教案《数学分析》正项级数

§2 正 项 级 数

一 正项级数收敛性的一般判别原则

若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数——正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。

定理12-2-1 正项级数∑∞=1n n u

收敛⇔部分和数列{}n S 有界。

证明：由于对n ∀，0>n u ，故{}n S 是递增的，因此，有

∑∞=1n n u

收敛⇔{}n S 收敛⇔{}n S 有界。

定理12-2-2（比较原则） 设

∑∞=1n n u 和∑∞

=1n n v 均为正项级数，如果存在某个正数N ，使得对

N n >∀都有 n n v u ≤，

则 （1）若级数∑∞=1

n n v

收敛，则级数∑∞=1n n u 也收敛；

（2）若级数∑∞=1n n u

发散，则级数∑∞=1n n v 也发散。

证明：由定义及定理12-2-1即可得。

例1 考察∑∞

=+-1211n n n 的收敛性。 解：由于当2≥n 时，有

222)

1(1)1(1111-≤-=-≤+-n n n n n n n ， 因正项级数∑∞=-22)

1(1n n 收敛，故∑∞=+-1211n n n 收敛。 推论（比较判别法的极限形式） 设 ∑∞=1n n u

和∑∞

=1n n v 是两个正项级数，若

l v u n

n n =∞→lim

， 则 （1） 当+∞<

、∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散；

（2）当0=l 且级数∑∞=1

n n v

收敛时，级数∑∞=1n n u 也收敛； （3）当+∞=l 且∑∞=1n n v

发散时，级数∑∞=1n n u 也发散。

证明：由比较原则即可得。

例2 讨论级数

∑-n n 21 的收敛性。 解：利用级数∑n 2

1的收敛性，由推论可知级数∑-n n 21收敛。 例3 由级数∑n 1的发散性，可知级数∑n 1sin 是发散的。 二 比式判别法和根式判别法

定理12-2-3 （达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设∑n u 为正项级数，且存在某个正整数0N 及常数

)1,0(∈q ：

（1） 若对0N n >∀，有 q u u n

n ≤+1，则级数∑n u 收敛 ； （2） 若对0N n >∀，有

11≥+n n u u ，则级数∑n u 发散。 证明：（1）不妨设对一切n ，有q u u n

n ≤+1成立，于是，有 q u u ≤12， ,23q u u ≤， ,1

q u u n n ≤-。 故 11

2312--≤⋅⋅⋅n n n q u u u u u u ， 即 11-≤n n q u u ，由于，当)1,0(∈q 时，级数 ∑∞=-11n n q

收敛，由比较原则，可知级数∑n u 收敛。

(2) 因此时0lim ≠∞→n n u ，故级数∑n u 发散。

推论（比式判别法的极限形式）设∑n

u 为正项级数，且 q u u n

n n =+∞→1lim ， 则（1）当1

（2） 当1>q （可为∞+）时，级数∑n u 发散；

（3） 当1=q 时，级数∑n

u 可能收敛，也可能发散。如：∑n 1，∑21n 。 证明：由比式判别法和极限定义即可得。

例4讨论级数

+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)]

1(41[951)]1(32[852951852515212n n 的收敛性。

例5 讨论级数)0(1>∑-x nx n 的收敛性。

定理12-2-4（柯西判别法，或称根式判别法） 设

∑n u 为正项级数，且存在某个正整 数0N 及正常数l ，

（1）若对0N n >∀，有

1<≤l u n n ， 则级数∑n u 收敛； （2）若对0N n >∀，有

1≥n n u ， 则级数∑n u 发散。 证明：由比较判别法即可得。

推论（根式判别法的极限形式）设∑n u 为正项级数，且

l u n n n =∞

→lim ， 则 （1）当1

（2）当1>l （可为∞+）时，级数

∑n u 发散； （3）当1=q 时，级数∑n

u 可能收敛，也可能发散。如：∑n 1，∑21n 。 例6 讨论级数 ∑-+n

n

2)1(2的敛散性。 解：由上推论即得。

说明：因 ⇒=+∞→q u u n

n n 1lim q u n n n =∞→lim 这就说明凡能用比式判别法判定收敛性的级数，也能用根式判别法来判断，即根式判别法较之比式判别法更有效。但反之不能，如例6。

三 积分判别法

特点：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。 定理12-9 设)(x f 为[),1+∞上非负减函数，则正项级数

∑)(n f 与反常积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发

散。

证明：由假设)(x f 为[),1+∞上非负减函数，则对任何正数A ，)(x f 在[1，A]上可积，从而有 ⎰--≤≤n

n n f dx x f n f 1)1()()(， ,3,2=n

依次相加，得 ∑⎰∑∑-====-≤≤11122

)()1()()(m n m m n m n n f n f dx x f n f 若反常积分收敛，则对m ∀，有

⎰⎰∑+∞=+≤+≤=

111)()1()()1()(dx x f f dx x f f n f S m m n m 。 于是，知 级数

∑)(n f 收敛。

反之，若级数∑)(n f 收敛，则对任意正整数)1(>m ，有 ∑∑⎰=≤=≤-=-S n f n f S dx x f m n m m )()()(1

111。

又因)(x f 为[),1+∞上非负减函数，故对任何1>A ，有 S S dx x f n A <≤≤

⎰1)(0, 1+≤≤n A n 。 故知，反常积分⎰+∞

1)(dx x f 收敛。

同理可证它们同时发散。

例7 讨论下列级数

（1） ∑∞=11n p n ，（2）∑∞=2)(ln 1n p n n ， （3） ∑∞

=3)ln )(ln (ln 1n p n n n 的敛散性。