难发现里面细致的结构。
可是小波变换就不一样啦。
它有自己独特的小波函数，这个小波函数就像一把特制的梳子。
这把梳子的齿儿大小啊、形状啊都是可以根据要分析的信号来调整的。
那这个小波函数怎么工作呢？它就像在信号这个大仓库里，这里翻翻，那里找找。
它会在信号的不同地方进行“扫描”。
比如说，在信号开始的地方，它用一种方式去和信号匹配，看看能发现啥。
然后再到信号中间，又换一种方式去匹配。
这就好比你找东西，在房间的角落用小镊子找小物件，在大柜子里就用大钩子找大物件一样。
而且啊，小波变换特别擅长发现信号里面那些突然变化的地方。
就像你看一幅画，画里突然有个特别鲜艳的颜色在一堆暗淡颜色里冒出来，小波变换就能很快地找到这个特别的地方。
它能把信号里那些隐藏的信息，像宝藏一样挖掘出来。
你知道吗？在图像领域，小波变换也超级厉害。
一张图片看起来就是一个整体的画面，但是里面有很多不同的细节啊，有颜色深的地方，颜色浅的地方，有边缘的地方。
小波变换就像一个超级细心的画家，把这幅画一层一层地剥开，先看大的轮廓，再看小的细节。
它把图像分解成不同的频率成分，就像把一幅画分成了背景、主体、小装饰这样不同的层次。
在工程领域，小波变换也有大用场。
比如说检测机器的故障。
机器运行的时候，会发出各种各样的声音信号或者振动信号。
正常的时候，这些信号有一定的规律，一旦机器出故障了，信号就会发生变化。
小波变换就像一个超级灵敏的听诊器，能听出这个信号里不正常的地方，然后告诉工程师，这个机器这里出问题啦。
小波变换原理
小波变换原理
小波变换是一种有用的数字图像处理方法，可以将图像的信号分解为几个不同的小部分，使得处理变得更容易、更简单。
小波变换原理是指将图像信号分解为若干可分解的子信号，并通过分析这些子信号来获取有关图像特征的信息。
小波变换原理的基本概念是将图像分解为“系数”和“尺度”，
即将图像分解为不同的尺度空间，每个空间中的像素信号表示为系数和尺度之间的关系。
小波变换是一种矩阵分解技术，利用图像的小波变换系数将图像的像素信号分为多个彼此具有相似特征的图像尺度，这样就可以建立一个有效的图像像素空间，用于分解和重构图像信号。
小波变换是一种非线性技术，可以实现数字图像处理中常用的空间域，空间频率域，时域，时频域等图像域的转换，从而实现图像处理功能。
通常情况下，小波变换采用一组正交函数构成变换系数，比如Haar，Symmlet，Coiflet和Biorthogonal等，将图像信号分解为一系列子信号。
此外，小波变换还包括从子信号重构图像信号的过程，使用正交函数来实现。
小波变换的优点是可以有效的提取图像信号中的属性，例如低频信号，以及高频信号，从而进行更精细的图像分析、提取、滤波、压缩等。
同时，小波变换也可以有效的减少图像信号的噪声，实现图像去噪，这对于图像分析和提取有重要意义。
总之，小波变换原理是将图像信号分解为若干可分解的子信号，利用正交函数构成的变换系数将图像的像素信号分为多个彼此具有
相似特征的图像尺度，从而提取图像信号中的特征，进行更精细的图像分析、提取、滤波、压缩等。
小波变换是一种有效的数字图像处理方法，可以有效进行图像处理，有助于人们更加深入的理解图像，提高图像分析的效率。
小波变换原理
小波变换原理小波变换是一种多尺度分析方法，它可以将信号分解成不同尺度的成分，从而揭示出信号的局部特征。
小波变换在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
本文将介绍小波变换的原理及其在实际应用中的一些特点。
小波变换的原理可以通过分析其数学表达式来理解。
假设我们有一个连续信号f(t)，我们希望将其分解成不同尺度的成分。
我们可以使用一组小波函数ψ(a, b)来对信号进行分解，其中a表示尺度参数，b表示平移参数。
小波函数具有一定的特性，比如局部化、平滑性等，这使得它可以很好地描述信号的局部特征。
小波变换可以通过对信号与小波函数进行内积运算来实现，即。
W(a, b) = ∫f(t)ψ(a, b)dt。
其中W(a, b)表示小波系数，ψ(a, b)表示小波函数的共轭。
通过对不同尺度和平移参数下的小波系数进行计算，我们可以得到信号在不同尺度下的频谱信息，从而实现信号的分解和分析。
小波变换的一个重要特点是多尺度分析能力。
传统的傅里叶变换只能提供信号在全局尺度下的频谱信息，而小波变换可以提供信号在不同尺度下的频谱信息，这使得它可以更好地捕捉信号的局部特征。
这种多尺度分析的能力使得小波变换在处理非平稳信号时具有优势，比如地震信号、心电图信号等。
另外，小波变换还具有一定的局部化特性。
小波函数在时域和频域上都具有一定的局部化特性，这使得小波变换可以更好地描述信号的局部特征。
相比之下，傅里叶变换在频域上具有全局性，这在一定程度上限制了其对信号局部特征的描述能力。
除了信号分析之外，小波变换还在图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
在图像处理中，小波变换可以用于图像的去噪、边缘检测等任务；在数据压缩中，小波变换可以将信号的能量集中在少数重要的小波系数上，从而实现对信号的高效压缩。
总之，小波变换是一种重要的信号分析方法，它具有多尺度分析能力和局部化特性，适用于处理非平稳信号和具有局部特征的信号。
在实际应用中，小波变换有着广泛的应用前景，可以帮助我们更好地理解和处理各种类型的信号和数据。
(完整word版)小波变换原理及其图像去噪的应用
《现代数字信号处理》课题问题：一、目前常用的小波函数类型和特点;二、mallat算法（分解算法）在具体实现过程中存在的问题;三、小波变换的应用。
问题一:目前常用的小波函数作为一个小波的函数，它一定要满足容许条件，在时域一定要是有限支撑的，同时，也希望在频域也是有限支撑的，当然，若时域越窄，其频域必然是越宽,反之亦然。
在时域和频域的有限支撑方面我们往往只能取一个折中.此外,我们希望由母小波形成的是两两正交的，或是双正交的。
我们可以根据上述要求对现已提出的大量的小波函数作一粗略地分类。
在下面的分类中，第一类是所谓地“经典小波"，在MATLAB中把它们称作“原始（Crude)小波”.这是一批在小波发展历史上比较有名的小波；第二类是Daubecheis构造的正交小波,第三类是由Cohen，Daubechies构造的双正交小波。
1。
经典小波类（1）Haar小波Haar小波函数定义是：其波形如图1所示.的傅里叶变换是:Haar小波有很多好的优点：1)Haar小波在时域是紧支撑的，及其非零区间为（0,1)；2)若取,，那么Haar小波不但在其位移处是正交的，即;而且j取不同值时也是两两正交的，即。
如图所示。
3)Haar小波仅取+1和—1，因此计算简单.但Haar小波不是连续小波，由于，因此只有一阶零点，这就使得Haar小波在实际的信号分析与处理中受到了很大的限制。
2.Morlet小波Morlet小波的定义为：其傅里叶变换它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。
考虑到待分析的信号一般是实信号，座椅在matlab中将改造为:并取。
该小波不是紧支撑的，理论上讲t可取-∞—+∞。
但是当，或再取更大的值时,和和频域都具有很好的集中，如图1所示。
图1 Morlet小波函数波形与频谱3.Marr小波Marr小波，中文名为“墨西哥草帽"小波。
它定义为式中，其傅里叶变换为:该小波是由一高斯函数的二阶导数得到的，它沿着中心轴旋转一周得到的三维图形犹如一顶草帽，故有此而得名。
小波变换的基本原理与理论解析
小波变换的基本原理与理论解析小波变换（Wavelet Transform）是一种在信号处理和图像处理领域中广泛应用的数学工具。
它通过将信号分解成不同频率和时间的小波分量，可以有效地捕捉信号的局部特征和时频特性。
本文将介绍小波变换的基本原理和理论解析。
一、小波变换的基本原理小波变换的基本原理可以概括为两个步骤：分解和重构。
1. 分解：将原始信号分解为不同尺度和频率的小波分量。
这个过程类似于频谱分析，但是小波变换具有更好的时频局部化特性。
小波分解可以通过连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）或离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）来实现。
在连续小波变换中，原始信号与一组母小波进行卷积，得到不同尺度和频率的小波系数。
母小波是一个用于分解的基本函数，通常是一个具有有限能量和零平均的函数。
通过在时间和尺度上的平移和缩放，可以得到不同频率和时间的小波分量。
在离散小波变换中，原始信号经过一系列低通滤波器和高通滤波器的处理，得到不同尺度和频率的小波系数。
这种方法更适合于数字信号处理，可以通过快速算法（如快速小波变换）高效地计算。
2. 重构：将小波分量按照一定的权重进行线性组合，恢复原始信号。
重构过程是分解的逆过程，可以通过逆小波变换来实现。
二、小波变换的理论解析小波变换的理论解析主要包括小波函数的选择和小波系数的计算。
1. 小波函数的选择：小波函数是小波变换的核心，它决定了小波变换的性质和应用范围。
常用的小波函数有Morlet小波、Haar小波、Daubechies小波等。
不同的小波函数具有不同的时频局部化特性和频谱性质。
例如，Morlet小波适用于分析具有明显频率的信号，而Haar小波适用于分析信号的边缘特征。
选择合适的小波函数可以提高小波变换的分辨率和抗噪性能。
2. 小波系数的计算：小波系数表示了信号在不同尺度和频率上的能量分布。
小波变换原理
小波变换原理
小波变换是一种多用途的数学工具，自20世纪80年代以来已被广泛应用于数字图像处理领域。
小波变换把一个原始信号分解成多组低频信号和高频信号，通过分析低频信号来推断信号的趋势，考虑高频信号来掌握信号的细节，从而更好地提取信号中有价值的信息。
小波变换是一种类似滤波的多尺度变换技术，它是在时间上对信号的分解，即结合滤波和重构的形式来分析信号的多尺度特性，这样就可以在时间和频率范围内把信号分解成层次结构。
小波变换有两种基本模式：分解型和完全型。
分解型小波变换以采样频率为基础，把信号分解为几种不同尺度的波形，比如高频离散小波变换(DWT)或高斯小波变换(GWT)。
完全型小波变换是通过不同尺度的小波基函数进行分析的，比如曲线匹配和多项式建模技术。
小波变换的一个重要应用就是图像压缩。
图像压缩技术通常有两种应用模式：无损和有损。
无损图像压缩是指在压缩过程中不会出现失真，而有损图像压缩就是指在压缩过程中可能会出现一定程度的失真。
小波变换无损图像压缩技术采用分层多尺度分解的方法，通过把图像分解成多组低频和高频信号，只保留部分低频信号，忽略掉大部分高频信号，这样可以实现图像的压缩。
此外，小波变换还广泛应用于计算机视觉领域，可用于图像去噪处理、边缘检测和形态学处理等，可以帮助计算机识别图像中的目标对象，当然，小波变换也可以应用于其他领域，如声学、天气预报等。
综上所述，小波变换是一种强大的数学工具，可以帮助我们更好
地分析和处理信号，从而提取有价值的信息。
它在图像处理中的应用越来越广泛，还可以用于计算机视觉和其他领域，受到了广泛的关注。
时间序列的小波分析.doc
时间序列的小波分析时间序列（Time Series）是地学研究中经常遇到的问题。
在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。
其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。
然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。
对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。
显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。
20 世纪80 年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。
目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。
在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。
因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数(t) L2 (R) 且满足：( t)dt 0 （1）式中，(t) 为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：t b1/ 2a (t) a ( ) 其中，a,b R, a0 （2）,ba式中，(t)a 为子小波； a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。
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第五章小波变换基本原理问题①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？—尺度②小波发展史1910 Harr 小波80 年代初兴起Meyer—小波解析形式小波80 年代末 Mallat 多分辨率分析— WT 无须尺度构造？和小波函数—滤波器组实现90 年代初 Daubechies 正交小波变换90 年代中后期 Sweblews 第二代小波变换③小波变换与短时傅里叶变换比较a．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数WT（要容许性条件）④小波相关概念，数值实现算法多分辨率分析（哈尔小波为例）Daubechies正交小波构造MRA 的滤波器实现⑤小波的历史地位仍不如FT，并不是万能的5.1连续小波变换一． CWT 与时频分析1t b1.概念： CWT (a, b)S(t) * ()dtaa2.小波变换与 STFT 用于时频分析的区别STFT小波变换基函数(t )(t mT )e jwt(t)1* ( t b )a a时频轴平移 +调制（线性频轴）平移+伸缩 a —尺度—对数频轴基函数特包络恒定，振荡不同振荡恒定，包络恒定征时频分辨(t mT )e jwt，[mT,w]附近w0附近b, 率 a适用情况渐变信号突变信号2 轴spectrogram scalogram结果复数实数3.WT 与 STFT 对比举例（ Fig5–6, Fig5–7）二． WT 几个注意的问题1.WT 与(t) 选择有关—应用信号分析还是信号复原2.母小波(t ) 必须满足容许性条件2( w)C dww①隐含要求(0) 0,即(t) 具有带通特性②利用 C可推出反变换表达式S(t) 1 1 CWT (a,b) (t b)dadbC a 2 a3.CWT 高度冗余（与 CSTFT 相似）4.二进小波变换（对平移量 b 和尺度进行离散化）2 m , b n 2 m 1 ( t b)m(2m t n)a a,b (t )m,n (t ) 2 2a adm,n CWT (2 m , n 2 m ) S(t ) m,n * (t) dt 5.小波变换具有时移不变性S(t ) C W T(a, b)S(t b0 ) C WT(a,b b0 )6.用小波重构信号S(t)? ?d m,n m,n (t )正交小波 d m,n m,n (t ) m n mn中心问题：如何构建对偶框架?m, n如何构建正交小波？5.2 分段逼近学习目的—理解 MRA一．分段逼近的引入很显然采样率越高，T s越小，PAM逼近误差越小，采样率无误信号近似ADC 差T s 1t f s1.采样率增大的尺度体现11, 0 t 1(t)0,其它1 t 用平移的(t ) 版本对S(t)作近似逼近函数(t n) 2 ( 2t n)S(t) C0,n (t n) S(t) 2 C1, n (2t n)1 尺度 an n 2m一般式： S(t) 2 2 C m,n (2m t n) 尺度 a 2 mnm ,a 0, 逼近收敛于S( )m 0, a , 逼近0(t)2.两尺度函数间关系 1 张成 V0空间(t)(2t)(2t 1)1 ①张成空间满足 V0 V11 (2t)空间②两尺度空间差异在哪？张成 V13.表征细节的小波变换的引入121 (2t 1)(t )(2t)(t ) (t)2 (t ) 表细节发现(t) (t )(2t 1)2S( t)2 C1, n (2t n)nn 2m,2m 12C1, 2 m (2t 2m) C1, 2 m 1 (2t 2m 1)m m2 C1,2m(t m) (t m) (t m) (t m)2C1, 2m 12 m mmC1,2 nC1, 2 n 1(tC1,2 nC1, 2n 1(t n) n2n)2m nV1 V0 W0 4.推广m=-1 V 1尺度m=0V0m=1V0m=2V1 W0V1W1V2V1V1W0VV1V W 1W1WVmWm W 2 W 1 W0 2W1WV m Wm 3Wm 2 W m 1, mm , 逼近精度V lim V m W 2 W 1 W0 W1mm , 逼近精度V 0m2 2 (2m t n) 包含信息量决定形成最简单的 MRA二．分段逼近与小波变换（哈尔小波）1.信号的尺度逼近与小波表示m尺度逼近 2 2C m,n ( 2m t n)S(t )nm小波表示 S(t )d m,n 2 2 (2m t n)Harr 小波mn2.Harr 小波特性①同一尺度平移正交性：(t n) * (t n )dt( n n )同尺度 m 也满足m,n(t )m,n * (t) dt(n n )作变量替换即可证明②尺度，平移均正交(m m )m,n (t ), m , n (t )2 2(2m t n) * ( 2m t n ) dtm, m n ,nm信号在正交基函数上投 影即为小波系数2 2 (2m t n) 形成正交基mS(t) * (2 m t n)dtd m ,n 2 2分段逼近的推广 —MRA 一．多分辨率分析含义①由内空间 0 V m 1V mVm 1组成②若 V 0 空间尺度函数 (t) 平移正交： (t ) * (t n) ( n)则(t )为 V 0 空间尺度函数 ,任一函数 S(t)可用 (t) 表示S(t )C n (t n)nC n S(t) * (t n)dt③ S(t) V m 当且仅当 S( 2t) V m 1成立④ V m 交集为 0V mm⑤平方可积空间即为 V m 并集逼近lim V mL 2 (R)m问题： Harr 小波构成最简单 MRA如何构造选其它具体的 MRA 体系二．正交小波函数的系统构造1.两尺度方程引入①低通滤波器与尺度关系Harr 小波满足(t)(2t )(2t 1) 2 1 (2t ) 1(2t 1)22 h 01 1满足 ( t) 2 h 0 (n) (t n) 卷积关系2 22 n②频域反映令 h 0 (n)H 0 (w)(t)(w)( t2 ( 2w))2h 0 H 0 ( w) (w)2 (2w) 2H 0 (w) ( w)即 (2w) H 0 (w) ( w)③含义a. H 0 (0) 1, h 0 (n)为 LPFb ．根据 MRA ， ( w) H 0w w H 0 ( w( ) ( ) 2 k ) (0)22k 1c. (0) 12.QMF 的引入① (t) 的尺度正交关系的频域反映(t) * (tn)(n)(t n)e j n w (w)频域也正交1 ( w) * (w) e jnw dw(n)2n两边对 n 求和1 ( w) * (w) e inw dw 12n利用泊松求和公式f ( n)e jnwF (w 2n )nn（令 f (n) 1,则 F ( w)2 (w) ） 有ejnw2( w 2n )nn1 e jnw( w2n )2nn(w) * ( w)n( w 2n ) dw 12( w 2n ) dw 1(w)n即：(w 2n 21(w21)2k )nk② QMF 正交镜像滤波器组的导出利用两尺度关系(wk ) H 0 (w2k )1k22对 k 分奇偶讨论ww2ww2nH 0 ( 2 2n ) ( 2 2n )nH 0 ( 2 (2n1) ) ( 2(2n 1) )12222H 0 ( w)(w2n )H 0 (w)(w(2n 1) )12n22n2( w) 2(w2H 0H 0 )122H 0 ( w) 2H 0 (w2H 0 (w) H 0 * ( w) H 0 ( w )H 0 * (w 2) 1)③含义a.H 0 (0) 1 H 0 ( ) 1, H 0 (w ) 为H 0 (w)镜像b.功率互补条件 —半带条件P( w) H 0 (w) H 0 * ( w)1H 0 (w2)H 0 (w) 223.正交小波滤波器满足的条件①频域关系根据( x), ( x k) 0 可推出H 0 (w)H 1 * (w) H 0 (w) H 1 * ( w) 0上式的解为 H 1 (w)e jw H 0 * (w)②时域关系令 h 1 ( n)H 1 ( w) h 0 ( n) H 0 (w) 根据 H (w)h( n)e jnwnh 0 ( n) H 0 * ( w)( 1)n h 0 ( n) H 0 * ( w) ( 1) n 1 h 0 (1 n) e jw H 0 * (w ) h 1 (n) ( 1) n h 0 (1 n)e jw H 0 * ( w)③易证 H 1 (w)也为 QMF④小波滤波器同样满足两尺度关系(t)2h 1 ( k) (2t k)k( w) H 1 ( w) ( w) H 1 ( w ) H 0 ( w)2 2 2 k 2 2k 4.尺度与小波滤波器频域关系的矩阵表示H 0 (w) H 1 ( w) H 0 ( w) H 0 ( w ) H 0 (w) H 1 * (W) H 1 ( w) H 1 ( w ) 5. m,n (t) 与 m ,n (t ) 的 MRA 解释m,n(t )W m正交补L2Wm,n(t )V mm 1S(t )d m,nm,n(t )mnd m, n S(t ) m,n * (t)dt1 0 0 1WmWm 1例：求 Harr 小波的频域尺度函数和小波函数1 1 h 11 1 h 0222 2wj w 2wjw解： ( w)H 0 ( e Cos(22 k )2 k 1)ek 1k 1Sin( w2)w 2h 1 (n)e jnw1 (1 e jw )jww ) H 1 (w)j e 2 Sin(n22ww w 4) 2(S i n(w) H 1 ( 2 ) ( 2 )(w) w4其频域幅值图如 Fig5–13 所示可发现其缺陷在于波纹太大 （原因 —时域紧支撑）例：理想 LPF 也构成正交小波1w H 0 ( w)2 0其它Sin2 (1 n)解： h 0 (n) IFT H 0 ( w)(1 n)Sinc( )函数 Sinc 小波三．有关小波函数的一些概念1.小波消失矩 （vanishing moment ）满足m 1 (k )t k (t) dt0, k 0,1, N 1 则称 (t )具有 N 阶 消 失 矩①母小波 (t ) 平滑度由消失矩决定，消失矩越大，则(w) 频域衰减越快(t ) 越平滑②消失矩越大，小波振荡程度越高2.小波正则度（ regularity ） ①定义：小波 (t) 的连续可导次数②正则度为 n 的小波(t) 具有（ n+1）阶消失矩（必要条件）四．问题讨论1.根据 MRA 理论①小波和尺度函数均可由无穷频域次乘积得出，最终由h0 ( n) 决定②不关心其解析表达式2.MRA 理论离散小波的数值实现滤波器组5.4 小波变换与数字滤波器组一．时间离散小波变换的实现途径1.不能直接对定义式离散化实现mdm,n S(t), m, n (t) S(t ),2 2 (2m t n)令l kT (T采样周期)当 m 较小时，2m t n 不为整数2.第一代小波变换：根据MRA 理论，由数字滤波器组实现（ Mallat 算法）（根据尺度函数和小波函数）3.第二代小波变换： Swelden算法二． Mallat 算法1.两个近似假设① S(t)由某一尺度空间函数近似② C m,n由采样数据直接近似mC m,n 2 2S(t) * ( 2m t n)dt(t)( w)(t n) e (2m t n) e 由预测和更新滤波器进行交替提升实现n 1S(t ) C m0n m0n (t ) d k ,n kn (t) n k m0 njnw(w)jnw2m(2 m w) 2mm m2 2 ( 2m t n)2 2 e jn 2 m w (2 m w)1 mnC m,n2 2S( w) * (2 m w)e j 2m w dw2当分辨率 m 足够高时* (2 m w) 0mC m,n221S( w)e j 2 m nw dw2mm2 2 S(2 m n) 22S(t ) t 2m n故可直接用样本数据取代2.Mallat 算法①分解算法a.推导m*m 1S(t ) * ( 2m 1 tCm 1,nS(t )1 , n(t )dt 2 2 n) dt 2m 1S(t )* ( 2mt2n)dt2m 1两 尺 度 关 系 2 2S(t ) 2 h 0 (i ) * ( 2m t (2n i)) dtimh 0 (i )S(t )2 2 * ( 2m t (2ni ))dti2 h 0 (i)S(t),m, 2n i(t)2 h 0 (i )C m, 2 n iiii 2n i2 h 0 (i 2n)C m ,ii同理 d m 1, n 2h 1 (i 2n)C m, iib.滤波器组实现（滑动内积 +下采样）Cm,nH 0 * (w) 2Cm 1,nh 0 ( n)H 1 * (w) 2dm 1,nh 1 ( n)②重构算法a.推导（由两尺度关系，正交关系，及奇偶讨论可导出）C m,n2h0 (n 2i )C m 1,i h1 (n 2i )d m 1,ii ib.滤波器组实现（上采样 +滤波）dm 1, n2H 1 (w)S(i) Cm 1, n2H 0 (w)5.5小波变换的应用一．小波地位小波曾火热一时，但小波不是万能的，在某些应用场合特别适用小波无法求解微分方程纯数字和物理地位不如FT二．信号检测方面应用发动机声音中的撞击声检测傅里叶分析：时间平均作用模糊了信号局部特性Gabor 变换：仍需长窗去包含振荡波形小波变换：小波基可任意窄三．降噪应用1.适用场合经典滤波：要求信号与噪声频率足够窄且不重合高斯类噪声和脉冲噪声宽带噪声小波去噪2.滤波效果①经典滤波：丢失波形尖锐处信息②小波降噪：基本保留波形尖锐处信息（与小波基选择有关）3.滤波手段①传统方法： Prony 参数建模法②小波降噪a. 信号系数阈值比较反变换输出小波变换分解重构b.可证明其统计最优性c.阈值比较（阈值 T 可基于信号标准差得出）硬阈值：比较 d m,n软阈值：考虑 d m,n符号，及其其它系数相关性4.小波基选择：小波基应与主体信号量相近相似度越高，主小波系数越大，噪声系数则越小NI 信号处理工具箱。