高三一轮复习1.1集合的概念与运算教案

§集合的概念与运算

【2014高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力．

【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解．

1．集合与元素

(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

2.

(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．

(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⊂B(或B⊃A)．

(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅⊂B(B≠∅)．

(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．

(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

3．集合的运算

4.

并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.

交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.

补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.

[难点正本疑点清源]

1．正确理解集合的概念

正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．

2．注意空集的特殊性

空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．

3．正确区分∅，{0}，{∅}

∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅⊆{0}，∅⊆{∅}，∅∈{∅}，{0}∩{∅}＝∅.

题型一 集合的基本概念

例1

(1)

下列集合中表示同一集合的是 ( B ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2}

C ．M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝1}，N ＝{y|x ＋y ＝1}

D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)} 例如：

(2)设a ，b∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩

⎨⎧⎭⎬⎫

0，b a ，b ，则b －a ＝___2_.

思维启迪：解决集合问题首先要考虑集合的“三性”：确定性、互异性、无序性，理解集合中元素的特征． 解析 (1)选项A 中的集合M 表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N 表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M 与N 不是同一个集合．选项C 中的集合M 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点组成的集合，集合N 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点的纵坐标组成的集合，即N ＝{y|x ＋y ＝1}＝R ，故集合M 与N 不是同一个集合．选项D 中的集合M 有两个元素，而集合N 只含有一个元素，故集合M 与N 不是同一个集合．对选项

B ，由集合元素的无序性，可知M ，N 表示同一个集合．

(2)因为{1，a ＋b ，a}＝⎩

⎨⎧⎭⎬⎫

0，b a ，b ，a≠0，

所以a ＋b ＝0，得b

a ＝－1，

所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.

探究提高 (1)用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；(2)要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性．

若集合A ＝{x|ax 2

－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a

＝ 0或98

_.

解析 ∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素． 当a ＝0时，x ＝2

3

符合要求．

当a≠0时，Δ＝(－3)2

－4a×2＝0，∴a＝98.故a ＝0或98.

题型二 集合间的基本关系

例2

已知

集合A ＝{x|－2≤x≤7}，B ＝{x|m ＋1

则⎩⎪⎨⎪

⎧

m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1

，解得2

综上，m 的取值范围为m≤4.

变式：（1）集合A 与B 中的等号问题，（四种情况：两开两闭，一开一闭） （2）集合A 与B 的关系。例如：,,A B A B A B ⊂⋂=∅⋂≠∅等

探究提高 (1)集合中元素的互异性，可以作为解题的依据和突破口；(2)对于数集关系问题，往往利用数轴进行分析；(3)对含参数的方程或不等式求解，要对参数进行分类讨论．

已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝_4___.

解析由log2x≤2，得0

即A＝{x|0

而B＝(－∞，a)，

由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.

变式：集合A与B的关系。

题型三集合的基本运算