必修五周末检测题

必修五周末检测题1．.(2010·浙江文，6)设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [解析] 本题考查了充要条件及基本不等式．∵0<x <π2，∴0<sin x <1∴0<sin 2x <sin x <1∴x sin 2x <x sin x则x ·sin x <1⇒x ·sin 2x <1成立，故选B2．已知等差数列{a n }的公差d ＝－2，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99的值是 ( ) A ．－78B ．－82C ．－148D ．－182解析 ∵a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＋2d ×33＝50＋66×(－2)＝－82.3．在椭圆x 240＋y 220＝1上有一点P ，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，△F 1PF 2为直角三角形，这样的点P 有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 [解析]以F 1或F 2为直角顶点时，符合条件的点P 有4个；以P 为直角顶点时，由于e ＝22，符合条件的点P 有2个，故符合条件的点P 共有6个． 4．.(2011·四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只能送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z 为( )A ．4 650元B ．4 700元C ．4 900元D ．5 000元解析 设该公司合理计划当天派用甲、乙型卡车的车辆数分别为x ，y ，则根据条件得x ，y满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，x ≤8，y ≤7，x ∈N *，y ∈N *，目标函数z ＝450x ＋350y .作出约束条件所表示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x ＋350y ＝0知，当直线经过直线x ＋y ＝12与2x ＋y ＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即z ＝450×7＋350×5＝4 900.5.已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好为椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2[解析] F 点的坐标为(16－m 2，0)，∴由16－m216＋(2216－m 2)m2＝1得m 4＋8m 2－128＝0，∴m 2＝8，∴m ＝2 2.故选D. 6．设θ∈(π，5π4)，则关于x ，y 的方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1所表示的曲线为( )A ．实轴在y 轴上的双曲线B ．实轴在x 轴上的双曲线C ．长轴在y 轴上的椭圆D ．长轴在x 轴上的椭圆[解析] ∵θ∈(π，5π4)，∴sin θ<0，－cos θ>0∴原方程可化为x 2sin θ＋y 2－cos θ＝1，即x 2sin θ＋y 2|cos θ|＝1，它表示实轴在y 轴上的双曲线．故选A.7．设命题甲为“点P 的坐标适合方程F (x ，y )＝0”；命题乙为：“点P 在曲线C 上；命题丙为：“点Q 的坐标不适合方程F (x ，y )＝0”；命题丁为：“点Q 不在曲线C 上”，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么( )A ．丙是丁的充分条件，但不是丁的必要条件B ．丙是丁的必要条件，但不是丁的充分条件C ．丙是丁的充要条件D ．丙既不是丁的充分条件，也不是丁的必要条件[解析] 由已知条件，得“乙⇒甲”，即“点P 在曲线C 上，则点P 的坐标适合方程F (x ，y )＝0”，它的逆否命题是：“若点P 的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则点P 不在曲线C 上”，即“丙⇒丁”．8．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则ΔPF 1F 2的面积为( ) A ．63 B ．12 C ．12 3D ．24[解析] ∵|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，又有|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4，又∵|F 1F 2|＝2c ＝213，∴(213)2＝62＋42，∴∠F 1PF 2＝90°，∴SΔPF 1F 2＝12×6×4＝12.9.已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2[解析] 由题意c ＝2，焦点在x 轴上，故该椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，与x ＋3y ＋4＝0联立方程组，令Δ＝0，解得a ＝7.10．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析 设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝12⎝⎛⎭⎫2×54－a 4＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12，∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2， ∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝31.11．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(α，β)(α>0)，则不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫1α，1β B.⎝⎛⎭⎫－1α，－1β C.⎝⎛⎭⎫1β，1αD.⎝⎛⎭⎫－1β，－1α 解析 ∵不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(α，β)，则a <0，α＋β＝－b a ，αβ＝ca ，而不等式cx 2＋bx ＋a >0可化为c a x 2＋bax ＋1<0，即αβx 2－(α＋β)x ＋1<0，可得(αx －1)(βx －1)<0，即⎝⎛⎭⎫x －1α⎝⎛⎭⎫x －1β<0，所以其解集是⎝⎛⎭⎫1β，1α，故选C.12.已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A.53B.23C.23D.13解析 由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a3.根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫2a 32＋⎝⎛⎭⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝c a ＝53.13.如果x 2k －2＋y 21－k ＝－1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c 的取值范围是________．解析 将原方程化成标准方程为y 2k －1－x 2k －2＝1.由题意知k －1>0且k －2>0，解得k >2.又a 2＝k －1，b 2＝k －2，所以c 2＝a 2＋b 2＝2k －3>1， 所以c >1，故半焦距c 的取值范围是(1，＋∞)．14.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为解析 设点P (x 0，y 0)．依题意得，焦点F (2,0)， ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2＝5，y 20＝8x 0，于是有x 0＝3，y 20＝24；⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b 2＝1，由此解得a 2＝1，b 2＝3，因此该双曲线的渐近线方程是y ＝±bax ＝±3x .15．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是____________．解析 ∵x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即4y 2＝x 2，x ＝2y 时取等号，又2x ＋1y＝1，此时x ＝4，y ＝2，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.16．与椭圆x 29＋y 25＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为________．[答案] x 2－y 2＝217．a ，b ，c 为△ABC 的三边，其面积S △ABC ＝123，bc ＝48，b -c ＝2，求a ．解：由S △ABC ＝21bc sin A ，得123＝21×48×sin A ∴ sin A ＝23∴ A ＝60°或A ＝120° a 2＝b 2＋c 2-2bc cos A＝(b -c )2＋2bc (1-cos A ) ＝4＋2×48×(1-cos A )当A ＝60°时，a 2＝52，a ＝213 当A ＝120°时，a 2＝148，a ＝237 18.已知等差数列{}n a 满足{}3577,26,n a a a a =+=的前n 项和为n S 。

（1）求na 及nS ；（2）令*21()1n n b n N a =∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

解：（1）设等差数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ， ……1分由26,7753=+=a a a ，解得2,31==d a ． ……5分由于2)(,)1(11n n n a a n S d n a a +=-+=，所以n n S n a n n 2,122+=+=． ……7分 （2）因为12+=n a n ，所以)1(412+=-n n a n ，因此)111(41)1(41+-=+=n n n n b n ．…9分故)1(4)111(41)1113121211(4121+=+-=--++-+-=+++=n n n n n b b b T n n ， …13分所以数列}{n b 的前n 项和=n T )1(4+n n19．已知中心在原点的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的一个焦点为F 1(0,3)，M (x,4)(x >0)为椭圆C 上一点，△MOF 1的面积为32. (1)求椭圆C 的方程； (2)是否存在平行于OM 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)因为椭圆C 的一个焦点为F 1(0,3)，所以c ＝3，b 2＝a 2＋9，则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2＋9＝1，因为x >0，所以S △OMF 1＝12×3×x ＝32，解得x ＝1.故点M 的坐标为(1,4)．因为点M (1,4)在椭圆上，所以1a 2＋16a 2＋9＝1，得a 4－8a 2－9＝0，解得a 2＝9或a 2＝－1(不合题意，舍去)，则b 2＝9＋9＝18， 所以椭圆C 的方程为x 29＋y 218＝1.(2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其方程为y ＝4x ＋m (因为直线OM 的斜率k ＝4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋m ，x 29＋y 218＝1，消去y 化简，得18x 2＋8mx ＋m 2－18＝0. 进而得到x 1＋x 2＝－8m 18，x 1·x 2＝m 2－1818.因为直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，所以Δ＝(8m )2－4×18×(m 2－18)>0，化简得m 2<162，解得－92<m <92。