最新空间位置关系的判断与证明
空间位置关系的判断与证明板块五平行与垂直关系综合证明学生版
空间位置关系的判断与证明板块五平行与垂直关系综合证明学生版1.平行关系的判断与证明平行关系是指两条直线在同一个平面上永远不会相交。
我们可以利用以下两个判定条件来判断平行关系。
(1)对于任意一点P，如果一条直线l上的一点P到另一条直线m的距离d恒为定值，那么直线l和直线m平行。
(2)如果两条直线分别与一平面中的一条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
为了更好地理解平行关系的证明过程，下面举例说明。
A----BC----D证明过程：首先，我们选择平面内的任意一点P作为参考点，计算点P到直线CD的距离d1，然后计算点P到直线AB的距离d2、如果d1与d2相等，那么可以判断直线AB和CD平行。
进一步，选择平面内的另一条直线EF与直线AB平行，计算EF与CD 的距离d3，再计算EF与CD的距离d4、如果d3与d4相等，那么可以证明直线AB和CD平行。
2.垂直关系的判断与证明垂直关系是指两条直线或一条直线与一个平面之间的关系，它们之间形成一个90度的角。
我们可以利用以下判定条件来判断垂直关系。
(1)如果两条直线的斜率乘积为-1，那么这两条直线是垂直的。
(2)如果一条直线垂直于两个平行线，则这条直线与这两个平行线垂直。
为了更好地理解垂直关系的证明过程，下面举例说明。
C----DA--，--B证明过程：首先，选择平面内与直线AB平行的直线EF，如果EF与CD垂直，那么可以证明直线AB与平面CD平行。
其次，求出直线EF的斜率k1，求出直线CD的斜率k2，计算k1与k2的乘积。
如果k1*k2=-1，那么可以证明直线EF与CD垂直，进而证明直线AB与平面CD平行。
综合证明：C----DA----BE----F证明过程：首先，通过以上平行关系的证明可知直线AB和CD平行，直线EF和CD平行。
然后，通过以上垂直关系的证明可知直线AB和EF垂直，而直线EF和CD平行，所以可以证明直线AB既与直线CD平行，又与直线EF 垂直。
高中数学 空间位置关系的判断与证明 板块二 对空间位置关系的判断完整讲义(学生版)
学而思高中完整讲义：空间位置关系的判断与证明.板块二.对空间位置关系的判断.学生版【例1】 直线和平面所成的角为α，则（ ）A ．090α︒<<︒B ．090α︒︒≤≤C ．090α︒<︒≤D ．090α︒<︒≤【例2】 若直线a ∥平面α，直线b ⊂平面α，则直线a 与b 的位置关系是【例3】 室内有一根直尺，无论怎么放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线A ．异面B ．相交C ．平行D ．垂直【例4】 若不共线的三点到平面α的距离相等，则该三点确定的平面β与α之间的关系为（ ）A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．无法确定【例5】 设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥【例6】 下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ；②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ；③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅；④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅； 【例7】 m ，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两条不同平面，下面有四个命题：①,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥, ②,,;m n m n αβαβ⊥⊥⇒ ③,,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ③,,;m m n n ααββ⊥⇒⊥ 其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）．【例8】 （2009广东五校）在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中，真命题是（ ）A ．若l β⊂，且αβ⊥，则l α⊥B ．若l β⊥，且//αβ，则l α⊥C ．若m αβ=，且l m ⊥，则//l αD ．若l β⊥，且αβ⊥，则//l α 【例9】 （2010年二模·东城·文·题3）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．,m n m n αα⊥⇒⊥∥B ．,,m n m n αβαβ⊂⊂⇒∥∥C ．,m m n n αα⊥⊥⇒∥D ．,,,m n m n ααββαβ⊂⊂⇒∥∥∥【例10】 （2010年二模·宣武·理·题4）已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是典例分析（ ）A ．,m n αβ∥∥且αβ∥，则m n ∥B ．,m n αβ⊥∥且αβ⊥，则m n ⊥C ．,m n m αβ=⊥且αβ⊥，则n α⊥D ．,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥ 【例11】 （2010浙江高考）设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，l m ∥，则m α⊥C ．若l α∥，m α⊂则l m ∥D ．若l α∥，m α∥，则l m ∥【例12】 （2008新课标海南宁夏）已知平面α⊥平面β，l αβ=，点A α∈，A l ∉，直线AB l ∥，直线AC l ⊥，直线m α∥，m β∥，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是（ ） A ．AB m ∥B ．AC m ⊥C ．AB β∥D ．AC β⊥ 【例13】 已知直线m n ，与平面αβ，，下面三个命题中正确的有______． ①m n m n αα⇒∥，∥∥；②m n n m αα⊥⇒⊥∥，；③m m αβαβ⊥⇒⊥，∥．【例14】 （05广东）给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题：①若m α⊂，l A α=，点A m ∉，则l 与m 不共面；②若m 、l 是异面直线，∥l α，∥m α，且n l ⊥，n m ⊥，则n α⊥； ③若∥l α，∥m β，∥αβ，则∥l m ；④若l α⊂，m α⊂，l m =点A ，∥l β，∥m β，则∥αβ．其中为假命题的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【例15】 （2009北江中学）已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若,m m αβ⊥⊂，则αβ⊥；②若m α⊂，,//,//n m n αββ⊂，则αβ∥；③如果,,m n m n αα⊂⊄、是异面直线，则n 与α相交；④若,m n m αβ=∥，且,n n αβ⊄⊄，则n α∥且n β∥．其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【例16】 （05福建卷）已知直线m 、n 与平面，αβ，给出下列三个命题：①若m α⊥，∥n α，则∥m n ②若∥m α，n α⊥，则n m ⊥③若m α⊥，∥m β，则αβ⊥ 其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【例17】 （2010年二模·朝阳·理·题5）已知平面,αβ，直线l α⊥，直线m β⊂，有下面四个命题：①l m αβ⇒⊥∥②l m αβ⊥⇒∥③l m αβ⇒⊥∥④l m αβ⊥⇒∥其中正确的命题是 （ ）A ．①与②B ．③与④C ．①与③D ．②与④【例18】 （2010年二模·海淀·理·题6）已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n α⊥成立的是（ ）A ．αβ⊥，n β⊂B ．//αβ，n β⊥C ．αβ⊥，//n βD ．//m α，n m ⊥【例19】 （2010年二模·丰台·文·题7）设,,a b c 是空间三条不同的直线，,,αβγ是空间三个不同的平面，给出下列四个命题：① 若,a b αα⊥⊥，则ab ； ② 若,αγβγ⊥⊥，则αβ；③ 若,b b αβ⊂⊥，则αβ⊥；④ 若c 是b 在α内的射影，a α⊂且a c ⊥，则a b ⊥．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例20】 （2010年一模·崇文·理·题5）（崇文·文·题6）已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( )A ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥B ．若,,m n αα⊥⊥则m n ∥C ．若,m n αα∥∥，则m n ∥D ．若,,m m αβ∥∥则αβ∥【例21】 （09年西城区期末考试5）已知m 是平面α的一条斜线，点A α∉，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（ ）A ． l m ∥，l α⊥B ． l m ⊥，l α⊥C ． l m ⊥，l α∥D ． l m ∥，l α∥【例22】 （05江苏）设，，αβγ为两两不重合的平面，，，l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若αγ⊥，βγ⊥，则∥αβ；②若m α⊂，n α⊂，∥m β，∥n β，则∥αβ； ③若∥αβ，l α⊂，则∥l β；④若l αβ=，m βγ=，n γα=，∥l γ，则∥m n ．其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例23】 （2008浙江）对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得（ ）A ．a α∈，b α∈B ．a α⊂，b α∥C ．a α⊥，b α⊥D ．a α⊂，b α⊥【例24】 （2009江苏12）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）【例25】 （2007湖南文6）如图，在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则以下结论中不成立的是（ ）A ．EF 与1BB 垂直B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与11A C 异面【例26】 （2010年二模·海淀·文·题7）在正四面体A BCD -中，棱长为4，M 是BC 的中点，P 在线段AM 上运动（P 不【例27】 （2008崇文一模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是1D D 的中点，N 是11A B 上的动点，则直线NO 、AM 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直【例28】 （2009山东文9）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例29】 对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（ ）A ．如果，m n αα⊂⊄，m 、n 是异面直线，那么∥n αB ．如果，m n αα⊂⊄，m 、n 是异面直线，那么与n α相交C ．如果，∥m n αα⊂，m 、n 共面，那么∥m nD ．如果∥，∥m n αα，m 、n 共面，那么∥m n【例30】 （2009福建文10）设m n ，是平面α内的两条不同直线；1l ，2l 是平面β内的两条相交直线．则αβ∥的一个充分而不必要的条件是（ ）A ．m β∥且1l α∥B ．1m l ∥且2n l ∥C ．m β∥且n β∥D ．m β∥且2n l ∥ 【例31】 已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 ．①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线③同一条直线 ④一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）．【例32】 （2007西城高三期末）在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则∥αβ；④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．其中正确的两个命题是（ ）A ．①、③B ．①、④C ．②、④D ．②、③【例33】 两个平面平行的条件是（ ）A ．一个平面内一条直线平行于另一个平面B ．一个平面内两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面【例34】 （2009江苏12）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）【例35】 （05年北京卷6）在正四面体P ABC -中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（ ） A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC【例36】 判断下面命题的正误：⑴一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．⑵如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直． ⑶垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．⑷过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．⑸如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面． 【例37】 （2010年一模·朝阳·文·题8）如图，设平面,,EF AB CD αβαα=⊥⊥，垂足分别为,B D ，且AB CD ≠，如果增加一个条件就能推出BD EF ⊥，给出四个条件：①AC β⊥；②AC EF ⊥；③AC 与BD 在β内的正投影在同一条直线上；④AC 与BD 在平面β内的正投影所在直线交于一点． 那么这个条件不可能．．．是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③ D ．④【例38】 （2009四川）如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，则下列结论正确的是（ ）A ．PB AD ⊥ B ．平面PAB ⊥平面PBCC ．直线∥BC 平面PAED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45︒ 【例39】 （2010年一模·西城·理·题8）如图，平面α⊥平面β，αβ=直线l ，,A C 是α内不同的两点，,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l ，,M N 分别是线段,AB CD 的中点．下列判断正确的是（ ）A ．当||2||CD AB =时，,M N 两点不可能重合B ．,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交C ．当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交D ．当,AB CD 是异面直线时，直线MN 可能与l 平行。
空间位置关系的判断与证明.板块四.垂直关系的判断与证明.学生版
【例1】 下列说法正确的有 ．①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面．⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．【例2】 在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有 个．【例3】 已知在三棱锥A BCD -中AC AD =，BD BC =，求证：AB ⊥CD ．ABCDE【例4】 如图，已知三棱锥P ABC -，90ACB ∠=，D 为AB 的中点，且PDB ∆是正三角形，PA ⊥PC ．求证：⑴ PA ⊥面PBC ；⑵平面PAC ⊥平面ABC ．DPABC【例5】 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．典例分析板块四.垂直关系的判断与证明EBCFDGSA【例6】如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥底面ABCD，60AB AD AC CD ABC⊥⊥∠=，，°，PA AB BC==，E是PC的中点．证明：面ABE⊥面PCD．【例7】如图，四面体P ABC-，PA⊥面ABC，AB⊥BC，过A作AE⊥PB交PB于E，过A作AF⊥PC交PC于F．求证：PC⊥EF．FEPA BC【例8】如图O是正方体下底面ABCD中心，B H D O''⊥，H为垂足．求证：B H'⊥平面AD C'．【例9】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D-中．．求证：1BD⊥面1AB C．A1D1C1B1DCBA【例10】 在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1AA ，1CC 上且1BE A B ⊥，1BF BC ⊥，求证：1BD ⊥面BEF【例11】 在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心．求证：1B O ⊥面PAC ．【例12】 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，M ，N 分别为PC ，AB 的中点．⑴求证：MN ∥平面PAD ；⑵若45PDA ∠=，求证：MN ⊥面PCD ．QPD CAMN【例13】 已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160A AB A AD ∠=∠=．求证：1CC ⊥BD ．OABCD A 1B 1C 1D 1【例14】 （2008深圳高三联考）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形ABCD满足条件 时，有111AC B D ⊥．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）D 1C 1B 1A 1DCBA【例15】 如图，A 、B 、C 、D 是空间四点，在ABC △中，2AB =，AC BC ==边ADB △所在的平面以AB 为轴可转动．当ADB △转动过程中，是否总有AB CD ⊥？请证明你的结论ABC DO【例16】 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点，问当点N 位于AB 上何处时，1MN MC ⊥？【例17】 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，90ACB ∠=︒，1AA =，D 是11A B 的中点．⑴求证1C D ⊥平面1A B ；⑵当点F 在1BB 上什么位置时，会使得1AB ⊥平面1C DF ？并证明你的结论．C 1B 1A 1FEDC B A【例18】 （2000全国，文19）如图已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠．⑴ 证明1C C BD ⊥；⑵ 当1CD CD 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明．图 9-2-284D 1A 1C 1B 1DCBA【例19】 已知四面体ABCD ，①若棱AB CD ⊥，求证2222AC BD AD BC +=+②若2222AC BD AD BC +=+，求证棱AB CD ⊥．【例20】 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的中点，DE AP ⊥于E ．⑴求证：AP ⊥平面BDE ；⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．【例21】 （2009扬州中学高三期末）在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，22PA AB ==． ⑴求四棱锥P ABCD -的体积V ；⑵若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ．【例22】 （2003京皖春）如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2侧棱长为4．E F ，分别为棱AB BC ，的中点，EF BD G =． ⑴求证：平面1B EF ⊥平面11BDD B ； ⑵求点1D 到平面1B EF 的距离d ； ⑶求三棱锥11B EFD -的体积V ．D 1C 1B 1A 1GFEDCB A。
空间位置关系的判断与证明.板块二.对空间位置关系的判断
空间位置关系的判断与证明对空间位置关系的判断【例1】 直线和平面所成的角为α，则（ ）A ．090α︒<<︒B ．090α︒︒≤≤C ．090α︒<︒≤D ．090α︒<︒≤【例2】 若直线a ∥平面α，直线b ⊂平面α，则直线a 与b 的位置关系是【例3】 室内有一根直尺，无论怎么放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线A ．异面B ．相交C ．平行D ．垂直【例4】 若不共线的三点到平面α的距离相等，则该三点确定的平面β与α之间的关系为（ ）A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．无法确定【例5】 设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥【例6】 下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ；②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅；④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例7】 m ，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两条不同平面，下面有四个命题：①,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥, ②,,;m n m n αβαβ⊥⊥⇒ ③,,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ③,,;m m n n ααββ⊥⇒⊥ 其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）．【例8】 （2009广东五校）在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中，真命题是（ ）A ．若l β⊂，且αβ⊥，则l α⊥B ．若l β⊥，且//αβ，则l α⊥C ．若m αβ=，且l m ⊥，则//l αD ．若l β⊥，且αβ⊥，则//l α【例9】 （2010年二模·东城·文·题3）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β错误！未找到引用源。
空间点、直线、平面之间的位置关系5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测
专题32空间点、直线、平面之间的位置关系5题型分类1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．2．“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．空间中直线与直线的位置关系异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a ∩α＝A 1个平行a ∥α0个在平面内a ⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l 无数个5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．6．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)，π2.常用结论1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．（一）共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(1)证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)证明GE ，FH ，1BB 相交于一点．1-3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体(1)求证：1CE D F DA ，，三线交于点(2)在（1）的结论中，G 是D （二）(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．(2)求异面直线所成角的方法方法解读平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解题型2：空间位置关系的判断都相交，则直线A ．2GH EF=C ．直线EF ，GH 是异面直线2-3．【多选】（2024·湖北荆门A ．若l αβ= ，A α∈B ．若A ，B ，C 是平面C ．若A α∈且B α∈，则直线D ．若直线a α⊂，直线2-4．（2024·上海长宁·二模）如图，已知正方体则下列命题中假命题为（A ．存在点P ，使得PQ ⊥B ．存在点P ，使得//PQ AC ．直线PQ 始终与直线CC（1）直线AF 与直线DE 相交；（2）直线CH 与直线DE 平行；（3）直线BG 与直线DE 是异面直线；（4）直线CH 与直线BG 成3-2．（2024高三·全国·课后作业）已知正四面体小为．3-3．（2024高三·河北·学业考试）如图直线1A E 与BF 所成角的大小为3-4．（2024高一下·北京·期末）如图，等腰梯形112BC CD DA AB ====，则直线3-5．（2024高三·全国·对口高考）线段AB 的两端分别在直二面角CD αβ--的两个面αβ、内，且与这两个面都成30︒角，则直线AB 与CD 所成的角等于．（三）空间几何体的切割(截面)问题(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．A ．177B ．134-2．（2024·河南·模拟预测）在正方体确的个数为（）①//MN 平面11AAC C ；②MN①异面直线1D D与AF所成角可以为②当G为中点时，存在点③当E，F为中点时，平面④存在点G，使点C与点则上述结论正确的是（A．①③B．②④4-5．（2024·新疆·二模）已知在直三棱柱BC=，432AC=，如图所示，若过的面积为（）（四）等角定理的应用空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．一、单选题-如图所示，则直线PC（）1．（2024高三·北京·学业考试）四棱锥P ABCDA．与直线AD平行B．与直线AD相交C ．与直线BD 平行D ．与直线BD 是异面直线2．（2024·广东）若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A ．l 与1l ，2l 都相交B ．l 与1l ，2l 都不相交C ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交D ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交3．（2024高一·全国·课后作业）若直线l 在平面α外，则l 与平面α的公共点个数为（）A ．0B ．0或1C ．1D ．24．（2024·上海·模拟预测）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P Q R S ､､､分别为棱1AB BC BB CD ､､､的中点，连接11A S B D ､，对空间任意两点M N ､，若线段MN 与线段11A S B D ､都不相交，则称M N ､两点可视，下列选项中与点1D 可视的为（）A ．点PB ．点QC ．点RD ．点B5．（2024高二上·四川乐山·期末）若直线l 与平面α有两个公共点，则l 与α的位置关系是（）A ．l ⊂αB ．//l αC ．l 与α相交D ．l α∈6．（2024高二上·上海静安·阶段练习）设A B C D 、、、是某长方体四条棱的中点，则直线AB 和直线CD 的位置关系是（）.A ．相交B ．平行C ．异面D ．无法确定7．（2024高三·全国·专题练习）如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（）A．12对B．24对C．36对D．48对8．（2024高三·全国·专题练习）三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为（）A．18B．21C．24D．279．（2024高一·全国·课后作业）平面α上有三个不共线点到平面β距离相等，则平面α与平面β的位置关系是（）A．相交B．平行C．垂直D．相交或平行10．（2024高一·全国·课前预习）下列命题中正确的是（）A．一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B．如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行D．如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行G N M H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或11．（2024高三·全国·专题练习）如图中,,,,GH MN是异面直线的图形有（）所在棱的中点，则表示直线,A．①③B．②③C．②④D．②③④12．（2024高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线l和平面α，若lα∥，Pα∈，则过点P且平行于l的直线（）．A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，一定在平面α内D．有无数条，不一定在平面α内13．（2024高三·全国·专题练习）将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图(2)，则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是（）A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直14．（2024高三上·吉林长春·期末）如图，在底面为正方形的棱台1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为棱1CC ，1BB ，CF ，AF 的中点，对空间任意两点M 、N ，若线段MN 与线段AE 、1BD 都不相交，则称点M 与点N 可视，下列选项中与点D 可视的为（）A ．1B B ．FC ．HD ．G15．（2024·全国）在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π616．（上海市曹杨中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段11A C 上的动点，下列与BP 始终异面的是（）A ．1DDB ．AC C ．1AD D ．1B C17．（2024·福建福州·三模）在底面半径为1的圆柱1OO 中，过旋转轴1OO 作圆柱的轴截面ABCD ，其中母线AB =2，E 是弧BC 的中点，F 是AB 的中点，则（）A ．AE =CF ，AC 与EF 是共面直线B ．AE CF ≠，AC 与EF 是共面直线C ．AE =CF ，AC 与EF 是异面直线D ．AE CF ≠，AC 与EF 是异面直线18．（2024高二下·广西桂林·期中）已知直线m ⊂平面α，则“平面α∥平面β”是“m ∥β”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件19．（2024·新疆阿克苏·一模）已知M ，N ，P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，1AA ，1CC 的中点，则平面MNP 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面是（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形20．（2023届上海春季高考练习）如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -边11AC 上的动点，下列哪条边与边BP 始终异面（）A ．1DDB ．AC C ．1AD D ．1B C21．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知空间三条直线,,l m n ，若l 与m 异面,且l 与n 异面,则（）A ．m 与n 异面B ．m 与n 相交C ．m 与n 平行D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能22．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中正确的个数为（）①若ABC ∆在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P Q R 、、，则P Q R 、、三点共线.②若三条直线a b c 、、互相平行且分别交直线l 于、、A B C 三点，则这四条直线共面；③空间中不共面五个点一定能确定10个平面.A ．0B ．1C ．2D ．323．（2024高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（）A ．两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线.B ．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.C ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.D ．若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则α内的所有直线与a 异面.24．（2024高三·全国·专题练习）给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是（）A ．①B ．①④C ．②③D ．③④25．（2024·上海浦东新·一模）已知直线l 与平面α相交，则下列命题中，正确的个数为（）①平面α内的所有直线均与直线l 异面；②平面α内存在与直线l 垂直的直线；③平面α内不存在直线与直线l 平行；④平面α内所有直线均与直线l 相交.A ．1B ．2C ．3D ．426．（2024高一·全国·课后作业）直线l 是平面α外的一条直线，下列条件中可推出//l α的是A ．l 与α内的一条直线不相交B ．l 与α内的两条直线不相交C ．l 与αD ．l 与α内的任意一条直线不相交27．（2024高三下·上海·阶段练习）如图所示，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为1，点P 、M 、N 分别为棱1AA 、AB 、11A B 的中点，点Q 为线段MN 上的动点．当点Q 由点N 出发向点M 运动的过程中，以下结论中正确的是（）A ．直线1C Q 与直线CP 可能相交B ．直线1C Q 与直线CP 始终异面C ．直线1C Q 与直线CP 可能垂直D ．直线1C Q 与直线BP 不可能垂直28．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是棱11A D ，11D C ，AB 的中点，Q 是线段MN 上的动点，则下列直线中，始终与直线PQ 异面的是（）A ．1AB B ．1BC C ．1CAD ．1DD 29．（2024高一上·全国·专题练习）M ∈l ，N ∈l ，N ∉α，M ∈α，则有A ．l ∥αB ．l ⊂αC ．l 与α相交D ．以上都有可能30．（2024高三上·重庆沙坪坝·期中）在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点Р是侧面11ADD A 上的点，且点Р到棱1AA 与到棱AD 的距离均为1，用过点Р且与1BD 垂直的平面去截该正方体，则截面在正方体底面ABCD 的投影多边形的面积是（）A ．92B ．5C ．132D ．831．（2024高三下·上海闵行·阶段练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，对于如下命题：①异面直线1DD 与1B F ②点P 为正方形1111D C B A 内一点，当//DP 平面1B EF 时，DP 的最小值为322；③过点1D ，E ，F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O ．则正确的命题个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．432．（2024高三·全国·对口高考）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP x =，则当[]1,5x ∈时，函数()y f x =的值域为（）A ．36,66⎡⎤⎣⎦B ．6,26⎡⎣C ．(6D ．(0,36二、多选题33．（2024高一下·辽宁营口·阶段练习）有下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题是（）A ．①B ．②C ．③D ．④34．（2024高一下·江苏苏州·阶段练习）下列命题中错误的是（）A ．空间三点可以确定一个平面B ．三角形一定是平面图形C ．若A ，B ，C ，D 既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D ．四条边都相等的四边形是平面图形35．（2024·河北廊坊·模拟预测）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题，在空间中仍然成立的有（）A ．平行于同一条直线的两条直线必平行B ．垂直于同一条直线的两条直线必平行C ．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补D ．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补36．（2024高一下·陕西西安·期中）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，则下列四个结论正确的是（）A ．直线AM 与1CC 是相交直线B ．直线AM 与BN 是平行直线C ．直线BN 与1MB 是异面直线D ．直线AM 与1DD 是异面直线37．（2024高一·全国·课后作业）下列结论中正确的是（）A ．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B ．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C ．若点A 既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b ，且点A 在b 上D ．任意两条直线不能确定一个平面38．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，设P ，Q 分别为11A B ，1DD 的中点，则过点P ，Q 的平面α截正方体所得截面的形状可能为（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形39．（2024高一下·湖北武汉·期末）当三个平面都平行时，三个平面可将空间分成4个部分，那么三个平面还可将空间分成（）部分．A ．5B ．6C ．7D ．840．（2024高三下·山东日照·阶段练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（）A ．线段11B D 上存在点E 、F 使得//AE BF B ．//EF 平面ABCDC ．AEF △的面积与BEF △的面积相等D ．三棱锥A -BEF 的体积为定值三、填空题41．（2024高三·全国·专题练习）给出下列四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面α内的一条直线a 与平面β内的一条直线b 相交，则α与β相交；③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；④若三条直线两两相交，则这三条直线共面.其中真命题的序号是.42．（2024高一下·全国·课后作业）已知直线MN ⊥平面α于N ，直线NP MN ⊥，则NP 与平面α的关系是．43．（2024高一·全国·课后作业）如图，把下列图形的点、线、面的关系，用集合的语言表述：（1）；（2）；（3）．44．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若70α=︒，则β=．45．（2024高二下·上海虹口·期末）在空间，如果两个不同平面有一个公共点，那么它们的位置关系为．46．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是.47．（2024高二上·上海徐汇·阶段练习）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，（1）直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是；（2）直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是；（3）直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是；（4）直线AB 与直线B 1C 的位置关系是．48．（2024高二上·上海徐汇·阶段练习）设A ∠和B ∠的两边分别平行，若45A ∠=︒，则B ∠的大小为.49．（2024高一·全国·课后作业）“直线l 与平面α没有公共点”是“l α∥”的条件．50．（2024高一下·全国·课后作业）在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有个.52．（2024高一·全国·单元测试）若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a 与α的位置关系是．53．（2024高二上·上海奉贤·阶段练习）如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一小块，八个顶“阿基米德多面体”，则异面直线AB 与CD 所成角的大小是四、解答题54．（2024高一·全国·课后作业）已知：l ⊂α，D α∈，∈A l ，B l ∈，C l ∈，D l ∉．求证：直线,,AD BD CD 共面于α．55．（2024高一·全国·课后作业）如图，ABCD 为空间四边形，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，点G ，H 分别在CD ，AD 上，且13DH AD =，13DG CD =．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：EH ，FG 必相交且交点在直线BD 上．56．（2024高一下·北京·期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且1:1:2CE EC =．(1)试画出过1,,D A E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面α；(2)证明：平面1D AE 与平面ABCD 相交，并指出它们的交线．57．（2024高一·全国·课后作业）如图所示是一个三棱锥，欲过点P 作一个截面，使得截面与底面平行，该怎样在侧面上画出截线？58．（2024高一·全国·课后作业）59．（2024高一下·全国·课后作业）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点.求证:平面ACC 1A 1与平面BEF 相交.60．（2024高一上·安徽亳州·期末）如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：（1）E ，C ，D 1，F 四点共面；（2）CE ，D 1F ，DA 三线共点．61．（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别在,,,AB AD BC CD 上，EG 与FH 交于点P ，求证：,,P A C 三点共线.62．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是AB 和1AA 的中点，求证：四边形1FECD 为平面图形．63．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且::1:2BG GC DH HC ==.求证：(1)E ､F ､G ､H 四点共面；(2)EG 与HF 的交点在直线AC 上.64．（2024高二·上海·专题练习）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．画出平面11ACC A 与平面1BC D 及平面1ACD 与平面1BDC 的交线．65．（2024高一·全国·专题练习）如图，直升机上一点P 在地面α上的正射影是点A (即PA ⊥α)，从点P 看地平面上一物体B (不同于A )，直线PB 垂直于飞机玻璃窗所在的平面β．求证：平面β必与平面α相交．66．（2024高一·全国·专题练习）如图，已知平面,αβ，且l αβ= ，设在梯形ABCD 中，AD BC ∕∕，且,AB CD αβ⊂⊂.求证：,,AB CD l 共点．67．（2024高一下·河南信阳·期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1,AB AA 上的点，且12,2A F FA BE AE ==.(1)证明：1,,,E C D F 四点共面；(2)设1D F CE O ⋂=，证明：A ，O ，D 三点共线.68．（2024高一下·陕西西安·期中）（1）已知直线a b ∥，直线l 与a ，b 都相交，求证：过a ，b ，l 有且只有一个平面；（2）如图，在空间四边形ABCD 中，H ，G 分别是AD ，CD 的中点，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，且13CF AE FB EB ==.求证：直线EH ，BD ，FG 相交于一点.。
2025高考数学二轮复习空间位置关系的判断与证明
A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCD
B.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1
C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCD
D.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1
解析 如图,连接AD1,则AD1经过点M,且M为AD1的中点.
又N为BD1的中点,所以MN∥AB.
面 AA1B1B,所以 AD⊥BE,又 AD∩AB1=A,所以 BE⊥平面 AB1C1D,所以 AE 为 AB
在平面 AB1C1D 内的射影,则 AB 与平面 AB1C1D 所成的角为∠B1AB,又 AB= 2,
所以
1
tan∠B1AB=
=
1
2
=
2
,所以∠B1AB≠30°,B 错;因为
2
所以 AC≠CB1,C 错;由 DC⊥平面 BB1C1C,
由题意可知
2
πrl=2πr ,即
=
1
,所以
2
cos
1
θ= ,故
2
π
θ= .
3
突破点三 立体几何中的动态问题
[例3]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,给出以下3
个结论:
①三棱锥D-BPC1的体积为定值;②异面直线C1P与CB1所成的角为定值;③
二面角P-BC1-D的大小为定值.其中正确结论有( D )
又MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.
易知AB不垂直于平面BDD1B1,所以MN不垂直于平面BDD1B1.
在正方体ABCD -A1B1C1D1中,AB⊥平面ADD1A1,
∵A1D⊂平面ADD1A1,∴AB⊥A1D.
空间位置关系的判断与证明
空间中的线面关系要求层次重难点空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点在此平面．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理1，公理2，公理3，公理4，定理*A高考要求模块框架空间位置关系的判断与证明垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．知识内容1．集合的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ∉； 点A 在平面α，记作：A α∈；点A 不在平面α，记作A α∉； 直线l 在平面α（即直线上每一个点都在平面α），记作l α⊂； 直线l 不在平面α（即直线上存在不在平面α的点），记作l α⊄； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =；平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=．2．平面的三个公理：⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点都在这个平面． 图形语言表述：如右图：符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图，符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α， 使,,A B C ααα∈∈∈．⑶ 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图：符号语言表述：,A a A a αβαβ∈⇒=∈．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．3．平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面，那么我们说它们共面．<教师备案>1．公理１反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面．2．公理２可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的．要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平面经过它们． 确定一个平面的意思是有且仅有一个平面．3．公理３反应了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到．4．平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都可以由这三个公理得到．推论１与２直接在直线上取点，利用公理１与２便可得到结论，推论３是由平行的定义得到存在性的，再由公理２保证唯一性．线线关系与线面平行1．平行线：在同一个平面不相交的两条直线．平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．2．空间中两直线的位置关系： ⑴共面直线：平行直线与相交直线； ⑵异面直线：不同在任一平面的两条直线．3．空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．如右图中的空间四边形ABCD ，它有四条边,,,AB BC CD DA ，两条对角线,AC BD ． 其中,AB CD ；,AC BD ；,AD BC 是三对异面直线．DCBA4．直线与平面的位置关系：⑴直线l 在平面α：直线上所有的点都在平面，记作l α⊂，如图⑴；⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵； ⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．l3()2()1()lAαααl5．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面的一条直线和平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒． 图象语言表述：如右图：mlα6．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒．图象语言表述：如右图：βαl m<教师备案>1．画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行； 2．等角定理证明：已知：如图所示，BAC ∠和B A C '''∠的边//AB A B ''，//AC A C ''，且射线AB与A B ''同向，射线AC 与A C ''同向． 求证：BAC B A C '''∠=∠证明：对于BAC ∠和B A C '''∠在同一平面的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面的情形．分别在BAC ∠的两边和B A C '''∠的两边上截取线段AD AE 、和A D A E ''''、，使,AD A D AE A E ''''==，因为//''AD A D ，所以AA D D ''是平行四边形 所以//AA DD ''．同理可得//AA EE ''，因此//DD EE ''． 所以DD E E ''是平行四边形． 因此DE D E ''=． 于是ADE A D E '''∆≅∆． 所以BAC B A C '''∠=∠．E'E DC BAA'D 'B 'C '3．根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线成的角．异面直线所成角的围是π(0,]24．线面平行判定定理（,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒），即线线平面，则线面平行． 要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（//l m ），所以它们可以确定一个平面β，β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线m 上，从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．5．线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，这平行的定义立即可得（共面且无交点）．面面平行的判定与性质1．两个平面的位置关系⑴两个平面,αβ平行：没有公共点，记为//αβ；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：⑵两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=．2．两个平面平行的判定定理：如果一个平面有两条相交直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行．符号语言表述：,,,//,////a b a b A a b ααββαβ⊂⊂=⇒．推论：如果一个平面有两条相交直线分别平行于另一个平面的两条相交直线，则这两个平面平行．3．两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒．图象语言表述：如右图：γbaβα<教师备案>1．画两个平面相交时，可以先画出交线，再补充其它，平面被遮住的部分画成虚线或不画． 如右图所示：2．面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到，如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾．故这两个平面不相交，是平行平面．3．面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到．4．在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论．由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心容，因此在出题时经常会有所结合，本板块专门就平行知识的题目类型归纳，更综合的题目会在第十一讲中详细讲解．由于线面与面面问题之间都是互相转化的，因此本板块中的面面平行题目较少，多数都为线面平行问题．本板块题目多采用两种方法，事实上就是两种思路证明线面平行，一种方法线线平行⇒线面平行，另一种方法是面面平行⇒线面平行．线面垂直1．线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直．2．直线与平面垂直：⑴概念：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面的任意一条直线垂直．画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如右图．lα直线l与平面α互相垂直，记作lα⊥．⑵线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．⑶线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．<教师备案>1．如果定义了异面直线所成角，则异面垂直即异面直线所成角为90︒．2．线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断．nmA'EDCB Aβα要证明判定定理，只能用定义，若',',AA m AA n m n B ⊥⊥=，,m n α⊂，要证'AA α⊥，在平面α任选一条直线g ，去证'AA g ⊥，结合右图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略． 3．线面垂直的性质定理，可以用同一法证明， 如图：laABm'mβα直线,l m αα⊥⊥，若直线,l m 不平行，则过直线l 与平面α的交点B 作直线'//m l ，从而有'm α⊥．又相交直线,'m m 可以确定一个平面β，记a αβ=，则因为,'m m 都垂直于平面α，故,'m m 都垂直于交线a ．这与在一个平面，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故,'m m 重合，//m l ，性质定理得证．由同一法还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条．点面距离与线面角 （一）主要方法：本板块所学容为点面距离与线面角，求点面距离有两种方法，首先可以通过直接法作面的垂线，其次可以通过体积法转化，或者将问题转化为与面平行的直线上的点到面的距离；线面角问题属于线面关系的一种，是线面垂直与面面垂直定理的应用． １．点、斜线、斜线段及射影⑴点在直线上的射影自点A 向直线l 引垂线，垂足1A 叫做点A 在直线l 上的射影．点A 到垂足的距离叫点到直线的距离．⑵点在平面的射影自点A 向平面α引垂线，垂足1A 叫做点A 在平面α的射影，这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到这个平面的距离．.. . . .. . . . .v ⑶斜线在平面的射影一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点和斜足间的线段，叫做这点到平面的斜线段．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这平面的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面的射影．2．直线和平面所成的角直线和平面所成的角，应分三种情况：⑴直线和平面斜交时，线面所成的角是这条直线和它在平面的射影所成的锐角；⑵直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90；⑶直线和平面平行或在平面时，直线和平面所成的角的大小为0．显然，直线和平面所成的角的围为0,90⎡⎤⎣⎦．由此可见，一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题），是通过斜线在平面的射影转化成两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：⑴作——作出斜线与射影所成的角；⑵证——论证所作（或找到）的角就是要求的角；⑶算——常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带作用。
空间几何的位置关系与证明
空间几何的位置关系与证明空间几何是研究空间中点、线、面等几何要素之间的位置关系的学科，广泛应用于建筑、工程、地理等领域。
在空间几何中，我们需要通过证明来得出准确的结论。
本文将介绍一些空间几何中的常见位置关系，并通过证明来解释它们。
一、点到点的位置关系在空间几何中，两个点之间可以存在不同的位置关系，常见的有以下几种情况：1. 两点重合：当两个点的坐标完全相同时，它们重合在同一个位置上。
我们可以通过计算两点的坐标来证明它们重合。
2. 两点重叠：当两个点的位置非常接近但不完全相同时，我们称它们为重叠。
通常我们需要通过测量两点之间的距离来证明它们的位置关系。
3. 两点相离：当两个点的位置远离并没有任何交集时，它们相离。
我们可以通过计算两点之间的距离来证明它们的位置关系。
二、线到线的位置关系在线到线的位置关系中，我们通常关注两条直线之间的相交情况。
下面是一些常见的情况：1. 直线相交：当两条直线在空间中相交于一个点时，我们称它们为相交。
要证明直线相交，我们可以找到它们的交点，并证明该交点在两条直线上。
2. 直线平行：当两条直线在空间中没有交点且始终保持相同的方向时，我们称它们为平行。
要证明直线平行，我们可以通过比较它们的斜率或者通过使用平行公理来证明。
3. 直线重合：当两条直线完全重合时，它们是同一条直线。
证明直线重合可以通过比较它们的方程或者通过验证它们上的两个点是否相同。
三、点到直线的位置关系点与直线之间的位置关系也是空间几何中的重要内容。
以下是一些常见的情况：1. 点在线上：当一个点与一条直线重合时，我们可以说该点在线上。
要证明一个点在线上，我们可以将该点的坐标代入直线的方程中，如果等式成立，则说明该点在线上。
2. 点在线上方或下方：对于一条直线，我们可以将它分为上方和下方两个区域。
对于一个点，如果它的纵坐标大于直线上所有点的纵坐标，我们称该点在直线上方；如果它的纵坐标小于直线上所有点的纵坐标，我们称该点在直线下方。
空间位置关系学习空间位置关系的表达和判断
空间位置关系学习空间位置关系的表达和判断空间位置关系是描述不同物体或事物在空间中相对位置的概念。
学习空间位置关系的表达和判断对于我们理解和应用空间概念具有重要的意义。
本文将介绍空间位置关系的基本概念及其表达方式，并探讨如何准确地判断空间位置关系。
一、空间位置关系的基本概念在学习空间位置关系之前，我们需要了解一些基本概念。
首先是“方向”，指的是物体朝向的某个确定的位置，常用的方向词有上、下、左、右、前、后等。
其次是“位置”，是指物体在空间中相对于其他物体或参考点的位置。
再次是“距离”，表示两个物体之间的间隔或接近程度。
二、空间位置关系的表达方式1. 方位词法：方位词法是一种常用的表达空间位置关系的方式。
通过使用方位词，我们可以清晰地描述物体在空间中的位置。
例如，“在左边”、“在右上方”、“在正中间”等。
2. 坐标法：坐标法是一种数学上常用的表达空间位置关系的方式。
通过设定一个固定的坐标系，我们可以用坐标来表示每个物体在该坐标系中的位置。
例如，在二维平面坐标系中，可以用(x, y)来表示一个物体的位置。
3. 图形法：图形法是一种直观的表达空间位置关系的方式。
通过绘制图形或示意图，我们可以更清楚地展示物体在空间中的相对位置。
例如，利用平面地图或建筑图纸等来描述物体的位置关系。
三、准确判断空间位置关系的方法1. 视觉判断法：视觉判断是一种通过观察物体位置和方向来判断空间位置关系的方法。
我们可以通过眼睛观察物体的位置、方向、距离等特征，来判断物体之间的相对位置关系。
2. 使用工具辅助判断法：有时候，我们可以借助一些工具来辅助判断空间位置关系，例如使用直尺、量角器等。
这些工具可以帮助我们更准确地测量和判断物体的空间位置关系。
3. 利用数学计算法：当遇到一些复杂的空间位置关系问题时，我们可以利用数学方法或计算机模拟来进行计算和判断。
通过建立几何模型或编写程序，我们能够准确地判断物体的位置关系。
四、应用案例1. 导航系统：现代导航系统利用卫星定位技术和地图信息，可以帮助我们准确地确定自己的位置和目的地的位置，实现导航功能。
空间点、直线、平面之间的位置关系-高考复习
2．空间中两条直线的位置关系 (1)位置关系分类 位置关系共面直线相 平交 行直 直线 线： ：在 在同 同一 一平 平面 面内 内， ，有 没且 有只 公有 共一 点个公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)基本事实 4 和定理 ①基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线 □01 平行 ． ②定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个 角 □02 相等或互补 ．
(2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线．
证明 (2)在正方体 AC1 中，设平面 A1ACC1 为 α，平面 BDEF 为 β. ∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又 Q∈EF，∴Q∈β， ∴Q 是 α 与 β 的公共点，同理，P 是 α 与 β 的公共点，∴α∩β＝PQ. 又 A1C∩β＝R，∴R∈A1C. ∴R∈α，且 R∈β，∴R∈PQ， ∴P，Q，R 三点共线．
2．(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为 所在棱的中点，M，N 为正方体的顶点．则满足 MN⊥OP 的是( )
答案 BC
解析 设正方体的棱长为 2，对于 A，如图 1 所示，连接 AC，则 MN∥AC， 故∠POC 或其补角为异面直线 OP，MN 所成的角，在直角三角形 OPC 中， ∠PCO＝90°，则∠POC≠90°，故 MN⊥OP 不成立，故 A 错误；对于 B， 如图 2 所示，取 MT 的中点为 Q，连接 PQ，OQ，则 PQ⊥MN，OQ∥TD， 由正方体 SBCN－MADT 可得 TD⊥平面 SNTM，故 OQ⊥平面 SNTM，又 MN ⊂ 平面 SNTM，所以 OQ⊥MN，而 OQ∩PQ＝Q，所以 MN⊥平面 OPQ，而 OP⊂ 平面 OPQ，故 MN⊥OP，故 B 正确；对于 C，如图 3，连接 BD，则 BD∥MN，由 B 的判断可得 OP⊥BD，故 OP⊥MN，故 C 正确；对于 D，如
空间位置关系的判断与证明(题型归纳)
空间位置关系的判断与证明【考情分析】1.考查特点:高考对此部分内容主要以选择题、填空题、解答题第一问的形式考查,难度为中档,主要考查空间中的点、线、面之间的位置关系,重点考查线、面平行与垂直的特殊位置关系的判定与性质,也常与充分必要条件相结合命题.2.关键能力:空间想象能力、逻辑思维能力.3.学科素养:直观想象、逻辑推理.【题型一】空间点、线、面的位置关系【题组练透】1．（2021·山东省实验中学高三模拟）若l ，m 为两条不同的直线，α为平面，且l α⊥，则“//m α”是“m l ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由l α⊥且//m α能推出m l ⊥，充分性成立；若l α⊥且m l ⊥，则//m α或者m a ⊂，必要性不成立，因此“//m α”是“m l ⊥”的充分不必要条件.故选：A .2．（2021·江苏金陵中学高三模拟）已知m ，n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面.下列命题中正确的是（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//m β，则//αβD ．若m α⊥，n α⊥，则//m n 【答案】D【解析】A 、若//m α，//n α，则m ，n 平行，相交或异面，故错误；B 、若αγ⊥，βγ⊥，则α，β平行或相交，故错误；C 、若//m α，//m β，则α，β平行或相交，故错误；D 、若m α⊥，n α⊥，由线面垂直的性质定理得//m n ，故正确．故选：D ．3．【多选】（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为A 1B 1的中点，则下列说法正确的是（）A ．DE 与CC 1为异面直线B ．DE 与平面BCC 1B 1所成角的正切值为4C ．过D ､C ､E 三点的平面截正方体所得两部分的体积相等D ．线段DE 在底面ABCD【答案】ABC【解析】由图可知：DE 与CC 1为异面直线，∴A 正确；因为平面11//BCC B 平面11ADD A ，所以DE 与平面11BCC B 所成角即DE 与平面11ADD A 所成角，连接A 1D ，显然，1A DE ∠是DE 与平面11ADD A 所成角.在直角三角形EA 1D中：11112tan 4A E A DE A D ∠===，∴B 正确；过D ､C ､E 三点的平面截正方体所得两部分的体积关系即为平面A 1B 1CD 截正方体所得两部分的体积关系，由正方体的对称性可知截得两部分几何体的体积相等，∴C 正确；取AB 中点F ，连接EF ､DF ，∵EF //B 1B 且B 1B ⊥底面ABCD ，∴EF ⊥底面ABCD ，∴DF 的长为线段DE 在底面ABCD 的射影长，在直角三角形DFE 中：EF =1，DE =32，∴DF52=，∴D 错.故选：ABC.4．（2021北京人大附中高三模拟）如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M 是PC 上的一动点,当点M 满足条件①BM ⊥DM,②DM ⊥PC,③BM ⊥PC 中的时,平面MBD ⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可)【答案】②(或③)【解析】连接AC(图略),因为PA ⊥底面ABCD,所以PA ⊥BD,因为底面各边都相等,所以AC ⊥BD,又PA∩AC=A,所以BD ⊥平面PAC,所以BD ⊥PC,所以当DM ⊥PC(或BM ⊥PC)时,即有PC ⊥平面MBD,而PC ⊂平面PCD,所以平面MBD ⊥平面PCD.【提分秘籍】高考中判断空间线面位置关系的注意点：(1)对于空间线面位置关系的判断，常用的方法有：①根据定理逐项判断，可以举反例，也可以证明，要结合题目灵活选择；②必要时可以借助空间几何体模型，如借助长方体、正四面体中的线面位置关系来判断.(2)求角时，一般先利用平行关系找到这个角，然后把这个角放到三角形中去求解.【题型二】空间平行、垂直关系的证明【典例分析】【例1】（2021·山东潍坊一中高三模拟）已知四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，点E 在AD 上，AD ⊥平面PEC ．（1）求证：PC ⊥平面ABCD ；（2）若2AE ED =，在线段PB 上是否存在一点F ，使得//AF 平面PEC ，请说明理由．【解析】AD ⊥ 平面PEC ，PC ⊂平面PCE ，AD PC ∴⊥，四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，//AD BC ∴，PC BC ∴⊥，平面PBC ⊥平面ABCD ，且平面PBC ⋂平面ABCD BC =，PC ⊂平面PBC ，PC ∴⊥平面ABCD ．（2）解：存在，F 为PB 上靠近B 的三等分点，取PB 上靠近B 的三等分点为F ，取PC 上靠近C 的三等分点为G ，连接EG 、FG 、AF ；F 、G 分别为PB 、PC 上的三等分点，//FG BC ∴且23FG BC =，2AE ED = ，且四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，//AE FG ∴且AE FG =，∴四边形AEGF 为平行四边形，//AF EG ∴，EG ⊂ 平面PEC ，AF ⊂/平面PEC ，//AF ∴平面PEC ．【提分秘籍】1.证明线面平行问题的一般思路:(1)作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线;(2)证明线线平行;(3)根据线面平行的判定定理证明线面平行.2.判定面面平行的常用方法:(1)利用面面平行的判定定理;(2)利用垂直于同一条直线的两平面平行;(3)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.3.判定线面垂直的四种方法:(1)利用线面垂直的判定定理;(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”;(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个也垂直”;(4)利用面面垂直的性质定理.4.证明面面垂直问题的两种思路:(1)用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线;(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,把证明面面垂直的问题转化为证明二面角的平面角为直角的问题.【变式演练】1.（2021•河南郑州一中高三模拟）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4AD =，2DE EF ==．（1）求证：平面ADE ⊥平面CDEF ；（2）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．【解析】（1）证明： 四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴⊥．又AD DE ∴⊥，DE DC D = ，AD ∴⊥平面CDEF ，AD ⊂面ADE ，∴平面ADE ⊥平面CDEF ．（2）存在．//AB CD ，AB ⊂面ABFE ，CD ⊂面CDEF ，并且面ABFE ⋂面CDEF EF =，//EF CD ∴．取CD 中点H ，HC 中点P ，取AB 中点N ，NB 中点Q ，连MP ，PQ ，MQ ，可得//EF DH ，且EF DH =，故四边形EFHD 为平行四边形，//ED FH ∴．又M 为FC 中点，∴在CFH ∆中，//MP FH ，//PQ AD ，PQ M P P = ，面//MPQ 面ADE ，G 在棱AB 上，故当且仅当G 与Q 重合时，//MG 面ADE ，334AG AB ∴==．【题型三】翻折问题【典例分析】【典例2】（安徽省安庆市2021届二模）如图是矩形ABCD 和以边AB 为直径的半圆组成的平面图形，22AB AD a ==．将此图形沿AB 折叠，使平面ABCD 垂直于半圆所在的平面．若点E 是折后图形中半圆O 上异于A ，B 的点．（Ⅰ）证明：EA EC ⊥；（Ⅱ）若异面直线AE 和DC 所成的角为6π，求三棱锥D ACE -的体积．【解析】（Ⅰ）∵面ABCD ⊥圆O ，面ABCD 圆O AB =，BC ⊂平面ABCD ，BC AB ⊥，∴BC ⊥圆O ，又EA ⊂圆O ，∴BC EA ⊥，又AEB ∠是直角，即BE EA ⊥，而BE BC B = ，∴EA ⊥面EBC ，又EC ⊂面EBC ，∴EA EC ⊥．（Ⅱ）在矩形ABCD 中，//AB CD ，直线AE 和DC 所成的角为6π，∴直线AE 和AB 所成的角为6π，即6BAE π∠=．过E 作EF AB ⊥于F ，则EF ⊥面ABCD ．又22AB AD a ==，6BAE π∠=，易得AE =，即有32EF a =，∴211222ACD S AD CD a a a =⨯⨯=⨯⨯= ，由2311333326D ACE E ACD ACD V V S EF a a a --==⨯⨯=⨯⨯= ．∴三棱锥D ACE -的体积是336a ．【提分秘籍】平面图形折叠问题的解题策略(1)解决与折叠有关问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,折线同一侧的线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.(2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形,善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解.【变式演练】1.（2021届青海省西宁市一模）如图，已知圆O 的直径AB 长为2，上半圆圆弧上有一点C ，60COB ∠=︒，点P 是弧AC 上的动点，点D 是下半圆弧的中点，现以AB 为折线，将上､下半圆所在的平面折成直二面角，连接PO ，PD ，CD .（1）当//AB 平面PCD 时，求PC 的长；（2）求三棱锥P COD -的最大体积【解析】（1）因为//AB 平面PCD ，AB ⊂平面O C P ，平面OCP ⋂平面PCD PC =，所以由线面平行的性质定理得//AB PC .又60COB ∠=︒，可得60OCP ∠=︒.而OC OP =，所以OCP △为正三角形，所以1PC =.（2）因为二面角为直二面角，且⊥DO AB ，所以DO ⊥平面COP ，而P COD D COP V V --=，则111sin sin 326P COD D COP V V OP OC COP OD COP --==⨯⨯⨯⨯∠⨯=∠，所以当90COP ∠=︒时，三棱锥P COD -体积最大，最大值为16.2．（四川省宜宾市2021届二模）已知四边形ABCD 是直角梯形，//AB CD ，45C ∠=︒，2AB =，4CD =，E ，F 分别为CD ，BC 的中点(如图1)，以AE 为折痕把ADE 折起，使点D 到达点S 的位置且平面SAE ⊥平面ABCE (如图2).（1）求证：EF SE ⊥；（2）求点C 到平面SEF 的距离.【解析】（1）证明：连结BE ，因为4CD =，E 为CD 的中点，所以2DE AB ==，因为四边形ABCD 是直角梯形，AB CD ∥，所以ABCD 是矩形，所以BE CD ⊥，又45C ∠=︒，2EC =，所以2AD BE EC ===，所以四边形ABED 是正方形，BEC △是等腰直角三角形，又F 为BC 的中点，所以EF BC ⊥，又45C ∠=︒，所以ADE 与EFC 都是等腰直角三角形，所以45DEA CEF ∠=∠=︒，所以EF AE ⊥，因为平面SAE ⊥平面ABCE ，平面SAE 平面ABCE AE =，EF ⊂平面ABCE ，所以EF ⊥平面SAE ，又SE ⊂平面SAE ，所以EF SE ⊥；（2）设AE 的中点为O ，连结SO ，因为平面SAE ⊥平面ABCE ，所以点S 到AE 的距离2SO =1EFC S =△，所以1233S EFC EFC V S SO -=⋅=△，由（1）可知，EF SE ⊥，所以12222SEF S =⨯=△设点C 到平面SEF 的距离为h ，由等体积法可得，S EFC C SEF V V --=，所以21233h =⨯，解得1h =，所以点C 到平面SEF 的距离为1.1．（2021·山东滕州一中高三模拟）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠= ，且1BC AC ^，过1C 作1C H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在.A ．直线AC 上B ．直线AB 上C ．直线BC 上D ．ABC ∆内部【答案】B 【解析】连接1AC ，如图.∵90BAC ∠= ，∴AC AB ⊥，∵1BC AC ^，1BC AB B =，∴AC ⊥平面1ABC .又AC 在平面ABC 内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC ⊥平面1ABC ，则根据面面垂直的性质定理知，在平面1ABC 内一点1C 向平面ABC 作垂线，垂足必落在交线AB 上.故选B.2.（内蒙古赤峰市2021届二模）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，过B ，E ，1D 的截面与棱11A B 交于F ，则截面1BED F 分别在平面1111D C B A 和平面11ABB A 上的正投影的面积之和（）A ．有最小值1B ．有最大值2C ．为定值2D ．为定值1【答案】D 【解析】因为平面1BED F 平面ABCD BE =，平面1BED F 平面11111A B C D D F =，平面1111D C B A //平面ABCD ，所以1//BE D F ，同理1//D E BF ，所以截面1AED F 是平行四边形，所以1BE D F =，所以1A F CE =，从而1B F DE =，截面1BED F 在平面1111D C B A 上的正投影是以CE 为底，高为1的平行四边形，在平面11ABB A 上的正投影是以DE 为底，高为1的平行四边形，因此两个投影的面积和为()11S CE DE =+⨯=为定值．故选：D ．3.（2021·河北衡水中学高三模拟）在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹是()A ．线段BCB ．线段1BC C ．线段1B CD ．平面11BCC B 【答案】C 【解析】如图，连接AC ，1AB ，1B C ，在正方体1111ABCD A B C D -中，由正方体的结构特征，可得：11BD CB ⊥，1BD AC ⊥，又1CB AC C = ，1BD ∴⊥面1ACB ，又点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点P 的轨迹为面1ACB 与面11BCC B 的交线段1CB ．故选：C ．4．（山西省2021届二模）如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA BC ⊥且1PA BC ==，PB AC ==PC =，则下列命题不正确的是（）A ．平面PAB ⊥平面PBCB ．平面PAB ⊥平面ABC C ．平面PAC ⊥平面PBCD ．平面PAC ⊥平面ABC 【答案】C【解析】1PA BC == ，PB AC ==PC =∴在PBC 中，2222221PB BC PC +=+==，BC PB ∴⊥，又PA BC ⊥且PA PB P = ,BC ∴⊥平面PAB ,又BC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面PBC∴平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB ⊥平面ABC ，故AB 正确；在PAC △中，2222221PA AC PC +=+==，PA AC ∴⊥，,PA BC BC AC C ⊥= ，PA ∴⊥平面ABC ,又PA ⊂ 平面PAC ,∴平面PAC ⊥平面ABC ，故D 正确；对于C 选项，若假设平面PAC ⊥平面PBC ，则过A 作AM PC ⊥于M ，如图由平面PAC 平面PBC PC =,AM ∴⊥平面PBC ，可得AM BC ⊥，又PA BC ⊥，PA AM M = ,BC ∴⊥平面PAC ，BC AC ∴⊥,这与ABC 中BC AB ⊥矛盾，故假设不正确，故C 选项错误.故选：C5．（2021·辽宁东北育才中学高三模拟）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB AD ==，11AA =，若面对角线1A B 上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（）A ．1B ．3C ．13D 7【答案】D 【解析】将长方体对角面11A BCD 绕1A B 旋转至与平面11ABB A 在同一平面内，如下图所示：则当1,,A P D 三点共线时，1AP D P +取得最小值1AD ，又1AA AB ⊥，11AA =，3AB =，13AA B π∴∠=，115326AA D πππ∴∠=+=，在11A AD 中，由余弦定理得：222111111152cos 76AD AA A D AA A D π=+-⋅=，17A D ∴=，即1AP D P +7.故选：D.6．（江西省鹰潭市2021届高三高考一模）如图1，直线EF 将矩形ABCD 分为两个直角梯形ABFE 和CDEF ，将梯形CDEF 沿边EF 翻折，如图2，在翻折过程中（平面ABFE 和平面CDEF 不重合），下列说法正确的是（）A ．在翻折过程中，恒有直线//AD 平面BCFB ．存在某一位置，使得//CD 平面ABFEC ．存在某一位置，使得//BF CDD ．存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFE【答案】A【解析】对于A ，由题意得：//DE CF ，//AE BF ，∵AE DE E = ，BF CF F ⋂=，∴平面//ADE 平面BCF ，∵AD ⊂平面ADE ，∴在翻折过程中，恒有直线//AD 平面BCF ，故A 正确；对于B ，∵直线EF 将矩形ABCD 分为两个直角梯形ABFE 和CDEF ，∴CD 与EF 相交，∴不存在某一位置，使得//CD 平面ABFE ，故B 错误；对于C ，∵平面CDEF 平面BFC EF =，BF ⊂平面BFC ，⋂=BF EFF ，所以直线BF 与平面CDEF 相交；∴不存在某一位置，使得//BF CD ，故C 错误；对于D ，∵四边形DEFC 是梯形，DE CD ⊥，∴DE 与EF 不垂直，∴不存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFE ，故D 错误．故选：A ．7．（2021·山东潍坊一中高三模拟）已知α，β是两个平面，m ，n 是两个条件，则下列结论正确的是（）A ．如果m α⊥，//n α，那么m n⊥B ．如果m n ⊥，m α⊥，βn//，那么αβ⊥C ．如果//αβ，m α⊂，那么//m βD ．如果//m α，βn//且//αβ，那么//m n 【答案】AC【解析】对于A ，若m α⊥，//n α，则m n ⊥,故A 正确;对于B ，若m n ⊥，m α⊥，βn//，则//αβ或αβ，相交，故B 错误;对于C ，若//αβ，m α⊂，则//m β，故C 正确；对于D ，若//m α，βn//且//αβ，则m n ，平行、相交或异面，故D 错误.故选：AC.8.（2021·深圳中学高三模拟）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A ．//AE CDB ．//CH BEC ．DG BH ⊥D ．BG DE⊥【答案】BCD 【解析】由正方体的平面展开图还原正方体如图，由图形可知，AE CD ⊥，故A 错误；由//,HE H BC E BC =，四边形BCHE 为平行四边形，所以//CH BE ，故B 正确；因为,DG HC DG BC ⊥⊥,HC BC C = ,所以DG ⊥平面BHC ,所以DG BH ⊥，故C 正确；因为//BG AH ，而DE AH ⊥,所以BG DE ⊥，故D 正确.故选：BCD9.（2021·山东曲阜师范大学附属中学高三模拟）如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上（异于点A ，B ），直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 是线段PB 的中点，下列命题正确的是（）A ．//MO 平面PAC ；B ．//PA 平面MOB ；C ．OC ⊥平面PACD ．平面PAC ⊥平面PBC【答案】AD 【解析】因为 AB 为圆O 的直径，M 是线段PB 的中点，所以//OM PA ；又OM ⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以//MO 平面PAC ；即A 正确；又PA ⊂平面PAB ，即PA ⊂平面MOB ，故B 错；因为点C 在圆O 的圆周上，所以AC CB ⊥，故OC 不与AC 垂直，所以OC 不可能与平面PAC 垂直，即C 错；由直线PA 垂直于圆O 所在的平面，所以PA BC ⊥；又AC CB ⊥，AC PA A ⋂=，AC ⊂平面PAC 、PA ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC ，即D 正确.故选：AD.10（2021·福建三明市·三明一中高三模拟）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形1111D C B A 满足条件______时，有111AC B D ⊥（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）.【答案】1111AC B D ⊥【解析】连接11AC ，由直四棱柱1111ABCD A B C D -可得1CC ⊥平面1111D C B A ，因为11B D ⊂平面1111D C B A ，故111CC B D ⊥，当1111AC B D ⊥时，因为1111CC AC C ⋂=，故11B D ⊥平面11AC C ，而1AC ⊂平面11AC C ，故111AC B D ⊥.故答案为：1111AC B D ⊥.11.（2021·浙江镇海中学高三模拟）P 是ABC 所在平面外一点，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足是O ，连接PA 、PB 、PC .（1）若PA PB PC ==，则O 为ABC 的__________心；（2）PA PB ⊥，PA PC ⊥，PC PB ⊥，则O 是ABC 的__________心.【答案】外垂【解析】（1）如下图所示：PO ⊥ 平面ABC ，OA 、OB 、OC ⊂平面ABC ，PO OA ∴⊥，PO OB ⊥，PO OC ⊥，PA PB PC == ，则POA 、POB 、POC △均为直角三角形且全等，所以，OA OB OC ==，因此，O 为ABC 的外心；（2）如下图所示：PA PB ⊥ ，PA PC ⊥，PB PC P ⋂=，PA ∴⊥平面PBC ，BC ⊂ 平面ABC ，BC PA ∴⊥，PO ⊥ 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PO ∴⊥，PA PO P = ，BC ∴⊥平面PAO ，AO ⊂Q 平面PAO ，AO BC ∴⊥，同理可证AC BO ⊥，所以O 为ABC 三条边上高线的交点，即为垂心．故答案为：外；垂.12.（2021·广东珠海市·高三模拟）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为平面11AAC C 内的动点，12B E =，则AE 长度的最小值为___________.【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接B 1D 1交A 1C 1于点O ，则B 1D 1⊥A 1C 1，而AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，即B 1D 1⊥AA 1，如图：从而有B 1O ⊥平面A 1B 1C 1D 1，连OE ，Rt △B 1OE 中，1B O =，而12B E =，则EO =所以点E 在平面ACC 1A 1内的以O 为半径的矩形ACC 1A 1内的半圆上，而点A 及半圆弧在半圆O 的直径A 1C 1同侧，且点A 在半圆弧外，则有min ()AE AO ==13.（宁夏银川市第二中学2021届一模）如图，矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，E 为CD 的中点，把 ADE 沿AE 翻折，使得平面ADE ⊥平面ABCE ．（1）求证：AD BE ⊥；（2）在CD 上确定一点F ，使//AD 平面BEF ；（3）求四棱锥F ABCE -的体积．【解析】（1）证明：∵平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE 平面ABCE AE =又由已知可得2AE BE ==，2AB =，∴BE AE ⊥，则BE ⊥平面DAE ∵AD ⊂平面DAE ，∴BE AD ⊥，故AD BE ⊥；（2）连接AC 交BE 于G ，则12CG CE GA AB ==，在线段CD 上取CD 的三等分点F （靠近C ），连接FG ，则13CF CG CD CA ==，可得//AD FG 而AD ⊄平面,BEF FG ⊂平面BEF ，则//AD 平面BEF ；（3）取AE 中点O ，连接DO ，则DO AE⊥又平面ADE ⊥平面ABCE ，且平面ADE 平面ABCE AE=∴DO ⊥平面ABCE ，在Rt ADE △中，可得22DO =∵F 为CD 的三等分点F （靠近C ），∴F 到平面ABCE 的距离为122326⨯=．可得四棱锥F ABCE -的体积为1122(12)23266⨯+⨯⨯=．14．（安徽省蚌埠市2021届三模）已知平面四边形ABCD 中，AB AC ⊥，2AB AC AD CD ====，现将ABC 沿AC 折起，使得点B 移至点P 的位置(如图)，且PC PD =.（1）求证：CD PA ⊥；（2）若M 为PD 的中点，求点D 到平面ACM 的距离.【解析】（1）证明：由题意知，PA AC ⊥，即90PAC ∠=︒，∵AC AD =，PC PD =，PA PA =，∴PAC PAD ≅ ，则90PAD PAC ∠=∠=︒，∴PA AD ⊥，又AC AD A = ，∴PA ⊥平面ACD ，又CD ⊂平面ACD ，∴PA CD ⊥；（2）由M 为PD的中点，即MD =，又12cos CD MDC PD ∠==，在MCD △中，2222cos 24224MC MD DC MD DC MDC =+-⋅⋅∠=+-=，得2MC =，在AMC 中，2AC MC ==，AM =3cos 4ACM ∠=，sin 4ACM ∠=，∴11sin 222242AMC S AC CM ACM =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯= ，设点D 到平面ACM 的距离为d ，则由等体积法有D AMC M ADC V V --=，故111332AMC ADC S d S PA ⋅⋅=⋅⋅ ，即22124d =⨯⨯，解得2217d =，故点D 到平面ACM 的距离为2217.。
空间点、线、面位置关系的判断与证明
空间点、线、面位置关系的判断与证明1．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平行；③若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面．则以上命题正确的是________(填序号)．解析：由直线与平面垂直的性质，可知①正确；正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面，而不平行，故②错；由直线与平面垂直的定义知④正确；③显然正确．答案：①③④2.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，AC AB3．在正三棱锥PABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．解析：如图，∵PABC为正三棱锥，∴PB⊥AC；又∵DE∥AC，DE⊂平面PDE，AC⊄平面PDE，∴AC∥平面PDE.故①②正确．答案：①②4．给出以下命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中命题不正确的是________(填序号)．解析：①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．答案：②③④5．四棱锥PABCD的所有侧棱长都为5，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为________．解析：因为四边形ABCD为正方形，故CD∥AB，则CD与PA所成的角即为AB 与PA所成的角，即为∠PAB.在△PAB内，PB＝PA＝5，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝PA2＋AB2－PB2 2×PA×AB ＝5＋4－52×5×2＝55.答案：5 56.对于四面体ABCD，下列命题：①相对棱AB与CD所在直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．其中正确的是________(填序号)．解析：对于①，由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①正确；对于②，由顶点A作四面体的高，当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；对于③，当DA＝DB，CA＝CB时，这两条高线共面，故③错误；对于④，设AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点连线也过它们的交点，故④正确．答案：①④7.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析：由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确．答案：①②③8．已知m，n是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：①若α⊥β，m⊥α，则m∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，m⊥n，则n⊥α；④若m∥α，m⊂β，则α∥β.其中所有真命题的序号是________．解析：若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，①是假命题；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，②是真命题；若m∥α，m⊥n，则n⊥α或n∥α或n⊂α或n，α相交(非垂直)，③是假命题；若m∥α，m⊂β，则α∥β或α，β相交，④是假命题．故其中所有真命题的序号是②.答案：②9.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)．解析：连结AC，∵四边形ABCD各边相等，∴BD⊥AC.又PA⊥底面ABCD，BD ⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)10.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．解析：由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确．答案：①④11.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥AC .因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C .因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC .又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.12.如图，已知△ABC 是正三角形，EA ，CD 都垂直于平面ABC ，且EA ＝AB ＝2a ，DC ＝a ，F 是BE 的中点，求证：(1)FD ∥平面ABC ；(2)AF ⊥平面EDB .证明：(1)取AB 的中点M ，连结FM ，MC .∵F ，M 分别是BE ，BA 的中点，∴FM ∥EA ，FM ＝12EA ＝a . ∵EA ，CD 都垂直于平面ABC ，∴CD ∥EA ，∴CD ∥FM .又∵DC ＝a ，∴FM ＝DC ，∴四边形FMCD 是平行四边形，∴FD ∥MC .∵FD ⊄平面ABC ，MC ⊂平面ABC ，∴FD ∥平面ABC .(2)∵M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形，∴CM ⊥AB .又∵CM ⊥AE ，AB ∩AE ＝A ，∴CM ⊥平面EAB ，∴CM ⊥AF .又∵CM ∥FD ，∴FD ⊥AF .∵F 是BE 的中点，EA ＝AB ，∴AF ⊥BE .又∵FD ∩BE ＝F ，∴AF ⊥平面EDB .13．(四川高考)如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥CD ，AD∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD . (1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由；(2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .解：(1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：连结MC ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ， 所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形，所以CM ∥AB .又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ，所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(2)证明：由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD .连结BM .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ， 所以四边形BCDM 是平行四边形，所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB . 又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB .又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .14.如图，正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的棱长为1，B ′C∩BC ′＝O ，求：(1)AO 与A ′C ′所成角的大小；(2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值；(3)平面AOB 与平面AOC 所成角的大小．解：(1)∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC .∵OC ⊥OB ，AB ⊥平面BCC ′B ′，∴OC ⊥AB .又AB ∩BO ＝B ，∴OC ⊥平面ABO .。
空间位置关系的判断与证明.参考教案.学生版 普通高中数学复习讲义Word版
板块一.对平面的进一步认识【例1】 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ）A ．充分不必要条件．B ．必要不充分条件．C ．充要条件．D ．既不充分也不必要条件．【例2】 若P 是正方体1111ABCD A B C D -上底面对角线AC 上一点，则B 、D 、P 三点可以确定平面（ ）A ．1个B ．2个C ．无数个D ．1个或无数个【例3】 在三棱锥A BCD -中，作截面PQR ，若,PQ CB 的延长线交于M ，,RQ DB 的延长线交于点N ，,RP DC 的延长线交于点K ．求证：,,M N K 三点共线．KRQP NMDBC A【例4】 已知正方体1111ABCD A B C D -，记1A C 与平面11ABC D 交于点Q ．求证：A ，Q ，1C 三点共线．【例5】 如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．【例6】 如图，直线,a b 是异面直线，,,A B C 为直线a 上三点，D E F ，，是直线b 上三点，A B C D E '''''，，，，典例分析空间位置关系的判断与证明.教师版分别为AD DB BE EC CF ，，，，的中点， 求证：⑴A B C C D E ''''''∠=∠；⑵A B C D E '''''，，，，共面．E'D'C'B'A'FED CBAab【例7】 正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H K L 分别是111DC DD A D 、、、111A B BB BC 、、的中点，求证：这六点共面．LG F ED CBAK H A 1D 1B 1C 1【例8】 （2007重庆理3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）A ．5部分B ．6部分C ．7部分D ．8部分【例9】 把正方体的各个面伸展成平面，则把空间分为（ ）A ．13部分B ．19部分C ．21部分D ．27部分【例10】 正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别为BC ，AB ，11C D 的中点，求作正方体的过P 、Q 、R 的截面．【例11】 如图，求作经过棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的棱1AA 和1CC 的中点E 、F 及点1D 的截面．⑵求该截面与正方体的下底面以及正方体侧面所围成的几何体的体积．A B CDA 1B 1C 1D 1PF EQ【例12】 设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥【例13】 下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ；②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅；④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例14】 （05福建卷）已知直线m 、n 与平面，αβ，给出下列三个命题：①若m α⊥，∥n α，则∥m n ②若∥m α，n α⊥，则n m ⊥ ③若m α⊥，∥m β，则αβ⊥ 其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【例15】 （2010年二模·朝阳·理·题5）已知平面,αβ，直线l α⊥，直线m β⊂，有下面四个命题：①l m αβ⇒⊥∥②l m αβ⊥⇒∥③l m αβ⇒⊥∥④l m αβ⊥⇒∥其中正确的命题是 （ ）A ．①与②B ．③与④C ．①与③D ．②与④【例16】 （2010年二模·海淀·理·题6）已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n α⊥成立的是（ ）A ．αβ⊥，n β⊂B ．//αβ，n β⊥C ．αβ⊥，//n βD ．//m α，n m ⊥【例17】 （2010年二模·丰台·文·题7）设,,a b c 是空间三条不同的直线，,,αβγ是空间三个不同的平面，给出下列四个命题：① 若,a b αα⊥⊥，则ab ；② 若,αγβγ⊥⊥，则αβ；③ 若,b b αβ⊂⊥，则αβ⊥；④ 若c 是b 在α内的射影，a α⊂且a c ⊥，则a b ⊥． 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例18】 （2010年一模·崇文·理·题5）（崇文·文·题6）已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( )A ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥B ．若,,m n αα⊥⊥则m n ∥C ．若,m n αα∥∥，则m n ∥D ．若,,m m αβ∥∥则αβ∥【例19】 （09年西城区期末考试5）已知m 是平面α的一条斜线，点A α∉，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（ ）A ． l m ∥，l α⊥B ． l m ⊥，l α⊥C ． l m ⊥，l α∥D ． l m ∥，l α∥【例20】 （05江苏）设，，αβγ为两两不重合的平面，，，l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若αγ⊥，βγ⊥，则∥αβ；②若m α⊂，n α⊂，∥m β，∥n β，则∥αβ； ③若∥αβ，l α⊂，则∥l β；④若l αβ=，m βγ=，n γα=，∥l γ，则∥m n ．其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 αβ=直线D ∉直线l N 两点不可能重合【例22】 下列命题中，正确的个数是（ ）①平行于同一条直线的两直线平行②平行于同一个平面的两直线平行 ③垂直于同一条直线的两直线平行 ④垂直于同一个平面的两直线平行 ⑤平行于同一条直线的两平面平行 ⑥平行于同一个平面的两平面平行A ．1B ．2C ．3D ．4【例23】 下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ；②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅； ④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例24】 如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC BCD ︒∠=∠=，12DC AB =，E 是PB 的中点． 求证：EC ∥平面APD ．E PDABC【例25】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是11B C 、11A D 、11A B 的中点，求证：平面EBD ∥平面FGA ．D 1C 1B 1A 1GF ED CBA【例26】 如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱1//2EF BC ． 求证：FO ∥平面CDEFEDCBAO【例27】 下列说法正确的有 ．①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面．⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．【例28】 在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有 个．【例29】 如图，已知三棱锥P ABC -，90ACB ∠=，D 为AB 的中点，且PDB ∆是正三角形，PA ⊥PC ．求证：⑴ PA ⊥面PBC ；⑵平面PAC ⊥平面ABC ．DPABC【例30】 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．EBCFDGSA【例31】 （2000全国，文19）如图已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠．⑴ 证明1C C BD ⊥；⑵ 当1CD CD 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明．图 9-2-284D 1A 1C 1B 1DCBA【例32】 已知四面体ABCD ，①若棱AB CD ⊥，求证2222AC BD AD BC +=+②若2222AC BD AD BC +=+，求证棱AB CD ⊥．【例33】 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的中点，DE AP ⊥于E ．⑴求证：AP ⊥平面BDE ；⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．【例36】 （2010年一模·石景山·文·题17）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，14AA =．E 、F 分别是棱1CC 、AB 中点．⑴求证：CF ⊥1BB ；【例37】 如图，已知111A B C ABC -是正三棱柱，D 是AC 的中点，11AB ==，⑴证明：BD ⊥平面11ACC A ，1//AB 平面1BDC ； ⑵求点D 到平面11BCC B 的距离． ⑶证明：11AB BC ⊥．D CBA A 1B 1C 1【例38】 （2009江苏高三调研）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC BC BC AB BC ⊥⊥=，，，E F G ，，分别为线段1111AC A C BB ，，的中点，求证：⑴平面ABC ⊥平面1ABC ；⑵EF ∥面11BCC B ；⑶GF ⊥平面11AB C ．C 1B 1A 1GFE CB A。
空间位置关系的判定依据
空间位置关系的判定方法与判定依据（高一 标有记号◆的才可以直接使用）一、立体几何基本结论．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．a AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭直线 ◆公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．P l P l P ααββ∈⎫⇒=∈⎬∈⎭且 ◆公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．//////a b a c b c ⎫⇒⎬⎭◆等角定理：如果一个角的两条边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．◆过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．（课本上P32重要结论）◆简单几何体的定义与性质：⑴ 棱柱的两底面平行且全等，棱柱的两底面对应边互相平行且相等，棱柱的侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等．直棱柱的侧棱垂直于底面．⑵ 正棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面．正棱锥的侧棱长都相等． ⑷ 体积、侧面积公式：S ch =直棱柱侧，12S ch '=正棱锥侧，1()2S c c h ''=+正棱台侧（c 、c '为底面周长，h 为高、h '为斜高）．2S cl rl π==圆柱侧，12S cl rl π==圆锥侧，1()()2S c c l r r l π''=+=+圆台侧（r 、r '为底面半径，l 为母线长）．24S R π=球面（R为球半径）．V Sh =柱体，13V Sh =锥体，1()3V h S S '=+台体（S 、S '是柱体的底面积、h 是高）．343V R π=球体（R 为球半径）．二、空间的位置关系1．空间两直线的位置关系：平行、相交、异面．直线和平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交． 平面与平面的位置关系：平行、相交． 2．判定异面直线用定义、判定定理或反证法．◆⑴ 两直线异面的定义：不同在任何一个平面内的两直线异面．◆⑵ 两直线异面的判定：过平面内一点和平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．l A B B l ααα⊂⎫⎪∉⎪⇒⎬∈⎪⎪∉⎭A B 与l 异面（课本上P27结论）3．两直线平行思考途径：⑴ 转化为判定共面二直线无交点；⑵ 转化为二直线同与第三条直线平行；⑶ 转化为线面平行；⑷ 转化为线面垂直；⑸ 转化为面面平行．◆⑴ 两直线平行的定义：两条直线共面且无公共点． ◆⑵ 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．//////a b a c b c ⎫⇒⎬⎭◆⑶ 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．////l l l m m αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭◆⑷ 直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭◆⑸ 平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭4．直线与平面平行思考途径：⑴ 转化为直线与平面无公共点；⑵ 转化为线线平行；⑶ 转化为面面平行． ◆⑴ 直线与平面平行的定义：直线和平面没有公共点．◆⑵ 直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．////b a a b αααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭◆⑶ 如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．////a a αβαβ⎫⇒⎬⊂⎭（课本上P40结论）5．两平面平行思考途径：⑴ 转化为判定二平面无公共点；⑵ 转化为线面平行；⑶ 转化为线面垂直． ◆⑴ 两个平面平行的定义：两个平面没有公共点．◆⑵ 两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．//////a b a b A a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭，，⑶ 垂直于同一直线的两个平面相互平行．//a a ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭⑷ 平行于同一平面的两个平面相互平行．//////αγαββγ⎫⇒⎬⎭6．两直线垂直思考途径：⑴ 异面垂直可利用平移转化为相交垂直，再利用平面几何的知识解决；⑵ 异面垂直可转化为证明线面垂直；⑶ 转化为线与另一线的射影垂直或转化为线与形成射影的斜线垂直（三垂线定理及其逆定理）．⑴ 平面几何知识：等腰三角形底边张的中线垂直于底边；菱形或正方形的对角线相互垂直；直径所对的圆周角为直角；弦（非直径）中点和圆心的连线垂直于弦；过切点的半径垂直于切线．等等．⑵ 计算两直线所成的角为90，或利用勾股定理及正、余弦定理计算得证．◆⑶ 根据直线和平面垂直的定义有：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．a a b b αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭◆⑷等角定理的应用（利用第三条线“搭桥”）：//a c a b b c ⎫⇒⊥⎬⊥⎭．7．直线与平面垂直思考途径：⑴转化为该直线与平面内任一直线垂直；⑵转化为该直线与平面内相交二直线垂直；⑶转化为该直线与这个平面的两个垂直平面的交线垂直；⑷转化为该直线与平面的一条垂线平行；⑸转化为该直线垂直于另一个平行平面．◆⑴直线与平面垂直的定义：一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直．◆⑵直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．a m a nm n A am mααα⊥⊥⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊂⎭，，◆⑶平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面．laaa lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭⑷如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．//a bbaαα⎫⇒⊥⎬⊥⎭（课本上例题P33例1）⑸如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一平面．//llαββα⎫⇒⊥⎬⊥⎭（课本上例题P40例2）8．两个平面相互垂直思考途径：⑴转化为判断二面角是直二面角；⑵转化为线面垂直．◆⑴平面与平面垂直的定义：两个平面所成的二面角是直二面角．◆⑵平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．llααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭。
判断空间几何图形的位置关系
平行线的定义：在 同一平面内，不相 交的两条直线。
平行线的性质：同 位角相等、内错角 相等、同旁内角互 补。
平行线的判定方法 ：同位角相等、内 错角相等、同旁内 角互补。
平行线的判定定理 ：平行线的判定定 理是“同旁内角互 补，两直线平行” 。
两条直线同时垂直 于第三条直线，则 这两条直线互相垂 直
在机械工程中，垂直性质用于设计和分析机械零件的强度和刚度。
相交的定义： 两个或多个几 何图形在空间 中至少有一个
公共点。
相交的分类： 根据相交点的 数量，可以分 为点交、线交
和面交。
相交的性质： 相交的几何图 形具有一些特 殊的性质，如 角度、距离等。
相交的应用： 在几何学、物 理学和工程学 等领域中，相 交性质有着广
● 答案解析：设长方体的三个边分别为a、b、c，根据题目条件，我们可以列出三个方程： ● a×b=2，b×c=3，a×c=5。解这个方程组，我们可以得到a=1，b=2，c=5。因此，长方体的体积为V=a×b×c=1×2×5=10。
● 题目：一个圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，则这个圆锥的侧面积为多少？ 答案解析：圆锥的侧面积公式为S=πrl，其中r为底面半径，l为母线长。 根据题目条件，r=3cm，l=√(r^2+h^2)=√(3^2+4^2)=5cm。代入公式，我们可以得到S=π×3×5=15π。
泛的应用。
平行线的性质：同位角相等，内错 角相等，同旁内角互补
相交线的性质：两条直线相交形成 的角中，对顶角相等，邻补角互补
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垂直线的性质：两条直线相交形成 的角中，如果有一个角是直角，则 其他三个角都是直角
角的平分线性质：角的平分线将角 平分为两个相等的角
专题检测(十四) 空间位置关系的判断与证明
专题检测(十四)空间位置关系的判断与证明[A组——考点落实练]1．(2020·郑州市第一次质量预测)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则()A．若α∥β，则l∥m B．若m∥α，则α∥βC．若m⊥α，则α⊥βD．若α⊥β，则l⊥m解析：选C因为l⊂α，m⊂β，若α∥β，则l∥m或l与m异面，故选项A错误；若m∥α，又m⊂β，则α∥β或α与β相交，故选项B错误；若m⊥α，又m⊂β，所以α⊥β，故选项C正确；若α⊥β，又l⊂α，m⊂β，所以l与m不一定垂直，故选项D错误．综上可知，选C.2．(2020·西安五校联考)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，则异面直线A1B与AC1所成角的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：选B如图，连接A1C，记A1C与AC1交于点O，取BC的中点H，连接OH，则OH∥A1B，所以∠AOH为异面直线A1B与AC1所成的角或其补角．连接AH，设AB＝AC＝AA1＝1，则BC＝2，易求，所以△AOH为正三角形，所以∠AOH＝60°，得AO＝AH＝OH＝22即异面直线A1B与AC1所成的角为60°，故选B.3．(2020·福州市质量检测)已知四边形ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，点H为BF的中点，有下述四个结论：①DE⊥BF；②EF与CH所成角为60°；③EC⊥平面DBF；④BF与平面ACFE所成角为45°.A．①②B．①②③C．①③④D．②③④4.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q是面对角线A1C1上两个不同的动点，①∃P，Q，使BP⊥DQ；②∃P ，Q ，使BP ，DQ 与B 1C 所成的角均为60°； ③若PQ ＝12，则三棱锥P -BDQ 的体积为定值．上述三个命题中，所有正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．②③ C ．①②D ．①③解析：选A 如图①所示，当P 与A 1重合，Q 与C 1重合时，连接AB 1，此时DQ ∥AB 1，且AB 1⊥BP (正方形两对角线垂直)，所以DQ ⊥BP ，所以命题①正确；当P 与A 1重合，Q 与C 1重合时，A 1D ∥B 1C ，则∠BA 1D 为BP 与B 1C 所成的角，因为△A 1BD 是正三角形，所以∠BA 1D ＝60°，即BP 与B 1C 所成的角为60°，同理∠A 1DC 1为DQ 与B 1C 所成的角，△A 1DC 1是正三角形，所以∠A 1DC 1＝60°，即DQ 与B 1C 所成的角为60°，所以命题②正确；如图②所示，连接A 1D ，DC 1，则△DPQ 总在平面A 1DC 1内，则V P BDQ ＝V B PQD ＝13S △DPQ ·h ，因为PQ ＝12，△DPQ 以PQ 为底，点D 到直线A 1C 1的距离为高，显然点D 到直线A 1C 1的距离为正三角形A 1DC 1的高，为2×32＝62，所以S △DPQ ＝12×12×62＝68，三棱锥B -PDQ 的高h即点B 到平面A 1DC 1的距离，因为点B 与平面A 1DC 1均是确定的，所以高h 是定值，所以三棱锥B -PDQ 的体积为定值，所以命题③正确．综上可知，选A.5．(多选)(2020·山东模拟)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则( )A ．直线D 1D 与直线AF 垂直B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等解析：选BC 假设D 1D ⊥AF ，因为DD 1⊥AE ，所以D 1D ⊥平面AEF ，又D 1D ⊥平面ABCD ，所以平面AEF ∥平面ABCD ，显然不正确，故选项A 不正确；连接AD 1，D 1F (图略)，因为EF ∥AD 1，所以平面AEF 即平面AEFD 1，因为A 1G ∥D 1F ，所以A 1G ∥平面AEFD 1，所以选项B 正确；平面AEF 截正方体的截面为梯形AEFD 1，EF ＝22，AD 1＝2，梯形的高为⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫242＝324，所以其面积为2＋222×324＝98，故选项C 正确；连接CG 交EF 于点H ，显然H 不是EF 的中点，所以C ，G 到平面AEF 的距离不相等，选项D 不正确．故选B 、C.6.(多选)如图，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为MC 的中点，则下列结论正确的是( )A ．平面BCE ⊥平面ABNB ．MC ⊥ANC ．平面CMN ⊥平面AMND ．平面BDE ∥平面AMN解析：选ABD 如图，分别过A ，C 作平面ABCD 的垂线AP ，CQ ，使得AP ＝CQ ＝1，连接PM ，PN ，QM ，QN ，将几何体补成棱长为1的正方体． ∴BC ⊥平面ABN ， 又BC ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面ABN ，故A 正确； 连接PB ，则PB ∥MC ，显然PB ⊥AN ， ∴MC ⊥AN ，故B 正确；取MN 的中点F ，连接AF ，CF ，AC .∵△AMN 和△CMN 都是边长为2的等边三角形，∴AF ⊥MN ，CF ⊥MN ，∴∠AFC 为二面角A -MN -C 的平面角， ∵AF ＝CF ＝62，AC ＝2， ∴AF 2＋CF 2≠AC 2，即∠AFC ≠π2， ∴平面CMN 与平面AMN 不垂直，故C 错误；∵DE ∥AN ，MN ∥BD ，DE ∩BD ＝D ，DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，MN ∩AN ＝N ，MN ⊂平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，∴平面BDE ∥平面AMN ，故D 正确．故选A 、B 、D.7．(2020·东北三校联考)如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，ED ＝2FC ＝2，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为________．解析：因为ED ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，所以ED ∥FC .取ED 的中点为G ，连接AG ，FG ，如图，因为ED ＝2FC ，所以DG ＝FC ，且DG ∥FC ，所以四边形CDGF 为平行四边形，则FG ∥CD 且FG ＝CD .又四边形ABCD 为正方形，所以CD ∥AB ，CD ＝AB ，则FG ∥AB 且FG ＝AB ，则四边形ABFG 为平行四边形，则BF ∥AG ，则∠EAG 是AE 与BF 所成的角．由正方形ABCD 的边长为2，ED ＝2FC ＝2，可得AE ＝22，AG ＝5，EG ＝1，在△AEG 中，由余弦定理得cos ∠EAG ＝AG 2＋AE 2－EG 22AE ·AG ＝5＋8－12×22×5＝31010.答案：310108．(2020·西安五校联考)如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝12AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为________．解析：∵四边形ABCD 是正方形，∴CB ⊥AB .∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，∴CB ⊥平面ABEF .∵AG ，GB ⊂平面ABEF ，∴CB ⊥AG ，CB ⊥BG .又AF ＝a ，AD ＝2a ，四边形ABEF 是矩形，G 是EF 的中点，∴AG ＝BG ＝2a ，AB ＝2a ，∴AB 2＝AG 2＋BG 2，∴AG ⊥BG ，∵BG ∩BC ＝B ，∴AG ⊥平面CBG ，又AG ⊂平面AGC ，∴平面AGC ⊥平面BGC .在平面BGC 内作BH ⊥GC ，垂足为H (图略)，则BH ⊥平面AGC ，∴∠BGH 是GB 与平面AGC 所成的角．在Rt △CBG 中，BH ＝BC ·BG CG＝2a ×2a（2a ）2＋（2a ）2＝233a ，∴sin ∠BGH ＝BH BG ＝63. 答案：639.如图，已知斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点．(1)若BC 1∥平面AB 1D 1，则A 1D 1D 1C 1＝________； (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，则ADDC ＝________．解析：(1)如图，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点，所以OD 1∥BC 1. 又因为OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， 所以BC 1∥平面AB 1D 1. 所以当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. (2)由已知，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BDC 1＝BC 1， 平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O . 因此BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1. 因为A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DC AD.又因为A 1O OB ＝1，所以DC AD ＝1，即AD DC ＝1.答案：(1)1 (2)110．(2020·合肥第一次教学检测)如图，该几何体的三个侧面AA 1B 1B ，BB 1C 1C ，CC 1A 1A 都是矩形．(1)证明：平面ABC ∥平面A 1B 1C 1；(2)若AA 1＝2AC ，AC ⊥AB ，M 为CC 1的中点，证明：A 1M ⊥平面ABM .解：(1)证明：∵侧面AA 1B 1B 是矩形，∴A 1B 1∥AB . 又A 1B 1⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴A 1B 1∥平面ABC . 同理可得，A 1C 1∥平面ABC .∵A 1B 1∩A 1C 1＝A 1，∴平面ABC ∥平面A 1B 1C 1. (2)∵侧面AA 1B 1B 是矩形，∴A 1A ⊥AB .又AC ⊥AB ，A 1A ∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面AA 1C 1C . ∵A 1M ⊂平面AA 1C 1C ，∴AB ⊥A 1M .∵M 为CC 1的中点，AA 1＝2AC ，∴△ACM ，△A 1C 1M 都是等腰直角三角形， ∴∠AMC ＝∠A 1MC 1＝45°，∠A 1MA ＝90°， 即A 1M ⊥AM .而AB ∩AM ＝A ，∴A 1M ⊥平面ABM .11．(2020·开封市模拟)如图，正方形ABCD 的边长为2，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，N 是线段AC 上的动点．(1)探究M ，N ，B ，E 四点共面时，N 点位置，并证明； (2)当M ，N ，B ，E 四点共面时，求C 到平面MNBE 的距离． 解：(1)当N 是线段AC 的中点时，M ，N ，B ，E 四点共面．如图，连接BD，过相交直线BD，DE有且只有一个平面BDE，因为M是线段ED的中点，所以M在平面BDE内，因为ABCD是正方形，所以当N是线段AC的中点时，N是ABCD的中心，必为BD的中点，所以N在平面BDE内．分析可知，当N是线段AC的中点时，M，N，B，E四点共面．(2)由(1)知，M，N，B，E四点共面时，平面MNBE即平面BDE.连接BM，过E作CD的垂线，垂足记为F，因为△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，所以F是CD的中点，EF⊥平面ABCD.因为BC⊥CD，所以BC⊥平面ECD，又EC⊂平面ECD，所以BC⊥CE.EF＝3，BD＝BE＝22，BM＝（22）2－1＝7，V EBCD＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×3＝233，S△BDE＝12×2×7＝7，因为V EBCD＝V CBDE，所以C到平面MNBE的距离d＝237＝2217.12.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：(1)CE∥平面P AD；(2)平面EFG⊥平面EMN.证明：(1)法一：取P A的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH綊12AB.又CD綊12AB，所以EH綊CD.所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.又DH ⊂平面P AD ，CE ⊄平面P AD ， 所以CE ∥平面P AD . 法二：连接CF . 因为F 为AB 的中点， 所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形． 因此CF ∥AD ，又CF ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， 所以CF ∥平面P AD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A . 又EF ⊄平面P AD ，P A ⊂平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面P AD . 又CE ⊂平面CEF ，所以CE ∥平面P AD .(2)因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A . 又因为AB ⊥P A ，所以EF ⊥AB ，同理可证AB ⊥FG .又因为EF ∩FG ＝F ，EF ，FG ⊂平面EFG ， 所以AB ⊥平面EFG .又因为M ，N 分别为PD ，PC 的中点， 所以MN ∥CD ，又AB ∥CD ，所以MN ∥AB ， 所以MN ⊥平面EFG .又因为MN ⊂平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN .[B 组——大题强化练]1．(2020·成都市诊断性检测)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PBC ，底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，E ，F 分别为BC ，CD 的中点．(1)证明：BC ⊥平面P AE ；(2)点Q 在棱PB 上，且PQ PB ＝13，证明：PD ∥平面QAF .证明：(1)如图，连接AC .∵底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为正三角形． ∵E 为BC 的中点， ∴BC ⊥AE .∵AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， ∴BC ⊥AP .∵AP ∩AE ＝A ，AP ，AE ⊂平面P AE ， ∴BC ⊥平面P AE .(2)连接BD 交AF 于点M ，连接QM .∵F 为CD 的中点，∴在底面ABCD 中，DM MB ＝DF AB ＝12，∴DM DB ＝13.∴PQ PB ＝DM DB ＝13，∴在△BPD 中，PD ∥QM . 又QM ⊂平面QAF ，PD ⊄平面QAF ，∴PD ∥平面QAF .2．(2019·天津高考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面P AC ⊥平面PCD ，P A ⊥CD ，CD ＝2，AD ＝3.(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面P AD ； (2)求证：P A ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值． 解：(1)证明：连接BD ，易知AC ∩BD ＝H ，BH ＝DH . 又由BG ＝PG ，故GH ∥PD .又因为GH ⊄平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，所以GH ∥平面P AD . (2)证明：取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN ⊥PC . 又因为平面P AC ⊥平面PCD ，平面P AC ∩平面PCD ＝PC ，所以DN ⊥平面P AC .又P A ⊂平面P AC ，所以DN ⊥P A . 又已知P A ⊥CD ，CD ∩DN ＝D ， 所以P A ⊥平面PCD .(3)连接AN ，由(2)中DN ⊥平面P AC ，可知∠DAN 为直线AD 与平面P AC 所成的角． 因为△PCD 为等边三角形，CD ＝2且N 为PC 的中点， 所以DN ＝ 3.又DN ⊥AN ，在Rt △AND 中，sin ∠DAN ＝DN AD ＝33.所以，直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值为33. 3．(2020·广东省七校联考)如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，AA 1⊥底面ABC ，且AA 1＝AB ＝3，D 是BC 中点．(1)求证：A 1B ∥平面ADC 1； (2)求证：平面ADC 1⊥平面DCC 1；(3)在侧棱CC 1上是否存在一点E ，使得三棱锥C -ADE 的体积是98？若存在，求出CE 的长；若不存在，说明理由． 解：(1)证明：连接A 1C 交AC 1于点O ，连接OD . ∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， AA 1⊥平面ABC ，∴四边形ACC 1A 1为矩形，可得点O 为A 1C 的中点． ∵D 为BC 的中点，∴DO 为△A 1BC 的中位线，∴A 1B ∥OD . ∵OD ⊂平面ADC 1，A 1B ⊄平面ADC 1， ∴A 1B ∥平面ADC 1.(2)证明：∵底面ABC 是正三角形，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥CD ，∵CC 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥AD .∵CC 1∩CD ＝C ，∴AD ⊥平面DCC 1，∵AD ⊂平面ADC 1，∴平面ADC 1⊥平面DCC 1.(3)假设在侧棱CC 1上存在一点E ，使三棱锥C -ADE 的体积是98，设CE ＝m ， ∵V C -ADE ＝V A CDE ，∴13×12×CD ×CE ×AD ＝98， ∴13×12×32×m ×332＝98， ∴m ＝3，即CE ＝ 3.∴在侧棱CC 1上存在一点E ，当CE ＝3时，三棱锥C ADE 的体积是98. 4．如图①所示，已知四边形SBCD 是由Rt △SAB 和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中∠SAB ＝∠SDC ＝90°.且点A 为线段SD 的中点，AD ＝2DC ＝1，AB ＝2.现将△SAB 沿AB 进行翻折，使得二面角S -AB -C 的大小为90°，得到图形如图②所示，连接SC ，点E ，F 分别在线段SB ，SC 上，连接AF ，AC ，AE ，CE ，BD .(1)证明：BD ⊥AF ；(2)若三棱锥B -AEC 的体积为四棱锥S -ABCD 体积的25，求点E 到平面ABCD 的距离． 解：(1)证明：由二面角S -AB -C 的大小为90°，易知SA ⊥AD ，又SA ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，故SA ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以SA ⊥BD .在直角梯形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AD ＝2CD ＝1，AB ＝2，所以tan ∠ABD ＝tan ∠DAC ＝12，即∠ABD ＝∠DAC . 又∠DAC ＋∠BAC ＝90°，所以∠ABD ＋∠BAC ＝90°，即AC ⊥BD . 又AC ∩SA ＝A ，故BD ⊥平面SAC ， 因为AF ⊂平面SAC ，所以BD ⊥AF .(2)设点E 到平面ABCD 的距离为h ，因为V 三棱锥B -AEC ＝V 三棱锥E -ABC ，且V 三棱锥B -AEC V 四棱锥S -ABCD ＝25， 故V 四棱锥S -ABCD V 三棱锥E -ABC ＝13S 梯形ABCD ·SA 13S △ABC ·h ＝52×12×112×2×1×h ＝52， 故h ＝12，即点E 到平面ABCD 的距离为12.。
空间位置关系的判断与证明
空间中得线面关系要求层次重难点空间线、面得位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系得定义,并了解如下可以作为推理依据得公理与定理。
◆公理１:如果一条直线上得两点在一个平面内,那么这条直线上所有得点在此平面内.◆公理2:过不在同一条直线上得三点,有且只有一个平面、◆公理3:如果两个不重合得平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点得公共直线.◆公理4:平行于同一条直线得两条直线互相平行。
◆定理:空间中如果一个角得两边与另一个角得两边分别平行,那么这两个角相等或互补.②以立体几何得上述定义、公理与定理为出发点,认识与理解空间中线面平行、垂直得有关性质与判定.理解以下判定定理、◆如果平面外一条直线与此平面内得一条直线平行,那么该直线与此平面平行.◆如果一个平面内得两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行、◆如果一条直线与一个平面内得两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直、公理1,公理2,公理3,公理4,定理＊A高考要求模块框架空间位置关系得判断与证明＊公理1:如果一条直线上得两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.公理２:过不在一条直线上得三点,有且只有一个平面、公理３:如果两个不重合得平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点得公共直线. 公理４:平行于同一条直线得两条直线平行。
定理:空间中如果两个角得两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
知识内容1、集合得语言:我们把空间瞧做点得集合,即把点瞧成空间中得基本元素,将直线与平面瞧做空间得子集,这样便可以用集合得语言来描述点、直线与平面之间得关系:点在直线上,记作:;点不在直线上,记作;点在平面内,记作:;点不在平面内,记作;直线在平面内(即直线上每一个点都在平面内),记作;直线不在平面内(即直线上存在不在平面内得点),记作;直线与相交于点,记作,简记为;平面与平面相交于直线,记作.2。
平面得三个公理:⑴公理一:如果一条直线上得两点在一个平面内,那么这条直线上所有得点都在这个平面内、图形语言表述:如右图:符号语言表述:⑵公理二:经过不在同一条直线上得三点,有且只有一个平面,也可以简单地说成,不共线得三点确定一个平面.图形语言表述:如右图,符号语言表述:三点不共线有且只有一个平面,使.⑶公理三:如果不重合得两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点得公共直线。
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空间中的线面关系要求层次重难点空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．理解以下判定定理．◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面公理1，公理2，公理3，公理4，定理*A高考要求模块框架空间位置关系的判断与证明*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．1．集合的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ∉； 点A 在平面α内，记作：A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉； 直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l α⊂； 直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l α⊄； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =； 平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=． 2．平面的三个公理：⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 图形语言表述：如右图：知识内容符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图，符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α， 使,,A B C ααα∈∈∈．⑶ 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图：符号语言表述：,A a A a αβαβ∈⇒=∈．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．3．平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面．<教师备案>1．公理１反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面内．2．公理２可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的．要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平面经过它们． 确定一个平面的意思是有且仅有一个平面．3．公理３反应了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到．4．平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都可以由这三个公理得到．推论１与２直接在直线上取点，利用公理１与２便可得到结论，推论３是由平行的定义得到存在性的，再由公理２保证唯一性．线线关系与线面平行1．平行线：在同一个平面内不相交的两条直线．平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．2．空间中两直线的位置关系：⑴共面直线：平行直线与相交直线；⑵异面直线：不同在任一平面内的两条直线．3．空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．如右图中的空间四边形ABCD ，它有四条边,,,AB BC CD DA ，两条对角线,AC BD ． 其中,AB CD ；,AC BD ；,AD BC 是三对异面直线．4．直线与平面的位置关系：⑴直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂，如图⑴；⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵； ⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．5．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒． 图象语言表述：如右图：6．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒． 图象语言表述：如右图：DCBAl3()2()1()lAαααlmlα<教师备案>1．画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行； 2．等角定理证明：已知：如图所示，BAC ∠和B A C '''∠的边//AB A B ''，//AC A C ''，且射线AB与A B ''同向，射线AC 与A C ''同向． 求证：BAC B A C '''∠=∠证明：对于BAC ∠和B A C '''∠在同一平面内的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面内的情形．分别在BAC ∠的两边和B A C '''∠的两边上截取线段AD AE 、和A D A E ''''、，使,AD A D AE A E ''''==，因为//''AD A D ，所以AA D D ''是平行四边形 所以//AA DD ''．同理可得//AA EE ''，因此//DD EE ''． 所以DD E E ''是平行四边形． 因此DE D E ''=． 于是ADE A D E '''∆≅∆． 所以BAC B A C '''∠=∠．3．根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线成的角．异面直线所成角的范围是π(0,]24．线面平行判定定理（,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒），即线线平面，则线面平行．要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（//l m ），所以它们可以确定一个平面β，β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线m 上，从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．5．线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，这平行的定义立即可得（共面且无交点）．βαl mE'E DC BAA'D 'B 'C '面面平行的判定与性质1．两个平面的位置关系⑴两个平面,αβ平行：没有公共点，记为//αβ；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：⑵两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=．2．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行．符号语言表述：,,,//,////a b a b A a b ααββαβ⊂⊂=⇒．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行． 3．两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒． 图象语言表述：如右图：<教师备案>1．画两个平面相交时，可以先画出交线，再补充其它，平面被遮住的部分画成虚线或不画． 如右图所示：2．面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到，如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾．故这两个平面不相交，是平行平面．3．面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到．4．在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，γbaβα要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论．由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心内容，因此在出题时经常会有所结合，本板块专门就平行知识的题目类型归纳，更综合的题目会在第十一讲中详细讲解．由于线面与面面问题之间都是互相转化的，因此本板块中的面面平行题目较少，多数都为线面平行问题．本板块题目多采用两种方法，事实上就是两种思路证明线面平行，一种方法线线平行⇒线面平行，另一种方法是面面平行⇒线面平行．线面垂直1．线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称 这两条直线互相垂直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直． 2．直线与平面垂直：⑴概念：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足． 垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如右图．直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥．⑵线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． ⑶线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．<教师备案>1．如果定义了异面直线所成角，则异面垂直即异面直线所成角为90︒．2．线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断．要证明判定定理，只能用定义，若',',AA m AA n m n B ⊥⊥=，,m n α⊂，要证'AA α⊥，αln mA'EDCB Aβα在平面α内任选一条直线g ，去证'AA g ⊥，结合右图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略． 3．线面垂直的性质定理，可以用同一法证明， 如图：直线,l m αα⊥⊥，若直线,l m 不平行，则过直线l 与平面α的交点B 作直线'//m l ，从而有'm α⊥．又相交直线,'m m 可以确定一个平面β，记a αβ=，则因为,'m m 都垂直于平面α，故,'m m 都垂直于交线a ．这与在一个平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故,'m m 重合，//m l ，性质定理得证．由同一法还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条．点面距离与线面角 （一）主要方法：本板块所学内容为点面距离与线面角，求点面距离有两种方法，首先可以通过直接法作面的垂线，其次可以通过体积法转化，或者将问题转化为与面平行的直线上的点到面的距离；线面角问题属于线面关系的一种，是线面垂直与面面垂直定理的应用． １．点、斜线、斜线段及射影⑴点在直线上的射影自点A 向直线l 引垂线，垂足1A 叫做点A 在直线l 上的射影．点A 到垂足的距离叫点到直线的距离．⑵点在平面内的射影自点A 向平面α引垂线，垂足1A 叫做点A 在平面α内的射影，这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到这个平面的距离． ⑶斜线在平面内的射影一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点和斜足间的线段，叫做这点到平面的斜线段．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这平面内的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影． 2．直线和平面所成的角直线和平面所成的角，应分三种情况：⑴直线和平面斜交时，线面所成的角是这条直线和它在平面内的射影所成的锐角； ⑵直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90；⑶直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0．laABm'mβα．显然，直线和平面所成的角的范围为0,90⎡⎤⎣⎦由此可见，一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题），是通过斜线在平面内的射影转化成两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：⑴作——作出斜线与射影所成的角；⑵证——论证所作（或找到）的角就是要求的角；⑶算——常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带作用《灌排工程工》知识要点一、•选择题（共70题）1、灌溉水进入田间并湿润植物根区土壤的方式与方法，称为( A )。