常用数据结构及其运算——图、算法

作 ui ,u j
。
2.6.1 图的定义及基本术语
当图中顶点之间关系为无序对时称为无向图。无序对
ui ,u j ui ,u j 称为边E(edge)。无向图记作 G=（V，E）
当图中顶点间的关系为有序对时称为有向图。 ui ,u j 称 为有向图中一条弧。有向图记作 G=（V，A）
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2
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第2章 常用数据结构及其运算
2.1 概述 2.3 栈与队 2.5 树与二叉树 2.7 查找
2.2 线性表 2.4 数组 2.6 图 2.8 排序
2.6 图
2.6.1 图的定义及基本术语
1. 定义：
图是由顶点集合V和顶点之间关系集合 R组成，记作G=（V，R）
其中V是图中顶点的非空有穷集合，
V u1,u2 , ,un ；R是两个顶点之间关系的集 合，它是顶点的有序或无序对，记
3
3
2
4
5
4
2.6.1 图的定义及基本术语
网：若图中每一条边附有一个对应的数，这些 数称为权，它可以表示两顶点之间的距离或花 费的代价。弧上带权的有向图称为有向网。
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27
19
5
18
7
11 2
17
6
6
5
4
3
70
1
80
5
69
64
6
6 21
18
58
7
45
4
2
32 32
3
44
2.6.1 图的定义及基本术语
对于n个顶点的网G，矩阵中每个元素定义为：
A[i，j]=
w ij，若（ui 0， 反之
,
u
）或
j
ui
,
u
j
是E中的边或弧
无向网的邻接矩阵为对称矩阵。
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5
1
21
17
3
27
2
12
6
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1 23 4 5
1 0 27 21 0 19 2 27 0 12 0 0 3 21 12 0 6 17 400600 5 19 0 17 0 0
对于n个顶点的图G=（V，E），可用n×n的矩阵来表 示，矩阵中每个元素定义为：
A[i，j]=
1，若（ui 0，反之
,
u
）或
j
ui , u j
是E中的边或弧
无向图的邻接矩阵为对称矩阵。
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3
12 34 5
1 01110 2 10100 3 11001
4
5
4 10000 5 00100
2.6.2 图的存储结构
这些表头结点通常以顺序存储结构（向量）存储，称 为邻接向量，以便随机访问任一顶点的链表。
2.6.2 图的存储结构
adjvex data nextarc
表结点
01110 ve1xd0ata1 f0ira0rc 11001
10000 0 0头结1 点0 0
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5
1
2
3
4^
2
1
3^
3
1
2
5^
4
1^
5
路径上边的数目称为路径长度。 在有向图中，则由顶点的弧组成有向路径。路径上边或弧
的数目称为路径长度。网的路径长度定义为路矩上权值的和。 除第一个和最后一个顶点外，序列中其余顶点各不相同的
路径称为简单路径。第一个顶点和最后一个顶点相同的简单路 径称为简单回路。
2.6.1 图的定义及基本术语
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3
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5
3. for j=1 to n
4.
if (A[v，j]=1) and(not VISITED[j])
2.6.3 图的遍历
1 深度优先遍历 2 广度优先遍历
2.6.3 图的遍历
1 深度优先搜索（depth-first search，简称DFS）
基本思想 首先选取一个顶点开始搜索。设v0∈V是源点，访问顶点v0并 标记为VISITED，然后访问v0邻接到的未被访问过的顶点v1 再从v1出发递归地按照深度优先的方式搜索 当遇到一个所有邻接顶点都被访问过了的顶点w时，则回到已 访问顶点序列中最后一个拥有未被访问的相邻顶点的顶点u 再从u出发递归地按照深度优先的方式周游 重复上述过程直至从v0出发的所有边都已检测过为止，此时， 图中所有由源点有路径可达的顶点都已被访问过 。
2.6.1 图的定义及基本术语
G1
2
H
1
3
3
2
4
5
G’
1
2
3
4
H’
1
3
2
4
2.6.1 图的定义及基本术语
（3）路径和回路 在无向图中，从顶p , ui1 , ui2 , , uik , uq 且 u p , ui1 , ui1, ui2 , , uik , uq 均是E中的边。
2.6.3 图的遍历
3 2
1
6 5
4 9
8
7
搜索次序： 3 2 4 9 1 6 5 8 7
2.6.3 图的遍历
以邻接矩阵作为存储结构，深度优先搜索算法如下：
DFS1 (A，n，v)//A[1:n,1:n]为邻接矩阵，v为起始顶点// 1. VISIT(v)//访问顶点v//
2. VISITED[v] = true //置顶点已被访问标志//
3^
邻接表中每个链表对应于邻接矩阵中的一行，链表中结 点个数等于一行中非零元素的个数。
2.6.2 图的存储结构
若图中有n个顶点和e条边，如果该图是无向图，则需要用到 n个顶点结点和2e个边结点；
若是有向图时，只需要n个顶点结点和e个边结点； 当边数很少，顶点多时，邻接表可以节省大量的存储空间； 当边数很大, 顶点较少时，邻接矩阵更为适合； 边表中表目顺序往往按照顶点编号从小到大排列。
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3
2
4
2.6.1 图的定义及基本术语
（4）连通图和连通分量
在无向图中，若从ui到uj存在路径，则称ui和uj是连通 的。若在顶点集合V中每一对不同顶点ui和uj都连通，则称G 为连通图。
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3 6
5 2
7 G
15 G1 7
6 4
8
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G3
11 10
12
G2
2.6.2 图的存储结构
1 邻接矩阵
2.6.2 图的存储结构
2 邻接表
图的一种链式存储结构。对图中每个顶点建立一个单 链表，第i单链有中的结点表示依附于顶点ui的边（在有向 图中是以ui为尾的弧）。每个链结点由三域组成：
邻接域指示与顶点ui邻接的点的序号； 链域指示下一条边或弧的结点； 数据域存储和边或弧相关的信息，如权值等。 每个链表上附设一个表头结点，在表头结点中设有链 域指向链表中第一个结点。
2. 有关图的基本术语 （1）子图
设有两个图G和G’： G=（V，E），G‘=（V’，E’） 如满足 V ' V , E ' E ，则称G’为G的子图。 （2）度、入度和出度 在无向图中，与某个顶点相连的边的数目称 为该顶点的度。在有向图中，以某个顶点为初始 点的弧的数目称为该顶点的出度，以某个顶点为 终端点的弧的数目称为该顶点的入度。