信号与系统第四章习题答案

第四章 连续时间信号与系统的复频域分析　

４．１ 学习重点　

1、拉普拉斯变换的定义式，收敛域，能根据拉普拉斯变换的定义式求一些常用信号的拉普拉斯变换。

2、熟练掌握拉普拉斯变换的基本性质（特别是时移性、频移性、时域微分、频域微分、初值定理、终值定理、卷积定理等性质）及其应用。

3、能应用部分分式法展开法、留数法，求解拉普拉斯反变换。

4、利用拉普拉斯进行连续时间信号的复频域分析，分析电路、s 域元件模型，能求解线性时不变系统的响应，包括全响应、零输入响应、零状态响应，以及冲激响应和阶跃响应。

5、深刻理解复频域系统函数()s H 的定义、物理意义及其与系统特性的关系，并能熟练应用于连续时间信号的复频域分析。

6、系统的复频域方框图表示与模拟。

7、了解系统函数的零、极点与系统特性的关系，会画零、极点图，会根据零、极点图求系统函数()s H 。 8、系统稳定性及其判断方法。

9、用MATLAB 进行连续时间信号与系统的复频域分析

４．２ 教材习题同步解析　

4.1 求下列信号的拉普拉斯变换及其收敛域，并画出零极点图和收敛域。 （1）()0,<−a t e at ε （2）()0,>−−a t e at ε

（3）()0,>a t e at ε （4）0,>−a e

t

a

（5）()4−t ε （6）()τδ−t （7）()()t e t e t t εε2−−+ （8）()()t t εϕω+0cos

【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换定义及收敛域求法。　【逻辑推理】 单边拉普拉斯变换定义：()()dt e

t f s F st

∫∞

−−

=

。若满足0σσ>，使得

()0lim =−∞

→t t e t f σ，则()t e t f σ−在0σσ>的全部范围内收敛。

解：

（1）()()[

]()a

s dt e dt e e t e L s F t s a st at at +=

==

=∫∫

∞

+−∞

−−−10

ε ()00

lim lim >+==+−∞

→−−∞

→a e e e t a t t at t σσσ

即收敛域为a a −=−>0,σσ。

（２）()()[

]()a

s dt e dt e

e

t e L s F t s a st

at

at

+−

==

=

−−=∫

∫

∞

−+−∞

−−−1

ε　()00

lim lim <−==−−∞

→−∞

→σσσa e e e t a t t at t

即收敛域为a a =>0,σσ。 （3）()()[

]()a

s dt e dt e e t e L s F t s a st

at at

−=

==

=∫∫

∞

−∞

−10

ε ()00

lim lim <−==−∞

→−∞

→σσσa e e e t a t t at t

即收敛域为a a =>0,σσ。 （4）()()[

]

dt e e dt e e t e

L s F st at st at t

a ∫

∫

∞

−−∞

−−−+

=

=0

ε　

()()a

s a s dt e dt e t s a t s a ++−=

+=

∫∫

∞+−∞

−−110

()a a e e e t a t t at t −><+==+−+∞

→−−+∞

→σσσσ即00lim lim ()a a e e e t a t t at t <>−==−−∞

→−−∞

→σσσσ即0

lim lim

即收敛域为a a <<−σ。 （5）()()[]()s st

st st e s

e s

dt e dt e t t L s F 44

44

1

1

44−∞−∞−−∞

=−==−=

−=∫∫

εε ()0

lim 4lim >==−−+∞

→−∞

→σεσσt t t t e e t

即收敛域为0,00=>σσ (6) ()()[]()ττ

τ

τδτδs t st

st

e e dt e

t t L s F −=−−∞

==−=

−=∫

()−∞

>=⋅=−−+∞

→−∞

→στδσσ0

0lim lim t t t t e e t

即对0σ没有要求，全平面收敛。 （7）()()()[

]dt e e dt e e t e t e L s F st t st t t t ∫∫

∞

−−∞

−−−−+=

+=0

20

2εε　

()()2

1110

20

1+++=

+=

∫∫

∞

+−∞

+−s s dt e dt e t s t s ()

()()02010

lim lim lim 212>+>+=+=++−∞

→+−∞

→−−−∞

→σσσσσ且t t t t t t t t e e e e e

即收敛域为1,10−=−>σσ。

（8）()ϕωϕωϕωsin sin cos cos cos 000t t t −=+

j e e e e tj

tj tj tj 2sin 2cos 0000ωωωωϕϕ−−−−+=

tj

tj e j e j 002sin 2cos 2sin 2cos ωωϕϕϕϕ−

++ −= ()()()()0000002

1212sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 00000

0ωωϕϕϕϕϕϕϕϕεϕϕϕϕϕϕωωωωωωj s e j s e dt e j dt e j dt e e j dt e e j t e

j e j L s F j j jt s jt s st tj st tj tj tj ++−= ++ −= ++ −=

++ −=−∞+−∞−∞−−∞−−∫∫∫∫　

()()()0lim 2sin 2

cos lim 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos lim 0000= ++ −=

++ −+−∞→−∞→−−∞→t

j t t j t t tj tj t e j e j e t e j e j σωσωσωωϕϕϕϕεϕϕϕϕ

则有0000>+<−σωσωj j 且 即收敛域为j j 000,ωσωσ=>。