上海市-建平中学高三期中数学考试试卷(含答案)(2018.11)
2018学年上海市建平中学高三(上)9月月考数学试卷 解析版
2017-2018学年上海市建平中学高三（上）9月月考数学试卷一、填空题1．（3分）在（x+a）5的二项式展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则非零实数a的值为．2．（3分）袋中共有15个除颜色外完全相同的球，其中10个白球5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为．3．（3分）设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为．4．（3分）已知集合{x|（x﹣1）（x2﹣x+a）=0，x∈R}中的所有元素之和为1，则实数a的取值集合为．5．（3分）已知x∈C，且x5﹣1=0，则=．6．（3分）设，则=．7．（3分）若复数z满足，则复数|z﹣1﹣i|的最大值为．8．（3分）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P的直线上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=．9．（3分）已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是：（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°．10．（3分）集合，若B⊆A，则实数a的取值范围是．11．（3分）在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ABC的面积为1，则•+2的最小值为．12．（3分）已知函数f（x）=（a＞0且α≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是．二、选择题13．（3分）若a、b为实数，则ab（a﹣b）＜0成立的一个充要条件是（）A．B．C．D．14．（3分）l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l215．（3分）已知数列{a n}共有5项，满足a1＞a2＞a3＞a4＞a5≥0，且对任意i，j（1≤i≤j≤5），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，则下列命题中，假命题的序号是（）A．数列{a n}中一定存在一项为0B．存在1≤i＜j≤5，使得ia i=ja jC．数列{a n}一定是等差数列D．集合A={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤5}中元素个数为15．16．（3分）已知函数f（x）=，有下列四个结论：①对任意x∈D，f（x）+f（﹣x）=0恒成立；②存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实根；③对任意x1，x2∈D，若x1≠x2，则一定有f（x1）=f（x2）；④对任意k∈（1，+∞），函数g（x）=f（x）﹣kx有三个零点．上述结论正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4三、解答题17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=8，BC=5，AA1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH，且A1E=D1F=2，AH=DG=5．（1）求截面EFGH把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．18．已知数列{a n}是首项等于的等比数列，公比q∈N*，S n是它的前n项和，满足S4=5S2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．19．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知AB=18米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为θ．（1）若θ=60°，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到0.1°）（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？20．设椭圆M：的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥PO．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2=1，求证：直线DE恒过一个定点．21．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈Z}，集合B={x|lg（x2+x+8）=1}，集合C={x|x=ab，a∈A，b∈B}．（1）用列举法表示集合C；（2）设集合C的含n个元素所有子集为C n，记有限集合M的所有元素和为S （M），求S（C1）+S（C2）+…+S（C n）的值．（3）已知集合P，Q是集合C的两个不同子集，若P不是Q的子集，且Q不是P的子集，求所有不同的有序集合对（P，Q）的个数n（P，Q）．2017-2018学年上海市建平中学高三（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）在（x+a）5的二项式展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则非零实数a的值为1．【分析】利用（x+a）5二项式展开式的通项公式写出展开式中含x2的系数和x3的系数，列方程求出a的值．=•x5﹣r•a r，【解答】解：（x+a）5的二项式展开式中，通项公式为T r+1∴含x2的系数为•a3，x3的系数为•a2，由题意知•a3=•a2，即10a3=10a2，解得a=1或a=0；∴非零实数a的值为1．故答案为：1．2．（3分）袋中共有15个除颜色外完全相同的球，其中10个白球5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为．【分析】从袋中任取2个球，基本事件总数n=，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球包含的基本事件个数m=，由此能求出所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率．【解答】解：袋中共有15个除颜色外完全相同的球，其中10个白球5个红球，从袋中任取2个球，基本事件总数n==105，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球包含的基本事件个数m=，∴所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为p==．故答案为：．3．（3分）设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为．【分析】根据双曲线渐近线和a，b的关系建立方程进行求解即可求出离心率的大小，利用待定系数法求λ，即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，∴=，即==e2﹣1=，则e2=，则e=，设双曲线方程为﹣y2=λ，λ＞0，∵若点（4，2）在C上，∴λ==8﹣4=4，即双曲线方程为﹣y2=4，即，故答案为：4．（3分）已知集合{x|（x﹣1）（x2﹣x+a）=0，x∈R}中的所有元素之和为1，则实数a的取值集合为{0}∪（，+∞）．【分析】利用分类讨论的思想①当a=0时，集合只有0和1两个元素，故满足所有的元素和为1．②当f（x）=x2﹣x+a没有零点，即）x2﹣x+a=0没有实根，故△＜0，进一步求出结果．【解答】解：集合{x|（x﹣1）（x2﹣x+a）=0，x∈R}中的所有元素之和为1，则：①当a=0时，集合只有0和1两个元素，故满足所有的元素和为1．②当f（x）=x2﹣x+a没有零点，即）x2﹣x+a=0没有实根．故△＜0，即1﹣4a＜0解得：a．综合①②得：，故答案为：{0}∪（，+∞）5．（3分）已知x∈C，且x5﹣1=0，则=4，或﹣1．【分析】由x5﹣1=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=0，得x=1，或x4+x3+x2+x+1=0，进而得到答案．【解答】解：∵x∈C，且x5﹣1=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=0，故x=1，或x4+x3+x2+x+1=0，当x=1时，=4，当x4+x3+x2+x+1=0时，==﹣1，故=4，或﹣1故答案为：4，或﹣1．6．（3分）设，则=1+．【分析】由已知求出|z n|，再由无穷递缩等比数列所有项和的求解方法求解．【解答】解：∵，∴=，则==．故答案为：1+．7．（3分）若复数z满足，则复数|z﹣1﹣i|的最大值为．【分析】设出z=a+bi（a，b∈R），则由，得z在复平面内对应点的轨迹，再由|z﹣1﹣i|的几何意义求解．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则由，得a2+b2+2a≤0，即（a+1）2+b2≤1．复数z在复平面内对应点的轨迹如图：∴复数|z﹣1﹣i|的最大值为|PC|+1=．故答案为：．8．（3分）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P的直线上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=3．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），区域内的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成线段R′Q′，即SAB，而R′Q′=RQ，由得Q（﹣1，1）由即R（2，﹣2），则|AB|=|QR|==3，故答案为：3．9．（3分）已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是②：（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°．【分析】满足，则有A1=±A，B1=±B，C1=±C逐一验证选项即可．【解答】解：满足，则有A1=±A，B1=±B，C1=±C．对于①，cosA=cos90°=0，显然不成立．对于②，可取满足题意．对于③，经验证不满足．故答案为：②．10．（3分）集合，若B⊆A，则实数a的取值范围是{a|1＜a} ．【分析】根据B⊆A，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：集合，化简集合A={x|x2﹣5x+4≤0}=[1，4]．∵B⊆A，当B=∅时，则4（a﹣2）2﹣4a＜0，可得：1＜a＜4．当B≠∅时，f（x）=x2﹣2（a﹣2）x+a≤0有解．则4（a﹣2）2﹣4a≥0，f（1）≥0，f（4）≥0，，可得：3＜a综上可得：实数a的取值范围是{a|1＜a}．故答案为：{a|1＜a≤}．11．（3分）在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ABC的面积为1，则•+2的最小值为．【分析】由三角形的面积公式，S△ABC=2S△MBC，则S△MBC=，根据三角形的面积公式及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得则•+2，利用导数求得函数的单调性，即可求得则•+2的最小值；方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得•+2的最小值．【解答】解：∵D、E是AB、AC的中点，∴A到BC的距离=点A到BC的距离的一半，∴S△ABC =2S△MBC，而△ABC的面积1，则△MBC的面积S△MBC=，S△MBC=丨MB丨×丨MC丨sin∠BMC=，∴丨MB丨×丨MC丨=．∴•=丨MB丨×丨MC丨cos∠BMC=．由余弦定理，丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC，显然，BM、CM都是正数，∴丨BM丨2+丨CM丨2≥2丨BM丨×丨CM丨，∴丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC=2×﹣2×．．∴•+2≥+2×﹣2×=，方法一：令y=，则y′=，令y′=0，则cos∠BMC=，此时函数在（0，）上单调减，在（，1）上单调增，∴cos∠BMC=时，取得最小值为，•+2的最小值是，方法二：令y=，则ysin∠BMC+cos∠BMC=2，则sin（∠BMC+α）=2，tanα=，则sin（∠BMC+α）=≤1，解得：y≥，•+2的最小值是，故答案为：．12．（3分）已知函数f（x）=（a＞0且α≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是[，]∪{} ．【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围．【解答】解：函数f（x）=（a＞0且α≠1）在R上单调递减，则：；解得，≤a≤．由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，故答案为：[，]∪{}．二、选择题13．（3分）若a、b为实数，则ab（a﹣b）＜0成立的一个充要条件是（）A．B．C．D．【分析】先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【解答】解：ab（a﹣b）＜0⇔a2b﹣ab2＜0⇔a2b＜ab2⇔⇔＜故选：D．14．（3分）l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l2【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：若l1∥α，l2∥α，则有l1∥l2或l1与l2相交或l1与l2异面，故A错误；如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1∥α或l1⊂α，故B、C错误；如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2∥α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2∥a，∴l1⊥l2，故D正确．故选：D．15．（3分）已知数列{a n}共有5项，满足a1＞a2＞a3＞a4＞a5≥0，且对任意i，j（1≤i≤j≤5），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，则下列命题中，假命题的序号是（）A．数列{a n}中一定存在一项为0B．存在1≤i＜j≤5，使得ia i=ja jC．数列{a n}一定是等差数列D．集合A={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤5}中元素个数为15．【分析】根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤5），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，因此0∈{a n}，由于a4﹣a5=a4∈{a n}，（a4＞0），可得a3﹣a4=a4，即a3=2a4，以此类推可得：a2=3a4，a1=4a4．分析选项即可判断出结论．【解答】解：根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤5），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，∴a i﹣a i=0，∴当a5=0时，则a4﹣a5=a4∈{a n}，（a4＞0）．必有a3﹣a4=a4，即a3=2a4，而a2﹣a3=a3或a4，若a2﹣a3=a3，则a2﹣a4=3a4，而3a4≠a3，a4，a5，舍去；若a2﹣a3=a4∈{a n}，此时a2=3a4，同理可得a1=4a4．可得数列{a n}为：4a4，3a4，2a4，a4，0（a4＞0）；据此分析选项：易得A、B、C正确；对于D、集合A={x|x=a i+a j，1≤i≤j≤5}={8a4，7a4，6a4，5a4，4a4，3a4，2a4，a4，0（a4＞0）}中共有9个元素，D错误；故选：D．16．（3分）已知函数f（x）=，有下列四个结论：①对任意x∈D，f（x）+f（﹣x）=0恒成立；②存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实根；③对任意x1，x2∈D，若x1≠x2，则一定有f（x1）=f（x2）；④对任意k∈（1，+∞），函数g（x）=f（x）﹣kx有三个零点．上述结论正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】通过函数的基本性质﹣﹣奇偶性和单调性，对选项进行逐一验证即可【解答】解：∵函数f（x）=（x∈R）是奇函数，∴任意x∈R，等式f（﹣x）+f（x）=0恒成立，故①正确；令m=，|f（x）|=，可解得，x=1或x=﹣1，故②正确；当x≥0时，f（x）=，f'（x）=＞0，故原函数在[0，+∞）单调递增当x＜0时，f（x）=，f'（x）=＞0，故原函数在（﹣∞，0）单调递增，故函数在R上单调递增，对任意x1，x2∈D，若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；故③错误；由③中分析可得：f'（x）∈（0，1]，故对任意k∈（1，+∞），函数y=f（x）的图象与y=kx只有原点一个交点，即函数g（x）=f（x）﹣kx有一个零点，故④错误．故选：B．三、解答题17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=8，BC=5，AA1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH，且A1E=D1F=2，AH=DG=5．（1）求截面EFGH把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．【分析】（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，转化求解体积推出结果即可．（2）解法一：作AM⊥EH，垂足为M，证明HG⊥AM，推出AM⊥平面EFGH．通过计算求出AM=4．AF，设直线AF与平面α所成角为θ，求解即可．解法二：以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面α一个法向量，利用直线AF与平面α所成角为θ，通过空间向量的数量积求解即可．【解答】（本题满分（14分），第1小题满分（6分），第2小题满分8分）解：（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，，…（2分），…（4分）所以，．…（6分）（2）解法一：作AM⊥EH，垂足为M，由题意，HG⊥平面ABB1A1，故HG⊥AM，所以AM⊥平面EFGH．…（2分）=10，）因为，，所以S△AEH因为EH=5，所以AM=4．…（4分）又，…（6分）设直线AF与平面α所成角为θ，则．…（7分）所以，直线AF与平面α所成角的正弦值为．…（8分）解法二：以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（5，0，0），H（5，5，0），E（5，2，4），F（0，2，4），…（2分）故，，…（3分）设平面α一个法向量为，则即所以可取．…（5分）设直线AF与平面α所成角为θ，则．…（7分）所以，直线AF与平面α所成角的正弦值为．…（8分）18．已知数列{a n}是首项等于的等比数列，公比q∈N*，S n是它的前n项和，满足S4=5S2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．【分析】（1）公比q∈N*，q≠1，由S4=5S2．可得=，解得q．（2）b n=log a a n=（n﹣5）log a2，利用等差数列的求和公式可得数列{b n}的前n项和T n=log a2，对a分类讨论，利用二次函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）公比q∈N*，q≠1，∵S4=5S2．∴=，解得q=2．∴a n==2n﹣5．（2）b n=log a a n=（n﹣5）log a2，∴数列{b n}的前n项和T n=log a2=log a2，a＞1时，（T n）min=T4=T5=﹣10log a2．0＜a＜1时，（T n）max=T4=T5=﹣10log a2．19．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知AB=18米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为θ．（1）若θ=60°，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到0.1°）（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？【分析】（1）利用正弦定理，即可求解；（2）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建平面直角坐标系，求出Q 的轨迹方程，即可得出结论．【解答】解：（1）△AEQ中，AQ=2EQ，∠AEQ=120°…（2分）由正弦定理，得：所以…（4分）所以所以应在矩形区域ABCD内，按照与夹角为25.7°的向量方向释放机器人乙，才能挑战成功…（6分）（2）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建平面直角坐标系，设Q（x，y）（y≥0）…（8分）由题意，知AQ=2EQ，所以所以（x﹣3）2+y2=36（y≥0）…（11分）即点Q的轨迹是以（3，0）为圆心，6为半径的上半圆在矩形区域ABCD内的部分所以当AD≥6米时，能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲…（14分）20．设椭圆M：的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥PO．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2=1，求证：直线DE恒过一个定点．【分析】（1）利用AP⊥OP，可知k AP•k OP=﹣1，A点坐标为（﹣a，0），得a，求出b，然后求解椭圆方程．（2）求出AP的方程x﹣y+1=0，通过Q是椭圆M上的点，故可设，然后利用三角形的面积求解最大值即可．（3）直线AD方程为y=k1（x+1），代入x2+3y2=1，求出D、E坐标，得到直线DE的方程，利用直线系得到定点坐标．（法二）若DE垂直于y轴，则x E=﹣x D，y E=y D，此时与题设矛盾．若DE不垂直于y轴，可设DE的方程为x=ty+s，将其代入x2+3y2=1，利用韦达定理结合斜率关系推出DE的方程为x=ty﹣2，推出直线DE过定点（﹣2，0）．【解答】解：（1）由AP⊥OP，可知k AP•k OP=﹣1，又A点坐标为（﹣a，0），故，可得a=1，…（2分）因为椭圆M过P点，故，可得，所以椭圆M的方程为．…（4分）（2）AP的方程为，即x﹣y+1=0，由于Q是椭圆M上的点，故可设，…（6分）所以…（8分）=当，即时，S取最大值．△APQ的最大值为．…（10分）故S△APQ（3）直线AD方程为y=k1（x+1），代入x2+3y2=1，可得，，又x A=﹣1，故，，…（12分）同理可得，，又k1k2=1且k1≠k2，可得且k1≠±1，所以，，，直线DE的方程为，…（14分）令y=0，可得．故直线DE过定点（﹣2，0）．…（16分）（法二）若DE垂直于y轴，则x E=﹣x D，y E=y D，此时与题设矛盾．若DE不垂直于y轴，可设DE的方程为x=ty+s，将其代入x2+3y2=1，可得（t2+3）y2+2tsy+s2﹣1=0，可得，…（12分）又，可得，…（14分）故，可得s=﹣2或﹣1，又DE不过A点，即s≠﹣1，故s=﹣2．所以DE的方程为x=ty﹣2，故直线DE过定点（﹣2，0）．…（16分）21．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈Z}，集合B={x|lg（x2+x+8）=1}，集合C={x|x=ab，a∈A，b∈B}．（1）用列举法表示集合C；（2）设集合C的含n个元素所有子集为C n，记有限集合M的所有元素和为S （M），求S（C1）+S（C2）+…+S（C n）的值．（3）已知集合P，Q是集合C的两个不同子集，若P不是Q的子集，且Q不是P的子集，求所有不同的有序集合对（P，Q）的个数n（P，Q）．【分析】（1）先求出集合A，B，进而可得集合C={x|x=ab，a∈A，b∈B}（2）C的每一元素a在“总和”S（M）中均出现25次，进而可得答案；（3）集合C有26个子集，不同的有序集合对（P，Q）有26（26﹣1）个．去除满足P⊊Q和Q⊊P的元素个数，可得答案．【解答】解：（1）∵集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈Z}={﹣1，0，1，2}，集合B={x|lg（x2+x+8）=1}={﹣2，1}，集合C={x|x=ab，a∈A，b∈B}={﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2}．（2）n∈N*时，对C的任一元素a，因为C共有6个元素，故含有元素a的子集为25个，故C的每一元素a在“总和”S（M）中均出现25次，故S（C1）+S（C2）+…+S（C n）=（﹣4﹣2﹣1+0+1+2）•25=﹣128；（3）集合C有26个子集，不同的有序集合对（P，Q）有26（26﹣1）个．若P⊊Q，并设Q中含有k（1≤k≤n，k∈N•）个元素，则满足P⊊Q的有序集合对（P，Q）有=36﹣26个．同理，满足Q⊊P的有序集合对（P，Q）有36﹣26个．故满足条件的有序集合对（P，Q）的个数为n（P，Q）=26（26﹣1）﹣2（36﹣26）=2702．。
2018届上海市建平中学高三上学期期中考试数学试题(3)
上海市建平中学2018届高三上学期期中考试数学试题2017.11一.填空题1. 函数f (x) Tog2(x—3)的定义域是 ___________x _12. 若集合A ={x| 0}，则C R A二 ________x_33. 函数f (x)二sinx的零点是_________4 J!4. 已知二是第二象限角且cos ，则sin(二-')二__________5 42 1T5. 在扇形OAB中，中心角• AOB二幺，若弧AB的长为2二，则扇形OAB的面积为36. 函数y =sin(2x ')的单调递增区间为______________47. 函数f(x) =2cos2x sin2 x -1，x • ［0「］的值域为___________28. 函数f(x) =As in •‘X ( A .0，u >0 )在［0,二］上至少取到一次振幅，则频率的最小值为_________9. 已知函数f (x)满足：对任意a,b R，a中b，都有af (a) bf (b) af (b) bf (a)，则不等式f(|x|) ■ f(2x 1)的解集为______________Q *10. 若关于x的不等式x -axcos二x・4一0对任意N成立，则实数a的取值范围是11. 设函数f (x)、g(x)的定义域均为R，若对任意x1,x^ R，且x1：：：x2，具有f (x1^l f (x2)，则称函数f (x)为R上的单调非减函数，给出以下命题：①若f(x)关于点(a,0)和直线x=b( b=a)对称，则f (x)为周期函数，且2(b - a)是f(x)的一个周期；②若f(x)是周期函数，且关于直线X二a对称，则f(x)必关于无穷多条直线对称；③若f(x)是单调非减函数，且关于无穷多个点中心对称，则f(x)的图像是一条直线；④若f(x)是单调非减函数，且关于无穷多条平行于y轴的直线对称，则f (x)是常值函数；以上命题中，所有真命题的序号是___________12. 已知a1、a2、a3、a°与d、b?、R、是8个不同的实数，若方程|x—a1||x—a2||x—a3||x—a4|=|x—b1||x—b2||x— b3「|x — b4| 有有限多个解，则此方程的解最多有_________ 个3选择题13.将函数y =sin2x 的图像向左平移 二个单位，得到函数（）的图像4A. y =sin2xB. y=cos2xC. y =—sin 2xD. y = —cos2x14. 下列函数在其定义域上既是奇函数，又是增函数的是（15.下列关于充分必要条件的判断中，错误的是（）A. “ x • （0,二）”是“ sinx • — - 2 ”的充分条件2sin xB. “ a b _2 ”是“ ab _1 ”的必要条件 1C. “ x 0 ”是“ X • — _ 2 ”的充要条件xD. “ a 0， b • 0 ”是“ a b 2一 ab ”的非充分非必要条件16. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆 汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中， 甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时, 消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速 80千米/小时, 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油三.解答题（1） 若cosB讨，求b 的值；（2） 若a =讦3，求 ABC 的面积的最大值A. y = lg(x . x -1)B.C.y =7^7 22-12D. y =2x1-2"17.在 ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为 cos A 二VHHI F ，1x 118.设函数 f(x)=4 -1 ( x_0 )的反函数为 f —(x), g(x^log 4(3x 1). (1 )求 f "(x)；(2)若函数h(x) =2g(x) - f 」(x)的图像与直线y =a 有公共点，求实数 a 的取值范围19.某工程队共有500人，要建造一段6000米的高速公路，工程需要把 500人分成两组, 甲组的任务是完成一段 4000米的软土地带，乙组的任务是完成剩下的 2000米的硬土地带, 据测算，软、硬土地每米的工程量是 30工(工为计量单位)和 40工.(1 )若平均分配两组的人数，分别计算两组完工的时间，并求出此时全队的筑路工期； (2 )如何分配两组的人数会使得全队的筑路工期最短？20.已知函数 f (x) = x | x 「a | bx ， a,b R .(1 )若a=0，判断f (x)的奇偶性，并说明理由; (2 )若b=0，求f(x)在［1,3］上的最小值;f (x) f (x) - g(x) 21.给定函数 f(x)、g(x)，定义 F(f(x),g(x)) .l g(x) f(x)<g(x)/、"口f (x)+g(x) + | f (x)—g(x) |(1)证明:F(f(x),g(x))：(2 )若 f(x) =si n2x-cosx ， g(x) =si n2x cosx ，证明：F (f (x), g(x))是周期函数; (3)若 f(x)=A t Si n “X ，in 2x ， A=0，- - 0 , i =1,2，证明：f (x) • g(x)是周期函数的充要条件是为有理数.(3)若 b0， 且 f(x)二a 2b 2有三个不同实根,十的取值范围.填空题三.解答题精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
上海市浦东新区建平中学2018届高三上学期10月月考数学试卷+Word版含答案
绝密★启用前上海市浦东新区建平中学2018届高三上学期10月月考数学试题一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共20分）.1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|x≥0}，则A∩B= ．2．（5分）函数f（x）=log2（x﹣1）的定义域为．3．（5分）当x＞0时，函数f（x）=x+x﹣1的值域为．4．（5分）“x＞1”是“x＞a”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．5．（5分）若函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=x﹣2，则f﹣1（3）= ．6．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0，x∈Z}，B={t|at﹣1=0}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为．7．（5分）已知函数f（x）=lg（ax2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，则实数a的取值集合为．8．（5分）已知不等式≤1的解集为A，若1∉A，则实数a的取值范围是．9．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，若f（a）＞f（2a﹣1），则实数a的取值范围是．10．（5分）若集合A={x|x2+4x+a=0}，集合B={t|函数f（x）=4x2﹣8x+t（4﹣t）至多有一个零点}，则A∪B的元素之和的函数关系式f（a）= ．11．（5分）当m＞0时，方程（mx﹣1）2﹣=m在x∈[0，1]上有且只有一个实根，则实数m的取值范围是．12．（5分）已知函数f（x）=，记函数g（x）=f（x）﹣t，若存在实数t，使得函数g（x）有四个零点，则实数a的取值范围是．二、选择题13．（5分）下列函数中，与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣115．（5分）若函数f（x）=ax2+bx+c在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关16．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），给出下列命题：①若f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0；②若f（x）是奇函数，且f（﹣1）=f（1），则f（x）至少有三个零点；③若f（x）在R上不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若f（x）的最大值和最小值分别为M、m（m＜M），则f（x）的值域为[m，M]．则其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题17．已知U=R，P={x|＞a}，Q={x|x2﹣3x≤10}．（1）若a=1，求（∁U P）∩Q；（2）若P∩Q=P，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=+（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）解不等式f（x）≥．19．某城市要建造一个边长为2km的正方形市民休闲OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，过对边OA上一点M的区域OABD内作一次函数y=kx+m（k＞0）的图象，与线段DB 交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区．（1）写出函数关系式m=f（k）；（2）设点P的横坐标为t，将四边形MABN的面积S表示关于t的函数S=g（t），并求S的最大值．。
建平中学数学高三试卷答案
一、选择题1. 下列各数中，有理数是：（）A. √2B. πC. -1/3D. 无理数答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，即分数形式。
C选项-1/3可以表示为-1除以3，是有理数。
2. 已知函数f(x) = 2x + 1，那么f(-1)的值是：（）A. 1B. 0C. -1D. -3答案：C解析：将x=-1代入函数f(x) = 2x + 1中，得到f(-1) = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1。
3. 下列不等式中，正确的是：（）A. 3x > 6B. 2x ≤ 4C. 5x < 10D. 4x ≥ 8答案：B解析：将不等式两边同时除以相同的正数或负数，不等号的方向不变。
B选项2x ≤ 4，除以2得到x ≤ 2，不等式成立。
4. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，那么第10项an的值是：（）A. 15B. 17C. 19D. 21答案：D解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
将首项a1=3，公差d=2，项数n=10代入，得到第10项an = 3 + (10-1)2 = 3 + 18 = 21。
5. 下列各式中，能表示圆的方程是：（）A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 4C. x^2 - y^2 = 1D. x^2 + y^2 = 9答案：B解析：圆的标准方程为x^2 + y^2 = r^2，其中r为圆的半径。
B选项x^2 + y^2= 4表示半径为2的圆。
二、填空题6. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，那么f(2)的值是：（）答案：-1解析：将x=2代入函数f(x) = x^2 - 4x + 3中，得到f(2) = 2^2 - 42 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1。
7. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，那么∠C的度数是：（）答案：75°解析：三角形内角和为180°，∠A + ∠B + ∠C = 180°。
上海高三高中数学期中考试带答案解析
上海高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.集合，，则___________．2.复数所对应的点在复平面内位于第________象限．3.已知首项为1公差为2的等差数列，其前项和为，则_____．4.若方程组无解，则实数_____．5.若的二项展开式中，含项的系数为，则实数_________．6.已知双曲线,它的渐近线方程是,则的值为_______．7.在中，三边长分别为，，，则 ___________．8.在平面直角坐标系中，已知点，对于任意不全为零的实数、，直线，若点到直线的距离为，则的取值范围是___________．9.函数，如果方程有四个不同的实数解、、、，则_______．10.三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于_______．11.在直角中，，，，是内一点，且，若，则的最大值______________．12.无穷数列的前项和为，若对任意的正整数都有，则的可能取值最多有_________个．二、选择题1.已知，，都是实数，则“，，成等比数列”是“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.、是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是（）A．如果∥，∥，则一定有∥．B．如果，，则一定有．C．如果，，则一定有∥．D．如果，∥，则一定有．3.已知函数，、、，且，，，则的值（______）A．一定等于零．B．一定大于零．C．一定小于零．D．正负都有可能．4.已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：①；②当时，有最小值，无最大值；③；④当且时，的取值范围是.正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4三、解答题1.如图是直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且，直三棱柱的高等于4，线段的中点为，线段的中点为，线段的中点为．（1）求异面直线、所成角的大小；（2）求三棱锥的体积．2.已知定义在上的函数是奇函数，且当时，．（1）求在区间上的解析式；（2）当实数为何值时，关于的方程在有解．3.已知数列是首项等于且公比不为1的等比数列，是它的前项和，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设且，求数列的前项和的最值．4.已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为.（1）求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程；（2）如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围；（3）当，时，直线交椭圆于，两点，若点，的“伴随点”分别是，，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积．5.对于定义域为的函数，部分与的对应关系如下表：02（1）求；（2）数列满足，且对任意，点都在函数的图像上，求；（3）若，其中，，，，求此函数的解析式，并求 ()．上海高三高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.集合，，则___________．【答案】【解析】2.复数所对应的点在复平面内位于第________象限．【答案】四【解析】3.已知首项为1公差为2的等差数列，其前项和为，则_____．【答案】【解析】【点睛】本题主要等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式及极限，涉及方程思想、极限思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型.先利用等差数列的通项公式、等差数列的前项和化简，再利用极限公式进行求解.4.若方程组无解，则实数_____．【答案】【解析】由已知可得 .5.若的二项展开式中，含项的系数为，则实数_________．【答案】1【解析】由已知可得 .6.已知双曲线,它的渐近线方程是,则的值为_______．【答案】2【解析】由已知可得 .7.在中，三边长分别为，，，则 ___________．【答案】【解析】8.在平面直角坐标系中，已知点，对于任意不全为零的实数、，直线，若点到直线的距离为，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【点睛】本题主要直线的方程、直线的定点问题和点到直线的距离，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型.首先求出直线得到定点，再利用数学结合思想，利用两点的距离公式即可求得正解.9.函数，如果方程有四个不同的实数解、、、，则_______．【答案】4【解析】10.三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于_______．【答案】【解析】11.在直角中，，，，是内一点，且，若，则的最大值______________．【答案】【解析】由已知可得 .【点睛】本题主要考查向量的数量积、向量的分解和基本不等式，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型.将已知条件两边平方得.12.无穷数列的前项和为，若对任意的正整数都有，则的可能取值最多有_________个．【答案】91【解析】由已知可得最多由个.二、选择题1.已知，，都是实数，则“，，成等比数列”是“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由成等比数列可得；但是当时可得，而不成等比数列，故正确答案为A.2.、是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是（）A．如果∥，∥，则一定有∥．B．如果，，则一定有．C．如果，，则一定有∥．D．如果，∥，则一定有．【答案】D【解析】选项A可能，故A错；选项B可能，故B错；选项C可能，故C错，故正确答案为D.【点睛】本题考查直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查空间想象能力、逻辑思维能力、等价转化能力、具有一定的综合性，属于中档题型. 本题可采用排除法进行求解：选项A可能，故A错；选项B可能，故B错；选项C可能，故C错，故正确答案为D.3.已知函数，、、，且，，，则的值（______）A．一定等于零．B．一定大于零．C．一定小于零．D．正负都有可能．【答案】B【解析】由已知可得为奇函数，且在上是增函数，由，同理可得，.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题型.由已知可得为奇函数，且是增函数，由，同理可得，，三式相加化简即可得正解.4.已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：①；②当时，有最小值，无最大值；③；④当且时，的取值范围是.正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由已知可得，故①错；由图（1）可得无最值，故②错；由图（2）可得，故③对；由图（3）可得，或，故④对，综上正确命题个数为，故选B.图（1）图（2）图（3）【点睛】本题考查可行域、线性规划和直线的斜率等知识，涉及函数与不等式思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题型.由已知可得，故①错；由图（1）可得无最值，故②错；由图（2）可得，故③对；由图（3）可得，或，故④对，综上正确命题个数为，故选B.三、解答题1.如图是直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且，直三棱柱的高等于4，线段的中点为，线段的中点为，线段的中点为．（1）求异面直线、所成角的大小；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）;（2）体积单位.【解析】（1）先建系，再求出的坐标，然后代入公式即可求得正解；（1）以A为坐标原点，、、分别为轴和轴建立直角坐标系.（2）利用等积法，再进一步求解.试题解析：依题意有（2，2，4），（0，0，0），（2，2，0），（0，4，2）所以.设异面直线、所成角为角，所以，所以异面直线、所成角的大小为线段的中点为，线段的中点为，由，高，得，，由为线段的中点，且,,由面,，得面,三棱锥的体积为体积单位.2.已知定义在上的函数是奇函数，且当时，．（1）求在区间上的解析式；（2）当实数为何值时，关于的方程在有解．【答案】（1） ;（2）.【解析】（1）由奇函数定义得，从而求出是的表达式，进而求得定义域上的表达式；（2）先利用换元法求出是的值域为，再利用奇函数的性质可求得的值域为，从而定义域内的值域为，故的取值范围为.试题解析：（1）设，则，是奇函数，则有（2）设，令，则，而.，得，从而，在的取值范围是.又设，则，由此函数是奇函数得，，从而.综上所述，的值域为，所以的取值范围是.3.已知数列是首项等于且公比不为1的等比数列，是它的前项和，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设且，求数列的前项和的最值．【答案】（1）;（2）见解析.【解析】（1）先建立方程求得公比，再代入通项公式即可求得正解；（2）由（1）得，然后对进行分类讨论.试题解析：（1），，.整理得，解得或（舍去）..（2）.1）当时，有数列是以为公差的等差数列，此数列是首项为负的递增的等差数列.由，得.所以.的没有最大值.2）当时，有，数列是以为公差的等差数列，此数列是首项为正的递减的等差数列.，得，.的没有最小值.4.已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为.（1）求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程；（2）如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围；（3）当，时，直线交椭圆于，两点，若点，的“伴随点”分别是，，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积．【答案】（1） ;（2）;（3） .【解析】(1)利用相关点代入法求解；（2）先由已知求得椭圆方程为，设；（3）设, 1)当直线的斜率存在时,设方程为，由以为直径的圆经过原点，又到直线的距离；2) 当直线的斜率不存在时,设方程为的面积是定值 .试题解析：（1）解.设（）由题意则，又，从而得（2）由，得.又，得.点在椭圆上，，，且，，由于，的取值范围是（3）设,则;1)当直线的斜率存在时,设方程为, 由得；有①由以为直径的圆经过坐标原点O可得: ；整理得:②将①式代入②式得: ,又点到直线的距离所以2) 当直线的斜率不存在时,设方程为联立椭圆方程得；代入得，解得,从而,综上:的面积是定值.【点睛】本题考查椭圆的方程、向量的数量积、直线与圆和三角形的面积，涉及方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题型.第一小题利用相关点代入法求解；第二小题设；第三小题利用舍而不求法思想和分类讨论思想，紧扣进行求解.5.对于定义域为的函数，部分与的对应关系如下表：02（1）求；（2）数列满足，且对任意，点都在函数的图像上，求；（3）若，其中，，，，求此函数的解析式，并求 ()．【答案】(1) ;(2) ;(3) .【解析】(1) ；(2)周期为；(3)由题意得.试题解析：(1)(2),周期为4 , 所以=.(3)由题意得由又而从而有此函数的最小正周期为6,1)当时..2)当时..【点睛】本题考查函数的解析式、复合函数、数列的通项公式和三角函数，涉及函数与方程思想、分类讨论思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题型.第二小题通过计算发现数列的周期性，并利用周期性解题；第三小题通过待定系数法求得，从而，再利用周期性结合分类讨论思想进行求解.。
建平中学高三期中(2018.11)
建平中学高三期中数学试卷2018.11一. 填空题1. 设函数2(5)1()cos 1x x f x xx π⎧-≥=⎨<⎩，则((2))f f =2. 在各项为实数的等比数列{}n a 中，5280a a +=，则公比q 的值为3. 若(1,2)m =u r ，(2,1)n =-r ，(cos ,sin )p αα=u r ，3m p n p ⋅=⋅u r u r r u r，则tan α=4. 设集合2{|20}A x x x =-≥，1{|21}x B x -=≤，则()C A B =R I5. 某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验，如果这4位来自4个不同的 家庭，那么不同的的邀请方案的种数是6. 从原点向圆2212270x y y +-+=作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧的长为7. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：对于任意*,m n ∈N ，都有2n m n m S S S mn ++=+，若11a =，则2018a =8. 已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x x =-，当11x -≤≤时，()()f x f x -=-，当12x >时，11()()22f x f x +=-，则(6)f = 9. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0]-∞上单调递增，若实数a 满足2(log |1|)(2)f a f ->-，则a 的取值范围是10. 在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，226cos a b ab C +=，则1tan tan 1tan tan CBCA=- 11. 已知关于x 的不等式220ax x b ++>的解集为{|}x x c ≠，则227a b a c+++（0a c +≠）的取值范围是12. 若定义域均为D 的三个函数()f x 、()g x 、()h x 满足条件：对任意x D ∈，点(,())x g x 与点(,())x h x 关于点(,())x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，已知2()1g x x =-()2f x x b =+，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，且()()h x g x ≥恒成立，则实数b 的取值范围是二. 选择题13. 已知实数x 、y 满足x y a a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（ ）A.221111x y >++ B. 22ln(1)ln(1)x y +>+ C. sin sin x y> D. 33x y > 14. 已知点(2,0)A -、(3,0)B ，动点(,)P x y 满足2PA PB x ⋅=u u u r u u u r，则点P 的轨迹是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线15. 已知数列{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，则数列：①{2}n a ；②2{}na ；③21{}na ； ④1{}n n a a +；⑤1{}n n a a ++；等比数列的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 16. 设函数21()f x x =，22()2()f x x x =-，31()|sin 2|3f x x π=，99i ia =，0,1,2,,99i =⋅⋅⋅，记10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-+⋅⋅⋅+-，1,2,3k =，则（ ） A. 123I I I << B. 213I I I << C. 132I I I << D. 321I I I <<三. 解答题17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，BC ∥AD ，AB BC ⊥，45ADC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，1AB AP ==，3AD =.（1）求异面直线PB 与CD 所成角的大小； （2）求点D 到平面PBC 的距离.18. 设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=.（1）求ω；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到 的图像向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.19. 某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路1l 、2l ，海岸边界MPN 近似地看成一 条曲线段，为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB ，且直线AB 与曲线MPN 有且仅有一个公共点P （即直线与曲线相切），如图所示，若曲线段MPN 是函数ay x=图像的一段，点M 到1l 、2l 的距离分别为8千米和1千米，点N 到2l 的距离为 10千米，以1l 、2l 分别为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点P 的横坐标为p .（1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域； （2）若某人从点O 沿公路至点P 观景，要使得沿折线OAP 比沿折线OBP 的路程更近，求p 的取值范围.20. 对于函数1()1f x x=-，定义1()()f x f x =，1()[()]n n f x f f x +=（*n ∈N ），已知偶函 数()g x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，(1)0g =，当0x >且1x ≠时，2018()()g x f x =. （1）求2()f x ，3()f x ，4()f x ，2018()f x ； （2）求出函数()y g x =的解析式；（3）若存在实数a 、b （a b <），使得函数()g x 在[,]a b 上的值域为[,]mb ma ，求实数m 的取值范围.21. 对于无穷数列{}n a ，记{|,}j i T x x a a i j ==-<，若数列{}n a 满足：“存在t T ∈，使 得只要m k a a t -=（*,m k ∈N ，m k >），必有11m k a a t ++-=”，则称数列具有性质()P t .（1）若数列{}n a 满足22253n nn a n n ≤⎧=⎨-≥⎩，判断数列{}n a 是否具有性质(2)P ？是否具有性质(4)P ？说明理由；（2）求证：“T 是有限集”是“数列{}n a 具有性质(0)P ”的必要不充分条件； （3）已知{}n b 是各项均为正整数的数列，且{}n b 既具有性质(2)P ，又具有性质(5)P ， 求证：存在正整数N ，使得N a ，1N a +，2N a +，⋅⋅⋅，N K a +，⋅⋅⋅是等差数列.参考答案一. 填空题1. 1-2. 2-3. 74. (0,1]5. 821，4454102C C ⋅ 6. 2π，1(23)23ππ⋅= 7. 4033-，112(1)23n n n S S S n a n -+=+-⇒=-+ 8. 2，(6)(1)(1)(2)2f f f ==--=--= 9. 35(3,)(,5)44-U ，22log |1|2a -<-<10. 4，22232()c a b =+，2222tan tan 24tan tan C C c A B a b c +==+-11. (,6][6,)-∞-+∞U ，1c a =-，1b a =，设1t a a=-，∴227(,6][6,)t t ++∈-∞-+∞U 12. [5,)+∞，转化条件，即()()g x f x ≤要恒成立，[1,1]x ∈-，∴212x x b -≤+， 参变分离，即212b x x ≥--，设cos x θ=，21sin x θ-=， ∴sin 2cos b θθ≥-恒成立，即5b ≥二. 选择题13. D 14. D 15. B 16. B三. 解答题 17.（1）3π；（2）22.18.（1）2；（2）min 3()()42g x g π=-=-.19.（1）8y x=，定义域[1,10]；（2）2210p <≤. 20.（1）21()1f x x =-(0,1)x x ≠≠；3()f x x =(0,1)x x ≠≠；41()1f x x=-(0,1)x x ≠≠；201821()()1f x f x x ==-(0,1)x x ≠≠；（2）1()1||g x x =-；（3）1(,0)4-.21.（1）不具有性质(2)P ，具有性质(4)P ；（2）略；（3）公差为1，略.。
上海市建平中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
上海市建平中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（ ） A ．14 B ．12C ．1D ．2 2． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．6103515++B ．610+35+14C ．6103515++D ．4103515++【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．3． 已知x ，y 满足时，z=x ﹣y 的最大值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．0D ．24． 四面体ABCD 中,截面 PQMN 是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）A ．AC BD ⊥B ．AC BD =C.AC PQMN D ．异面直线PM 与BD 所成的角为455． 设集合{}|22A x R x =∈-≤≤，{}|10B x x =-≥，则()R AB =ð（ ）A.{}|12x x <≤B.{}|21x x -≤<C. {}|21x x -≤≤D. {}|22x x -≤≤ 【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.6． 设0＜a ＜1，实数x ，y 满足，则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7． 已知数列｛n a ｝满足nn n a 2728-+=（*∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ） A ．211 B ．227 C ． 32259 D ．32435 8． 满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）A.()||x f e x =B.2()x x f e e =C.2(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x=+【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力. 9． 集合{}1,2,3的真子集共有（ ）A ．个B ．个C ．个D ．个 10．已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 11．为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知C B A ,,三个社区分别有低收入家 庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C 社 区抽取低收入家庭的户数为（ ）A ．48B ．36C ．24D ．18【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题． 12．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) ABC D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设全集______.14．已知关于的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，则关于的不等式210bx ax ++>的解集 为___________.15．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）间的关系为0ektP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了 消除27.1%的污染物，则需要___________小时.【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用. 16．已知函数5()sin (0)2f x x a x π=-≤≤的三个零点成等比数列，则2log a = . 三、解答题（本大共6小题，共70分。
上海高三高中数学期中考试带答案解析
上海高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.把下列命题中的“=”改为“>”，结论仍然成立的是（）A．如果，，那么B．如果，那么C．如果，，那么D．如果，，那么2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是增函数的函数是（）A．B．C．D．3.对于函数，有下列五个命题：①若存在反函数，且与反函数图象有公共点，则公共点一定在直线上；②若在上有定义，则一定是偶函数；③若是偶函数，且有解，则解的个数一定是偶数；④若是函数的周期，则，也是函数的周期；⑤是函数为奇函数的充分不必要条件。
从中任意抽取一个，恰好是真命题的概率为（）A．B．C．D．4.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动（向右为顺时针，向左为逆时针）。
设顶点（x，y）的轨迹方程是，则关于的最小正周期及在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积的正确结论是（）A．，B．，C．，D．，二、填空题1.方程的解是2.函数的最小正周期=3.不等式的解是_______4.若，则行列式5.若定义在上的函数是偶函数，则实数6.已知函数的周期为2，当时，，则当时，____________7.在中，已知，，，则=8.若为等比数列的前n项的和，，则=9.参数方程化为普通方程是10.函数（）在区间上有反函数的一个充分不必要条件是=11.函数的递增区间是12.函数的值域是______13.设且。
若函数的图象与直线恒有公共点，则应满足的条件是14.设函数，其中（，）为已知实常数，.下列所有正确命题的序号是．①若，则对任意实数恒成立；②若，则函数为奇函数；③若，则函数为偶函数；④当时，若，则三、解答题1.已知△的周长为，且．（1）求边长的值；（2）若（结果用反三角函数值表示）．2.设函数。
（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，试判断函数的单调性，并证明。
3.已知函数，且．（1）求实数c的值；（2）解不等式4.已知是公差为的等差数列，它的前项和为, 等比数列的前项和为，,，（1）求公差的值；（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围；（3）若,判别方程是否有解？说明理由．5.若定义在上的函数满足条件：存在实数且，使得：⑴任取，有（是常数）；⑵对于内任意，当，总有。
上海市建平中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
上海市建平中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 若集合,则= ( )ABC D2． 若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自 然数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 3． 设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i1＋i ＝3＋b i ，则a －b 为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．04． 已知集合A={x ∈Z|（x+1）（x ﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x ＜2}，则A ∩B=（ ） A ．{x|﹣1≤x ＜2} B ．{﹣1，0，1} C ．{0，1，2}D ．{﹣1，1}5． 已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为（ ）A.34B.38C.14D.18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 6． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.7． 设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）A.18B.12C.9D.0【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力.8． 已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-9． 函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如右图所示，则 f （0）的值为（ ） A.32-B.1-C.D.【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用. 10．已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（ ）A．12+B．12 C. 34 D ．0 11．已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．12．已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1-<mB ．10<<mC ．1>mD ．1≥m【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若函数63e ()()32ex x bf x x a =-∈R 为奇函数，则ab =___________． 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．14．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若1cos 2c B a b ⋅=+，ABC ∆的面积12S c =， 则边c 的最小值为_______．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．15．已知,0()1,0x e x f x x ì³ï=í<ïî，则不等式2(2)()f x f x ->的解集为________．【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力． 16．三角形ABC中，2,60AB BC C ==∠=，则三角形ABC 的面积为 .三、解答题（本大共6小题，共70分。
2018-2019学年建平中学高三开学考数学试卷含答案
建平中学高三数学开学考2018.09.06一. 填空题1. 若复数(1i)(i)a 是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为2. 已知集合2{|(1)()0,}x x x x a x --+=∈R 中的所有元素之和为1，则实数a 的取值集合为3. 已知()f x 函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，32()f x x x =-，则当0x >时，()f x 的解析式为4. 已知△ABC 中，点A 、B 、C 的坐标依次是(2,1)A -、(3,2)B 、(3,1)C --，BC 边上 的高为AD ，则D 的坐标是5. 集合2541{|()1}2xx A x -+=≥，2{|2(2)0}B x x a x a =--+≤，若B A ⊆，则实数a 的取 值范围为6. 若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围为7. 已知数列{}n a 的通项公式为|13|n a n =-，那么满足119102k k k a a a ++++⋅⋅⋅+=的整数k 的个数为8. 已知整数以按如下规律排成一列：(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2)，(3,1)，(1,4)， (2,3)，(3,2)，(4,1)，⋅⋅⋅，则第60个数对是9. 已知函数()sin()6f x x πω=+（0ω>），若函数()f x 图像上的一个对称中心到对称轴 的距离的最小值为3π，则ω的值为 10. 将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种 分解中，两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解，当p q ⨯（p q ≤且 *,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数()p f n q =，如3(12)4f =，关于函数()f n 有下列叙述：①1(7)7f =；②3(24)8f =；③4(28)7f =；④9(144)16f =，其中正 确的序号为11. 已知函数2()(1)1f x ax b x b =+++-，若对于任意的b ∈R ，函数()()F x f x x =-总有两个不同的零点，则a 的取值范围是12. 设函数11()()21x f x x x =++，O 为坐标原点，n A 为函数()y f x =图像上横坐标为n （*n ∈N ）的点，向量n OA 与向量(1,0)i =的夹角为n θ，则满足 125tan tan tan 3n θθθ++⋅⋅⋅+<的最大整数n 的值为二. 选择题13. 若a 、b 为实数，则()0ab a b -<成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 110a b << B. 110b a << C. 11a b < D. 11b a< 14. 若非空集合A 、B 、C 满足A B C =，且B 不是A 的子集，则（ ）A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x C ∈”是“x A ∈”的充要条件D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”的必要条件15.在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 与E 分别为 11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为 （ ）A. B. 11[,)52 C. 1(5 D. 16. 对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意*n ∈N ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}n a M ，那么下列命题正确的是（ ） A. 若{}n a M ，则数列{}n a 各项均大于或等于M B. 若{}n a M ，则22{}n a M C. 若{}n a M ，{}n b M ，则{}2n n a b M + D. 若{}n a M ，则{21}21n a M ++三. 解答题17. 设有两个命题：①“关于x 的不等式22(1)0x a x a +-+>的解集是R ”；②“函数22()(21)f x a a =++是R 上的减函数”，若命题①和②中至少有一个是真命题，求实数a 的取值范围.18. 设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.（1）若关于x 的不等式()1f x ≥在区间(,)a +∞上恒成立，求a 的取值范围；（2）求()f x 的最小值.19. 如图所示，在三棱锥P ABC -中，PD ⊥平面ABC ，且垂足D 在棱AC 上，AB BC ==，1AD =，3CD =，PD =（1）证明：△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.20. 如图，直线220x y -+=经过椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左顶点A 和上顶点D ， 椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS 、BS 与直线10:3l x = 分别交于M 、N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）求线段MN 的长度的最小值；（3）当线段MN 的长度的最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得△TSB 的面积为15？若存在， 确定点T 的个数，若不存在，请说明理由.21. 已知集合2{|20,}A x x x x =--≤∈Z ，集合2{|lg(8)1}B x x x =++=，集合{|,,}C x x ab a A b B ==∈∈.（1）用列举法表示集合C ；（2）设集合C 的含n 个元素所有子集为n C ，记有限集合M 的所有元素和为()S M ，求12()()()n S C S C S C ++⋅⋅⋅+的值；（3）已知集合P 、Q 是集合C 的两个不同子集，若P 不是Q 的子集，且Q 不是P 的子集，求所有不同的有序集合对(,)P Q 的个数(,)n P Q .参考答案一. 填空题1. 12. 1{0}(,)4+∞3. 32()f x x x =--(0)x >4. (1,1)5. 32(1,]7 6. (5,7) 7. 2 8. (5,7) 9. 3210. ①③ 11. (0,1) 12. 3 12. 11tan ()2(1)n n n n θ=++，分组求和，1152()213n n S n =--<+，解得3n ≤.二. 选择题13. B 14. B 15. D 16. D三. 解答题 17. 若①为真，则1a <-或13a >，若②为真，则102a -<<， 综上，11(,1)(,0)(,)23a ∈-∞--+∞. 18.（1）62(,][,)a ；（2）2min 22,0()32,0a a f x aa . 19.（1）BD =PB =BC =，PC =222PB BC PC +=，得证； （2）等体积法，26APBC P ABC A PBC V V h ，∴sin A PBC h AP θ-==. 20.（1）22141x y +=；（2）83；（3）即点T 到直线SB 2个. 21.（1）{1,1,2,2,4,0}C；（2）5(112240)2128； （3）666643322702.。
2018学年上海市建平中学高三高考模拟考试卷
【D】
【答案】：
15.已知 ，若 ，则 的值不可能是（）
【A】
【B】
【C】
【D】
【答案】：
16.对于直角坐标平面 内的点 (不是原点), 的“对偶点” 是指：满足 且在射线 上的那个点。若 是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点”
【A】一定共线
【B】一定共圆
【C】要么共线，要么共圆
【D】既不共线，也不共圆
【答案】：
三、解答题（14+14+16+16+18）
17.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AP=BC=4,∠ABC=30∘，D. E分别是BC、AP的中点，
(1)求三棱锥P−ABC的体积；
(2)若异面直线AB与ED所成角的大小为 ，求tan 的值。
【答案】：
当 只要取
由 有正整数解
所以 都是 中的项，所以
综上所述，
（3）存在。证明如下
之间的项数为 ，即证明对任意正整数 ，都有
即
由
所以首项 的等差数列 满足题意
2017-2018学年上海市浦东新区建平中学高三高考模拟考试卷
一．填空题：（本大题满分54分，共有12题）
1.已知集合 , ,则 _______.
【答案】：
2.不等式不等式 的解集是_______.
【答案】：
3.若行列式 ，则 _____.
【答案】：2
4. 且 ，则点 的坐标是_________.
【答案】：
(2)若双曲线C的方程为 ,弦 轴,记直线PA与直线QB的交点为M,求动点M的轨迹方程;
(3)过双曲线 的左焦点F,且斜率为k的直线l与双曲线C交于 、 两点,求证:对任意的 ,在伴随曲线 上总存在点S,使得 .
建平中学数学高三期中试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是：A. $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$B. $f(x) = \frac{1}{x}$C. $f(x) = \log_2(x - 1)$D. $f(x) = x^2$2. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，若$a > 0$，$b = 0$，$f(1) = 2$，$f(2) = 4$，则$f(x)$的对称轴为：A. $x = 1$B. $x = 2$C. $x = 0$D. $x$不存在3. 下列各式中，正确的是：A. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$B. $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0$C. $\lim_{x \to 0} (3x + 5) = 5$D. $\lim_{x \to 0} (x^2 - 1) = 0$4. 已知等差数列$\{a_n\}$的公差为2，且$a_1 + a_5 = 18$，则$a_3$的值为：A. 8B. 10C. 12D. 145. 在平面直角坐标系中，直线$y = kx + b$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k^2 + b^2$的值为：A. 2B. 1C. 0D. 36. 已知复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$），若$\overline{z} = a - bi$，则$z$的实部为：A. $a$B. $-a$C. $b$D. $-b$7. 若$0 < a < 1$，则下列不等式中正确的是：A. $a^2 < a$B. $a^2 > a$C. $a^3 < a$D. $a^3 > a$8. 已知向量$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (4, 6)$，则$\vec{a} \cdot\vec{b}$的值为：A. 12B. 18C. 24D. 309. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$\sin A =\frac{3}{5}$，$\cos B = \frac{4}{5}$，则$\sin C$的值为：A. $\frac{7}{25}$B. $\frac{24}{25}$C. $\frac{3}{5}$D. $\frac{4}{5}$10. 已知函数$f(x) = e^x + e^{-x}$，则$f(x)$的最小值为：A. 2B. $e$C. $e^2$D. $e^{-2}$二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列$\{a_n\}$的第三项$a_3 = 5$，公差$d = 2$，则$a_1 =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\。
建平中学高三数学试卷
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）A. f(x) = x^2 - 2xB. f(x) = 2x + 1C. f(x) = -x^2 + 3xD. f(x) = 3 - 2x2. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且f(1) = 2，f(2) = 4，f(3) = 6。
则f(4)的值为（）A. 8B. 10C. 12D. 143. 下列不等式中，恒成立的是（）A. x^2 + y^2 > 0B. x^2 + y^2 ≤ 0C. x^2 - y^2 ≥ 0D. x^2 - y^2 ≤ 04. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 3，d = 2。
则第10项an的值为（）A. 21B. 23C. 25D. 275. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, 1)。
则向量a与向量b的夹角余弦值为（）A. 1/2B. 1/√2C. √2/2D. 16. 在△ABC中，已知a = 3，b = 4，c = 5。
则sinA的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 5/4D. 5/37. 已知函数f(x) = e^x - 2x，求f(x)的极值点（）A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. x = e8. 已知数列{an}是等比数列，且a1 = 1，公比q = 2。
则第5项an的值为（）A. 32B. 64C. 128D. 2569. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，求f(x)的定义域（）A. x > -1B. x ≥ -1C. x > 0D. x ≥ 010. 在直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(5, 1)。
则线段AB的中点坐标为（）A. (3.5, 2)B. (3.5, 2.5)C. (4, 2)D. (4, 2.5)二、填空题（每小题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，求f(x)的对称轴方程。
上海市建平中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试题
绝密★启用前 上海市建平中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知直线n 在平面α内，直线m 不在平面α内，则“m n ”是“m α”（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件又非必要条 2．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C = A.π2 B.π3 C.π4 D.π6 3．下面的四个命题中，真命题的个数是（ ） ①向量a 、b 、c ，若a ∥b 且b ∥c ，则a ∥c ；②向量a 、b 、c ，若a b c b ⋅=⋅，则a c =；③复数1z 、2z ，若12||2z z -=，则212()4z z -=；④公比为q 等比数列{}n a ，令11234b a a a a =+++，25678b a a a a =+++，⋅⋅⋅，4342414n n n n n b a a a a ---=+++，⋅⋅⋅，则数列{}n b （*n ∈N ）是公比为4q 的等比数列. A.0 B.1 C.2 D.3第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 4．双曲线22:13x C y -=的焦距是________ 5．已知集合{|212}M x x =-??，*{|21,}N x x k k ==-∈N ，则M N =________6．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 7．若复数z 满足i 12i01z +=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________8．函数()f x =________9．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 项的系数为_______．10．已知α、β为锐角，4tan 3α=，cos()5αβ+=-，则tan β=________11．在上海进口博览会期间，要从编号为1，2，3，⋅⋅⋅，8的8名志愿者中选3人参加某项服务工作，则选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为________（结果用分数表示）12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．13．设函数2()(2)sin(2)3f x x x =--+在区间[1,5]-的最大值和最小值分别为M 、m ，则M n +=________14．若实数a 是实数12b +与12b -的等比中项，则8||2||aba b +的最大值为________15．已知函数2()22x x mf x x mx m x m ⎧≤=⎨-+>⎩（0m >），若存在实数b ，使得函数…………○………：___________班级：_____…………○………16．已知向量a 、b ，满足||1a =，||2b =，若对任意模为2的向量c ，均有||||27a c b c ⋅+⋅≤，则向量a 、b 夹角的取值范围是（ ） A.[0,3π B.[,]3ππ C.[,]63ππ D.2[0,]3π 三、解答题 17．设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． （Ⅰ）求ω的值． （Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移2π个单位长度得到，求()y g x =的单调增区间． 18．如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点. （1）证明：PO ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且13BM BC =，求直线PM 与平面PAC 所成角的大小.（结果用反三角表示） 19．如图，已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A 、B .…○………○…………线…………○……※※请※※ …○………○…………线…………○…… （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ，OQ MQ λ=，OQ NQ μ=，求证：λμ+为定值.20．如图，已知两个城市A 、B 相距100km ，现计划在两个城市之间合建一个垃圾处理厂，立即处理厂计划在以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造（不能选在点A 、B 上），其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对A 城和B 城的总影响度为A 城和B 城的影响度之和，记C 点到A 城的距离为x （单位是km ），建在C 处的垃圾处理厂对A 城和B 城的总影响度为y ，统计调查表明：垃圾处理厂对A 城的影响度与所选地点到A 城的距离的平方成反比，比例系数为100，对B 城的影响度与所选地点到B 城的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在AB 上距离A 城20公里处时，对A 城和B 城的总影响度为35128.（1）将y 表示成x 的函数；（2）求当垃圾处理厂到A 、B 两城市距离之和最大时的总影响度y 的值；（3）求垃圾处理厂对A 城和B 城的总影响度的最小值，并求出此时x 的值.（计算结果均用精确值表示）21．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对任意的*n ∈N ，点(,)n n S 均在函数x y b r =+（0b >且1b ≠，b 、r 均为常数）的图像上.（1）求r 的值；（2）当2b =时，记14n n n b a +=（*n ∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T ； （3）数列{}n c 满足：11c =，112()n n n n c c a a ++-=-（*n ∈N ），若122n mc c <<对*,m n ∈N 恒成立，求实数b 的取值范围.参考答案1．A【解析】【分析】讨论充分性和必要性即得解.【详解】先讨论充分性，即考虑“m n ”能否推出“m α”.因为直线n 在平面α内，直线m 不在平面α内，m n ，所以m α,所以“m n ”是“m α”的充分条件.讨论必要性，即考虑“m α”能否推出“m n ”.因为直线n 在平面α内，直线m 不在平面α内，m α，所以m||n 或者m,n 异面，所以“m n ”是“m α”的非必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，考查空间位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2．C【解析】 分析：利用面积公式12ABC S absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得。
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三(上)期中数学试卷-教师用卷
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知实数x，y满足a x<a y(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是()A. 1x2+1>1y2+1B. ln(x2+1)>ln(y2+1)C. sin x>sin yD. x3>y3【答案】D【解析】解：∵实数x，y满足a x<a y(0<a<1)，∴x>y，A.取x=2，y=−1，不成立；B.取x=0，y=−1，不成立C.取x=π，y=−π，不成立；D.由于y=x3在R上单调递增，因此正确故选：D．实数x，y满足a x<a y(0<a<1)，可得x>y，对于A.B.C分别举反例即可否定，对于D：由于y=x3在R上单调递增，即可判断出正误．本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．2.已知点A(−2,0)、B(3,0)，动点P(x,y)满足PA⋅PB=x2，则点P的轨迹是()A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】解：∵动点P(x,y)满足PA⋅PB=x2，∴(−2−x,−y)⋅(3−x,−y)=x2，∴(−2−x)(3−x)+y2=x2，解得y2=x+6．∴点P的轨迹方程是抛物线．故选：D．由题意知(−2−x,y)⋅(3−x,y)=x2，化简可得点P的轨迹．本题考查点的轨迹方程，解题时要注意公式的灵活运用．3.已知数列{a n}是公比为q(q≠1)的等比数列，则数列：①{2a n}；②{a n2}；③{1a n2}；④{a n a n+1}；⑤{a n+a n+1}；等比数列的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】解：数列{a n}是公比为q(q≠1)的等比数列，则①2a n+12a n=2a n+1−a n，不是等比数列；②a n +12a n2=q 2；③{1a n2}是公比为1q 2的等比数列；④{a n a n +1}是公比为q 2的等比数列；⑤{a n +a n +1}不一定是等比数列，例如(−1)n ．综上：等比数列的个数为3． 故选：B ．利用等比数列的定义通项公式即可得出．本题考查了等比数列的定义通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4. 设函数f 1(x )=x 2，f 2(x )=2(x −x 2)，f 3(x )=13|sin2πx |，a i =i99，i =0，1，2，…，99.记I k =|f k (a 1)−f k (a 0)|+|f k (a 2)−f k (a 1)丨+⋯+|f k (a 99)−f k (a 98)|，k =1，2，3，则( ) A. I 1<I 2<I 3 B. I 2<I 1<I 3 C. I 1<I 3<I 2 D. I 3<I 2<I 1 【答案】B【解析】解：由|(i99)2−(i−199)2|=199×2i−199，故I 1=199(199+399+599+⋯+2×99−199)=199×99299=1，由2|i99−i−199−(i 99)2+(i−199)2|=2×199|99−(2i−1)99|，故I 2=2×199×58(98+0)2×99=9899×10099<1，I 3=1[||sin2π⋅1|−|sin2π⋅0||+||sin2π⋅2|−|sin2π⋅1||+⋯+||sin2π⋅99|−|sin2π⋅9899||] =13(2sin2π⋅2599−2sin2π⋅7499)>1，故I 2<I 1<I 3， 故选：B ．根据记I k =|f k (a 1)−f k (a 0)|+|f k (a 2)−f k (a 1)丨+⋯+|f k (a 99)−f k (a 98)|，分别求出I 1，I 2，I 3与1的关系，继而得到答案本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 设函数f (x )= π(x 2−5)x ≥1cos x x <1，则f (f (2))=______【答案】−1【解析】解：∵函数f (x )= π(x 2−5)x ≥1cos x x <1， ∴f (2)=π(4−5)=−π，f (f (2))=f (−π)=cos(−π)=cos π=−1． 故答案为：−1．推导出f (2)=π(4−5)=−π，从而f (f (2))=f (−π)=cos(−π)=cos π，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.在各项为实数的等比数列{a n}中，a5+8a2=0，则公比q的值为______【答案】−2【解析】解：∵a5+8a2=0，∴a2q3+8a2=0，即q3=−8，解得q=−2．故答案为：−2．由等比数列的性质知q3=−8，从而解得．本题考查了等比数列的性质，属于基础题．7.若m=(1,2)，n=(−2,1)，p=(cosα,sinα)，m⋅p=3n⋅p，则tanα=______【答案】7【解析】解：因为m⋅p=(1,2)⋅(cosα,sinα)=cosα+2sinα，3n⋅p=3(−2,1)⋅(cosα,sinα)=−6cosα+3sinα，∴cosα+2sinα=−6cosα+3sinα，∴sinα=7cosα，tanα=7，故答案为：7．利用向量的数量积和三角函数同角公式可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算.属基础题．8.设集合A={x|x2−2x≥0}，B={x|2x−1≤1}，则(∁R A)∩B=______【答案】(0,1]【解析】解：集合A={x|x2−2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，集合B={x|2x−1≤1}={x|x−1≤0}={x|x≤1}，∴∁R A={x|0<x<2}，∴(∁R A)∩B={x|0<x≤1}=(0,1]．故答案为：(0,1]．化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．9.某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验，如果这4位来自4个不同的家庭，那么不同的邀请方案的种数是______【答案】80【解析】解：分步进行：第一步：从5个家庭中选出4个家庭，有C54=5种；第二步：从选出的4个家庭的每个家庭的父母亲中选出1位来，有C21×C21×C21×C21= 16；根据分步计数原理得：不同的邀请方案的种数数：5×16=80．故答案为：80．用分步计数原理：①从5个家庭中选4个家庭；②从每个家庭中选出1个.然后相乘可得．本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．10.从原点O向圆x2+y2−12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为______．【答案】2π【解析】解：把圆的方程化为标准方程为：x2+(y−6)2=9，得到圆心C的坐标为(0,6)，圆的半径r=3，由圆切线的性质可知，∠CBO=∠CAO=90∘，且AC=BC=3，OC=6，则∠AOB=∠BOC+∠AOC=60∘，所以∠ACB=120∘，所以该圆夹在两条切线间的劣弧长l=120∘π×3180∘=2π．故答案为：2π把圆的方程化为标准方程后，找出圆心C的坐标和圆的半径r，根据AC与BC为圆的半径等于3，OC的长度等于6，利用直角三角形中一直角边等于斜边的一半得到角AOB 等于2×30∘，然后根据四边形的内角和定理求出角BCA的度数，然后由角BCA的度数和圆的半径，利用弧长公式即可求出该圆夹在两条切线间的劣弧长．此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，掌握直角三角形的性质，灵活运用弧长公式化简求值，是一道综合题．11.已知数列{a n}的前n项和S n满足：对于任意m，n∈N∗，都有S n+S m=S n+m+2mn，若a1=1，则a2018=______【答案】−4033【解析】解：根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，令m=1可得：S n+S1=S n+1+2n，又由a1=1，即S1=a1=1，则有S n+1=S n+1+2n，变形可得：S n+1−S n=1−2n，则a2018=S2018−S2017=1−2×2017=−4033；故答案为：−4033．根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，用特殊值法分析：令m=1可得：S n+S1=S n+1+2n，变形可得S n+1−S n=1−2n，再令n=2018计算可得答案．本题考查数列的递推公式，注意特殊值法分析数列的递推公式，属于中档题．12.已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)=x3−1；当−1≤x≤1时，f(−x)=−f(x)；当x>12时，f(x+12)=f(x−12)，则f(6)=______．【答案】2【解析】解：∵当x>12时，f(x+12)=f(x−12)，∴当x>12时，f(x+1)=f(x)，即周期为1．∴f(6)=f(1)，∵当−1≤x≤1时，f(−x)=−f(x)，∴f(1)=−f(−1)，∵当x<0时，f(x)=x3−1，∴f(−1)=−2，∴f(1)=−f(−1)=2，∴f(6)=2；故答案为：2求得函数的周期为1，再利用当−1≤x≤1时，f(−x)=−f(x)，得到f(1)=−f(−1)，当x<0时，f(x)=x3−1，得到f(−1)=−2，即可得出结论．本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．13.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(−∞,0]上单调递增，若实数a满足f(log2|a−1|)>f(−2)，则a的取值范围是______【答案】(3,34)∪(54,5)【解析】解：根据题意，f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(−∞,0]上单调递增，则f(x)在[0,+∞)上为减函数，则f(log2|a−1|)>f(−2)⇒f(|log2|a−1||)>f(2)⇒|log2|a−1||<2⇒−2<log2|a−1|<2，变形可得：14<|a−1|<4，解可得：−3<a<34或54<x<5；即不等式的解集为(−3,34)∪(54,5)；故答案为：(−3,34)∪(54,5)．根据题意，分析可得f(x)在[0,+∞)上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得f(log2|a−1|)>f(−2)可以转化为−2<log2|a−1|<2，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数在[0,+∞)上的单调性，属于基础题．14.在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，a2+b2=6ab cos C，则tan C1tan B−tan C1tan A=______【答案】4【解析】解：在锐角三角形ABC中，∵a2+b2=6ab cos C=6ab⋅a2+b2−c22ab，∴c2=23(a2+b2).则tan C1tan B−tan C1tan A=tan Ctan A+tan Ctan B=tan C(1tan A+1tan B)=sin Ccos C⋅(cos Asin A+cos Bsin B)=sin Ccos C⋅sin(A+B) sin A sin B =sin C⋅sin Csin A sin B cos C=c2ab⋅a2+b2−c2=2c2a+b−c=4，故答案为：4．由题意利用余弦定理可得c2=23(a2+b2)，再利用行列式的运算、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．本题主要考查余弦定理、同角三角函数的基本关系，行列式的运算，属于中档题．15.已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c}，则a2+b2+7a+c(其中a+c≠0)的取值范围为______．【答案】(−∞,−6]∪[6,+∞)【解析】解：根据关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c}，可得a>0，对应的二次函数的图象的对称轴为x=−1a=c，△=4−4ab=0，∴ac=−1，ab=1，∴c=−1a ，b=1a．则a2+b2+7a+c =(a−b)2+9a−b=(a−b)+9a−b，当a−b>0时，由基本不等式求得(a−b)+9a−b≥6，当a−b<0时，由基本不等式求得−(a−b)−9a−b ≥6，即(a−b)+9a−b≤−6故a2+b2+7a+c(其中a+c≠0)的取值范围为：(−∞,−6]∪[6,+∞)，故答案为：(−∞,−6]∪[6,+∞)．由条件利用二次函数的性质可得ac=−1，ab=1，再根据则a2+b2+7a+c =(a−b)+9a−b，利用基本不等式求得它的范围．本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，属于中档题．16.若定义域均为D的三个函数f(x)，g(x)，ℎ(x)满足条件：对任意x∈D，点(x,g(x)与点(x,ℎ(x)都关于点(x,f(x)对称，则称ℎ(x)是g(x)关于f(x)的“对称函数”.已知g(x)=1−x2，f(x)=2x+b，ℎ(x)是g(x)关于f(x)的“对称函数”，且ℎ(x)≥g(x)恒成立，则实数b的取值范围是______．【答案】[+∞)【解析】解：解：∵x∈D，点(x,g(x))与点(x,ℎ(x))都关于点(x,f(x))对称，∴g(x)+ℎ(x)=2f(x)，∵ℎ(x)≥g(x)恒成立，∴2f(x)=g(x)+ℎ(x)≥g(x)+g(x)=2g(x)，即f(x)≥g(x)恒成立，作出g(x)和f(x)的图象，若ℎ(x)≥g(x)恒成立，则ℎ(x)在直线f(x)的上方，即g(x)在直线f(x)的下方，则直线f(x)的截距b>0，且原点到直线y=2x+b的距离d≥1，d=22+1=5≥1⇒b≥5或b≤−5(舍去)即实数b的取值范围是[5,+∞)，根据对称函数的定义，结合ℎ(x)≥g(x)恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可．本题主要考查不等式恒成立问题，根据对称函数的定义转化为点到直线的距离关系，利用数形结合是解决本题的关键.综合性较强，有一定的难度．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，BC //AD ，AB ⊥BC ，∠ADC =45∘，PA ⊥平面ABCD ，AB =AP =1，AD =3．(1)求异面直线PB 与CD 所成角的大小； (2)求点D 到平面PBC 的距离．【答案】解：(1)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则P (0,0，1)，B (1,0，0)，C (1,2，0)D (0，3，0)， ∴PB =(1,0，−1)，CD =(−1,1，0)，……(3分) 设异面直线PB 与CD 所成角为θ， 则cos θ=|PB ⋅CD ||PB|⋅|CD |=12，……(6分)所以异面直线PB 与CD 所成角大小为π3.……(7分)(2)设平面PBC 的一个法向量为n =(x ,y ，z )，PB =(1,0，−1)，BC =(0,2，0)，CD =(−1,1，0)， 则 n ⋅PB =x −z =0n ⋅BC =2y =0，取x =1，得n=(1,0，1)，……(4分) ∴点D 到平面PBC 的距离d =|n ⋅CD ||n |=22.……(7分) 【解析】(1)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB 与CD 所成角大小．(2)求出平面PBC 的一个法向量，利用向量法能求出点D 到平面PBC 的距离．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18. 设函数f (x )=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)，其中0<ω<3，已知f (π6)=0．(Ⅰ)求ω；(Ⅱ)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y =g (x )的图象，求g (x )在[−π4,3π4]上的最小值．【答案】解：(Ⅰ)函数f (x )=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)=sin ωx cos π6−cos ωx sin π6−sin(π2−ωx )=3sin ωx −3cos ωx = 3sin(ωx −π3)，又f (π6)= 3sin(π6ω−π3)=0， ∴π6ω−π3=kπ，k ∈Z ，解得ω=6k+2，又0<ω<3，∴ω=2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=3sin(2x−π3)，将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=3sin(x−π3)的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位，得到y=x+π4−π3)的图象，∴函数y=g(x)=3sin(x−π12)；当x∈[−π4,3π4]时，x−π12∈[−π3,2π3]，∴sin(x−π12)∈[−32,1]，∴当x=−π4时，g(x)取得最小值是−32×3=−32．【解析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化函数f(x)为正弦型函数，根据f(π6)=0求出ω的值；(Ⅱ)写出f(x)解析式，利用平移法则写出g(x)的解析式，求出x∈[−π4,3π4]时g(x)的最小值．本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．19.某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P(即直线与曲线相切)，如图所示.若曲线段MPN是函数y=ax图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．(1)求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；(2)若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．【答案】解：(1)由题意得M(1,8)，则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为y=8x，(4分)又得N(10,45)，所以定义域为[1,10].…(6分)(2)P(p,8p )，设AB：y−8p=k(x−p)由y−8p=k(x−p)y=8x得kpx2+(8−kp2)x−8p=0，△=(8−kp2)2+32kp2=(kp2+8)2=0，…(8分)∴kp2+8=0，∴k=−8p ，得直线AB方程为y−8p=−8p(x−p)，…(10分)得A(0,16p)、B(2p,0)，故点P为AB线段的中点，由2p−16p =2⋅p2−8p>0即p2−8>0…(12分)得p>2时，OA<OB，所以，当22<p≤10时，经点A至P路程最近.(14分)【解析】(1)由题意得M(1,8)，则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为y=8x，可得其定义域；(2)P(p,8p )，设AB：y−8p=k(x−p)与y=8x联立求出A，B的坐标，即可求出最短长度p的取值范围．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键．20.对于函数f(x)=11−x，定义f1(x)=f(x)，f n+1(x)=f[f n(x)](n∈N∗)，已知偶函数g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，g(1)=0，当x>0且x≠1时，g(x)=f2018(x)．(1)求f2(x)，f3(x)，f4(x)，f2018(x)；(2)求出函数y=g(x)的解析式；(3)若存在实数a、b(a<b)，使得函数g(x)在[a,b]上的值域为[mb,ma]，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)因为函数f(x)=11−x，定义f1(x)=f(x)，f n+1(x)=f[f n(x)](n∈N∗)，f1(x)=11−x，f2(x)=f[f1(x)]=11−1=x−1x，(x≠0且x≠1)，f3(x)=f[f2(x)]=11−x−1=x，(x≠0且x≠1)，f4(x)=f[f3(x)]=11−x，(x≠0且x≠1)，故对任意的n∈N⋅，有f3n+i(x)=f i(x)(i=2,3，4)，于是f2018(x)=f3×672+2=f2(x)=1−1x，(x≠0且x≠1)；(2)当x>0且x≠1时，g(x)=f2018(x)=1−1x，又g(1)=0，由g(x)为偶函数，当x<0时，−x>0，g(x)=g(−x)=1+1x，可得g(x)=1+1x,x<01−1x,x>0；(3)由于y=g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，又a<b，mb<ma，可知a与b同号，且m<0，进而g(x)在[a,b]递减，且a<b<0，当a，b∈(0,1)时，g(x)=1−1x为增函数，故1−1a=mb1−1b=ma，即m=a−1ab=b−1ab，得a−1=b−1，即a=b，与a<b矛盾，∴此时a，b不存在；函数y=g(x)的图象，如图所示.由题意，有g(a)=1+1a=mag(b)=1+1b=mb，故a，b是方程1+1x=mx的两个不相等的负实数根，即方程mx2−x−1=0在(−∞,0)上有两个不相等的实根，于是△=1+4m>0a+b=1m<0ab=−1m>0，解得−14<m<0．综合上述，得实数m的取值范围为(−14,0)．【解析】(1)根据函数关系代入计算进行求解即可；(2)由偶函数的定义，计算可得所求解析式；(3)根据函数奇偶性和单调性的性质，结合函数的值域关系进行求解即可．本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的应用，考查分类讨论思想方法、运算和推理能力，属于中档题．21.对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j−a i,i<j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T，使得只要a m−a k=t(m,k∈N∗,m>k)，必有a m+1−a k+1=t”，则称数列具有性质P(t)．(1)若数列{a n}满足a n=2n n≤22n−5n≥3，判断数列{a n}是否具有性质P(2)？是否具有性质P(4)？说明理由；(2)求证：“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P(0)”的必要不充分条件；(3)已知{b n}是各项均为正整数的数列，且{b n}既具有性质P(2)，又具有性质P(5)，求证：存在正整数N，使得a N，a N+1，a N+2，…，a N+K，…是等差数列．【答案】解：(1)∵a n=2n n≤2 2n−5n≥3，a2−a1=2，但a3−a2=−1≠2，数列{a n}不具有性质P(2)；同理可得，数列{a n}具有性质P(4)．(2)证明：(不充分性)对于周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={−1,0，1}是有限集，但是由于a2−a1=0，a3−a2=1，所以不具有性质P(0)；(必要性)因为数列{a n}具有性质P(0)，所以一定存在一组最小的且m>k，满足a m−a k=0，即a m=a k由性质P(0)的含义可得a m+1=a k+1，a m+2=a k+2，…，a2m−k−1=a m−1，a2m−k=a m，…所以数列{a n}中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：a k，a k+1，…，a m−1为一个周期中的各项，所以数列{a n}中最多有m−1个不同的项，所以T最多有C m−12个元素，即T是有限集；(3)证明：因为数列{b n}具有性质P(2)，数列{b n}具有性质P(5)，所以存在M′、N′，使得，，其中p，q分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质P(2)，P(5)的含义可得，，，若，则取，可得；若N {{'}}'/>，则取，可得．记，则对于b M，有b M+p−b M=2，b M+q−b M=5，显然p≠q，由性质P(2)，P(5)的含义可得，b M+p+k−b M+k=2，b N+q+k−b N+k=5，所以b M+qp−b M=(b M+qp−b M+(q−1)p)+(b M+(q−1)p−b M+(q−2)p)+⋯+(b M+p−b M)=2qb M+qp−b M=(b M+pq−b M+(p−1)q)+(b M+(p−1)q−b M+(p−2)q)+⋯+(b M+q−b M)=5p所以b M+qp=b M+2q=b M+5p．所以2q=5p，又p，q是满足b M+p−b M=2，b M+q−b M=5的最小的正整数，所以q=5，p=2，b M+2−b M=2，b M+5−b M=5，所以，b M+2+k−b M+k=2，b M+5+k−b M+k=5，所以，b M+2k=b M+2(k−1)+2=⋯=b M+2k，b M+5k=b M+5(k−1)+5=⋯=b M+5k，取N=M+5，若k是偶数，则b N+k=b N+k；若k是奇数，则b N+k=b N+5+(k−5)=b N+5+(k−5)=b N+5+(k−5)=b N+k，所以，b N+k=b N+k，所以b N，b N+1，b N+2，…，b N+k，…是公差为1的等差数列【解析】(1)由a n=2n n≤22n−5n≥3，可得a2−a1=2，但a3−a2=−1≠2，数列{a n}不具有性质P(2)；同理可判断数列{a n}具有性质P(4)；(2)举例“周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={−1,0，1}是有限集，利用新定义可证数列{a n}不具有性质P(0)，即不充分性成立；再证明其必要性即可；(3)依题意，数列{b n}是各项为正整数的数列，且{b n}既具有性质P(2)，又具有性质P(5)，可证得存在整数N，使得b N，b N+1，b N+2，…，b N+k，…是等差数列．本题考查数列递推式的应用，考查充分、必要条件的判定，考查推理与论证能力，属于难题．。
上海高三高中数学期中考试带答案解析
上海高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.若集合，，则_______．2.已知复数满足（为虚数单位），则_______．3.函数的最小正周期是_______．4.已知双曲线（）的一条渐近线方程为，则_______．5.若圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则圆柱的体积为_______．6.已知满足，则的最大值是_______．7.直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数是_______．8.已知函数的反函数是，则_______．9.设多项式（）的展开式中项的系数为，则_______．10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为和，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是，则_______．11.设向量), ，为曲线（）上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为_______．12.设为的一个排列，则满足对任意正整数，且，都有成立的不同排列的个数为_______．13.设，则“”是“且”的………………………（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件二、选择题1.如图，为正方体中与的交点，则在该正方体各个面上的射影可能是…………………………………………………………………（）A．①②③④B．①③C．①④D．②④2.如图，在同一平面内，点位于两平行直线同侧，且到的距离分别为．点分别在上，，则的最大值为…………………（）A．B．C．D．3.若存在与正数，使成立，则称“函数在处存在距离为的对称点”．设（），若对于任意，总存在正数，使得“函数在处存在距离为的对称点”，则实数的取值范围是…（）A．B．C．D．三、解答题1.如图，在正方体中，分别是线段的中点．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求直线与平面所成角的大小．2.已知抛物线（），其准线方程为，直线过点（）且与抛物线交于两点，为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：的值与直线倾斜角的大小无关；（2）若为抛物线上的动点，记的最小值为函数，求的解析式．3.对于定义域为的函数，如果存在区间（），同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是．则称函数是区间上的“保值函数”．（1）求证：函数不是定义域上的“保值函数”；（2）已知（）是区间上的“保值函数”，求的取值范围．4.数列中，已知对任意都成立，数列的前项和为．（这里均为实数）（1）若是等差数列，求的值；（2）若，求；（3）是否存在实数，使数列是公比不为的等比数列，且任意相邻三项按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．5.设，若存在常数，使得对任意，均有，则称为有界集合，同时称为集合的上界．（1）设、，试判断、是否为有界集合，并说明理由；（2）已知，记（）．若，，且为有界集合，求的值及的取值范围；（3）设均为正数，将中的最小数记为．是否存在正数，使得为有界集合，均为正数的上界，若存在，试求的最小值；若不存在，请说明理由．上海高三高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.若集合，，则_______．【答案】【解析】由题意可得，答案：2.已知复数满足（为虚数单位），则_______．【答案】1【解析】由题意得，所以，答案：13.函数的最小正周期是_______．【答案】【解析】由行列式知识可知，所以f(x)的周期为，答案：4.已知双曲线（）的一条渐近线方程为，则_______．【答案】【解析】因为双曲线的渐近线为y=3x,可知，又由方和可知b=9,所以解得，,答案：35.若圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则圆柱的体积为_______．【答案】【解析】由题意可得，圆柱的高为h=4，不妨设底面圆半径为r,所以，.答案：6.已知满足，则的最大值是_______．【答案】【解析】画出可行域，如下图，所以最优解（1，1），最大值为3，答案：37.直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数是_______．【答案】【解析】直线的普通方程：x+y=1,曲线的普通方程：，再消去y，得，，所以两个交点。
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三年级月考数学试卷
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三年级第一学期10月月考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1—6每题4分，第7—12每题5分） 1、在等差数列{}n a 中，若1684=+a a ，则该数列前11项和=11S ________。
【答案】88【考点】等差数列的前n 项和【难度】基础【分析】由1611184=+=+a a a a ，则()8821111111=+⨯=a a S2、公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且16113=a a ，则=162log a ________。
【答案】5【考点】等比数列的通项公式【难度】基础【分析】由16113=a a ，则()()16221031231=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯a a ，则11=a ，由11=a ，则3216=a ，则5log 162=a3、已知⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，53sin =α，则=-)4tan(πα________。
【答案】7-【考点】正切的两角和差公式【难度】基础【分析】由⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，53sin =α，则43-tan =α，则7-)4tan(=-πα4、若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是________。
【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,3131,【考点】用行列式解一元二次方程组【难度】基础【分析】关于x 、y 的二元一次方程组由⎩⎨⎧=+-=-4)12(3-y x m y mx 有唯一一组解，则01121≠--=m m D ，则⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈,3131,m5、已知双曲线的方程为1322=-y x ，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为________。
【答案】1【考点】双曲线的标准方程【难度】基础【分析】由()0,2c，渐近线x y 33=则此双曲线的焦点到渐近线的距离为1 6、当函数)20(cos 3sin π≤≤-=x x x y 取得最大值时，=x ________。
上海市建平中学2019-2020学年2020届高三第一学期数学期中考试卷(简答)
建平中学高三期中数学卷2019.11一. 填空题1. 设函数()f x A ，R 为全体实数集，则A =R ð2. 若复数1z ，2z 满足112i z =+，234i z =+（i 是虚数单位），则12||z z ⋅=3. 在二项式51)x 的展开式中，展开式的系数和为4. 双曲线22221x y a b-=的一个焦点是(5,0)，一条渐近线是340y x -=， 那么双曲线的方程 是5. 若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，11a =，4d =，则2lim1n n S n →∞=+ 6. 已知函数34()log (2)f xx =+，则方程1()4f x -=的解x =7. 行列式sin 4cos 35x x 的最大值为 8. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为9. 某学生选择物理、化学、地理三门学科参加等级考，已知每门学科考A +得70分，考A 得67分，考B +得64分，该生每门学科均不低于64分，则其总分至少为207分的概率为10. 已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a = 11. 已知a r 、b r 、2c r 是平面内三个单位向量，若a b ⊥r r ，则|4|2|32|a c a b c +++-r r r r r 的最小值是12. 已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤， 则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的 取值范围是二. 选择题13. 若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值可能是（ ）A. 0B. 2π C. π D. 2π 14. 设x ∈R ， 则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（ ）条件A. 充分而不必要B. 必要而不充分C. 充要D. 既不充分也不必要15. 已知椭圆的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，[0,2)θπ∈，则该椭圆的焦点坐标为（ ）A. (0,B. (2,0)±C. (D. (1,0)±16. 数列{}n a 为1、1、2、1、1、2、4、1、1、2、1、1、2、4、8、...，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面的所有项1、1、2，再添加2的后继数4，于是41a =，51a =，62a =，74a =，接下来再复制前面的所有项1、1、2、1、1、2、4，再添加8，...，如此继续，则2019a =（ ）A. 16B. 4C. 2D. 1三. 解答题17. 如图，在Rt △ABC 中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 的中点，现将Rt △ABC以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=. （1）求该圆锥的全面积（即表面积）；（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2b c a +=，5sin 7sin c B a C =.（1）求cos B 的值；（2）设()sin()f x x B =+，解不等式1()2f x ≥.19. 某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工2m 人（60150m <<，且m 为10的整数倍），每人每年可创利100千元，据测算，在经营条件不变的前的提下，若裁员人数不超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润a 千元）；若裁员人数超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润2a 千元），为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的50%，为了保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费.（1）设公司裁员人数为x ，写出公司获得的经济效益y （千元）关于x 的函数（经济效益=在职人员创利总额—被裁员工生活费）；（2）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？20. 如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，左顶点为(4,0)A -，经过点(2,3)，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，(3,0)Q -，证明：对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥恒成立；（3）若过点作直线的平行线交椭圆C 于点M ，求||||||AD AE OM +的最小值.21. 设数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将两个数列的偏差距离定义为[{},{}]n n M a b ，其中1122[{},{}]||||||n n m m M a b a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-.（1）求数列1，2，7，8和数列2，3，5，6的偏差距离；（2）设A 为满足递推关系+11+=1n n na a a -的所有数列{}n a 的集合，{}nb 和{}nc 为A 中的两个 元素，且项数均为m ，若12b =，13c =，{}n b 和{}n c 的偏差距离小于2020，求m 最大值；（3）记S 是所有8项数列{|18,0n n a n a ≤≤=或1}的集合，T S ⊆，且T 中任何两个元素的偏差距离大于或等于4，证明：T 中的元素个数小于或等于16.参考答案一. 填空题1. {|11}x x -<<2.3. 324. 221916x y -= 5. 2 6. 1 7. 5 8.439.427 10. 1 11. 12. 21(0,]2019二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）12π；（2）. 18.（1）12-；（2）[2,2]26k k ππππ-+，k ∈Z . 19.（1）(100)(2)20,00.6(1002)(2)20,0.6x m x x x m y x m x x m x m +--<≤⎧=⎨+--<≤⎩；（2）30m -.20.（1）2211612x y +=；（2）证明略；（3）21.（1）6；（2）3461；（3）证明略.。
上海市浦东新区建平中学2024届高三上学期11月质量检测数学试题
所以 cosa cos b - sina sin b = sin a cos b - cosa sin b ， 所以 cosa (sin b + cos b ) = sina (cos b + sin b ) .
因为a ，b 均为锐角，所以 sin b + cos b ¹ 0 ，
可知方程 2 x + 3 y = 6 的曲线是一个菱形，
且该菱形的四个顶点坐标分别为(3,0) 、(0, 2) 、 (-3,0) 、(0, -2) ，
因为椭圆过该菱形的四个顶点，设椭圆的方程为 mx2 + ny2 = 1，
则 ìíî94mn ==11，解得 m
=
1 9
，n
=
1 4
，因此，所求椭圆的方程为
两个元素，则所有满足条件的 b 从小到大排列构成一个等差数列．
试卷第51 页，共33 页
试卷第61 页，共33 页
1．(-¥, 0]
参考答案：
【分析】利用补集的定义可求得集合 A .
【详解】因为全集为 R ，集合 A = (0, +¥) ，则 A = (-¥,0] .
故答案为： (-¥, 0] .
ar
=
(1,
-2)
，
r b
=
(3,
4)
，则向量
ar
在向量
r b
方向上的数量投影为
.
4．双曲线
x2 9
-
y2 4
= 1的焦点到渐近线的距离为
．
5．若 x1 和 x 2 是函数 y = cos2x 互异的两个零点，则 x1 - x2 的最小值为 ． 6．设 z 为复数 z 的共轭复数，若复数 z 满足 z2 + z + 3 = 0 ，则 z + z = ． 7．已知方程 2 x + 3 y = 6 的曲线是一个菱形，以此菱形的四个顶点为顶点的椭圆方程 是． 8．已知正四棱柱的侧棱长为 2，体积为 6，则该正四棱柱的表面积为 ． 9．关于 x 的不等式 x lg x > 0 的解集是 ．
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建平中学高三期中数学试卷
2018.11 一. 填空题
(x2
1.设函数，则f f(
cos x
2.在各项为实数的等比数列{a n} 中，a5 2 ，则公比q 的值为
3.若，，,sin ) ，，则
tan
4.设集合A 2 0}，，则(C A R )
5.某校邀请 5 位同学的父母共 10 人中的 4 位来学校介绍经验，如果这 4 位来自 4 个不同的家庭，那么不同的的邀请方案的种数是
6.从原点向圆x2 2 0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧的长
为
7.已知数列{a n} 的前n项和S n 满足：对于任意*，都有S n m
2mn ，若
a 1 ，则a2018
8.已知函数f x( ) 的定义域为R，当时， 3 1，当时，
1 1
，当时，) ，则
2 2
9. 已知f x( ) 是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足
f (log2 ，则a的取值范围是
10.在锐角三角形ABC 中，A、B、C 的对边分别为a、b、c，a2 2
6abcosC ，
1
tanC
则tan B
1
A
2 2
2 的解集为{x x|，则（）11.已知关于x的不等式
的取值范围是
12.若定义域均为D 的三个函数f x( ) 、g x( ) 、h x( ) 满足条件：对任意，点(x
(x h x, ( )) 关于点(x f x, ( )) 对称，则称h x( ) 是g x( ) 关于f x( )
的“对称函数”，已知 2 ，，h x( ) 是g x( ) 关于f
x( ) 的“对称函数”，且恒成立，则实数b的取值范围是
二. 选择题
13.已知实数x、y满足a x y （），则下列关系式恒成立的是（）
1 1
2 2
3 3
A. 2 2
B.
C.
D.
14.已知点A( 、B(3,0) ，动点P x y( , ) 满足2，则点P的轨迹
是（）
A.圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
a n 2 ；③{ 12 }； 15. 已知数列{a n} 是公比为q（）的等比数列，则数列：①{2 }；②{a n}
a n
④{a a}；⑤{a n }；等比数列的个数为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
2x | ，a i
2 ，f2 2 ) ，f3，
，16. 设函数f x1
3 99
记I k k (a1k (a0k (a2k ( 1k (a99k (a98) | ，k ，则（）
A. I1 2 3
B. I2 1 3
C. I1 3 2
D. I3 2 1
三. 解答题
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，BC ∥ AD，，
，平面ABCD ，，
.
（1）求异面直线PB与CD 所成角的大小；
（2）求点D 到平面PBC 的距离.
18. 设函数) ，其中，已知f ( )
.
6 2 6
（1）求；
（2）将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到
3 的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求g x( ) 在
]上的最小值.
4 4 4
19. 某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1 、l2 ，海岸边界MPN 近似地看成一
条曲线段，为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB
与曲线MPN 有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示，若曲线段MPN 是a
函数图像的一段，点M 到l1 、l2 的距离分别为 8 千米和 1 千米，点N 到l2 的距离为x
10 千米，以l1 、l2 分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点P的横坐
标为p .
（1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域；
（2）若某人从点O 沿公路至点P观景，要使得沿折线
OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围.
1 * ），已知偶函20. 对于函数，定义f x1，f n( )]x （
数 g x( )
的定义域为
， ，
当
且
时，
2018
( )x .
（1） 求 f 2 ( )x ， f x 3( ) ， f 4 ( )x ， f 2018( )x ； （2） 求出函数
的解析式；
（3） 若存在实数a 、b （
），使得函数 g x( ) 在[a b, ]上的值域为[mb ma, ] ，
求实数m 的取值范围.
21. 对于无穷数列{a n } ，记j
a i i ，若数列{a n } 满足：“存在
，
使得只要a m
k
（
*，
），必有
a
”，则称数列
具有性质P t( ) .
（1）若数列{a n } 满足a n
性质P(4) ？说明理由；
，判断数列{a n } 是否具有性质P(2) ？是否具有
（2）求证：“T 是有限集”是“数列{a n } 具有性质P(0) ”的必要不充分条件；（3）已
知{b n }是各项均为正整数的数列，且{b n }既具有性质P(2) ，又具有性质P(5) ，求证：
存在正整数 N ，使得a N ，a ，a
，
，a
，是等差数列.
参考答案
一. 填空题
4 4
8 C5
1. 2. 3. 7 4. (0,1] 5. ，4
21 C10
6. 2，(2
7. ，S 1 n n
3 5
8. 2 ， 9. ) ( ,5) ，log 2
4 4
2 2
2 ，
2 2c 22
2
10. 4 ，
)
tan A
tan B
2
1
1
1
11.
6]
，
，
，设
，∴
,
6
]
a a
a t
12. ，转化条件，即
要恒成立，
，∴
2
2x b ，参变分离，即
2
2x
，设
，
2
sin
，
∴
恒成立，即
二. 选择题
13. D 14. D 15. B 16. B
三. 解答题
17.（1） ；（2） .
3
2 3
18.（1） 2 ；（2） g x( )min .
4
2
8
19.（1）
，定义域[1,10]；（2.
x
1 1
2
20.（1）f2 ；f x3；f4
；x
1 1 1
f2018 2 ；（2）；（3）
,0) . x | x | 4
21.（1）不具有性质P(2) ，具有性质P(4) ；（2）略；（3）公差为 1，略.。