高三数学一轮复习导数导学案
高考数学第一轮高效复习导学案-导数
高考数学第一轮高效复习导学案导数及其应用1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2. 熟记八个基本导数公式(c,m x (m 为有理数)，x x a e x x a x x log ,ln ,,,cos ,sin 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.第一课时 导数概念与运算【学习目标】1．了解导数的定义、掌握函数在某一点处导数的几何意义——图象在该点处的切线的斜率；2．掌握幂函数、多项式函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式及两个函数的和、差、积、商的导数运算法则及简单复合函数的求导公式，并会运用它们进行求导运算；【考纲要求】导数为B 级要求【自主学习】1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比xy ∆∆的 ，即)(x f '＝ ＝ ． 2．导函数：函数y ＝)(x f 在区间(a, b)内 的导数都存在，就说)(x f 在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的 ，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.3．导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 .4．求导数的方法(1) 八个基本求导公式)('C ＝ ；)('n x ＝ ；(n∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝)('x e ＝ ， )('x a ＝)(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝(2) 导数的四则运算)('±v u ＝])(['x Cf ＝ )('uv ＝ ，)('vu ＝ )0(≠v 【基础自测】1.在曲线y=x 2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx ，2+Δy ），则xy ∆∆为 . 2.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则)(x f '= .3.设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，则点P 横坐标的取值范围为 .4.曲线在y=53123+-x x 在x=1处的切线的方程为 . 5.设曲线y ax e =在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= .[典型例析]例1．求函数y=12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.例2. 求下列各函数的导数：（1）;sin 25x xx x y ++= （2）);3)(2)(1(+++=x x x y （3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x y （4）.1111x x y ++-=例3. 已知曲线y=.34313+x （1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.例4. 设函数bx ax x f ++=1)( (a,b∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y=3. （1）求)(x f 的解析式；（2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.[当堂检测]1. 函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝2．在曲线y =x 2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+△x ,2+△y )，则xy ∆∆为 3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为4.设f (x )、g(x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,()()()()f x g x f x g x ''+＞0.且g(3)=0.则不等式f (x )g(x )＜0的解集是________________5．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数有 个。
导数的概念及其意义——高三一轮复习导学案
导数的概念及其意义2023.10.26课前一题记函数)(x f 的导函数是)(x f '，若)(x f ＝xx f 1)1(2-'，则)1(f '的值为 . 学习目标：1. 理解导函数的概念；2. 理解导数的几何意义；3. 学会应用导数的几何意义；4. 学会利用导数求曲线的切线方程。
温故知新：1．导数的概念对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到 ，相应地，函数值y 就从f (x 0)变化到 ．这时，x 的变化量为Δx ，y 的变化量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．(1) 如果当Δx →0时， x y ΔΔ无限趋近于一个确定的值，即x y ΔΔ有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的 ，记作 或y ′|x ＝x 0，即xx f x x f x y x f x x ΔΔΔΔΔΔ)()(lim lim )(00000-+=='→→ (2)当0x x =时，)(0x f '是一个唯一确定的数，当x 变化时，)(x f y '=就是x 的函数，我们称它为y ＝f (x )的导函数(简称导数)，记为)(x f '(或y ′)，即x x f x x f y x f x ΔΔΔ)()(lim )(0-+='='→. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的 ，相应的切线方程为 ．一、导数与图象问题例1. 函数f (x )的图象与其在点P 处的切线如图所示，则)1()1(f f '-等于( )A ．－2B ．0C ．2D ．4变式. 已知函数y ＝f (x )的部分图象如图所示，其中A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))为图上三个不同的点，则下列结论正确的是( )A ．)()()(321x f x f x f '>'>'B ．)()()(123x f x f x f '>'>'C ．)()()(213x f x f x f '>'>'D ．)()()(231x f x f x f '>'>'例2. 函数f (x )的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )A ．0)3()2()1(>'>'>'f f fB ．0)3()2()1(<'<'<'f f fC ．)3()2()1(0f f f '<'<'<D ．)3(0)2()1(f f f '>>'>'变式1. 已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数)(x f y '=的图象如图所示，则该函数的图象是( )变式2. 已知函数y ＝f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数)(x f y '=的图象如图所示，则该函数的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、求切线方程 例3. 函数f (x )＝x ln(－2x )，则曲线y ＝f (x )在x ＝2e -处的切线方程为变式. 曲线y ＝xx ln ＋x 在点(1,1)处的切线方程为例4. 曲线y ＝ln|x |过坐标原点的两条切线的方程为 ， .变式1. 若过点P (1,0)作曲线y ＝x 3的切线，则这样的切线共有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条变式2. 过原点与曲线y ＝(x －1)3相切的切线方程为 .本堂小结：作业布置：1. 完成学案2. 课时作业163. 订正纠错。
2020版高考数学一轮总复习 第三单元导数及其应用 教案全集 含解析
导数的概念及运算1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程． 3．能根据导数的定义，求一些简单函数的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)平均变化率： 函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率ΔyΔx＝ f x0＋Δx －f x 0Δx.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 li m Δx →0 ΔyΔx 通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即 f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(3)函数f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，称作f (x )的导函数，记作 y ′或f ′(x ) .2. 导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的 切线的斜率 .曲线在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是 y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) . 3．导数的运算(1)基本初等函数的导数公式 ①C ′＝ 0 (C 为常数)； ②(x n)′＝ nxn －1(n ∈Q )；③(sin x )′＝ cos x ； ④(cos x )′＝ －sin x ； ⑤(a x)′＝ a xln a (a >0且a ≠1)；⑥(e x )′＝ e x； ⑦(log a x )′＝1x ln a(a >0且a ≠1)； ⑧(ln x )′＝ 1x.(2)导数的运算法则 ①和差的导数[f (x )±g (x )]′＝ f ′(x )±g ′(x ) . ②积的导数[f (x )·g (x )]′＝ f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) . ③商的导数 [f xg x]′＝ fx g x －f x gxg 2x(g (x )≠0)．热身练习1．若f (x )＝2x 2图象上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx 等于(C)A ．3＋2ΔxB ．4＋ΔxC ．4＋2ΔxD ．3＋ΔxΔy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝2(1＋Δx )2－2＝2[2Δx ＋(Δx )2]，所以Δy Δx ＝4＋2Δx .2．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f＋Δx －f2Δx等于(C)A ．f ′(1) B．2f ′(1) C.12f ′(1) D．f ′(2)因为f (x )可导，所以lim Δx →0f＋Δx －f2Δx ＝12lim Δx →0 f ＋Δx －fΔx ＝12f ′(1)． 3．下列求导运算中正确的是(B) A ．(x ＋1x )′＝1＋1x2 B ．(lg x )′＝1x ln 10C ．(ln x )′＝xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x(x ＋1x )′＝1－1x 2，故A 错；(ln x )′＝1x，故C 错；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，D 错．4．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为 2x －y －2＝0 .因为y ′＝2x，y ′| x ＝1＝2，所以切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2.5．(1)(2016·天津卷)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为 3 .(2)y ＝xx ＋1，则y ′x ＝2＝ 19.(1)因为f ′(x )＝2e x＋(2x ＋1)e x＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3. (2)因为y ′＝(x x ＋1)′＝x x ＋－x x ＋x ＋2＝1x ＋2，所以y ′x ＝2＝1＋2＝19.导数的概念利用导数的定义求函数f (x )＝1x ＋2的导数．因为Δy ＝1x ＋Δx ＋2－1x ＋2＝－Δx x ＋Δx ＋x ＋，所以Δy Δx＝－1x ＋Δx ＋x ＋，所以f ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0[－1x ＋Δx ＋x ＋]＝－1x ＋x ＋＝－1x ＋2.利用定义求导数的基本步骤： ①求函数的增量：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )； ②求平均变化率：Δy Δx＝fx ＋Δx －f xΔx；③取极限得导数：f ′(x )＝li m Δx →0f x ＋Δx －f xΔx.1．设函数f (x )在x 0处可导，则li m Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx等于(B)A ．f ′(x 0)B ．－f ′(x 0)C ．f (x 0)D ．－f (x 0)li m Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝－li mΔx →0f [x 0＋－Δx－f x 0－Δx＝－f ′(x 0)．导数的运算求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x; (2)y ＝1＋sin x 1－cos x.(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝＋sin x－cos x －＋sin x－cos x－cos x2＝cos x－cos x －＋sin xx－cos x2＝cos x －sin x －1－cos x2.利用导数公式和运算法则求导数，是求导数的基本方法(称为公式法)．用公式法求导数的关键是：认清函数式的结构特点，准确运用常用的导数公式．2．(1)(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为 e .(2)设y ＝1＋cos x sin x ，则y ′π2＝ －1 .(1)因为f (x )＝e xln x ，所以f ′(x )＝e xln x ＋ex x，所以f ′(1)＝e.(2)因为y ′＝＋cos x x －＋cos x xsin 2x＝－sin 2x －＋cos x os x sin 2x＝－1－cos xsin 2x， 所以y ′π2＝－1.求切线方程(1)(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为____________________．(2)若曲线y ＝x ln x 存在斜率为2的切线，则该切线方程为________________．因为y′＝2x－1x2，所以y′|x＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.(2)因为y′＝ln x＋1，设切点为P(x0，y0)，则y′x＝x0＝ln x0＋1＝2，所以x0＝e，此时y0＝x0ln x0＝eln e＝e，所以切点为(e，e)．故所求切线方程为y－e＝2(x－e)，即2x－y－e＝0.(1)x－y＋1＝0 (2)2x－y－e＝0(1)求切线方程有如下三种类型：①已知切点(x0，y0)，求切线方程；②已知切线的斜率k，求切线方程；③求过(x1，y1)的切线方程．其中①是基本类型，类型②和类型③都可转化为类型①进行处理．(2)三种类型的求解方法：类型①，利用y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)直接求出切线方程．类型②，设出切点(x0，y0)，再由k＝f′(x0)，再由(x0，y0)既在切线上，又在曲线上求解；类型③，先设出切点(x0，y0)，利用k＝f′(x0)及已知点(x1，y1)在切线上求解．3．(2018·广州市模拟)已知直线y＝kx－2与曲线y＝x ln x相切，则实数k的值为(D) A．ln 2 B．1C．1－ln 2 D．1＋ln 2本题实质上是求曲线过点(0，－2)的切线问题，因为(0，－2)不是切点，可先设出切点，写出切线方程，再利用切线过(0，－2)得到所求切线方程．设切点为(x0，x0ln x0)，因为y′＝ln x＋1，所以k＝ln x0＋1，所以切线方程为y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0)，因为切线过点(0，－2)，所以－2－x0ln x0＝－x0ln x0－x0，所以x0＝2，所以k＝ln 2＋1.1．函数y＝f(x)的导数实质上是“增量(改变量)之比的极限”，即f′(x)＝li mΔx→0Δy Δx＝li mΔx→0f x＋Δx－f xΔx.2．关于函数的导数，要熟练掌握基本导数公式和求导的运算法则，一般要遵循先化简再求导的基本原则．3．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点M(x0，f(x0))处切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．若设点(x0，y0)是切线l与曲线C的切点，则有如下结论：①f′(x0)是切线l的斜率；②点(x0，y0)在切线l上；③点(x0，y0)在曲线C上．导数在函数中的应用——单调性1．了解函数的单调性与其导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内有导数．如果f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)上为增函数；如果f′(x)＜0，则f(x)在(a，b)上为减函数．2．导数与函数单调性的关系设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)的任意子集内都不恒等于0.如果f (x )在区间(a ，b )内单调递增，则在(a ，b )内f ′(x ) ≥ 0恒成立； 如果f (x )在区间(a ，b )内单调递减，则在(a ，b )内f ′(x ) ≤ 0恒成立．热身练习1．“f ′(x )>0在(a ，b )上成立”是“f (x )在(a ，b )上单调递增”的(A) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件f ′(x )>0在(a ，b )上成立⇒f (x )在(a ，b )上单调递增；反之，不一定成立，如y ＝x 3在(－1,1)上单调递增，但在(－1，1)上f ′(x )＝3x 2≥0.2．设f (x )＝2x 2－x 3，则f (x )的单调递减区间是(D) A ．(0，43) B ．(43，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)和(43，＋∞)f ′(x )＝4x －3x 2<0⇒x <0或x >43.3．函数f (x )＝(3－x 2)e x的单调递增区间是(D) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)因为f ′(x )＝－2x e x＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x ，令f ′(x )>0，得x 2＋2x －3<0，解得－3<x <1.所以f (x )的单调递增区间为(－3,1)．4．设定义在区间(a ，b )上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的图象如右图所示，其中x 1，x 2，x 3，x 4是f ′(x )的零点且x 1<x 2<x 3<x 4.则(1)f (x )的增区间为 (a ，x 1)，(x 2，x 4) ； (2)f (x )的减区间为 (x 1，x 2)，(x 4，b ) .5.(2019·福建三明期中)函数f (x )＝x 3－3bx ＋1在区间[1,2]上是减函数，则实数b 的取值范围为 [4，＋∞) .因为f ′(x )＝3x 2－3b ≤0，所以b ≥x 2，要使b ≥x 2在[1,2]上恒成立， 令g (x )＝x 2，x ∈[1,2]，当x ∈[1,2]，1≤g (x )≤4，所以b ≥4.利用导数求函数的单调区间函数f (x )＝x 2－2x －4ln x 的单调递增区间是____________．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x，由f ′(x )>0，得x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1(舍去)． 所以f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．(2，＋∞)求可导函数f (x )的单调区间的步骤： ①求函数f (x )的定义域； ②求导数f ′(x )；③解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0；④确定函数y ＝f (x )的单调区间：使f ′(x )＞0的x 的取值区间为增区间，使f ′(x )＜0的x 的取值区间为减区间．1．(2017·全国卷Ⅱ节选)设函数f (x )＝(1－x 2)e x.讨论f (x )的单调性．f ′(x )＝(1－2x －x 2)e x.令f ′(x )＝0得x ＝－1－2或x ＝－1＋ 2. 当x ∈(－∞，－1－2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－1－2，－1＋2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－1＋2，＋∞)时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增．已知函数的单调性求参数的范围(经典真题)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞) D．[1，＋∞)依题意得f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝1x，因为x >1，所以0<g (x )<1，所以k ≥1，即k 的取值范围为[1，＋∞)．D函数f (x )在(a ，b )上单调递增，可转化为f ′(x )≥0在该区间恒成立，从而转化为函数的最值(或值域)问题．2．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是(C)A ．[－1,1]B ．[－1，13]C ．[－13，13]D ．[－1，13](方法一)因为f (x )在(－∞，＋∞) 单调递增，所以f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ≥0对x ∈(－∞，＋∞)恒成立，即f ′(x )＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0对x ∈(－∞，＋∞)恒成立，令cos x ＝t ，－1≤t ≤1，则等价于：g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0对t ∈[－1,1]恒成立．等价于⎩⎪⎨⎪⎧g －，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋13≥0，a ＋13≥0，所以－13≤a ≤13.即a 的取值范围为[－13，13]．(方法二：特殊值法)取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，因为f ′(0)＝1－23－1＝－23<0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增，排除A ，B ，D.故选C.利用导数求含参数的函数的单调区间已知f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．f (x )的定义域为(0，＋∞)，因为f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax(x >0)，当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． 当a >0时，令f ′(x )>0，得x >a . 令f ′(x )<0，得0<x <a .所以函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(1)当函数的解析式中含有参数时，如果参数对导函数的符号有影响或导数的零点是否在定义域内不确定时，要对参数进行分类讨论．(2)讨论时，首先要看f ′(x )的符号是否确定，再看f ′(x )的零点与定义域的关系． (3)画出导函数的示意图有助于确定单调性．3．(2017·全国卷Ⅲ节选)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x .讨论f (x )的单调性．f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2ax ＋2a ＋1＝x ＋ax ＋x.若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＜0，则当x ∈(0，－12a )时，f ′(x )＞0；当x ∈(－12a，＋∞)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(0，－12a )上单调递增，在(－12a，＋∞)上单调递减．(1)求f(x)的定义域，并求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；(3)确定函数y＝f(x)的单调区间：使f′(x)＞0的x的取值区间为增区间，使f′(x)＜0的x的取值区间为减区间．在求单调区间时，要注意如下两点：①要注意函数的定义域；②当求出函数的单调区间(如单调增区间)有多个时，不能把这些区间取并集．2．已知函数在区间上单调，求其中的参数时，要注意单调性与导数的关系的转化．即：(1)如果f(x)在区间[a，b]单调递增⇒f′(x)≥0在x∈[a，b]上恒成立；(2)如果f(x)在区间[a，b]单调递减⇒f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立．3．处理含参数的单调性问题，实质是转化为含参数的不等式的解法问题，但要注意在函数的定义域内讨论．导数在函数中的应用——极值与最值1．掌握函数极值的定义及可导函数的极值点的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)．2．会研究一些简单函数的极值．3．会利用导数求一些函数在给定区间上的最值．知识梳理1．函数的极值(1)函数极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)＜f(x0) ，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有点，都有f(x)＞f(x0) ，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值.①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．2．函数的最值(1)(最值定理)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函数f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数f(x)在(a，b)内的极值.②将f(x)的极值和端点的函数值比较，其中最大的一个为最大值；最小的一个为最小值.热身练习1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(A)A．1个 B．2个C．3个 D．4个因为f′(x)与x轴有4个交点，即f′(x)＝0有4个解，但仅左边第二个交点x＝x0满足x＜x0时，f′(x)＜0；x＞x0时，f′(x)＞0，其他交点均不符合该条件．2．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(C) A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件因为函数f(x)在x＝x0处可导，所以若x＝x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0，所以q⇒p，故p是q的必要条件；反之，以f (x )＝x 3为例，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．所以p q ． 故p 不是q 的充分条件．3．(2016·四川卷)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝(D) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，所以当x ＜－2或x ＞2时，f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数． 所以f (x )在x ＝2处取得极小值，所以a ＝2.4．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是(C) A ．1，－1 B ．1，－17 C ．3，－17 D ．9，－19令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1.f (1)＝1－3＋1＝－1，f (－1)＝－1＋3＋1＝3， f (－3)＝－17，f (0)＝1.所以最大值为3，最小值为－17. 5．(2016·北京卷)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为 2 .f ′(x )＝x －－x x －2＝－1x －2，当x ≥2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在[2，＋∞)上是减函数， 故f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2.求函数的极值、最值求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极值．因为f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝±2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43.(1)求可导函数f (x )的极值的步骤： ①确定函数的定义域，求导数f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程根左、右值的符号；④作出结论：如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．(2)求可导函数f (x )在[a ，b ]上最值的步骤： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )各极值与f (a )，f (b )比较，得出f (x )在[a ，b ]上的最值．1．求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4在[－3,3]上的最大值与最小值．由例1可知，在[－3,3]上， 当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43.又f (－3)＝7，f (3)＝1，所以f (x )在[－3,3]上的最大值为283，最小值为－43.含参数的函数的极值的讨论已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )，求函数f (x )的极值．由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax(x >0)可知(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； (2)当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．对于解析式中含有参数的函数求极值，有时需要分类讨论后解决问题．讨论的思路主要有：(1)参数是否影响f ′(x )的零点的存在； (2)参数是否影响f ′(x )不同零点的大小； (3)参数是否影响f ′(x )在零点左右的符号． 如果有影响，则要分类讨论．2．(2018·银川高三模拟节选)已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R )．讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数．f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.当a ≤0时，f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(0，＋∞)上没有极值点．当a >0时，由f ′(x )<0得0<x <1a ；由f ′(x )>0得x >1a.所以f (x )在(0，1a )上递减，在(1a，＋∞)上递增，所以f (x )在x ＝1a处有极小值．所以当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点， 当a >0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点．含参数的函数的最值讨论已知函数f (x )＝ln x －ax (a >0)，求函数f (x )在[1,2]上的最大值．f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1a.(1)当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1,2]上是减函数，所以f (x )max ＝f (1)＝－a .(2)当1a ≥2时，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )max ＝f (2)＝ln 2－2a .(3)当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在[1，1a ]上是增函数，在[1a ，2]上是减函数．所以f (x )max ＝f (1a)＝－ln a －1.综上可知：当0<a ≤12时，f (x )max ＝ln 2－2a ；当12<a <1时，f (x )max ＝－ln a －1； 当a ≥1时，f (x )max ＝－a .(1)求函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在(a ，b )内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内使f ′(x )＝0的点和区间端点的函数值，最后比较即可．(2)当函数f (x )中含有参数时，需要依据极值点存在的位置与所给区间的关系，对参数进行分类讨论．3．已知函数f (x )＝ln x －ax (a >0)，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1a.(1)当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1,2]上是减函数，所以f (x )min ＝f (2)＝ln 2－2a .(2)当1a ≥2时，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝－a .(3)当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在[1，1a ]上是增函数，在[1a ，2]上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，f (x )min ＝f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，f (x )min ＝f (2)＝ln 2－2a . 综上可知：当0<a <ln 2时，函数f (x )min ＝－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )min ＝ln 2－2a .1．求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定f(x)的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根左、右值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．2．求可导函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值可按如下步骤进行：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，确定f(x)的最大值和最小值．3．求含参数的极值，首先求定义域；然后令f′(x)＝0，解出根，根据根是否在所给区间或定义域内进行参数讨论，并根据左右两边导函数的正负号，从而判断f(x)在这个根处取极值的情况．4．含参数的最值，首先按照极值点是否在所给区间对参数进行讨论，然后比较区间内的极值和端点值的大小．导数的综合应用——导数与不等式1．能够构造函数利用导数证明一些简单的不等式和解某些不等式．2．会将恒成立问题及存在性问题转化为最值问题进行求解．知识梳理1．如果不等式f(x)≥g(x)，x∈[a，b]恒成立，则转化为函数φ(x)＝f(x)－g(x)在x ∈[a，b]内的最小值≥0.(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”) 2．若f′(x)>0，x∈[a，b]，且x0∈(a，b)有f(x0)＝0，则f(x)>0的x的取值范围为(x0，b) ，f(x)<0的x的取值范围为(a，x0) .3．若f(x)>m在x∈[a，b]上恒成立，则函数f(x)在x∈[a，b]的最小值>m.(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”)若f (x )<m 在x ∈[a ，b ]上恒成立，则函数f (x )在x ∈[a ，b ]的 最大值 <m .(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”)4．若f (x )>m 在x ∈[a ，b ]有解，则函数f (x )在x ∈[a ，b ]的 最大值 >m .(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”)热身练习1．对于∀x ∈[0，＋∞)，则e x与1＋x 的大小关系为(A) A ．e x≥1＋x B ．e x<1＋xC ．e x＝1＋x D ．e x与1＋x 大小关系不确定令f (x )＝e x－(1＋x )，因为f ′(x )＝e x－1，所以对∀x ∈[0，＋∞)，f ′(x )≥0，故f (x )在[0，＋∞)上递增，故f (x )≥f (0)＝0， 即e x≥1＋x .2．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )>0，则必有(B) A ．f (0)＋f (2)＜2f (1) B ．f (0)＋f (2)>2f (1) C ．f (0)＋f (2)＝2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)的大小不确定依题意，当x >1时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上是增函数；当x ＜1时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，1)上是减函数， 故当x ＝1时，f (x )取最小值，所以f (0)>f (1)，f (2)>f (1)，所以f (0)＋f (2)>2f (1)．3．已知定义在R 上函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，且x >0时，f ′(x )<0，则f (x )>0的解集为(A)A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，又x >0时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f (x )>0的解集为(－∞，0)．4．若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在[1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是 [－2，＋∞).因为h′(x)＝2＋kx2，且h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以h′(x)＝2＋kx2≥0，所以k≥－2x2，要使k≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，则只要k≥(－2x2)max，所以k≥－2.5．设f(x)＝－x2＋a，g(x)＝2x.(1)若∀x∈[0,1]，f(x)≥g(x)，则实数a的取值范围为[3，＋∞)；(2)若∃x∈[0,1]，f(x)≥g(x)，则实数a的取值范围为[0，＋∞).(1)F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2－2x＋a(x∈[0,1])．则[F(x)]min＝F(1)＝－3＋a.因为“若∀x∈[0,1]，f(x)≥g(x)”等价于“[F(x)]min≥0，x∈[0,1]”，所以－3＋a≥0，解得a≥3.所以实数a的取值范围为[3，＋∞)．(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2－2x＋a(x∈[0,1])．则[F(x)]max＝F(0)＝a.因为“若∃x∈[0,1]，f(x)≥g(x)”等价于“[F(x)]max≥0，x∈[0,1]”，所以a≥0.所以实数a的取值范围为[0，＋∞)．利用导数解不等式若f(x)的定义域为R，f′(x)>2恒成立，f(－1)＝2，则f(x)>2x＋4的解集为A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)令g(x)＝f(x)－2x－4，因为g′(x)＝f′(x)－2>0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，又g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以f(x)>2x＋4⇔g(x)>g(－x>－1.所以f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．B利用导数解不等式的基本方法：(1)构造函数，利用导数研究其单调性；(2)寻找一个特殊的函数值；(3)根据函数的性质(主要是单调性，结合图象)得到不等式的解集．1．(2018·遂宁模拟)已知f(x)为定义在(－∞，0)上的可导函数，2f(x)＋xf′(x)>x2恒成立，则不等式(x＋2018)2f(x＋2018)－4f(－2)>0的解集为(B)A．(－2020,0) B．(－∞，－2020)C．(－2016,0) D．(－∞，－2016)构造函数F(x)＝x2f(x)，x<0，当x<0时，F′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，因为2f(x)＋xf′(x)>x2≥0，所以F′(x)≤0，则F(x)在(－∞，0)上递减．又(x＋2018)2f(x＋2018)－4f(－2)>0可转化为(x＋2018)2f(x＋2018)>(－2)2f(－2)，即F(x＋2018)>F(－2)，所以x＋2018<－2，所以x<－2020.即原不等式的解集为(－∞，－2020)．利用导数证明不等式已知函数f(x)＝(1＋x)e－2x.当x∈[0,1]时，求证：f(x)≤11＋x.要证x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≤11＋x，只需证明e x≥x＋1.记k(x)＝e x－x－1，则k′(x)＝e x－1，当x∈(0,1)时，k′(x)>0，因此，k(x)在[0,1]上是增函数，故k(x)≥k(0)＝0，所以f(x)≤11＋x，x∈[0,1]．(1)证明f(x)>g(x)的步骤：①构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；②研究F(x)的单调性或最值；③证明F (x )min >0.(2)注意：其中构造函数是将不等式问题转化为函数问题．为了利用导数研究函数的性质，常用分析法．．．将要证明的不等式进行适当变形或化简，然后构造相应的函数．2．(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝a e x－ln x －1.证明：当a ≥1e时，f (x )≥0.当a ≥1e 时，f (x )≥exe －ln x －1.设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e xe －1x .当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e时，f (x )≥0.已知不等式恒成立求参数的范围已知两个函数f (x )＝7x 2－28x －c ，g (x )＝2x 3＋4x 2－40x .若∀x ∈[－3,3]，都有f (x )≤g (x )成立，求实数c 的取值范围．f (x )≤g (x ) ⇔7x 2－28x －c ≤2x 3＋4x 2－40x ⇔c ≥－2x 3＋3x 2＋12x ， 所以原命题等价于c ≥－2x 3＋3x 2＋12x 在x ∈[－3,3]上恒成立． 令h (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x ，x ∈[－3,3]，则c ≥h (x )max . 因为h ′(x )＝－6x 2＋6x ＋12＝－6(x －2)(x ＋1)，当x 变化时，h ′(x )和h (x )在[－3,3]上的变化情况如下表：单调递减单调递增 单调递减 易得h (x )max ＝h (－3)＝45，故c ≥45.(1)已知不等式恒成立，求参数a 的范围，例如f (x )>g (x )在x ∈D 上恒成立，其主要方法是：①构造函数法：将不等式变形为f (x )－g (x )>0，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，转化为F (x )min >0.②分离参数法：将不等式变为a >h (x )或a <h (x )在x ∈D 内恒成立，从而转化为a >h (x )max或a <h (x )min .(2)注意：①恒成立问题常转化为最值问题，要突出转化思想的运用；②“f (x )max ≤g (x )min ”是“f (x )≤g (x )”的一个充分不必要条件，分析不等式恒成立时，要注意不等号两边的式子中是否是有关联的变量，再采取相应的策略．1． 已知两个函数f (x )＝7x 2－28x －c ，g (x )＝2x 3＋4x 2－40x .若∀x 1∈[－3,3]，x 2∈[－3,3]都有f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数c 的取值范围．此题与例3不同，例3中不等式两边的式子中均有相同的变化的未知量x ，故可先移项，直接进行转化；而此题中不等式两边的式子中的x 1，x 2相互独立，则等价于f (x 1)max ≤g (x 2)min.由∀x 1∈[－3,3]，x 2∈[－3,3]， 都有f (x 1)≤g (x 2)成立，得f (x 1)max ≤g (x 2)min . 因为f (x )＝7x 2－28x －c ＝7(x －2)2－28－c ， 当x 1∈[－3,3]时，f (x 1)max ＝f (－3)＝147－c ；g (x )＝2x 3＋4x 2－40x ，g ′(x )＝6x 2＋8x －40＝2(3x ＋10)(x －2)，当x 变化时，g ′(x )和g (x )在[－3,3]上的变化情况如下表：单调递减单调递增易得g (x )min ＝g (2)＝－48， 故147－c ≤－48，即c ≥195.1．利用导数证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数F (x )＝f (x )－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明F(x)>0.其中要特别关注如下两点：(1)是直接构造F(x)，还是适当变形化简后构造F(x)，对解题的繁简有影响；(2)找到F(x)在什么地方可以等于零，往往是解决问题的一个突破口．2．利用导数解不等式的基本方法是构造函数，寻找一个函数的特殊值，通过研究函数的单调性，从而得出不等式的解集．3．处理已知不等式恒成立求参数范围的问题，要突出转化的思想，将其转化为函数的最值问题．已知f(x)>g(x)在x∈D上恒成立，求其中参数a的范围，其主要方法是：①构造函数法：将不等式变形为f(x)－g(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，转化为F(x)min>0.②分离参数法：将不等式变为a>h(x)或a<h(x)在x∈D内恒成立，从而转化为a>h(x)max 或a<h(x)min.导数的综合应用——导数与方程1．能利用导数研究一般函数的单调性、极值与最值，获得对函数的整体认识．2．会利用导数研究一般函数的零点及其分布．知识梳理1．函数零点的有关知识(1)零点的概念：函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标.(2)几个常用结论：①f(x)有零点y＝f(x)的图象与x轴有交点方程f(x)＝0有实数解.②F(x)＝f(x)－g(x)有零点y＝f(x)与y＝g(x)的图象有交点方程f(x)＝g(x)有实数解.③零点存在定理：f (x )在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在(a ，b )内 至少有一 个零点．2．利用导数研究函数零点的方法(1)研究y ＝f (x )的图象，利用数形结合的思想求解． (2)研究方程有解的条件，利用函数与方程的思想求解．热身练习1．(2017·浙江卷)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是(D)观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，所以对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增． 观察选项可知，排除A ，C.如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确．2．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的零点个数为(D)A ．0B ．1C ．2D ．3因为f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝±2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增由此可得到f (x )的大致图象(如下图)．由图可知f (x )有3个零点．3．若方程13x 3－4x ＋4＋a ＝0有3个不同的解，则a 的取值范围为(B)A ．(－43，283)B ．(－283，43)C ．[－43，283]D ．[－283，43]13x 3－4x ＋4＋a ＝0有3个不同的解⇔f (x )＝13x 3－4x ＋4与g (x )＝－a 有3个不同的交点．利用第2题图可知，－43<－a <283，即－283<a <43.4．若函数g (x )＝13x 3－4x ＋4＋a 的图象与x 轴恰有两个公共点，则a ＝(B)A.283或－43 B ．－283或43C ．－283或283D ．－43或43g (x )＝13x 3－4x ＋4＋a 与x 轴恰有两个公共点⇔方程13x 3－4x ＋4＋a ＝0有2个不同的解⇔f (x )＝13x 3－4x ＋4与φ(x )＝－a 有2个不同的交点．利用第2题图可知，－a ＝－43或－a ＝283，所以a ＝－283或a ＝43.5．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则实数a 的取值范围是(C) A ．(－∞，ln 2) B ．(ln 2，＋∞) C ．(－∞，2ln 2－2] D ．[2ln 2－2，＋∞)(方法一)因为f′(x)＝e x－2，令e x－2＝0得，e x＝2，所以x＝ln 2，当x∈(－∞，ln 2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(ln 2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以当x＝ln 2时，f(x)取最小值f(x)min＝2－2ln 2＋a.要f(x)有零点，所以a≤2ln 2－2.(方法二)函数f(x)＝e x－2x＋a有零点，即关于x的方程e x－2x＋a＝0有实根，即方程a＝2x－e x有实根．令g(x)＝2x－e x(x∈R)，则g′(x)＝2－e x.当x<ln 2时，g′(x)>0；当x>ln 2时，g′(x)<0.所以当x＝ln 2时，g(x)max＝g(ln 2)＝2ln 2－2，所以函数g(x)的值域为(－∞，2ln 2－2]．所以a的取值范围为(－∞，2ln 2－2]．利用导数研究三次函数的零点及其分布已知函数f(x)＝x3－12x＋a，其中a≥16，则f(x)的零点的个数是A．0或1 B．1或2C．2 D．3(方法一：从函数角度出发，研究f(x)的图象与x轴的交点)因为f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增由此可得到f(x)的大致图象(如图)，由a≥16得，a＋16>0，a－16≥0，当a＝16时，f(x)的图象与x轴有2个交点；当a>16时，f(x)的图象与x轴只有1个交点．所以f(x)的零点个数为1或2.(方法二：从方程角度出发，利用函数与方程的思想)f(x)＝x3－12x＋a的零点个数⇔方程x3－12x＝－a的解的个数⇔g(x)＝x3－12x与h(x)＝－a的交点个数．画出g(x)＝x3－12x与h(x)＝－a的图象．由g′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增所以g(x)的图象如右图所示：因为a≥16，所以y＝－a≤－16.由图可知直线y＝－a与y＝x3－12x的图象有1个或2个交点．B利用导数研究函数的零点的基本思路： (1)研究y ＝f (x )的图象，利用数形结合的思想求解； (2)研究f (x )＝0有解，利用函数与方程的思想求解．1．(经典真题)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为(B)A ．(2，＋∞) B．(－∞，－2) C ．(1，＋∞) D．(－∞，－1)当a ＝0时，不符合题意．a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2a.若a >0，由图象知f (x )有负数零点，不符合题意．若a <0，由图象结合f (0)＝1>0知，此时必有f (2a )>0，即a ×8a 3－3×4a2＋1>0，化简得a 2>4，又a <0，所以a <－2.利用导数研究超越方程的根及其分布已知函数f (x )＝x －a e x(a ∈R )，x ∈R .已知函数y ＝f (x )有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求a 的取值范围．由f (x )＝x －a e x，可得f ′(x )＝1－a e x. 下面分两种情况讨论：(1)a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立，可得f (x )在R 上单调递增，不合题意． (2)a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：这时，f (x )的单调递增区间是(－∞，－ln a )；单调递减区间是(－ln a ，＋∞)． 于是，“函数y ＝f (x )有两个零点”等价于如下条件同时成立： ①f (－ln a )>0；②存在s 1∈(－∞，－ln a )，满足f (s 1)<0； ③存在s 2∈(－ln a ，＋∞)，满足f (s 2)<0. 由f (－ln a )>0，即－ln a －1>0，解得0<a <e －1，而此时，取s 1＝0，满足s 1∈(－∞，－ln a )，且f (s 1)＝－a <0；而当x ∈(－ln a ，＋∞)时，由于x →＋∞时，e x 增长的速度远远大于x 的增长速度，所以一定存在s 2∈(－ln a ，＋∞)满足f (s 2)<0.另法：取s 2＝2a ＋ln 2a ，满足s 2∈(－ln a ，＋∞)，且f (s 2)＝(2a －e 2a )＋(ln 2a －e 2a)<0.所以a 的取值范围是(0，e －1)．函数的零点是导数研究函数的性质的综合应用，要注意如下方面： (1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质； (2)数形结合思想方法的应用；(3)函数零点存在定理及根的分布知识的应用．2．(2018·广州模拟节选)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2(a ≠0)，若函数f (x )恰有一个零点，求实数a 的取值范围．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 因为f (x )＝a ln x ＋x 2，所以f ′(x )＝a x ＋2x ＝2x 2＋ax.①当a >0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 取x 0＝e －1a ，则f (e －1a )＝－1＋(e －1a)2<0，(或：因为0<x 0<a 且x 0<1e 时，所以f (x 0) ＝a ln x 0 ＋x 20 < a ln x 0＋a <a ln 1e ＋a ＝0.)因为f (1)＝1，所以f (x 0)·f (1)<0，此时函数f (x )有一个零点．②当a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a2. 当0<x <－a 2时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，－a2)上单调递减， 当x >－a2时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－a2，＋∞)上单调递增． 要使函数f (x )有一个零点， 则f (－a2)＝a ln －a 2－a2＝0，即a ＝－2e. 综上所述，若函数f (x )恰有一个零点，则a ＝－2e 或a >0.利用导数研究两函数图象的交点问题已知函数f (x )＝x ＋a x (a ∈R )，g (x )＝ln x ．若关于x 的方程g xx 2＝f (x )－2e(e 为自然对数的底数)只有一个实数根，求a 的值．由g x x 2＝f (x )－2e ，得ln x x 2＝x ＋ax－2e ， 化为ln x x＝x 2－2e x ＋a .问题转化为函数h (x )＝ln x x与m (x )＝x 2－2e x ＋a 有一个交点时，求a 的值．由h (x )＝ln x x ，得h ′(x )＝1－ln x x2.令h ′(x )＝0，得x ＝e. 当0<x <e 时，h ′(x )>0；当x >e 时，h ′(x )<0. 所以h (x )在(0，e)上递增，在(e ，＋∞)上递减． 所以当x ＝e 时，函数h (x )取得最大值，其值为h (e)＝1e .而函数m (x )＝x 2－2e x ＋a ＝(x －e)2＋a －e 2，当x ＝e 时，函数m (x )取得最小值，其值为m (e)＝a －e 2.所以当a －e 2＝1e ，即a ＝e 2＋1e 时，方程g x x 2＝f (x )－2e 只有一个实数根．(1)利用f (x )＝g (x )的解⇔y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象交点的横坐标，可将方程的解的问题转化为两函数图象的交点问题，从而可利用数形结合的思想方法进行求解．(2)在具体转化时，要注意对方程f (x )＝g (x )尽量进行同解变形，变到两边的函数是熟悉的形式或较简单的形式，以便于对其图象特征进行研究．3．(经典真题)已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a . 曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2， 由题意得－2a＝－2，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题意知1－k >0，当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根． 当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4， 则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )，h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g (x )＝0在R 上有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．1．利用导数研究函数的零点及其零点分布问题的基本步骤： (1)构造函数，并确定定义域； (2)求导，确定单调区间及极值； (3)作出函数的草图；(4)根据草图直观判断函数的零点的情况或得到零点所满足的条件． 2．处理函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象的交点问题，常用方法有： (1)数形结合，即分别作出两函数的图象，考察交点情况；。
浙江省衢州市高三数学一轮复习 导数与切线方程教案
● 教材分析：导数这块知识点在高考中地位较为重要，从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函数的单调性和极值已成为炙手可热的考点，既有小题也有解答题，小题主要考察利用导数研究函数的单调性、极值、求切线方程、最值，解答题主要考察导数与函数单调性，及相关内容的综合渗透。
● 学情分析：前面几节课已经复习了函数的定义域、值域、单调性最值等关于函数的一些基本内容。
在接下来学习的导数与切线方程，导数与单调性，导数与极值，导数与最值中，导数作为一种工具，只要将导数的几何意义说明清楚，学习其它关系就轻松多了。
● 教学目标：1、明确导数的几何意义2、能利用导数求函数在某点与过某点的切线方程● 教学重难点：1、导数的几何意义2、求函数在某点与过某点的切线方程● 教学过程：二、平均变化率与瞬时变化率平均变化率=x y ∆∆=0101)()(x x x f x f --=xx f x x f ∆-∆+)()(00（函数y=)(x f 从0x 到1x 的平均变化率）瞬时变化率=x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000（函数y=)(x f 在0x x =处的瞬时变化率）o 0x 1xx ∆ )(0x f )(1x fxy0x就称瞬时变化率为函数y )(x f 在0x x =处的导数，记为')(0x f 或0'x x y =思考b ：')(x f 与')(0x f 有什么区别：')(x f 是一个关于x 的函数')(0x f 是函数')(x f 当自变量x 取0x 是的函数值三、导数的几何意函数y=)(x f 从0x 到1x 的平均变化率1212)()(x x x f xf --=1212x x y y --几何意义c ：过点）（)(,11x f x 与）（)(,22x f x 的直线的斜率函数y=)(x f 在0x x =处的导数（瞬时变化率）：')1(x f几何意义b ：过点）（)(,11x f x 的切线的斜率（1x 是切点的横坐标）四、求切线方程（1）求过曲线上点的切线方程例1、已知曲线方程为y ＝x 2，求曲线在点A (2,4)处的切线方程。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案 导数在函数研究中的应用
第十一节 导数在函数研究中的应用1．函数的单调性了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．函数的极值了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．知识点一 利用导数研究函数的单调性1．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上是增加的． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上是减少的． (3)若f __′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f __′(x )．(2)在定义域内解不等式f __′(x )>0或f __′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调区间． 易误提醒1．在某个区间(a ，b )上，若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上单调递增；若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上单调递减；若f ′(x )＝0恒成立，则f (x )在这个区间上为常数函数；若f ′(x )的符号不确定，则f (x )不是单调函数．2．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立；若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立．[自测练习]1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R解析：函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ex >0，故单调增区间是(0，＋∞)．答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数，∴f ′(x )≥0恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞ 知识点二 利用导数研究函数的极值 1．函数的极大值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值．2．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．易误提醒 f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的非充分非必要条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点；又如f (x )＝|x |，x ＝0是它的极小值点，但f ′(0)不存在．[自测练习]3.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点中，左侧图象在x 轴下方，右侧图象在x 轴上方的只有一个，故选A.答案：A4．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2×(－3)a ＋3＝0，解得a ＝5.答案：D考点一 利用导数研究函数的单调性|(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0， 所以f (x )在(0，＋∞)单调递增． 若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0. 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 单调递增， 在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝⎛⎭⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝⎛⎭⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．利用导数研究函数的单调性应注意两点(1)在区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． (2)可导函数f (x )在(a ，b )内是增(减)函数的充要条件是：∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒为零．1．已知函数f (x )＝m ln x －12x 2(m ∈R )，求函数f (x )的单调区间．解：函数f (x )＝m ln x －12x 2的定义域是(0，＋∞)．f ′(x )＝mx －x ＝m －x 2x .当m ≤0时，f ′(x )≤－x 2x＝－x <0，函数f (x )＝m ln x －12x 2在(0，＋∞)上为减函数．当m >0时，令f ′(x )＝0，得：x ＝m 或－m (舍去)． 当x ∈(0，m )时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，m )上是增函数． 当x ∈(m ，＋∞)时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(m ，＋∞)上是减函数．综上所述，当m ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，当m >0时，f (x )的单调递增区间为(0，m )，单调递减区间为(m ，＋∞)．考点二 已知单调性求参数范围|(2015·福州模拟)已知函数f (x )＝e x 2－1e x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝32时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[－1,1]上为单调函数，求实数a 的取值范围． [解] (1)当a ＝32时，f (x )＝e x 2－1e x －32x ，f ′(x )＝12e x [(e x )2－3e x ＋2]＝12e x (e x －1)(e x －2)，令f ′(x )＝0，得e x ＝1或e x ＝2，即x ＝0或x ＝ln 2； 令f ′(x )>0，得x <0或x >ln 2； 令f ′(x )<0，则0<x <ln 2.∴f (x )在(－∞，0]，[ln 2，＋∞)上单调递增，在(0，ln 2)上单调递减． (2)f ′(x )＝e x 2＋1e x －a ，令e x ＝t ，由于x ∈[－1,1]，∴t ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e .令h (t )＝t 2＋1t ⎝⎛⎭⎫t ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ， h ′(t )＝12－1t 2＝t 2－22t2，∴当t ∈⎣⎡⎭⎫1e ，2时，h ′(t )<0，函数h (t )为单调减函数； 当t ∈(2，e]时，h ′(t )>0，函数h (t )为单调增函数． 故h (t )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的极小值点为t ＝ 2. 又h (e)＝e 2＋1e <h ⎝⎛⎭⎫1e ＝12e ＋e ，∴2≤h (t )≤e ＋12e.∵函数f (x )在[－1,1]上为单调函数，若函数在[－1,1]上单调递增，则a ≤t 2＋1t 对t ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 恒成立，所以a ≤2；若函数f (x )在[－1,1]上单调递减，则a ≥t 2＋1t 对t ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 恒成立，所以a ≥e ＋12e，综上可得a ≤ 2或a ≥e ＋12e.已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．提醒：f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．2．已知函数f (x )＝e x －ax (a ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若a ＝1，函数g (x )＝(x －m )f (x )－e x ＋x 2＋x 在(2，＋∞)上为增函数，求实数m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝e x －a . 当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在R 上为增函数； 当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝ln a ，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，ln a )上为减函数， 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴函数f (x )在(ln a ，＋∞)上为增函数．(2)当a ＝1时，g (x )＝(x －m )(e x －x )－e x ＋x 2＋x ， ∵g (x )在(2，＋∞)上为增函数，∴g ′(x )＝x e x －m e x ＋m ＋1≥0在(2，＋∞)上恒成立， 即m ≤x e x ＋1e x －1在(2，＋∞)上恒成立，令h (x )＝x e x ＋1e x －1，x ∈(2，＋∞)，h ′(x )＝(e x )2－x e x －2e x (e x －1)2＝e x (e x －x －2)(e x －1)2. 令L (x )＝e x －x －2，L ′(x )＝e x －1>0在(2，＋∞)上恒成立， 即L (x )＝e x －x －2在(2，＋∞)上为增函数， 即L (x )>L (2)＝e 2－4>0，∴h ′(x )>0， 即h (x )＝x e x ＋1e x －1在(2，＋∞)上为增函数，∴h (x )>h (2)＝2e 2＋1e 2－1，∴m ≤2e 2＋1e 2－1.考点三 利用导数研究极值|设函数f (x )＝x 2－ax ＋b .讨论函数f (sin x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． [解] f (sin x )＝sin 2x －a sin x ＋b ＝sin x (sin x －a )＋b ，－π2<x <π2.[f (sin x )]′＝(2sin x －a )cos x ，－π2<x <π2.因为－π2<x <π2，所以cos x >0，－2<2sin x <2.①a ≤－2，b ∈R 时，函数f (sin x )单调递增，无极值． ②a ≥2，b ∈R 时，函数f (sin x )单调递减，无极值．③对于－2<a <2，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内存在唯一的x 0，使得2sin x 0＝a .－π2<x ≤x 0时， 函数f (sin x )单调递减；x 0≤x <π2时，函数f (sin x )单调递增．因此，－2<a <2，b ∈R 时，函数f (sin x )在x 0处有极小值 f (sin x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝b －a24.3．(2015·太原一模)已知函数f (x )＝(x 2－ax ＋a )e x －x 2，a ∈R . (1)若函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围； (2)若函数f (x )在x ＝0处取得极小值，求a 的取值范围． 解：(1)由题意得f ′(x )＝x [(x ＋2－a )e x －2]＝ x e x ⎝⎛⎭⎫x ＋2－2e x －a ，x ∈R ， ∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴x ＋2－2ex ≥a 在(0，＋∞)上恒成立，又函数g (x )＝x ＋2－2e x 在(0，＋∞)上单调递增，∴a ≤g (0)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，0]．(2)由(1)得f ′(x )＝x e x ⎝⎛⎭⎫x ＋2－2e x －a ，x ∈R ， 令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＋2－2e x －a ＝0，即x ＝0或g (x )＝a ，∵g (x )＝x ＋2－2e x 在(－∞，＋∞)上单调递增，其值域为R ，∴存在唯一x 0∈R ，使得g (x 0)＝a ，①若x 0>0，当x ∈(－∞，0)时，g (x )<a ，f ′(x )>0；当x ∈(0，x 0)时，g (x )<a ，f ′(x )<0，∴f (x )在x ＝0处取得极大值，这与题设矛盾．②若x 0＝0，当x ∈(－∞，0)时，g (x )<a ，f ′(x )>0；当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>a ，f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝0处不取极值，这与题设矛盾．③若x 0<0，当x ∈(x 0,0)时，g (x )>a ，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>a ，f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝0处取得极小值．综上所述，x 0<0，∴a ＝g (x 0)<g (0)＝0， ∴a 的取值范围是(－∞，0)． 8.分类讨论思想在导数中的应用【典例】 (2015·贵阳期末)已知函数f (x )＝ax －ae x (a ∈R ，a ≠0)．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的极值；(2)若函数F (x )＝f (x )＋1没有零点，求实数a 的取值范围．[思维点拨] (1)求f ′(x )后判断f (x )在(－∞，＋∞)上的单调性，可求极值． (2)分类讨论f (x )在(－∞，＋∞)的单调性，利用极值建立所求参数a 的不等式求解． [解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋1e x ，f ′(x )＝x －2ex . 由f ′(x )＝0，得x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的极小值为f (2)＝－1e2，函数f (x )无极大值．(2)F ′(x )＝f ′(x )＝a e x －(ax －a )e x e 2x ＝－a (x －2)e x .①当a <0时，F (x )，F ′(x )的变化情况如下表：若使函数F (x )没有零点，当且仅当F (2)＝ae 2＋1>0，解得a >－e 2，所以此时－e 2<a <0；②当a >0时，F (x )，F ′(x )的变化情况如下表：因为F (2)>F (1)>0，且F ⎝⎛⎭⎫1－10a ＝e1－10a －10e1－10a <e －10e1－10a <0， 所以此时函数F (x )总存在零点． (或：当x >2时，F (x )＝a (x －1)e x＋1>1，当x <2时，令F (x )＝a (x －1)e x＋1<0，即a (x －1)＋e x <0， 由于a (x －1)＋e x <a (x －1)＋e 2， 令a (x －1)＋e 2≤0，得x ≤1－e 2a ，即x ≤1－e 2a时，F (x )<0，即F (x )存在零点)综上所述，所求实数a 的取值范围是(－e 2,0)．[思想点评] 分类讨论思想在导数研究函数的应用中运用普遍常见的分类讨论点有： (1)f ′(x )＝0是否有根．(2)若f ′(x )＝0有根，根是否在定义域内． (3)若f ′(x )＝0有两根，两根大小比较问题.A 组 考点能力演练1．(2015·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x解析：A 、B 为单调函数，不存在极值，C 不是奇函数，故选D. 答案：D2．(2016·厦门质检)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．(0,2)解析：由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x ≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．答案：B3.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22＝( )A.23B.43C.83D.163解析：由图象可知f (x )的图象过点(1,0)与(2,0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，因此1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0的两根，因此x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝4－43＝83，故选C.答案：C4．已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ，若f (x 1)<f (x 2)，则( ) A ．x 1>x 2 B ．x 1＋x 2＝0C ．x 1<x 2D ．x 21<x 22解析：因为f (－x )＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e －x －1e －x ＝x ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．由f (x 1)<f (x 2)，得f (|x 1|)<f (|x 2|)(*)．又f ′(x )＝e x－1e x ＋x ⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ＝e 2x(x ＋1)＋x －1ex，当x ≥0时，e 2x (x ＋1)＋x －1≥e 0(0＋1)＋0－1＝0，所以f ′(x )≥0，所以f (x )在[0，＋∞)上为增函数，由(*)式得|x 1|<|x 2|，即x 21<x 22，故选D.答案：D5．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎡⎭⎫518，＋∞ D ．[3，＋∞)解析：f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，因为y ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝⎛⎭⎫4＋14＝518，故选C. 答案：C6．(2016·九江一模)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43. 答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞7．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________．解析：本题考查利用导数研究函数的极值及不等式的解法．由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0得x 1＝a3，x 2＝a .又∵x 1<2<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a 3<2，∴2<a <6.答案：(2,6)8．(2015·兰州一模)若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 2－e x －ax ，∴f ′(x )＝2x －e x －a ， ∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，∴f ′(x )＝2x －e x －a ≥0，即a ≤2x －e x 有解，设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝ln 2，则当x <ln 2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x >ln 2时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ≤2ln 2－2.答案：(－∞，2ln 2－2)9．已知函数f (x )＝x －2ln x －ax ＋1，g (x )＝e x (2ln x －x )．(1)若函数f (x )在定义域上是增函数，求a 的取值范围； (2)求g (x )的最大值．解：(1)由题意得x >0，f ′(x )＝1－2x ＋ax2.由函数f (x )在定义域上是增函数，得f ′(x )≥0，即a ≥2x －x 2＝－(x －1)2＋1(x >0)． 因为－(x －1)2＋1≤1(当x ＝1时，取等号)， 所以a 的取值范围是[1，＋∞)． (2)g ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫2x －1＋2ln x －x ， 由(1)得a ＝2时，f (x )＝x －2ln x －2x ＋1，且f (x )在定义域上是增函数，又f (1)＝0，所以，当x ∈(0,1)时，f (x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0. 所以，当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0. 故当x ＝1时，g (x )取得最大值－e.10．(2015·安徽六校联考)设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2(其中k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间和极值；(2)当k ∈[0，＋∞)时，证明函数f (x )在R 上有且只有一个零点．解：(1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x e x －2x ＝x (e x －2)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln 2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：∞)．f (x )的极大值为f (0)＝－1，极小值为f (ln 2)＝ －(ln 2)2＋2ln 2－2.(2)f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x e x －2kx ＝x (e x －2k )， 当x <1时，f (x )<0，所以f (x )在(－∞，1)上无零点． 故只需证明函数f (x )在[1，＋∞)上有且只有一个零点．①若k ∈⎣⎡⎦⎤0，e2，则当x ≥1时，f ′(x )≥0，f (x )在[1，＋∞)上单调递增． ∵f (1)＝－k ≤0，f (2)＝e 2－4k ≥e 2－2e>0， ∴f (x )在[1，＋∞)上有且只有一个零点．②若k ∈⎝⎛⎭⎫e2，＋∞，则f (x )在[1，ln 2k ]上单调递减，在[ln 2k ，＋∞)上单调递增． f (1)＝－k <0，f (k ＋1)＝k e k ＋1－k (k ＋1)2＝k [e k ＋1－(k ＋1)2]， 令g (t )＝e t －t 2，t ＝k ＋1>2，则g ′(t )＝e t －2t ， g ″(t )＝e t －2，∵t >2，∴g ″(t )>0，g ′(t )在(2，＋∞)上单调递增． ∴g ′(t )>g ′(2)＝e 2－4>0，∴g (t )在(2，＋∞)上单调递增． ∴g (t )>g (2)＝e 2－4>0. ∴f (k ＋1)>0.∴f (x )在[1，＋∞)上有且只有一个零点．综上，当k ∈[0，＋∞)时，f (x )在R 上有且只有一个零点．B 组 高考题型专练1．(2015·高考重庆卷)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ， 因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝⎛⎭⎫－43＝0， 所以3a ·169＋2·⎝⎛⎭⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x， 故g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x e x ＋⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋52x 2＋2x e x＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数． 2．(2015·高考安徽卷)已知函数f (x )＝ax (x ＋r )2(a >0，r >0)．(1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若ar＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值．解：(1)由题意知x ≠－r ，所求的定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞)． f (x )＝ax (x ＋r )2＝axx 2＋2rx ＋r 2，f ′(x )＝a (x 2＋2rx ＋r 2)－ax (2x ＋2r )(x 2＋2rx ＋r 2)2＝a (r －x )(x ＋r )(x ＋r )4，所以当x <－r 或x >r 时，f ′(x )<0，当－r <x <r 时，f ′(x )>0，因此，f (x )的单调递减区间为(－∞，－r )，(r ，＋∞)；f (x )的单调递增区间为(－r ，r )． (2)由(1)的解答可知f ′(r )＝0，f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减． 因此，x ＝r 是f (x )的极大值点，所以f (x )在(0，＋∞)上的极大值为f (r )＝ar (2r )2＝a 4r ＝4004＝100.3．(2016·宁夏银川一中联考)函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)求函数f (x )的极值；(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f ′(x )＝2x －2x，令f ′(x )＝0，∵x >0，∴x ＝1.x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减1单调递增∴f (x )的极小值为1，无极大值．(2)∵k (x )＝f (x )－h (x )＝－2ln x ＋x －a ，k ′(x )＝－2x ＋1.若k ′(x )＝0，则x ＝2.当x ∈[1,2)时，k ′(x )<0；当x ∈(2,3]时，k ′(x )>0. 故k (x )在x ∈[1,2)上单调递减，在x ∈(2,3]上单调递增．∴{ k (1)≥0，k (2)<0，k (3)≥0，∴{a ≤1，a >2－2ln 2，a ≤3－2ln 3， ∴实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3]．。
高三数学(理科)一轮复习全套导学案(完整版)
高三数学理科复习1----集合的概念及运算【高考要求】：集合及其表示（A ）；子集（B ）；交集、并集、补集（B ）. 【教学目标】: 1.了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题,感受 集合语言的意义和作用.2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集（不要求证明集合的相等关 系、包含关系）.了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集与交集的含义；会求两个简单集合的并集与交集. 理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集. 会用Venn 图表示集合的关系及运算. 课前预习:1、 用适当的符号（),,,,⊃⊂=∉∈填空：{}{}{}.,12___,12;___;____14.3;___*z k k x x Z k k x x N N Q Q ∈-=∈+=π2、 用描述法表示下列集合：（1）由直线y=x+1上所有点的坐标组成的集合； . （2）{}49,36,25,16,9,4,1,0------- . 3、 集合A={}c b a ,,的子集个数为_____________,真子集个数为 . 4、 若,B B A = 则A____B; 若A B=B,则A______B; A B_____A B.5、 已知集合A={}a ,3,1,B={}1,12+-a a ，且B ⊆A,则a =_________________. 6、 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214，则M 与N 的关系是___. 例题评析:例1、已知集合{}620≤+<=ax x A ，{}421≤<-=x x B （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）A,B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，请说明理由.例2、（1）已知R 为实数集，集合{}0232≤+-=x x x A .若 B R A C R =，{}0123R B C A x x x =<<<<或，求集合B;(2)已知集合{}0,a M =,{}Z x x x x N ∈<-=,032,而且{}1=N M ，记,N M P =写出集合P 的所有子集.例3、已知集合(){}02,2=+-+=y mx x y x A ，(){}20,01,≤≤=+-=x y x y x B ，如果φ≠B A ，求实数m 的范围.课后巩固：1、已知集合{}a a a A ++=22,2，若3A ∈，则a 的值为 .2、已知A={}R x x x y y A ∈--==,122,{}82<≤-=x x B ,则集合A 与B 的关系是____.3、设{}0962=+-=x ax x M 是含一个元素的集合，则a 的值为__________________.4、设{}03522=--=x xx M ，{}1==mx x N .若M N ⊂，则实数m 的取值集合为_____. 5、设集合{}Z x x x I ∈<=,3，{}2,1=A ，{}2,1,2--=B ，则()=B C A I ___________. 6、已知集合{}3<=x x M ，{}1log 2>=xx N ，则N M =_______________________.7、设集合(){}32log ,5+=a A ，集合{}b a B ,=.若{}2=B A ，则B A =_______________. 8、设集合{}30≤-≤=m x x A ，{}30><=x x x B 或分别求满足下列条件的实数m 的取值范围.(1);φ=B A (2)A B A = .9、设{}042=+=x x x A ，{}01)1(222=-+++=a x a x x B (1)若B B A = ，求a 的值； （2）若B B A = ，求a 的值.矫正反馈:高三数学理科复习2----函数的概念【高考要求】：函数的有关概念(B).【教学目标】理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则）,会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念. 【教学重难点】：函数概念的理解. 【知识复习与自学质疑】1、 设集合M= {}02x x ≤≤，N= {}02y y ≤≤，从M 到N 有五种对应如下图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的有 ____. 2、 函数0y=的定义域 ____________.3、函数21()lg()1f x x R x =∈+的值域为 _. 4、若函数(1)f x +的定义域为[]0,1，则函数(31)f x -的定义域为 _. 5、已知2(2)443()f x x x x R +=++∈，则函数()f x 的值域为 . 【交流展示与互动探究】例1、 求下列函数的定义域:(1) 12y x =-y = （3）已知()f x 的定义域为[]0,1，求函数24()()3y f x f x =++的定义域.例2、 若函数y =R ，求函数a 的取值范围.例3、 求下列函数的值域：(1) 242y x x =-+- [)0,3x ∈ (2) y x =+221223x x y x x -+=-+【矫正反馈】(A)1、从集合{}0,1A =到集合{},,B a b c =的映射个数共有 个.(A)2、函数y 的值域为 ____________. (A)3、函数(32)(21)log x x y --=的定义域为 ________________.(A)4、设有函数组：①211()x x f x --=，()1g x x =+；②()f x =()g x =③()f x ()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-。
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.4 利用导数证明不等式教学案 苏教版-苏教版高三全册数学
第四节 利用导数证明不等式考点1 单变量不等式的证明 单变量不等式的证明方法(1)移项法：证明不等式f (x )＞g (x )(f (x )＜g (x ))的问题转化为证明f (x )－g (x )＞0(f (x )－g (x )＜0)，进而构造辅助函数h (x )＝f (x )－g (x )；(2)构造“形似〞函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构〞构造辅助函数；(3)最值法：欲证f (x )＜g (x )，有时可以证明f (x )max ＜g (x )min .直接将不等式转化为函数的最值问题 函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＜0时，证明f (x )≤－34a－2.［解］ (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2ax ＋2a ＋1＝〔x ＋1〕〔2ax ＋1〕x.当a ≥0，那么当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 当a ＜0，那么当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )＜0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递减.(2)证明：由(1)知，当a ＜0时，f (x )在x ＝－12a 取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a.所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a ≤－34a －2，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a＋1≤0.设g (x )＝ln x －x ＋1，那么g ′(x )＝1x－1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g (1)＝0.所以当x ＞0时，g (x )≤0.从而当a ＜0时，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a＋1≤0，即f (x )≤－34a－2. 将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在固定区间的单调性，直接求得函数的最值，然后由f (x )≤f (x )max 或f (x )≥f (x )min 直接证得不等式.转化为两个函数的最值进行比较f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )在［t ，t ＋2］(t ＞0)上的最小值； (2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x 成立.［解］ (1)由f (x )＝x ln x ，x ＞0，得f ′(x )＝ln x ＋1， 令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增. ①当0＜t ＜1e ＜t ＋2，即0＜t ＜1e时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e＝－1e； ②当1e ≤t ＜t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在［t ，t ＋2］上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t .所以f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0＜t ＜1e ，t ln t ，t ≥1e.(2)证明：问题等价于证明x ln x ＞x e x －2e(x ∈(0，＋∞)).由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e，当且仅当x ＝1e时取到.设m (x )＝x e x －2e(x ∈(0，＋∞))，那么m ′(x )＝1－xex ，由m ′(x )＜0得x ＞1时，m (x )为减函数， 由m ′(x )＞0得0＜x ＜1时，m (x )为增函数， 易知m (x )max ＝m (1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到.从而对一切x ∈(0，＋∞)，x ln x ≥－1e ≥x e x －2e ，两个等号不同时取到，即证对一切x ∈(0，＋∞)都有ln x ＞1e x －2e x成立.在证明的不等式中，假设对不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可以借助两个函数的最值进行证明.构造函数证明不等式函数f (x )＝e x －3x ＋3a (e 为自然对数的底数，a ∈R ).(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 3e ，且x ＞0时，e xx ＞32x ＋1x－3a .［解］ (1)由f (x )＝e x－3x ＋3a ，x ∈R ，知f ′(x )＝e x－3，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 3，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，ln 3)ln 3 (ln 3，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值↗故f (x )单调递增区间是［ln 3，＋∞)，f (x )在x ＝ln 3处取得极小值，极小值为f (ln 3)＝e ln 3－3ln 3＋3a ＝3(1－ln 3＋a ).无极大值.(2)证明：待证不等式等价于e x＞32x 2－3ax ＋1，设g (x )＝e x－32x 2＋3ax －1，x ＞0，于是g ′(x )＝e x－3x ＋3a ，x ＞0.由(1)及a ＞ln 3e ＝ln 3－1知：g ′(x )的最小值为g ′(ln 3)＝3(1－ln 3＋a )＞0.于是对任意x ＞0，都有g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增. 于是当a ＞ln 3e ＝ln 3－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0).而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0. 即e x＞32x 2－3ax ＋1，故e xx ＞32x ＋1x－3a .假设证明f (x )＞g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，如果能证明h (x )在(a ，b )上的最小值大于0，即可证明f (x )＞g (x )，x ∈(a ，b ).函数f (x )＝a e x－b ln x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1x ＋1.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )＞0.［解］ (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞).f ′(x )＝a e x －b x ，由题意得f (1)＝1e ，f ′(1)＝1e－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＝1e，a e －b ＝1e－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1e2，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝1e 2·e x－ln x .因为f ′(x )＝ex －2－1x在(0，＋∞)上单调递增，又f ′(1)＜0，f ′(2)＞0，所以f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(1,2).当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0，当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而当x ＝x 0时，f (x )取极小值，也是最小值. 由f ′(x 0)＝0，得e x 0－2＝1x 0，那么x 0－2＝－ln x 0.故f (x )≥f (x 0)＝e x 0－2－ln x 0＝1x 0＋x 0－2＞21x 0·x 0－2＝0，所以f (x )＞0.考点2 双变量不等式的证明破解含双参不等式证明题的3个关键点(1)转化，即由条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.(2)巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.(3)回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.函数f (x )＝ln x －ax (x ＞0)，a 为常数，假设函数f (x )有两个零点x 1，x 2(x 1≠x 2).求证：x 1x 2＞e 2.［证明］ 不妨设x 1＞x 2＞0， 因为ln x 1－ax 1＝0，ln x 2－ax 2＝0，所以ln x 1＋ln x 2＝a (x 1＋x 2)，ln x 1－ln x 2＝a (x 1－x 2)，所以ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝a ，欲证x 1x 2＞e 2，即证ln x 1＋ln x 2＞2. 因为ln x 1＋ln x 2＝a (x 1＋x 2)，所以即证a ＞2x 1＋x 2， 所以原问题等价于证明ln x 1－ln x 2x 1－x 2＞2x 1＋x 2，即ln x 1x 2＞2〔x 1－x 2〕x 1＋x 2，令c ＝x 1x 2(c ＞1)，那么不等式变为ln c ＞2〔c －1〕c ＋1.令h (c )＝ln c －2〔c －1〕c ＋1，c ＞1，所以h ′(c )＝1c －4〔c ＋1〕2＝〔c －1〕2c 〔c ＋1〕2＞0， 所以h (c )在(1，＋∞)上单调递增， 所以h (c )＞h (1)＝ln 1－0＝0，即ln c －2〔c －1〕c ＋1＞0(c ＞1)，因此原不等式x 1x 2＞e 2得证.换元法构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参数a ，再结合所证问题，巧妙引入变量c ＝x 1x 2，从而构造相应的函数.其解题要点为：联立消参 利用方程f (x 1)＝f (x 2)消掉解析式中的参数a 抓商构元 令c ＝x 1x 2，消掉变量x 1，x 2构造关于c 的函数h (c ) 用导求解 利用导数求解函数h (c )的最小值，从而可证得结论 函数f (x )＝ln x －12ax 2＋x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程；(2)假设a ＝－2，正实数x 1，x 2满足f (x 1)＋f (x 2)＋x 1x 2＝0，求证：x 1＋x 2≥5－12. ［解］ (1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x ，那么f (1)＝1，所以切点为(1,1)，又因为f ′(x )＝1x＋1，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)证明：当a ＝－2时，f (x )＝ln x ＋x 2＋x (x ＞0). 由f (x 1)＋f (x 2)＋x 1x 2＝0，得ln x 1＋x 21＋x 1＋ln x 2＋x 22＋x 2＋x 1x 2＝0， 从而(x 1＋x 2)2＋(x 1＋x 2)＝x 1x 2－ln(x 1x 2)，令t ＝x 1x 2(t ＞0)，令φ(t )＝t －ln t ，得φ′(t )＝1－1t ＝t －1t，易知φ(t )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以φ(t )≥φ(1)＝1，所以(x 1＋x 2)2＋(x 1＋x 2)≥1，因为x 1＞0，x 2＞0，所以x 1＋x 2≥5－12成立. 考点3 证明与正整数有关的不等式问题函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据的函数不等式，用关于正整数n 的不等式替代函数不等式中的自变量，通过多次求和达到证明的目的.假设函数f (x )＝e x －ax －1(a ＞0)在x ＝0处取极值.(1)求a 的值，并判断该极值是函数的最大值还是最小值； (2)证明：1＋12＋13＋ (1)＞ln(n ＋1)(n ∈N *).［解］ (1)因为x ＝0是函数极值点，所以f ′(0)＝0，所以a ＝1.f (x )＝e x －x －1，易知f ′(x )＝e x －1.当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0， 故极值f (0)是函数最小值. (2)证明：由(1)知e x≥x ＋1.即ln(x ＋1)≤x ，当且仅当x ＝0时，等号成立， 令x ＝1k(k ∈N *)，那么1k ＞ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ，即1k ＞ln 1＋k k，所以1k＞ln(1＋k )－ln k (k ＝1,2，...，n )， 累加得1＋12＋13＋ (1)＞ln(n ＋1)(n ∈N *).函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，要注意指、对数式的互化，如e x ≥x ＋1可化为ln(x ＋1)≤x 等.函数f (x )＝ln(x ＋1)＋ax ＋2.(1)假设x ＞0时，f (x )＞1恒成立，求a 的取值X 围； (2)求证：ln(n ＋1)＞13＋15＋17 ＋…＋12n ＋1(n ∈N *).［解］ (1)由ln(x ＋1)＋ax ＋2＞1，得a ＞(x ＋2)－(x ＋2)ln(x ＋1).令g (x )＝(x ＋2)［1－ln(x ＋1)］， 那么g ′(x )＝1－ln(x ＋1)－x ＋2x ＋1＝－ln(x ＋1)－1x ＋1. 当x ＞0时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减. 所以g (x )＜g (0)＝2，故a 的取值X 围为［2，＋∞). (2)证明：由(1)知ln(x ＋1)＋2x ＋2＞1(x ＞0)， 所以ln(x ＋1)＞xx ＋2.令x ＝1k (k ＞0)，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＞1k 1k＋2，即lnk ＋1k ＞12k ＋1. 所以ln 21＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n ＞13＋15＋17＋…＋12n ＋1，即ln(n ＋1)＞13＋15＋17＋…＋12n ＋1(n ∈N *).课外素养提升③ 逻辑推理——用活两个经典不等式逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证.利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程.(1)对数形式：x ≥1＋ln x (x ＞0)，当且仅当x ＝1时，等号成立.(2)指数形式：e x≥x ＋1(x ∈R )，当且仅当x ＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：e x＞x ＋1＞x ＞1＋ln x (x ＞0，且x ≠1).[例1] (1)函数f (x )＝1ln 〔x ＋1〕－x，那么y ＝f (x )的图象大致为( )(2)函数f (x )＝e x，x ∈R .证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点.(1)B ［因为f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，ln 〔x ＋1〕－x ≠0，即{x |x ＞－1，且x ≠0}，所以排除选项D. 当x ＞0时，由经典不等式x ＞1＋ln x (x ＞0)， 以x ＋1代替x ，得x ＞ln(x ＋1)(x ＞－1，且x ≠0)，所以ln(x ＋1)－x ＜0(x ＞－1，且x ≠0)，即x ＞0或－1＜x ＜0时均有f (x )＜0，排除A ，C ，易知B 正确.］(2)证明：令g (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋1＝e x －12x 2－x －1，x ∈R ，那么g ′(x )＝e x－x －1，由经典不等式e x ≥x ＋1恒成立可知，g ′(x )≥0恒成立， 所以g (x )在R 上为单调递增函数，且g (0)＝0. 所以函数g (x )有唯一零点，即两曲线有唯一公共点. [例2] (2017·全国卷Ⅲ改编)函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)假设f (x )≥0，求a 的值；(2)证明：对于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＜e.［解］ (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，①假设a ≤0，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＋a ln 2＜0，所以不满足题意. ②假设a ＞0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0；所以f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增， 故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点.因为f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0，故a ＝1. (2)证明：由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x ＞0. 令x ＝1＋12n ，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＜12n.从而ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＜12＋122＋…＋12n ＝1－12n ＜1.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＜e.[例3] 设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，1＜x －1ln x＜x .［解］ (1)由题设知，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )在(0,1)上单调递增； 当x ＞1时，f ′(x )＜0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减.(2)证明：由(1)知f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x ＜x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x ＜x －1，x －1ln x＞1.①因此ln 1x ＜1x－1，即ln x ＞x －1x ，x －1ln x＜x .② 故当x ∈(1，＋∞)时恒有1＜x －1ln x＜x .。
高考数学一轮复习导学案 导数与函数单调性 学案
导数与函数单调性一、回顾：将函数x x f y sin )('=的图象向左平移4π个单位，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 是▲（写出一个即可） 二、08~12年某某数学命题研究及13年走势分析2012年某某省高考说明中，《导数及其应用》属于必做题部分，其中导数的概念是A 级要求，导数的几何意义，导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值，以及导数在实际问题中的应用是B 级要求.导数与函数、数列、三角、不等式、解析几何等知识有着密切的联系，导数作为工具在研究函数的性质及在实际生活中有着广泛的应用, 导数是高中数学中与高等数学联系最密切的知识之一,所以备受高考命题老师的重视.2008年14题考查 导数在函数单调性的综合运用2009年03题考查 导数研究函数单调性2010年14题考查 导数研究函数性质2011年12题考查 指数函数、导数的几何意义 2012年考查 导数研究函数零点导数—导数作为新增内容应为考查的重点内容。
利用导数刻划函数,或已知函数性质求参数X 围等，2008年某某考了一道“导数应用题”，理科加试考了“导数与定积分混合型”题,2009年未考大题。
那么2013年仍应重视导数题的考查,以中档题为主。
小题中两年都考了三次函数,应该更加关注指、对数函数,三角函数的导数及相关的超越函数. 三、知识点梳理： 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①)('x f ＞0是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有)('x f ＞0，有一个点例外即x =0时)('x f = 0，同样)('x f ＜0是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果)('x f 在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增（或单调减）的. 经典体验：1.【07某某12】函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 .2.函数]1,0[11)(22在xx x x x f -++-=上的最小值是 . 3.函数2cos y x x =+在区间[0，21]上的最大值是 . 经典讲练：例：1.【2010·某某中学月考】函数)(x f y =在定义域（3,23-）内可导，其图象如图所示，记)(x f y =的导函数为)('x f y =，则不等式0)('≤x f 的解集为______2.【靖江六校2011一调】7.已知函数()y f x =在定义域3(,3)2-上可导，()y f x =的图像如图，记()y f x =的导函数'()y f x =，则不等式'()0xf x ≤的解集是 ___ ___.3.【聊城一中·文科】10．定义在R 上的函数)(x f 满(4)1f =．)(x f '为)(x f 的导函数，已知函数)(x f y '=b a ,满足1)2(<+b a f ，则22b a ++的取值X 围是.例：2（2001年某某卷）0>a xx e a a e x f +=)(是R 上的偶函数。
导学案030等比数列及其前n项和
等比数列及其前n项和考纲要求1. 理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．考情分析1.等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式是高考的热点．2.客观题突出“小而巧”，考查学生对基础知识的掌握程度，主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法．3.题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高.教学过程基础梳理一、等比数列的相关概念二、等比数列的性质1．通项公式的推广：a n＝a m q m n2．对于任意正整数p、q、r、s，只要满足p＋q＝r＋s，则有.3．若{a n}，{b n}(项数相同)是等比数列，则{λa n}，{1a n }，{a2n}，{a n·b n}，{a nb n}(λ≠0)仍是等比数列．4．三个数成等比数列且积一定，通常设为比较方便．双基自测1．在等比数列{an }中，a 2012＝8a 2009，则公比q 的值为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．82．(教材习题改编)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·6a 等于 ( )A ．4B ．8C ．16D ．323．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝ ( )A ．4·⎝⎛⎭⎫32nB ．4·⎝⎛⎭⎫23nC ．4·⎝⎛⎭⎫32n －1 D ．4·⎝⎛⎭⎫23n －14．(2012·广州调研)已知等比数列{an }的公比是2，a 3＝3，则a 5的值是________．5．(2011·北京高考)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.典例分析考点一、等比数列的判断与证明例1.(2011·绵阳二模)在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ， a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和 S n ＝________.变式1.(2012·长安模拟)已知数列{a n }中，a 1＝23，a 2＝89.当n ≥2时，3a n ＋1＝4a n －a n －1(n ∈N *)．(1)证明：{a n ＋1－a n }为等比数列； (2)求数列{a n }的通项．等比数列的判定方法有：1．定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列．2．中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)， 则数列{a n }是等比数列．考点二、等比数列的基本运算[例2] (2011·全国高考)设等比数列{an }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,a 61＋a 3＝30，求a n 和S n变式2.（2012·金华联考)已知正项数列{a n }为等比数列，且5a 2是a 4与3a 3的等差中项，若a 2＝2，则该数列的前5项的和为 ( ) A.3312B ．31 C.314D ．以上都不正确1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，an ，Sn ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．3．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的 情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式. 考点三、等比数列的性质[例3] (2012·苏北四市联考)已知一个等比数列前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为________．变式3.(2012·成都模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为 ( )A.12B.32C ．1D ．－32变式4.(2012·巴中模拟)已知等比数列{an }中，an >0，若a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5等于 ()A ．16B ．27C ．36D ．82等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握它们，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式an ＝f (n )的下标n 的大小关系，可简化题目的运算．考题范例(本题满分12分)(2011·湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．[解答示范] (1)解 设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15， 解得a ＝5.(2分)所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，由(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．(4分)故{b n }的第3项为5，公比为2， 由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22， 解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(6分)(2)证明 数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n 1－2＝5·2n －2－54S n ＋54n －2.(8分)所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.(10分) 因此⎩⎨⎧⎭⎫S n ＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．(12分)一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n 项和：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，同乘q 得：qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n，两式相减得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 11－q n 1－q(q ≠1)．两个防范(1)由a n＋1＝qa n，q≠0并不能立即断言{a n}为等比数列，还要验证a1≠0.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．三种方法等比数列的判断方法有：(1)定义法：若a n＋1a n＝q(q为非零常数)或a na n－1＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{a n}是等比数列．(2)中项公式法：在数列{a n}中，a n≠0且a2n＋1＝a n·a n＋2(n∈N*)，则数列{a n}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n＝c·q n(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{a n}是等比数列．注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．本节检测1.2＋1与2－1两数的等比中项是()A．1B．－1C．±1 D.1 22．(2011·辽宁高考)若等比数列{a n}满足a n a n＋1＝16n，则公比为()A．2 B．4C．8 D．163．已知数列{a n}，则“a n，a n＋1，a n＋2(n∈N*)成等比数列”是“a2n＋1＝a n a n＋2”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．(2012·太原模拟)各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2，S3n＝14，则S4n等于()A．80 B．30C．26 D．165．等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S6＝() A．63 B．64C．31 D．326．已知各项不为0的等差数列{a n}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.7．在等比数列{a n}中，若a1＝1，a4＝－8，|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝127，则n＝________.自我反思。
高三数学理科复习导数最新导学案
高三数学理科复习42——导数的概念与运算【高考要求】：导数的概念(A);导数的几何意义(B); 导数的运算(B). 【学习目标】：1了解导数的概念,理解导数的几何意义.2 会用基本函数的求导公式,函数的和,差,积,商的求导法则求函数的导数. 3根据导数的几何意义求函数图像或曲线在一点处切线方程. 【知识复习与自学质疑】1.一质点M 的运动方程为21S t =+（位移单位：,m 时间单位：s ），则质点M 在2()s 到2()t s +∆的平均速度St∆∆＝ （/m s ），质点M 在2()t s =时的速度/2t S ==（/m s ）2.(1)(2log x )/= ; (2)/(3)x = ;(3)/(2cos )x -= __; (4)/(sin 2)x = _.3.已知函数()y f x =的图象经过点(2,5)P ，且图象在点P 处的切线方程是210x y -+=，则/(2)f = .4.求下列函数在0x x =处的导数. （1）230()cos sin cos ,3f x x x x x π=•+= （2）20()sin(12cos ),246x x f x x π=--=（3）0()2x xf x x == （4）3202ln (),1x x xf x x x +==【例题精讲】例1已知曲线ln 1(0)y a x a =-≠在点00(,)P x y 处的切线1l 过点(0,1)-. （1）对任意的0a ≠，证明点P 在一条定直线上；（2）若直线12l l ⊥，12l l P ⋂=，求2l 在y 轴上截距的取值范围.例2,若曲线311:C y x x=-+在点11(,)x y 处的切线1l ，与曲线2:ln C y x =在点22(,)x y 处的切线2l 互相垂直，求证：2x ≥.【矫正反馈】1向气球内充气，若气球的体积以336(/)cm s π的速度增大，气球半径()()R t cm 增大的速度/()R t ＝ .2若曲线2ln xx x y e e=-在点2x =处的切线垂直于直线ln10y x =-，则P 的坐标为 .3.已知曲线y =,B C 处的两条切线交于点1(0,)3A ，则AB AC •=____________.4已知曲线22ln y x x =+在点0x x =处的切线l 斜率4k ≤，求切线l 的方程.【迁移应用】1若曲线sin y a x =与cos y a x =在交点P 处的两条切线互相垂直，则 a = .3设直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为 ______.2设,A B 是曲线2:1C y x =++上不同的两点，且曲线C 在,A B 两点处的切线都与直线AB 垂直.(1)求证:直线AB 过点(1,-(2)求直线AB 的方程.4已知定义在正实数集上的函数221()2,()3ln ,2f x x axg x a x b =+=+，其中0a >.设两曲线(),()y f x y g x ==在公共点00(,)x y 处的切线相同，求证：()()(0).f x g x x ≥>高三数学理科复习43——函数的单调性、极值与最值【高考要求】求函数的单调区间、函数在开区间上的极值、闭区间上的最值（B ） 【知识复习与自学质疑】1、函数()f x =213x x ++的极大值是 . 2、函数()f x =sin xe x +在区间[0，π]上的最小值是 .3、函数()f x =3239x x x --,x ∈[-2,0]的值域为 .4、函数()f x =cos 2x x +,(0,)2x π∈ 在区间 上是增函数； 在区间 上是减函数.5、已知函数()f x =()23xx e -，则当函数x= 时，()f x 有极大值；当x=时，()f x 有极小值.6、函数3()3f x x ax =+-在(,1),(1,)-∞-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 【例题精讲】1、求下列函数的单调区间：（1）()f x =22ln x x -； （2）()f x =sin 2cos xx+ ;2、求函数322()2(1)x f x x -=-的极值.3、求函数3()3f x x x =-在区间[0，a ]上的最大值.4、已知函数44()12ln 3(0)f x x x x c x =-->在x=1处取得极值-3-c ，若对任意x>0，不等式2()2f x c ≥-恒成立，求c 的取值范围.【矫正反馈】1、函数2(1)x y x e =+⋅的单调性为 .2、若函数233y a x x =-在（-∞,-1），（1,+∞）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，则()f x 的极小值、极大值分别是 、 .3、函数2()ln f x x x =-的单调增区间是 ，单调减区间是 .4、函数1x y e x =--的极小值是 .5、函数2cos y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值是 . 6、已知函数26()ax f x x b-=+在点(1,(1))M f --处的切线方程为x+2y+5=0，求()f x 在区间[6，7]上的最大值与最小值.【迁移应用】1、已知函数4221y x x =-+，则当x = 时，y 有极大值 ，当x= 时，y 有极小值 . 2、已知函数2()()x f x x ax e =+⋅在（-1，1）上是减函数，则a 的取值范围是 .3、函数()cos xf x e x =的单调增区间是___________________________. 4、已知函数()22ln f x ax x =-在区间（0，1）上有极值，求a 的取值范围.5、已知k>0,函数322()3,()2kx kf x x x kg x x -=-+=+(1)若对任意[]12,1,1x x ∈-都有12()()f x g x ≥，求k 的取值范围；(2)若存在[]12,1,1x x ∈-,使得12()()f x g x <，求k 的取值范围.高三数学理科复习44---简单复合函数的导数【高考要求】：简单复合函数的导数(B). 【学习目标】：1.了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法则，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数.2.会用复合函数的导数研究函数图像或曲线的特征.3.会用复合函数的导数研究函数的单调性、极值、最值. 【知识复习与自学质疑】1.复合函数的求导法则是什么？2.（1）若()1023y x =-，则1'|x y ==________.（2）若cos 36x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则'|x y π==_____.（3）若12x y e -=，则'y =___________.（4）若()ln 35y x =+，则'y =___________.3.函数y x =-在区间_____________________________上是增函数, 在区间__________________________上是减函数.4.函数2x y x e -=+的单调性是_________________________________________.5.函数()()ln y x e e x =--的极大值是___________.6.函数y =,最小值分别是______,_________. 【例题精讲】1. 求下列函数的导数(1)()3log sin y e x =-;(2)sin x y x =.2.已知曲线()21ln 2222x y x x =++++在点A 处的切线与曲线()sin 2,22y x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在点B 处的切线相同,求ϕ的值.【矫正反馈】1.与曲线cos3y x =在点18P π⎛ ⎝⎭处的切线垂直的一条直线是___________________.2.函数()231y x x =-的极大值点是_______,极小值点是__________.（不好解）3.设曲线cos 3y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在点0,2y π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率为k ,若1k <,则函数tan 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期是T =____________.4.已知曲线212x e y -=在点A 处的切线与曲线(21)2x e y -+=在点B 处的切线互相垂直,O 为原点,且0OA OB ⋅=,则AOB ∆的面积为______________.5.曲线()ln 21y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是___________.【迁移应用】1.设1a >,()()211xf x x ax e -=++⋅,()()221211a a x x g x x -+--=+若存在[]12,0,1x x ∈,使得()()121f x g x -<,求a 的取值范围.2.已知()21f x x x =+-,()g x =,若对任意12x >都有()()f x g x ≤,试求a的取值范围.高三数学理科复习45----定积分【高考要求】：定积分(A)【学习目标】：了解定积分的实际背景；初步了解定积分的概念；会求简单的定积分.直观了解微积分基本定理的含义. 【知识复习与自学质疑】(一)问题:1.定积分的概念是什么?2. 定积分的几何意义是什么?3.微积分基本定理的内容是什么?(一)练习:1.已知质点的速度10v t =，则从0t =到0t t =质点所经过的路程是_______.2.已知在区间(),a b 上()0f x <,且由直线,,0x a x b y ===及曲线()y f x =所围成的图形面积为S ,则()baf x dx =⎰_____________.3.(1)11xdx -=⎰________. (2) 1-=⎰________.4.求下列定积分: (1)2dx π-=⎰________. (2) 3120x dx =⎰________.(3)1831x dx -=⎰________. (4) ()122x x dx ---=⎰________.4.求下列定积分: (1)24cos xdx ππ-=⎰________. (2) 236sinxdx ππ-=⎰________.(3)22xdx =⎰________. (4) 21e edx x=⎰________. 【例题精讲】1.根据()233312123n n ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+,利用定积分定义,求130x dx ⎰.2.已知直线y ax =与曲线x y e b =+相交于点()()00,0,1,y ,求直线y ax =与曲线x y e b =+所围成的图形的面积.3.直线l 与抛物线2:x y C =交与B A ,两点，C l 与所围成的图形面积为34，求线段AB 中点的轨迹方程．【矫正反馈】1.做变速直线运动的物体，初速度为m 1/s ,ts 后速度21--=t e v ,则物体停止运动时,运动的路程是 .2.如图,一条水渠的横截面为抛物线型,渠宽m AB 4=,渠深m CO 2=,当水面距地面m 5.0时,水的横截面的面积为 .3.=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰-dx x x 2222sin 2cos ππ . 4.若一商店出售q 台复读机的利润()L q （单位：元）的变化率为1()12.5(0)40L q q q '=-≥，则售出40台后，每台的平均利润为 元.5.已知函数)()112(1),(01)()1223x x x f x x x --⎧+≤≤=≤≤⎪≤≤⎩求()dx x f ⎰30.【迁移应用】1.已知抛物线2:C y x =上一点P 处的切线l 与x 轴、抛物线C 所围成的图形的面积为112,试求l 的方程.2.设S 为曲线)1(2+=x x y 与直线)10)(1(2≤≤+=k x k y 所围成的面积，试求当S 有最小值时k 的值.高三理科数学复习46——函数模型及其应用【学习目标】：能根据实际问题的情况建立合理的函数模型，会根据实际问题中提供的数据在建立函数模型后用导数方法给出解答. 【例题精讲】1. 某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y （分钟）与车辆进入该路段的时刻t 之间关系可近似地用如下函数给出：3221362936,(69)844159,(910)84366345,(1012)t t t t y t t t t t ⎧--+-≤<⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪-+-<≤⎪⎩求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻.2. 某集团为了获得最大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销。
【2019年整理】高三数学复习课导学案《导数及导数的应用》
高三数学复习课导学案《导数及导数的应用》学科：数学 课题：导数及导数的应用 (一) 编号：1.会用导数求函数的单调区间以及已知单调区间求参数范围2记住极值、极值点的定义并会用导数求函数的极值、最值3.提高规范意识和注重细节意识，从而提高“稳做会，求全对”的得分意识4.不断提高运用数形结合、分类讨论以及转化等思想的能力1记住导数的几何意义，求导公式（8个基本函数求导公式，导数的四则运算，复合函数如何求导）2回顾用导数求函数单调区间以及已知单调区间求参数范围的方法步骤3 回顾极值、极值点的定义及用导数求极值、最值的方法步骤4结合一轮复习回顾导数部分常见题型及解题方法.)x (f .a x x )x ln(a )x (f x .的极值）求函数（的值）求（的一个极值点是函数已知21101362-++== 处取得极小值，则实数在函数 的单调递增区间为函数 ）轴交点的纵坐标是（ 处的切线与在点山东文）曲线==-=-=--+=m x )m x (x )x (f .x ln x y .y ),(P x y .(152215(D) 9(C) 3 (B)9(A)1211120111223 的单调递增区间是函数x x x )x (f .32132323++-=）内单调递减，则，在（若函数204423+-=ax x )x (f . 的取值范围是 a考点一 函数的单调性与导数例1 （2011年天津高考19(2)）【求单调区间】已知函数 R x t x t tx x x f ∈-+-+=,1634)(223 其中t R ∈当0t ≠时，求()f x 的单调区间.变式训练：求f(x)的单调区间.例2 2011年青岛模拟考试（理21（2））【已知单调区间求参数范围】 ),0)(2)((6)(1'≠-+=t t x t x t x f 若[].)x (f 上的单调性，在讨论21),0)(2)((6)(2'>-+=t t x t x t x f 若 已知函数),x ('f )x ln()x (g ,x ax x )x (f -++=++-=31323223问： 是否存在实数 使得 在 上单调递增，若存在求实数 的取值范围；若不存在请说明理由.考点二 函数的极值、最值与导数例3的取值范围？ 个交点，求的图像有与函数若直线的极值求函数的值求的一个极值点是函数已知b )x (f b y )x (f a x x )x ln(a )x (f x 3(3)(2)(1)10132=-++==思考：若方程0101162=--++b x x )x ln(有三个不同实根，该如何求b 的取值范围？a )x (g ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21a )x (g )x (f )x (F .m x x )x (g ,x ln a x )x (f -=+-=-=令22（1）当 时，试求实数 的取值范围使得 的图像恒在 轴上方；（2）当 时，若函数 在 上恰有两个不同零点，求实数 的取值范围；（3）是否存在实数 的值，使函数 和函数 在定义域上具有相同的单调性？若存在求出 的值，若不存在请说明理由 .)(1,0+∞∈=x ,m a )x (F x 2=a )x (F [1,3]m a )x (f )x (g a的（ ）条件是则 ）内单调递增，，在（ 设q p m q mx x x x f p ,5:012ln )(:.12-≥∞++++= (A) 充分不必要 (B)必要不充分 (C)充分必要 (D)既不充分也不必要2. （2011年湖南高考）设直线x=t 与函数f(x)= x 2,g(x)=lnx 的图像分别交于M,N 点，则当MN 达到最小时t 的值为（ ） （A ）1 （B ）21 （C ）25（D ）22 3. 已知4)2(2)(24-++-=x p px x f 在]3,-∞-（上为增函数，在)0,3[-上为减函数，则p=4 已知函数 ，常数 为实数（1）是否存在实数 使得 在区间 上单调递增恒成立，若存在求出 的取值范围，若不存在请说明理由； （2）求函数 的单调递增区间B 组(选)： 5)x (a )x ln(x )x (f 11+-+=a a )x (f [)+∞,1a x ax )x ('f )x (g +-=1121(2)(1)010212-+>=>+-=)a ln()a (g ),a (g )x (f )x (f b a )('f )a (bx ax x ln )x (f 试证明不等式的最大值为设函数的单调区间，并求的代数式表示试用含有且已知函数。
苏教版高三数学一轮复习教案(导数)
苏教版高三数学一轮复习教案（导数）
第十二章、导数及其应用
教学目标：
1、通过实例分析，深刻理解导数的一些实际背景，掌握函数的导数的概念，体会导数的思想及其内涵，掌握利用导数的概念求一些简单函数的导数的方法和流程；掌握导数的实际意义，能通过函数的图像直观的理解导数的几何意义及导数的物理意义。
2、掌握并熟记几种常见的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则，掌握复合函数的求导法则。
教学重点：几种基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则。
教学难点：导数的几何意义及物理意义。
1．导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x 在x 处有增量，那幺函数y 相应地有增量=f
（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x 到x+之间的平均变化率，即=。
如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x 处的导数，记作f’（x）或y’|。
即f（x）==。
说明：（1）函数f（x）在点x 处可导，是指时，有极限。
如果不存在极限，就说函数在点x 处不可导，或说无导数。
（2）是自变量x 在x 处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x 处的导数的步骤（可由学生来归纳）：
（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；
（2）求平均变化率=；。
高考数学第一轮复习教案导数精选
高考数学第一轮复习教案导数复习目标1. 了解导数的概念,能利用导数定义求导数.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.了解曲线的切线的概念.在了解瞬时速度的根底上抽象出变化率的概念.2熟记根本导数公式,掌握两个函数四那么运算的求导法那么和复合函数的求导法那么,会求某些简单函数的导数,利能够用导数求单调区间,求一个函数的最大〔小〕值的问题,掌握导数的根本应用.3. 了解函数的和、差、积的求导法那么的推导,掌握两个函数的商的求导法那么.能正确运用函数的和、差、积的求导法那么及已有的导数公式求某些简单函数的导数^4. 了解复合函数的概念.会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合.掌握复合函数的求导法那么,并会用法那么解决一些简单问题 .三、根底知识梳理：导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具.在高中阶段对于导数的学习,主要是以下几个方面：1 .导数的常规问题：〔1〕刻画函数〔比初等方法精确细微〕；〔2〕同几何中切线联系〔导数方法可用于研究平面曲线的切线〕；〔3〕应用问题〔初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便〕等关于n次多项式的导数问题属于较难类型.2 .关于函数特征,最值问题较多,所以有必要专项讨论,导数法求最值要比初等方法快捷简便^3 .导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考察综合水平的一个方向,应引起注意.4 .瞬时速度物理学习直线运动的速度时,涉及过瞬时速度的一些知识,物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻〔或某一位置〕的速度叫做瞬时速度,然后从实际测量速度出发,结合汽车速度仪的使用,对瞬时速度作了说明.物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述,有了极限工具后,本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度.5 .导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点,推导导数运算法那么与某些导数公式时,都是以此为依据. 对导数的定义,我们应注意以下三点：(1) Ax是自变量x在X o处的增量(或改变量).(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念,如果△ x-O 时,—y有极限,那么函数y=f(x)在点x0处x可导或可微,才能得到f(x)在点x0处的导数.(3)如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点x0处连续(由连续函数定义可知).反之不一定成立.例如函数y=|x|在点x=0处连续,但不可导.由导数定义求导数,是求导数的根本方法,必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量y f(x0x) f(x0);(2)求平均变化率一y ——x)—f-(x^)；(3)取极限,得导数f'(x0) lim —y .x x x 0 x6 .导数的几何意义函数y=f(x)在点x o处的导数,就是曲线y=(x)在点P(x o, f (x o))处的切线的斜率.由此,可以利用导数求曲线的切线方程.具体求法分两步：⑴求出函数y=f(x)在点x o处的导数,即曲线y=f(x)在点P(x o, f (x o))处的切线的斜率；(2)在切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为y y o f'(x o)(x x o)特别地,如果曲线y=f(x)在点P(x o, f (x o))处的切线平行于y轴,这时导数不存,根据切线定义,可得切线方程为x x o7 .导数与函数的单调性的关系㈠f (x) o与f(x)为增函数的关系.3f (x) 0能推出f(x)为增函数,但反之不一定.如函数f(x) x在(,)上单调递增,但f (x) 0, f (x) 0是f(x)为增函数的充分不必要条件.㈡f (x) 0 时, f (x) 0 与f (x) 为增函数的关系.假设将f (x) 0的根作为分界点,由于规定 f (x) 0 ,即抠去了分界点,此时 f (x) 为增函数,就一定有f (x) 0.,当f (x) 0时,f (x) 0是f(x)为增函数的充分必要条件.㈢f (x) 0 与f (x) 为增函数的关系.f(x) 为增函数,一定可以推出 f (x) 0,但反之不一定,由于 f (x) 0,即为f (x) 0或f (x) 0 .当函数在某个区间内恒有 f (x) 0,那么f(x)为常数,函数不具有单调性..•. f (x) 0是f (x)为增函数的必要不充分条件.㈣单调区间的求解过程y f (x)( 1)分析y f (x) 的定义域；( 2)求导数y f (x)( 3)解不等式 f (x) 0,解集在定义域内的局部为增区间( 4)解不等式 f (x) 0 ,解集在定义域内的局部为减区间我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系,才能准确无误地判断函数的单调性. 以下以增函数为例作简单的分析,前提条件都是函数y f (x) 在某个区间内可导.㈤函数单调区间的合并函数单调区间的合并主要依据是函数f(x)在(a,b)单调递增,在(b,c)单调递增,又知函数在f(x) b处连续,因此f(x)在(a,c)单调递增.同理减区间的合并也是如此,即相邻区间的单调性相同, 且在公共点处函数连续,那么二区间就可以合并为以个区间.8 . y f (x) x [a , b](1)f (x) 0恒成立.. y 〞*)为(2,3上•••对任意x (a,b)不等式f(a) f(x) f(b) 恒成立(2) f (x) 0恒成立y f (x)在(a,b)上四、经典例题解析:2 - c(i)求a 和b 的值；(n)讨论 f(x)的单倜性；(出)设 g(x) - x 3 x 2,试比拟 3小.解：(I)由于 f (x) e x 1(2x x 2) 3ax 2 2bx xe x 1 (x 2) x(3ax 2b), 又x 2和x 1为f (x)的极值点,所以f ( 2) f(1) 0,因此6a 2b 0'解方程组得a Lb 1.3 3a 2b 0,3一. 1E)由于 a 3 b 1,所以 f(x)x(x 2)(e1),令 f (x) 0,解得 x 12 , x 2 0 , x 31 .由于当 x (, 2) U(01)时,f (x)当x ( 2,0)U(1,)时,f (x) 0.所以f(x)在(2,0)和(1,)上是单调递增的； 在(,2)和(0,1)上是单调递减的.2 x 113 2 2 x 1 3 2 . x 1(出)由(I)可知 f (x) x e - x x ,故 f (x) g(x) x e x x (e 3 ....................................... - ...........人 x 1 x 1金_h(x) ex,…那么 h (x) e 1 .令 h (x) 0 ,得 x 1 ,由于x ,1时,h (x) 0 0,所以h(x)在x ,1上单调递减.故 x,1 时,h(x)> h(1) 0；由于 x 1,时,h(x)>0,所以h(x)在x 1,上单调递增.故x 1, 时,h(x) > h(1) 0.所以对任意x (,),恒有h(x) > 0 ,又x 2 2 0 ,对任意x (a ,b)不等式f(a)f (x) f(b)恒成立例1设函数f(x)2 x 1 3.2x e ax bx , x2和x 1为f(x)的极值点.f (x)与g(x)的大0；x)说明：此题主要考查函数的极值及利用导数解决函数单调性问题,另外利用导数证实不等式也是高考不科 无视的考查方向.所以,当b 2时,函数f(x)在(,b 1)上单调递减,在(b 1,1)上单调递增, 在(1,)上单调递减.当b 2时,函数f(x)在(,1)上单调递减,在(1, b 1)上单调递增,在(b 1,)上单调递减., r , 2 ~ 一., .................. ...............................当b 1 1,即b 2时,f(x)所以函数f (x)在(,1)上单调递减,在(1,)上单调递减.x 1a例3.函数f x x — b x 0 ,其中a,b R .x(i)假设曲线 y f x 在点P 2, f 2处的切线方程为y 3x 1,求函数f x 的解析式； (n)讨论函数 f x 的单调性；因此f(x) g(x) > 0 ,故对任意x (),恒有 f (x) > g(x).例2.函数f(x )2( x 1)2 解：f (x)- ---- -令 f (x) 0,得 x b 当b 1 1,即b 2时,当b 1 1 ,即b 2时------ ,求导函数 f (x),并确£ (x1)2(2x b) 2(x 1) 2x 2b (x 1)4(x 1)31 .,f (x)的变化情况如下表：x (, b 1) b 1f (x),f (x)的变化情况如下表：x (,1) (1, b 1)f (x)三f(x)的单调区间.22[x (b 1)] 3(b 11)(1,)b 1 (b 1,)从而得b 7,所以满足条件的b 的取值范围是(,7］. 44说明：本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等根底知识,考查运算能 力、综合分析和解决问题的水平.t 表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水库1(出)右对于任息的 a — ,2 ,不等式f x2.110在一1上恒成乂, 4求b 的取值范围a解：(I) f (x) 1 一,由导数的几何意义得 f (2) 3,于是a 8. x 由切点P(2, f(2))在直线y 3x 1上可得 2 b 7,解得b 9.所以函数f(x)的解析式为f(x) x - 9. xa(n) f (x) 1 —. x当a 0时,显然f (x) 0(x 0) .这时f(x)在(,0), (0,)内是增函数. 当a 0时,令f (x) 0,解得x B当x 变化时,f (x), f (x)的变化情况如下表:x (, a) 、,a (、.a,0) (0, ■ a)、.a (、. a,)f (x) + 0f (x)/ 极大值 \\ 极小值所以f (x)在(Va) , (ja,)内是增函数,在(ja,0) , (0, Va)内是减函数.(m)由(n)知,,1 ,,…,,… f (x)在［一 1］上的最大值为1 -f(一)与f (1)中的较大者,对于任意的 41 … a [-,2],不等2 1 一 , ,一」式f (x) 10在［1,1］上恒成立,当且仅当,1f(1) 10 即 b 4 5即 f(1) 10 b39 , 4a 一一,, 4 ,对任息的a 9 a1~ [-,2]成立. 2例4.水库的蓄水量随时间而变化,现用的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为V(t)= ( t2 14t 40)e450,0 t 10,4(t 10)(3t 41) 50,10 t 12(I)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期.以i—1vtvi表示第i月份(i=1,2, (12),问一年内哪几个月份是枯水期？(n )求一年内该水库的最大蓄水量(取e=2.7计算).…,、…,?…,2 ,1t解：(I)①当0V t 10 时,V(t)=( — t+14t —40) e450 50,化简得t2—14t+40>0,解得t V 4,或t > 10,又0V t 10,故0V tv 4.②当10V t 12 时,V (t) =4 (t—10) (3t —41) +50V 50,41化简彳#(t—10) (3t —41) v 0,解得10vt v —,又10V t 12,故10V t 12.3综合得0v t <4,或10<t 12,故知枯水期为1月,2月,3月,4月,11月,12月共6个月.(n )由(I )知：V(t)的最大值只能在(4, 10)内到达.1t一 3 11t8),由V (t) =e4( -t23t 4) -e4 (t2)(t4 2 4令V (t)=0,解得t=8(t= -2 舍去).当t变化时,V' (t)与V( t)的变化情况如下表:(4,8) (8,10)V' (t)Mt) 极大值由上表,V(t)在t = 8时取得最大值V8) =8e2+50- 108.32(亿立方米).故知一年内该水库白最大蓄水量是108.32亿立方米说明：本小题主要考查函数、导数和不等式等根本知识,考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际 问题水平........ kx 1例5.函数f(x) f (c 0且c 1, k R )恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是 x c x c.(I)求函数f(x)的另一个极值点；(n)求函数f(x)的极大值M 和极小值m ,并求M m>1时k 的取值范围.-22k(x c) 2x(kx 1) kx 2x ck解：(I) f (x) — ----------------- 2 ----- 2 ------ -------- 2 -----2一,由题意知 f ( c) 0 ,(x c) (x c)2.即得 c k 2c ck 0, (*)Qc 0, k 0., … 2 rr2 (n)由(*)式得 k ---------------- ,即 c 1 -.c 1k当 c 1时,k 0；当 0 c 1时,k 2.M m- k2 1 -"恒成立.综上可知,所求 k 的取值范围为(,2)U[J2,).由 f (x) 0得 kx 22x ck 0,由韦达定理知另一个极值点为(i)当 k 0时,f(x)在(,c)和(1,)内是减函数,在(c,1)内是增函数. k 1 k f ⑴.2 °, m f( c)kc 1 k 22~~cc 2(k 2)k 22(k 2)0,解得(ii )当 k 2 时,f(x)在(,c)和(1,)内是增函数,在(c,1)内是减函数.f( c)k 2 2(k 2)kf (1) — 02求证以下不等式(1)2xx ——ln( 1 x) x2 2(1 x)x (0,(2)2x ,一、sin x ——x (0 ,—) 2(3) x sin x tanx x (0, 一)2证实: f (x) ln(1 x) (x2-)2f(0) 0x2 1------- 0x 1f(x)为(0, )上x (0, f(x) 0 恒成立••• ln(12 x x) x —2g(x) --------- ln( 12(1 x)x) g(0)g (x)4x24x 2x21 -------------- 2-4(1 x)22x24(1g(x)在(0 , )上x (0,2(1 x)ln(1 x) 0恒成立(2)原式sin x令f (x) sin x/xx (0,2) cosx x tanx•• f (x)cosx(x tanx)(0；f(x) 0 (0,-)• sin x2x(3)令f(x) tanx 2x sin x f(0)f (x) sec2 x 八(1 cosx)(cos x2 cosx ----------------- --- 2-cos xsin2 x)x (0,-) f (x) 0 (0,-)2 2tanx x x sin x说明：利用导数证实不等式这一局部内容不可无视,它本质是还是考查利用导数研究函数的单调性及最值问题.五、强化跟踪：x 0x1 .设函数f(x)在*0处可导,那么lim f(x0 x)f(x0)等于A f'(x.)B . f'( x0)C , f'( x0)D . f( x0)f(x0 2 x) f(x.)2.右lim ------------------------------ 1 ,那么f (x0)等于( )x 0 3 xA. 2 B .3 C . 3 D . 23 23 .曲线y x3 3x上切线平行于x轴的点的坐标是( )A (-1,2)B , (1,-2)C . (1,2)D . ( -1 , 2)或(1 , -2 )4 .假设函数f(x)的导数为f ' (x)=-sinx ,那么函数图像在点(4, f (4))处的切线的倾斜角为()A 90°B .0°C .锐角D .钝角5 .函数y 2x33x2 12x 5在［0 , 3］上的最大值、最小值分别是( )A. 5, —15B. 5,-4C. —4, —15D. 5, —16s6 . 一直线运动的物体,从时间t到t+ At时,物体的位移为△ s,那么lim ——为( )0 ttA从时间t至ij t+ At时,物体的平均速度 B.时间t时该物体的瞬时速度C.当时间为^ t时该物体的速度 D .从时间t到t+ At时位移的平均变化率7 .关于函数f(x)2x3 6x2 7 ,以下说法不正确的选项是A.在区间( ,0)内,f(x)为增函数B .在区间(0, 2)内,f(x)为减函数D.在区间( ,0)(2,)内,f(x)为增函数 8 .对任意x,有f'(x)4x 3, f(1)=-1 ,那么此函数为()4_4___4_4 一A f (x) xB . f(x) x 2C . f(x) x 1D . f(x) x 29 .函数y=2x 3-3x 2-12x+5在［0,3］上的最大值与最小值分别是()A.5 , -15B.5,4C.-4 , -15D.5 ,-1610 .设f(x)在X O 处可导,以下式子中与f'(x .)相等的是⑴ l …：(xo2x)；..f(X o X) f (X O X) lim -----------x 0 V11 . f ( x )是定义在区间［—c,c ］上的奇函数,其图象如下图：令 g (x)的表达正确的选项是()A.假设a <0,那么函数g ( x)的图象关于原点对称.B.假设a=-1, — 2<b<0,那么方程g (x) =0有大于2的实根.C.假设awo,b=2,那么方程g ( x) =0有两个实根D.假设a>1,b<2,那么方程g ( x) =0有三个实根12 .假设函数f(x)在点X O 处的导数存在,那么它所对应的曲线在点 13 .设f(x) x 1,那么它与x 轴交点处的切线的方程为 . x14 .设 f'(x 0)3,那么 limf(Xo h)-f(Xo 3h).h 0h15 .垂直于直线2x-6y+1=0 ,且与曲线y x 3 3x 2 5相切的直线的方程是⑶lx mf (X O 2 x) f (X Ox)(4)lx mf (X O x) f (X O 2 x)A (1) (2)B . (1) (3) C(2) (3) D (1) (2) (3) (4)C.在区间(2,)内,f(x)为增函数+b,那么以下关于函数(X O , f(X o ))处的切线方程是16 .曲线y17 . y=x 2e x 的单调递增区间是18 .曲线y 3]3x2—1在点(1,3/4)处的切线方程为1 ...............................19 . P 是抛物线y X 2上的点,假设过点 P 的切线方程与直线 y -x 1垂直,那么过P 点处的切线方程是220 .在抛物线y x 2上依次取两点,它们的横坐标分别为X 1 1, X 2 3,假设抛物线上过点 P 的切线与过这两点的割线平行,那么 P 点的坐标为 .21 .曲线f(x) x 3在点A 处的切线的斜率为 3,求该曲线在 A 点处的切线方程.22 .在抛物线y x 2上求一点P,使过点P 的切线和直线3x-y+1=0的夹角为一.4__ x(x 0)23 .判断函数f(x) ')在x=0处是否可导.x(x 0)24 .求经过点(2, 0)且与曲线y 1相切的直线方程. x25 .曲线C 1 : y x 2与C 2： y (x 2)2 .直线l 与C 1、C 2«W,求直线l 的方程. 六.参考答案：1 — 5 CBDCA 6 —10 BDBAB 11 B 12 . y f (X O ) f'(X O )(X X O )1317. (-8,-2)与(0,+ oo) 18. x V2y 1 019 . 2x-y-1=020. ( 2, 4) 21 .由导数定义求得f'(x) 3x 2,y=2(x-1)或 y=2(x+1)14 . -6 153x+y+6=0 16令 3x 2 3 ,那么 x= ± 1.当x=1时,切点为(1,1),所以该曲线在(1, 1)处的切线方程为 y-1=3(x-1)即3x-y-2=0 ; 当x=-1时,那么切点坐标为(-1,-1),所以该曲线在(-1,-1)处的切线方程为 y+1=3(x+1)即3x- y+2=0.22.由导数定义得f' (x)=2x,设曲线上 P 点的坐标为(x 0,y 0),那么该点处切线的斜率为 k p 2x 0,根据2x .3limx 0y二•lim ——不存在.x 0x,函数f(x)在x=0处不可导.1lim --------------- x 0x 0(x 0x)夹角公式有2x o 3 解得x 01或x o由x 0得y 016, 一 八 1 1、 那么P (-1, 1)或 P(-,—).4 1623- limx 0limx 0f(0f(0)limx 0limx 0limx 0f(0 x) f(0)xlimx 024.可以验证点 (2, 0)不在曲线上,故设切点为P (x 0, y 0).由 y'|x x 0lim xxx .x 0xlim ------------- x ------ x 0x (x 0 x) x 01~~2, x 01 得所求直线方程为y y0 」2(x x o).X.由点(2, 0)在直线上,得x：y. 2 X o,再由P(X o,y.)在曲线上,得x.y. 1,联立可解得x0 1 , y01.所求直线方程为x+y-2=0.25.解：设l与G相切于点P(x1,x；),与C2相切于Q(x2,① 2)2).对C1 : y' 2x ,那么与C1相切于2 2点P的切线方程为y x1 2x1( x x1),即y 2x1x x1 . ①2对C2：y' 2(x 2),那么与C2相切于点Q的切线方程为y (x2 2) 2(x2 2)(x x2),即2y 2( x22)x x2 4. ②2x1 2M 2) x 0, x 2•••两切线重合,・•.12 2 2,解得1 ,或1 ,x；x2 4 x22; x20「•直线方程为y=0或y=4x-4.。
高三数学一轮复习导数教案高三全册数学教案
芯衣州星海市涌泉学校导数数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，应选A ； 〔2〕21y x '=+，设切点坐标为00(,)x y ，那么切线的斜率为201x +，且20001y x x =++，于是切线方程为20001(21)()y x x x x x ---=+-，因为点〔－1，0〕在切线上，可解得0x ＝0或者者－4，代入可验正D 正确，选D 。
点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。
考点四：借助导数处理单调性、极值和最值例5．〔1〕对于R 上可导的任意函数f 〔x 〕，假设满足〔x －1〕f x '（）0，那么必有〔〕 A ．f 〔0〕＋f 〔2〕2f 〔1〕B.f 〔0〕＋f 〔2〕2f 〔1〕C ．f 〔0〕＋f 〔2〕2f 〔1〕D.f 〔0〕＋f 〔2〕2f 〔1〕〔2〕函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如下列图，那么函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点〔〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 〔3〕函数()11ax x f x e x-+=-。
〔Ⅰ〕设0a >，讨论()y f x =的单调性；〔Ⅱ〕假设对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围。
解析：〔1〕依题意，当x 1时，f 〔x 〕0，函数f 〔x 〕在〔1，＋〕上是增函数；当x1时，f 〔x 〕0，f 〔x 〕在〔－，1〕上是减函数，故f 〔x 〕当x ＝1时获得最小值，即有f 〔0〕f 〔1〕，f 〔2〕f 〔1〕，应选C ；〔2〕函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如下列图，函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A 。
高考数学第一轮复习教案 专题3导数与其应用
专题三 导数与其应用一、考试内容导数概念及其几何意义 导数及其应用 二、考试要求（1）理解导数概念及其几何意义，掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.。
（2）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.。
（3）会利用导数解决实际问题。
三、命题热点分析近几年的高考试题，导数这一知识点是高考的必考内容，对导数的考查主要是有三个方面：一是考查导数的运算与导数的几何意义，二是考查导数的简单应用，例如求函数的单调区间、极值与最值等，三是考查导数的综合应用.导数的几何意义以及简单应用通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题；而对于导数的综合应用，则主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式进行考查，例如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题.。
在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有导数试题，而且常考常新.以函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式进行考查是高考命题的新趋势。
四、知识回顾（一）导数的概念及几何意义（1）平均变化率一般地，函数21,),(x x x f y =是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式子2121)()(x x x f x f --表示，这个式子称，函数的到从21),(x x x f y =平均变化率，记为=∆∆xf 2121)()(x x x f x f --=x x f x x f ∆-∆+)()(21（2）曲线的切线切线的斜率:x x f x x f x y k x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(000lim lim ,切线的方程为：)(00x x k y y -=- （4）导数的概念一般地，函数0)(x x x f y ==在处的瞬间变化率是xyx x f x x f x x ∆∆=∆-∆+→∆→∆lim lim0000)()(，称它为0)(x x x f y ==在处的导数，记为0)(0x x y x f =/''或，即x yx x f x x f x f x x ∆∆=∆-∆+='→∆→∆lim lim0000)()()(（5）导数的几何意义0)(x x f y 在点=处的导数)(0x f '的几何意义是：曲线0)(x x f y 上过点=的切线的斜率。
[精品]新高三高考数学一轮复习14.1导数的概念优质课教案
![[精品]新高三高考数学一轮复习14.1导数的概念优质课教案](https://img.taocdn.com/s3/m/5bc1d4e00c22590102029de0.png)
14、导数及其应用 14.1导数的概念【知识网络】1．经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程． 2．了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数． 3．体会导数的思想及其内涵．4．通过函数图象直观地理解导数的几何意义． 【典型例题】[例1]（1）曲线y=sinx 上两点M （2π，1），N （π，0），则直线MN 的斜率是（ ）A ．1B ．－1C ．－2πD ．－π2（2）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= （3）在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0（4）已知f(x)=x 3＋2x 2,则xx f x x f ∆-∆+)()(= ．（5）曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 .[例2] 已知f(x)=1＋1x，1]上的平均变化率；（1）求f(x)在区间[1，2]，[12（2）求f(x)在x=1处的瞬时变化率。
[例3] 如图，已知一个倒置的正四棱锥形容器的底面边长为10cm，高为10m，现用一根水管以9ml/s的速度向容器里注水．（1）将容器中水的高度h表示为时间t的函数，并作出其图象．（2）求第二个1 s 内水面高度的平均变化率．[例4] 设函数2xf分别在1x、2x处取得极小值、极大=xx(3+3)+-值.xoy 平面上点A 、B 的坐标分别为))(,(11x f x 、))(,(22x f x ,求点A 、B 的坐标 ．【课内练习】1．已知函数f(x)=x 2＋2x －1图象上一点P （1，2），点Q 也是图象上一点，且Q 位于点P 的右边，若点Q 无限逼近P ，则直线PQ 的斜率（ ） A ．不断增大且为负 B ．不断增大且为正 C ．不断减小且为正D ．不断减小且为负2． 已知函数y=x 2＋1的图象上一点A （1，2）及其邻近一点B （1＋△x,2＋△y）,则直线AB的斜率是（ ） A ．2B ．2xC ．2＋△xD ．2＋(△x)23． 一质点做直线运动，由始点经过ts 后的距离为s=14t 4－4t 3＋16t 2，则速度为0的时刻是 （ ）A ．4s 末B ．8s 末C ．0s 末与8 s 末D ．C ．0s 末，4s 末，8 s 末4． 满足f ′(x)=f(x)的函数是 （ ）A ．f (x)=1－xB ．f (x)=xC ．f (x)=0D ．f (x)=1 5．直线y=－2x ＋1上两点的横坐标增量△y 与纵坐标增量△x 的比值是 ．6．一质点的运动方程是S=2t 2＋1（位移单位：m ，时间单位：s),则平均变化率是 ．7．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 ． 8．设函数y=f(x)=x 2－1，（1） 当自变量x 由1变到1．1时，求函数值增量△y ； （2） 当自变量x 由1变到1．1时，求函数值的平均变化率； （3） 求该函数图象在点（1，y 0）处的切线方程．9．已知抛物线y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)经过点（1，1），且在点（2，－1）处的切线与直线y=x －3重合，求a,b,c 的值．10．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米。
高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第2节导数的应用第5课时利用导数研究函数的零点问题教师用书
第5课时 利用导数研究函数的零点问题考点1 讨论函数的零点个数——综合性(2021·海口模拟)已知函数f(x)＝．(1)判断f(x)的单调性，并比较2 0202 021与2 0212 020的大小；(2)若函数g(x)＝(x－2)2＋x(2f(x)－1)，其中≤a≤，判断g(x)的零点的个数，并说明理由．参考数据：ln 2≈0.693．解：(1)函数f(x)＝，定义域是(0，＋∞)，故f′(x)＝．令f′(x)＞0，解得0＜x＜e；令f′(x)＜0，解得x＞e，故f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，则f(2 020)＞f(2 021)，即＞，故2 021ln 2 020＞2 020ln 2 021，故ln 2 0202 021＞ln 2 0212 020，故2 0202 021＞2 0212 020．(2)因为g(x)＝(x2－4x＋4)＋2ln x－x，所以g′(x)＝ax＋－2a－1＝．令g′(x)＝0，解得x＝2或x＝，①当a＝时，则g′(x)＝≥0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(2)＝2ln 2－2＜0，g(6)＝2ln 6－2＞0，故g(2)g(6)＜0，故存在x0∈(2,6)，使得g(x0)＝0，故g(x)在(0，＋∞)上只有1个零点；②当<a<时，则＜2，则g(x)在上单调递增，在上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，故g(x)在(0，＋∞)上有极小值g(2)，g(2)＝2ln 2－2<0，有极大值g＝2a－－2ln a－2，且g(2)＝2ln 2－2＜0，g(6)＝8a＋2ln 6－6＞2ln 6－2＞0，故g(2)g(6)＜0，故存在x1∈(2,6)，使得g(x1)＝0，故g(x)在(2，＋∞)上只有1个零点，另一方面令h(a)＝g＝2a－－2ln a－2，h′(a)＝2＋－＝2>0，所以h(a)在上单调递增，所以h(a)<h＝e－－2－2ln <0，则g＜0，故g(x)在上没有零点．综上：当≤a≤时，g(x)只有1个零点．已知函数f(x)＝x－(e为自然常数)．(1)若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)设a∈R，讨论函数g(x)＝x－ln x－f(x)的零点个数．解：(1)f(x)＝x－，则f′(x)＝．因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立．记φ(x)＝e x＋ax－a，则φ(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，φ′(x)＝e x＋a．当a≥－1时，φ′(x)＝e x＋a＞1＋a≥0，即φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以φ(x)＞φ(0)＝1－a≥0，所以－1≤a≤1；当a＜－1时，令φ′(x)＝e x＋a＝0，解得x＝ln(－a)．当0＜x＜ln(－a)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(0，ln(－a))上单调递减；当x＞ln(－a)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(ln(－a)，＋∞)上单调递增，所以φ(x)≥φ(ln(－a))＝－2a＋a ln(－a)≥0，解得－e2≤a＜－1．综上可得，实数a的取值范围是[－e2,1]．(2)g(x)＝x－ln x－f(x)＝－ln x(x＞0)，令g(x)＝0，得a＝(x＞0)．令h(x)＝，则h′(x)＝，当x∈(0,1]时，ln x≤0，x－1≤0，所以h′(x)≥0，h(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以h(x)在(0，＋∞)单调递增，又h(x)＝∈R，a∈R，所以y＝a与h(x)＝的图象只有一个交点，所以a∈R，g(x)只有唯一一个零点．考点2 由函数的零点个数求参数的范围——综合性(2022·湖南模拟)已知函数f(x)＝x3＋3a(x＋1)(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数g(x)＝f(x)－x ln x－3a在上有两个不同的零点，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝3x2＋3a．①当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增；②当a＜0时，令f′(x)＞0，解得x<－或x>，令f′(x)＜0，解得－<x<，所以f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，在(－，)上单调递减．综上，当a≥0时，f(x)在R上单调递增；当a＜0时，f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，在(－，)上单调递减．(2)g(x)＝x3＋3ax－x ln x，依题意，x3＋3ax－x ln x＝0在上有两个不同的解，即3a＝ln x－x2在上有两个不同的解．设h(x)＝ln x－x2，x∈，则h′(x)＝－2x＝．当x∈时，h′(x)≥0，h(x)单调递增；当x∈时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，所以h(x)max＝h＝－ln 2－，且h＝－ln 2－，h(2)＝ln 2－4，h>h(2)，所以－ln 2－≤3a<－ln 2－，所以－ln 2－≤a<－ln 2－，即实数a的取值范围为．已知函数f(x)＝x2＋ax＋1－，a∈R．(1)若f(x)在(0,1)上单调递减，求a的取值范围；(2)设函数g(x)＝f(x)－x－a－1，若g(x)在(1，＋∞)上无零点，求整数a的最小值．解：(1)由题知f′(x)＝2x＋a＋≤0在(0,1)上恒成立，即a≤－2x恒成立．令h(x)＝－2x，则h′(x)＝－2＝－2>0，所以h(x)在(0,1)上单调递增，所以a≤h(x)min＝h(0)＝1．故a的取值范围是(－∞，1]．(2)由已知x>1，假设g(x)＝0⇔－a＝x＋，记φ(x)＝x＋，则φ′(x)＝1＋．令φ′(x)＞0，解得x>1＋，所以φ(x)在(1,1＋)上单调递减，在(1＋，＋∞)上单调递增，φ(1＋)＝1＋＋＝1＋＝1＋∈(2,3)，由题知－a＝φ(x)在(1，＋∞)内无解，故－a<φ(1＋)<3，所以a>－φ(1＋)，所以整数a的最小值为－2．考点3 函数极值点的偏移问题——综合性(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x(1－ln x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且b ln a－a ln b＝a－b，证明：2<＋<e．(1)解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝1－ln x－1＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，故f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)证明：因为b ln a－a ln b＝a－b，故b(ln a＋1)＝a(ln b＋1)，即＝，故f ＝f ．设＝x1，＝x2，由(1)可知不妨设0<x1<1，x2>1．因为x∈(0,1)时，f(x)＝x(1－ln x)>0，x∈(e，＋∞)时，f(x)＝x(1－ln x)<0，故1<x2<e．先证：x1＋x2>2，若x2≥2，x1＋x2>2必成立．若x2<2,要证x1＋x2>2，即证x1>2－x2，而0<2－x2<1，故即证f(x1)>f(2－x2)，即证f(x2)>f(2－x2)，其中1<x2<2．设g(x)＝f(x)－f(2－x)，1<x<2，则g′(x)＝f′(x)＋f′(2－x)＝－ln x－ln(2－x)＝－ln[x(2－x)]．因为1<x<2，故0<x(2－x)<1，故－ln x(2－x)>0，所以g′(x)>0，故g(x)在(1,2)上单调递增，所以g(x)>g(1)＝0，故f(x)>f(2－x)，即f(x2)>f(2－x2)成立，所以x1＋x2>2成立，综上，x1＋x2>2成立．设x2＝tx1，则t>1，结合＝，＝x1，＝x2，可得x1(1－ln x1)＝x2(1－ln x2)，即1－ln x1＝t(1－ln t－ln x1)，故ln x1＝，要证x1＋x2<e，即证(t＋1)x1<e，即证ln (t＋1)＋ln x1<1，即证ln (t＋1)＋<1，即证(t－1)ln (t＋1)－t ln t<0．令S(t)＝(t－1)ln (t＋1)－t ln t，t>1，则S′(t)＝ln (t＋1)＋－1－ln t＝ln －．先证明一个不等式：ln(x＋1)≤x．设u(x)＝ln(x＋1)－x，则u′(x)＝－1＝，当－1<x<0时，u′(x)>0；当x>0时，u′(x)<0，故u(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数，故u(x)ma x＝u(0)＝0，故ln(x＋1)≤x成立．由上述不等式可得当t>1时，ln ≤<，故S′(t)<0恒成立，故S(t)在(1，＋∞)上为减函数，故S(t)<S(1)＝0，故(t－1)ln (t＋1)－t ln t<0成立，即x1＋x2<e成立．综上所述，2<＋<e．对称化构造是解决极值点偏移问题的方法，该方法可分为以下三步：已知函数f(x)＝ln x－ax有两个零点x1，x2(x1<x2)．(1)求实数a的取值范围；(2)求证：x1·x2>e2．(1)解：f′(x)＝－a＝(x>0)，①若a≤0，则f′(x)>0，不符合题意．②若a>0，令f′(x)＝0，解得x＝．当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0．由题意知f(x)有两个零点的必要条件为f(x)＝ln x－ax的极大值f＝ln －1>0，解得0<a<．显然e∈，f(e)＝1－a e<0，∈，f＝2ln－．设t＝>e，g(t)＝2ln t－t，g′(t)＝－1<0，所以g(t)在(e，＋∞)上单调递减，g(t)<g(e)＝2－e<0，即f <0．所以实数a的取值范围为．(2)证明：因为f(1)＝－a<0，所以1<x1<<x2．构造函数H(x)＝f－f＝ln －ln －2ax,0<x<．H′(x)＝＋－2a＝>0，所以H(x)在上单调递增，故H(x)>H(0)＝0，即f >f．由1<x1<<x2，知－x1>，故f(x2)＝f(x1)＝f <f＝f．因为f(x)在上单调递减，所以x2>－x1，即x1＋x2>．故ln (x1x2)＝ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2)>2，即x1·x2>e2．拓展考点 隐零点求解问题已知函数f(x)＝ax2－ax－x ln x，且f(x)≥0．(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2<f(x0)<2－2．(1)解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，设g(x)＝ax－a－ln x，则f(x)＝xg(x)，f(x)≥0等价于g(x)≥0．因为g(1)＝0，g(x)≥0，故g′(1)＝0，而g′(x)＝a－，g′(1)＝a－1＝0，得a＝1．若a＝1，则g′(x)＝1－．当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以x＝1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0．综上，a＝1．(2)证明：由(1)知f(x)＝x2－x－x ln x，f′(x)＝2x－2－ln x(x>0)．设h(x)＝2x－2－ln x，h′(x)＝2－．当x∈时，h′(x)<0；当x∈时，h′(x)>0，所以h(x)在上单调递减，在上单调递增．又h(e－2)>0，h<0，h(1)＝0，所以h(x)在上有唯一零点x0，在上有唯一零点1，且当x∈(0，x0)时，h(x)>0；当x∈(x0，1)时，h(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0．因为f′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点．由f′(x0)＝0得ln x0＝2(x0－1)，故f(x0)＝x0(1－x0)．由x0∈得f(x0)<．因为x＝x0是f(x)在(0,1)上的最大值点，由e－1∈(0,1)，f′(e－1)≠0得f(x0)>f(e－1)＝e－2，所以e－2<f(x0)<2－2．设函数f(x)＝e x－ax－2．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)·f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．解：(1)当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，ln a)，单调递增区间是(ln a，＋∞)．(解答过程略)(2)由题设可得(x－k)(e x－1)＋x＋1>0，即k<x＋(x>0)恒成立．令g(x)＝＋x(x>0)，得g′(x)＝＋1＝(x>0)．由(1)的结论可知，函数h(x)＝e x－x－2(x>0)是增函数．又因为h(1)<0，h(2)>0，所以函数h(x)的唯一零点α∈(1,2)(该零点就是h(x)的隐零点)，且eα＝α＋2．当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)min＝g(α)＝＋α．又eα＝α＋2且α∈(1,2)，则g(x)min＝g(α)＝1＋α∈(2,3)，所以k的最大值为2．1．按导函数零点能否精确求解可以把零点分为两类：1．已知函数f(x)＝e x－a－eln(e x＋a)，若关于x的不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．解：由函数f(x)＝e x－a－eln(e x＋a)，求得定义域为，对函数求导可得：f′(x)＝e x－，则存在一个x0，使得f′(x0)＝0，且－＜x＜x0时，f′(x)＜0，x＞x0时，f′(x)＞0，则f(x)≥f(x0)＝e x0－a－eln(e x0＋a)＝－a－e·ln e＝e x0＋－2e－a＝e x0＋a＋－2e－2a．因为e x0＋a＋≥2e，所以f(x0)≥2e－2e－2a＝－2a≥0，则a≤0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]．2．已知函数f(x)＝．(1)求函数f(x)的零点及单调区间；(2)求证：曲线y＝存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y0<－1．(1)解：函数f(x)的零点为e．函数f(x)的单调递增区间为(e，＋∞)，单调递减区间为(0，e)．(解答过程略)(2)证明：要证曲线y＝存在斜率为6的切线，即证y′＝＝6有解，等价于1－ln x－6x2＝0在x>0时有解．构造辅助函数g(x)＝1－ln x－6x2(x>0)，g′(x)＝－－12x<0，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，且g(1)＝－5<0，g＝1＋ln 2－>0，所以∃x0∈，使得g(x0)＝1－ln x0－6x＝0．即证明曲线y＝存在斜率为6的切线．设切点坐标为，则y＝＝＝－6x0，x0∈．令h(x)＝－6x，x∈，由h(x)在区间上单调递减，则h(x)<h＝－1，．所以y0<－1求证：x1x2>e2(e为自然对数的底数)．[四字程序]思路参考：转化为证明ln x1＋ln x2>2，根据x1，x2是方程f′(x)＝0的根建立等量关系．令t＝，将ln x1＋ln x2变形为关于t的函数，将ln x1＋ln x2>2转化为关于t的不等式进行证明．证明：欲证x1x2>e2，需证ln x1＋ln x2>2．若f(x)有两个极值点x1，x2，则函数f′(x)有两个零点．又f′(x)＝ln x－mx(x>0)，所以x1，x2是方程f′(x)＝0的两个不等实根．于是，有解得m＝．另一方面，由得ln x2－ln x1＝m(x2－x1)，从而得＝，于是，ln x1＋ln x2＝＝．又0<x1<x2，设t＝，则t>1．因此，ln x1＋ln x2＝，t>1．要证ln x1＋ln x2>2，即证>2，t>1．即当t>1时，有ln t>．设函数h(t)＝ln t－，t＞1，则h′(t)＝－＝≥0，所以，h(t)为(1，＋∞)上的增函数．又h(1)＝0，因此，h(t)＞h(1)＝0．于是，当t>1时，有ln t>．所以ln x1＋ln x2>2成立，即x1x2>e2．思路参考：将证明x1x2>e2转化为证明x1>．依据x1，x2是方程f′(x)＝0的两个不等实根，构造函数g(x)＝，结合函数g(x)的单调性，只需证明g(x2)＝g(x1)<g．证明：由x1，x2是方程f′(x)＝0的两个不等实根，且f′(x)＝ln x－mx(x>0)，所以mx1＝ln x1，mx2＝ln x2．令g(x)＝，g(x1)＝g(x2)，由于g′(x)＝，因此，g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．又x1<x2，所以0<x1<e<x2．令h(x)＝g(x)－g(x∈(0，e))，h′(x)＝>0，故h(x)在(0，e)上单调递增，故h(x)<h(e)＝0，即g(x)<g．令x＝x1，则g(x2)＝g(x1)<g．因为x2，∈(e，＋∞)，g(x)在(e，＋∞)上单调递减，所以x2>，即x1x2>e2．思路参考：设t1＝ln x1∈(0,1)，t2＝ln x2∈(1，＋∞)，推出＝e t1－t2．将证明x1x2>e2转化为证明t1＋t2>2，引入变量k＝t1－t2<0构建函数进行证明．证明：设t1＝ln x1∈(0,1)，t2＝ln x2∈(1，＋∞)．由得⇒＝e t1－t2．设k＝t1－t2<0，则t1＝，t2＝．欲证x1x2>e2，需证ln x1＋ln x2>2．即只需证明t1＋t2＞2，即>2⇔k(1＋e k)<2(e k－1)⇔k(1＋e k)－2(e k－1)<0．设g(k)＝k(1＋e k)－2(e k－1)(k<0)，则g′(k)＝k e k－e k＋1．令m(k)＝k e k－e k＋1，则m′(k)＝k e k<0，故g′(k)在(－∞，0)上单调递减，故g′(k)>g′(0)＝0，故g(k)在(－∞，0)上单调递增，因此g(k)<g(0)＝0，命题得证．思路参考：设t1＝ln x1∈(0,1)，t2＝ln x2∈(1，＋∞)，推出＝e t1－t2．将证明x1x2>e2转化为证明t1＋t2>2，引入变量＝k∈(0,1)构建函数进行证明．证明：设t1＝ln x1∈(0,1)，t2＝ln x2∈(1，＋∞)．由得⇒＝e t1－t2．设＝k∈(0,1)，则t1＝，t2＝．欲证x1x2>e2，需证ln x1＋ln x2>2，即只需证明t1＋t2>2，即>2⇔ln k<⇔ln k－<0．设g(k)＝ln k－(k∈(0,1))，g′(k)＝>0，故g(k)在(0,1)上单调递增，因此g(k)<g(1)＝0，命题得证．1．本题考查应用导数研究极值点偏移问题，基本解题方法是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数．2．基于课程标准，解答本题一般需要具有良好的转化与化归能力、运算求解能力、逻辑思维能力．本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．3．基于高考数学评价体系，本题涉及函数与方程、不等式、导数的计算与应用等知识，渗透着函数与方程、转化与化归、分类讨论等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养中起到了积极的作用．已知函数f(x)＝x ln x－2ax2＋x，a∈R．(1)若f(x)在(0，＋∞)内单调递减，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1＋x2>．(1)解：f′(x)＝ln x＋2－4ax．因为f(x)在(0，＋∞)内单调递减，所以f′(x)＝ln x＋2－4ax≤0在(0，＋∞)内恒成立，即4a≥＋在(0，＋∞)内恒成立．令g(x)＝＋，则g′(x)＝．所以，当0<x<时，g′(x)>0，即g(x)在内单调递增；当x>时，g′(x)<0，即g(x)在内单调递减．所以g(x)的最大值为g＝e，所以实数a的取值范围是．(2)证明：若函数f(x)有两个极值点分别为x1，x2，则f′(x)＝ln x＋2－4ax＝0在(0，＋∞)内有两个不等根x1，x2．由(1)，知0<a<．由两式相减，得ln x1－ln x2＝4a(x1－x2)．不妨设0<x1<x2，则<1，所以要证明x1＋x2>，只需证明<，即证明>ln x1－ln x2，亦即证明>ln．令函数h(x)＝－ln x,0<x<1，所以h′(x)＝<0，即函数h(x)在(0,1)内单调递减．所以当x∈(0,1)时，有h(x)>h(1)＝0，所以>ln x，即不等式>ln成立．综上，x1＋x2>，命题得证．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时一、考点梳理：1.导数、导数的计算（1）．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y '=. （2）．导函数： 记为f ′(x )或y ′.（3）．导数的几何意义： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________． !（4）．基本初等函数的导数公式（5）．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)⎣⎡⎦⎤f x g x ′＝__________(g (x )≠0)． （6）．复合函数的导数： 2．导数与函数的单调性及极值、最值（1）导数和函数单调性的关系：(1)对于函数y ＝f (x )，如果在某区间上f ′(x )>0，那么f (x )为该区间上的________；如果在某区间上f ′(x )<0，那么f (x )为该区间上的________．(2)若在(a ，b )的任意子区间内f ′(x )都不恒等于0，f ′(x )≥0⇔f (x )在(a ，b )上为____函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，⇔f (x )在(a ，b )上为____函数．[（2）函数的极值与导数(1)判断f (x 0)是极值的方法： 一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时， ①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤 ： ①____________ ；②________________ ;③_________________________.（3）求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )上的________；(2)将函数y ＝f (x )的各极值与______________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． `二、基础自测：1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )．A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2Δx 2原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0f (x )＝x n (n ∈Q *) ；f ′(x )＝________ f (x )＝sin x f ′(x )＝________ f (x )＝cos x f ′(x )＝________ f (x )＝a x f ′(x )＝________f (x )＝e x >f ′(x )＝________ f (x )＝log a x f ′(x )＝________ f (x )＝ln xf ′(x )＝________2．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(1，－1) 3．(2012陕西高考)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )．A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 4．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，则a 的取值范围是( )． {A ．a ＞0B ．－1＜a ＜0C ．a ＞1D ．0＜a ＜15．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 6．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是__________．三、考点突破：考点一、根据导数的定义求函数的导数 【例1-1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2fx －3x －2＋1的值为( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例1－2】用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．~【变式】：求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数．考点二、利用求导公式、法则求导 [例2]求下列函数的导数：(1) y ＝(2x －3)2；(2)y ＝tan x ；(3)y ＝x e x ；(4)y ＝ln xx . （5）y ＝ln(2x ＋5)．；【变式】求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (2)y ＝3－x ；考点三、导数的几何意义【例3】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．…【变式】：求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．考点四、利用导数研究函数的单调性与极值、最值【例4】已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；\【变式】(2009·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．"【例5】若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．【变式】设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．(1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．@【例6】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．【变式】已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．、(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．四、课题巩固：一、选择题：1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f1－f 1－2x2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )． ?A ．2B ．－1C ．1D ．－22．(2012辽宁高考)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )． A ．(－1,1] B ．(0,1]C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞)3．如图所示的曲线是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )4.已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，则x 的取值范围是( )二、填空题： —5．函数f (x )＝x －ln x 的单调减区间为________．6． 已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________． 7．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是_____________．8．若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上有________个零点． 三、解答题9.已知函数f (x )＝x ln x .(1)求f (x )的极小值；(2)讨论关于x 的方程f (x )－m ＝0 (m ∈R )的解的个数．?10．设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．11.已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．~(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a >1，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时参考答案 二、基础自测：1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )．A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2Δx 2}2．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(1，－1) 3．(2012陕西高考)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )．A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 4．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，则a 的取值范围是( )． A ．a ＞0 B ．－1＜a ＜0C ．a ＞1 D ．0＜a ＜15．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 6．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是__________．《参考答案：1．C 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx ＝4＋2Δx . 2．C 解析：y ′＝3x 2，∴3x 2＝3.∴x ＝±1.当x ＝1时，y ＝1，当x ＝－1时，y ＝－1.3．D 解析：由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x ⎝⎛⎭⎫1－2x ＝0可得x ＝2.当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．故x ＝2为f (x )的极小值点． 4．A 解析：∵y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33，∴当－33＜x ＜33时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33＜0. ∴要使y ′＜0，必须取a ＞0.5．4x －y －3＝0 解析：设切点为(x 0，y 0)，y ′＝4x 3,4x 03＝4，∴x 0＝1.∴y 0＝1.∴l 的方程为4x －y －3＝0.6．3 解析：∵f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，∴f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2在[1，＋∞)上恒成立，而当x ∈[1，＋∞)时，(3x 2)min ＝3×12＝3.∴a ≤3，故a max ＝3. 三、考点突破： ^考点一、根据导数的定义求函数的导数 【例1-1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2fx －3x －2＋1的值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 【例1－2】用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数． 【例1－1】C 解析：令Δx ＝x －2，则lim x →2f (x )－3x －2＋1＝lim Δx →0f (Δx ＋2)－f (2)Δx ＋1＝f ′(2)＋1＝2＋1＝3. 【例1－2】解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx＝－Δx1＋Δx (1＋1＋Δx ).∴ΔyΔx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx )，∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.∴f ′(1)＝－12. 【变式】：求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数． 解 ∵Δy ＝x 0＋Δx2＋1－x 20＋1＝x 0＋Δx 2＋1－x 20－1x 0＋Δx2＋1＋x 20＋1＝2x 0Δx ＋Δx 2x 0＋Δx2＋1＋x 20＋1，￥∴ΔyΔx ＝2x 0＋Δxx 0＋Δx 2＋1＋x 20＋1.∴Δx →0时，Δy Δx →x x 2＋1.∴y ′＝xx 2＋1.考点二、利用求导公式、法则求导 [例2]求下列函数的导数：(1) y ＝(2x －3)2；(2)y ＝tan x ；(3)y ＝x e x ；(4)y ＝ln xx . （5）y ＝ln(2x ＋5)． 解：(1)y ′＝(4x 2－12x ＋9)′＝8x －12.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x . (3)y ′＝x ′e x ＋x (e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)．(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. ?（5）设u ＝2x ＋5，则y ＝ln(2x ＋5)由y ＝ln u 与u ＝2x ＋5复合而成．∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝1u ·2＝2u ＝22x ＋5.【变式】求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (2)y ＝3－x ； 考点三、导数的几何意义【例3】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为：y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 03＋43，则切线的斜率为：0|x x y '=＝x 02.∴切线方程为y－⎝⎛⎭⎫13x 03＋43＝x 02(x －x 0)，即y ＝x 02·x －23x 03＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 02－23x 03＋43，即x 03－3 x 02＋4＝0，∴x 03＋x 02－4x 02＋4＝0，∴x 02(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 0，y 0)，则x 02＝1，x 0＝±1，切点为(－1,1)或⎝⎛⎭⎫1，53，∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x－y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0.？【变式】：求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程． 解:f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k .(1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y ＝2x .(2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②由①②得x 0＝32，k ＝－14.∴所求曲线的切线方程为y ＝－14x .综上，曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程为y ＝2x 或y ＝－14x .考点四、利用导数研究函数的单调性与极值、最值【例4】已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，∴f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )＞0，即(－x 2＋2)e x ＞0，∵e x ＞0，∴－x 2＋2＞0，解得－2＜x ＜ 2.∴函数f (x )的单调递增 /区间是(－2，2)．(2)∵函数f (x )在(－1,1)上单调递增，∴f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立．∵f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，∴[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立．∵e x >0，∴－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立，即x 2－(a－2)x －a ≤0对x ∈(－1,1)恒成立．设h (x )＝x 2－(a －2)x －a ，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h －1≤0h 1≤0，解得a ≥32.【变式】(2009·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围． 解 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)，又⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝b ＝0f ′0＝－a a ＋2＝－3,解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.又f (x )在(－1,1)上不单调，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，a ≠－a ＋23或⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，a ≠－12或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1，a ≠－12.所以a 的取值范围为(－5，－12)∪(－12，1)． 【例5】若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围． 【解 (1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2－b .于是⎩⎪⎨⎪⎧ f ′2＝12a －b ＝0f 2＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4故函数为f (x )＝13x 3－4x ＋4. (2)由(1)可知f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－2， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 ](2，＋∞)f ′(x ) ＋0 － 0 ＋ f (x )~ 单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43， 所以函数的大致图象如右图，故实数k 的取值范围为(－43，283)．【变式】 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．(1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． >解 (1)f ′(x )＝a x ＋2bx ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝a ＋2b ＋1＝0f ′2＝a2＋4b ＋1＝0.解得a ＝－23，b ＝－16. (2)f ′(x )＝－23x ＋(－x3)＋1＝－x －1x －23x.函数定义域为(0，＋∞)，列表 x(0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) { f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )单调递减[极小值单调递增极大值单调递减∴x ＝1是f (x )的极小值点，x ＝2是f (x )的极大值点．【例6】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值． 解： (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0；① 、当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝－4，又切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4.∴1＋a ＋b ＋c ＝4.∴c ＝5.(2)由(1)，得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝23，∴f ′(x )<0的解集为⎝⎛⎭⎫－2，23，即为f (x )的减区间．[－3，－2)、⎝⎛⎦⎤23，1是函数的增区间．又f (－3)＝8，f (－2)＝13，f ⎝⎛⎭⎫23＝9527，f (1)＝4，∴y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.变式迁移3 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2. (2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2， 则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上是减函数； ）当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间(－2，2)上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 四、课题巩固： 一、选择题：1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f1－f 1－2x2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )． A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－22．(2012辽宁高考)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )． A ．(－1,1] B ．(0,1]C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞):3．如图所示的曲线是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )4.已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，则x 的取值范围是( )参考答案：1．B 解析：lim x →0f (1)－f (1－2x )2x ＝lim x →0f (1－2x )－f (1)－2x ＝－1，即y ′|x ＝1＝－1，则y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.2．B 解析：对函数y ＝12x 2－ln x 求导，得y ′＝x －1x ＝x 2－1x (x ＞0)，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1x ≤0，x ＞0，解得x ∈(0,1]．因此函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1]．故选B.3．C [由图象知f (x )＝x (x ＋1)(x －2)＝x 3－x 2－2x ＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，∴b ＝－1，c ＝－2，d ＝0.而x 1，x 2是函数f (x )的极值点，故x 1，x 2是f ′(x )＝0，即3x 2＋2bx ＋c ＝0的根，∴x 1＋x 2＝－2b 3，x 1x 2＝c3，、x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49b 2－2c 3＝169.][∵x ∈[0，＋∞)，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又因f (x )是偶函数，∴f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13⇔f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13⇒|2x －1|<13，∴－13<2x －1<13.即13<x <23. 二、填空题：5．函数f (x )＝x －ln x 的单调减区间为________．6． 已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是_____． 7．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是_____________．8．若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上有________个零点．|参考答案：1．(0,1) 2.－37 3. ⎣⎡⎭⎫3π4，π 4. 1个解析：f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )＝0⇒x 1＝0，x 2＝2a >4，易知f (x )在(0,2)上为减函数，且f (0)＝1>0，f (2)＝113－4a <0，由零点判定定理知，在函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上恰好有1个零点． 三、解答题9.已知函数f (x )＝x ln x .(1)求f (x )的极小值；(2)讨论关于x 的方程f (x )－m ＝0 (m ∈R )的解的个数． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ， 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )，f (x )的变化的情况如下：x ⎝⎛⎭⎫0，1e 1e 《⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值￥所以，f (x )在(0，＋∞)上的极小值是f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e .(2)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，f (x )单调递减且f (x )的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1e ，0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f (x )单调递增且f (x )的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1e ，＋∞.令y ＝f (x )，y ＝m ，两函数图象交点的横坐标是f (x )－m ＝0的解，由(1)知当m <－1e 时，原方程无解；由f (x )的单调区间上函数值的范围知，当m ＝－1e 或m ≥0时，原方程有唯一解；当－1e <m <0时，原方程有两解． 10．设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解：对f (x )求导得f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 结合①，可知 所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号．结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.11.已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a >1，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．解: (1)由函数f (x )图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－3.①由f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2，得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋n ，则g (x )＝f ′(x )＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n .而g (x )的图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0.所以m ＝－3，代入①，得n ＝0.于是f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．由f ′(x )>0，得x >2或x <0，故f (x )的单调递增区间是(－∞，0)∪(2,＋∞);由f ′(x )<0,得0<x <2,故f (x )的单调递减区间是(0,2)．(2)由(1)得f ′(x )＝3x (x －2)，令f ′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值由此可得：当1<a <3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极小值f (2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值．综上得：当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值；当a ≥3时，f (x )无极值．x ⎝⎛⎭⎫－∞，1212 …⎝⎛⎭⎫12，32 32 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 －0 ＋f (x )极大值极小值。