高三数学一轮复习导数导学案

课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时

一、考点梳理：

1.导数、导数的计算

（1）．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy

Δx

＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y '=. （2）．导函数： 记为f ′(x )或y ′.

（3）．导数的几何意义： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几

何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________． !

（4）．基本初等函数的导数公式

（5）．导数的运算法则

(1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)⎣⎡⎦

⎤f x g x ′

＝__________(g (x )≠0)． （6）．复合函数的导数： 2．导数与函数的单调性及极值、最值

（1）导数和函数单调性的关系：

(1)对于函数y ＝f (x )，如果在某区间上f ′(x )>0，那么f (x )为该区间上的________；如果在某区间上f ′(x )<0，那么f (x )为该区间上的________．

(2)若在(a ，b )的任意子区间内f ′(x )都不恒等于0，f ′(x )≥0⇔f (x )在(a ，b )上为____函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，⇔f (x )在(a ，b )上为____函数．

[

（2）函数的极值与导数

(1)判断f (x 0)是极值的方法： 一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时， ①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤 ： ①____________ ；②________________ ;③_________________________.

（3）求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤：

(1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )上的________；

(2)将函数y ＝f (x )的各极值与______________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． `

二、基础自测：

1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy

Δx 等于( )．

A ．4

B ．4x

C ．4＋2Δx

D ．4＋2Δx 2

原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0

f (x )＝x n (n ∈Q *) ；

f ′(x )＝________ f (x )＝sin x f ′(x )＝________ f (x )＝cos x f ′(x )＝________ f (x )＝a x f ′(x )＝________

f (x )＝e x >

f ′(x )＝________ f (x )＝lo

g a x f ′(x )＝________ f (x )＝ln x

f ′(x )＝________

2．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )．

A ．(－1,1)

B ．(－1，－1)

C ．(1,1)或(－1，－1)

D ．(1，－1) 3．(2012陕西高考)设函数f (x )＝2

x ＋ln x ，则( )．

A ．x ＝12为f (x )的极大值点

B ．x ＝1

2为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 4．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－

33，33，则a 的取值范围是( )． {

A ．a ＞0

B ．－1＜a ＜0

C ．a ＞1

D ．0＜a ＜1

5．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 6．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是__________．

三、考点突破：

考点一、根据导数的定义求函数的导数 【例1-1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2f

x －3

x －2

＋1的值为( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【例1－2】用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1

x

在x ＝1处的导数．

~

【变式】：求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数．

考点二、利用求导公式、法则求导 [例2]求下列函数的导数：

(1) y ＝(2x －3)2；(2)y ＝tan x ；(3)y ＝x e x ；(4)y ＝ln x

x . （5）y ＝ln(2x ＋5)．

；

【变式】求下列函数的导数：

(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (2)y ＝3－x ；

考点三、导数的几何意义

【例3】已知曲线y ＝13x 3＋4

3.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．

…