高中数学：随机事件的概率 (37)

(1)计算Fra biblioteknA n
得
各
次
击
中
飞
碟
的
频
率
依
次
约
为
0.810 ，
0.792,0.800,0.810,0.793,0.794,0.807. (2)由于这些频率非常地接近 0.800，且在它附近摆动，所以运动
员击中飞碟的概率约为 0.800.
2．(变结论)本例条件不变，记 C 为事件“一续保人本年度的保 费高于基本保费的 150%”，求 P(C)的估计值．
三个数字的和大于 6”这一事件是( )
A．必然事件
B．不可能事件
C．随机事件
D．以上选项均不正确
(1)C (2)C [(1)①②③可能发生，也可能不发生，是随机事件， ④一定不发生，是不可能事件，故选 C.
(2)从 1,2,3，…，10 这 10 个数字中任取 3 个数字，这三个数字 的和可能等于 6，也可能大于 6，∴数字之和大于 6，可能发生也可 能不发生，∴“这三个数字的和大于 6”是随机事件，故选 C.]
1．(变条件)某射击运动员进行飞碟射击训练，七次训练的成绩 记录如下：
射击次数 n 100 120 150 100 150 160 150 击中飞碟数 nA 81 95 120 81 119 127 121
(1)求各次击中飞碟的频率；(保留三位小数) (2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？
[解]
联如下：
上年度出险次数 0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如
下统计表：
出险次数 0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记 A 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求 P(A)的估计值；
合作 探究 释疑 难
事件类型的判断
【例 1】 (1)下列事件：①抛一枚硬币，出现正面朝上；②某人
买彩票中奖；③大年初一太原下雪；④标准大气压下，水加热到 90 ℃
时会沸腾．其中随机事件的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)在 1,2,3，…，10 这 10 个数字中，任取 3 个数字，那么“这
C [由频率与概率的有关概念知，C 正确．]
3．“同时抛掷两枚质地均匀的硬币，记录正面向上的枚数”， 该试验的结果共有________种．
3 [正面向上的枚数可能为 0,1,2，共 3 种结果．]
4．某人射击 10 次，恰有 8 次击中靶子，则该人击中靶子的频率 是________．
0.8 [180＝0.8.]
(1)“a＋b＝5”包含以下 4 个基本事件： (1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)． (2)“a＝b”这一事件包含以下 4 个基本事件： (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
(3)直线 ax＋by＝0 的斜率 k＝－ab>－1，所以ab<1.所以 a<b. 所以包含以下 6 个基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)， (3,4)．
不重不漏地列举试验的所有可能结果的方法 1结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明 确试验中的条件. 2根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果， 可应用画树状图、列表等方法解决.
[跟进训练] 2．下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结 果． (1)抛掷两枚质地均匀的硬币； (2)从集合 A＝{a，b，c，d}中任取 3 个元素组成集合 A 的子集．
(2)记 B 为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于 基本保费的 160%”．求 P(B)的估计值．
思路点拨：(1)由已知可得续保人本年度的保费不高于基本保费 的频数(一年内出险次数小于 2 的频数)，进而可得 P(A)的估计值；(2) 由已知可得续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%的频数(一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频数)，进而可得 P(B) 的估计值．
使 x2<0”是不可能事件；③“每年的国庆节都是晴天”是必然事件；
④“从 100 个灯泡(有 10 个是次品)中取出 5 个，5 个都是次品”是随
机事件．其中正确命题的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
B [③“每年的国庆节都是晴天”是随机事件，故错误；①②④ 的判断均正确．]
试验结果的列举
【例 2】 设集合 M＝{1,2,3,4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一个基 本事件．
3．写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼， 如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“抛掷硬币五次，均正面向上”是不可能事件． ( )
(2)在平面图形中，三角形的内角和是 180°是必然事件．
(3)频率与概率可以相等．
课堂 小结 提素 养
1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件， 在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事 件)，还是一定不发生(不可能事件)．
2．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在 大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而， 可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．
4．做试验“从一个装有标号为 1,2,3,4 的小球的盒子中，不放回 地取两次小球，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x 为第一次取到 的小球上的数字，y 为第二次取到的小球上的数字”．
(1)求这个试验结果的个数； (2)写出“第一次取出的小球上的数字是 2”这一事件．
[解] (1)当 x＝1 时，y＝2,3,4；当 x＝2 时，y＝1,3,4；同理当 x ＝3,4 时，也各有 3 个不同的有序数对，所以共有 12 个不同的有序数 对．故这个试验结果的个数为 12.
[提示] 不是．随着试验次数的增多(足够多)，频率稳定于概率 的可能性在增大．在事件的概率未知的情况下，我们常用频率作为概 率的估计值．即概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值．
【例 3】 某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种
的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关
随机事件的频率与概率 [探究问题] 1．随机事件的频率与试验次数有关吗？ [提示] 频率是事件 A 发生的次数与试验总次数的比值，当然与 试验次数有关． 2．随机事件的概率与试验次数有关吗？ [提示] 概率是客观存在的一个确定的数，与试验做不做，做多 少次完全无关．
3．试验次数越多，频率就越接近概率吗？
[解] (1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验 的可能结果有 4 个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．
(2)一次试验是指“从集合 A 中一次选取 3 个元素组成集合 A 的 一个子集”，试验的结果共有 4 个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c， d}，{b，c，d}．
判断事件类型的思路 判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定 要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生必然事件 、不一定发生随机事件，还是一定不会发生不可能事件.
[跟进训练]
1．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必
有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②当“x 为某一实数时可
[解] 事件 C 发生当且仅当一年内出险次数大于或等于 4，由表 中数据知，一年内出险次数大于或等于 4 的频率为202＋0010＝0.15，
故 P(C)的估计值为 0.15.
随机事件概率的理解及求法 1理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随 机事件发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时，频率越来越趋 近于概率.当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率. 2求法：通过公式 fnA＝nnA＝ mn 计算出频率，再由频率估算概率.
(1)“a＋b＝5”这一事件包含哪几个基本事件？ (2)“a＝b”这一事件包含哪几个基本事件？ (3)“直线 ax＋by＝0 的斜率 k>－1”这一事件包含哪几个基本事 件？
[解] 这个试验的基本事件构成集合 Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)， (1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)， (4,3)，(4,4)}．
计 概率P(A) ，即 P(A)≈nnA.
思考：两位同学在相同的条件下，都抛掷一枚硬币 100 次，得到 正面向上的频率一定相同吗？
[提示] 不一定．
1．事件“经过有信号灯的路口，遇上红灯”是( )
A．必然事件
B．不可能事件
C．随机事件
D．以上均不正确
[答案] C
2．下列说法正确的是( ) A．任何事件的概率总是在(0,1]之间 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定
3．一个地区从某年起 4 年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如
下表所示：
时间范围 1 年内
2 年内
3 年内
4 年内
新生婴儿数 n 5 544
9 607
13 520
17 190
男婴数 m
2 883
4 970
6 994
8 892
这一地区男婴出生的概率约是________．(保留 4 位小数)
0．517 3 [计算mn 即得男婴出生的频率依次约为 0.520 0，0.517 3， 0.517 3,0.517 3.由于这些频率非常 0.5173，因此，这 地区男婴出生的 概率为 0.5173.]