2018届江苏省泰州中学高三第四次调研测试数学试题

江苏省泰州中学2018届高三第四次调研测试数学试题 2018.5.26数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}0,1,2M =，集合{}2,N x x a a M ==∈，则M N ⋃= ▲ ． 2．已知112ni i=-+，其中n 是实数， i 虚数单位，那么n = ▲ ． 3．依据下列算法的伪代码：x ←2 i ←1 s ←0While i ≤4 s ←s ×x ＋1 i ←i+1 End While Print s运行后输出的结果是 ▲ ．4．双曲线222 1 ( 0)9x y b b-=>的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则b = ▲ ．5．将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ ．6．若函数()sin()f x x ωϕ=+( 0, )ωϕπ><的图象关于坐标原点中心对称，且在y 轴右侧的第一个极值点为6x π=，则()12f π= ▲ ．7．已知,,a b c 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为 ▲ ． ①若,a c b c ⊥⊥，则//a b ； ②若,αγβγ⊥⊥，则//αβ；③若,a b αα⊥⊥，则//a b ； ④若,a a αβ⊥⊥，则//αβ． 8．已知sin 2cos 0θθ+=，则21sin2cos θθ+= ▲ ．9．等比数列{}n a 中， 11a =，前n 项和为n S ，满足765430S S S -+=，则4S = ▲ ． 10．已知实数,x y 满足6212x y y x y x ⎧⎪+≤⎪≤⎨⎪⎪≥⎩，则z xy =的最大值为 ▲ ．11．在△ABC 中，13AE AB =，23AF AC =．设BF ，CE 交于点P ，且E P E C λ=，FP FB μ=(λ,μ∈R ),则λμ+的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系中，圆22:1O x y +=，圆()221:34O x y -+=，过x 轴负半轴上一点M 作圆O 的切线，与圆O 相切于点A ，与圆1O 分别相交于点,B C ，若AB BC =，则点M 的坐标为 ▲ ．13．已知函数()()()222,2,x a x x ag x x a x x a ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，若存在[]2,3a ∈-，使得函数()y g x at =-有三个零点，则实数t 的取值范围是 ▲ ．14．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且()f x 在区间(),0-∞上单调递增，()10f -=．设()2cos sin 2g x x m x m =+-，集合()|0,,02M m x g x π⎧⎫⎡⎤=∀∈<⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，集合()|0,,02N m x f g x π⎧⎫⎡⎤=∀∈⎡⎤<⎨⎬⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则MN = ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）一副直角三角板按下左图拼接，将BCD ∆折起，得到三梭锥A BCD -（下右图）．（1）若,E F 分别为,AB BC 的中点，求证：//EF 平面ACD ； （2）若平面ABC ⊥平面BCD ，求证：平面ABD ⊥平面ACD ．rr h16．（本小题满分14分）如图，在圆内接ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足cos cos 2cos a C c A b B +=． （1）求B ∠的大小；（2）若点D 是劣弧AC 上一点，3,2,1AB BC AD ===，求四边形ABCD 的面积．17．（本小题满分14分）某公司拟建造如图所示的蓄水池，其下方是高为h 的圆柱体，上方是以圆柱上底面为大圆的半径为r 的半球体.设计要求，蓄水池总体积为64π3m 3，且h ≥2r .经测算，上方半球形部分每平方米建造费用为c (c ＞3)千元，下方圆柱体的侧面和底面部分平均每平方米建造费用为3千元，设该蓄水池的总建造费用为y 千元.（1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当该蓄水池的总建造费用y 最小时，求半径r 的值.18．（本小题满分16分）已知椭圆2214x y +=中心为O ，右顶点为M ，过定点(,0)(2)D t t ≠±作直线l 交椭圆于A 、B 两点. （1）若直线l 与x 轴垂直，求三角形OAB 面积的最大值； （2）若65t =，直线l 的斜率为1，求证：90AMB ∠=o； （3）在x 轴上，是否存在一点E ，使直线AE 和BE 的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点E 的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.19．（本小题满分16分）设()1212,x x x x ≠是函数()()3220f x ax bx a x a =+->的两个极值点.（1）当0b =时,求函数()f x 的单调递减区间；（2）若12||||x x +=b 的最大值；（3）若12x x x <<，且2x a =，函数()()()1g x f x a x x '=--，求证: ()()213212g x a a ≤+.20．（本小题满分16分）已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.（1）若，，（），求证：数列是等比数列；（2）若数列是等比数列，求，的值； （3）若，且，求证：数列是等差数列.DCBA江苏省泰州中学2018届高三第四次调研测试数学试题 2018.5.26数 学 II （附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．相应的答题区域．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲] （本小题满分10分）如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD 的垂直平分线．已知6,AB CD ==AC 的长度．B ．[选修4—2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知点P (a ，b )，先对它作矩阵M 1212⎡⎢=⎥⎥⎥⎦对应的变换，再作N 2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到的点的坐标为 (8，，求实数a ，b 的值．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C的参数方程为,sin ,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩其中θ为参数．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos()23ρθ+=．求椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值和最小值.D ．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）定义{},min ,a a ba b b a b⎧=⎨>⎩≤，，设{}222min b h a a b =+，，其中a ，b 均为正实数，证明：h 1≤．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点， 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（2）若二面角D -AP -CPF 的长度．23．（本小题满分10分）已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝4，且对于任意n ∈N *有a n ＋4＝a n ＋3＋a n ＋1＋a n ． （1）求证：任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a 2n ＋a 2n －1； （2）求证：任意n ∈N *，a 2n a 2n ＋2为整数．PFEDCAB江苏省泰州中学2018届高三第四次调研测试数学试题答案 2018.5.26数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}0,1,2M =，集合{}2,N x x a a M ==∈，则M N ⋃= ▲ ． 【答案】{}0,1,2,4 2．已知112ni i=-+，其中n 是实数， i 虚数单位，那么n = ▲ ． 【答案】1 【解析】()()()1112121i i i i i -==-++-，根据复数相等的充要条件可知，1n =. 3．依据下列算法的伪代码：x ←2 i ←1 s ←0While i ≤4 s ←s ×x ＋1 i ←i+1 End While Print s运行后输出的结果是 ▲ ． 【答案】154．双曲线222 1 ( 0)9x y b b-=>的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则b = ▲ ．【答案】45．将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ ． 【答案】296．若函数()sin()f x x ωϕ=+( 0, )ωϕπ><2的图象关于坐标原点中心对称，且在y 轴右侧的第一个极值点为6x π=，则()12f π= ▲ ．7．已知,,a b c 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为 ▲ ． ①若,a c b c ⊥⊥，则//a b ； ②若,αγβγ⊥⊥，则//αβ； ③若,a b αα⊥⊥，则//a b ； ④若,a a αβ⊥⊥，则//αβ． 【答案】③ ④8．已知sin 2cos 0θθ+=，则21sin2cos θθ+= ▲ ．【答案】1【解析】由题设可知sin 2cos θθ=-代入()22222414cos sin cos 2sin cos 1cos cos θθθθθθθ+-++==．9．等比数列{}n a 中， 11a =，前n 项和为n S ，满足765430S S S -+=，则4S = ▲ ． 【答案】4010．已知实数,x y 满足6212x y y x y x ⎧⎪+≤⎪≤⎨⎪⎪≥⎩，则z xy =的最大值为 ▲ ．【解析】画出可行域，(),E x y 为可行域内任意一点，目标函数z xy =理解为长方形OEPF 的面积，当z 取最大值时，点P 必在线段AB 上， 即6x y +=，又因为6x y +=≥，即9z xy =≤．11．在△ABC 中，13AE AB =，23AF AC =．设BF ，CE 交于点P ，且E P E C λ=，FP FB μ=(λ,μ∈R),则λμ+的值为 ▲ ．【解析】不妨考虑等腰直角三角形ABC ，设AB 3=，3AC =，以AB ，AC 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则A (0 0)，，(3 0)B ，，(0 3)C ，，(1 0)E ，，(0 2)F ，， 直线BF 的方程为：132y x +=，① 直线CE 的方程为：13yx +=，②由①②得，37x =，127y =，所以()312 77P ，， 代入EP EC λ=，FP FB μ=得，31(01)7λ-=-，30(30)7μ-=-，解得47λ=，17μ=，故λμ+=57．【答案】5712．在平面直角坐标系中，圆22:1O x y +=，圆()221:34O x y -+=，过x 轴负半轴上一点M 作圆O 的切线，与圆O 相切于点A ，与圆1O 分别相交于点,B C ，若AB BC =，则点M 的坐标为 ▲ ． 【解析】设(),0,2M m AB BC x -==，连结11,,OA O C O D ，并作1O D BC ⊥，1OF O D ⊥1-,在1Rt OO F ∆中，有22211OO OF O F =+ 所以())22931x =+-,解得21516x =，所以134O F = 又1MAO OFO ∆∆:，所以11OM OA OO O F=，即1334m =，所以4m =，所以()4,0M -． 13．已知函数()()()222,2,x a x x ag x x a x x a⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，若存在[]2,3a ∈-，使得函数()y g x at =-有三个零点，则实数t 的取值范围是 ▲ ．【解析】()()()222,2,x a x x ag x x a x x a⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩若x a ≥，对称轴222a x a a -=≤⇒≥-时，()g x 在[),a +∞上递增 若x a <，对称轴222a x a a +=≥⇒≤时，()g x 在(),a -∞上递增所以当22a -≤≤时，()g x 在R 上递增，则函数()y g x at =-不可能有三个零点， 故只需考虑23a <≤的情况画出()y g x =的大致图象知，要使得函数()y g x at =-有三个零点，只能()22a g g a +⎛⎫> ⎪⎝⎭即()222,4a ta a ⎛⎫+ ⎪∈ ⎪⎝⎭，即存在23a <≤，使得()222,4a t a ⎛⎫+ ⎪∈ ⎪⎝⎭即可 令()()22244244a a a h a aa +++==≥，只要使()maxt h a <⎡⎤⎣⎦即可，而()()max 25312h a h ⎡⎤==⎣⎦ 故25212t <<． 14．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且()f x 在区间(),0-∞上单调递增，()10f -=．设()2cos sin 2g x x m x m =+-，集合()|0,,02M m x g x π⎧⎫⎡⎤=∀∈<⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，集合()|0,,02N m x f g x π⎧⎫⎡⎤=∀∈⎡⎤<⎨⎬⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则MN = ▲ ．【解析】易得()()110f f =-=，，所以()01f x x <⇔<-或01x <<由此()()|0,,1012N m x g x g x π⎧⎫⎡⎤=∀∈<-<<⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭或，所以()|0,,12MN m x g x π⎧⎫⎡⎤=∀∈<-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭即0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，()2cos sin 21g x x m x m =+-<-恒成立即21sin sin 210x m x m -+-+<，即2sin sin 220x m x m -+->令[]sin 0,1t x =∈，则2220t mt m -+->对[]0,1t ∈恒成立，所以2max22t m t ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭令[]21,2t s -=∈，所以()222222422442s t s s s t s s s ----+-⎛⎫===-+≤- ⎪-⎝⎭所以{|4MN m m =>-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）一副直角三角板按下左图拼接，将BCD ∆折起，得到三梭锥A BCD -（下右图）． （1）若,E F 分别为,AB BC 的中点，求证：//EF 平面ACD ； （2）若平面ABC ⊥平面BCD ，求证：平面ABD ⊥平面ACD ．16．（本小题满分14分）如图，在圆内接ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足cos cos 2cos a C c A b B +=．（1）求B ∠的大小；（2）若点D 是劣弧AC 上一点，3,2,1AB BC AD ===，求四边形ABCD 的面积．rr h【解析】（1）方法1设外接圆的半径为R ，则a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入得 2R sin A cos C ＋2R sin C cos A ＝2×2R sin B cos B ，……2分即sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，所以sin B ＝2sin B cos B ．因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以cos B ＝12． ……4分 因为0＜B ＜π，所以B ＝π3．……5分方法2根据余弦定理，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2b ·cos B ， ……2分 化简得cos B ＝12．……4分因为0＜B ＜π，所以B ＝π3． ……5分 （2）在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC＝9＋4－2×3×2×12＝7，所以AC ＝7． ……7分 因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠ADC ＝2π3． ……8分在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos ∠ADC ， 代入得7＝1＋CD 2－2·CD ·(－12)，所以CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2或CD ＝－3（舍）． ……12分所以S ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD＝12AB ·BC sin ∠ABC ＋12AD ·CD sin ∠ADC ＝12×3×2×32＋12×1×2×32＝23．……14分17．（本小题满分14分）某公司拟建造如图所示的蓄水池，其下方是高为h 的圆柱体，上方是以圆柱上底面为大圆的半径为r 的半球体.设计要求，蓄水池总体积为64π3m 3，且h ≥2r .经测算，上方半球形部分每平方米建造费用为c (c ＞3)千元，下方圆柱体的侧面和底面部分平均每平方米建造费用为3千元，设该蓄水池的总建造费用为y 千元.（1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当该蓄水池的总建造费用y 最小时，求半径r 的值.【解析】（1）由题意知πr 2h ＋12×43πr 3＝64π3，故h ＝23(32r 2－r )， ……2分由于h ≥2r ，因此23(32r 2－r )≥2r ，解得0＜r ≤2， ……4分 所以建造费y ＝2πr 2c ＋(2πrh ＋πr 2)×3＝π(2c －1)r 2＋128πr ，定义域为(0，2]. ……6分 （2）由（1）得y ′＝2π(2c －1)(r 3－642c －1)r 2，当642c －1≥8即3＜c ≤92时，y ′≤0恒成立， 此时函数y ＝π(2c －1)r 2＋128πr 在(0，2]上单调递减，因此r ＝2时，总建造费用y 最小；……8分 当642c －1＜8即c ＞92时，令y ′＝0得r ＝3642c －1∈(0，2)， 当0＜r ＜3642c －1时，y ′＜0；当3642c －1＜r ＜2时，y ′＞0， ……10分 所以函数y ＝π(2c －1)r 2＋128πr 在(0，3642c －1)上单调递减，在(3642c －1，2)上单调递增， 所以r ＝3642c －1时，总建造费用y 最小. ……12分 综上所述，当3＜c ≤92时，总建造费用y 最小时，r ＝2m ；当c ＞92时，总建造费用y 最小时，r ＝3642c －1m . ……14分 18．（本小题满分16分）已知椭圆2214x y +=中心为O ，右顶点为M ，过定点(,0)(2)D t t ≠±作直线l 交椭圆于A 、B 两点. （1）若直线l 与x 轴垂直，求三角形OAB 面积的最大值； （2）若65t =，直线l 的斜率为1，求证：90AMB ∠=o ； （3）在x 轴上，是否存在一点E ，使直线AE 和BE 的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点E 的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.【解析】设直线l 与椭圆的交点坐标为1122(,)(,)A x y B x y 、.（1）把x t =代入2214x y +=可得：y =， ……2分则112OAB S OD AD t ∆=⋅=⋅≤，当且仅当t = ……4分（2）由226514y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2125240440x x -+=，1244125x x =，124825x x += ……6分所以 ()()()()1212121266552222AM BMx x y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==----()()1212121263652524x x x x x x x x -++=-++ 44648361255252544482412525-⋅+=-⋅+64164-==-⇒90AMB ∠=o ……9分 （3）当直线l 与x 轴不垂直时，可设直线方程为：()y k x t =-，由22()14y k x t x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得22222(41)8440k x k tx k t +-+-=则21222212208414441k t x x k k t x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩① 又 1122()()y k x t y k x t =-⎧⎨=-⎩ ② 若存在定点(,0)E m 符合题意，且则为非零常数),(s s k k BE AE =⨯ 221212122121212(())()()()AE BEy y k x x t x x t k k s x m x m x x m x x m-++===---++ ……11分 把①、②式代入上式整理得22224()(4)(4)0k s t m t s m ---+-=⎡⎤⎣⎦(其中m t s 、、都是常数) 要使得上式对变量(0)k k ≠恒成立，当且仅当2224()(4)0(4)0(0)s t m t s m s ⎧---=⎪⎨-=≠⎪⎩，解得2±=m ……13分 当2=m 时，定点E 就是椭圆的右顶点(2,0)，此时，24(2)t s t +=-；当2m =-时，定点E 就是椭圆的左顶点(-2,0)，此时，24(2)t s t -=+； ……15分当直线l 与x 轴垂直时，由2214x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得两交点坐标为((,A t B t ，可验证：24(2)AE BE t k k t +=-或24(2)t t -+ 所以，存在一点E (2,0)（或(-2,0)），使直线AE 和BE 的斜率的乘积为非零常数24(2)t t +-（或24(2)t t -+）. ……16分19．（本小题满分16分）设()1212,x x x x ≠是函数()()3220f x ax bx a x a =+->的两个极值点.（1）当0b =时,求函数()f x 的单调递减区间； （2）若12||||x x +=b 的最大值；（3）若12x x x <<，且2x a =，函数()()()1g x f x a x x '=--，求证: ()()213212g x a a ≤+. 【解析】（1）当0b =时，32()f x ax a x =-，'22()3f x ax a ∴=-令'()0f x =，即223ax a =，又0a >，x ∴=……2分列表：()f x ∴的单调减区间为(……4分 （2）由题设，'22()32f x ax bx a =+-12,x x 是()f x 的两个极值点，''12()0,()0,f x f x ∴==即12,x x 是方程22320ax bx a +-=的两个根，234120b a ∴∆=+>对一切0,a b R >∈恒成立，12122,33b ax x x x a ∴+=-⋅=-，又0,a >120x x ∴⋅<1212||||||x x x x ∴+=-== ……7分 223(6)0b a a ∴=-≥，06a ∴<≤设2()3(6)h a a a =-，则'2()369h a a a =-， 令'()0h a =，又06a <≤，得4a =由表可知，max ()(4)96h a h ==，即2maxmax 96,b b =∴= ……10分（3）证明：12,x x 是方程22320ax bx a +-=的两个根，'12()3()()f x a x x x x ∴=--,又122,3a x x x a ⋅=-=113x ∴=-111|()||3()()()||()[3()1]|333g x a x x a a x a x x a ∴=+--+=+--12x x x <<3223221131()()[331]|3()()3333 3()2433(32) .4312a g x a x x a a x x a a aa x a a a a a a +∴=+-++=-+-=--++++≤++=……16分20．（本小题满分16分）已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.（1）若，，（），求证：数列是等比数列；（2）若数列是等比数列，求，的值； （3）若，且，求证：数列是等差数列.……4分（2）若是等比数列，设其公比为（），当时，，即，得，①当时，，即，得，②当时，，即，得，③……6分②-①⨯，得，③-②⨯，得，解得．代入①式，得．此时()，所以，是公比为１的等比数列，故．……8分（3）证明：若，由，得，又，解得．由，，，，代入得，所以，，成等差数列，……10分由，得，两式相减得：即，所以相减得：所以……14分所以，因为，所以，即数列是等差数列.……16分DCBAADCB E江苏省泰州中学2018届高三第四次调研测试数学试题答案 2018.5.26数 学 II （附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．相应的答题区域．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲] （本小题满分10分）如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD 的垂直平分线．已知6,AB CD ==AC 的长度．【解析】连接BC ，,AB CD 相交于点E ．因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90°． 设AE x =，则6EB x =-，由射影定理得CE 2＝AE ·EB ，……5分 又CE (6)5x x -=，解得1x =（舍）或5x =． 所以，AC 2＝AE ·AB ＝5×6＝30，AC = ……10分B ．[选修4—2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知点P (a ，b )，先对它作矩阵M 1212⎡⎢=⎥⎥⎥⎦对应的变换，再作N 2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到的点的坐标为 (8，，求实数a ，b 的值． 【解析】依题意，NM 2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦112⎡⎢⎥⎥⎥⎦11⎡=⎥⎦，由逆矩阵公式得，(NM)1-1414⎡⎢=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，……5分所以185414⎡⎢⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎣⎢⎥⎣⎦，即有5a=，b=……10分C．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为,sin,xyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩其中θ为参数．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πcos()23ρθ+=．求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值.【解析】由πcos()23ρθ+=，得1(cos)22ρθθ=，即l的直角坐标方程为40x-=．……4分因为椭圆C的参数方程为,sin,xyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C上的点到直线l距离π4)42dθ+,……8分所以d的最大值为2+，最小值为2．……10分D．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）定义{},min,a a ba bb a b⎧=⎨>⎩≤，，设{}222min bh aa b=+，，其中a，b均为正实数，证明：h1≤．【解析】因为a，b均为正实数，所以2222abha b+≤．……5分因为222a b ab+≥，所以2221aba b+≤，即21h≤．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF // AB，∠BAF=90º，AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上．（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；PFEDCAB（2）若二面角D -AP -CPF 的长度．【解析】（1）因为∠BAF=90º，所以AF ⊥AB ，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF ∩平面ABCD= AB ，所以AF ⊥平面ABCD ． ……2分 因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -． 所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,2,0)C ．所以 1(,0,1)2BE =-，1(1,1,)2CP =--，所以4cos ,||||BE CP BE CPBE CP ⋅<>==⋅即异面直线BE 与CP ． ……5分 （2）因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =-，(1,2,0)AC =， 所以平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t-=-， 所以，121212||cos ,||||n n n n n n ⋅<>==⋅解得23t =，或2t =（舍）．所以PF =． ……10分 23．（本小题满分10分）已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝4，且对于任意n ∈N *有a n ＋4＝a n ＋3＋a n ＋1＋a n ． （1）求证：任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a 2n ＋a 2n －1； （2）求证：任意n ∈N *，a 2n a 2n ＋2为整数． 证明：（1）因为a 3＝a 2＋a 1，因此n ＝1时，命题成立； 假设n ＝k 时，命题成立，即a 2k ＋1＝a 2k ＋a 2k －1， 则a 2k ＋3＝a 2k ＋2＋a 2k ＋a 2k －1＝a 2k ＋2＋a 2k ＋1， 即n ＝k ＋1时，命题也成立，因此任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a 2n ＋a 2n －1． ……3分 （2）易知a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝4，a 5＝6，a 6＝9，a 7＝15，a 8＝25，a 2a 4＝2，a 4a 6＝6，a 6a 8＝15，猜想a2n a2n＋2＝a2n＋1，n∈N*，……5分证明：当n＝1时，命题成立；假设n＝k时，命题成立，即a2k a2k＋2＝a2k＋1，则a2k＋2a2k＋4＝a2k＋2(a2k＋3＋a2k＋1＋a2k)＝a2k＋2(a2k＋2＋a2k＋1＋a2k＋1＋a2k)＝a2k＋22＋2a2k＋1a2k＋2＋a2k a2k＋2＝a2k＋22＋2a2k＋1a2k＋2＋a2k＋12＝a2k＋2＋a2k＋1＝a2k＋3，即n＝k＋1时，命题也成立，所以a2n a2n＋2＝a2n＋1，n∈N*，又a2n＋1∈N*，因此任意n∈N*，a2n a2n＋2为正整数．……10分21。