实验07讲评参考答案_微分方程模型(2学时)
微分几何课后习题答案
微分几何课后习题答案微分几何课后习题答案微分几何是数学中的一个重要分支，研究的是曲线、曲面以及高维空间中的几何性质。
在学习微分几何的过程中，课后习题是巩固知识、提高理解能力的重要途径。
本文将针对微分几何课后习题给出一些答案，并解析其中的一些关键思路和方法。
一、曲线的参数化1. 给定曲线的参数方程为：x = t^2y = t^3求曲线的切向量和法向量。
解析：曲线的切向量是曲线在某一点上的切线的方向，可以通过对参数方程求导得到。
对x和y分别求导，得到：dx/dt = 2tdy/dt = 3t^2所以切向量为：T = (dx/dt, dy/dt) = (2t, 3t^2)曲线的法向量与切向量垂直，可以通过将切向量逆时针旋转90度得到。
所以法向量为：N = (-dy/dt, dx/dt) = (-3t^2, 2t)二、曲线的长度2. 计算曲线的长度：x = e^ty = e^(-t)解析：曲线的长度可以通过积分求解。
首先计算曲线的切向量：dx/dt = e^tdy/dt = -e^(-t)曲线的长度可以表示为：L = ∫√(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 dt= ∫√(e^t)^2 + (-e^(-t))^2 dt= ∫√(e^2t + e^(-2t)) dt这是一个积分问题，可以通过换元法解决。
令u = e^t，那么du = e^t dt。
将u代入上式，得到：L = ∫√(u^2 + u^(-2)) du= ∫√(u^4 + 1) du这是一个较为复杂的积分，可以通过换元法或者级数展开法求解。
三、曲面的法向量3. 给定曲面的参数方程为：x = u + vy = u - vz = u^2 - v^2求曲面的法向量。
解析：曲面的法向量可以通过对参数方程中的u和v分别求偏导得到。
对x、y、z分别对u求偏导，得到：∂x/∂u = 1∂y/∂u = 1∂z/∂u = 2u对x、y、z分别对v求偏导，得到：∂x/∂v = 1∂y/∂v = -1∂z/∂v = -2v所以曲面的法向量为：N = (∂z/∂u, ∂z/∂v, -∂x/∂u * ∂y/∂v + ∂y/∂u * ∂x/∂v) = (2u, -2v, 2)四、曲面的曲率4. 给定曲面的参数方程为：x = u^2y = v^2z = u + v求曲面的曲率。
微分方程模型介绍
微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。
微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。
建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。
()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。
这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。
实验七 常微分方程
实验七 常微分方程【实验目的】1． 了解常微分方程的基本概念。
2． 了解常微分方程的解析解。
3． 了解常微分方程的数值解。
4． 学习掌握MATLAB 软件有关的命令。
【实验内容】如右图所示，一根长l 的无弹性细线，一段固定，另一端悬挂一个 质量为m 的小球，在重力的作用下小球处于垂直的平衡位置。
若使小球 偏离平衡位置一个角度θ，让它自由，它就会沿圆弧摆动。
在不考虑空气 阻力的情况下，小球会做一定周期的简谐运动。
利用牛顿第二定律得到如 下的微分方程0)0(',)0(,sin "0===θθθθθmg ml问该微分方程是线性的还是非线性的？是否存在解析解？如果不存在解析解，能否求出其近似解？【实验准备】1．微分方程的概念未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。
如果未知函数是一元函数，称为常微分方程。
常微分方程的一般形式为0),,",',,()(=n y y y y t F如果未知函数是多元函数，成为偏微分方程。
联系一些未知函数的一组微分方程组称为微分方程组。
微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶解数称为微分方程的阶。
若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程，一般表示为)()(')()(1)1(1)(t b y t a y t a y t a y n n n n =++++--若上式中的系数n i t a i ,,2,1),( =均与t 无关，称之为常系数或定常、自治、时不变的。
2．常微分方程的解析解有些微分方程可直接通过积分求解.例如,一解常系数常微分方程1+=y dtdy可化为dt y dy=+1,两边积分可得通解为1-=t ce y .其中c 为任意常数.有些常微分方程可用一些技巧,如分离变量法,积分因子法,常数变异法,降阶法等可化为可积分的方程而求得解析解(显式解).线性常微分方程的解满足叠加原理,从而他们的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的通解.一阶变系数线性微分方程总可用这一思路求得显式解。
微分方程模型
1 ( dy dx 2 (1 x ) )
2
(1 x )
d y dx
2
2
d为：
1 (
代入得：
d y dx
2
2
另有初始条件：y (0) 0， y '(0) 0
模型求解
求解过程见“鱼雷追击”文件； 其中%表示运用上次记算的结果，此处表 示求得的y=y[x]鱼雷运动轨迹方程； /.{x→1}表示用1代替/.前边式子中的x； 求解结果表明，敌舰在行驶2/3mile后被击 中，即一分钟后被击中；
dt i (0 ) i 0
模型求解
1 i0 i (t ) 1 t i0 ( )t e
1 1
定义变量：
模型评价
隔离病人和在传染病爆发前对易感人群接 种疫苗都是有效降低日接触率λ, 使σ减小, 从而使病人比例减小;
研发特效药是有效提高日治愈率μ;使使σ 减小,从而使病人比例减小;
SIS模型函数关系
s (t ) i (t ) 1 每天新增病人数为： N i (t ) s (t ) 每天被治愈的病人数为： N i ( t ) 病人变化量为： d i
N dt
N i (t ) s (t ) N i (t )
所以有：d i i ( t )[1 i ( t )] i ( t )
Mathematica求极限
Limit[f[x],x－>x0,Direction－>±1] 功能：求函数f[x]在x0处的左,右极限.
例求
微分方程模型(全)
例5 作战模型
当然，这些模型是非常简单的，只考虑双 方的兵力的多少和战斗力的强弱，并且当时只 使用枪炮之类的常规武器。兵力因战斗减员和 非战斗减员而减少，由于增援而增加；战斗力 是杀伤对方的能力，它与射击率（单位时间的 射击次数）、射击命中率以及战争类型（正规 战、游击战等）有关。即这些模型仅考虑战场 上的兵力的优劣，并没有考虑交战双方的政治、 外交、经济、社会等因素，所以仅用这些模型 来判别一场战争的结局是不现实的。
例4 黄灯时间
对于这个刹车距离问题，显然与“速度” 有关，速度要从 v0 变到 0，从而用到导数.
涉及的量为： “距离”（米），“时间”（秒）， “速度”， “加速度”，摩擦力等；
有（待定）函数关系的两个量定为： 距离 x， 时间 t；
涉及的原则或物理定律： 力学定律 F=ma.
例4 黄灯时间
设汽车重量为 W，摩擦系数为 f. 根据定义， 对汽车的制动力为 fW，其方向与汽车行进方 向相反（见图4-2）.
y ce .
kt
(2)
y( 24) 400.
初始值:
y(0) 100,
代入（2）求得: 因此:
c 100, k (ln 4) / 24.
t ln 4 / 24
y 100e
.
我们要求的是:
y(12) 100e
(12 / 24) ln 4
200(个细菌).
#
例3 溶液浓度
例3 溶液浓度
所以确定浓度的“变化率”与“酸性浓度”， “清水的量”的关系是解决问题的关键。
涉及的量为： “清水的总量”，“酸性浓度”（用纯量单位 :1）. “酸性浓度变化率”，体积（常数），其中 都使用题目中的纯量单位; 有（待定）函数关系的两个量定为： 酸性浓度 S，清水的总量 x； 涉及的原则或物理定律： 导数＝变化率，溶液保持均匀，体积 V 不变.
微分方程模型
0.26
读乐谱的妇人
10.3
0.3
弹曼陀林的妇人
8.2
0.17
做花边的人
1.5
1.4
欢笑的女孩
5.2
6.0
---------------
若第一幅画是真品， t t0 300
y0 y(t)e (tt0 ) r[e (tt0 ) 1]
y(t)e300 r[e300 1]
死亡后，交换过程停止，放射性碳便按照放射性元素裂
变规律衰减。
建模
设 t 为死后年数， y(t) xc14 (t) xc12 (t)
c c 则t 0时, y y0 ,即活体中 14 与 12 数量的比例.
dxc14 xc14
dt
8000
dy y dt 8000
t
y Ce 8000
g
F浮
cv
dt
mm
v(0) 0
可解得：
v(t) G F浮 [1 ect/m ] c
极限速度为：
v
G F浮 c
713.86英尺/ 秒
---------------
将速度 v 看成位置 y 的函数 v(y) ，由于
dv dv dy v dv dt dy dt dy
三 范. 梅格伦（Van Meegren） 伪造名画案
第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜 捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren 曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖 给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。
Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所
数学建模微分方程模型
数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。
它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。
在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。
微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。
这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。
在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。
根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。
每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。
微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。
例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。
人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。
建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。
求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。
数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。
对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。
建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。
这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。
随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。
例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。
未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。
微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。
通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。
微分方程模型求解及稳定性分析
微分方程模型求解及稳定性分析微分方程模型、求解及稳定性分析是数学中的重要内容。
微分方程是描述自然界中各种变化规律的数学工具，广泛应用于物理、化学、生物等领域。
求解微分方程可以通过解析方法、数值方法等途径得到方程的解析解或数值解。
稳定性分析是对微分方程解的性质进行研究，确定系统的稳定性和不稳定性。
求解微分方程是求出微分方程的解析解或数值解的过程。
对于一些简单的微分方程，可以通过直接积分或分离变量等方法进行求解。
对于复杂的微分方程，可以使用级数展开、变量代换等方法进行求解。
在现代数学中，还发展了许多数值方法，如Euler法、Runge-Kutta法等，可以通过计算机编程实现对微分方程的数值求解。
稳定性分析是对微分方程解的性质进行研究，确定系统的稳定性和不稳定性。
稳定性分析常常涉及到研究微分方程解的局部性质和全局性质。
对于线性微分方程，可以通过线性稳定性理论来研究解的稳定性。
对于非线性微分方程，可以通过Lyapunov稳定性理论、中心流形理论等方法进行研究。
稳定性分析的目标是确定微分方程解的长期行为。
对于线性微分方程，如果解在初始条件微扰下不发散或收敛到稳定值，那么解是稳定的。
对于非线性微分方程，稳定性分析的难度要大于线性情况，常常需要利用数值计算和图形分析方法来研究解的稳定性。
在数学中，微分方程模型、求解及稳定性分析是一个相互关联的过程。
通过建立微分方程模型、求解微分方程以及确定解的稳定性，可以揭示物理、化学、生物等实际问题的规律和性质。
同时，求解微分方程和稳定性分析的方法和技巧也是数学研究中的重要内容，为数学家研究更一般的微分方程和非线性动力系统提供了基础。
总之，微分方程模型、求解及稳定性分析是数学中的重要内容。
通过建立微分方程模型、求解微分方程和确定解的稳定性，可以揭示实际问题的规律和性质。
求解微分方程和稳定性分析的方法和技巧也是数学研究中的重要内容，为数学家研究更一般的微分方程和非线性动力系统提供了基础。
《数学建模》习题及参考答案 第五章 微分方程模型
第五章部分习题1. 对于5.1节传染病的SIR 模型，证明：（1）若σ/10>s ，则()t i 先增加，在σ/1=s 处最大，然后减少并趋于零；()t s 单调减少至∞s 。
（2）若σ/10>s ，则()t i 单调减少并趋于零，()t s 单调减少至∞s 。
9. 在5.6节人口的预测和控制模型中，总和生育率()t β和生育模式()t r h ,是两种控制人口增长的手段，试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。
*16. 建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为∂（与地面夹角），建立投掷距离与∂,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。
参考答案1. SIR 模型（14）式可写作().,1si dt di s i dt di λσμ-=-=由后一方程知()t s dtds ,0<单调减少。
1) 若σ10>s ，当01s s <<σ时，()t i dt di ,0>增加；当σ1=s 时，()t i dt di ,0=达到最大值m i ；当σ1<s 时，()t i dt di ,0<减少且()()式180=∞i 2) 若σ10<s ，()t i dt di ,0<单调减少至零 9. 一对夫妻只生一个孩子，即总和生育率()1=t β；晚婚晚育相当于生育模式()r h 中（5。
6节（13）式）使1r 和c r 增大；生育第2胎一些规定可相当于()t β略高于1，且()r h 曲线（5。
6节图19）扁平一些（规定生2胎要间隔多少年）*16. 在图中坐标下铅球运动方程为()()()().sin 0,cos 0,0,00,,0ααv y v x h y x g yx ====-== 解出()t x ，()t y 后，可以求得铅球掷远为,cos 2sin cos sin 2/12222ααααv g h g v g v R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=这个关系还可表为()ααtan cos 2222R h v g R +=由此计算0*=ααd dR，得最佳出手角度()gh v v +=-21*2sin α，和最佳成绩gh v g v R 22*+=设m h 5.1=，s m v /10=，则0*4.41≈α，m R 4.11*=。
微分方程模型有解答
嗯，很好~快乐就好~如果我的存在只能给你压力，不如放开手让彼此解脱.让我们都能幸福着，在各自的路程快乐第五章 微分方程模型建立微积方程模型要对研究对象作具体分析.一般有以下三种方法：1、根据规律建模，2、用微元法建模，3、用模拟法建模.§5.1 根据规律建模在数学、力学物理、化学等学科中已有许多经过实践的规律和定律，如牛顿运动定律，基尔霍夫电流及电压定律，物质的放射规律，曲线的切线性质等，这些都涉及到某些函数的变化率.我们就可以根据相应的规律，列出常微分方程.下面以目标跟踪问题为例介绍.设位于坐标原点的甲舰向位于x 轴上点()0,1A 处的乙舰发射导弹，但始终对准乙舰，如果乙舰以最大的速度0V 沿平行于y 轴的直线行驶，导弹的速度是05V ,求导弹运行的曲线.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中?解：设导弹轨迹为y=y(x)，经过时间t ，导弹位于P(x,y),乙舰位于点Q ),1(0t V .由于导弹头始终对准乙舰，故此时PQ 就是曲线y(x)在点P 处的切线，因此，由于，由xyt V y --=10'得 y y x t V +-='0)1(，又因为弧OP 的长度为5|AQ|，即t V dx y x002'51=+⎰所以 dx y y y x x ⎰+=+-02''151)1(， 整理得 2'''151)1(y y x +=+，并有y(0)=0,0)0('=y ，解得245)1(125)1(855654+-+--=x x y当x=1时，254=y 即当乙舰行到⎪⎭⎫⎝⎛254,1处被击中，00245V V y t ==.§5.2 微元法建模微元法建模实际上是寻求一些微元之间的关系式.与第一种方法不同之处在于这里不是直接对未知函数及其导数应用规律和定理来求关系式，而是对某些微元来应用规律.以容器漏水问题为例.有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出.小孔横截面为1cm 2.开始时的容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里面水面的高度h （水面与小孔中心距离）随时间t 变化的规律.解：由流体力学知识知道，水从孔口流出的流量Q 可用下列公式计算：gh S dtdvQ 262.0==， 其中0.62为流量系数，S 为孔口横截面积.现S=1cm 2.故 gh dtdv262.0=另一方面，现在［t,t+t ∆］内，水面高度由h 降至0)dh(dh h <+，则dh r dv 2π-=其中r 是时刻t 的水面半径.因为222200)100(100h h h r -=--=，所以dh h h dv )200(2--=π，于是dh h h dt gh )200(262.02--=π，由此得)200(262.02423h h gdh dt -=π， 满足100|0=t h .解得)310107(265.4252335h h gt +-⨯=π此即容器内水面高度h 与时间t 之间的函数关系式.P.S matlab 程序 clearsyms r; %定义符号变量 ry=dsolve('Dy=r*y*(1-y)','x') %求通解 y=dsolve('Dy=r*y*(1-y)','y(0)=y0','x') %求特解§5.3 模拟近似法建模在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的实践中，常常要用模拟近似法来建立微分方程模型.这是因为，这些学科中的一些现象的规律我们还不是很清楚，即使有所了解也并不全面，因此，要用数学模型进行研究只能在不同的假设下去模拟实际的现象.然后再把解得的结果同实际情况作对比.以交通管理问题为例.在交通十字路口，都会设置红绿灯.为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯.对于一些驶近交叉路口的驾驶员来说，万万不可处于这样的进退两难的境地：要安全停车则离路口太近；要想在红灯亮之前通过路口又觉得太远.那么，黄灯应亮多长时间合理呢？、解：各段时间应该满足以下关系：黄灯状态应持续的时间=驾驶员反应时间+车通过交叉路口时间+通过刹车距离的时间.设v 0-----表示法定速度，I-----交叉路口宽度，L-----典型车身长度.则通过路口的时间为v LI +，（车尾通过路口）.下面计算刹车距离.设w----为汽车的重量，u------摩擦系数，则摩擦力=μw ，汽车在停车过程中，行驶距离x 与时间t的关系可由下面微分方程求得w dtxd g w μ-=22（F=ma ). 满足：00'0|,0|v x x t t ====，于是刹车距离就是直接到速度v=0时汽车驶过的距离，由上式得t v gt x 0221+-=μ .令x ’=0，所以刹车时所用时间g v t μ00=，刹车距离gv t x μ2)(200=由上面得黄灯状态时间为t V LI g v T v L I t x A +++=+++=0002)(μ，其中T 是驾驶员反应时间，A,v 0关系（如图）（即黄灯周期与法定速度的关系）.假设T=1s,L=4.5m,I=9m,另外，我们取具有代表性的u=0.2,，当v 0=45，60，80km/h 时，黄灯时间如下表示.v0 (km/h) A(s) 经验法的值（s）45 5.27 360 6.06 480 7.28 5经验法的结果一律比我们预测的黄灯状态短些.这使人想起，许多交叉路口红绿灯的设计可能使车辆在绿灯转为红灯时正处于交叉路口.§5.4 微分方程模型实例例1.最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业，林业资源）的开发必须适度.一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益.考虑对某种鱼（鲥鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，…，4龄鱼.各年龄组每条鱼的平均重量分别为 5.07，11.55,17.86,22.99(克)；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）;这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22×10 11/（1.22×10 11+n）.渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比.比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用13 mm 网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定努力量捕捞.（1）建立数学建模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场重各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）.（2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏.已知承包时各年龄组.鱼群的数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式.该公司应该采取怎样的策略才能使总收获量最高.问题分析要求研究的问题是：对某种鱼的最优捕捞策略.1.鱼的情况具体数据如下表：i m i(g) r(1/年) u i (个/条)1 2 3 4 5.0711.5517.8622.990.80.80.80.8其中，i表示i龄鱼，m i表示龄鱼的质量，r表示龄鱼的自然死亡率，u i表示平均每条i 龄鱼的产卵量.如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）不变，这时单位时间捕捞量将与i成正比，比例系数之比为ik使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3、4龄鱼，其中两个捕捞强度系数之比为k3:k4=0.42:1,k1=k2=0渔业上称这种方式为固定努力量捕捞.2.基本假设假设I:一年中，鱼的产卵是集中在8月底一次性完成，捕捞工作只在8个月进行.假设II:各龄鱼（不包括4龄鱼）只在年末瞬时才长大一岁，鱼卵在年终才孵化完毕，成为1龄鱼.这样在计算产卵量时，3，4龄鱼的条数为t=8/12.3.应解决的问题1）建立数学建模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场重各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）.2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏.已知承包时各年龄组.鱼群的数量分别为x 1,x 2,x 3,x 4, 如果仍用固定努力量的捕捞方式.该公司应该采取怎样的策略才能使总收获量最高. 记号和约定)(t x i：i 龄鱼在t 时刻的数量（t 以年为单位，i=1,2,3,4)；ip ：i 龄鱼的捕捞量（i=3,4)； M ：捕捞总质量：Q ：每年的产卵中能孵化成l 龄鱼的数量； N ：每年的产卵量； 模型的建立由于鱼的数量随时间变化，可视为)(t x i 为连续函数，它的变化与时间t ，自然死亡率r ，单位时间捕捞量i k ，卵的成活率有关. 模型1定义单位死亡率8.0,=-=r rx dtdx i i单位时间捕捞量0,1:42.0:,2143====k k k k x k dtdp i i i则捕捞时满足i i ix k r dtdx )(+-= 对各龄鱼存在以下方程（令4k k =，则k k42.03=） 118.0)(x dt t dx -=，t ∈[]1,0 228.0)(x dtt dx -=，t ∈[]1,0 ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=1,128,8.0128,0,42.08.03333t x dt dx t x k dt dx ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=1,128,8.0128,0,8.04444t x dtdxt x k dt dx由此可解得)0()8.0exp()1(11x x -=， )0()8.0exp()1(22x x -=， )0()32)42.08.0(exp()128(33x k x ⨯+-=， )0()32)8.0(exp()128(44x k x ⨯+-=， )0())28.08.0(exp()1(33x k x +-=， )0())328.0(exp()1(44x kx +-= 收获量为⎰⎰==128012804433)(,)(42.0dt t kx p dt t kx p .模型II要实现持续收获，即每年初，各年龄组鱼群数量不变，同时需满足以下等式（M 为捕捞总质量，N 为卵量，Q 为存活量），由此可建立模型：Max M= 4433m p m p +()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====11010100..43423121x x x x x x x Q x t s 其中10543109.121109.1⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=x x N , ()N N Q +⨯⨯=1010111122.1/22.1 利用约束关系，将()()0,,041x x 均用k 来表示，从而得出M 关于k 的一元函数关系：4433p m p m M +=，()()()k k kx P 0428.0/320428.0ex p 1042.033+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-=，()()()k k kx P +⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+--=8.0/328.0ex p 1044，()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--⨯⨯⨯-⨯=32exp 226.2/32exp 226.228.0exp 7504.32463.0010106113k k k x ，()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯-⨯=32exp 3252.07241.0/22.132exp 0598.40272.9/28.0exp 010106114k k k x ， 用计算机搜索，得出近似解，结果为： 年最大收获量：()()g M 1011*88685.30⨯=最佳捕捞强度系数：()()g K 7600.170*= 此时()1011*1193.10⨯=x ，()1011*1193.10⨯=x ，()1010*3409.20⨯=x ，()107*4501.70⨯=x ，()1011*193.10⨯=Q .四.模型结果及实用性讨论当[]38.31,0∈k 时，鱼场可实现持续捕捞，即满足了持续捕捞条件0≥M .在此前提下取得了最优的捕捞系数：3龄龟的捕捞系数为7.4592，4龄龟的捕捞系数为17.76，年最大捕捞量为：3.886851110⨯（克）.例2．存贮型模型 某厂生产若干种商品，轮换生产时因更换设备要付准备金，产量大于需要时因积压资金要付贮存费. 今已知某产品的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小，设该厂生产能力非常大，即所需数量可在短时间内产出.要求：不只是回答问题，而且要建立生产周期，产量与需求量，准备费，贮存费之间的关系. 问题分析与思考·日需求100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元.·每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元，故每日费用为500元.·10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100＝4500元，准备费5000元，总计9500元.平均每天费用为950元.·50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…100=122500元.准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元.·周期短，产量小——贮存费少，准备费多. ·周期长，产量大——准备费少，贮存费多.是否存在最佳的周期和产量，是总费用（二者之和）最小？这是一个优化问题，关键在建立目标函数，显然不能用一个周期的总费用作为目标函数. 目标函数——每日总费用的平均值. 模型假设1．产品每天的需求量为常数r ；2．每次生产准备费为1c .每天每件产品贮存量为2c .3．T 天生产一次（周期为T ），每次生产Q 件，且贮存量降到零时，Q 件产品立即生产出来（生产周期不记）；4．为方便起见，时间和产量都作为连续量处理.建模目的 设21,,c c r 已知，求T ，Q ，使每天总费用的平均值最小.模型建立离散问题连续化将贮存量表示为时间的函数()t q ，0=t 生产Q 件，贮存量()Q q =0，()t q 以需求r 的速率递减，直到()0=T q .由此得rT Q = 一周贮存费()A c dt t q c T202=⎰一周总费用T Qc c rT c c C 2221221+=+=每天总费用平均值（目标函数）()221rT c T c T C T C +==模型求解 求T 使()min 221→+=rTc T c T C 由0=dTdC有 21212,2c c rT Q rc c r r===模型分析↑↓↑⇒↑↑⇒Q T r Q T c ,,,1模型应用经济批量订购公式（EOQ 公式） 用于订货，供应，存贮情况每天需求量r ，每次订货费为c1，每天每件贮存费为c2，T 天订货一次（周期T ），每次订货Q 件，且当贮存量降到零时，Q 件立刻到货.21212,2c rc rT Q rc c T ===这是不允许缺货的贮存模型问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？ 允许缺货的存贮模型当存贮量降到零时仍有需求r ，出现缺货，造成损失.原模型假设：当存贮量降到零时Q 件立即生产出来（或立即到货） 现假设：允许缺货，每天每件缺货损失费c 3，缺货需补足. 周期T ，t=T 1贮存量降为零. T 一周期贮存费()A c dt t q c T 2021=⎰一周期缺货费()B c dt t q c TT 331=⎰一周期总费用()22213121T T r c QT c c C -++=每天总费用平均值（目标函数）()()rTQ rT c rT Q c T c T C Q T C 22,23221-++==求T ，Q 使0,0=∂∂=∂∂QCT C 为不允许缺货的贮存模型相比，T 记作他T ’，Q 记作Q ’ 32321'33221'2,2c c c c c Q c c c rc c T +=+=. 例3.传染病模型随着卫生设施的改变，医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱，天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制，但是一些新的，不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来.20世纪80年代十分险恶的艾滋病毒开始肆虐全球，至今仍在蔓延;2003年春来历不明的SARS 病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害.长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题，是建立传染病的数学模型，以分析传染病的传播规律.模型1 已感染人数（病人）假设每个病人每天有效接触（足以使人致病）人数为λ，建立如下数学模型()()()t t i t i t t i ∆=-∆+λ由()0,i t i i dtdi==λ，推出()∞→⇒∞→=i t e i t i t ,0λ 若有效接触的是病人，则不能使病人数增加，必须区分易感染者（病人）和未感染者（健康人） % P.S 上面微分方程的matlab 程序 clearSyms r %定义符号变量 ry=dsolve('Dy=r*y','t') %求通解 y=dsolve('Dy=r*y','y(0)=y0','t') %求特解 得到 y =y0*exp(r*t) 修改一下模型2区分已感染者和未感染者（SI 模型） 假设：（1）总人数N 不变，病人和健康人数比例分别为i （t ），s （t ）.（2）每个病人每天有效接触人数为λ，且使接触的健康人致病，λ为日接触率 建立数学模型()()[]()[]()t t i t Ns t i t t i N ∆=-∆+λ.由()()1,=+=t i t s si dtdiλ得称为Logistic 模型，可解出()tei t i λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1111% P.S matlab 程序clearsyms r; %定义符号变量 ry=dsolve('Dy=r*y*(1-y)','x') %求通解 y=dsolve('Dy=r*y*(1-y)','y(0)=y0','x') %求特解 令)11ln(1-=-i t m λ是传染病高潮到来时刻.λ（日接触率）↑↓→m t 1 1→⇒∞→i t ，说明病人不可以治愈，这是不可能的.要改善模型模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染（SIS 模型） 增加假设3）病人每天治愈的比例为μ，即日治愈率 建立数学模型⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)0()1(i i i i i dt di μλ λ是日接触率，μ/1是感染期，μλσ/=是一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数.⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=∞---=1,01,11)()],11([σσσσλi i i dt di感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人人数.思考模型2（SI 模型）如何看做模型3（SIS 模型）的特例模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR 模型假设1） 总人数N 不变，病人、健康人和移出者的比例分别为i(t),s(t),r(t)2） 病人的日接率λ，日治愈率μ，接触数μλ/=S建立数学模型s （t ）+ i(t)+ r(t)=1需建立i(t),s(t),r(t)的两个方程t t Ni t t i t Ns t i t t i N ∆-∆=-∆+)()()()]()([μλt t i t Ns t s t t Ns ∆=-∆+)()()]()[(λ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00)0(,)0(s s i i si dt ds i si dt di λμλ 100≈+s i （通常()00r r =很小）%%%%%%%%%%%%%做数值计算%以下存到m 文件function y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]';以下在matlab 中运行ts=0:50;x0=[0.02,0.98];[t,x]=ode45('ill',ts,x0); % 大家百度ode45的意义[t,x]plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,pause plot(x(:,2),t,x(:,1)),grid,i(t ）,s(t)的图形无法求出i(t),s(t)的解析解，在相平面s-t 上研究解的性质.由上模型得⎪⎩⎪⎨⎧=-==0011i i s ds di s s σ 求解得到如下相轨线（即i-s 的曲线）i(s)=( 00s i +)-s+0ln 1s s σ 定义域D=}{1,0,0),(≤+≥≥i s i s i s ,在D 内作相轨线i(s)的图形，进行分析i （s ）图形：s(t ）↓, 0=∞i ,m i s i ==)/1(σ,∞s 满足0ln 1000=+-+∞∞s s s i s σ 0s ＞1/)()(1t i p →σ先升后降至0，传染病蔓延. 0s ＜1/ )()(2t i p →σ单调降至0，传染病不蔓延. 预防传染病蔓延的手段传染病不蔓延的条件——0s ＜1/σ. λ（日接触率）↓⇒卫生水平↑μ（日治愈率）↑⇒医疗水平↑降低↑⇒=++00000)1(r r i s s ，即群体免疫. σ的估计：由0ln 1000=+-+∞∞s s s i s σ，忽略0i 得∞∞--=s s s s 00ln ln σ. 具体内容可以看姜启源的数学模型（第三版） 第135页。
经典：微分方程模型——数学建模真题解析
h h
ds
16
设桶的水平面积为A，孔 的面积为B，则由于质量 守恒，则
Adh=-Bds 符号反映了此消彼长。
dh h
ds
设水的流速是v则
ds vdt dh (B / A)vdt
1
2
微分方程基础
微分方程是含有函数及其导数的方程。 如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则 称为常微分方程。否则称为偏微分方程。
例：下面的方程都是微分方程：
m du ku mg sin
dx
u a2 u sin x t x
3
微分方程的解是函数，对应一个变化过程。常微分 方程的解是随时间t变化的函数，比如一辆汽车在公 路上飞驰，一个球从空中落下等。 偏微分方程不但描述物体随时间变化发生位置的改 变，而且物体各部分之间的位置的相对变化。如水 的流动，烟雾的扩散，公路上车流的涌动等。
第二种：机理分析方法： 实际上，对这一类问题，有成熟的机理分析方法： 房室模型。
25
我们可以把喝酒后酒精的变化过程描述为 喝酒酒精进入肠胃消化后进入血液排出。 这里，血液循环系统可以看作中心室，肠胃可以看 作吸收室。M1克酒精在很短时间进入吸收室，从吸 收室逐渐进入中心室，最后逐渐排出。
吸收
中心室
19
2004C题 饮酒驾车 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检 疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定， 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／ 百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是 小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或 等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等 于100毫克／百毫升）。 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合 新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒， 为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭 遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑， 为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
微分方程模型详解
范. 梅格伦（Van Meegren）伪造名画案
第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜 捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren 曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖 给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。
所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保 持常数，它应当与人口数量有关。
阻滞增长（Logistic）模型
人口净增长率应与人口数量有关，即反应 了自然因素对人口增长的影响，令r=r(N)
从而有：
其中，
故
注：设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K 看成常数），N表示当前的种群数量，K-N为环境还能 供养的种群数量，则(K-N )/K为还能供养比例。
做出了如下假设：单位时间内人口增长量与人口
总数成正比，即人口净增长率 基本上是一常
数，
, 为出生率， 为死亡率。
设时刻 的人口总数为 人口增长量为：
，时间从 到
马尔萨斯（Malthus）模型
等式两边同时除以 t ，有
再运用极限的思想，令
有
由初始条件ห้องสมุดไป่ตู้
，即为初始
时刻的人口数，故解方程得
马尔萨斯（Malthus）模型
典型微分方程 • Malthus人口方程： • 虎克定律
典型微分方程 • 牛顿万有引力方程
• 波动方程
• 热传导方程
典型微分方程
• 势方程或 Laplace 方程
人口增长模型
微分方程模型
微分方程模型引言微分方程是描述自然界中很多现象和问题的数学模型。
通过建立微分方程模型，我们可以定量地描述和预测各种物理、化学、生物和工程问题的演化和变化。
本文将介绍微分方程模型的基本概念、常见类型和求解方法，并给出一些应用实例。
基本概念微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
通常用符号形式表示如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，y是未知函数，x是自变量，n是方程中最高阶导数的阶数。
微分方程模型是以微分方程为基础，结合具体物理、化学、生物和工程问题的特点所建立的数学模型。
通过对问题的建模，我们可以将真实世界中复杂的问题简化为数学形式，从而利用微分方程的性质和解析方法求解或近似解。
常见类型微分方程可以分为多种类型，常见的包括：•一阶常微分方程：包含一个未知函数的一阶导数的方程，形式如下：y' = f(x, y)•高阶常微分方程：包含一个未知函数的高阶导数的方程，形式如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0•偏微分方程：包含多个未知函数及其偏导数的方程，形式如下：F(x, y, z, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ∂^2u/∂z^2, ..., ∂^nu/∂x^n, ∂^nu/∂y^n, ∂^nu/∂z^n) = 0求解方法求解微分方程模型的方法包括解析解和数值解。
解析解对于一些简单的微分方程模型，可以通过解析方法求得解析解。
解析解是指能够用数学公式精确表示的解。
解析解求解的基本思路是尝试找到满足微分方程的函数形式，并通过代入求导的方式得到方程中的常数。
一些经典的微分方程模型如线性微分方程、齐次线性微分方程、可分离变量的微分方程等可以通过解析方法求解。
数值解对于一些复杂的微分方程模型，无法找到解析解或解析解难以求得，我们可以采用数值解法进行近似求解。
微分方程模型
微分方程模型重点：车间空气清洁问题、减肥问题、单种群增长问题与多物种相互作用问题等数学模型的建立过程与所使用的方法要求： 1．进一步理解建模基本方法与基本建模过程，掌握平衡原理与微元法在建模中的用法．所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样.微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理．这类模型基本上是以微分方程的形式给出的．例1 设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80%(mg/ml). 现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量是56%(mg/ml), 又过两个小时后, 测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断: 事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定? 解：模型建立设)(t x 为时刻t 的血液中酒精的浓度, 则依平衡原理时间间隔],[t t t ∆+内, 酒精浓度的改变量t t x x ∆⋅∝∆)(, 即t t kx t x t t x ∆-=-∆+)()()(其中k >0为比例常数, 式前负号表示浓度随时间的推移是递减的, 遍除以t ∆, 并令0→∆t , 则得到,d d kx t x-= 且满足40)5(,56)3(==x x 以及0)0(x x =.模型求解容易求得通解为kt c t x -=e )(, 代入0)0(x x =,得到kt x t x -=e )(0则)0(0x x =为所求. 又由,40)5(,56)3(==x x 代入0)0(x x =可得17.04056e 40e 56e 25030=⇒=⇒⎩⎨⎧==--k x x k kk 将17.0=k 代入得 25.93e 5656e 17.03017.030≈⋅=⇒=⨯⨯-x x >80 故事故发生时,司机血液中的酒精浓度已超出规定.2．理解种群的相互关系模型的建立原理与结论． ∙ 马尔萨斯模型 模型假设（1）初始种群规模已知（设为N 0），种群数量非常大，世代互相重叠，因此种群的数量可以看作是连续变化的；（2）种群在空间分布均匀，没有迁入和迁出（或迁入和迁出平衡）；（3）种群的出生率和死亡率为常数，即不区分种群个体的大小、年龄、性别等. （4）环境资源是无限的. 确定变量和参数 :t 自变量，t t N :)(时刻的种群密度， :b 出生率，:d 死亡率.模型的建立与求解由上述假设，单种群增长模型与马尔萨斯人口模型极为类似，于是使用完全相同的建模过程易得)(:)()(d )(d t rN t N d b t t N =-= （3.1） 满足初始条件0)0(N N =的解为.e e )(0)(0rt t d b N N t N ==-于是有,)(lim ,,0+∞=>>+∞→t N d b r t 则有即,)(lim ,,00N t N d b r t ===+∞→则有即,0)(lim ,,0=<<+∞→t N d b r t 则有即在种群生长的初期，种群规模较小，有足够的生存空间、足够的食物，彼此间没有利益冲突.但随着种群规模的逐渐扩大，对有限的空间、食物和其他生存必须条件的种内竞争越来越激烈，这必然影响种群的出生率和死亡率，从而降低实际增长率，因而在上述模型中假设出生率、死亡率为常数，资源无限不尽合理.∙ 罗捷斯蒂克模型完全类似于人口模型的分析知道，种群的增长模型为⎪⎩⎪⎨⎧=-=,)0(),1(0N N K N rN dt dN（3.2） 其中r 是种群的固有（N =0时）增长率，K 是环境的最大容纳量.方程（3.2）既是变量可分离方程，又是贝努利型方程.容易求得其解为00)()(N e N K KN t N rt +-=- （3.3）3．会建立较为简单的相关实际问题的数学模型．例2 在凌晨1时警察发现一具尸体, 测得尸体温度是29︒C, 当时环境温度是21︒C .一小时后尸体温度下降到27︒C , 若人的正常体温是37︒C , 估计死者的死亡时间.解 运用牛顿冷却定律T ')(T T out -=-α, 得到它的通解为 )(0out out T T T T -+=t α-e , 这里0T 是当0=t 时尸体的温度, 也就是所求的死亡时间时尸体的温度, 将题目提供的参数代入:⎩⎨⎧=-+=-++--27e)2137(2129e )2137(21)1(t t αα 解得: 168e =-t α 和 166e )1(=+-t α 则34e =α 求得:)(409.2)12(,2877.0h Ln t ≈-=≈αα 这时求得的t 是死者从死亡起到尸体被发现所经历的时间, 因此反推回去可推测死者的死亡时间大约是前一天的夜晚10:35.例3 设某种动物头数的变化服从Logistic 规律．在正常情况下净相对增长率为a 1，环境容许的极限头数为N 1．假设当头数增加到Q （Q < N 1）时瘟疫流行，使净相对增长率为a 2，极限头数降为N 2（N 2< Q ），于是头数下降．当降至q （q >N 2）时，瘟疫停止，恢复正常．试建立这种情况下动物头数的模型，并讨论在瘟疫影响下动物头数的周期性变化，周期与哪些因素有关．解 由题中条件知，动物头数x (t )应满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=瘟疫流行时正常时)1(~d ~d )1(d d 2211N x x a t x N x x a t x解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=----瘟疫流行时正常时)(22)(111201e )1(1)(~e )1(1)(t t a t t a Q N N t x q N N t x其中10,t t 分别为开始转入正常的时刻和开始转入瘟疫流行的时刻，由Q qNN t x t t a =-+=--)(1101e )1(1)(解得 )()(ln 11110Q N q q N Q a t t --=-由 q QNN t x t t a =-+=--)(2212e )1(1)(~解得 )()(ln 12221N q Q N Q q a t t --=- 即动物头数周期性变化，其周期为)()(ln 1)()(ln 1222111N q Q N Q q a Q N q q N Q a T --+--=典型例题一、填空题：1．设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为 ，其解为 .解 应该填写：⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(d d x x rxt x，.e )(0rt x t x =2．设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若允许的最大人口数为m x ，人口增长率由sx r x r -=)(表示，则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为 ，其解为 .解 应该填写： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(d d x x x x rx t xm ，.e )1(1)(0rt m m x x x t x --+=二、分析判断题1．对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型．（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与采用新技术的人数成正比，推广是无限的．（2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低． （3）在（2）的前提下考虑广告等媒介的传播作用． 解：设t 时刻采用新技术的人数为x (t )．（1）指数模型x txλ=d d ．（2）Logistic 模型)(d d x N ax tx-=，N 为总人数．（3）广告等媒介在早期作用较大，它对传播速度的影响与尚未采用新技术的人数成正比，在模型（2）的基础上，有))((d d x N b ax tx-+= （2）和（3）区别见图1．图12．某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有1200个病人，到2005年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性.解： 根据题意可知：下一年病人数=当年患者数的一半+新患者.于是令n X 为从2000年起计算的n 年后患者的人数，可得到递推关系模型：10005.01+=+n n X X 得递推公式).211(2000210n n n X X -+=由,12000=X 可以算出2005年时的患者数19755=X 人.由递推公式容易看出，,2000→n n X X ，且是单调递增的正值数列故结论正确.三、计算题1．建立铅球掷远模型．不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h ，出手角度为α（与地面夹角），建立投掷距离与v ，h ，α的关系式，并求v ，h 一定的条件下求最佳出手角度．解：在图2坐标下铅球运动方程为0=x，g y -= ，0)0(=x ，h y =)0(， αcos )0(v x= ，αsin )0(v y = ． 解出)(t x ，)(t y 后，可以得铅球掷远为ααααcos )2sin (cos sin 212222v g hgv g v R ++=图2 这个关系还可表为 )tan (cos 2222ααR h v g R +=．由此计算0d d =*ααR ，得最佳出手角度和最佳成绩分别为：)(2sin 21gh v v +=-*α， gh v gvR 22+=*． 设h =1.5m ，v =10m/s ，则 4.41=*α，m 4.11=*R ．2．与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：xNrx t xln )(= ，其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同． 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h =Ex ．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量h m 及获得最大产量的捕捞强度 E m 和渔场鱼量水平x *0． 解： 模型为 Ex x N rx x F x-==ln )( ， 如图3所示，有2个平衡点：x = 0和x 0 =rE N -e．可证x = 0不稳定，x 0稳定（与E ，r 的大小无关）．最大持续产量为h m = rN/e ，获得h m 的E m = r ，x *0 =e /N ． 图33．在一种溶液中，化学物质A 分解而形成B ，其速度与未转换的A 的浓度成比例．转换A 的一半用了20分钟，把B 的浓度y 表示为时间的函数，并作出图象． 解：记B 的浓度为时间t 的函数y (t )，A 的浓度为x (t )． 一、假设1．1molA 分解后产生n molB ．2．容体的体积在反应过程中不变． 二、建立模型，求解有假设知，A 的消耗速度与A 的浓度成比例，故有下列方程成立kx tx-=d d 其中k 为比例系数．设反应开始时t = 0，A 的浓度为x 0，由题中条件知当t = 20（分）时，A 的浓度为021)20(x x =．解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==-)0(d d x x kx tx得 kt x t x -=e )(0 它应满足020021e )20(x x x k ==⨯-rN/解得 2ln 201=k 所以得 )2ln 200e )(（tx t x -=由于B 的浓度为x 浓度减少量的n 倍，故有)e1(]e[)(2ln 2002ln 2000ttnx x x n t y ---=-=三、作图（如图4） 图4nx。
实验07讲评、参考答案_微分方程模型(2学时)
实验07讲评、参考答案讲评未按时交的同学批改情况：附参考答案：实验07 微分方程模型（2学时）（第5章 微分方程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt=-= 其中，i (t )是第t 天病人在总人数中所占的比例。
k 是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i 0是初始时刻（t =0）病人的比例。
1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最大值，并在曲线图上标注。
%传染病模型2（SI 模型）的di/dt~i 曲线图 %文件名：p137fig2.m %λ=0.1clear; clc;《数学建模实验》王平提示：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel1）画曲线图用fplot函数，调用格式如下：fplot(fun,lims)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。
若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。
本题可用fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最大值用求解边界约束条件下的非线性最小化函数fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
返回自变量x在区间x1<x<x2上函数取最小值时的x值。
本题可用x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指示最大值坐标用线性绘图函数plot，调用格式如下：plot(x1,y1, '颜色线型数据点图标', x2,y2, '颜色线型数据点图标',…)本题可用hold on; %在上面的同一张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使用文本标注函数text，调用格式如下：格式1text(x,y,文本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注文本在图中添加的位置。
实验七多元函数微分数学实验课件习题答案
师学院数学与统计学院实验报告实验项目名称实验七多元函数微分所属课程名称数学实验实验类型微积分实验实验日期2013-4-26班级10数应（2）班学号291010836姓名吴保石成绩附录1：源程序0u D u,y,NonConstants u,vu Cos v D v,y,NonConstants u,v D u,y,NonConstants u,v Sin v1u D u,y,NonConstants u,vCos v D u,y,NonConstants u,v u D v,y,NonConstants u,v Sin vD u,y,NonConstants u,vCos v1u Cos v u Sin v,D v,y,NonConstants u,vu Sin vu u u Cos v u u Sin vf0,2x y,y x f1,1x y,y x f1,1x y,y x f2,0x y,y f1,0x y,y y f1,1x y,y x f2,0x y,yg x_,y_Exp x2y28Cos x^2Sin y^2;D[g[x,y],x,y]1 418x2y2x Cos x2Sin y22Cos x Sin x18x2y2Cos x2Sin y21 418x2y2y Cos x2Sin y22Cos y Sin y18x2y2Cos x2Sin y21 1618x2y2x y Cos x2Sin y22Cos y Sin y1418x2y2x Cos x2Sin y22Cos x Sin x2Cos y Sin y 18x2y2Cos x2Sin y21418x2y2y18x2y2Cos x2Sin y2r1,x1,y0,r1,x1,y0,r1,x73,y23,r1,x73,y23,r34,x0,y12,r34,x0,y12附录2：实验报告填写说明1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。
微分方程模型(二)
微分方程模型1．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。
设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？2．从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4（1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）（2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？3．一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？4．容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。
5．一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？6．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？7．某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落伞打开后的空气阻力约为0.6试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。
8． 1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。
9．证明对数螺线r=A上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常数，（）10．实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为0.005。
现有一包裹从离地150米高的飞机上落下，（1）求其落地时的速度（2）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹的速度会随高度而任意增大吗？11．生态学家估计人的内禀增长率约为0.029，已知1961年世界人口数为30.6亿（3.06×）而当时的人口增长率则为0.02。
数学实验7(微分方程)参考答案
实验7 微分方程求解一、实验目的：1．理解微分方程数值解求解方法的基本原理；2．掌握用MATLAB求微分方程解析解的方法；3．掌握用MATLAB求微分方程数值解的方法；4．能够解决有关微分方程求解的实际问题。
二、实验内容：1．求下列微分方程(组) 的通解(1) y''-y=x-2；(2) (2x3-xy2)dx+(2y3-x2y)dy=0；(3) dx/dt+2x+y=sint，dy/dt-4x-2y=cost 以下是M文件：（1）s=dsolve('D2y-y=x-2','x')（2）s=dsolve('Dy=(2*x^3-x*y^2)/(x^2*y-2*y^3)','x')（3）[x,y]=dsolve('Dx+2*x+y=sin(t)','Dy-4*x-2*y=cos(t)')程序运行结果：（1）exp(-x)*C2+exp(x)*C1+2-x（2）s =-1/2*(2*x^2*C1+2*(-3*x^4*C1^2+4)^(1/2))^(1/2)/C1^(1/2)-1/2*(2*x^2*C1+2*(-3*x^4*C1^2+4)^(1/2))^(1/2)/C1^(1/2)-1/2*(2*x^2*C1+2*(-3*x^4*C1^2+4)^(1/2))^(1/2)/C1^(1/2)1/2*(2*x^2*C1-2*(-3*x^4*C1^2+4)^(1/2))^(1/2)/C1^(1/2)（3）x = 2*sin(t)+C1*t+C2y =-2*cos(t)-C1-3*sin(t)-2*C1*t-2*C22．求下列微分方程满足给定初始条件的解，画出数值解与解析解的图形，对结果进行分析比较(1) y'=y+2，y(0)=1；(2) y''-y=x-2，y(0)=1，y'(0)=-1；（1）M文件：function dy=ex217(t,y)dy=zeros(1,1);dy(1)=y(1)+2;主程序：y1=dsolve('Dy=y+2','y(0)=1')%精确解Ts=[1,4];[T,Y]=ode45('ex217',Ts,1);%数值解t1=1:0.05:4;syms t;y2=subs(y1,t1,t);plot(t1,y2,T,Y)程序运行结果：y1 =-2+3*exp(t)（2）M文件：function dy= ex227 (x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=y(1)+x-2;主程序：y1=dsolve('D2y-y=x-2','y(0)=1','Dy(0)=-1','x')x1=0:0.02:2;syms x;y2=subs(y1,x1,x);X=[0,2];[X,Y]=ode45('ex227',X,[1;-1]);plot(x1,y2,X,Y(:,1))程序运行结果：y1 =-1/2*exp(x)-1/2*exp(-x)+2-x从图上可以比较得出：由图像可以看出，数值解与精度无关，解析解与精度有关。
微分方程模型02
微分方程模型在实际问题中，我们很难直接得出变量之间的数量关系，但是有时却很容易写出包括变量的导函数在内的一个方程，这就是微分方程，我们在一般的建模中常涉及常微分方程。
微分方程一般形式为：0),...,'',',,()(=n yy y y x F 或),...,'',',,()1()(-=n n yy y y x f y。
若在某个范围内存在具有n 阶导数的函数)(x y ψ=使得))(,...,')'(,)'(),(,()(=x x x x x F n ψψψψ，则称)(x y ψ=是微分方程的解。
微分方程所解决的问题通常可以分为两类：一类是用微分方程列出变量之间的关系式，求出位置函数的表达式，有时要借助软件进行数值分析；另一类是要了解未知变量或函数的某些性质即可，常需要根据微分方程的定性理论来研究，这两类建模问题我们将在后面进行讨论。
1. 微分方程简介1.1. 简单的微分方程模型一种比较简单的微分方程模型是变量的变化率与函数的即时值成正比，即kyy ='，它的解就是kt e y t y 0)(=，这里0y 是初值，k 是待定常量。
通常情况下，如果0>k 称)(t y 指数递增；如果0<k ，称)(t y 指数递减，我们通过几个例子来说明这种事实。
1.1.1. 放射性元素的自然衰变放射性元素的自然衰变是化学上的一个基本事实，它常用于定碳测量，在考古学学上利用该方法测定古生物生存年代。
存活于生物组织中占有确定比例的碳原子是放射性同位素14C ，一旦生物组织死亡，这种14C 不会增加，而会将一定比例的14C 衰变为12C ,并保持一定的速率（14C 的半衰期为5568年）按指数规律下降。
测定它现存的比例并与活的样品比较，就可以求得比例下降了多少，也就得到了被测样品的实际年代。
建立模型：假定)(t y 为t 时刻生物体内14C 原子的个数，经过相同的时间T ,y的值减少为原值的1/2 (指数衰减)。
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实验07讲评、参考答案讲评未按时交的同学批改情况：附参考答案：实验07 微分方程模型（2学时）（第5章 微分方程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt=-= 其中，i (t )是第t 天病人在总人数中所占的比例。
k 是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i 0是初始时刻（t =0）病人的比例。
1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最大值，并在曲线图上标注。
%传染病模型2（SI 模型）的di/dt~i 曲线图 %文件名：p137fig2.m %λ=0.1 clear; clc;《数学建模实验》王平提示：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel1）画曲线图用fplot函数，调用格式如下：fplot(fun,lims)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。
若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。
本题可用fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最大值用求解边界约束条件下的非线性最小化函数fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
返回自变量x在区间x1<x<x2上函数取最小值时的x值。
本题可用x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指示最大值坐标用线性绘图函数plot，调用格式如下：plot(x1,y1, '颜色线型数据点图标', x2,y2, '颜色线型数据点图标',…)本题可用hold on; %在上面的同一张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使用文本标注函数text，调用格式如下：格式1text(x,y,文本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注文本在图中添加的位置。
'HorizontalAlignment'为水平控制属性，控制文本标识起点位于点(x,y)同一水平线上。
'字符串1'为水平控制属性值，取三个值之一：'left'，点(x,y)位于文本标识的左边。
'center'，点(x,y)位于文本标识的中心点。
'right'，点(x,y)位于文本标识的右边。
格式2text(x,y, 文本标识内容, 'VerticalAlignment', '字符串2')x,y给定标注文本在图中添加的位置。
'VerticalAlignment'为垂直控制属性，控制文本标识起点位于点(x,y)同一垂直线上。
'字符串1'为垂直控制属性值，取四个值之一：'middle'，'top'，'cap'，'baseline'，'bottom'。
（对应位置可在命令窗口应用确定）本题可用text(0,y,'(di/dt)m','VerticalAlignment','bottom');text(x,-0.001,num2str(x),'HorizontalAlignment','center');5）坐标轴标注调用函数xlabel，ylabel和title本题可用title('SI模型di/dt~i曲线');xlabel('i');ylabel('di/dt');☆程序运行结果（比较[138]图2）：1.2 画i~t曲线图p136~138求出微分方程的解析解i(t)，画出i~t曲线（i(0)=0.15, k=0.2, t=0~30）（见[138]图1比较）。
% 5.1 传染病模型——模型2% 文件名：p136fig1.m% di/dt=ki(1-i), i(0)=i0clear; clc;x=dsolve('Dx=k*x*(1-x)','x(0)=x0') %求微分方程的解析解，为符号表达式x0=0.15; k=0.2;%xi对应i，xi0对应i0，k对应λtt=0:0.1:30;%时间单位为天for s=1:length(tt)%x的表达式中没有点运算，按标量运算取值xx t=tt(s);xx(s)=eval(x);%给出xi0=0.2,k=0.2,t,求符号表达式xi的对应值end %xx为复数表示plot(tt,xx);axis([0 31 0 1.1]);title('图1 SI模型的i~t曲线');xlabel('t （天）'); ylabel('i （病人所占比例）');1) 求解微分方程dsolve]，见提示；2) 画出i~t曲线（i(0)=0.15, λ=0.2, t=0~30）用for循环，函数length, eval, plot, axis, title, xlabel, ylabel。
☆程序运行结果（见[138]图1）：0510********0.20.40.60.81图1 SI模型的i~t曲线t （天）i（病人所占比例）2.（编程）传染病模型3（SIS 模型）已知传染病模型3（SIS 模型）：0)0()],11([i i i i dt di =---=σλ 其中，i (t )是第t 天病人在总人数中所占的比例。
λ是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i 0是初始时刻（t =0）病人的比例。
σ是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数（接触数）。
2.1 画~dii dt曲线图p138~139取λ=0.1，σ=1.5，画出如下所示的i dt di~曲线图。
试编写一个m 文件来实现。
提示：用fplot 函数画出i dtdi~的曲线图； 在上图上用plot 函数画一条过原点的水平线；用title, xlabel, ylabel标注。
2.2 画i~t曲线图p138~139要求：求出微分方程的解析解i(t)。
取λ=0.2, σ=3, t=0~40，画出如下所示的图形。
试编写一个m文件来实现。
其中蓝色实线为i(0)=0.2时的i~t曲线（第1条）；黑色虚点线为过点（0, 1-1/σ）的水平线（第2条）；红色虚线为i(0)=0.9时的i~t曲线（第3条）。
提示图例标注可用legend('i(0)=0.2','1-1/¦σ','i(0)=0.9');★编写的M文件和运行结果（比较[139]图4）：解法一：hold on;plot([0,41],[1-1/3,1-1/3],'-.k');%λ=0.2, σ=3，i(0)=0.9x=dsolve('Dx=-0.2*x*(x-(1-1/3))','x(0)=0.9')tt=0:0.1:40;%时间单位为天for i=1:length(tt)t=tt(i);xx(i)=eval(x);endplot(tt,xx,':r');legend('i(0)=0.2','1-1/σ','i(0)=0.9');axis([0 40 0 1]);title('图1 SI模型的i~t曲线(λ=0.2,σ=3)'); xlabel('t （天）'); ylabel('i （病人所占比例）');与解法一相同%传染病模型3（SIS模型）的i~t曲线图%文件名：p138fig4.mclear; clc;x=dsolve('Dx=-lam*x*(x-(1-1/si))','x(0)=x0')%求微分方程的解析解，为符号表达式tt=0:0.1:40;%时间单位为天lam=0.2; si=3; %λ=0.2, σ=3，x代表ifor x0=[0.2,0.9] %i(0)=0.2,0.9for t=ttxx(2-(x0==0.2),round(t/0.1)+1)=eval(x);endendplot(tt,xx(1,:),'-b',[0,41],[1-1/3,1-1/3],'-.k',tt,xx(2,:),':r');legend('i(0)=0.2','1-1/σ','i(0)=0.9');axis([0 40 0 1]);title('图1 SI模型的i~t曲线(λ=0.2,σ=3)');xlabel('t （天）'); ylabel('i （病人所占比例）');与解法一相同3.（验证）传染病模型4（SIR模型）p140~141SIR模型的方程：00(0) (0)disi i i i dtds si s sdtλμλ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩ 设λ =1，μ =0.3，i (0)=0.02，s (0)=0.98。
输入p140的程序并运行，结果与教材p141的图7和图8比较。
ode45, pause 的用法见提示。
☆ 2个M 文件（见[140]）和运行结果（比较[141]图7、图8）：4.（验证）人口指数增长模型参数估计及结果分析（美国1790-2000年人口）p163~164年1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 年1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4x(t) = x0 e r t(1) 用表中数据进行数据拟合求参数r，x0。