福建省宁德一中2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题 Word版含解析

宁德一中2019-2020学年第一学期高一月考2
数学试卷
一、单选题(每小题只有一个选项符合题目要求;每小题5分，共60分)
1.已知集合{}
ln 1A x x =＜
，{
}
20B y y x ==-，则A ∪B =( )
A. ()0,e
B. ()0,+∞
C. [)0,+∞
D.
()0,e [)20,+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
由条件计算出A B 、集合，再计算并集.
【详解】集合{}{}
ln 10A x x x x e ==＜
＜＜，{
}
{}200B y y x y y ==
-=≥，
∴{}
0A B x x ⋃=≥，故选C.
【点睛】集合的描述法一定要辨别清楚集合所描述的对象，{
}
20B y y x ==-所描述的是
函数值构成的集合，易错. 2.以下不等式中错误的是（ ） A. 55log 0.7log 8.1< B. 0.20.2log 6log 7>
C. 0.1 1.2log 5log 3<
D. log 4log 7(0a a a <>且1)a ≠
【答案】D 【解析】 【分析】
利用对数函数的单调性比较大小，利用底真同对数正、底真异对数负判断对数正负从而比较大小.
【详解】A ．由对数函数：y =log 5x 在（0，+∞）上单调递增可得：log 50.7＜log 58.1，正确；
B ．由对数函数：y =log 0.2x 在（0，+∞）上单调递减可得：log 0.26＞log 0.27，正确；
C ．由对数函数：log 0.15＜0＜log 1.23，可得：log 0.15＜log 1.23，正确：
D ．由对数函数：a ＞1时，y =log a x 在（0，+∞）上单调递增；0＜a ＜1时，y =log a x 在（0，+∞）
上单调递减．因此log a 4＜log a 7（a ＞0且a ≠1）的大小关系不确定．错误．
故选D ．
【点睛】对数函数单调性的判断，底大于1单调递增，底小于1大于0单调递减.
3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中卷一《方田》记载 ：“今有宛田，下周八步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长8步，其所在圆的直径是4步，则这块田的面积是（ ） A. 8平方步 B. 6平方步
C. 4平方步
D. 16平方
步 【答案】A 【解析】 【分析】
利用扇形面积计算公式即可得出．
【详解】∵弧长8步，其所在圆的直径是4步， ∴由题意可得：S 1
2
=⨯2×8＝8（平方步）， 故选A ．
【
点睛】本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4.函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是 A. （-2,-1） B. （-1,0）
C. （0,1）
D. （1,2）
【答案】C 【解析】 试
题
分析：
()()()()2102220,1120,0020,1120f e f e f e f e ---=--<-=--<=+-=+-
()()100f f ∴<，所以零点在区间（0，1）上
考点：零点存在性定理
5.已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意首先确定实数a ,b 的取值范围，然后结合函数的性质即可确定满足题意的函数图像. 【详解】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，2
13
a ∴<<， 故函数y =log a (x −
b )是定义域内的减函数,且过定点(1+b ,0). 结合所给的图像可知只有C 选项符合题意. 故选：C .
【点睛】本题主要考查三角函数的性质，对数函数的图像识别等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为O ，始边与x 轴正半轴重合，终边过点()
2,y ，
且14
sin 4
α=
，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）
A .
17
- B. 17
+71
- 17
+ 【答案】B 【解析】
【分析】
通过三角函数定义求y，并且一定注意终边所过点
的取值范围．再利用两角和余弦公式进行化简，求值．
【详解】由终边过点()y
，得sinα==y=
即终边过点(
，sin
44
αα
∴==-
cos()cos cos sin sin
444
πππ
ααα
+=-=
故选B．
【点睛】使用三角函数定义，需注意sin,cos
y x
r r
αα
==，其中
0,,
r r x R y R
>=∈∈．
7.下列函数中，既是偶函数，又在区间[]
0,1上单调递增的是（）
A. cos
y x
= B. 2
y x
=- C.
1
2
x
y⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
D.
sin
y x
=
【答案】D
【解析】
分析：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质，对选项中的函数逐一验证判断即可.
详解：四个选项中的函数都是偶函数，
在[]
0,1上,,
A B C三个函数在[]
0,1上都递减，不符合题意，
在[]
0,1上递增的只有D，而故选D．
点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.
8.函数()()()
tan0
f x x
πωω
=+>的图象的相邻两支截直线1
y=所得的线段长为
3
π
，则12
f
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
的值是（）
A. 0 C. 1
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意可知函数周期为
3
π
，利用周期公式求出ω，计算即可求值. 【详解】由正切型函数的图象及相邻两支截直线1y =所得的线段长为
3
π
知， 3T π
πω=
=，
所以3ω=，
()tan(3)tan 112
12
4
f πππ
π=+⨯==，故选C.
【点睛】本题主要考查了正切型函数的周期，求值，属于中档题. 9.已知锐角θ满足2sin 263
θπ⎛⎫+=
⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）
A. 1
9
-
C.
19
D. 【答案】D 【解析】
分析：由二倍角公式得cos 3πθ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，
再由5cos ?cos sin 6323ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
结合同角三角函数关系可得解. 详解：由2sin 263θπ⎛⎫+=
⎪⎝⎭，得28112sin 12699θπ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭，即1cos 39πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
由θ为锐角，且1cos 039πθ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以3πθ+因为锐角，所以sin 03πθ⎛
⎫+> ⎪⎝⎭.
5cos cos sin 6323ππππθθθ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+
=++=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭. 故选D.
点睛：解决三角变换中的给值求值问题时，一定要注意先化简再求值，同时要注意所给条件
在解题中的整体作用．
10.如图所示，矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼（The London Eye ）是世界上首座、也曾经是世界最大的观景摩天轮，已知其旋转半径60米，最高点距地面135米，运行一周大约30分钟，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10分钟时他距地面大约为（ ）
A. 95米
B. 100米
C. 105米
D. 110米
【答案】C 【解析】 【分析】
设人在摩天轮上离地面高度（米）与时间t （分钟）的函数关系为
()sin()f t A t B ωϕ=++(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈，根据已知条件求出
()f t =60cos
7515
t π
-+，再求(10)f 得解.
【详解】设人在摩天轮上离地面高度（米）与时间t （分钟）的函数关系为
()sin()f t A t B ωϕ=++(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈，
由题意可知60A =，1356075B =-=，230T π
ω
==，所以15
π
ω=
，
即()60sin 7515f t t πϕ⎛⎫
=++
⎪⎝⎭
. 又因为(0)13512015f =-=， 解得sin 1ϕ=-，故32
π
ϕ=， 所以()f t =360sin 7560cos 7515215t t πππ⎛⎫
+
+=-+
⎪
⎝⎭
， 所以2(10)60cos 751053
f π
=-⨯+=. 故选C.
【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 11.若函数()sin cos f x a x b x =+在3
x π
=处取得最大值4，则
a
b
=（ ） A. 1
C. 2
D. 3
【答案】B 【解析】
对于函数f(x)
有4142b ⎧=+=解得
,b=2,所以a
b
故选B.
12.已知函数()()()3
=f x x a g x -+，且()g x a +为R 上奇函数.若存在(
,)42
ϕππ
∈，使
()()sin cos 0f f ϕϕ+=，则实数a 的取值范围是( )
A. 1(,
22
B. 1()22
-
- C. 1
(0,)2
D. 1(,0)2
-
【答案】A 【解析】 【分析】
分析()f x 的对称性，得到关于,a ϕ的等式，然后根据(,)42
ϕππ
∈以及三角函数的性质即可求解出a 的取值范围.
【详解】因为()g x a +为R 上奇函数，所以()g x 关于(),0a 成中心对称， 又因为()3
y x a =-关于(),0a 成中心对称，
所以()f x 关于(),0a 成中心对称， 故sin cos 2a ϕϕ+=
24a πϕ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
，即sin 4πϕ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
， 又,42ππϕ⎛⎫∈
⎪⎝⎭，所以3,
424πππϕ⎛
⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，所以12
<<，
所以12a <<，所以实数a 的取值范围是1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
. 故选：A.
【点睛】本题考查函数的对称性以及正弦型函数的值域，难度一般.
()g x a +为R 上奇函数⇔()g x 关于(),0a 成中心对称，()g x a +为R 上偶函数⇔()
g x 关于直线x a =对称.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13.设函数()()3log ,09,
{4,9,
x x f x f x x <≤=->则()13f 的值为__________．
【答案】2 【解析】
3(13)(9)log 92f f ===.
14.已知函数()sin f x x ω=（ω为正整数）在区间ππ,612⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上不单调，则ω的最小值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】
函数()sin f x x ω=在区间ππ,612⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上不单调，可得ππ62ω
⎛⎫
-<- ⎪
⎝⎭
或ππ122ω≥，进而求解即可
【详解】因为ω为正整数，函数()sin f x x ω=在区间ππ,612⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上不单调，所以ππ
62
ω⎛⎫-<- ⎪⎝⎭
或ππ
122
ω
≥，解得3ω>，所以ω的最小值为4． 答案：4
【点睛】本题考查三角函数的单调性问题，解题的关键点在于利用区间ππ,612⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上不单调，
得出ππ62ω⎛⎫-
<- ⎪
⎝⎭
或ππ122ω≥，属于基础题 15.给出下列四个命题： ①()sin 24f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的对称轴为3,28
k
x k Z ππ=
+∈； ②函数()sin f x x x =+的最大值为2； ③(0,),sin cos x x x π∀∈>； ④函数()sin 23f x x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
在区间0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增．
其中正确命题的序号为__________． 【答案】①② 【解析】 【
分析】
对①，由正弦型函数的通式求解即可； 对②，结合辅助角公式化简，再进行最值判断； 对③，由特殊函数值可判断错误；
对④，先结合诱导公式将函数化为()sin 23f x x ⎛
⎫
=--
⎪⎝
⎭
π，
由0,3x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
π求出23x π-的范围，再结合增减性判断即可 【详解】令2,4
2
x k k Z -
=
+∈⇒π
π
π3,28
k x k Z ππ
=
+∈，故①正确；()sin 2sin 3f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，故该函数的最大值为2，故②正确；
当4
x π
=
时，sin cos x x =，故③错误；
由0,
2,3333x x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎥⎝⎡⎤∈⇒⎢⎣⎭⎦⎣⎦
ππππ，故()sin 2sin 233f x x x ⎛⎫⎛
⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ在区间0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，故④错误． 故答案为①②
【点睛】本题考查函数基本性质的应用，正弦型函数对称轴的求法，辅助角公式的用法，函数在给定区间增减性的判断，属于中档题
16.已知函数()()log 2a f x x a =-在区间1[)423
，上恒有()0f x >，则实数a 的取值范围是________ 【答案】11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
将对数型函数的底数a 分类讨论：1,01a a ><<，然后根据对数式恒大于零列出对应的不等式组并求解出解集，即可得到a 的取值范围. 【详解】若函数()log (2)a f x x a =-在区间12,
43⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上恒有()0f x >， 则01021a x a <<⎧⎨<-<⎩或1
21a x a >⎧⎨->⎩
，
当01021a x a <<⎧⎨<-<⎩时，01
124
2
21
3a a a <<⎧⎪
⎪<⨯⎨⎪⎪≥⨯-⎩
，解得11
32a ≤<； 当121a x a >⎧⎨->⎩时，1
2213a a >⎧⎪⎨≤⨯-⎪⎩
，此时a 无解.
综上实数a 的取值范围是11,32⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.
故答案为：11,32⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.
【点睛】本题考查对数函数以及不等式恒成立问题，难度一般.
(1)讨论指数型、对数型函数的值域时，若底数是参数形式，一定要注意对底数作分类讨论； (2)不等式恒成立问题的两种处理方法：分类讨论法、参变分离法.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.（1）计算0
0.5
49(ln 5)()
log 24
+；
（2）已知集合{|37}{|210}={|5}A x x B x x C x a x a =≤<=<<-<<，，,若
()C A B ⊆,求a 的取值范围.
【答案】（1）1（2）(,3]-∞ 【解析】 【分析】
(1)利用分数指数幂、根式化简、对数计算法则完成计算； (2)先计算出A
B 的结果，然后根据()
C A B ⊆列出对应的不等式（注意空集的情况），求
解出a 的范围即可.
【详解】（1）原式1
2
29111log 242
⎛⎫=++- ⎪
⎝⎭
31
11122
=++-=+
（2）因为{|210}A B x x ⋃=<<且()C A B ⊆，
①若C =∅，则5a a -≥，解得5
2
a ≤
. ②若C ≠∅，则2510a a ≤-<≤，解得5
32
a <≤.
综上所述，3a ≤，即a 的取值范围是(,3]-∞
【点睛】本题考查指对数的计算以及根据集合间的关系求解参数范围，难度较易.根据集合间的关系求解参数范围时，要考虑到集合是否可能为空集的情况，避免造成漏解.
18.（1）求值: sin 7cos15sin8cos7sin15sin8︒+︒︒
︒-︒︒；
（2）已知1
0sin cos ,25
x x x π-<<+=，
，求sin cos x x -的值.
【答案】（1）2；（2）7
sin cos 5
x x -=-
【解析】 【分析】
(1)将7︒改写成158︒-︒的形式，然后根据两角差的正余弦公式展开并化简，最后借助两角差的正切公式即可得到结果；
(2)利用()2
sin cos 1sin 2x x x +=+以及角的范围完成计算即可. 【详解】（1）
()()sin 158cos15sin 8sin 7cos15sin 8sin15cos8cos15sin 8cos15sin 8cos 7sin15sin 8cos15cos8sin15sin 8sin15sin 8cos 158sin15sin 8︒︒︒︒
︒︒︒︒︒︒︒︒︒
︒︒︒︒︒︒︒︒︒
︒︒︒︒-++-+==
-+---
()sin15cos8sin15tan15tan 4530cos15cos8cos15
︒︒︒︒︒︒︒︒︒====
-1tan 45tan 301tan 45tan 303
︒
︒
︒︒-
-===+
1226-=
==（2）由题意得2
2
2
2
1(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 25x x x x x x x ⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭
，则
24sin 225
x =-
， 因为2
2
2
2449
(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 212525x x x x x x x ⎛⎫-=+-=-=--=
⎪⎝⎭
， 又02
x π
-
<<，则sin 0,cos 0x x <>，所以sin cos 0x x -<，
所以7
sin cos 5
x x -=-
. 【点睛】本题考查三角函数的化简与计算，难度一般.
(1)计算非特殊角的三角函数值时，可通过非特殊角与特殊角之间的和、差、倍、分关系，转而去计算特殊角的三角函数值；
(2)注意三角恒等式：()()2
2
sin cos 1sin 2,sin cos 1sin 2.x x x x x x +=+-=- 19.函数()()sin f x A x =+ωϕ（A 、ω、ϕ常数，0A >，0>ω，2
π
ϕ<）的部分图象
如图所示.
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向左平移
6
π
单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的单调递减区间. 【答案】（Ⅰ）()2sin 23f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
；
（Ⅱ）()5,12
12k k k Z π
πππ⎡
⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）先计算出()()max min
2
f x f x A -=
，由函数图象得出()y f x =的最小正周期T ，再由
公式2T πω=
求出ω的值，然后将点7,212π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
代入函数解析式并结合ϕ的取值范围求出ϕ的值，由此可得出函数()y f x =的解析式；
（Ⅱ）利用图象变换得出函数()y g x =的解析式为()22sin 213g x x π⎛
⎫
=++
⎪⎝
⎭
，然后解不等式
()232222
32
k x k k Z π
ππππ+≤+
≤+∈，可得出函数()y g x =的单调递减区间. 【详解】（Ⅰ）由图可知，()()()
max min
2222
2
f x f x A ---=
=
=， 设函数()y f x =的最小正周期为T ，则
741234
T πππ=-=，T π∴=，则22T π
ω==，
()()2sin 2f x x ϕ∴=+，
由图象可知7772sin 22sin 212126f π
ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，7sin 16πϕ⎛⎫
∴+=- ⎪⎝⎭
，
2
2
π
π
ϕ-
<<
，275363πππϕ∴
<+<，7362
ππϕ∴+=，3π
ϕ∴=，
因此，()2sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
； （Ⅱ）由题意可得()22sin 212sin 21633g x x x πππ⎡⎤
⎛⎫⎛
⎫
=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦
， 由()232222
32k x k k Z π
ππππ+
≤+
≤+∈，得()51212
k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 因此，函数()y g x =的单调递减区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦. 【点睛】本题考查利用图象求三角函数的解析式，同时也考查了三角函数图象变换以及正弦型三角函数单调区间的求解，解题时要将角视为一个整体，利用正弦函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 20.已知函数()2
1
x
f x x =
+的定义域为()1,1- （1）证明()f x 在()1,1-上是增函数； （2）解不等式()()210f x f x -+<
【答案】（1）证明见解析 （2）10,3⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）根据增函数定义进行求证；
（2）先判断函数奇偶性，再根据奇偶性与单调性化简不等式，即得结果. 【详解】（1）证明：设1211x x -<<<，则
()()()()()()
121212
122222*********x x x x x x f x f x x x x x ---=
-=++++ ()()221212121211,0,10,110x x x x x x x x -<<<∴-<->++>
()()120f x f x ∴-<，即()()()12,f x f x f x <∴在()1,1-是增函数
（2）
()()()()2,1,1,1
x
f x x f x f x x ∈---=-∴+=
为奇函数， 由()()210f x f x -+<得()()()()21,21f x f x f x f x -<-∴-<-
由()1知()f x 在()1,1-是增函数，则12111121x x x x
-<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩
，解得1
03x <<
∴原不等式的解集为10,3⎛⎫
⎪⎝⎭
【点睛】本题考查函数奇偶性、函数单调性定义以及利用函数性质解不等式，考查中华分析求解能力，属中档题.
21.已知函数(
)()23sin(
)2cos 12
f x x x x π
π++=+-. （1）求函数()f x 的最大值和最小值,并求取得最大值和最小值时对应的x 的值； （2）设方程()f x m =在区间(0,)π内有两个相异的实数根12,x x ，求12+x x 的值. 【答案】（1）最大值为2，此时,6
=+∈x k k Z π
π，最小值为-2，此时,3
x k k Z π
π=-
∈；
（2）123
x x π
+=或1243
x x π
+=
【解析】 【分析】
(1)利用诱导公式和二倍角公式以及辅助角公式化简原式，并根据最大值和最小值的计算公式求解出取最大值、最小值时对应的x ；
(2)将方程解的个数转化为函数图象的交点个数，借助图象分析求解出12+x x 的值，注意对称性的应用. 【详解】（1
）
23())sin 2cos 12f x x x x ππ⎛⎫=+++- ⎪⎝
⎭2cos2x x =+2sin 26x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
()f x 的最大值为2，x 取得最大值对应的x 的值,6
=+∈x k k Z π
π，
()f x 的最小值为-2，x 取得最小值对应x 的值,3
x k k Z π
π=-
∈.
（2）因为()f x m =，所以sin 262
m x π⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭， ()f x m =在(0,)π内有相异的两个实数根()12,sin 26x x g x x π⎛
⎫⇔=+ ⎪⎝
⎭与2m y =在(0,)
π
内有两个不同的交点， 同一坐标系中作出()g x 与2
m
y =
图象如下图：
由图象可知：
1122m <<或1122
m -<<， 令2,6
2
x k k Z π
π
π+
=+
∈，所以,26
k x k Z ππ
=
+∈， 又因为()0,x π∈，所以(0,)π内()g x 的对称轴有：2,6
3
x x π
π==
， 当(1,2)m ∈，函数()y g x =的图象关于直线6
x π
=
对称，1226
3
x x π
π
+=⨯
=
；
当(1,2)m ∈-，函数()y g x =的图象关于直线23
x π=对称，1224233x x ππ
+=⨯=， 综上：123
x x π
+=
或1243
x x π
+=
. 【点睛】本题考查三角函数性质的应用，着重考查了数形结合思想分析问题，难度一般. (1)函数()()()h x f x g x =-的零点个数⇔方程()()f x g x =根的数目⇔()f x 与()g x 的图象交点个数；
(2)求解正弦型函数()sin y A ωx φ=+取最值时x 的值、对称轴，以整体的角度思考问题， 令x ωϕ+分别等于正弦函数sin y x =取最值时x 的值、对称轴，求解出的x 的取值集合即为所求结果.
22.已知函数()()()2log 2x
f x k
k R =+∈的图象过点()0,2P ．
（1）求k 的值并求函数()f x 的值域；
（2）若关于x 的方程()f x x m =+在[)2,0-有实根，求实数m 的取值范围； （3）若函数()()12
22x f x h x a ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
=-⋅，则是否存在实数a ，对任意[]10,4x ∈，存在[]
20,2x ∈
使()()122h x f x ≥+成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3k =；()2log 3,+∞ （2）(]22,log 13 （3）存在，0a ≤或4a ≥ 【解析】 【分析】
（1）因为函数()()()2log 2x
f x k
k R =+∈的图象过点()0,2P ，把点()0,2P 代入由
(0)2f =即可求解.
（2）关于x 的方程()f x x m =+在[)2,0-有实根，即2log (23)x
m x =+-有实根， 即函数2log (23)x
y x =+-与函数y m =有交点，令2()log (23)x
g x x =+-，()g x 的值域即
为实数m 的取值范围，
（3）对任意[]10,4x ∈，存在[]20,2x ∈使()()122h x f x ≥+成立，
则()()12min 2h x f x ≥+，由()()
2log 23x
f x =+单调递增，求出2min ()2f x =，令
[]2
21,4x t =∈ ，则[]2
()23,1,4h t t at t =-+∈ ，
即2234t at -+≥或者2234t at -+≤-恒成立在[]1,4t ∈上， 分离参数即可求解.
【详解】（1）因为函数()()()2log 2x
f x k
k R =+∈的图象过点()0,2P ，
所以(0)2f =，即2log (1)2k +=，所以3k =，
所以()(
)
2log 23x
f x =+，因为2x
y =单调递增，所以()(
)
2log 23x
f x =+单调递增，
因为233x +>，所以()()
22log 23log 3x
f x =+>，
所以函数()f x 的值域为()2log 3,+∞.
（2）因为关于x 的方程()f x x m =+在[)2,0-有实根，即2log (23)x
m x =+-有实根，
即函数2log (23)x
y x =+-与函数y m =有交点，
令2()log (23)x
g x x =+-，则函数()y g x =的图像与直线y m =有交点，
又22222233
()log (23)log (23)log 2log log (1)22
x x
x
x
x x
g x x +=+-=+-==+ 任取12,x x R ∈且12x x <，则12022x x <<
所以
121122x x >，所以12
33
1122x x +>+， 所以12
221233
log (1)log ()((1)0)22x x g x g x +-=+->
所以12()()g x g x > 所以()g x 在R 上是减函数， 因为[)2,0x ∈-，所以3
41132
x <+≤， 所以(]2()2,log 13g x ∈
所以实数m 的取值范围为(]22,log 13
（3）由题意对任意[]10,4x ∈，存在[]20,2x ∈使()()122h x f x ≥+成立，
则()()12min 2h x f x ≥+，由（1）知，当[]20,2x ∈时，()()
2log 23x
f x =+单调递增，
所以2min ()2f x =， 又()()
11222
22
232
2223x x x f x x
x
h x x
a a a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
=-⋅=+-⋅=-⋅+ ，[]10,4x ∈
令[]221,4x
t =∈ ，则[]2
()23,1,4h t t at t =-+∈ ， 所以2
()234h t t at =-+≥[]1,4t ∈恒成立，
所以2234t at -+≥或者2234t at -+≤-恒成立在[]1,4t ∈上，
即min 12()a t t ≤-或者max 72()a t t ≥+ 令1
()t t t
φ=-，则()t φ在[]1,4t ∈上单调递增，所以min ()(1)0t φφ==
所以20a ≤，即0a ≤
令7
()t t t
ϕ=+
，函数()t ϕ在⎡⎣单调递减，在4⎤⎦单调递增，
(1)178ϕ=+=，7
(4)4(1)84
ϕϕ=+<=
所以max ()(1)8t ϕϕ== 所以28a ≥ 即4a ≥
综上所述，存在0a ≤或4a ≥，对任意[]10,4x ∈，存在[]20,2x ∈使()()122h x f x ≥+成立.
【点睛】本题主要考查求复合函数的值域、函数与方程的关系、由方程的根求参数的取值范围、绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，综合性比较强，属于难题.。