人教版高中数学版必修四学案 弧度制
人教版高中数学必修4-1.1《_弧度制》教学设计
《弧度制》教学设计一、教学目标：（一）核心素养通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，理解弧度制的定义，熟练角度制与弧度制的换算，掌握并运用弧度制的弧长公式和扇形的面积公式；在类比和数学运算过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应的关系.（二）教学目标1.“为什么”——为什么要引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；2.“是什么”——弧度是什么，理解弧度的定义；3.“如何化”——如何进行弧度与角度的转化，掌握弧度与角度之间的相互转化；4.“怎么用”——如何使用弧度制，学会使用弧度制下的新的弧长与扇形面积公式求解有关问题（三）学习重点1．理解弧度“是什么”；2．熟练弧度和角度之间“如何化”；3．掌握弧度制来计算弧长和扇形面积“怎么用”；（四）学习难点1．理解弧度“是什么”；2．理解角的集合与实数之间一一对应的关系二、教学过程（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第6页至第11页．（2）想一想：弧度制是如何定义的？弧度制和角度制之间是如何让转化的？如何将弧度制应用于弧长公式和扇形的面积公式中？2．预习自测=____________（1）已知圆O的半径为2，弧AB的长为2，则AOB【答案】1rad．（2）2π rad =（）A．180°B．200°C．270°D．360°【答案】D．（3）把50°化为弧度制（）A．50B．5 18πC．18 5πD．9000π【答案】B．（4）扇形的圆心角为72°，半径为5，则它的弧长为______，面积为________ 【答案】2π；5π(二)课堂设计1．知识回顾（1）角的概念的推广；（2）终边相同的角的表示2．问题探究探究一结合实例，引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；●活动结合实例，引入弧度制有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约270.4公里，但也有人回答约169英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.。
最新人教A版数学必修四导学案：1.1.2弧度制
1.
2.已知一扇形的周长为c(c＞0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值.
3．如果弓形的弧所对的圆心角为 ，弓形的弦长为4 cm，则弓形的面积是____cm2.
4．已知扇形的圆心角为2 rad，扇形的周长为8 cm，则扇形的面积为_________cm2.
3.记住公式 （ 为以角 作为圆心角时所对圆弧的长， 为圆半径）。
二：课前预习
我们把周角的 规定为1度的角，而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．
1．弧度角的定义：
规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为 ．
练习：圆的半径为 ，圆弧长为 、 、 的弧所对的圆心角分别为多少？
说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。
思考：什么 弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？
2．弧度的推广及角的弧度数的计算：
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角 的弧度数的绝对值是 ，（其中 是以角 作为圆心角时所对弧的长， 是圆的半径）。
规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为 ．
练习：圆的半径为 ，圆弧长为 、 、 的弧所对的圆心角分别为多少？
说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。
思考：什么 弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？
2．弧度的推广及角的弧度数的计算：
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角 的弧度数的绝对值是 ，（其中 是以角 作为圆心角时所对弧的长， 是圆的半径）。
说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
人教版高中数学数学必修四1.1+弧度制+教案1
第二学期高一数学教案主备人：使用人：时间：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
高中数学 112 弧度制导学案 新人教版必修4 学案
弧度制导学案1、弧度的定义：_______________________________________________,记作_________.2、特殊角的弧度数与角度制（1）_____360=︒ (2)rad rad ________1≈=︒ (3)︒≈=30.57____1度rad3、弧长公式: 扇形的面积公式:例1、把下列各角从弧度化为度，把下列各角从度化为弧度。
（1）53π（2）5.3 （3）︒252（4）'1511︒例2、已知扇形的周长为cm 8，圆心角为45，求该扇形的面积。
一、练习检测与拓展延伸 1．写出写列各角的弧度数： 角度 0153045607590120135150弧度角度 180210225240270300315330360弧度2.12π的角化成角度制是（ ） A 、︒15 B 、︒30 C 、︒60 D 、︒753、下列各角中与︒-120角终边相同的角为（ ） A 、π34 B 、π65-C 、π34-D 、π677.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时， 才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？章节与课题1课时 总课时 062课时本课时学习目标或学习任务1．理解弧度制的意义，能正确进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数．2．了解角的集合与实数集R 之间的一一对应关系．3．掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题．本课时重点难点 弧度的意义，弧度与角度的换算每日一言如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎！——欧拉。
高中数学必修4弧度值教案
高中数学必修4弧度值教案
课题：弧度值
目标：学生能够掌握弧度值的概念，能够转换角度和弧度的关系
教学重点：弧度的定义，角度和弧度的转换
教学难点：角度和弧度的转换
教学准备：教材、黑板、粉笔、教学PPT
教学步骤：
一、导入（5分钟）
老师通过引导学生回顾之前学过的角度的概念，让学生思考什么是角度，并与圆相关联。
二、讲解（15分钟）
1. 弧度的定义：引导学生思考圆周角的度量方式，并介绍弧度的定义为圆周的长度等于半径的角。
2. 角度和弧度的关系：通过示意图和实际问题，让学生理解角度与弧度的转换关系。
三、练习（25分钟）
1. 让学生完成几道简单的练习题，巩固弧度的概念及与角度的转换。
2. 让学生通过实际问题应用角度和弧度的计算方法。
四、总结（5分钟）
老师带领学生总结本节课学到的知识点，并强调弧度值在数学中的重要性。
五、作业布置（5分钟）
布置作业，巩固学生对弧度值的理解和运用。
板书设计：
1. 弧度的定义：圆周的长度等于半径的角
2. 角度和弧度的关系：1弧度=180°
3. 角度和弧度的转换公式：θ(弧度)=θ(角度) × π/180
反思：
通过本节课的教学，学生对弧度值的概念有了更深入的认识，能够灵活运用角度和弧度的转换公式进行计算。
同时，本节课难度适中，但为了更好地巩固和理解弧度值的知识，可以设计更多场景化的问题，提高学生的实际运用能力。
高中数学必修四1.1.2弧度制学案新人教A版必修4
度制．
2．弄清 1 弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键．
3．引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的
联系与区别 .
1． 1 弧度的角：把长度等于
的弧所对的圆心角叫做
读作
．
2．弧度制：用
作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．
3．角的弧度数的规定：
最大面积是多少？
解 设扇形的圆心角为 θ，半径为 r ，弧长为 l ，面积为 S，
1 ∴ S＝ 2lr
＝
1 2×
(40
－
2r
)
r
＝
20r
－
r
2＝－
(
r
－
10)
2＋ 100.
∴当半径 r ＝ 10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为 100 cm 2，
l 40－2×10 此时 θ ＝r ＝ 10 rad ＝2 rad.
l 径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l ，那么，角 α 的弧度数的绝对值是 | α | ＝ r . 这里， α
的正负由角 α 的终边的旋转方向决定．
问题 4 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整
.
角度化弧度
弧度化角度
360°＝ rad
2π rad ＝
180°＝ rad
180
12
180 π °即可化为角度．
225
225 π 5π
所以， (1)112 °30′＝ 112.5 °＝ 2 °＝ 2 × 180＝ 8 .
7π 7π 180 (2) － 12 ＝－ 12 × π °＝－ 105°．
小结 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记
新人教版高中数学1-1弧度制教案1必修四
课 题：1.1.2弧度制（一）教学目的：1.理解1弧度的角、弧度制的定义.2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.3.熟记特殊角的弧度数教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.教学难点：弧度的概念及其与角度的关系.授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：讲清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的.直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式.制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解.教学过程：一、问题情境：1．复习：角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点．⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做规定周角的3601作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为180r n l π= 二、学生活动：探究：30°、60°的圆心角，半径r 为1，2，3，4，分别计算对应的弧长l ，再计算弧长与半径的比。
结论：圆心角不变，则比值不变，因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度——弧度制。
三、理论建构：1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad探究： ⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ）⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0⑶角α的弧度数的绝对值 rl =α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同。
【学案】人教版高中数学必修四 弧度制(解析版)
1.1.2弧度制一、重点难点解读 知识点一 弧度制的概念1.角度制：将圆周的1360作为1度的角，记作1°，这种用度作单位来度量角的单位制叫角度制．2.弧度制：将长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角，记作1 rad.这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制．知识点二 角度与弧度的换算1.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝_lr__．2.设一个角的弧度数为α，角度为n°，则α＝⎝⎛⎭⎫180απ°，n°＝n180π. 3.角度与弧度的互化．4.一些特殊角与弧度数的对应关系．3．角度制与弧度制的比较 角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略角的正负与方向有关 六十进制弧度制用弧度作为单位来度量角的单位制角的大小与半径无关单位“rad” 可以省略角的正负与方向有关十进制知识点三 用弧度制表示弧长及扇形面积公式二、常考题型归类 题型一 弧度制概念及应用例1 下列四个命题中，不正确的一个是( )A ．半圆所对的圆心角是 πradB ．周角的大小是2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 【答案】 D例2 下列各种说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180°的角一定等于π rad 的角D ．利用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径长短有关 [自主解答] A ，B ，C 正确，D 中角的大小只与弧长与半径的比值有关，与圆半径无关． 答案：D例3 将下列角转化为另一种形式表示：(1)－300°； (2)85π.【解析】 (1)－300°＝－300×π180＝－53π；(2)85π＝85×180°＝288°. 例4 将下列各角化成0到2π的角加上2kπ(k ∈Z)的形式， 并指出它们所在的象限．(1)193π；(2)－315°；(3)－15π4；(4)32π3. 【解析】 (1)193π＝π3＋6π，是第一象限角．(2)－315°＝45°－360°＝π4－2π，是第一象限角．(3)－15π4＝－4π＋π4，是第一象限角．(4)32π3＝10π＋2π3，是第二象限角．例5 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图所示)．【思路分析】 首先可以利用弧度制与角度制间的关系将有关角化为弧度数，同时在表示所给角的范围时还要注意正角和负角之间的转化．【解析】 (1)如题图①中以OB 为终边的角330°，可看成为－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12.∴{θ|2kπ－π6<θ<2kπ＋5π12，k ∈Z }．(2)如题图②中以OB 为终边的角225°，可看成是－135°，化为弧度，即－34π，而135°＝135×π180＝3π4，∴{θ|2kπ－3π4<θ<2kπ＋3π4，k ∈Z }．(3)如题图③，∵30°＝π6，210°＝7π6，∴{θ|2kπ＋π6<θ<2kπ＋π2，k ∈Z }∪{θ|2kπ＋7π6<θ<2kπ＋3π2，k ∈Z }＝{θ|2kπ＋π6<θ<2kπ＋π2，k ∈Z }∪{θ|(2k ＋1)π＋π6<θ<(2k ＋1)π＋π2，k ∈Z }＝{θ|kπ＋π6<θ<kπ＋π2，k ∈Z }．变式题1 下列命题中，假命题是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 【答案】 D变式题2 下列说法正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位解析：根据1弧度的定义，我们把长度等半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．角度 0° 45° 60° 90° 135° 150° 180°弧度π6 5π12 3π22π 【答案】 角度：30° 75° 270° 360°弧度：0 π4 π3 π2 3π4 5π6π变式题4 把下列角化成2kπ＋α，k ∈Z ，0≤α<2π的形式，并判断该角是第几象限角？(1)134π；(2)－1 104°. 【解析】 (1)134π＝2π＋5π4，第三象限角．(2)－1 104°＝－1 104×π180＝－9215π＝－8π＋2815π，第四象限角．变式题5 把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z)的形式，并指出是第几角限角？(1)－1 725°；(2)64π3.解：(1)因为－1 725°＝－5×360°＋75°，所以－1 725°＝－10π＋5π12.所以－1 725°角与5π12角的终边相同．又因为5π12是第一象限角，所以－1 725°是第一象限角．(2)因为64π3＝20π＋4π3，所以64π3角与4π3角的终边相同．又因为4π3是第三象限角，所以64π3是第三象限角．变式题6 如下图所示：(1)分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】 (1)终边在OA 上的角的集合为{α|α＝3π4＋2kπ，k ∈Z }．终边在OB 上的角的集合为{β|β＝－π6＋2kπ，k ∈Z }．(2) {α|－π6＋2kπ≤α≤3π4＋2kπ，k ∈Z }．题型二 与弧长、扇形面积有关的问题例1 (1)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形的圆心角的弧度数．(2)已知一扇形的圆心角为108°，半径等于30 cm ，求扇形的面积．(3)已知一扇形的周长为16 cm ，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【解析】 (1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10， ①12lr ＝4， ② 由①得l ＝10－2r ，将它代入②，得r 2－5r ＋4＝0， 解得r 1＝1，r 2＝4.当r ＝1时，l ＝8(cm)，此时θ＝8 rad>2π rad ，舍去．当r ＝4时，l ＝2(cm)，此时θ＝24＝12rad.(2)设扇形弧长为l.∵108°＝108×π180＝35π，∴l ＝αR ＝35π×30＝18π(cm)．∴S ＝12lR ＝12×18π×30＝270π(cm 2)．(3)设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝16.∴l ＝16－2r.∴S ＝12lr ＝12×(16－2r)·r ＝8r －r 2＝－(r －4)2＋16.∴当半径r ＝4 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为16 cm 2，此时θ＝l r ＝16－2×44＝2 rad.变式题1 一条弦的长度等于半径r ，则①这条弦所对的劣弧长为________．②这条弦和劣弧所组成的弓形的面积为________．【答案】 ①π3r ②(π6－34)r 2变式题2 (变换条件、改变问题)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积．解：设扇形弧长为l ，因为圆心角72°＝72×π180＝2π5rad ，所以扇形弧长l ＝|a |·r ＝2π5×20＝8π，于是，扇形的面积S ＝12l ·r ＝12×8π×20＝80π.变式题3 (变换条件、改变问题)已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，面积为S ，则l ＋2r ＝4，所以l ＝4－2r ⎝⎛⎭⎫21＋π<r <2，所以S ＝12l ·r ＝12×(4－2r )×r ＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，所以当r ＝1时，S 最大，且S max ＝1，因此，θ＝l r ＝4－2×11＝2(rad)．三、课后强化训练A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误． 答案：D2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A.143π B ．－143π C.718 π D ．－718π 解析：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.答案：B3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( ) A.403π B.203π C.2003π D.4003π 解析：240°＝240180π＝43π，所以弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π.答案：A4．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4C.π4D.3π4解析：令－11π4＝θ＋2k π(k ∈Z)，则θ＝－11π4－2k π(k ∈Z)．取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－3π4，|θ|＝3π4；k ＝－2时，θ＝5π4，|θ|＝5π4>3π4；k ＝0时，θ＝－11π4，|θ|＝11π4>3π4.答案：A5．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π2 B.π3 C. 3 D. 2解析：设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ，所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角为α＝l r ＝a22a ＝ 2.答案：D 二、填空题6．π12rad ＝________度，________ rad ＝－300°. 解析：π12＝180°12＝15°；－300°＝－300×π180＝－5π3.答案：15 －5π37．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________．解析：因为60°＝π3 rad ，则扇形的面积S ＝12×π3×32＝32π.答案：32π8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米； (2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．解析：(1)因为|α|＝1°＝π180，l ＝1，所以r ＝l |α|＝1π180＝180π.(2)因为l ＝1，|α|＝1，所以r ＝l|α|＝1.答案：(1)180π(2)1三、解答题9．已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β [k ∈Z ，β∈[0，2π)]的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π.(2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ，又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9.10．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解：(1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π－π6＜θ＜2k π＋5π12，k ∈Z .(2)如题图②，因为30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪k π＋π6＜θ＜k π＋π2，k ∈Z . B 级 能力提升1．集合⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C. 答案：C2．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad.解析：钟表的时针是按顺时针的方向旋转的，经过12小时，时针转过－2π rad ，所以经过一小时，时针转过－π6rad.答案：－π63．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.求α(∠AOB )所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .解：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，所以α＝∠AOB ＝60°＝π3.所以弧长l ＝a ·r ＝π3×10＝10π3，所以S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，又S △AO B ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝⎛⎭⎫π3－32.。
高中数学 弧度制学案 新人教A版必修4
数学必修4学案第一章 1.1.2 弧度制
一、学习目标：
1、知识与技能：从明确引入弧度制的必要性，理解新单位制意义.
2、过程与方法：学生经历熟练掌握角度制与弧度制的换算.
3、情感态度与价值观：学生经历数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性.
二、重点与难点：
重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化。
难点：用弧度制定义的理解。
三、课前学习：
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？从中能发现什么？
四、课中学习：
对课前的学习，进一步分析：
1、复习角度制的定义：
2、正确理解弧度制定义的含义。
3、掌握角度制与弧度制的互换方法。
4、分析例题1，总结方法
5、总结弧度制的作用：
8、第9页，练习1-6,
五、课后反思
对这一节的收获是什么？有什么问题期待解决？
六、作业设计：
P10习题A组4-10。
人教新课标版数学高一必修4导学案 弧度制
1．1.2弧度制导学案周；使用时间17 年月日；使用班级；姓名（配合配套课件、限时练使用效果更佳）【学习目标】1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．【检查预习】预习相应课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？思考2长度等于半径长的弧所对的圆心角有多大？是否有其他单位制来度量该角？1．角度制和弧度制2.角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？1．角度与弧度的互化2.知识点三 扇形的弧长及面积公式思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？【合作探究】类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.类型二 利用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.类型三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题 【当堂检测】1.时针经过一小时，时针转过了( ) A.π6 rad B ．－π6 radC.π12rad D ．－π12rad2．若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或44．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为____________． 5．将－1 485°化成2k π＋α，(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为________．【小结作业】小结：作业：本节限时练。
人教版必修四学案：1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算(无答案)
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
一〖自学指引〗
1.用度作单位来度量角的制度叫做__Байду номын сангаас______,规定：周角的_________为1度的角，__________分等于1度，_________秒等于1分.
2.（1）1弧度角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做________的角，与所有圆的半径_____.用符号_________表示，读作_________.
（2）弧度制：以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做___________.圆心角不变，则弧长与半径的比值不变，这表示____________________,只与角 的大小有关，当 为定值时，这个______也是定值。
3.1800=______rad ,10=____
4.完成下列表格
度
弧度
5.扇形弧长公式： =_________；面积公式： =_________ = _________.
（其中 为半径， 为圆心角的弧度数， 为弧长， 为面积）
二〖典型例题〗
。
班级：姓名：学号：
三〖随堂训练〗
2．
3.用弧度制表示：
（1）终边在 轴上的角的集合（2）终边在 轴上的角的集合
5.已知度数为2的圆心角所对弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）
并说明当圆心角为多少时，面积最大
人教版高中数学必修四教案1.1 任意角和弧度制 弧度制(2)
一、教学目标重点：角度制与弧度制的互化；弧度制的运用. 难点：:弧度的概念及其与角度的关系.知识点：角度制与弧度制的互化公式；弧长公式；扇形面积公式. 能力点：建立角的集合与实数集R 之间的一一对应关系.教育点：使学生通过弧度制的学习，理解并认识角度制与弧度制是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.自主探究点：利用对应成比例关系得出结论.训练（应用）点：角度制与弧度制的互化换算，弧度制的运用. 考试点：掌握角度制与弧度制的换算，并熟练的进行换算操作. 易错点：角度与弧度的单位写法易错. 易混点：角度和弧度的转换易混 二、引入新课：【师生活动】：教师：我们学习了角的概念的推广知道角可以分为哪几类？学生回答 “正角”与“负角”“0角”教师：要描述一个角的大小，通常用什么表示呢？ 学生回答：是用度来表示的。
教师引出角度制的概念，那么1︒的角是如何定义的？学生：1︒的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1︒.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关.有了它，可以计算弧长，公式为180n rl π=. 【设计意图】：温故而知新，引导学生切身感受角的弧度制引入的必要性. 三、探究新知: （一）弧度制的概念【师生活动】：教师：角除了以度为单位，还有分和秒，他们是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也能用不同的单位制？学生分组讨论.教师引导：我们能用等于半径的弧所对的圆心角作为角的度量单位吗?这个弧度数是否与圆半径的大小有关?教师引导学生画出图形.在圆内作出AOB COD α∠=∠=当半径为1r 时,弧长1180n r AB π=(n α=︒) ,弧长与半径的比值为111180180n r AB n r r ππ==. 当半径为2r 时,弧长2180n r CD π=, 弧长与半径的比值为222180180n r CD n r r ππ==. 两比值相等.讨论结果:能.当圆心角一定时,它所对弧长与半径的比值是一定的,与半径大小无关.【设计意图】：学生亲手作图，感受角的弧度制与角度制是角的度量单位，都可以刻画角的大小，与角所在的圆半径无关。
高中数学必修4教案弧度制(一)
弧度制（一）教学目标知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集 R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数． 过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算， 能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式， 并能 运用公式解决一些实际问题 情感与态度目标通过新的度量角的单位制 (弧度制 )的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、 扇形面积公式的对比， 让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．教学重点 弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点“角度制”与“弧度制”的区别与联系． 教学过程一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的 ?1规定把周角的 360作为 1 度的角 ,用度做单位来度量角的制度叫做角度制． 二、新课： 1．引 入：由角度制的定义我们知道 ,角度是用来度量角的 , 角度制的度量是 60 进制的 ,运用起来不太方便 .在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？ 2．定 义我们规定 ,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下 , 1 弧度记做 1rad ．在实际运算中，常常将 rad 单位省略． 3．思考：（ 1）一定大小的圆心角 所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（ 2）引导学生完成 P6 的探究并归纳： 弧度制的性质：r2 r;2 .①半圆所对的圆心角为 r ②整圆所对的圆心角为r③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．l .⑤零角的弧度数是零．⑥角α的弧度数的绝对值|α |= r4．角度与弧度之间的转换：①将角度化为弧度：n n ra d180； ； ； 180 ． ②将弧度化为角度：1ra d = 180 ) 盎 57.30 ? ? ￠ 2p = 360?； ( 57 18p = 180?； p；．5．常规写法：① 用弧度数表示角时 ,常常把弧度数写成多少π 的形式 , 不必写成小数．② 弧度与角度不能混用． 6．特殊角的弧度角 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 度° ° ° ° ° °°°°°°弧 0 2 2 度6 37．弧长公式a = l? l r ?a r弧长等于弧所对应的圆心角 (的弧度数 )的绝对值与半径的积． 例 1．把 67° 30＇化成弧度．3 rad例 2．把 5化成度． 例 3．计算：(1) sin4 ； ( 2) tan1.5 ． 例 4．将下列各角化成0 到 2π的角加上 2k π （ k ∈ Z ）的形式：(1) 19 ； (2) 3153 ． 例 5．将下列各角化成 2k π + α (k ∈ Z,0≤ α ＜ 2π)的形式 ,并确定其所在的象限． (1) 19 (2) 313 ； 6 ． R l19 27 ,O 解: 36(1)719p而6 是第三象限的角,3 是第三象限角 .31p 5p 31p- = - 6p + , -(2) 6 6 6 是第二象限角.1例 6. 利用弧度制证明扇形面 积公式 S lR, 其中 l 是扇形弧长 , R 是圆的半径 .2证法一 :∵圆的面积为 R 2 ,∴圆心角为 1rad 的扇形面积为 1 R 2 2,又扇形弧长为 l,半径为R,∴扇形的圆心角大小为l Rrad, ∴扇形面积12345x f (x) 5 a ,a ,a v =a 0v=v x 0+a5-n ．证法二 :设圆心角的度数为 n ，则在角度制下的扇形面积公式为 ，又此时弧长程 辗转相除法与更相减损术 序 框 图 秦九韶算法 算法算 排序法，∴ 语．句进位制可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化， 而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．终端框（起止框） 输入 . 输出框 处理框 判断框7．课堂小结①什么叫 1 弧度角 ? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别． 8．课后作业：①阅读教材 P6 –P8；②教材 P9 练习第 1、 2、 3、6 题；③教材 P10 面 7、 8 题及 B2、 3 题．。
人教版高中数学必修4学案 弧度制
1.1.2 弧度制[学习目标] 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．[知识链接]1．初中几何研究过角的度量，当时是用度来做单位度量角的．那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？答 规定周角的1360做为1°的角；它的大小与它所在圆的大小无关．2．用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在初中有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？ 答 l ＝n πR 180，S ＝n πR 2360.[预习导引] 1．弧度制 (1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制． (2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是0. (3)角的弧度数的计算如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr .2．角度制与弧度制的换算 (1)设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则要点一 角度制与弧度制的换算 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.解 (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15180π＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.规律方法 (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．跟踪演练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 要点二 用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．规律方法 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪演练2 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角． 解 (1)∵180°＝π rad ，∴α1＝－570°＝－570π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k ·360°<0°， 得k ＝－2，或k ＝－1.故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°. β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°<0°，得k ＝－1，或k ＝0.故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°. 要点三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l .(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2.规律方法 (1)联系半径、弧长和圆心角的公式有两个：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数． 跟踪演练3 若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2 D ．80 cm 2答案 B解析 ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2).1．时针经过一小时，时针转过了( )A.π6 rad B ．－π6 rad C.π12 rad D ．－π12 rad 答案 B解析 时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝－π6rad ，故选B.2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4答案 C解析 设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，α＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1.3．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角为 ． 答案 12＋π360，12－π360解析 设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，则⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝1，α－β＝π180，解得α＝12＋π360，β＝12－π360. 4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是 ．答案 －34π解析 －114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π ＝2×(－1)π＋⎝⎛⎭⎫－34π.∴θ＝－34π.1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式． 度数与弧度数的换算借助“计算器《中学数学用表》”进行，一些特殊角的度数与弧度数的对应值必须记牢．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.一、基础达标1．－300°化为弧度是( )A ．－43πB ．－53πC ．－54πD ．－76π答案 B2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π2，k ∈Z }的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对答案 A3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2sin 1答案 C解析 r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.4．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C5．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是 ． 答案 (－32π，－π)∪(12π，2]解析 ∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，当k ＝－1时，－32π＜α＜－π，当k ＝0时，π2＜α≤2，当k 为其他整数时，满足条件的角α不存在．6．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的 ． 答案 34解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .7．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解 (1)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ|2k π－3π4<θ<2k π＋π3，k ∈Z }．(2)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ|k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z }．二、能力提升8．若扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9 答案 B解析 设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ， 则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切圆＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切圆∶S 扇形＝2∶3.9．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝π2＋k π，k ∈Z }C ．终边在坐标轴上的角的集合是{α|α＝k ·π2，k ∈Z }D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α＝π4＋2k π，k ∈Z }答案 D解析 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是{α|α＝π4＋k π，k ∈Z }．10．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }， 集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝ .答案 [－4，－π]∪[0，π] 解析 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．11．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ， 从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254. ∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152cm 时，面积最大，最大为2254 cm 2.12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处，求θ. 解 因为0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，则必有k ＝0，于是π2<θ<3π4，又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π7，从而π2<n π7<3π4，即72<n <214，所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7.三、探究与创新13．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3 (cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×2×10×sin π6×10×cos π6 ＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)．(2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2RR ，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R＝－R 2＋12cR ＝－⎝⎛⎭⎫R －c 42＋c 216. 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。
高中数学必修4教案 弧度制
问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢?
问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢?
三质疑探究
问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么5. m.
六 作业布置①课本习题1.1 A组6、8、10.
②课后探究训练:课本习题1.1 B组题.
板
书
设
计
一弧度制定义
二例题1
教学反思
问题②:填写下列的表格,找出某种规律.
的长
OB旋转的方向
∠AOB的弧度数
∠AOB的度数
r
逆时针方向
2πr
逆时针方向
R
1
2r
-2
-π
0
180°
360°
活动:教师先给学生说明教科书上为什么设置这个“探究”?其意图是先根据所给图象对一些特殊角填表,然后概括出一般情况.教师让学生互动起来,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生板书,教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行简单的提示.检查完毕后,教师做个总结.
课题
1.1.2弧度制
授课时间
4.10
课型
新授
二次修改意见
课时
1
授课人
张景民
科目
数学
主备
张景民
教学目标
知识与技能
1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.
过程与方法
2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,
情感态度价值观
四精讲点拨
【人教A版】高中数学必修四任意角和弧度制学案
第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制学习目标了解弧度制,并能进行弧度与角度的换算.学习过程一、自主学习问题1:你能写出终边分别在x轴、y轴上的角的集合吗?问题2:在同一坐标系中分别作出30°,-45°,390°的角,并指出它们是第几象限角?问题3:写出与60°角终边相同的角,并指出落在0°~720°间的角.问题4:1°的角是怎样定义的?半径为r,圆心角为n°的扇形的弧长是多少?二、自主研讨问题5:已知30°,60°的圆心角,半径r为1,2,3,4,分别计算对应的弧长l,再计算弧长与半径的比,并总结规律.问题6：填写书上第6页表格探究角 的弧度数的绝对值与弧长及半径的关系。
探究一:弧度制定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角,记作1rad,这种度量角的单位制称为.新知:①正角的弧度数是数,负角的弧度数是数,零角的弧度数是.②角α的弧度数的绝对值|α|=(l为弧长,r为半径).探究二:弧度制与角度值的转化问题7:若弧长是一个圆周，则其圆心角的弧度数是多少?问题8：若弧长是个半圆，则其圆心角的弧度数是多少?问题9：你能得到同一个角的角度和弧度的关系吗?你能得到扇形的面积公式吗?试一试:三、典例精析,应用新知 1.按要求解答下列各题:(1) 把67°30'化成弧度；(2) 把35π rad 化成角度。
2.利用弧度制证明扇形面积公式： (1) 12S lR =； (2)212S R α=3.(1)已知扇形半径为10cm ，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积； (2)已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2rad,求扇形的面积。
四、课堂练习1. 把22°30'化成弧度表示是( ) A.4π B. 8π C. 16π D. 32π2. 半径为2的圆的圆心角所对弧长为6，则其圆心角为 rad .3.54π化为度表示是 . 4.将下列各式进行度与弧度的转化 (1)12π = °；(2) 78π-= ° ';(3)-105°= rad。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.1.2 《弧度制》导学案
【学习目标】
1.理解弧度制的意义；
2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；
3.记住公式||l r
α=（为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
【重点难点】
弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。
【学法指导】
1.了解弧度制的表示方法；
2.知道弧长公式和扇形面积公式.
【知识链接】
初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？
自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：
1、 角的弧度制是如何引入的？
2、 为什么要引入弧度制？好处是什么？
3、 弧度是如何定义的？
4、 角度制与弧度制的区别与联系?
三、提出疑惑
1、平角、周角的弧度数？
2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？
3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？
【学习过程】
（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？
（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。
<我们规定> 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。
练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2
r 的弧所对的圆心角分别为多少？ <思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？
由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为,那么，角α的弧度数的绝对值是：
，α的正负由 决定。
正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。
<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是
4||4l r r r
παπ-=-
=-=-． （三）角度与弧度的换算
3602π=rad 180π=rad
1801π
=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180
(π5718'≈
归纳：把角从弧度化为度的方法是：
把角从度化为弧度的方法是：
<试一试>：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整
例1、把下列各角从度化为弧度：
(1)0252 （2）0/1115 (3) 030 (4)'3067︒
变式练习：把下列各角从度化为弧度：
(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º
例2、把下列各角从弧度化为度：
（1）3
5π (2) 3.5 (3) 2 (4)4
π
变式练习：把下列各角从弧度化为度：
（1）12π （2）—3
4π （3）103π
（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.
（五）
弧度下的弧长公式和扇形面积公式 弧长公式：||l r α=⋅ 因为||l r α=（其中表示α所对的弧长），所以，弧长公式为||l r α=⋅． 扇形面积公式：． 说明：以上公式中的α必须为弧度单位．
例3、知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。
变式练习 1、半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，求该弧所对的圆心角的弧度数。
2、半径变为原来的
12
，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。
(2) ;R 2
1(1)S 2α=2(1) 1(2) 21(3) 2l R S R S lR αα===
O A
B 3、若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积是 ．
4、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦AB
AB 所对的圆心角α 的弧度数为 ．
【学习反思】
1、弧度制的定义；
2、弧度制与角度制的转换与区别；
3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；
【拓展提升】
1．在ABC ∆中，若::3:5:7A B C ∠∠∠=，求A ，B ，C 弧度数。
2．直径为20cm 的滑轮，每秒钟旋转45，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？
3．选做题
如图，扇形OAB 的面积是24cm ，它的周长是8cm ，求扇形的中心角及弦AB 的长。