高二数学必修三知识点梳理：判断充分与必要条件
高二数学必修三知识点：判断充分与必要条件
高二数学必修三知识点：判断充足与必需条件在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。
查词典数学网为大家介绍了高二数学必修三知识点，请大家认真阅读，希望你喜爱。
一、定义法关于“?圯”,能够简单的记为箭头所指为必需 ,箭尾所指为充足。
在解答此类题目时 ,利用定义直接推导 ,必定要抓住命题的条件和结论的四种关系的定义。
例 1 已知 p:-2剖析条件 p 确立了 m,n 的范围 ,结论 q 则明确了方程的根的特点,且 m,n 作为系数 ,所以理应联想到根与系数的关系,而后再进一步化简。
解设 x1,x2 是方程 x2+mx+n=0 的两个小于 1 的正根 ,即 0而关于知足条件p 的 m=-1,n=, 方程 x2-x+=0 并没有实根 ,所以pq。
综上 ,可知 p 是 q 的必需但不充足条件。
评论解决条件判断问题时,务必分清谁是条件,谁是结论 ,而后既要试试由条件可否推出结论,也要试试由结论可否推出条件,这样才能明确做出充足性与必需性的判断。
二、会合法假如将命题 p,q 分别看作两个会合 A 与 B,用会合意识解说条第1页/共3页件,则有 :①若 A?哿 B,则 x∈ A 是 x ∈ B 的充足条件 ,x∈ B 是x∈ A 的必需条件 ;②若 A?芴 B,则 x∈A 是 x∈ B 的充足不用要条件 ,x∈ B 是 x ∈ A 的必需不充足条件 ;③若 A=B, 则 x∈ A 和x∈ B 互为充要条件 ;④若 A?芫 B 且 A?芸 B,则 x∈ A 和x∈ B 互为既不充足也不用要条件。
三、逆否法利用互为逆否命题的等价关系,应用“正难则反”的数学思想 ,将判断“p?圯 q”转变为判断“非 q 非 p”的真假。
例 3(1)判断 p:x ≠3且 y≠2是 q:x+y ≠5的什么条件 ;(2)判断 p:x ≠3或 y≠2是 q:x+y ≠5的什么条件。
解(1)原命题等价于判断非 q:x+y=5 是非 p:x=3 或 y=2 的什么条件。
高中数学知识讲解_充分条件与必要条件_基础
充分条件与必要条件【学习目标】1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系；4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.【要点梳理】要点一：充分条件与必要条件、充要条件的概念1. 符号p q⇒与p q⇒/的含义“若p，则q”为真命题，记作：p q⇒；“若p，则q”为假命题，记作：p q⇒/.2. 充分条件、必要条件与充要条件①若p q⇒，称p是q的充分条件，q是p的必要条件.②如果既有p q⇔，这时p是q的充分必要条件，称p是⇒，又有q p⇒，就记作p qq的充要条件.要点诠释：对p q⇒的理解：指当p成立时，q一定成立，即由p通过推理可以得到q.①“若p，则q”为真命题；②p是q的充分条件；③q是p的必要条件.以上三种形式均为“p q⇒”这一逻辑关系的表达.要点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断1. 从逻辑推理关系看命题“若p，则q”，其条件p与结论q之间的逻辑关系.①若p q⇒，但q p⇒/，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；②若p q⇒，则p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件；⇒/，但q p③若p q⇔，则p、q互为充要条件；⇒，且q p⇒，即p q④若p q⇒/，则p是q的既不充分也不必要条件.⇒/，且q p2. 从集合与集合间的关系看若p：x∈A，则q：x∈B.①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；②若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件；③若A=B，则p、q互为充要条件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，则p是q的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件.要点三：充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）.要点诠释：对于命题“若p ，则q ” ：①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”与其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真命题；②如果p 是q 的必要条件，则其逆命题“若q ，则p ”与其否命题“若p ⌝，则q ⌝”为真命题；③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1. 指出下列各题中，p 分别是q 的什么条件？(1) p ：(2)(3)0x x --=， q ： 2x =；(2) p ：0c =， q ： 抛物线2y ax bx c =++过原点；(3) p ：一个四边形是矩形， q ： 四边形的邻边相等.【思路点拨】本题中，p 是条件，q 是结论. 尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件，从而判断p 分别是q 的什么条件.【解析】(1)∵p ： 2x =或3x =， q ： 2x =，∴p q ⇒/且q p ⇒，∴p 是q 的必要不充分条件.(2)∵p q ⇒且q p ⇒，∴p 是q 的充要条件，(3)∵p q ⇒/且q p ⇒/，∴p 是q 的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式1】指出下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：A B ∠=∠， q ：A ∠和B ∠是对顶角.（2）p ：1x =， q ：21x =；【解析】（1）∵p q ⇒/且q p ⇒，∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件.（2）∵2:111q x x x =⇔==-或∴211x x =⇒=，但211x x =⇒=/，∴p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.【变式2】判断下列各题中p 是q 的什么条件.（1）p ：0a >且0b >， q ：0ab >；（2）p ：1x y>， q ： x y >. 【答案】（1）p 是q 的充分不必要条件.∵0a >且0b >时，0ab >成立；反之，当0ab >时，只要求a 、b 同号即可.∴必要性不成立.（2）p 是q 的既不充分也不必要条件∵1x y >在0y >的条件下才有x y >成立. ∴充分性不成立，同理必要性也不成立.【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】例2. 已知p ：0<x <3，q ：|x -1|<2，则p 是q 的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解不等式|x -1|<2得-1<x <3，即q ：-1<x <3.将集合P ={|03}x x <<与Q ={|13}A x x =<< 在数轴上表示出来，如图，从图中看P Q ⊆， 所以p ⇒q ，但q ⇒/p ，故p 是q 的充分不必要条件.【总结升华】①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.举一反三：【高清课堂：充分条件与必要条件394804例3】【变式1】设x ∈R ，则条件“2x >”的一个必要不充分条件为（ ）A.1x >B.1x <C.3x >D.3x <【答案】A【变式2】下列各小题中，p是q的什么条件？（1）p：22-<<；xx-≤≤，q：20（2）p：03xx-<<.<<，q：13【答案】(1) p是q的必要不充分条件；(2) p是q的充分不必要条件.【变式3】设条件甲为“250x x--<””那么甲是乙的（）-<”，条件乙为“2560x xA、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答案】B类型二：充要条件的探求与证明例3.设x y、∈R，求证：|x y+|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【思路点拨】注意分清条件与结论. 本题中条件：xy≥0；结论：|x y+|=|x|+|y|.要证明充要条件的成立，须从两方面着手：条件∣结论；结论∣条件.【证明】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x＜0，y＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=| x|+|y|.总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即2222x xy y x xy y++=++，|xy|=xy，22∴xy≥0.综上可得|x y+|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用A B⇔与A B⌝⇔⌝的⇒与B A⌝⇒⌝；A B⇒与A B⌝⇒⌝；B A等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法.（3）利用集合间的包含关系判断，若A B⊆，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件.举一反三：【变式1】已知a b c，，都是实数，证明ac< 0是关于x的方程2++=0有一个正ax bx c根和一个负根的充要条件.【解析】（1）充分性：若ac<0，则Δ=b2-4ac>0，方程2ax bx c++=0有两个相异实根，设为x1，x2，∵ac<0，∴x1·x2=ca<0，即x1，x2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根.（2）必要性：若方程2ax bx c++=0有一个正根和一个负根，设为x1，x2，且x1>0，x2<0，则x1·x2=ca<0，∴ac<0.综上可得ac<0是方程2ax bx c++=0有一个正根和一个负根的充要条件. 【变式2】求关于x的方程2210ax x++=至少有一个负的实根的充要条件. 【解析】（1）a=0时适合.（2）当a≠0时，显然方程没有零根.若方程有两异号的实根，则必须满足1440aaa⎧<⎪⇒<⎨⎪∆=->⎩；若方程有两个负的实根，则必须满足12001440aa aa⎧>⎪⎪⎪-<⇒<≤⎨⎪⎪∆=-≥⎪⎩综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1类型三：充要条件的应用例4.已知条件p：2x+ax＋1≤ 0，条件q：23x x－＋2≤ 0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】－2≤a≤2【解析】解不等式23x x－＋2≤ 0得1≤x≤2.令A＝{x∈R|2x+ax＋1≤ 0}，B＝{x|1≤x≤2}，∵p是q的充分不必要条件，∴p q⇒，即A⊆B，可知A=∅或方程2x+ax＋1＝0的两根要在区间[1，2]内，∴Δ＝a 2－4<0或01224210110a a a ∆≥⎧⎪⎪≤-≤⎪⎨⎪++≥⎪++≥⎪⎩，得－2≤a ≤2. 【总结升华】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A 、B ，再由它们的因果关系，得到A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.举一反三：【变式1】已知命题p ：()110c x +c c <<>－，命题q ：x >7或x <－1，并且p 是q 的既不充分又不必要条件，则c 的取值范围是________．【答案】0<c ≤2【解析】命题p 对应的集合A ＝{x|1－c<x<1＋c ，c>0}，同理，命题q 对应的集合B ＝{x|x>7或x<－1}．因为p 是q 的既不充分又不必要条件，所以A B =∅或A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，所以1117c c -≥-⎧⎨+≤⎩，①或1117c c +≥-⎧⎨-≤⎩，②，解①得c≤2，解②得c≥－2，又c>0，综上所述得0<c≤2.【变式2】已知p ：1|1|23x --≤，q ：22210(0)x x m m -+-≤>，若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.【答案】9m ≥【解析】由22210(0)x x m m -+-≤>解得11m x m -≤≤+ 又由1|1|23x --≤解得210x -≤≤ p 是q 的充分不必要条件，所以012,110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩或012,110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩解得9m ≥。
充分条件、必要条件判断的三种方法
充分条件、必要条件判断的三种方法聂海峰对于充要条件的判断，许多同学感觉困难，下面结合典型例题说明充要条件判断的三种常用方法，供大家参考。
1。
利用定义判断如果已知p q ⇒，则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件。
根据定义可进行判断。
例1. 已知p 、q 都是r 的必要条件,s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s 是q 的_________条件;r 是q 的_______________条件；p 是q 的____________条件. 解:根据题意可表示为：r p r q s r q s ⇒⇒⇒⇒，，，由传递性可得图1图1所以s 是q 的充要条件；r 是q 的充要条件；p 是q 的必要条件。
2. 利用等价命题判断原命题与其逆否命题是“同真同假"的等价命题,当我们直接判断原命题的真假有困难时，可以转化为判断其逆否命题的真假。
这一点在充要条件的判断时经常用到.由p q ⇒，容易理解p 是q 的充分条件，而q 是p 的必要条件却有点抽象。
p q ⇒与⌝⇒⌝q p 是等价的，可以解释为若q 不成立,则p 不成立，条件q 是必要的。
例2。
已知真命题“若a b ≥则c d ≤"和“若a b <则e f ≤",则“c d ≤”是“e f ≤”的____________条件。
解：“若a b ≥则c d >"的逆否命题为“若c d ≤则a b <"。
又“若a b e f <≤则”所以“若c d e f ≤≤则"为真命题。
故“c d ≤"是“e f ≤”的充分条件。
3. 把充要条件“直观化”如果p q ⇒，我们可以形象地认为p 是q 的“子集”；如果q p ⇒，我们认为p 不是q 的“子集”,根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明,现归纳如下。
图2反映了p 是q 的充分不必要条件时的情形。
图3反映了p 是q 的必要不充分条件时的情形。
高考数学充分条件和必要条件知识点总结归纳
高考数学充分条件和必要条件知识点总结归纳数学知识点的积累是高考必胜的法宝，以下是充分条件和必要条件知识点，请大家参考。
一、充分条件和必要条件当命题若A则B为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。
二、充分条件、必要条件的常用判断法1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=A或者A=B 是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。
3.集合法在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若AB，则p是q的充分条件。
若AB，则p是q的必要条件。
若A=B，则p是q的充要条件。
若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件。
三、知识扩展1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：(1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题;(2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题;(3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。
2.由于充分条件与必要条件是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑正难则反的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。
一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。
以上为大家分享的充分条件和必要条件知识点，查字典数学网希望大家可以熟练运用。
充分条件和必要条件(含区分和例题)
充分条件和必要条件解释：如果有事物情况A，则必然有事物情况B;如果没有事物情况A,则必然没有事物情况B,A就是B的充分必要条件（简称：充要条件）. 简单地说,满足A，必然B；不满足A，必然不B，则A是B的充分必要条件。
（A可以推导出B，且B也可以推导出A)例如： 1. A=“三角形等边”；B=“三角形等角”。
2. A=“某人触犯了刑律”；B=“应当依照刑法对他处以刑罚”。
3. A=“付了足够的钱"；B=“能买到商店里的东西”。
例子中A都是B的充分必要条件：其一、A必然导致B；其二,A是B发生必需的.区分:假设A是条件，B是结论由A可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的充要条件(充分且必要条件）由A可以推出B~由B不可以推出A～～则A是B的充分不必要条件由A不可以推出B～由B可以推出A～~则A是B的必要不充分条件由A不可以推出B~由B不可以推出A~～则A是B的不充分不必要条件简单一点就是:由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件如果能由结论推出条件,但由条件推不出结论。
此条件为必要条件如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论。
此条件为充要条件例子：1。
充分条件：由条件a推出条件b，但是条件b并不一定能推出条件a，天下雨了，地面一定湿,但是地面湿不一定是下雨造成的。
2。
必要条件：由后一个条件推出前一个条件,但是前一个条件并一定能推出后一个条件。
我们把前面一个例子倒过来:地面湿了，天下雨了。
我这里在简单说下哲学上的充分条件和必要条件1. 充分条件是指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果.充分条件是事物运行发展的必然性条件，体现必然性的哲学内涵.如父亲和儿子的关系属于亲情关系吗？答必然属于。
2. 必要性条件。
事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或内在的条件符合该事物的运行规律的要求，但不能推动事物规律的最终运行。
如亲情关系和父子关系，亲情关系符合父子关系的一种现象表达，但不能推倒出亲情关系属于父子关系。
高中数学讲义：充分条件与必要条件
充分条件与必要条件一、基础知识1、定义：（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q Þ，（2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q Þ，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。
所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件（2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q Û，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价（4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件4、如何判断两个条件的充分必要关系（1）通过命题手段，将两个条件用“若……，则……”组成命题，通过判断命题的真假来判断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。
例如2:1;:10p x q x =-=，构造命题：“若1x =，则210x -=”为真命题，所以p q Þ，但“若210x -=，则1x =”为假命题（x 还有可能为1-），所以q 不能推出p ；综上，p 是q 的充分不必要条件（2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系① 充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。
在逻辑中充分也是类似的含义，是指仅由p 就可以得到结论q ，而不需要再添加任何说明与补充。
以上题为例，对于条件:1p x =，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到2:10q x -=所以可以说p 对q 是“充分的”，而反观q 对p ，由2:10q x -=，要想得到:1p x =，还要补充一个前提：x 不能取1-，那既然还要补充，则说明是“不充分的”② 必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。
高中数学充分条件和必要条件
第8讲：充分条件和必要条件【知识点梳理】知识点：充分条件与必要条件【考点解析】考点一：充分条件的判断例1．设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件变式训练1：“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件变式训练2：2x =是260x x +-=的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件变式训练3：设x ∈R ，则“2230x x --<”是“13x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式训练4：使得()20x y -=成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．20x y +-= B ．22(2)0x y +-= C ．221x y +=D ．0x =或2y =考点二：必要条件的判断例2．已知a ，b ，c 是实数，则下列命题是真命题的（ ） A ．“a b >”是“22a b >”的充分条件 B ．“a b >”是“22a b >”的必要条件 C ．“a b >”是“22ac bc >”的充分条件 D ．“a b >”是“22ac bc >”的必要条件变式训练1：若a R ∈，则“1=a ”是“1a =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件变式训练2：“2320x x -+>”是“1x <或4x >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式训练3：已知a ，b ，R c ∈，则“a b >”是“22ac bc >”成立的（ ） A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件变式训练4：使得“1x >”成立的一个必要且不充分的条件是（ ） A ．21x >B ．3 1x >C ．11x> D ．2x >考点三：充分条件与必要条件（一）例3．华夏文明五千多年，孕育出璀璨的诗歌篇章，诗歌“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”一句引自王昌龄的《从军行七首（其四）》，楼兰，汉时西域国名．据《汉书》载：汉武帝时，曾使通大宛国，楼兰王阻路，攻截汉朝使臣．汉昭帝元凤四年（公元前77）霍光派傅介子去楼兰，用计斩杀楼兰王．唐时与吐蕃在此交战颇多，王昌龄诗中借用傅介子斩楼兰王典故，表明征战将士誓平边患的决心．那么，“不破楼兰终不还”中，“还”是“破楼兰”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式训练1：老师经常说“努力不一定成功，但是不努力一定不会成功”，若这句话是真命题，则“努力”是“成功”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式训练2：为促进离汉人员安全有序流动，统筹推进疫情防控和复工复产复学，国务院联防联控机制日前印发《关于做好离汉人员新冠肺炎检测和健康管理服务工作的通知》，重点人群离汉前按照“应检尽检”原则进行新冠病毒核酸检测，离汉人员到达目的地后满足相应条件即可正常复工复产复学.这里的“相应条件”是“正常复工复产复学”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点四：充分条件与必要条件的应用（二）例4．已知,a b R ∈，那么“1a b +>”是“221a b +>”成立的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件变式训练1：如果2:2,:4,p x q x >->则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式训练2：如果p 是q 的必要不充分条件，q 是r 的充要条件，r 是s 的充分不必要条件，那么p 是s 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件考点五：充分条件与必要条件的应用（三）例5．已知p :1x >或2x <-，q :x a >，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．{}2a a <- B ．{}2a a >-C ．{}21a a -<≤D ．{}1a a ≥变式训练1：若“14x ≤≤”是“4a x a ≤≤+”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0a ≤B ．0a ≤或1a ≥C ．01a <<D ．01a ≤≤变式训练2：已知条件12p x +≤：，条件q x a ≤：，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥B ．1a ≤C ．1a ≥-D ．3a ≤﹣变式训练3：已知:11p m x m -<<+，()():260q x x --<，且q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ） A ．35m <<B ．35m ≤≤C ．5m >或3m <D ．5m >或3m ≤考点六：充分条件与必要条件的应用（四）例6．已知集合{}211A x m x m =-<<+，{}24B x x =<. （1）当2m =时，求AB ，A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.变式训练1：已知集合{}12A x x =-<<，{}|1120B x m x m m =-<<+>，，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围变式训练2：已知集合{14}M xx =-<<∣，{0}N x x a =->∣． （1）当1a =时，求M N ⋂，M N ⋃;（2）若x M ∈是x ∈N 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【课堂检测】1、“5x =”是“2450x x --=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2、设a R ∈，则“23a <<”是“2560a a --<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、设命题甲为“03x <<”，命题乙为“12x -<“，那么甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、设R a ∈，则“a >22a >”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件5、“04a <<”是“210ax ax ++>对x ∈R 恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、若“x a >”是“13x<”的一个充分不必要条件，则下列a 的范围满足条件的是（ ） A ．2a > B ．102a <<C ．13a <-D ．13a -<<7、若“2x >”是“x a >”的必要不充分条件，则a 的取值范围是（ ） A ．{|2}a aB ．{}|2a a ≤C ．{}|2a a >D ．{|2}a a ≥8、“三角形ABC 为锐角三角形”是“A ∠为锐角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9、设,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b <成立的必要不充分条件是（ ） A ．1a b <+B ．1a b <-C ．22a b <D ．33a b <10、设集合{}|2M x x =>，{}|6P x x =<，那么“x M ∈或x P ∈”是“x M P ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11、使不等式22530x x --≥成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．0x ≥或2x -≤ B ．0x <或2x > C ．1x <-或4x >D ．12x ≤-或3x ≥12、使()f x = ）A ．16x -≤≤B ．13xC ．26x -<<D ．61x -<<13、不等式22530x x --≥成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．0x ≥ B ．0x <或2x > C ．2x <-D ．12x ≤-或3x ≥14、王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A ．必要条件 B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件15、盛唐著名边塞诗人王昌龄在其作品《从军行》中写道：青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．其最后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16、唐代诗人杜牧的七绝唐诗中的两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙．”其中后一句“成仙”是“到蓬莱”的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件17、2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19(新冠肺炎)新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征.“某人表现为发热､干咳､浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件18、2019年12月，湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例．2020年1月12日，世界卫生组织正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2019新型冠状病毒”．2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19（新冠肺炎）｡新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征｡“某人表现为发热､干咳､浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的（）．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件19、“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席1935年10月所写的一首词《清平乐·六盘山》，反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神，其中“到长城”是“好汉”的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分条件D．必要条件20、钱大姐常说“好货不便宜”，她这话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件21、除夕夜，万家团圆之时，中国人民解放军陆、海、空三军医疗队驰援武汉.“在疫情面前，我们中国人民解放军誓死不退！不获胜利决不收兵！”这里“获取胜利”是“收兵”的（ ）. A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件22、已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．12m >B ．12m ≥C ．1mD ．m 1≥23、已知:12p x +≥，:q x a ≥，若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥B ．1a >C ．3a ≥-D ．3a >-24、若1x a -<成立的充分不必要条件是312x <<，则a 的取值范围（ ） A ．122a <<B ．122a ≤≤ C ．12a ≤或2a ≥D ．12a <或2a >25、已知:12p x -≤<，2:21q a x a ≤≤+，若p 是q 的必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤-B ．112a -<≤-C ．112a -<≤ D ．112a -≤<26、设p ：112x ≤≤；q ：1a x a ≤≤+，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．102a <<B ．102a ≤≤C ．102a ≤<D ．102a <≤27、已知条件p ：2230x x --≤，条件q ：x a ≤，若p 是q 的充分非必要条件，利用教材中《子集与推出关系》的方法，求出实数a 的取值范围.28、设{|1A x x =≤或4},{|22}x B x a x a ≥=-<<. （1）若AB R =，求实数a 的取值范围；（2）设:,:p x A q x B ∈∈，且p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.。
充分条件、必要条件判断的三种方法
充分条件、必要条件判断的三种方法聂海峰对于充要条件的判断，许多同学感觉困难，下面结合典型例题说明充要条件判断的三种常用方法，供大家参考。
1. 利用定义判断如果已知，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。
根据定义可进行判断。
例1. 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s是q的_________条件；r是q的_______________条件；p是q的____________条件。
解：根据题意可表示为：由传递性可得图1图1所以s是q的充要条件；r是q的充要条件；p是q的必要条件。
2. 利用等价命题判断原命题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题，当我们直接判断原命题的真假有困难时，可以转化为判断其逆否命题的真假。
这一点在充要条件的判断时经常用到。
由，容易理解p是q的充分条件，而q是p的必要条件却有点抽象。
与是等价的，可以解释为若q不成立，则p不成立，条件q是必要的。
例2. 已知真命题“若则”和“若则”，则“”是“”的____________条件。
解：“若则”的逆否命题为“若则”。
又“若”所以“若”为真命题。
故“”是“”的充分条件。
3. 把充要条件“直观化”如果，我们可以形象地认为p是q的“子集”；如果，我们认为p不是q的“子集”，根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明，现归纳如下。
图2反映了p是q的充分不必要条件时的情形。
图3反映了p是q的必要不充分条件时的情形。
图4反映了p是q的充要条件时的情形。
图5、图6反映了p是q的既不充分也不必要条件时的情形。
例3. 若，则p是q的什么条件？解：由题设可知参照图3，可得p是q的必要不充分条件。
充分、必要条件的判断原创赢鼎教育赢鼎提分 2016-10-12你是个有逻辑性的人吗？先不要这么着急、这么自信的回答小编，来问你个问题：“如果天下雨，地就会湿”。
天要是不下雨，地湿还是不湿？哈哈，有意思吧，这就是逻辑哦，而且和高中数学息息相关。
充分条件和必要条件的记忆口诀
充分条件和必要条件的记忆口诀充要条件和必要条件是数学中比较容易混淆的知识点，为帮助大家更好的区分二者，整理了记忆口诀及相关内容如下，供大家参考。
充分条件和必要条件的口诀如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。
如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件。
充分条件：如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。
其中A为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B 的真子集；若属于B的也属于A，则A与B相等。
必要条件：必要条件是数学中的一种关系形式。
如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作“B含于A”。
数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，我们就说A是B 的必要条件。
充要条件和必要条件的解题方法1.充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件。
注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”。
2．从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”。
3.在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系。
要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可。
对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手。
4.充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件，有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分。
充分条件和必要条件的记忆口诀
充分条件和必要条件的记忆口诀充要条件和必要条件是数学中比较容易混淆的知识点，为帮助大家更好的区分二者，整理了记忆口诀及相关内容如下，供大家参考。
充分条件和必要条件的口诀如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。
如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件。
充分条件：如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。
其中A为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B 的真子集；若属于B的也属于A，则A与B相等。
必要条件：必要条件是数学中的一种关系形式。
如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作“B含于A”。
数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，我们就说A是B 的必要条件。
充要条件和必要条件的解题方法1.充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件。
注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”。
2．从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”。
3.在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系。
要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可。
对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手。
4.充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件，有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分。
充分条件,必要条件,充要条件题型解析文章
充分条件,必要条件,充要条件题型解析在数学中，充分条件、必要条件和充要条件是重要的概念，它们在题型解析中起着至关重要的作用。
了解它们的含义和应用能够帮助我们更深入地理解数学题目，并在解题过程中更加灵活地运用相关知识。
1. 充分条件充分条件指的是某一条件成立，则结论一定成立。
在数学中，通常用“A⇒B”来表示充分条件，意思是如果A成立，则B一定成立。
在判断一个三角形为等边三角形时，我们可以用“三条边相等是等边三角形的充分条件”来说明。
也就是说，如果三角形的三条边相等，那么它一定是等边三角形。
这种条件的成立，是保证结论成立的充分条件。
2. 必要条件必要条件指的是某一条件成立是必须的，如果它不成立，则结论也一定不成立。
在数学中，通常用“A⇐B”来表示必要条件，意思是如果B不成立，则A也不成立。
举个例子，在判断一个数为3的倍数时，我们可以用“能被3整除是3的倍数的必要条件”来说明。
也就是说，如果一个数能被3整除，那么它一定是3的倍数。
这种条件的不成立，是导致结论不成立的必要条件。
3. 充要条件充要条件是充分条件和必要条件的结合，它指的是某一条件成立是充要的，即该条件既是充分条件，也是必要条件。
在数学中，通常用“A⇔B”来表示充要条件，意思是A成立当且仅当B成立。
举个例子，对于一个自然数是奇数的条件，我们可以用“能被2整除是偶数的充要条件”来说明。
也就是说，一个自然数是奇数，当且仅当它不能被2整除。
这种条件的成立是确保结论成立的充要条件。
通过以上对充分条件、必要条件和充要条件的解释，我们可以更清晰地理解这些概念在数学题型中的应用。
在具体的题目解析中，我们可以根据题目要求和条件限制，灵活地运用这些概念，从而更加准确地得出结论。
个人观点：在数学学习过程中，充分条件、必要条件和充要条件是十分重要的概念。
通过对这些概念的深入理解，我们可以更加灵活地运用数学知识，在解题过程中准确地得出结论。
这些概念的理解也有助于培养逻辑思维能力，提高数学解题的能力和水平。
高中数学：充分条件与必要条件
充分条件与必要条件 逻辑推理论证过程是高中 数学的重要知识点，很多人对于这部分知识存疑，是因为对证明原理理解不够透彻，福建教师招聘考试网 根据考纲要求整理知识点如下：一、充分条件1.概述充分条件一定能保证结果的出现。
2.定义如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A而未必没有事物情况B，A就是B的充分而不必要的条件，简称充分条件。
简单地说，满足A，必然B；不满足A，不必然B，则A是B的充分条件。
例如：1.A下雨；B地湿。
2.A烧柴；B会产生二氧化碳。
例子中A都是B的充分条件，确切地说，A是B的充分而不必要的条件：其一，A必然导致B；其二，A不是B发生必需的。
二、必要条件1.概述如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B；如果有事物情况A而未必有事物情况B，2.定义简单地说，不满足A，必然不B；满足A，不必然B，则A是B的必要条件。
例如：1.A不断呼吸；B人能活着。
2.A认识26个字母；B能看懂英文。
3.A听过京剧；B能体会到京剧的美。
例子中A都是B的必要条件，确切地说，A是B的必要而不充分的条件：其一，A是B发生必需的；其二，A不必然导致B。
三、数学表达1.充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可推出q，记作p=>q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件；2.充要条件：一般地，如果既有p=>q，又有q=>p，就记作p<=>p，此时我们说，p是q 的充分必要条件，简称充要条件。
概括的说，如果，那么p与q互为充要条件。
四、充分条件、必要条件常用判断法1.定义法：判断B是A的什么条件，实际上就是判断B=>A或A=>B是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断。
2.转化法：当所给命题的充要条件不易判定时，可对命题进行等价转化，例如改用其逆否命题进行判断。
高考数学复习点拨 充要条件相关知识梳理
高考数学复习点拨 充要条件相关知识梳理一、重、难点透视正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、逆命题否命题、逆否命题的概念是本节的重点；掌握逻辑推理能力和语言互译能力，对充要条件概念本质的把握是本节的难点.二、知识网络构建三、知识要点梳理1．对概念的理解：充分条件：对于命题“若p 则q”为真时，即如果p 成立，那么q 一定成立，记作“p q ⇒”，称p 为q 的充分条件.意义是说条件p 充分保证了结论q 的成立，换句话说要使结论q 成立，具备条件p 就够了当然q 成立还有其他充分条件.如:6;:2p x q x ≥>，p 是q 成立的充分条件，而:3r x >也是q 成立的充分条件.必要条件：如果q 成立，那么p 成立，即“q p ⇒”，或者如果p 不成立，那么q 一定不成立，也就是“若非p 则非q”，记作 “p q ⌝⇒⌝”，这是就说条件p 是q 的必要条件，意思是说条件p 是q 成立的必须具备的条件.充要条件：如果既有“p q ⇒”，又有“q p ⇒”，则称条件p 是q 成立的充要条件，或称条件q 是p 成立的充要条件，记作“p q ⇔”.2．从集合角度看概念：如果条件p 和结论q 的结果分别可用集合P 、Q 表示，那么①“p q ⇒”，相当于“P Q ⊆”，即 P Q 或 P 、Q即：要使x ∈Q 成立，只要x ∈P 就足够了——有它就行.②“q p ⇒”，相当于“Q P ⊆”，即 Q P 或 P 、Q即：为使x ∈Q 成立，必须要使x ∈P ——缺它不行.③“p q ⇔”，相当于“P Q =”，即 P 、Q即：互为充要的两个条件刻画的是同一事物.3. 当命题“若p 则q”为真时，可表示为p q ⇒，则我们称p 为q 的充分条件，q 是p 的必要条件.这里由p q ⇒，得出p 为q 的充分条件是容易理解的.但为什么说q 是p 的必要条件呢？事实上，与“p q ⇒”等价的逆否命题是“q p ⌝⇒⌝”.它的意义是：若q 不成立，则p 一定不成立.这就是说，q 对于p 是必不可少的，所以说q 是p 的必要条件.4．“充要条件”的含义，实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同.也就是说，如果命题p 等价于命题q ，那么我们说命题p 成立的充要条件是命题q 成立；同时有命题q 成立的充要条件是命题p 成立.5. 对于多个条件的关系判定，可先译出各个条件的相互转化关系的结构图，再作判定.如，“q 是r 的必要条件，p 是q 的必要条件，p 是r 的什么条件？”就可用结构图示法表示为“,p r p q ⇐⇐”即“r p q ⇒⇒”.四、方法点拨1.借助于集合知识加以判断，若P Q ⊆，则P 是Q 的充分条件，Q 是的P 的必要条件；若P Q =，则P 与Q 互为充要条件.2.等价法：“p q ⇒”⇔“q p ⌝⇒⌝”，即原命题和逆否命题是等价的；原命题的逆命题和原命题的否命题是等价的.3.对于充要条件的证明，一般有两种方法：其一，是用分类思想从充分性、必要性两种情况分别加以证明；其二，是逐步找出其成立的充要条件用“⇔”联结.五、特别提醒1.要注意充分条件和充分非必要条件的区别与联系，只要满足p q ⇒，就可以断定p 是q 的充分条件；若有p q ⇒，同时 ,才能说p 是q 的充分条件非必要条件.也就是说，充分非必要条件是充分条件的一种特殊情形.同样地，必要条件和必要条件非充分条件亦有类似的关系.2. “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”.如“一元二次方程20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b ac -≥”也可说为“一元二次方程20ax bx c ++=有实数解，当且仅当240b ac -≥”.3.要灵活应用原命题与原命题的逆否命题是等价的，即“p q ⇒”⇔“q p ⌝⇒⌝”，来判断和证明问题，当直接直接判断或证明一个命题（特别是否定形式的命题）较为复杂时，我们应退一步考虑其逆否命题，常常可以收到意想不到的效果，如判断“12x y ≠≠或是3x y +≠的什么条件？”，就应考虑其逆否命题“3x y +=是12x y ==且的什么条件？”,显然是必要不充分条件.六、高考透视充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系，它是中学数学最重要的数学概念之一，它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础.在每年的高考中，都会考查此类问题.。
高考数学必考之充分条件与必要条件
高考数学必考之充分条件与必要条件一、基础知识1、定义：（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q ⇒，（2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q ⇒，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。
所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件（2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q ⇔，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价（4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件4、如何判断两个条件的充分必要关系（1）通过命题手段，将两个条件用“若……，则……”组成命题，通过判断命题的真假来判断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。
例如2:1;:10p x q x =-=，构造命题：“若1x =，则210x -=”为真命题，所以p q ⇒，但“若210x -=，则1x =”为假命题（x 还有可能为1-），所以q 不能推出p ；综上，p 是q 的充分不必要条件（2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系① 充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。
在逻辑中充分也是类似的含义，是指仅由p 就可以得到结论q ，而不需要再添加任何说明与补充。
以上题为例，对于条件:1p x =，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到2:10q x -=所以可以说p 对q 是“充分的”，而反观q 对p ，由2:10q x -=，要想得到:1p x =，还要补充一个前提：x 不能取1-，那既然还要补充，则说明是“不充分的”② 必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。
充分条件和必要条件的判断
充分条件和必要条件的判断一、必要和充分条件怎么判断充分条件：如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。
其中A 为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B的真子集；若属于B 的也属于A，则A与B相等。
必要条件：必要条件是数学中的一种关系形式。
如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作“B含于A”。
数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，我们就说A是B的必要条件。
二、充分条件和必要条件的关系1、充分条件：如果条件A是结论B的充分条件：A与其他条件是并连关系，即A、C、D….中任意一个存在都可以使得B成立（就像是个人英雄主义）。
2、必要条件：条件A是结论B的必要条件：A与其他条件是串联关系，即条件A必须存在，且条件C、D….也全部存在才可能导致B结论。
（团结的力量）。
3、充分必要条件，又称充要条件，是数学中的一种关系形式，即如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。
三、充分条件和必要条件哪个范围大一些充分条件大，充分条件：有A这个条件一定能推出B这个结果，但是有B这个结果不一定能推出A这个唯一条件。
必要条件：有B这个结果一定能推出A这个条件，但是A这个条件不能推出B 这个结果。
充要条件”包含了“充分条件”和“必要条件”，范围比两者都要更大，而“充分条件”和“必要条件”则包含了小部分条件不是完整的。
相互推理不同：“充分条件”不能推理出“必要条件”和“充要条件”；“必要条件”不能推理出“充分条件”和“充要条件”；“充要条件”可以推理出一定满足“充分条件”和“必要条件”。
高二年级必修三数学知识点整理
高二年级必修三数学知识点整理(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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知识讲解_充分条件与必要条件(经典)
充分条件与必要条件编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念符号p q ⇒与p q ⇒/的含义“若p ，则q ”为真命题，记作：p q ⇒；“若p ，则q ”为假命题，记作：p q ⇒/.充分条件、必要条件与充要条件①若p q ⇒，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.②如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔，这时p 是q 的充分必要条件，称p是q 的充要条件.要点诠释：对p q ⇒的理解：指当p 成立时，q 一定成立，即由p 通过推理可以得到q .①“若p ，则q ”为真命题；②p 是q 的充分条件；③q 是p 的必要条件以上三种形式均为“p q ⇒”这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若p ，则q ”，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系①若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；②若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件；③若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；④若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若A 是B 的 真子集，则p 是q 的充分不必要条件；③若A=B ，则p 、q 互为充要条件；④若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，则p 是q 的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.要点三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）要点诠释：对于命题“若p ，则q ”①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”与其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真命题；②如果p 是q 的必要条件，则其逆命题“若q ，则p ”与其否命题“若p ⌝，则q ⌝”为真命题；③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中，p 是q 的什么条件？(1) p : (2)(3)0x x --=， q : 2x =；(2) p : 0c =，q : 抛物线2y ax bx c =++过原点(3) p : 一个四边形是矩形，q : 四边形的邻边相等【解析】(1)∵p : 2x =或3x =, q : 2x =∴p q ⇒/且q p ⇒,∴p 是q 的必要不充分条件；(2)∵p q ⇒且q p ⇒,∴p 是q 的充要条件；(3)∵p q ⇒/且q p ⇒/，∴p 是q 的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式1】指出下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：A B ∠=∠，q ：A ∠和B ∠是对顶角.（2）:1p x =，2:1q x =；【答案】（1）∵p q ⇒/且q p ⇒，∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件.（2）∵2:111q x x x =⇔==-或∴211x x =⇒=，但211x x =⇒=/， ∴p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.【变式2】判断下列各题中p 是q 的什么条件.（1）p :0a >且0b >, q :0ab >（2）p :1>y x , q : x y >. 【答案】（1）p 是q 的充分不必要条件.∵0a >且0b >时，0ab >成立；反之，当0ab >时，只要求a 、b 同号即可.∴必要性不成立.（2）p 是q 的既不充分也不必要条件 ∵1>yx 在0y >的条件下才有x y >成立. ∴充分性不成立，同理必要性也不成立.【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】例2. 已知p ：0<x<3，q ：|x-1|<2，则p 是q 的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【解析】q ：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q ：-1<x<3.如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)， 从图中看P Q ， p ⇒q ，但q ⇒/p ，所以选择（A ）.【总结升华】①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.举一反三：【高清课堂：充分条件与必要条件394804例3】【变式1】设x R ∈，则条件“2x >”的一个必要不充分条件为（ ）A.1x >B.1x <C.3x >D.3x <【答案】A【变式2】（2015 天津文）设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的（ ）A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】由|x －2|＜1⇒ －1＜x －2＜1⇒－1＜x ＜3，可知“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分而不必要条件.故选:A.【变式3】 (2015 )若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】若l ⊥m ，因为m 垂直于平面α，则l ∥α或l ⊂α；若l ∥α，又m 垂直于平面α，则l ⊥m ，所以“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件，故选B ．类型二：充要条件的探求与证明例3. 设x 、y ∈R ，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy ＞0，即x ＞0，y ＞0或x ＜0，y ＜0，当x ＞0，y ＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x ＜0，y ＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x 、y ∈R ，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x 2+2xy+y 2=x 2+2|xy|+y 2，|xy|=xy ，∴xy≥0.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用A B ⇒与B A ⌝⇒⌝；B A ⇒与A B ⌝⇒⌝；A B ⇔与A B ⌝⇔⌝的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法.（3）利用集合间的包含关系判断，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件.举一反三：【变式1】已知a, b, c 都是实数，证明ac<0是关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】（1）充分性:若ac<0，则Δ=b 2-4ac>0，方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，设为x 1, x 2, ∵ac<0, ∴x 1·x 2=ac <0，即x 1,x 2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根. （2）必要性:若方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x 1,x 2,且x 1>0, x 2<0， 则x 1·x 2=ac <0，∴ac<0 综上可得ac<0是方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.【答案】（1）a=0时适合.（2）当a≠0时，显然方程没有零根， 若方程有两异号的实根，则必须满足100440a a a ⎧⎪<⇒<⎨⎪∆=->⎩； 若方程有两个负的实根，则必须满足102001440a a aa ⎧>⎪⎪⎪-<⇒<≤⎨⎪∆=-≥⎪⎪⎩综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1类型三：充要条件的应用例4. 已知p ：A ＝{x ∈R |x 2＋ax ＋1≤0}，q ：B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，∵p 是q 的充分不必要条件，∴p q ⇒，即A B ，可知A =∅或方程x 2＋ax ＋1＝0的两根要在区间[1,2]∴Δ＝a 2－4<0或01224210110a a a ∆≥⎧⎪⎪≤-≤⎪⎨⎪++≥⎪++≥⎪⎩，得－2≤a ≤2. 【总结升华】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A 、B ，再由它们的因果关系，得到A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.举一反三：【变式1】已知命题p ：1－c <x <1＋c (c >0)，命题q ：x >7或x <－1，并且p 是q 的既不充分又不必要条件，则c 的取值范围是________．【答案】0<c ≤2【解析】命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，同理，命题q 对应的集合B ＝{x |x >7或x <－1}．因为p 是q 的既不充分又不必要条件，所以A B ⋂=∅或A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，所以1117c c -≥-⎧⎨+≤⎩，①或1117c c +≥-⎧⎨-≤⎩，②，解①得c ≤2，解②得c ≥－2，又c >0，综上所述得0<c ≤2.【变式2】已知221:|1|2,:210(0),3x p q x x m m --≤-+-≤>若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.【答案】9m ≥【解析】由22210(0)x x m m -+-≤>解得11m x m -≤≤+ 又由1|1|23x --≤解得210x -≤≤ p 是q 的充分不必要条件，所以012,110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩或012,110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩解得9m ≥。
充分条件和必要条件(含区分和例题)
充分条件和必要条件解释：如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B，A就是B的充分必要条件（简称：充要条件）。
简单地说，满足A，必然B；不满足A，必然不B，则A是B的充分必要条件。
（A可以推导出B，且B也可以推导出A）例如： 1. A=“三角形等边”；B=“三角形等角”。
2. A=“某人触犯了刑律”；B=“应当依照刑法对他处以刑罚”。
3. A=“付了足够的钱”；B=“能买到商店里的东西”。
例子中A都是B的充分必要条件：其一、A必然导致B；其二，A是B发生必需的。
区分：假设A是条件，B是结论由A可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的充要条件（充分且必要条件）由A可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的充分不必要条件由A不可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的必要不充分条件由A不可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的不充分不必要条件简单一点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件如果能由结论推出条件，但由条件推不出结论。
此条件为必要条件如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论。
此条件为充要条件例子：1.充分条件：由条件a推出条件b，但是条件b并不一定能推出条件a，天下雨了，地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的。
2.必要条件：由后一个条件推出前一个条件，但是前一个条件并一定能推出后一个条件。
我们把前面一个例子倒过来：地面湿了，天下雨了。
我这里在简单说下哲学上的充分条件和必要条件1. 充分条件是指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果。
充分条件是事物运行发展的必然性条件，体现必然性的哲学内涵。
如父亲和儿子的关系属于亲情关系吗？答必然属于。
2. 必要性条件。
事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或内在的条件符合该事物的运行规律的要求，但不能推动事物规律的最终运行。
如亲情关系和父子关系，亲情关系符合父子关系的一种现象表达，但不能推倒出亲情关系属于父子关系。
充分条件和必要条件(含区分和例题)
充分条件和必要条件解释：如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B，A就是B的充分必要条件（简称：充要条件）。
简单地说，满足A，必然B；不满足A，必然不B，则A是B的充分必要条件。
（A可以推导出B，且B也可以推导出A）例如： 1. A=“三角形等边”；B=“三角形等角”。
2. A=“某人触犯了刑律”；B=“应当依照刑法对他处以刑罚”。
3. A=“付了足够的钱”；B=“能买到商店里的东西”。
例子中A都是B的充分必要条件：其一、A必然导致B；其二，A是B发生必需的。
区分：假设A是条件，B是结论由A可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的充要条件（充分且必要条件）由A可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的充分不必要条件由A不可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的必要不充分条件由A不可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的不充分不必要条件简单一点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件如果能由结论推出条件，但由条件推不出结论。
此条件为必要条件如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论。
此条件为充要条件例子：1.充分条件：由条件a推出条件b，但是条件b并不一定能推出条件a，天下雨了，地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的。
2.必要条件：由后一个条件推出前一个条件，但是前一个条件并一定能推出后一个条件。
我们把前面一个例子倒过来：地面湿了，天下雨了。
我这里在简单说下哲学上的充分条件和必要条件1. 充分条件是指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果。
充分条件是事物运行发展的必然性条件，体现必然性的哲学内涵。
如父亲和儿子的关系属于亲情关系吗？答必然属于。
2. 必要性条件。
事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或内在的条件符合该事物的运行规律的要求，但不能推动事物规律的最终运行。
如亲情关系和父子关系，亲情关系符合父子关系的一种现象表达，但不能推倒出亲情关系属于父子关系。
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精心整理
高二数学必修三知识点梳理：判断充分与必要条件
一、定义法
对于“?圯”,可以简单的记为箭头所指为必要,箭尾所指为充分。
在解答此类题目时,利用定义直接推导,一定要抓住命题的条件和结 ,且 pq 。
然后既这样才 二、集合法
如果将命题p,q 分别看作两个集合A 与B,用集合意识解释条件,则有:①若A?哿B,则x∈A 是x∈B 的充分条件,x∈B 是x∈A 的必要条件;②若A?芴B,则x∈A 是x∈B 的充分不必要条件,x∈B 是x∈A 的必
精心整理
要不充分条件;③若A=B,则x∈A和x∈B互为充要条件;④若A?芫B 且A?芸B,则x∈A和x∈B互为既不充分也不必要条件。
三、逆否法
利用互为逆否命题的等价关系,应用“正难则反”的数学思想,
件。