【最新题库】2015年安徽省芜湖一中自主招生考试数学试卷及答案.Word

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2015年高考理数真题试卷(安徽卷)【答案加解析】

2015年高考理数真题试卷（安徽卷）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.（2015·安徽）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.（2015·安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是A. y=COSxB. y=SINxC. y=lnxD. y=+13.（2015·安徽）设p：1x1，q：1，则p是q成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.（2015·安徽）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的是（）A. B. C. D.5.（2015·安徽）已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是A. 若，垂直于同一平面，则与平行B. 若m，n平行于同一平面，则m与n平行C. 若，不平行，则在内不存在与平行的直线D. 若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面6.（2015·安徽）若样本数据x1,x2,...,x10的标准差为8，则数据2x1-1,2x2-1，...，2x10-1的标准差为A. 8B. 15C. 16D. 327.（2015·安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是A. B. C. D.8.（2015·安徽）是边长为2的等边三角形，已知向量,满足=2,=2+，则下列结论正确的是A. =1B.C. .=1D.9.（2015·安徽）函数f（x）=的图像如图所示，则下列结论成立的是A. a0，b0，c0B. a0，b0，c0C. a0，b0，c0D. a0，b0，c010.（2015·安徽）已知函数f（x）=Asin（+）（A,,均为正的常数）的最小正周期为，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是A. f（2）f（-2）f（0）B. f（0）f（2）f（-2）C. f（-2）f（0）f（2）D. f（2）f（0）f(-2)二.填空题：本大题5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应的位置11.（2015安徽）（x3+)的展开式中x5的系数是________12.（2015安徽）在极坐标中，圆P=8sin上的点到直线=（p R）距离最大值是________ 。

安徽省芜湖市一中2015-2016学年高一自主招生考试化学试卷.pdf

奶；③KI溶液；④白糖；⑤白酒；⑥白醋；该同学进行检测必须选择的试剂和物质是（）
A、①③
B、①④⑤ C、②③⑥
D、①③⑥
5、下列说法正确的是（）
A、对于某阳离子Mn+，其质子数=电子数 + n
B、任何化学变化中，原子和分子的数目一定不变
C、向10ml质量分数为20的硫酸溶液中加入10ml的水，其质量分数变为10
；
Ⅱ、有A、B、C三种物质，分别是酸、碱、盐中的一种，在溶液中三者之间可发生如下反应：① A + B → 钠盐 +
水 + CO2↑； ② A + C → 盐↓ + 碱； ③ B + C → 盐↓ + 水。
反应②生成的盐可溶于稀硝酸，反应③生成的盐不溶于稀硝酸。则A、B、C三种物质的化学式分别是
实验步骤预期现象与结论将气体依次通过盛有
、
的洗气瓶中，
如
则假设1成立。
三、计算题（共5分）
17、取稀硫酸900克，平均分成6份，分别加入镁粉进行6次实验，记录如下表：
实验次序123456加入镁粉的质量/克123456生成硫酸镁的质量/克5m11518m218（1）、上表中m1= ；m2= 。
中，测得压强为p1；在一定条件下，当容器内物质充分发生反应后，恢复到原温度时，测得压强为p2。若p1=p2，则两
者的质量之比m:n应满足的关系最准确的是（）
A、等于3:8B、大于3:8C、小于或等于3:8D、大于3：4
12、下表为各物质中所含有的少量杂质以及除去这些杂质应选用的试剂或操作方法。正确的一组是（）
（3）、已知：在化学反应中，有元素化合价升高的过程，就一定有元素化合价降低。工业上常用NH3来检测输送

芜湖一中2015自主招生数学答案

芜湖一中2015年高一自主招生考试数学答案一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项序号填在答题栏中）题号 1 2 3 4 5 6 7 答案ABDACBB二、填空题（本大题共7个小题，每小题7分，共49分）8、a -- 9、 0或4 10、 15 11、 2 12、 523+π 13、1214、 2015三、解答题（本大题共5个小题，计59分，写出必要的推算或演算步骤） 15、（本小题10分）解：因为1,1a b ab +==-，将方程组通分后代入1ab =-得()()()()1 11 2bx ay x ax by y +=-+⎧⎪⎨+=-+⎪⎩两式相加得()()()2a b x a b y x y +++=--+，又因为1,a b +=于是1x y +=-，代入(1)式，得()11b a x a -+=-+，可得2bx b =-，所以11,22x y =-=- 16、（本小题10分）解答：解：如图，BC =2.2×sin 45°=2.2×≈1.54米，CE =5×sin 45°=5×≈3.5米，BE =BC +CE ≈5.04， EF =2.2÷sin 45°=2.2÷≈3.14米，（56﹣5.04）÷3.14+1=50.96÷3.14+1≈16+1=17（个）．故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．故答案为：17．17、（本小题13分）解：（1）直线3+-=x y 与x 轴相交于点B ，∴当0=y 时，3=x ，∴点B 的坐标为()0,3．又抛物线过x 轴上的A,B 两点，且对称轴为2=x ，根据抛物线的对称性，∴点A 的坐标为()0,1．3+-=x y 过点C ，易知C ()3,0，3c ∴=．又抛物线c bx ax y ++=2过点()()0,3,0,1B A ， ⎩⎨⎧=++=++∴033903b a b a解，得⎩⎨⎧-==41b a 342+-=∴x x y ．………………………………………………5分（2）连结PB ，由()123422--=+-=∴x x x y ，得()1,2-P ，设抛物线的对称轴交x 轴于点M ，在PBM Rt ∆中，1==MB PM ，2,45=︒=∠∴PB PBM ．由点()()3,0,0,3C B 易得3==OC OB ，在等腰直角三角形OBC 中，︒=∠45ABC ，由勾股定理，得23=BC ．………………………………………………7分假设在x 轴上存在点Q ，使得以点P,B,Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似． ①当AB PB BC BQ =，︒=∠=∠45ABC PBQ 时，ABC ∆∆∽PBQ ．即2223BQ =，3=∴BQ ， 1Q ∴的坐标是()0,0．………………………………………………9分②当BC PB AB QB =，︒=∠=∠45ABC QBP 时，ABC ∆∆∽QBP ．即2322=QB ，32=∴QB ． 273333OB OQ OB QB =∴=-=-= ，，2Q ∴的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛0,37． 180********PBx BAC PBx BAC =-=<∴≠ ，，∠∠∠∠．∴点Q 不可能在B 点右侧的x 轴上（无此判断，亦不扣分）．综上所述，在x 轴上存在两点()⎪⎭⎫⎝⎛0,37,0,021Q Q ，能使得以点Q B P ,,为顶点的三角形与ABC ∆相似．………………………………………………………………13分 18、（本小题13分）19、（本小题13分）解：()()()()()()()()2222225555115456112341p p p p p p p p p p p p ⎡⎤++=++-+=+++++⎢⎥⎣⎦=+++++设()()()()1234p p p p M ++++=，因为p 是大于5的质数，M 是4个连续整数的积，所以M 必能被24整除。

2012-2015芜湖一中自主招生化学试卷集

芜湖一中2012年高一自主招生考试化学试卷题号一二总分得分可能用到的相对原子质量：H-12 C-12 O-16 Na-23 Mg-24 Al-27 S-32 Cu-64一、选择题（每小题只有1个正确答案，每小题3分，共36分）（答案必须填在下表中，否则以0分计算）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案1．用实际参加化学反应的离子符号来表示化学反应的式子叫离子方程式，在离子方程式中，反应前后的电荷是守恒的。

现有如下离子方程式：RO3n－＋F2＋2OH－＝RO4－＋2F－＋H2O，由此可知在RO3n－中，元素R的化合价是：A．＋4 B．＋5 C．＋6 D．＋72．以下是我们熟悉的几种气体，其中可用右图所示装置干燥并收集的是(省略了铁架台等仪器) ：①H2 ②O2 ③CO2 ④SO2 ⑤CH4A．①②B．③④C．①⑤D．①②⑤3．几种物质溶于水，能电离出K+、Mg2+、SO42-、NO3-四种离子。

已知其中Mg2+、K+、NO3-离予个数比为４：5：３，则SO42-与NO3-的离子个数比为：A．2:3 B．4:3 C．5:3 D．7:34．有CuO、Fe、H2、Ba(OH)2溶液、K2CO3溶液、NaOH溶液、稀硫酸等七种物质，在常温下两种物质间能发生的化学反应最多有：A．4个B．5个C．6个D．7个5．下列四套装置中，在注入酸起反应后对气球的变化情况作出正确分析的是：A．气球①不胀大，②-④都能迅速胀大B．气球②逐渐胀大，气球④迅速胀大C．气球②逐渐胀大，气球③缓缓膨胀后停止，气球④迅速胀大D．以上都不正确6．已知乙炔（C2H2）、苯（C6H6）、乙醛（C2H4O）的混合气体中氧元素的质量分数为8%，则混合气体中碳元素的质量分数为：A．42% B．60% C．84% D．91%7．向H2SO4和CuSO4的混合溶液中，不断加入NaOH溶液。

下列图像横坐标表示加入NaOH 溶液质量，纵坐标表示反应的有关变化情况，其中正确的是：8．下列各组物质，只用组内溶液相互混合的方法就能鉴别的是：A．KOH、Na2SO4、CuSO4、MgCl2 B．K2CO3、BaCl2、Na2CO3、HCl C．Na2SO4、BaCl2、KNO3、NaCl D．NaNO3、AgNO3、KNO3、NaCl 9．在托盘天平的左、右两托盘中各放一只烧杯，调节至平衡，向烧杯分别注入等质量、等质量分数的稀硫酸，然后向两只烧杯中分别加入相同质量的镁和铜铝合金，两烧杯中物质完全反应后，天平仍保持平衡，合金中铝与铜的质量比是：A．2:1 B．2:3 C．3:1 D．3:410．要除去下列四种物质中的少量杂质(括号内的物质为杂质) ：甲：CaCO3(Na2CO3) 乙：NaOH (Na2CO3) 丙：KCl (KHCO3) 丁：炭粉(CuO)可选用的试剂及操作方法有：①加适量盐酸，搅拌，过滤；②加适量水，搅拌，过滤；③加适量盐酸，蒸发；④溶解，加适量石灰水，过滤，蒸发。

芜湖一中数学试卷

芜湖一中数学试卷一、选择题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)=x^33x+1在x=1处取得极小值，则f'(1)=_______。

A.-2B.0C.1D.32.已知向量a=(2,3)，向量b=(-1,2)，则2a3b=_______。

A.(7,5)B.(1,7)C.(-1,5)D.(-7,5)3.设全集U={1,2,3,4,5}，集合A={2,3,4}，集合B={1,3,5}，则A∩B=_______。

A.{1,2,3,4,5}B.{2,3,4}C.{1,3,5}D.{3}4.若等差数列{an}的前n项和为Sn=n^2+n，则a3=_______。

A.2B.3C.4D.55.若复数z满足|z1|=1，则z在复平面内对应的点位于_______。

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限二、判断题（每题1分，共5分）6.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f'(x)在区间(a,b)上恒大于0。

（）7.若向量a与向量b垂直，则它们的点积为0。

（）8.若集合A是集合B的子集，则集合A的元素个数一定小于等于集合B的元素个数。

（）9.若等差数列的公差为0，则该数列是一个常数数列。

（）10.若复数z的模为1，则z在复平面内对应的点位于单位圆上。

（）三、填空题（每题1分，共5分）11.若函数f(x)=2x^33x^2+4x1，则f'(x)=_______。

12.已知向量a=(1,2)，向量b=(2,-1)，则a·b=_______。

13.设全集U={1,2,3,4,5}，集合A={2,3,4}，集合B={1,3,5}，则A∪B=_______。

14.若等差数列{an}的公差为2，首项为1，则a5=_______。

15.若复数z=3+4i，则|z|=_______。

四、简答题（每题2分，共10分）16.简述导数的定义及其物理意义。

17.简述向量的点积和叉积的定义及其应用。

安徽省芜湖市第一中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学(理)试题含答案

芜湖一中2015—2016学年第二学期期中考试高二数学（理科)试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分,共36分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．若复数()R a iai∈+-12是纯虚数,i 是虚数单位,则a 的值是（） A ．2 B ．1 C ．-1 D ． -22．从一批产品中取出三件产品，设A 表示事件“三件产品全不是次品”，B 表示事件“三件产品全是次品”，C 表示事件“三件产品至少有一件是次品"，则下列结论正确的是( ）A ．事件A 与C 互斥B ．任何两个事件均互斥C ．事件B 与C 互斥D ．任何两个事件均不互斥3．某品牌空调在元旦期间举行促销活动，下面的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况(单位:台)，则销售量的中位数是( )A ．13B ．14C ．15D ．164．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据,根据下表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+,则下列结论错．误．的是( ) x3 4 5 6A ．产品的生产能耗与产量呈正相关B ．t 的取值必定是3。

15C ．回归直线一定过点()5.3,5.4D ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加7.0吨 5．在平面直角坐标系xOy 中，满足221,0,0xy x y +≤≥≥的点(,)P x y 的集合对应的平面图形的面积为4π;类似的，在空间直角坐标系O xyz -中，满足2221xy z ++≤，0,0,0x y z ≥≥≥的点(,,)P x y z 的集合对应的空间几何体的体积为( )A ．8π B ．6π C ．4πD ．3π6．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”结论显然是错误的,是因为（ )A 。

大前提错误 B.小前提错误 C 。

安徽省芜湖市第一中学2023-2024学年高一上学期自主招生考试数学试卷(含解析)

芜湖市第一中学2023-2024学年高一上学期自主招生考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________依次类推,A.4 B.3C.2D.12．若正实数a ,b ,c 满足不等式组则a ,b ,c 的大小关系为( )A. B.C.D.3．若实数a ,b 满足等式( )4．在中,,,,连,则长的最大值是( )A.8B.9C.10D.115．已知三个实数,,它们中的任何一个数加上其余两数积的6倍总等于7,则这样的三元数组共有_______组( )A.3B.4C.5D.66．如图,在中,,的中点,以为底边在其右侧作等要,使,连( )64,537,6112,4c a b c a b c a b c a b ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩b ac <<b c a <<c b a <<c a b<<222a a -=-b =Rt ABC △90ABC ∠=︒2AB =BC =30ADB =︒CD CD 1x 2x 3x ()123,,x x x Rt ABC △90BAC ∠=︒sin B =AD ADE △ADE B ∠=∠=7．四边形中,,是其两对角线,是等边三角形,,,,则( )A. B. C. D.二、填空题8．已知19个连续整数的和为380,则紧接在这19个数后面的21个连续偶数的和是__________.9．已知__________.10．在实数范围内因式分解：__________.11．在平面直角坐标系中,点,,连,,若线段,分别交曲线于点D ,E （异于点B ）,若,则k 的值为__________.12．把两个半径为8和一个半径为9的圆形纸片放在桌面上,使它们两两相外切,若要用一个圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于__________.13．在菱形中,,点E ,F 分别在边,上,将沿着对折,使点A 恰好落在对角线上的点G ,若,,则的面积等于__________.14．对于任意不为0的实数a ,b ,c 定义一种新运算“#”：①;②,则关于x 的方程的根为__________.三、解答题15．回答下列问题（1）解方程：;（2）求所有的实数a ,使得关于x 的方程的两根均为整数.16．如图,点E 是正方形的边上一动点（异于C ,D ）,连,以为对角线作正方形,与交于点H ,连.ABCD AC BD ABC △6AD =10BD =8CD =ADC ∠=30︒45︒60︒75︒x =)()()()211232x x x x ++++=222234a b c ab bc ca -+-++=xOy ()4,0A (4,B OB AB OB AB (0,0)k y k x x=>>DE OB ⊥ABCD 60A ∠=︒AD AB AEF △EF BD 4DG =6BG =AEF △#1a a =()()###a b c a b c =()2#24x x =+()2224341615x x x x x =+-++-()221430x a x a --+-=ABCD CD BE BE BGEF EF BD AF（1）求证：A ,F ,C 三点共线;（2）若17．在平面直角坐标系中,抛物线经过点和,且在x 轴上截得的线段长为（1）求抛物线的解析式;（2）已知点A 在抛物线上,且在其对称轴右侧,点B 在抛物线的对称轴上,若是以为斜边的等腰直角三角形,求点A 的坐标;（3）将抛物线向左平行移动3个单位得到抛物线,直线与交于E ,F 两点,直线与交于G ,H 两点,若M ,N 分别为线段和线段的中点,连,求证：直线过定点.18．如图,等边内有一动点D ,是等边三角形（点B ,E 在直线两侧）,直线与直线交于点F .（1）判断的大小是否为定值？若是定值,求出其大小;若不是定值,请说明理由.（2）若,,求线段长的最小值.:1:CE DE =xOy 21:(0)C y ax bx c a =++>()0,3-()4,11-1C 1C 1C OAB △OB 1C 2C ()0y kx k =≠2C 2y x k=-2C EF GH MN MN ABC △CDE △AC BD AE AFC ∠5AB =3CD =AF参考答案1．答案：C解析：令,第二次余下的数为,,.故选：C.2．答案：B解析：由题意可得,因a ,b ,c 均为正实数,于是因此,故选：B.3．答案：A,根据非负性可知,所以故选：A.4．答案：B解析：要使长取到最大,则点C 与点D 位于直线两侧.延长到点E ,使4046=11211123323a a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭13111,4434a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭ 1202211114046220232023202220232023a a ⎛⎫⨯-=⨯==⨯= ⎪⎝⎭117,531326c abc c a a b c a ⎧<++<⎪⎪⎪<++<⎨⎪⎪⎪⎩11753132,6153,4a b c c a b c a c a b b ++⎧<<⎪⎪++⎪<<⎨⎪++⎪<<⎪⎩711133356a b c c ++>>>>>>b c a <<(21)20a b -+-=1,22a b ==b a =CD AB CB BE =连,则,,于是点D 在以为直径的圆上（与E 在直线同侧）,设圆心为O ,则,当C ,O ,D 三点共线时,长取到最大,最大值为,故选：B.5．答案：C 解析：由条件知①-②得,,所以或.当时,代入③得,又代入①得,消去得,解得于是,或.当,解得或故选：C.6．答案：D解析：由条件知,,所以,所以,又公共,所以,所以也是等腰三角形,于是发现,故选：D.7．答案：A解析：以为一边在四边形外作等边,连,则可证,所以,又,,于是,所以,故选：A.AE 30AEB ∠=︒4AE =AE AB 7OC ==CD 729+=12321331267,67,,67,x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③()()123160x x x --=12x x =316x =12x x =23267x x +=22367x x x +=3x ()()()222161670x x x --+=2x =()()123,,1,1,1x x x =1141,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭777,,666⎛⎫--- ⎪⎝⎭3x =121274136x x x x +==1216416x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩AD BD DC ==B BAD ADE ∠=∠=∠//DE AB CDE B ADE ∠=∠=∠DE ADE CDE ≌△△CDE △CDE BAD ∽△△11552236BC CD AB AB ===⨯=15226CE BD ==⨯=CD ABCD CDE △AE BCD ACE ≌△△10BD AE ==6AD =8DE =222AD DE AE +=90ADE ∠=︒906030ADC ∠=-=︒︒︒8．答案：1050解析：设19个连续整数中最小的整数是,则最大的整数是,,解得,所以紧接在这19个数后面的21个连续偶数分别为30,32,34,,70,.9．答案：42解析：由条件得,又.10．答案：解析：利用待定系数法或双十字相乘法.解析：由条件知,设,则,,又,,所以,,于是于,所以（舍）或12．答案：18解析：要使大圆形纸片的半径最小,只需这个大圆形纸片与三个小圆形纸片均内切,设最小半径大小为r ,则,解得.解析：作于点P ,设,则,,,,n 18n +380=11n = 1050=22540x x +-=()()()()()()()()211232212123x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=++++⎣⎦⎣⎦()()222522536742x x x x =++++=⨯=()()23a b c a b c ++-+:OB y =()D t 2k =2OD t =8OB =60AOB ∠=︒82BD t =-60BED ∠=︒DE =BE =AE ==E ⎛ ⎝k =2=4=t =k =222(8)8(915)r r -=++-18r =FP BD ⊥BP x =PF =2BF x =PF =102AF GF x ==-在中,,即,解得所以14．答案：4或-2解析：令,因,由得,令,由得,于是,所以,解方程得两根分别为4或-2.15．答案：（1）解析：（1）原方程可化为令,则原方程可化为,于是,整理得,所以于是或,当时,,解得当时,,解得综上,原方程的根为（2）不妨设两根为,,则根据韦达定理可知,,于是,所以6PG x=-Rt PFQ △222PF PG GF +=2223(6)(102)x x x +-=-x =AF =AE =AEF △b c a ==#1a a =()()###a b c a b c =#1a a =c b =()()###a b c a b c =()()###a b b a b b =()##1a b b a a ==#a b =)2#2x x =+4x =+x ==()()222434433x x x x x =+-++--243x x t +-=243x t t =+-()224343x t t t x x -=+--+-()2250x t x t -+-=()()50x t x t -++=x t =50x t ++=x t =2330x x +-=x =50x t ++=2520x x ++=x =x =x =1x ()212x x x ≤1221x x a +=-1243x x a =-()121221x x x x -+=-()()12223x x --=因,为整数,,于是,也为整数,且,所以或,当时,解得,此时当时,解得,此时16．答案：（1）见解析解析：证明：（1）在正方形和正方形中,所以,即,所以,所以,又,所以A ,F ,C 三点共线（2）因,设,则,,因,,公共,所以,于是即,解得所以17．答案：（1）（2）或1x 2x 12x x ≤12x -22x -1222x x -≤-122123x x -=⎧⎨-=⎩122321x x -=-⎧⎨-=-⎩122123x x -=⎧⎨-=⎩1235x x =⎧⎨=⎩a =122321x x -=-⎧⎨-=-⎩1211x x =-⎧⎨=⎩12a =ABCD BGEF 45ABD FBE ∠=∠=BE BF==ABD DBF FBE DBF ∠-∠=∠-∠ABF DBE ∠=∠ABF DBE ∽△△45BAF BDC ∠=∠=︒45BAC ∠=︒:1:2CE DE =CE t =2DE t =BD =BE =45BEH BDE ∠=∠=︒DBE ∠BEH BDE ∽△△=2BE BD BH =⋅210t BH =⋅BH =DH BD BH =-=-==263y x x =--()7,4()6,3-（3）解析：（1）由条件可知又,解得所以抛物线的解析式为.（2）当点A 在x 轴上方时,过点A 作轴于点P ,过点B 作直线的垂线,垂足为点Q ,因,,所以,又,,所以,于是.设,则,所以,解得,所以点同理当点A 在x 轴下方时,可求得,综上所述,点A 的坐标为或.（3）由条件知,联立得,于是点,同理可得,设,则,解得所以,其过定点.18．答案：（1）的大小是定值,定值大小为,理由见解析()0,1316411,c a b c ⎧⎪=-⎪⎪++=-⎨=0a >163a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩1C 263y x x =--AP x ⊥AP 90OAP BAQ ∠+∠=︒90OAP AOP ∠+∠=︒AOP BAQ ∠=∠OA AB =90OPA AQB ∠=∠=︒OAP ABQ ≌△△AP BQ =()2,63A m m m --3m >2633m m m --=-7m =()7,4A ()6,3A -()7,4()6,3-22:12C y x =-212y kx y x =⎧⎨=-⎩2120x kx --=2,22k k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭212,N k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭:MN y px q =+222221k k p q p q kk ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩22:1k MN y x k-=+()0,1AFC ∠120︒（2）解析：（1）的大小是定值,定值大小为,理由如下：在等边和等边中,,,,于是,即,所以,所以,所以C ,D ,F ,E 四点共圆,所以,于是（2）由（1）知,所以A,F ,C ,B 四点共圆.若最大,则最小.当时,最大,因,,所以,由（1）得,,于是在和中,,所以,所以,于是所以线段长的最小值为.4AFC ∠120︒ABC △CDE △AC BC =CE CD =60ACB DCE CDE ∠=∠=∠=︒ACB ACD DCE ACD ∠-∠=∠-∠ACE BCD ∠=∠ACE BCD ≌△△BDC AEC ∠=∠60CFE CDE ∠=∠=︒180********AFC CFE ∠=-∠=︒-=︒︒︒12060180AFC ABC ︒∠+︒+∠==︒CBF ∠AF CD BF ⊥CBF ∠5AB =3CD =4BD ==ACE BCD ≌△△4AE BD ==90AEC BDC ∠=∠=︒Rt CEF △Rt CDF △CE CD =CF CF=Rt Rt CEF CDF ≌△△30ECF DCF ∠=∠=︒EF =4AF AE EF =-=-AF 4。

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自主招生考试数学试卷及参考答案

自主招生考试数学试卷及参考答案(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--22第2自主招生考试数学试题卷亲爱的同学：欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点：1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。

2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。

试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。

做在试题卷上无效。

3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。

4．答题过程不准使用计算器。

祝你成功!一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a(x 2-1)－2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况2．如图，P P P 123、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形P A O P A O P A O 112233、、，设它们的面积分别是S S S 123、、，则 A S S S 123<< B S S S 213<< C S S S 132<<D S S S 123==3．如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是33第5A π－1B π－2C 121-πD 221-π4．由325x y a x y a x y a m-=+⎧⎪+=⎪⎨>⎪⎪>⎩得a>－3,则m 的取值范围是A m>－3B m ≥－3C m ≤－3D m<－3 5．如图，矩形ABCG （AB <BC ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动，使APE ∠为直角的点P 的个数是 A 0 B 1 C 2 D 36．已知抛物线y=ax 2+2ax+4(0<a<3),A （x 1，y 1）B(x 2，y 2)是抛物线上两点，若x 1<x 2,且x 1+x 2=1－a,则A y 1< y 2B y 1= y 2C y 1> y 2D y 1与y 2的大小不能确定二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7．二次函数y ＝ax 2+(a －b ）x —b 的图象如图所示，44那么化简222||a ab b b -+-的结果是______▲________.8．如图所示，在正方形 ABCD 中，AO ⊥BD 、OE 、FG 、HI 都垂直于 AD ，EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ，若已知 S ΔA JI =1，则S 正方形ABCD = ▲9．将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体,其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为 ▲ 10．用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片 ▲ 张（2）第n 个图案中有白色纸片 ▲ 张（3）从第1个图案到第100个图案，总共有白色纸片 ▲ 张第10题第7题第8题5511.如图所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= ▲12．阅读下列证明过程：已知，如图四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ≠BC ，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．读后完成下列各小题．(1)证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答： ▲ ． (2)作DE ∥AB 的目的是： ▲ ．(3) 判断四边形ABED 为平行四边形的依据是： ▲ ． (4)判断四边形ABCD 是等腰梯形的依据是 ▲ ．(5)若题设中没有AD ≠BC ，那么四边形ABCD 一定是等腰梯形吗为什么答 ▲ ．自主招生考试第11题第12题66数学标准答案一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． ______－1__________ 8． 256 9． 57610．（1） 13 （2） 3n+1 （3） 15250 11. a b12．(1)没有错误 (2)为了证明AD ∥BC(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)梯形及等腰梯形的定义 (5) 不一定，因为当AD ＝BC 时，四边形ABCD 是矩形三、解答题（本题共5小题，共60分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）13.（本小题10分）某公园门票每张10元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多游客，该公园除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年）。

芜湖一中自主招生试卷(精品) (1)

第四单元物质构成的奥秘第一节原子的构成1. 原子的构成原子一般是由质子、中子和电子构成，有的原子不一定有中子，质子数也不一定等于中子数。

原子的种类由核电荷数（质子数）决定。

2. 构成原子的各种粒子间的关系在原子中，原子序数＝核电荷数＝核内质子数＝核外电子数。

由于原子核所带的正电荷与核外电子所带的负电荷的电量相等，电性相反，所以原子整体不显电性。

3. 相对原子质量以一种碳原子（碳12）质量的1/12（1.66×10-27kg）为标准，其他原子的质量跟它相比较所得到的比，作为这种原子的相对原子质量，符号为Ar。

相对原子质量是通过比较得出的比值，单位为“1”。

原子中质子和中子的质量接近碳原子质量的1/12，而电子的质量约为质子质量的1/1836，可以忽略不计，所以原子的质量集中在原子核上，即相对原子质量≈质子数＋中子数第二节元素1. 定义：元素就是具有相同电荷数（即核内电子数）的一类原子的总称。

元素与原子的区别和联系：2. 元素之最地壳中含量（质量分数）排在前五位的元素：氧、硅、铝、铁、钙地壳中含量最多的金属元素：铝地壳中含量最多的非金属元素：氧生物细胞中含量最多的元素：氧人体中含量最多的金属元素：钙3. 元素的分类：金属元素、非金属元素、稀有气体元素4. 元素符号：元素用元素符号表示。

元素符号是用元素拉丁文名称的第一个字母表示的，如果第一个字母相同，则再附加一个小写字母加以区别。

5. 元素符号的意义：元素符号不仅表示一种元素，还表示这种元素的一个原子。

如果物质由原子构成，元素符号还可以表示一种物质。

如果元素符号前加上系数，就只表示该原子的个数，只具有微观意义。

如：H表示氢元素、1个氢原子。

2H表示2个氢原子。

Cu表示铜元素、一个铜原子、金属铜。

6. 描述物质宏观组成和微观构成：① 宏观组成（描述物质的组成时用元素叙述）：铁是由铁元素组成的。

二氧化碳是由碳元素、氧元素组成的。

② 微观构成（描述物质的构成时用分子、原子、离子叙述）铁是由铁原子构成的。

[真题]2015年安徽省芜湖一中自主招生考试数学试卷带答案解析

2015年安徽省芜湖一中自主招生考试数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）比﹣1小﹣3的数是（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣22．（4分）某个长方体主视图是边长为1cm的正方形．沿这个正方形的对角线向垂直于正方形的方向将长方体切开，截面是一个正方形．那么这个长方体的俯视图是（）A．B．C．D．3．（4分）已知AB是⊙O内接正四边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC的度数为（）A．105°B．150°C．30°D．105°或15°4．（4分）若不等式组无解，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．a＜﹣1 C．a≤1 D．a≤﹣15．（4分）已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则kb的值为（）A．12 B．﹣6 C．﹣6或﹣12 D．6或126．（4分）为积极响应南充市创建“全国卫生城市”的号召，某校1500名学生参加了卫生知识竞赛，成绩记为A、B、C、D四等．从中随机抽取了部分学生成绩进行统计，绘制成如图两幅不完整的统计图表，根据图表信息，以下说法不正确A．样本容量是200B．D等所在扇形的圆心角为15°C．样本中C等所占百分比是10%D．估计全校学生成绩为A等大约有900人7．（4分）如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A．a2﹣πB．（4﹣π）a2C．πD．4﹣π8．（4分）现对某商品进行打七折促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时增加几分之几？（）A．B．C．D．9．（4分）有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，﹣1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少（）A．500 B．520 C．780 D．200010．（4分）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则坐标轴上a、b、c的值A．a=8，b=40，c=48 B．a=6，b=40，c=50C．a=8，b=32，c=48 D．a=6，b=32，c=50二、填空题（每小题5分，共20分）11．（5分）如图，水平地面有一个面积为120πcm2的灰色扇形OAB，其中OA 的长度为12cm，且OA与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图最左边的扇形向右滚动至点A 再一次接触地面时，则O点移动的路径长为．12．（5分）在锐角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N 分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是．13．（5分）图中两个正方形的中心重合，小正方形的顶点A、C两点在大正方形的对角形上，△HAC是等边三角形，若AB=2，则大正方形的边长为．14．（5分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC．其中正确结论的序号是．三、解答题（每小题8分，共16分）15．（8分）计算：﹣12016﹣|1﹣tan60°|+×（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0．16．（8分）先化简，再求值（1﹣）÷（x﹣），其中x=．四、解答题（16分）17．（8分）某班举行演讲革命故事的比赛中有一个抽奖活动．活动规则是：进入最后决赛的甲、乙两位同学，每人只有一次抽奖机会，在如图所示的翻奖牌正面的4个数字中任选一个数字，选中后可以得到该数字后面的奖品，第一人选中的数字，第二人就不能再选择该数字．（1）求第一位抽奖的同学抽中文具与计算器的概率分别是多少？（2）有同学认为，如果．甲先抽，那么他抽到海宝的概率会大些，你同意这种说法吗？并用列表格或画树状图的方式加以说明．18．（8分）将抛物线y=2x2﹣12x+22绕点（5，2）旋转180°后得到一新的抛物线，试求新抛物线的解析式．五、解答题（每小题10分，共20分）19．（10分）为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE（下面两个小题结果都保留根号）．（1）若修建的斜坡BE的坡比为：1，求休闲平台DE的长是多少米？（2）一座建筑物GH距离A点33米远（即AG=33米），小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G，H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？20．（10分）如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．（1）求∠PCQ的度数；（2）当AB=4，AP：PC=1：3时，求PQ的大小；（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A重合），请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．六、（24分）21．（12分）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）22．（12分）已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°．（1）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．证明：△PME∽△PNF，PN=PM．（2）当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请分别写出线段PN、PM之间的数量关系（不用证明）．七、（14分）23．（14分）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y=（x＞0）和y=x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？2015年安徽省芜湖一中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）比﹣1小﹣3的数是（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣2【解答】解：﹣1﹣（﹣3）=﹣1+3=2，故选：C．2．（4分）某个长方体主视图是边长为1cm的正方形．沿这个正方形的对角线向垂直于正方形的方向将长方体切开，截面是一个正方形．那么这个长方体的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：易得主视图中对角线的长为，由于截面是一个正方形，那么可得这个长方体的宽也为，俯视图应表现出几何体的长与宽为1，．故选D．3．（4分）已知AB是⊙O内接正四边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC的度数为（）A．105°B．150°C．30°D．105°或15°【解答】解：如图所示，∵AB是⊙O内接正方形的一条边长，AC是同一个⊙O内接正六边形的一条边长，∴的度数==90°，的度数==60°．当点C在C1的位置时，∵优弧的度数=360°﹣90°﹣60°=210°，∴∠BAC1=×210°=105°；当点C在C2的位置时，的度数=90°﹣60°=30°，∴∠BAC2=×30°=15°．综上所述，∠BAC的度数是105°或15°．故选D．4．（4分）若不等式组无解，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．a＜﹣1 C．a≤1 D．a≤﹣1【解答】解：，由①得，x≥﹣a，由②得，x＜1，∵不等式组无解，∴﹣a≥1，解得：a≤﹣1．故选：D．5．（4分）已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则kb的值为（）A．12 B．﹣6 C．﹣6或﹣12 D．6或12【解答】解：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，即一次函数为增函数，∴当x=0时，y=﹣2，当x=2时，y=4，代入一次函数解析式y=kx+b得：，解得，∴kb=3×（﹣2）=﹣6；（2）当k＜0时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数，∴当x=0时，y=4，当x=2时，y=﹣2，代入一次函数解析式y=kx+b得：，解得，∴kb=﹣3×4=﹣12．所以kb的值为﹣6或﹣12．故选C．6．（4分）为积极响应南充市创建“全国卫生城市”的号召，某校1500名学生参加了卫生知识竞赛，成绩记为A、B、C、D四等．从中随机抽取了部分学生成绩进行统计，绘制成如图两幅不完整的统计图表，根据图表信息，以下说法不正确的是（）A．样本容量是200B．D等所在扇形的圆心角为15°C．样本中C等所占百分比是10%D．估计全校学生成绩为A等大约有900人【解答】解：A、=200（名），则样本容量是200，故A正确；B、成绩为A的人数是：200×60%=120（人），成绩为D的人数是200﹣120﹣50﹣20=10（人），D等所在扇形的圆心角为：360°×=18°，故B错误；C、样本中C等所占百分比是1﹣60%﹣25%﹣×100%=10%，故C正确；D、全校学生成绩为A等大约有1500×60%=900人，故D正确；由于该题选择错误的，故选：B．7．（4分）如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A．a2﹣πB．（4﹣π）a2C．πD．4﹣π【解答】解：小正方形的面积是：1；当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形BAO，它的面积是：．则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4（1﹣）=4﹣π．故选D．8．（4分）现对某商品进行打七折促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时增加几分之几？（）A．B．C．D．【解答】解：设销售量要比按原价销售时增加x，根据题意得：0.7（1+x）=1，解得：x=．故选C．9．（4分）有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，﹣1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少（）A．500 B．520 C．780 D．2000【解答】解：设A=3，B=9，C=8，操作第n次以后所产生的那个新数串的所有数之和为S n．n=1时，S1=A+（B﹣A）+B+（C﹣B）+C=B+2C=（A+B+C）+1×（C﹣A）；n=2时，S2=A+（B﹣2A）+（B﹣A）+A+B+（C﹣2B）+（C﹣B）+B+C=﹣A+B+3C=（A+B+C）+2×（C﹣A）；…故n=100时，S100=（A+B+C）+100×（C﹣A）=﹣99A+B+101C=﹣99×3+9+101×8=520．故选B．10．（4分）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则坐标轴上a、b、c的值为（）A．a=8，b=40，c=48 B．a=6，b=40，c=50C．a=8，b=32，c=48 D．a=6，b=32，c=50【解答】解：由题意，得甲的速度为：8÷2=4米/秒，乙的速度为：200÷40=5米/秒，∴a=8÷（5﹣4）=8，b=200﹣4×（40+2）=32，c=（200﹣8）÷4=48．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）11．（5分）如图，水平地面有一个面积为120πcm2的灰色扇形OAB，其中OA 的长度为12cm，且OA与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图最左边的扇形向右滚动至点A 再一次接触地面时，则O点移动的路径长为22π．【解答】解：设扇形的圆心角为n，则=120π∴n=300°∵扇形的弧长为=20π∴点O从开始到移动到OB与直线垂直，移动的距离10πcm．∵∠AOB=360﹣300=60°，则△AOB是等边三角形，∴AB=OA=12cm，则A在图乙中最后一个图形的位置旋转到A与直线接触，O移动的距离是：=2π，则OO点移动了22π．故答案为：22π．12．（5分）在锐角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N 分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是4．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，则CE即为CM+MN的最小值，∵BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE=BC•cos45°=4×=4．故答案为：4．13．（5分）图中两个正方形的中心重合，小正方形的顶点A、C两点在大正方形的对角形上，△HAC是等边三角形，若AB=2，则大正方形的边长为．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=2，∠ABC=90°，∴AC===2，∴OA=OC=，∵△HAC是等边三角形，∴∠AHO=∠CHO=30°，在Rt△HOC中，OH=OC•tan60°=，∵四边形EFGH是正方形，∴OH=OG=，HO⊥OG，∴在Rt△HOG中，HG===2，故答案为2．14．（5分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF ⊥CD于点F，连接EF．给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC．其中正确结论的序号是①②④⑤．【解答】解：①正确，连接PC，可得PC=EF，PC=PA，∴AP=EF；②正确；延长AP，交EF于点N，则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE，可得AP⊥EF；③错误，由于P是动点，所以△APD一定是等腰三角形错误；④正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP；⑤正确；PD=PF=CE；故答案为：①②④⑤．三、解答题（每小题8分，共16分）15．（8分）计算：﹣12016﹣|1﹣tan60°|+×（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0．【解答】解：原式=﹣1﹣2+8+1=6．16．（8分）先化简，再求值（1﹣）÷（x﹣），其中x=．【解答】解：原式=•=•=当时，∴原式=﹣=四、解答题（16分）17．（8分）某班举行演讲革命故事的比赛中有一个抽奖活动．活动规则是：进入最后决赛的甲、乙两位同学，每人只有一次抽奖机会，在如图所示的翻奖牌正面的4个数字中任选一个数字，选中后可以得到该数字后面的奖品，第一人选中的数字，第二人就不能再选择该数字．（1）求第一位抽奖的同学抽中文具与计算器的概率分别是多少？（2）有同学认为，如果．甲先抽，那么他抽到海宝的概率会大些，你同意这种说法吗？并用列表格或画树状图的方式加以说明．【解答】解：（1）第一位抽奖的同学抽中文具的概率是；抽中计算器的概率是；（2）不同意．从树状图中可以看出，所有可能出现的结果共12种，而且这些情况都是等可能的．先抽取的人抽中海宝的概率是；后抽取的人抽中海宝的概率是=．所以，甲、乙两位同学抽中海宝的机会是相等的．18．（8分）将抛物线y=2x2﹣12x+22绕点（5，2）旋转180°后得到一新的抛物线，试求新抛物线的解析式．【解答】解：∵y=2x2﹣12x+22=2（x﹣3）2+4，∴顶点坐标（3，4）∴抛物线绕点（5，2）旋转1800后得到新抛物线的顶点为（7，0），∴物线解析式为：y=﹣2（x﹣7）2即y=﹣2x2+28x﹣98．五、解答题（每小题10分，共20分）19．（10分）为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE（下面两个小题结果都保留根号）．（1）若修建的斜坡BE的坡比为：1，求休闲平台DE的长是多少米？（2）一座建筑物GH距离A点33米远（即AG=33米），小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G，H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？【解答】解：（1）∵FM∥CG，∴∠BDF=∠BAC=45°，∵斜坡AB长60米，D是AB的中点，∴BD=30米，∴DF=BD•cos∠BDF=30×=30（米），BF=DF=30米，∵斜坡BE的坡比为：1，∴=，解得：EF=10（米），∴DE=DF﹣EF=30﹣10（米）；答：休闲平台DE的长是（30﹣10）米；（2）设GH=x米，则MH=GH﹣GM=x﹣30（米），DM=AG+AP=33+30=63（米），在Rt△DMH中，tan30°=，即=，解得：x=30+21，答：建筑物GH的高为（30+21）米．20．（10分）如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．（1）求∠PCQ的度数；（2）当AB=4，AP：PC=1：3时，求PQ的大小；（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A重合），请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．【解答】解：（1）由题意知，△ABP≌△CQB，∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45°，∠ABP=∠CPQ，AP=CQ，PB=BQ，∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°，∠ABP+∠PBC=∠CPQ+∠PBC=90°，∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形．（2）当AB=4，AP：PC=1：3时，有AC=4，AP=，PC=3，∴PQ==2．（3）存在2PB2=PA2+PC2，由于△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ=PB，∵AP=CQ，∴PQ2=PC2+CQ2=PA2+PC2，故有2PB2=PA2+PC2．六、（24分）21．（12分）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为26.8万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）【解答】解：（1）∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：27﹣0.1×（3﹣1）=26.8，故答案为：26.8；（2）设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：28﹣[27﹣0.1（x﹣1）]=（0.1x+0.9）（万元），当0≤x≤10，根据题意，得x•（0.1x+0.9）+0.5x=12，整理，得x2+14x﹣120=0，解这个方程，得x1=﹣20（不合题意，舍去），x2=6，当x＞10时，根据题意，得x•（0.1x+0.9）+x=12，整理，得x2+19x﹣120=0，解这个方程，得x1=﹣24（不合题意，舍去），x2=5，因为5＜10，所以x2=5舍去．答：需要售出6部汽车．22．（12分）已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°．（1）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．证明：△PME∽△PNF，PN=PM．（2）当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请分别写出线段PN、PM之间的数量关系（不用证明）．【解答】解：（1）如图1，作PF⊥BC，∵∠ABC=90°，PE⊥AB，∴PE∥BC，PF∥AB，∴四边形PFBE是矩形，∴∠EPF=90°∴P是AC的中点，∴PE=BC，PF=AB，∵∠MPN=90°，∠EPF=90°，∴∠MPE=∠NPF，∴△MPE∽△NPF，∴==，∵∠A=30°，在RT△ABC中，cot30°==，∴=，即PN=PM；（2）如图2，PN=PM，如图2 在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，∴四边形BFPE是矩形，∴△PFN∽△PEM，∴=，又∵Rt△AEP和Rt△PFC中，∠A=30°，∠ACB=60°，∴PF=PC，PE=PA，∴==，∵PC=PA∴=，即：PN=PM，如图3，在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，∴四边形BFPE是矩形，∴△PFN∽△PEM，∴=，又∵Rt△AEP和Rt△PFC中，∠A=30°，∠ACB=60°，∴PF=PC，PE=PA，∴==，∵PC=PA∴=，即：PN=PM．七、（14分）23．（14分）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y=（x＞0）和y=x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？【解答】解：（1）根据有界函数的定义知，函数y=（x＞0）不是有界函数；函数y=x+1（﹣4≤x≤2）是有界函数．∵﹣4+1=﹣3，2+1=3，∴y=x+1（﹣4＜x≤2）边界值为3．（2）∵k=﹣1＜0，∴函数y=﹣x+1的图象是y随x的增大而减小，∴当x=a时，y=﹣a+1=2，解得：a=﹣1；当x=b时，y=﹣b+1，∴，∴﹣1＜b≤3；（3）若m＞1，函数向下平移m个单位后，x=0时，函数值小于﹣1，此时函数的边界t≥1，与题意不符，故m≤1．当x=﹣1时，y=1，函数y=x2过点（﹣1，1）；当x=0时，y=0，函数y=x2过点（0，0）．最小都向下平移m个单位，则函数y=x2﹣m过点（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m），∵≤t≤1，∴或，解得：0≤m≤或≤m≤1．故当0≤m≤或≤m≤1时，满足≤t≤1．。

芜湖一中数学试题及答案

芜湖一中数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是实数？A. πB. √2C. -1D. i2. 如果函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，那么f(-1)的值是多少？A. -4B. -6C. -8D. -103. 一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 以下哪个不等式是正确的？A. |-3| > 3B. |-3| < 3C. |-3| = 3D. |-3| ≠ 3二、填空题（每题4分，共16分）5. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，其斜边的长度是______。

6. 如果一个数的平方根是2，那么这个数是______。

7. 圆周率π的近似值是______。

8. 一个数的立方是-8，那么这个数是______。

三、解答题（每题8分，共24分）9. 解方程：2x + 5 = 13。

10. 证明：对于任意实数a和b，(a + b)^2 ≤ 2(a^2 + b^2)。

11. 计算：(3x^2 - 2x + 1) / (x - 1)。

四、综合题（每题10分，共40分）12. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求f(x)的极值。

13. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，已知a = 3，b = 4，c = 5，求长方体的表面积和体积。

14. 一个圆的半径是r，圆心到直线的距离是d，当d < r时，求圆与直线的位置关系。

答案：一、选择题1. D2. A3. B4. C二、填空题5. 56. 47. 3.141598. -2三、解答题9. 解：2x + 5 = 13，移项得2x = 8，除以2得x = 4。

10. 证明：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ≤ a^2 + a^2 + b^2 +b^2 = 2(a^2 + b^2)。

11. 计算：(3x^2 - 2x + 1) / (x - 1) = 3x + 1（通过多项式长除法）。

芜湖一中 2015年高一自主招生考试数学试卷及答案

芜湖一中2015年高一自主招生考试数学试卷题号一二三总分1516171819得分一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项序号填在答题栏中）1．已知非零实数,a b 满足53353,a b a a b -+++=+=则（）A ．1-B ．0C ．1D ．5-2．已知11=-x x ，则x x+1的值为（）．A ．5±B ．5C ．3±D ．5或13．若关于x 的方程12221ax -=-的解为正数，则实数a 的取值范围是（）A ．32a <B ．32a >C ．322a a >≠且D ．3122a a <≠且4．如果一直线l 经过不同三点()()(),,,,,A a b B b a C a b b a --，那么直线l 经过（）A ．第二、四象限B ．第一、二象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限5．已知平面四边形ABCD ，下列条件：①AB ∥CD ；②BC ∥AD ；③AB=CD ；④BC=AD ⑤∠A=∠C ；⑥∠B=∠D.任取其中两个，可以得出“平面四边形ABCD 是平行四边形”的概率是（）A ．32B ．815C ．53D ．1576．一个正方体内接于一个球(正方体的顶点均在球面上)，过球心作一个截面，如下图所示，则截面的可能图形是（）A ．（3）（4）B ．（1）（2）（4）C ．（2）（4）D ．（1）（2）（3）（1）（4）（3）（2）7．直角ABC 的三个顶点,,A B C 均在抛物线2y x =上，并且斜边AB 平行于x 轴，若斜边上的高为h ，则（）8．二次根式的最简根式形式为9．已知关于x 的方程：x m x m 22240---=()有两个实根x 1、x 2满足x x 212=+，则m 的值为10．若关于x 的不等式组5030x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅有1、2、3，则满足这个不等式组的有序整数对(),a b 的个数为对11．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，()11,A x y 是反比例函数()10y x x=>的图像上的一点，()22,B x y 是反比例函数()40y x x=-<的图像上的一点，则AOB 的面积的最小值为12．有一个半径为1cm 的圆，在边长为6cm 的正六边形内任意挪动（圆可以与正六边形的边相切）。

2015年芜湖县一中自主招生考试模拟试卷

2015年芜湖县一中自主招生考试模拟试卷（一）一、选择题（共6题，36分） 1．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=︒，4OC =，CD 的长为（）．A． B ．4 C． D ．82. 已知点A 为某封闭图形边界的一定点，动点P 从点A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点P 的时间为x ，线段AP 的长为y ，表示y 与x 的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）．3. 如图，□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF:FC 等于（A ）3：2 （B ）3：1 （C ）1：1（D ）1：24. 如图，四边形、都是正方形，点在线段上，连接，和相交于点．设，（）．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（）．（A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个ABCF E 第6题图5. 如图，在矩形AOBC 中，点A 的坐标是（﹣2，1），点C 的纵坐标是4，则B 、C 两点的坐标分别是（） A ．（，3）、（﹣，4） B .（，3）、（﹣，4） C ．（，）、（﹣，4）D ．（，）、（﹣，4）6. 如图，在ABC ∆中，EF ∥BC ，AEF BCE S S ∆∆=，若1ABC S ∆=，则CEF S ∆等于( )A ． 14B ． 15 C2 D32二、填空题（共7题，计42分）7.在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P x y ，我们把点(1,1)P y x '-++叫做点P 伴随点，一直点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，这样依次得到点1A ，2A ，3A …，n A …，若点1A 的坐标为(3,1)，则点3A 的坐标为__________，点2014A 的坐标为__________；若点1A 的坐标为(,)a b ，对于任意正整数n ，点n A 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为_____________．8.如图，在ABC Rt ∆中，D ，E 为斜边AB 上的两个点，且BC BD =，AC AE =，则DCE ∠的大小为．9.若关于的方程有两个实数根、，则的最小值为___.10. 函数1357y x x x x =-+-+-+-的最小值为． 11．如图，在反比例函数2y x=（0x >）的图象上，有点1P 、2P 、3P 、4P ，它们的横坐标依次为1、2、3、4，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为123S S S ，，，则123S S S ++= ．第（8）题ACBEFO 第12题图第11题图12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，以AB为一边向△ABC外作正方形ABEF，正方形中心为O，且OC=24，那么正方形ABEF的面积是．13.在⊿ABC中，AB=25，AC=17，高AD=15，设能完全覆盖⊿ABC的圆的半径为R，则R的最小值是二、解答题（4题，计72分）14.如图在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．15. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），点E，点F 分别为OA，OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE’D’F’，记旋转角为α.（Ⅰ）如图①，当α＝90°，求AE’，BF’的长；（Ⅱ）如图②，当α＝135°，求证AE’＝BF’，且AE’⊥BF’；（Ⅲ）若直线AE’与直线BF’相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）.16. 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB=20°，求∠ADF 的度数；（3）如图2，若45°<∠PAB < 90°，用等式表示线段AB ，FE ，FD 之间的数量关系，并证明．17. 在平面直角坐标系中，O点F 、点M 都在直线l 上，且点E 交于点P .（Ⅰ）若点M 的坐标为（1，-1）① 当F 的坐标为（1，1② 当F 的为直线l 关于x 的函数解析式；（Ⅱ）若点M (1，m )，点F (1，t )PQ ⊥l 于点Q ，当OQ ＝PQ。

芜湖市自主招生培训试题

课堂作业201、2()y y a x h k ax hk =++=+二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像不经过哪个象限？2、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值。

3、如图是二次函数k m x y +-=2)(的图像，其顶点坐标为M （1，-4）。

（1）求出图像与x 轴的交点A,B 的坐标；（2）在此二次函数的图像上是否存在点P ，使M AB PAB S S ∆∆=45?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图像其余部分保持不变，得到一个新的图像，请你结合这个新图像回答：当直线b x y +=（b ＜1）与此图像有两个公共点时b 的取值范围。

4、已知抛物线3)2(2--=x y ，将它沿x 轴向左平移4个单位长度，得到的新抛物线解析式是什么？若直线y=m 与这两条抛物线有且仅有四个交点，求m 的取值范围。

答案：1、解：a ＞0，h ＞0，k ＜0，一次函数y ax hk =+的图像不经过第二象限。

2、解：当顶点在y 轴上时，k+2=0，k=—2当顶点在x 轴上时，036)2(2=-+=∆k ，48或-=∴k3、解：（1）由已知得：324)1(22--=--=x x x y当y=0时得032x 2=--x解得：3,1x 21=-=x∴A(-1,0),B(3,0)(2)设P （x ，y ），），）或（，坐标是（点或时，当5452-42554545min P x x y y y y S S MAB PAB ∴=-===∴-=±=∴=∆∆ (3)y -113,0-1x b b y x b y x y x b B =+∴=+=+=+∴当直线经过（1,0）时，b=1又＜在的下方当直线经过（）时，b=-3由图可知：3＜b ＜ 4、解：新抛物线2(2)3y x =+-，两抛物线交点是（0,1），则m ＞-3且m ≠1。

2015年中考真题精品解析数学(安徽卷)(含答案)

2015年安徽省初中毕业学业考试数学试题注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请你“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的）．1.在－4，2，－1，3这四个数中，比－2小的数是2．计算8×2的结果是A．10 B．4 C． 6 D．23．移动互联网已经全面进入人们的日常生活．截止A．×104B．×106C．×108D．0.162×1094．下列几何体中，俯视图是矩形的是5．与1＋5最接近的整数是A．4 B．3 C．2 D．16．我省2013年的快递业．若x，则下列方程正确的是A．(1＋x)＝B．(1＋2x)＝C．(1＋x)2＝D．(1＋x)＋(1＋x)2＝7．某校九年级(1)班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：成绩(分)35 39 42 44 45 48 50人数(人) 2 5 6 6 8 7 6根据上表中的信息判断，下列结论中错误．．的是A．该班一共有40名同学B．该班学生这次考试成绩的众数是45分C．该班学生这次考试成绩的中位数是45分D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分8．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有A．∠ADE＝20°B．∠ADE＝30°C．∠ADE＝12∠ADC D．∠ADE＝13∠ADC9．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是 A ．2 5 B ．3 5 C ．5 D ．610．如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b－1)x ＋c 的图象可能是二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．－64的立方根是．12．如图，点A 、B 、C 在半径为9的⊙O 上，AB ⌒的长为π2，则∠ACB 的大小是．13．按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x 、y 、z 表示这列数中的连续三个数，猜 14．已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＝ab ＝c ，有下列结论：①若c ≠0，则1a ＋1b＝1；②若a ＝3，则b ＋c ＝9；③若a ＝b ＝c ，则abc ＝0；④若a 、b 、c 中只有两个数相等，则a ＋b ＋c ＝8．其中正确的是 (把所有正确结论的序号都选上)．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫a 2a ―1＋11―a ·1a ，其中a ＝－12．16．解不等式：x3＞1－x －36．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC (顶点是网格线的交点)．(1)请画出△ABC 关于直线l 对称的△A 1B 1C 1；(2)将线段AC 向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A 2C 2，并以它为一边作一个格点△A 2B 2C 2，使A 2B 2＝C 3B 2．18．如图，平台AB 高为12m ，在B 处测得楼房CD 顶部点D 的仰角为45°，底部点C 的俯角为30°，求楼房CD 的高度(3＝)．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．A 、B 、C 三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A 将球随机地传给B 、AB Cl 第17题图C 两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人． (1)求两次传球后，球恰在B 手中的概率； (2)求三次传球后，球恰在A 手中的概率．20．在⊙O 中，直径AB ＝6，BC 是弦，∠ABC ＝30°，点P 在BC 上，点Q 在⊙O 上，且OP ⊥PQ ． (1)如图1，当PQ ∥AB 时，求PQ 的长度；(2)如图2，当点P 在BC 上移动时，求PQ 长的最大值．六、（本题满分12分）21．如图，已知反比例函数y ＝k 1x 与一次函数y ＝k 2x ＋b 的图象交于点A (1，8)、B (－4，m )．(1)求k 1、k 2、b 的值； (2)求△AOB 的面积；(3)若M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)是比例函数y ＝k 1x 图象上的两点，且x 1＜x 2，y 1＜y 2，指出点M 、N 各位于哪个象限，并简要说明理由．七、（本题满分12分）22．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC 的长度为x m ，矩形区域ABCD 的面积为y m 2． (1)求y 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围； (2)x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？八、（本题满分14分）23．如图1，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连接AG 、BG 、CG 、DG ，且∠AGD ＝∠BGC ． (1)求证：AD ＝BC ； (2)求证：△AGD ∽△EGF ；(3)如图2，若AD 、BC 所在直线互相垂直，求ADEF的值．2015年安徽省初中毕业学业考试数学试题注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请你“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的）．1.在－4，2，－1，3这四个数中，比－2小的数是（）A．－4 B．2 C．－1 D．3【答案】A.考点：有理数的大小比较.2．计算8×2的结果是（）A．10 B．4 C． 6 D．2【答案】B.【解析】⨯==，故答案选B.试题分析：根据二次根式的乘法运算法则可得82164考点：二次根式的乘法运算法则.3．移动互联网已经全面进入人们的日常生活．截止（）A．×104B．×106C．×108D．0.162×109【答案】C.【解析】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．162 000 000用科学记数法表示时，其中a，n为所有的整数数位减1，即n=8．×108，故答案选C.考点：科学记数法.4．下列几何体中，俯视图是矩形的是（）【答案】B.考点：几何体的俯视图.5．与1＋5最接近的整数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B.【解析】试题分析：由459可得3154+，又因4比9更接近5，所以15+更接近整数3.故答案选B.考点：二次根式的估算.6．我省2013年的快递业．若x ，则下列方程正确的是（） A ．(1＋x )＝ B ．(1＋2x )＝ C ．(1＋x )2＝ D ．(1＋x )＋(1＋x )2＝【答案】C.考点：一元二次方程的应用.7．某校九年级(1)班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：成绩(分) 35 39 42 44 45 48 50 人数(人)2566876根据上表中的信息判断，下列结论中错误．．的是（） A ．该班一共有40名同学B ．该班学生这次考试成绩的众数是45分C ．该班学生这次考试成绩的中位数是45分D ．该班学生这次考试成绩的平均数是45分【答案】D. 【解析】试题分析：由统计表可知总共有（2+5+6+6+8+7+6=40）名同学；45在这组数据中一个出现了8次，次数最多是众数；这组数据的中位数是第20、21两个数的平均数为45；这组数据的平均数为（35×2+39×5+42×6+44×6+45×8+48×7+50×6）÷ 考点：中位数；众数；平均数.8．在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ，点E 在边AB 上，∠AED ＝60°，则一定有（） A ．∠ADE ＝20° B ．∠ADE ＝30° C ．∠ADE ＝12∠ADC D ．∠ADE ＝13∠ADC【答案】D.考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理.9．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC 上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．2 5 B．3 5 C．5 D．6【答案】C.【解析】试题分析：连接EF交AC于点M,由四边形EGFH为菱形可得FM=EM,EF⊥AC；利用”AAS或ASA”易证△FMC ≌△EMA,根据全等三角形的性质可得AM=MC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=45，且tan∠BAC=12BCAB=；在Rt△AME中,AM=12AC=25 ,tan∠BAC=12EMAM=可得EM=5；在Rt△AME中，由勾股定理求得AE=5.故答案选C.考点：菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数.10．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋(b －1)x＋c的图象可能是（）【答案】A.【解析】试题分析：点P在抛物线上，设点P(x，ax2+bx+c)，又因点P在直线y=x上，所以x= ax2+bx+c，即ax2+（b-1）x+c=0；由图象可知一次函数y=x与二次函数y= ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，方程ax2+（b-1）x+c=0有两个正实数根，所以函数y=ax2+（b-1）x+c的图象与x轴有两个交点，并且这两个交点都在x轴的正半轴上，符合条件的只有选项A,故答案选A.考点：二次函数与一元二次方程的关系.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．－64的立方根是．【答案】-4. 【解析】试题分析：∵(-4)3=-64,∴-64的立方根为-4. 考点:立方根的定义.12．如图，点A 、B 、C 在半径为9的⊙O 上，AB ⌒的长为π2，则∠ACB 的大小是．【答案】20°. 【解析】试题分析：连接OA 、OB ，由弧长公式的92180n ππ⨯⨯=可求得∠AOB=40°,再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB=20°. 考点：弧长公式；圆周角定理.13．按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x 、y 、z 表示这列数中的连续三个数，猜想x 、y 、z 满足的关系式是．【答案】xy=z. 【解析】试题分析：观察数列可发现123235358222,222,222......⨯=⨯=⨯=所以这一列数据所揭示的规律是前两个数的积等于第三个数.根据规律x 、y 、z 表示这列数中的连续三个数，则x 、y 、z 满足的关系式是xy=z. 考点：规律探究题.14．已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＝ab ＝c ，有下列结论：①若c ≠0，则1a ＋1b＝1；②若a ＝3，则b ＋c ＝9；③若a ＝b ＝c ，则abc ＝0；④若a 、b 、c 中只有两个数相等，则a ＋b ＋c ＝8．其中正确的是 (把所有正确结论的序号都选上)．【答案】①③④. 【解析】试题分析：在a+b=ab 的两边同时除以ab （ab=c ≠0）即可得111a b+=，所以①正确；把a=3代入得3+b=3b=c ，可得b=32，c=92，所以b+c=6，故②错误；把 a=b=c 代入得22c c c ==，所以可得c=0，故③正确；当a=b 时，由a+b=ab 可得a=b=2，再代入可得c=4，所以a+b+c=8；当a=c 时，由c=a+b 可得b=0，再代入可得a=b=c=0，这与a 、b 、c 中只有两个数相等相矛盾，故a=c 这种情况不存在；当b=c 时，情况同a=c ，故b=c 这种情况也不存在，所以④正确.所以本题正确的是①③④. 考点：分式的基本性质；分类讨论.三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫a 2a ―1＋11―a ·1a ，其中a ＝－12．【答案】+11=,=-12a a a =-原式把代入得，原式. 考点：分式的混合运算. 16．解不等式：x3＞1－x －36．【答案】x ＞3. 【解析】试题分析：根据解不等式的基本方法解出即可. 试题解析：考点：一元一次不等式的解法.四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC (顶点是网格线的交点)．(1)请画出△ABC 关于直线l 对称的△A 1B 1C 1；(2)将线段AC 向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A 2C 2，并以它为一边作一个格点△A 2B 2C 2，使A 2B 2＝C 3B 2．【答案】(1)见解析；（2）见解析.AB Cl 第17题图考点：轴对称作图；平移的性质.18．如图，平台AB 高为12m ，在B 处测得楼房CD 顶部点D 的仰角为45°，底部点C 的俯角为30°，求楼房CD 的高度(3＝)．【解析】试题分析：过点B 作BE ⊥DC 于E,在Rt △BEC 中，求BE 的长；在Rt △BED 中，求DE 的长；根据CD=CE+DE 可求得CD 的长.试题解析：解：过点B 作BE ⊥DC 于E,则CE=AB=12, 在Rt △BEC 中，012123tan 30==∠CE BE=tan CBE . 在Rt △BED 中,DE=BE ·tan ∠DBE=0123tan 45123=. ∴CD=CE+DE=12+123 ≈ 所以，楼房CD 的高考点：解直角三角形.五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．A 、B 、C 三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A 将球随机地传给B 、C 两人中的某一人，A B CD30° 45°第18题图以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人． (1)求两次传球后，球恰在B 手中的概率； (2)求三次传球后，球恰在A 手中的概率．【答案】(1) 14；(2)14. 【解析】试题分析：(1)直接列举出两次传球的所有结果，球球恰在B 手中的结果只有一种即可求概率；（2）画出树状图，表示出三次传球的所有结果，三次传球后，球恰在A 手中的结果有2种，即可求出三次传球后，球恰在A 手中的概率. 试题解析:解：（1）两次传球的所有结果有4种，分别是A →B →C,A →B →A,A →C →B,A →C →A.每种结果发生的可能性相等，球球恰在B 手中的结果只有一种，所以两次传球后，球恰在B 手中的概率是14；考点：用列举法求概率.20．在⊙O 中，直径AB ＝6，BC 是弦，∠ABC ＝30°，点P 在BC 上，点Q 在⊙O 上，且OP ⊥PQ ．(1)如图1，当PQ ∥AB 时，求PQ 的长度；(2)如图2，当点P 在BC 上移动时，求PQ 长的最大值．【答案】(1) 6PQ =（2）332PQ =. 【解析】AA BBC CP P Q Q OO第20题图1 第20题图2试题分析：（1）在Rt △OPB 中,由OP=OB ·tan ∠ABC 可求得OP=3，连接OQ,在Rt △OPQ 中，根据勾股定理可得PQ 的长；（2）由勾股定理可知222,PQ OQ OP =-OQ 为定值，所以当当OP 最小时，PQ 最大.根据垂线段最短可知，当OP ⊥BC 时OP 最小，所以在Rt △OPB 中,由OP=OB ·sin ∠ABC 求得OP 的长；在Rt △OPQ 中，根据勾股定理求得PQ 的长.试题解析：解：（1）∵OP ⊥PQ,PQ ∥AB,∴OP ⊥AB.在Rt △OPB 中,OP=OB ·tan ∠ABC=3·tan30°=3.连接OQ,在Rt △OPQ 中, 22223(3)6PQ OQ OP =-=-=. (2) ∵22229,PQ OQ OP OP =-=-∴当OP 最小时，PQ 最大，此时OP ⊥BC.OP=OB ·sin ∠ABC=3·sin30°=32. ∴PQ 长的最大值为23339()22-=. 考点：解直角三角形；勾股定理.六、（本题满分12分）21．如图，已知反比例函数y ＝k 1x与一次函数y ＝k 2x ＋b 的图象交于点A (1，8)、B (－4，m )． (1)求k 1、k 2、b 的值；(2)求△AOB 的面积；(3)若M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)是比例函数y ＝k 1x图象上的两点，且x 1＜x 2，y 1＜y 2，指出点M 、N 各位于哪个象限，并简要说明理由．【答案】（1）1k =8，22,6k b ==；（2）S △ABC =15；（3）点M 在第三象限，点N 在第一象限，理由见解析.【解析】试题分析：（1）把A(1,8)代入1k y x =求得1k =8，把B(-4,m)代入1k y x=求得m=-2，把A(1,8)、B （-4，-2）代入2y k x b =+求得2k 、b 的值；（2）设直线y=2x+6与x 轴的交点为C,可求得OC 的长，根据S △ABC =S △AOC +S △BOC 即可求得△AOB 的面积；（3）由1x ＜2x 可知有三种情况，①点M 、N 在第三象限的分支上，②点M 、N 在第一象限的分支上，③ M 在第三象限，点N 在第一象限，分类讨论把不合题意的舍去即可.试题解析：解：（1）把A(1,8)， B(-4,m)分别代入1k y x=，得1k =8，m=-2. ∵A(1,8)、B （-4，-2）在2y k x b =+图象上，∴22842k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得，226k b =⎧⎨=⎩. 考点：反比例函数与一次函数的交点坐标；用待定系数法求函数表达式；反比例函数的性质.七、（本题满分12分）22．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC 的长度为x m ，矩形区域ABCD 的面积为y m 2．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围；(2)x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？【答案】（1）23304y x x =-+（0＜x ＜40）；（2）当x=20时，y 有最大值，最大值是300平方米. 【解析】试题分析：（1）设AE=a ，由A E ·AD=2BE ·BC ，AD=BC 可得BE=12a ，AB=32a ；根据周长为80米得方程2x+3a+2·12a=80，解得a=20—12x.由y=AB ·BC 代入即可求y 与x 之间的函数关系式；根据题意0＜BC+EF ＜ 80，所以x 的取值范围为0＜x ＜40；（2）把y 与x 之间的函数关系式化为顶点式，利用二次函数的性质即可求解.试题解析：解：（1）设AE=a ，由题意可得，A E ·AD=2BE ·BC ，AD=BC ，∴BE=12a ，AB=32a. 由题意，得2x+3a+2·12a=80，∴a=20—12x. ∴y=AB ·BC=32ax=32 (20—12x)x ，即23304y x x =-+（0＜x ＜40）. （2）∵223330(20)300,44y x x x =-+=--+ 区域① 区域② 区域③岸堤 A BCD E F G H 第22题图∴当x=20时，y 有最大值，最大值是300平方米.考点：二次函数的应用及性质.八、（本题满分14分）23．如图1，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连接AG 、BG 、CG 、DG ，且∠AGD ＝∠BGC ．(1)求证：AD ＝BC ；(2)求证：△AGD ∽△EGF ；(3)如图2，若AD 、BC 所在直线互相垂直，求AD EF的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2.AD EF = 【解析】试题分析：（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得GA=GB ，GD=GC.由“SAS ”可判定△AGD ≌△BGC 根据全等三角形的对应边相等即可得AD=BC.（2）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定△AGB ∽△DGC ，再由相似三角形对应高的比等于相似比可得GA EG GD FG =，再证得∠AGD=∠EGF ，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定△AGD ∽△EGF.（3）如图1，延长AD 交GB 于点M ，交BC 的延长线于点H ，则AH ⊥BH. 由△AGD ≌△BGC 可知∠GAD=∠GBC.在△GAM 和△HBM 中，由∠GAD=∠GBC ，∠GMA=∠HMB 可证得∠AGB=∠AHB=90°，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠AGE =45°，即可得出 2.GA GE =根据相似三角形对应边的比相等即可得 2.AD AG EF EG== 试题解析：(1)证明：∵GE 是AB 的垂直平分线，∴GA=GB.同理GD=GC.在△AGD 和△BGC 中，∵GA=GB,∠AGD=∠BGC,GD=GC, ∴△AGD ≌△BGC. ∴AD=BC.(2) 证明：∵∠AGD=∠BGC, ∴∠AGB=∠DGC.在△AGB 和△DGC 中，GA GB GD GC =,∠AGB=∠DGC, ∴△AGB ∽△DGC. ∴GA EG GD FG=，又∠AGE=∠DGF ，∴∠AGD=∠EGF ，∴△AGD ∽△EGF.性质.。

数学_2015年安徽省芜湖市某校自主招生数学试卷(含答案)

2015年安徽省芜湖市某校自主招生数学试卷一．选择题（共6小题）1. 已知函数y ={(x −1)2−1(x ≤3)(x −5)2−1(x >3) ，则使y ＝k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（）A 0B 1C 2D 32. 如果|x −a|＝a −|x|(x ≠0, x ≠a)，那么√a 2−2ax +x 2−√a 2+2ax +x 2=( ) A 2a B 2x C −2a D −2x3. a ，b ，c 为有理数，且等式a + b √2 + c √3 = √5 + 2√6成立，则2a +999b +1001c 的值是( )A 1999B 2000C 2001D 不能确定 4. 如图，两个反比例函数y =k 1x和y =k 2x（其中k 1>k 2>0）在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PC ⊥x 轴于点C ，交C 2于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形PAOB 的面积为（）A k 1+k 2B k 1−k 2C k 1⋅k 2D k1k 25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A(1, 1)，B(2, −1)，C(−2, −1)，D(−1, 1)．y 轴上一点P(0, 2)绕点A 旋转180∘得点P 1，点P 1绕点B 旋转180∘得点P 2，点P 2绕点C 旋转180∘得点P 3，点P 3绕点D 旋转180∘得点P 4，…，重复操作依次得到点P 1，P 2，…，则点P 2010的坐标是（）A (2010, 2)B (2010, −2)C (2012, −2)D (0, 2)6. 如图，在半径为1的⊙O 中，∠AOB ＝45∘，则sinC 的值为（）A √22 B √2−√22C√2+√22D √24二．填空题（共7小题）7. 三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且x=a|a|+b|b|+c|c|+|ab|ab+|ac|ac+|bc|bc，则ax3+bx2+cx+1的值是________．8. 如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，△DEF的面积是1，那么正方形ABCD的面积是________．9. 如图，点A1，A2，A3，A4，…，A n在射线OA上，点B1，B2，B3，…，B n−1在射线OB上，且A1B1 // A2B2 // A3B3 // ... // A n−1B n−1，A2B1 // A3B2 // A4B3 // ... // A n B n−1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△A n−1A n B n−1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为12；面积小于2011的阴影三角形共有________个．10. 你见过像√4−2√3，√√48−√45，…这样的根式吗？这一类根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以化简，如√4−2√3=√3−2√3×1+1=√(√3−1)2=√3−1．请用上述方法化简：√5+2√6=________．11. 不等式组{3x−52≤x−2a3(x−1)<4(x+1)−3有六个整数解，则a的取值范围为________≤34．12. 小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x2＝−1时，突发奇想：x2＝−1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝−1，那么若x2＝−1，则x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝−1的两个根．据此可知：①i可以运算，例如：i3＝i2⋅i＝−1×i＝−i，则i2011＝________，②方程x2−2x+2＝0的两根为________（根用i表示）13. 如图，直线AB交双曲线y=kx于A，B，交x轴于点C，B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x轴于M，连结OA．若OM=2MC，S△OAC=12，则k的值为________．三．解答题（共7小题）14. 在“学科能力”展示活动中，某区教委决定在甲、乙两校举行“学科能力”比赛，为此甲、乙两学校都选派相同人数的选手参加，比赛结束后，发现每名参赛选手的成绩都是70分、80分、90分、l00分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等．现根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整统计图：（1）甲校选手所得分数的中位数是________，乙校选手所得分数的众数是________；（2）请补全条形统计图；（3）比赛后，教委决定集中甲、乙两校获得100分的选手进行培训，培训后，从中随机选取两位选手参加市里的决赛，请用列表法或树状图的方法，求所选两位选手来自同一学校的概率．15. 若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1, 0)，B(x2, 0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB＝|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(−ba )2−4ca=√b2−4aca2=√b2−4ac|a|；参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y＝ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的两个交点A(x1, 0)，B(x2, 0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．（1）当△ABC为直角三角形时，求b2−4ac的值；（2）当△ABC为等边三角形时，求b2−4ac的值．16. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+32与直线y＝x交于点A，点B在直线y=1 2x+32上，∠BOA＝90∘．抛物线y＝ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y＝x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE // x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．17. 如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1+x2＝−p，x1⋅x2＝q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n＝0，(n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2−15a−5＝0，b2−15b−5＝0，求ab +ba的值；（3）已知a、b、c满足a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．18. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90∘，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD＝2，AE＝3，tan∠BOD=23．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．19. 如图1，在△ABC中，∠A=36∘，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．(1)求证：AE=BC；(2)如图(2)，过点E作EF // BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0∘<α<144∘)得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；(3)在(2)的旋转过程中是否存在CE′ // AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．20. 如图1，已知A(3, 0)、B(4, 4)、原点O(0, 0)在抛物线y＝ax2+bx+c (a≠0)上．（1）求抛物线的解析式．（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标．（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）2015年安徽省芜湖市某校自主招生数学试卷答案1. D2. D3. B4. B5. B6. B7. 18. 69. 610. √2+√311. 12<a12. −i．,1±i．13. 814. 90分,80分×60360，解得：x＝2，即获得100分的人数有2人．故可得甲校选手所得分数的中位数是90分；乙校选手所得分数的众数80分．（则两位选手来自同一学校的概率=412=13．15. 当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE．∵ 抛物线与x轴有两个交点，∴ △＝b2−4ac>0，则|b2−4ac|＝b2−4ac．∵ a>0，∴ AB=√b2−4ac|a|=√b2−4aca，又∵ CE＝|4ac−b 24a |=b2−4ac4a，∴ √b2−4aca =2×b2−4ac4a，∴ √b2−4ac=b2−4ac2，∴ b2−4ac=(b2−4ac)24，∵ b2−4ac>0，∴ b2−4ac＝4；当△ABC为等边三角形时，由（1）可知CE=√32AB，∴ b2−4ac4a =√32×√b2−4aca，∵ b 2−4ac >0， ∴b 2−4ac 16a 2=34a 2，∴ b 2−4ac ＝12．16. 由直线y =12x +32与直线y ＝x 交于点A ，得{y =xy =12x +32，解得，{x =3y =3，∴ 点A 的坐标是(3, 3)． ∵ ∠BOA ＝90∘， ∴ OB ⊥OA ，∴ 直线OB 的解析式为y ＝−x ．又∵ 点B 在直线y =12x +32上， ∴ {y =−xy =12x +32，解得，{x =−1y =1，∴ 点B 的坐标是(−1, 1)．综上所述，点A 、B 的坐标分别为(3, 3)，(−1, 1)．由（1）知，点A 、B 的坐标分别为(3, 3)，(−1, 1)． ∵ 抛物线y ＝ax 2+bx +c 过点A ，O ，B ， ∴ {9a +3b +c =3c =0a −b +c =1，解得，{a =12b =−12c =0，∴ 该抛物线的解析式为y =12x 2−12x ，或y =12(x −12)2−18． ∴ 顶点E 的坐标是(12, −18)； OD 与CF 平行．理由如下：由（2）知，抛物线的对称轴是x =12．∵ 直线y ＝x 与抛物线的对称轴交于点C ， ∴ C(12, 12)．设直线BC 的表达式为y ＝kx +b(k ≠0)，把B(−1, 1)，C(12, 12)代入，得 {−k +b =112k +b =12，解得，{k =−13b =23，∴ 直线BC 的解析式为y =−13x +23．∵ 直线BC 与抛物线交于点B 、D ， ∴ −13x +23=12x 2−12x ，解得，x 1=43，x 2＝−1．把x 1=43代入y =−13x +23，得y 1=29， ∴ 点D 的坐标是(43, 29)．如图，作DN ⊥x 轴于点N ．则tan∠DON =DNON =16．∵ FE // x 轴，点E 的坐标为(12, −18)．∴ 点F 的纵坐标是−18．把y =−18代入y =12x +32，得x =−134，∴ 点F 的坐标是(−134, −18)，∴ EF =12+134=154．∵ CE =12+18=58， ∴ tan∠CFE =CE EF=16，∴ ∠CFE ＝∠DON ．又∵ FE // x 轴， ∴ ∠CMN ＝∠CFE ， ∴ ∠CMN ＝∠DON ，∴ OD // CF ，即OD 与CF 平行．17. 设方程x2+mx+n＝0，(n≠0)的两个根分别是x1，x2，则：1x1+1x2=x1+x2x1x2=−mn，1 x1⋅1x2=1x1x2=1n，若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，则这个一元二次方程是：x2+mn x+1n=0；∵ a、b满足a2−15a−5＝0，b2−15b−5＝0，∴ a，b是x2−15x−5＝0的解，当a≠b时，a+b＝15，ab＝−5，a b +ba=a2+b2ab=(a+b)2−2abab=152−2×(−5)−5=−47．当a＝b时，原式＝2；∵ a+b+c＝0，abc＝16，∴ a+b＝−c，ab=16c，∴ a、b是方程x2+cx+16c=0的解，∴ c2−4⋅16c≥0，c2−43c≥0，∵ c是正数，∴ c3−43≥0，c3≥43，c≥4，∴ 正数c的最小值是4．18. ∵ AB与圆O相切，∴ OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD＝2，tan∠BOD=BDOD =23，∴ OD＝3；连接OE，∵ AE＝OD＝3，AE // OD，∴ 四边形AEOD为平行四边形，∴ AD // EO，∵ DA⊥AE，∴ OE⊥AC，又∵ OE为圆的半径，∴ AE为圆O的切线；∵ OD // AC，∴ BDAB =ODAC，即22+3=3AC，∴ AC＝7.5，∴ EC＝AC−AE＝7.5−3＝4.5，∴ S阴影＝S△BDO+S△OEC−S扇形FOD−S扇形EOG=12×2×3+12×3×4.5−90π×32360＝3+274−9π4=39−9π4．19. (1)证明：∵ AB=AC，∠A=36∘，∴ ∠ABC=∠C=72∘，又∵ BE平分∠ABC，∴ ∠ABE=∠CBE=36∘，∴ ∠BEC=180∘−∠C−∠CBE=72∘，∴ ∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，∴ AE=BE，BE=BC，∴ AE=BC．(2)证明：∵ AC=AB且EF // BC，∴ AE=AF；由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，∵ 在△CAE′和△BAF′中{AC=AB∠E′AC=∠F′ABAE′=AF′，∴ △CAE′≅△BAF′，∴ CE′=BF′．(3)解：存在CE′ // AB，理由：由(1)可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，如图：①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，∴ ∠BAM=∠ABC=72∘，又∠BAC=36∘，∴ α=∠CAM=36∘．②当点E的像E′与点N重合时，由AB // l得，∠AMN=∠BAM=72∘，∵ AM=AN，∴ ∠ANM=∠AMN=72∘，∴ ∠MAN=180∘−2×72∘=36∘，∴ α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72∘．所以，当旋转角为36∘或72∘时，CE′ // AB．20. ∵ A(3, 0)、B(4, 4)、O(0, 0)在抛物线y＝ax2+bx+c (a≠0)上．∴ {9a+3b+c=0 16a+4b+c=4c=0，解得：{a=1b=−3c=0，故抛物线的解析式为：y＝x2−3x；设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4, 4)，得：4＝4k1，解得：k1＝1∴ 直线OB的解析式为y＝x，∴ 直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x−m，∵ 点D在抛物线y＝x2−3x上，∴ 可设D(x, x2−3x)，又∵ 点D在直线y＝x−m上，∴ x2−3x＝x−m，即x2−4x+m＝0，∵ 抛物线与直线只有一个公共点，∴ △＝16−4m＝0，解得：m＝4，此时x1＝x2＝2，y＝x2−3x＝−2，∴ D点的坐标为(2, −2)．∵ 直线OB的解析式y＝x，且A(3, 0)．∵ 点A关于直线OB的对称点A′的坐标为(0, 3)．设直线A′B的解析式为y＝k2x+3，此直线过点B(4, 4)．∴ 4k2+3＝4，解得k2=14．∴ 直线A′B的解析式为y=14x+3．∵ ∠NBO＝∠ABO，∴ 点N在直线A′B上，设点N(n, 14n+3)，又点N在抛物线y＝x2−3x上，∴ 14n+3＝n2−3n．解得n1=−34，n2＝4（不合题意，舍去），∴ 点N的坐标为(−34, 4516)．如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1 (−34, −4516)，B1(4, −4)．∴ O、D、B1都在直线y＝−x上．过D点做DP1 // N1B1，∵ △P1OD∽△NOB，∴ △P1OD∽△N1OB1，∴ P1为O N1的中点．∴ OP1ON =ODOB1=12，∴点P1的坐标为(−38, −4532)．将△P1OD沿直线y＝−x翻折，可得另一个满足条件的点到x轴距离等于P1到y轴距离，点到y轴距离等于P1到x轴距离，∴ 此点坐标为：(4532, 38 )．综上所述，点P的坐标为(−38, −4532)和(4532, 38)．。