高中数学常用解题方法：八、构造法

故可联想到三角函数关系式并构造 x sin2 (0 ) 2
所以 y sin x cos x
2 sin( ) ， 4
当
4
即x
1 2
时，
ymax
2
八、构造法
解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解 题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找 到一条绕过障碍的新途径。
历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决 过数学上的难题。数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数 学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。近几年来，构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视， 在数学竞赛中有着一定的地位。
= 1 (x3 2x2 2x 2) = 1 [x(x 1)2 3x 2] = 1 (3x 3x 2) =1
2
2
2
（五）构造数列
相当多的数学问题，尤其是证明不等式，尝试一下“构造数列”能产生意想不到的效果。
【例
6】证明: 1
1 n
1
1
n1
(n=1,2,3……)
n n 1
分析此命题若直接证明，颇具难度，倘若构造数列
1 x1=x2=…=xn=1+n
,xn+1=1
利用平均值不等式x1+x2+…+xn+1 n+1
≥
n+1 x1x2…xn+1
，顿使命题明朗化。
（六）构造向量 新教材的一个重要特点是引入向量,代数、几何、三角中的很多问题都可以利用向量这一工具来解决.
【例 7】已知 a,b,c 为正数,求函数 y= x 2 a 2 (c x)2 b2 的最小值.
f (3)
x2 9
33
2、解：左边 x y xy 1 2 xy 1
yx
xy
xy
上单调递减 ∴ f (t) f (1) 17 44
令
t = xy，则 0 t
x
y 2
1 ，f (t) t
1 在 (0, 1]
2 4
t
4
| BO | (a 1)2 b2 ， | CO | (a 1)2 (b 1)2 ， | DO | a 2 (b 1)2 又：| AC || BD | 2 ∴ a 2 b2 (a 1)2 b2 a 2 (b 1)2 (a 1)2 (b 1)2 2 2
（构造图形、复数）
4、求证： 7x 2(9 x 2 ) 9 ，并指出等号成立的条件。（构造向量）
5、已知：a>0、b>0、c>0 ,求证： 取等号。（构造图形）
a2 ab b2
b2 bc c2
a 2 ac c2 当且仅当 1 1 1 时 b ac
6、求函数 y x 1 x 的最大值（构造三角函数）
另解：从不等式左边的结构特点容易联想到复数的模，将左边看成复数 Z1=x+y i , Z2 = x +（1－ y）i ，Z3 = 1－ x + y i ，Z4 = 1－ x +（1－ y）i 模的和，又注意到 Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2
＋2 i ，于是由 z1 ＋ z2 ＋ z3 ＋ z4 ≥ z1 z2 z3 z4 可得 x2 y2 x2 (1 y)2 (1 x)2 y2 (1 x)2 (1 y)2 22 22 2 2
【简解】1、解：设 t x2 9(t 3) 则 f (t) y t 2 1 ，用定义法可证：f (t)在[3,) 上单调递增， t
令：3≤ t1 t2
则
f
(t1 )
f
(t2 )
t12 1 t1
t22 1 t2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(t1
t2 )(t1t2 t1t 2
1)
0
∴y
x2 10
33 1 10
=∣Z1∣+∣Z2∣≥∣Z1+Z2∣=∣(a+b)x+(a+b)yi∣=(a+b) x 2 y 2 =a+b，不等式得证：
（四）构造代数式
代数式是数学的重要组成要素之一，有许多性质值得我们去发现和应用。
【例 5】、当 x 3 1时，求 y 1 x3 x2 x 1的值. 2
解：由条件得 x 3 1 所以 x 1 3 ，构造 x 1的因式 y= 1 x3 x2 x 1 2
（三）构造复数
复数是实数的延伸，一些难以解决的实数问题通过构造转化为复数问题，虽然数的结构会变复杂，但
常使问题简明化，正所谓“退一步海阔一空”。
【例 4】、a,b,x,y∈{正实数},且 x2+y2=1,求证： a2x2+b2y2 + a2y2+b2x2 =≥a+b
证：设 z1=ax+byi， z2=bx+ayi，则 a2x2+b2y2 + a2y2+b2x2
理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃。很多数 学命题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用函数思想，能使解答别具一格，耐人寻味。 【例 1】、已知 x,y,z∈（0，1），求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1 （第 15 届俄罗斯数学竞赛题）
（二）构造方程：
方程是解数学题的一个重要工具，许多数学问题，根据其数量关系，在已知和未知之间搭上桥梁，构
造出方程，使解答简洁、合理。
【例 2】、已知 a,b,c 为互不相等的实数，试证：(a-bb)c(a-c)
ac +(b-a)(b-c)
ab +(c-a)(c-b)
=1
(1)
证：构造方程((xa--bb))((ax--cc))
(x-a)(x-c) +(b-a)(b-c)
(x a)(x b)
+
=1
时等号成立，故由 x 9 x2 0 得：x= 7 ,λ=1，即 x = 7 时，等号成立。
7
2
1 absin 60 1 bcsin 60 1 acsin120 ，即 ab+bc=ac
2
2
2
故当且仅当 1 1 1 时取等号。 b ac
6、解：由根号下的式子看出 x+1 x =1且 0 x 1
构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提，根据题目的 特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带，使解题另辟蹊径、水到渠成。
用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、 图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的， 没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以尝试从中总结规律：在运用构造法时，一要明确构造的目 的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。 一、典例分析 （一）构造函数
4、解：不等式左边可看成 7 与 x 和 2 与 9 x 2 两两乘积的和，从而联想到数量积的 坐标表示，将左边看成向量 a =( 7 , 2 )与 b =( x, 9 x2 )的数量积，又 a b | a || b | ， 所以 7x 2(9 x2 ) ( 7)2 ( 2)2 · x2 (9 x2 ) 9 当且仅当 b =λ a (λ>0)
这道竞赛题能如此简洁、直观地证明，真是妙不可言。
【例 9】、求证： 4 4 9x2 2x 2 13
3
3
简析： 4 9x 2 的结构特点，使我们联想到椭圆方程及数形结合思想。
解：令 y 4 9x2 ( y 0) ，
x2 则其图象是椭圆 4
y2 4
1 的上半部分，设 y 2x=m，于是只需证 4 m 2
解: 构造向量 a =(x,a), b =(c-x,b),则原函数就可化为:y=│ a │+│ b │≥│ a + b │ (x c x)2 (a b)2 c 2 (a b)2 ， ∴ymin= c 2 (a b)2
(七）构造几何图形 一般来讲，代数问题较为抽象，若能通过构造将之合理转化为几何问题，利用“数形结合”这一重要思想方法， 往往可增强问题的直观性，使解答事半功倍或独具匠心。 【例 8】、（见【例 1】）
(c a)(c b)
(2)
显然 a,b,c 为方程的三个互不相等的实根。从而对任意实数 x 均满足（2）式。 特别地，令 x=0，即得（1）式。
【例
3】、设
x,y
为实数，且满足关系式：
(x 1)3 1997(x 1) 1
(
y
1)3
1997(
y
1)
1
则
x+y=
数学联赛试题）
.（1997 年全国高中
13
,
9
3
3
因 m 为直线 y=2x＋m 在 y 轴上的截距，由图可知：
二、巩固训练
1、求证： y x2 10 10 （构造函数） x2 9 3
2、若
x
>
0,
y
>
0,
x
+
y
=
1，则
x
1 x
y
1 y
25 4
（构造函数）
3、已知 0 a 1， 0 b 1，求证：
a 2 b2 (a 1)2 b2 a 2 (b 1)2 (a 1)2 (b 1)2 2 2