文科古典概型和几何概型练习题
2020届高三文科数学小题狂练13：古典概型与几何概型(附解析)
2020届高三文科数学小题狂练13：古典概型与几何概型（附解析）一、选择题1．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．25B．15C．310D．1102．袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（）A．79B．49C．23D．593．在一个不透明的箱子中装有4件同型号的产品，其中合格品3件、不合格品1件，现在从这4件产品中随机抽取2件检测，则抽到的都是合格品的概率是（）A．14B．13C．12D．344．在一项自“一带一路”沿线20国青年参与的评选中“高铁”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”被称作中国“新四大发明”，曾以古代“四大发明”推动世界进步的中国，正再次以科技创新向世界展示自己的发展理念．某班假期分为四个社会实践活动小组，分别对“新四大发明”对人们生活的影响进行调查．于开学进行交流报告会．四个小组随机排序，则“支付宝”小组和“网购”小组不相邻的概率为（）A．14B．16C．13D．125．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．110B．15C．310D．1206．先后抛掷3枚均匀的硬币，至少出现一次反面的概率是（）A ．18 B ．38 C ．58D ．78 7．如图，一个边长为4的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入了1000粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有350粒，则这个月牙图案的面积约为（ ）A ．5.6B ．3.56C ．1.4D ．0.358．刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，即从半径为1尺的圆内接正六边形开始计算面积，如图是一个圆内接正六边形，若向圆内随机投掷一点，则该点落在正六边形内的概率为（ ）A ．3πB ．πC ．2πD ．2π9．如图，在直角梯形ABCD 中，2AD CD ==，B 是OC 的中点，若在直角梯形ABCD 中投掷一点(,)P x y ，则以x ，y ，2为三边构成的三角形为钝角三角形的概率为（ ）A ．π14-B ．π24-C ．π13-D ．π23- 10．如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2．在圆O 内，将线段MN 绕N 点按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将线段MN 绕M 点按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动，点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分．若在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（ ）A ．4π-．12π- C ．π2- D ．2π11．梅赛德斯-奔驰（Mercedes Benz -）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化．已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点O 为圆心，15OAB ∠=︒，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A B C D 12．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A B C D二、填空题13．已知两个袋子中装有大小和形状相同的小球，其中甲袋中有3个小球编号为1,2,3，乙袋中有4个小球编号为1,2,3,4，若从两个袋中各取出1球，则取出的两个小球编号相同的概率为______．14．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取3支不同颜色的彩笔，则取出的3支彩笔中含有红色彩笔的概率为________．15．向边长为2的正方形内随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A 的距离不大于1的区域内（图中阴影区域），由此可估计π的近似值为______．（保留四位有效数字）16．在[0,20]中任取一实数作为x ，则使得不等式12log (1)4x ->-成立的概率为______． 解析1．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）A ．25B ．15C ．310D ．110【答案】A【解析】将第一次抽取的卡片上的数记为a ，第二次抽取的卡片上的数记为b ， 先后两次抽取的卡片上的数记为(),a b ，则共有()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()2,5，()3,1，()3,2，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种抽取方法，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的抽取方法有10种， 所以所求概率102255P ==，故选A ． 2．袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（ ）A ．79B ．49C ．23D ．59【答案】D【解析】从袋中9个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为5， 因此，取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为59，故选D ． 3．在一个不透明的箱子中装有4件同型号的产品，其中合格品3件、不合格品1件，现在从这4件产品中随机抽取2件检测，则抽到的都是合格品的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．34【答案】C【解析】记合格品为a ，b ，c ；不合格为d ，这4件产品中随机抽取2件的基本事件为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d ，抽到的都是合格品的基本事件为(),a b ，(),a c ，(),b c ， 即抽到的都是合格品的概率3162P ==，故选C ． 4．在一项自“一带一路”沿线20国青年参与的评选中“高铁”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”被称作中国“新四大发明”，曾以古代“四大发明”推动世界进步的中国，正再次以科技创新向世界展示自己的发展理念．某班假期分为四个社会实践活动小组，分别对“新四大发明”对人们生活的影响进行调查．于开学进行交流报告会．四个小组随机排序，则“支付宝”小组和“网购”小组不相邻的概率为（ ）A ．14B ．16C ．13D ．12【答案】D【解析】将“支付宝”小组，“网购”小组，“高铁”小组，“共享单车”小组分别记为1A ，2A ，1B ，2B ．则四个小组随机排序的所有情况有()1212,,,A A B B ，()1221,,,A A B B ，()2112,,,A A B B ，()2121,,,A A B B ，()1122,,,A B A B ，()1221,,,A B A B ，()2112,,,A B A B ，()2211,,,A B A B ，()1122,,,B A A B ，()1212,,,B A A B ，()2121,,,B A A B ，()2211,,,B A A B ，()1122,,,A B B A ，()1122,,,A B B A ，()2121,,,A B B A ，()2211,,,A B B A ，()1212,,,B B A A ，()1221,,,B B A A ，()2112,,,B B A A ，()2112,,,B B A A ，()1122,,,B A B A ，()1221,,,B A B A ，()2112,,,B A B A ，()2211,,,B A B A ，共24种，其中“支付宝”小组与“网购”小组不相邻的有12种，由古典概型的概率公式得所求概率为12． 故选D ．5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）A ．110B ．15C ．310D ．120 【答案】A【解析】从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件为：()1,2,3，()1,2,4，()1,2,5，()1,3,4，()1,3,5，()1,4,5，()2,3,4，()2,3,5，()2,4,5，()3,4,5共10个，其中满足勾股数的只有()3,4,5，共1个，∴所求概率110p =，本题正确选项A ．6．先后抛掷3枚均匀的硬币，至少出现一次反面的概率是（ ）A ．18 B ．38 C ．58D ．78 【答案】D【解析】基本事件的总数为2228⨯⨯=，全是正面的的事件数为1，故全是正面的概率为18， 所以至少出现一次反面的概率为17188-=，故选D ． 7．如图，一个边长为4的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入了1000粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有350粒，则这个月牙图案的面积约为（ ）A ．5.6B ．3.56C ．1.4D ．0.35【答案】A【解析】月牙形图案的面积约为：35044 5.61000⨯⨯=，本题正确选项A ． 8．刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，即从半径为1尺的圆内接正六边形开始计算面积，如图是一个圆内接正六边形，若向圆内随机投掷一点，则该点落在正六边形内的概率为（ ）A ．3π BD【答案】D【解析】由图可知64S P S ===π正六边形圆，故选D ． 9．如图，在直角梯形ABCD 中，2AD CD ==，B 是OC 的中点，若在直角梯形ABCD 中投掷一点(,)P x y ，则以x ，y ，2为三边构成的三角形为钝角三角形的概率为（ ）A ．π14-B ．π24-C ．π13-D ．π23- 【答案】C【解析】由题，2x ≤，2y ≤，故设2为最长边长，∵以x ，y ，2为三边构成的三角形为钝角三角形，∴224x y +<，即以原点为圆心，半径为2的圆， ∴()1π21ππ12131222AOBABCD S P S -⨯⨯--===⨯+⨯V ，故选C ． 10．如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2．在圆O 内，将线段MN 绕N 点按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将线段MN 绕M 点按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动，点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分．若在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（ ）A．4π-．12π- C．π2- D．2π【答案】B【解析】由题意得：阴影部分的面积21π26224π22S =⨯-⨯⨯⨯⨯=-，∴24π1π22πP -==-⋅，本题正确选项B ． 11．梅赛德斯-奔驰（Mercedes Benz -）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化．已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点O 为圆心，15OAB ∠=︒，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A B C D 【答案】D【解析】由已知可得60AOB ∠=︒，则105ABO ∠=︒．又()1sin15sin 4530()2224︒=︒-︒=-=，()1sin105sin 4560(22︒=︒+︒=⨯=不妨设4OA =，则由正弦定理可得4sin158sin105OA OB ⨯⋅︒===-︒，则(148sin 60122AOB S =⨯⨯-⨯︒=△，所以阴影部分的面积为'336AOB S S ==△，圆O 的面积为16πS =，则在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为'36916π4πS P S -===． 故选D ．12．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）AB C D【答案】A【解析】如下图所示，设2BC =，则以点B 为圆心的扇形面积为21π2π2=233⨯⨯，等边ABC △的面积为21π2sin 23⨯⨯=2π3所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，即2π2π2(2π33+⨯=-， ∴在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率1=，故选A ．13．已知两个袋子中装有大小和形状相同的小球，其中甲袋中有3个小球编号为1,2,3，乙袋中有4个小球编号为1,2,3,4，若从两个袋中各取出1球，则取出的两个小球编号相同的概率为______．【答案】1 4【解析】设A为“取出的两个小球编号相同”，从两个袋中各取出1球，共有12种取法，取出的两个小球编号相同，共有3种取法，故()31 124P A==．14．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取3支不同颜色的彩笔，则取出的3支彩笔中含有红色彩笔的概率为________．【答案】3 5【解析】从这5支彩笔中任取3支不同颜色的彩笔，共有10种不同的取法，从这5支彩笔中任取3支不同颜色的彩笔，则取出的3支彩笔中含有红色彩笔，共有6种不同的取法，则取出的3支彩笔中含有红色彩笔的概率为63105=，故答案为35．15．向边长为2的正方形内随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A的距离不大于1的区域内（图中阴影区域），由此可估计π的近似值为______．（保留四位有效数字）【答案】3.149【解析】依题意得，正方形的面积4S =正方形，阴影部分的面积4π， 故落在到正方形的顶点A 的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的概率44π1π6P ==， 随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A 的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的频率为196810000， 即有19681610π000p ==，解得π 3.1488=，故答案为3.149． 16．在[0,20]中任取一实数作为x ，则使得不等式12log (1)4x ->-成立的概率为______． 【答案】45P =【解析】依题意，111222log (1)4log (1)log 160116117x x x x ->-⇔->⇔<-<⇔<<， 故所求概率17142005P -==-，故答案为45P =．。
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型基础训练：1．甲乙两人从{0，1，2，3，4，5}中各取一个数a,b,则“恰有a+b 3”的概率等于______________2.箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，先摸出1只球，记下颜色后放回箱子，然后再摸出1只球，则摸到两只不同颜色的球的概率为_____3.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为4.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是5.已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，那么甲排在乙前面值班的概率为_________6.一只口袋装有形状大小都相同的6只球，其中有2只白球，2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则2只球都是红色的概率为_______，2只球同色的概率为________，恰有一只球是白球的概率为_________典型例题：袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，（I）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。
设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．9．当A ，B ∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax －By ＝0中，任取一条，其倾斜角小于45︒的概率是 ．检测与反馈：1.已知集合{}21503x A x |x ,B x |x -⎧⎫=-<<=>⎨⎬-⎩⎭，在集合A 任取一个元素x ，则事件“x A B ∈⋂”的概率是 ________ ．2.一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未被击毁的概率为_______3．已知米粒等可能地落入如图所示的四边形内，如果通过大量的实验发现米粒落入△BCD 内的频率稳定在附近，那么点和点到直线的距离之比约为 ．4．如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的 空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a 的圆弧，某人向此 板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是__ ___．5.分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为 ABCD 49A C BD D6.（2010江苏）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ _ _。
古典概型与几何概型专题训练(答案版)
古典轮廓与几何轮廓专题训练1.在集合{}04M x x =<≤中随机选取一个元素，2log y x =函数大于1的概率为( ) A. 1 湾。
14 C 。
12 D. 34答案与分析： 1. C2. 考虑一元二次方程20x mx n ++=，其,m n 值等于掷骰子两次后连续出现的点数，则方程有实根的概率为 ( ) 一个。
3619 湾。
187 C 。
94 D.3617 答案与分析： 2. A3.如图，大正方形的面积为34，四个全等直角三角形组成一个小正方形， 直角三角形短边的长度3是一朵小花落在一个小方块上的概率是A .117 B .217 C .317 D .417答案与分析： 3 B .因为大正方形的面积343落在5小3正方形4上2的概率是423417P ==。
所以选择B 。
【解题与探索】本题考查几何概率的计算。
求解几何概率问题的关键是求两个区间的长度（面积或体积），然后用几何概率的概率计算公式()=A P A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）求解。
所以在这道题中求小花落在小方块上的概率，关键是求小方块的面积和大方块的面积。
4 、如图所示，在3个地方有一只迷失方向的小青蛙。
每次跳跃都可以进入任意相邻格子（如果跳跃5个地方只能进入3个地方，3个可以等待一次跳跃后进入1、2、4、5的机会），然后在第三跳，第一次进5的概率是( ) A.316B. 14C 。
16D.12答案与分析： 4. A一个盒子6里有好的晶体管和4坏的晶体管。
取两次，每次取一个，每次取后不要放回去。
知道第一个是好晶体管，第二个也是好晶体管的概率是 ( ) 一个。
13 湾。
512 C 。
59 D.925答案与分析： （1） C一个盒子6里有好的晶体管和4坏的晶体管。
服用任意两次，每次服用一次，每次服用拿走不放回去后，第一次和第二次都是好晶体管的概率是 ( ) 一个。
13 湾。
数学(文科,人教版)二轮专题复习提分训练：古典概型与几何概型
古典概型与几何概型高考试题考点一求古典概型的概率1。
(2013年新课标全国卷Ⅰ,文3）从1，2，3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )（A)12(B)13（C）14（D）16解析：从1,2，3,4中任取2个不同的数有六种情况：（1，2）,（1,3),（1，4）,(2,3），(2，4），(3,4）,满足条件的有(1,3)，(2,4)，故所求概率是26=13.故选B。
答案：B2.（2013年安徽卷，文5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( ）（A)23（B)25（C）35（D)910解析：从五位大学生中录用三位的所有结果为（甲，乙,丙）,(甲,乙,丁），（甲,乙，戊），（甲，丙,丁),(甲，丙，戊），(甲，丁，戊）,(乙，丙,丁)，(乙,丙,戊)，（乙,丁,戊）,（丙,丁,戊)共10种情况,其中甲或乙被录用的情况为9种，所求概率为910。
故选D.答案:D3.(2012年安徽卷，文10)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ）（A)15（B）25（C)35(D)45解析:若记红球为A,白球为B1,B2,黑球为C1，C2，C3,则任取2个球的基本事件如下:AB1,AB2,AC1，AC2,AC3，B1B2，B1C1,B1C2,B1C3,B2C1，B2C2,B2C3,C1C2,C1C3,C2C3.共15个。
其中颜色为一白一黑的事件有6个,所以概率为P=615=25。
答案：B4。
(2011年全国新课标卷,文6）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )（A）13 (B）12（C)23(D）34解析：甲、乙各自参加其中一个小组所有选法为9种，甲、乙参加同一个小组的选法有3种，所以其概率为39=13。
文科概率大题(几何概率、古典概型)
几何概型1.已知地铁列车每 是 ( ) A.110 B.19 C.111 D.182．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2 之间的概率为 ( ) A.116 B.18 C.14 D.123．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分钟的广告．4.(2009·辽宁高考ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 ( ) A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π85．设－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b 2＝0有实根的概率是 ( ) A.12 B.14 C.18 D.1166．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ( ) A.13 B.23 C.19 D.297．在区域⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，y ≥0内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( )A.π2B.π8C.π6D.π4 8．(2010·济南模拟)在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________． 9．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b 2，a ，b ∈R.(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率；(2)若a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，求方程f (x )＝0没有实根的概率．10. 1 cm 的硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 ( )11．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是__________．A.14B.13C.12D.2312．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率．答案1解析：设乘客到达站台立即乘上车为事件A ，试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110.答案：A2解析：正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间，所以正方形的边长介于6 cm 到9 cm 之间．线段AB 的长度为12 cm ，则所求概率为9－612＝14.答案：C3解析：60×(1－910)＝6分钟．答案：64解析：对应长方形的面积为2×1＝2，而取到的点到O 的距离小于等于1时，其是以O 为圆心，半径为1所作的半圆，对应的面积为12×π×12＝12π，那么满足条件的概率为：1－12π2＝1－π4.答案：B5解析：由题知该方程有实根满足条件⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，a 2－4b 2≥0，作平面区域如右图：由图知阴 影面积为1，总的事件对应面积为正方 形的面积，故概率为14.答案：B6解析：作出两集合表示的平面区域如图所示．容易得出 Ω所表示的平面区域为三角形AOB 及其边界，A 表示的 区域为三角形OCD 及其边界．容易求得D (4,2)恰为直线x ＝4，x －2y ＝0，x ＋y ＝6三线的交点． 则可得S △AOB ＝12×6×6＝18，S △OCD ＝12×4×2＝4.所以点P 落在区域A 的概率为418＝29.答案：D7解析：区域为△ABC 内部(含边界)，则概率为 P ＝S 半圆S △ABC ＝π212×22×2＝π4.答案：D8解析：以A 、B 、C 为圆心，以1为半径作圆，与△ABC 相交出 三个扇形(如图所示)，当P 落在阴影部分时符合要求． ∴P ＝3×(12×π3×12)34×22＝3π6.答案：36π9解：(1)∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b 取集合{0,1,2}中任一个元素，∴a ，b 的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值， 即基本事件总数为12.设“方程f (x )＝0有两个不相等的实根”为事件A ，当a ≥0，b ≥0时，方程f (x )＝0有两个不相等实根的充要条件为a ＞b . 当a ＞b 时，a ，b 取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)， 即A 包含的基本事件数为6，∴方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率 P (A )＝612＝12.(2)∵a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3}， 这是一个矩形区域，其面积S Ω＝2×3＝6.设“方程f (x )＝0没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为 M ＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3，a ＜b }， 即图中阴影部分的梯形，其面积 S M ＝6－12×2×2＝4.由几何概型的概率计算公式可得方程f (x )＝0没有实根的概率P (B )＝S M S Ω＝46＝23.11．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是__________．10解析：平面被这一组平行线分割成条状区域，现对两条平行线之间的区域考虑：平行线间的距离为3 cm ，硬币半径为1 cm ，要想硬币不与两条平行线相碰，硬币中心与两条平行线的距离都应大于1 cm ，如图：硬币中心只有落在阴影部分(不包括边界)时，才能让硬币与两条平行线都不相碰，则硬币中心落在阴影部分的概率为13.整个平面由无数个这样的条状区域组成，故所求概率是13.答案：B11解析：如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界)， 区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16.答案：π1612解：甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待． 以x 和y 分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－2≤x －y ≤4，在如 图所示的平面直角坐标系内，(x ，y )的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A “有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示．由几何概型公式得： P (A )＝242－12×222－12×202242＝67288. 故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是67288.古典概率模型的综合运用概率11、某学校课题小组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（满分100分）如下表所示：若单科成绩85分以上（含85分），则该科成绩为优秀． （1）根据上表完成下面的2⨯2列联表（单位：人）：数学成绩优秀数学成绩不优秀合 计物理成绩优秀 物理成绩不优秀合 计20（2间有关系？（3）若从这20个人中抽出1人来了解有关情况，求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率． 参考数据：则随机变量()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量；独立检验随机变量2K 的临界值参考表：序号12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 数学成绩 95 75 80 94 92 65 67 84 98 71 67 93 64 78 77 90 57 83 72 83 物理成绩 90 63 72 87 91 71 58 82 93 81 77 82 48 85 69 91 61 84 7886(单位:mg/100m0.0250.0200.0150.0100.0052、“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．”2009年8月15日晚8时开始某市交警一队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过两个小时共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60 图甲 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图．（1）求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数；（图甲中每组包括左端点，不包括右端点）（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S 并说明S 的统计意义；（图乙中数据i m 与i f 分别表示图 图乙甲中各组的组中值及频率）（3）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在70/100mg ml （含70）以上，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度在70/100mg ml （含70）以上的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率．3、汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对2CO 排放量超过130g/km 的M1型新车进行惩罚．某检测单位对甲、乙两类M1型品牌车各抽取5辆进行2CO 排放量检测，记录如下(单位：g/km ).经测算发现，乙品牌车2CO 排放量的平均值为120x =乙g/km ．（Ⅰ）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合2CO 排放量的概率是多少？（Ⅱ）若90130x <<，试比较甲、乙两类品牌车2CO 排放量的稳定性．4、某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[)70,80内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[)80,60的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[)80,70的概率.5、某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差x（°C）10 11 13 12 8发芽数y（颗）23 25 30 26 16（1）求这5天发芽数的中位数；（2）求这5天的平均发芽率；（3）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，后面一天发芽种子数为n，用（m，n）的形式列出所有基本事件，并求满足“25253030mn≤≤≤≤⎧⎨⎩”的概率.6、一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求：第18题图（Ⅰ）连续取两次都是白球的概率；（Ⅱ）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，连续取三次分数之和为4分的概率．7、某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：(Ⅰ)求分数在[)70,80内的频率，并补全 这个频率分布直方图；（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组 区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的 平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[)80,60的学生中抽取一个容量为6的样本， 将该样本看成一个总体，从中任取2人， 求至多有1人在分数段[)80,70的概率.8、为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计第18题图已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率．(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)。
几何概型、古典概型常考经典好题(史上最全面含答案)
几何概型、古典概型常考经典题（史上最全面）1．在长为2的线段AB 上任意取一点C ，则以线段AC 为半径的圆的面积小于π的概率为( ) A .14 B.12 C .34 D.π42．已知正棱锥S-ABC 的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P ，使得V P-ABC ＜12V S-ABC 的概率是( ) A .34 B.78 C .12 D.143.如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A .12 B.32 C .13 D.144．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1， 2 ]的概率是( ) A .12 B.34 C .38 D.585．若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m)y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为________．6.如图，正四棱锥S-ABCD 的顶点都在球面上，球心O 在平面ABCD 上，在球O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．7．平面区域A 1＝{}(x ，y )|x 2＋y 2＜4，x ，y ∈R ，A 2＝{(x ，y )||x |＋|y |≤3，x ，y ∈R}．在A 2内随机取一点，则该点不在A 1内的概率为________．8．在边长为4的等边三角形OAB 及其内部任取一点P ，使得OA ―→·OP ―→≤4的概率为( )A.12B.14C.13D.189．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为35，则AD AB ＝________. 10．某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分钟的广告．11．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．12.在面积为S 的ABC ∆ 的边AB 上任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S 的概率为 .13．在ABC ∆中，060,2,6ABC AB BC ∠===，在BC 上任取一点D ，则使ABD ∆为钝角三角形的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23 14.从区间[0,1]上随机抽取2n 个数1212,,,,,,,n n x x x y y y ，构成n 个数对11(,)x y ，22(,)x y ，[来源:学+,(,)n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________. A ．4n m B ．2n m C ．4m n D ．m n15. 在等腰Rt △ABC 中， (1)在斜边A B 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率.（2）过直角顶点C 在ACB ∠内作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM<AC 的概率.（3）已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB ＋PC ＋2PA ＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A ．14B ．13C ．23D ．1216.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率。
高考常考基础题9 古典概型和几何概型
高考常考基础题9 古典概型和几何概型1．（2020全国Ⅰ文4）设O为正方形ABCD的中心，在,,,,O A B C D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A．15B．25C．12D．452．（2020全国Ⅱ文理4）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（A．10名B．18名C．24名D．32名3．（2020江苏4】将一颗质地均匀的正方体骰子先后掷2次，观向上的点数，则点数和为5的概率是．4．(2019全国III文4）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0．5 B．0．6 C．0．7 D．0．85．（2020全国Ⅰ文17）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?6．（2019北京文17）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．7．（2019全国II文14）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0．97，有20个车次的正点率为0．98，有10个车次的正点率为0．99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________．。
古典概型与几何概型(基础+复习+习题+练习)
课题：古典概型与几何概率考纲要求：① 理解古典概型及其概率计算公式；② 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件 发生的概率；③了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；④了解几何概型的意义.教材复习1.古典概型：把同时具有：“()1每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的，每次试验只出现其中一个结果；()2每一个结果出现的可能性相同”的两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型： 基本步骤：①计算一次试验中基本事件的总数n ；②事件A 包含的基本事件的个数m ；③由公式nmA P =)(计算. 注：必须在解题过程中指出等可能的..2.几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成事件的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.特性：每一次试验中所有可能出现的结果都是无限的，每一个结果出现的可能性都是相等的.基本步骤：（1）构设变量（2）集合表示（3）作出区域（4）计算求解.几何概型的计算：()P A = 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A3.随机数：是在一定范围内随机产生的数，并且在这个范围内得到每一个数的机会相等.随机数的一个重要应用就是用计算机产生随机数来模拟设计实验.模拟是利用模型来研究某些现象的性质的一种有效方法，可以节约大量的人力、物力.典例分析：考点一 古典概型的概念问题1．判断下列命题正确与否：()1 掷两枚硬币，可能出现“两个正面”，“两个反面”，“一正一反”3种结果；()2某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能行相同；()3从4,3,2,1,0,1,2----中任取一数，取到的数小于0和不小于0的可能性相同；()4分别从3名男同学，4名女同学中各选一名做代表，那么每个同学当选的可能性相同；()55人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某中奖签的可能性肯定不同.考点二古典概型的概率问题2．一个口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求：()1基本事件总数；()2事件：“摸出2个黑球”包含的基本事件是多少个？()3“摸出2个黑球”的概率是多少？；问题3．同时掷两个骰子，计算：()1一共有多少种不同的结果？()2其中向上的点数之和是5的结果又多少种？()3“向上的点数之和是5”的概率是多少？问题4．将一个骰子先后抛掷三次，求向上点数之和不是6的倍数的概率.问题5．（08山东文）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ,,通晓日语，123B B B ,,通晓俄语，12C C ,通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．()1求1A 被选中的概率；()2求1B 和1C 不全被选中的概率．考点三 与长度有关的几何概型问题6．()1(2013福建) 利用计算机产生01之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为()2在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 不大于AC 的概率.ABCM考点四 与面积有关的几何概型问题7.()1(2013陕西) 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是 .A 14π- .B 12π- .C 22π-.D 4π()2(2013四川)节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是.A 14 .B 12 .C 34 .D 7812问题8.（08枣庄三中模拟）甲乙两人约定上午7:00到8:00之间到某个汽车站乘车，在这段时间内有3班公共汽车，他们开车的时刻分别为7:20、7:40、8:00，如果他们约定，见车就乘，则甲乙两人同乘一班车的概率为 .A 21 .B 14 .C 31 .D 16考点五 与体积有关的几何概型问题9.已知正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，则在正方体ABCD -1111A B C D 内任取一点M ，点M 在球O 内的概率是.A 4π .B 6π .C 8π.D 12π考点六 与角度有关的几何概型问题10：()1(2011湖南文) 已知圆C ：2212x y +=,直线l :4325x y +=. ①圆C 的圆心到直线l 的距离为②圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为()2在Rt ABC △中，30A =︒，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，求使AM AC >的概率.课后作业：1.在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率.2.（2013黄冈模拟）在区间[]0,1上任意取两个实数,a b ，则函数31()2f x x ax b =+- 在区间[]1,1-上有且仅有一个零点的概率为 .A 18 .B 14 .C 34 .D 78CABM走向高考：1.（07广东文）在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的 数字外完全相同。
4(文科)古典概型和几何概型练习题
古典概型和几何概型1．同时向上抛100个铜板，落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为对这100个铜板下面情况更可能正确的是Ａ．这100个铜板两面是一样的 Ｂ．这100个铜板两面是不同的 Ｃ．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的 Ｄ．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是A ．0.42B ．0.28C ．0.3D ．0.73．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A ．至少有一个红球与都是黒球 B ．至少有一个黒球与都是黒球 C ．至少有一个黒球与至少有1个红球 D ．恰有1个黒球与恰有2个黒球4．在40根纤维中,有12根的长度超过30mm ,从中任取一根,取到长度超过30mm 的纤维概率是 A ．4030 B ．4012 C ．3012 D ．以上都不对 5．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是A ．81 B ． 83 C ． 85 D ． 87 6．设,A B 为两个事件，且()3.0=A P ，则当（ ）时一定有()7.0=B P A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 对立 Ｃ．B A ⊆ Ｄ． A 不包含B7．在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第4路或第8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于 A.21 B. 32 C.53 D.528. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为 A.157 B.158C.53D.19. 从全体3位数的正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为A.2251B.3001 C.4501 D .以上全不对10. 取一根长度为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,则剪得两段的长都不小于1 m 的概率是.A.21B.31C.41D.不确定 11. 已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是A.101B.91C.111D.8112. 在1万 km 2的海域中有40 km 2的大陆架贮藏着石油,假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是.A.2511B.2491C.2501D.252113. 一个口袋内有9张大小相同的卡片，其号数为1,2,3,,9.从中任取两张，其号数至少有一个为偶数的概率为（ ）A .59 B. 49 C. 518 D. 131814.在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________.15.在20瓶墨水中，有5瓶已经变质不能使用，从这20瓶墨水中任意选出1瓶，取出的墨水是变质墨水的概率为_________.16. 从1,2,3,4,5五个数字中,任意有放回地连续抽取三个数字,则三个数字完全不同的概率是____. 17. 从1，2，3，…，9这9个数字中任取2个数字.（1）2个数字都是奇数的概率为_____；（2）2个数字之和为偶数的概率为____. 18. 如图，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为.19. 如图,在半径为1的半圆内,放置一个边长为12的正方形ABCD,向半圆内任投一点，点落在正方形内的概率为___________。
2019届北师大版(文科数学) 古典概型与几何概型 单元测试
1.欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆，中间有边长为1cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是________.
【解析】记“油正好落入孔中”为A ，有几何概型的概率的计算公式，得
2【2015江苏高考，5】袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】5.6
6.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）
A. ①②③
B. ①②③
214()392P A ππ===正方形面积圆面积（）
C. ①②③
D. ①②③
【答案】B
4 （2016年高考北京卷文）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）
A.1
5
B.
2
5
C.
8
25
D.
9
25
【答案】B
【解析】5名学生编号设为1,2,3,4,5，其组合有10种：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）。
甲被选中，除了甲外还需要选同伴一人，有4种方法。
故所求概率为
42
105
P==，故选B.。
古典概型与几何概型精选习题
古典概型和几何概型检测试题1．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（g ）范围内的概率是（ ）A ．0.62B ．0.38C ．0.02D ．0.682．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间的概率为（ ）A ．310 B ．15 C ．25 D ．45 3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，构成数对（x ，y ），则所有数对（x ，y ）中满足xy ＝4的概率为（ ）A ．116B ．216 C ．316 D ．14 4．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（ ）A ．34B ．38C ．14D ．18 5．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则 求两人会面的概率为（ ）A ．13B ．49C ．59D ．7106如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（ ）A ．2π B ．1π C ．23 D ．137．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45o ，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（ ）甲 乙 1 2 3 4 1 2 34A．18B．14C．12D．348．现有100ml的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml的蒸馏水，则抽到细菌的概率为（）A．1100 B．120C．110D．159．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（）A．14 B．18 C．110 D．11210．在区间[0,10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是（）A．15 B．25 C．35 D．2711．若过正三角形ABC的顶点A任作一条直线L，则L与线段BC相交的概率为（）A．12 B．13 C．16 D．11212．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定13．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率（）A．ra B．2ra C．ara-D．2a ra-14．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min．则乘客到达站台立即乘上车的概率为．15．随机向边长为2的正方形ABCD中投一点P,则点P与A的距离不小于1且与CPD为锐角的概率是__________________．的概率是．16．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于5617．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间为早上7：00～8：00之间，你父亲在离开家前能拿到报纸的概率为_______．18．飞镖随机地掷在下面的靶子上．（1）在靶子1中，飞镖投到区域A、B、C的概率是多少？（2）在靶子1中，飞镖投在区域A或B中的概率是多少？在靶子2中，飞镖没有投在区域C中的概率是多少？19．一只海豚在水池中游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．20．在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率．21．已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率.22．口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．⑴、甲、乙按以上规则各摸一个球，求事件“甲赢且编号的和为6”发生的概率；⑵、这种游戏规则公平吗?试说明理由．23．某人有3枚钥匙，其中只有一枚房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一枚，于是，他逐枚不重复地试开，问：(Ⅰ)恰好第三次打开房门锁的概率是多少?(Ⅱ)两次内打开房门的概率是多少?24. 图甲“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．”2009年8月15日晚8时开始某市交警一队在该市共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这 出的频率分布直方图． （1）求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数；（图甲中每组包括左端点，不包括右端点） （2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S 值， 并说明S 的统计意义；（图乙中数据i m 与i f 分别表示图图乙甲中各组的组中值及频率）（3）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在70/100mg ml （含70）以上，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度在70/100mg ml （含70）以上的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率．25.在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率..13.B; 14. 111;1.B;2.B;3.C;4.A;5.C;6.A;7.A;8.B;9.C; 10.C; 11.C; 12.B; 15. 4arcsin52π; 16. 2572; 17. 87.5%; 2.18.（1）都是13；（2）23;34。
高三数学专业题材训练古典概型与几何概型(分组训练,含详细解答)
高中数学专题训练——古典概型与几何概型[例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（）A ．49B ．29C ．23D ．13（2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为 （ ）A ．61 B ．365 C ．121 D ．21 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为（）A ．56B ．12C ．13D ．16（4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3S”的概率为 ．（5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ．[例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。
[例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【练习】1． 某班共有6个数学研究性学习小组，本学期初有其它班的3名同学准备加入到这6个小组中去，则这3名同学恰好有2人安排在同一个小组的概率是 （ ）A ．15B ．524C ．1081D ．5122． 盒中有1个红球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是红球的概率为P 1，第8个人摸出红球的概率是P 8，则（）A ．P 8=18P 1B ．P 8=45P 1 C ．P 8=P 1D ．P 8=03． 如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 是圆O 的六个等分点，则转盘指针不落在阴影部分的概率为（A ．12 B ．13 C ．23D ．14第3题图C4．两根相距3m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m的概率为（）A．12B．13C．14D．235．一次有奖销售中，购满100元商品得1张奖卷，多购多得．每1000张卷为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖5个，二等奖100个．则任摸一张奖卷中奖的概率为．6．某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为．7．在圆心角为150°的扇形AOB中，过圆心O作射线交»AB于P，则同时满足：∠AOP≥45°且∠BOP≥75°的概率为．8．某招呼站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．（1）共有多少个基本事件？（2）小曹能乘上上等车的概率为多少？9．设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点P与A的概率．10．正面体ABCD 的体积为V ，P 是正四面体ABCD 的内部的点． ①设“V P -ABC ≥14V ”的事件为X ，求概率P (X )；②设“V P -ABC ≥14V 且V P -BCD ≥14V ”的事件为Y ，求概率P (Y )．古典概型与几何概型A 组1． 取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为（）A ．2πB ．2ππ- C ．πD ．4π 2． 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为 （）A ．12B ．13C ．14D ．163． 已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)及内部面积为S=πab ，A 1，A 2是长轴的两个顶点，B 1，B 2是短轴的两个顶点，点P 是椭圆及内部的点，下列命题正确的个数是 （）①△PA 1A 2为钝角三角形的概率为1；②△PB 1B 2为直角三角形的概率为0；③△PB 1B 2为钝角三角形的概率为ba ； ④△PA 1A 2为钝角三角形的概率为ba ；⑤△PB 1B 2为锐角三角形的概率为a ba-。
古典概型与几何概型专题训练(答案版)
古典概型与几何概型专题训练1.在集合{}04M x x =<≤中随机取一个元素.恰使函数2log y x =大于1的概率为( ) A ．1 B.14 C. 12 D. 34答案及解析：1.C2.考虑一元二次方程20x mx n ++=.其中,m n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,则方程有实根的概率为( ) A.3619 B.187 C.94 D.3617答案及解析：2.A3.如图.大正方形的面积是34.四个全等直角三角形围成一个小正方形. 直角三角形的较短边长为3.向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵.则 小花朵落在小正方形内的概率为A .117 B .217 C .317 D .417答案及解析：3.B .因为大正方形的面积是34.由直角三角形的较短边长为3.得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3.则小正方形边长为2.面积为4.所以小花朵落在小正方形内的概率为423417P ==.故选B . 【解题探究】本题考查几何概型的计算. 几何概型的解题关键是求出两个区间的长度（面积或体积）.然后再利用几何概型的概率计算公式()=A P A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）求解．所以本题求小花朵落在小正方形内的概率.关键是求出小正方形的面积和大正方形的面积.4.如图所示.现有一迷失方向的小青蛙在3处.它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格（若它在5处.跳动一次.只能进入3处.若在3处.则跳动一次可以等机会进入1.2.4.5处）.则它在第三次跳动后.首次进入5处的概率是（ ）A ．316 B ．14 C ． 16 D ．12答案及解析：4.A5.（1）一个盒子里有6支好晶体管.4支坏晶体管.任取两次.每次取一支.每次取后不放回.已知第一支是好晶体管.则第二支也是好晶体管的概率为 ( ) A.13 B.512 C.59 D.925答案及解析：（1）C（2）一个盒子里有6支好晶体管.4支坏晶体管.任取两次.每次取一支.每次取后不放回.则第一次和第二次取到的都是好晶体管的概率为 ( ) A.13 B.512 C.59 D. 925答案及解析：（2）A（3）一个盒子里有6支好晶体管.4支坏晶体管.任取两次.每次取一支.每次 取后再放回.则第一次和第二次取到的都是好晶体管的概率为( ) A.13 B.512 C.59 D. 925答案及解析： （3）D6.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个.其中个位数为0的概率是（ ） A ．49 B ．13 C ．29D ．19答案及解析：6.D7.一个袋子里装有编号为1,2,3,,12的12个相同大小的小球.其中1到6号球是红色球.其余为黑色球.若从中任意透出一个球.记录它的颜色和号码后再放回到袋子里.然后再摸出一个球.记录它的颜色和号码.则两次摸出的球都是红球.且至少有一个球的号码是偶数的概率是（ ） A ．316 B ．14 C ．716 D ．34答案及解析：7.A8.已知点(,)P a b .,a b 满足221a b +≤.则关于x 的二次方程224430x bx a ++=有实数根的概率为( )A ．16B ．13C ．23D ．56答案及解析：8.B9. 4名学生从3个体育项目中每人选择1个项目参加.而每个项目都有学生参加的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．答案及解析：10.C10.小赵和小王约定在早上7:00至7:30之间到某公交站搭乘公交车去上学.已知在这段时间内.共有3班公交车到达该站.到站的时间分别为7:10,7:20,7:30.如果他们约定见车就搭乘.则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）A.13B.12C.14D.16答案及解析：9.A考点：几何概型11.三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖.这6名学生要排成一排合影.则同校学生都排在一起的概率是（A）130（B）115（C）110（D）15答案及解析：11.C12.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人.这五人被录用的机会均等.则甲或乙被录用的概率为（）A．B．C．D．答案及解析：12.D13.一工厂生产的100个产品中有90个一等品.10个二等品.现从这批产品中抽取4个.则其中恰好有一个二等品的概率为（）A ．41004901C C -B ．4100390110490010C C C C C + C ．4100110C C D ．4100390110C C C答案及解析：13.D14.如图1所示的是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图.其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为()答案及解析：14.C15.在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b =α.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为t .在区间[1.3t]和[2.4]分别各取一个数.记为m 和n.则方程表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是（ ） A ．31 B. 43 C. 32D. 12答案及解析：15. D16.执行右图的程序框图.任意输入一次()()0101x x y y ≤≤≤≤与.则能输出数对(),x y 的概率为________答案及解析：16. 14π-17.甲和乙等五名志愿者被随机地分到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务.每个岗位至少 有一名志愿者.则甲和乙不在同一岗位服务的概率为 （A ）110（B ）910 （C ） 14 （D ） 48625答案及解析：17.B18.下列对古典概型的说法中正确的个数是 ( ) ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个事件出现的可能性相等；③基本事件的总数为n,随机事件A 包含k 个基本事件,则()k P A n=； ④每个基本事件出现的可能性相等； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案及解析：18.C19.已知一个三角形的三边长分别是5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（ ☆ ）A. 12π-B.13π-C.16π-D.112π-答案及解析：19.C20.一次实验：向下图所示的正方形中随机撒一大把豆子.经查数.落在正方形中的豆子的总数为N 粒.其中)(N m m ＜粒豆子落在该正方形的内切圆内.以此估计圆周率π为 (A)N m (B)N m 2 (C)N m 3 (D)Nm 421.已知P 是△ABC 所在平面内一点.20PB PC PA ++=.现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内.则黄豆落在△P BC 内的概率是 （ ）A.14 B.13 C.23 D.12答案及解析：21.【知识点】几何概型K3 D 由得.设BC 边中点为D.则,P 为AD中点.所以黄豆落在内的概率是.故选D.【思路点拨】：由得P 为BC 边中线AD 的中点.由此可得黄豆落在PBC ∆内的概率.22.设A 是半径为1的圆周上一定点.P 是圆周上一动点.则弦PA ＜1的概率是 A.13 B. 23 C. 16 D. 12答案及解析：22.A23.甲、乙两人约定某天晚上7：00～8：00之间在某处会面.并约定甲早到应等乙半小时.而乙早到无需等待即可离去.那么两人能会面的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．答案及解析：23.C24.已知不等式015<+-x x 的解集为P 。
古典概型与几何概型练习及答案(文)-教师版
古典概型及几何概型练习题一、选择题1．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．25B．15C．310D．110【答案】A【解析】将第一次抽取的卡片上的数记为a，第二次抽取的卡片上的数记为b，先后两次抽取的卡片上的数记为(),a b，则共有()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()2,5，()3,1，()3,2，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种抽取方法，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的抽取方法有10种，所以所求概率102255P==，故选A．2．袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（）A．79B．49C．23D．59【答案】D【解析】从袋中9个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为5，因此，取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为59，故选D．3．在一个不透明的箱子中装有4件同型号的产品，其中合格品3件、不合格品1件，现在从这4件产品中随机抽取2件检测，则抽到的都是合格品的概率是（）A．14B．13C．12D．34【答案】C【解析】记合格品为a ，b ，c ；不合格为d ，这4件产品中随机抽取2件的基本事件为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d ， 抽到的都是合格品的基本事件为(),a b ，(),a c ，(),b c ， 即抽到的都是合格品的概率3162P ==，故选C ． 4．在一项自“一带一路”沿线20国青年参与的评选中“高铁”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”被称作中国“新四大发明”，曾以古代“四大发明”推动世界进步的中国，正再次以科技创新向世界展示自己的发展理念．某班假期分为四个社会实践活动小组，分别对“新四大发明”对人们生活的影响进行调查．于开学进行交流报告会．四个小组随机排序，则“支付宝”小组和“网购”小组不相邻的概率为（ ）A ．14B ．16C ．13D ．12【答案】D【解析】将“支付宝”小组，“网购”小组，“高铁”小组，“共享单车”小组分别记为1A ，2A ，1B ，2B ．则四个小组随机排序的所有情况有()1212,,,A A B B ，()1221,,,A A B B ，()2112,,,A A B B ，()2121,,,A A B B ，()1122,,,A B A B ，()1221,,,A B A B ，()2112,,,A B A B ，()2211,,,A B A B ，()1122,,,B A A B ，()1212,,,B A A B ，()2121,,,B A A B ，()2211,,,B A A B ，()1122,,,A B B A ，()1122,,,A B B A ，()2121,,,A B B A ，()2211,,,A B B A ，()1212,,,B B A A ，()1221,,,B B A A ，()2112,,,B B A A ，()2112,,,B B A A ，()1122,,,B A B A ，()1221,,,B A B A ，()2112,,,B A B A ，()2211,,,B A B A ，共24种，其中“支付宝”小组与“网购”小组不相邻的有12种，由古典概型的概率公式得所求概率为12．故选D ．5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）A ．110 B ．15C ．310D ．120【答案】A【解析】从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件为：()1,2,3，()1,2,4，()1,2,5，()1,3,4，()1,3,5，()1,4,5，()2,3,4，()2,3,5，()2,4,5，()3,4,5共10个，其中满足勾股数的只有()3,4,5，共1个，∴所求概率110p =，本题正确选项A ． 6．先后抛掷3枚均匀的硬币，至少出现一次反面的概率是（ ）A ．18B ．38C ．58D ．78【答案】D【解析】基本事件的总数为2228⨯⨯=，全是正面的的事件数为1，故全是正面的概率为18，所以至少出现一次反面的概率为17188-=，故选D ． 7．如图，一个边长为4的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入了1000粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有350粒，则这个月牙图案的面积约为（ ）A ．5.6B ．3.56C ．1.4D ．0.35【答案】A【解析】月牙形图案的面积约为：35044 5.61000⨯⨯=，本题正确选项A ．8．刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，即从半径为1尺的圆内接正六边形开始计算面积，如图是一个圆内接正六边形，若向圆内随机投掷一点，则该点落在正六边形内的概率为（ ）A ．3πB．πC．2πD．2π【答案】D【解析】由图可知642S P S ===ππ正六边形圆，故选D ． 9．如图，在直角梯形ABCD 中，2AD CD ==，B 是OC 的中点，若在直角梯形ABCD 中投掷一点(,)P x y ，则以x ，y ，2为三边构成的三角形为钝角三角形的概率为（ ）A ．π14-B ．π24-C ．π13-D ．π23-【答案】C【解析】由题，2x ≤，2y ≤，故设2为最长边长，∵以x ，y ，2为三边构成的三角形为钝角三角形，∴224x y +<，即以原点为圆心，半径为2的圆，∴()1π21ππ12131222AOB ABCDS P S -⨯⨯--===⨯+⨯，故选C ．10．如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2．在圆O 内，将线段MN 绕N 点按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将线段MN 绕M 点按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动，点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分．若在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（ ）A ．4π-B ．1 C ．πD 【答案】B【解析】由题意得：阴影部分的面积21π26224π2S =⨯-⨯⨯⨯=-，∴1P ==，本题正确选项B ． 11．梅赛德斯-奔驰（Mercedes Benz -）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化．已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点O 为圆心，15OAB ∠=︒，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．B C D 【答案】D【解析】由已知可得60AOB ∠=︒，则105ABO ∠=︒．又()1sin15sin 4530()2224︒=︒-︒=-=，()1sin105sin 4560(22︒=︒+︒=+=不妨设4OA =，则由正弦定理可得4sin158sin105OA OB ⨯⋅︒===-︒，则(148sin 60122AOB S =⨯⨯-⨯︒=△，所以阴影部分的面积为'336AOB S S ==△，圆O 的面积为16πS =，则在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为'S P S ===． 故选D ．12．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A ．B C D【答案】A【解析】如下图所示，设2BC =，则以点B 为圆心的扇形面积为21π2π2=233⨯⨯，等边ABC △的面积为21π2sin 23⨯⨯=2π3 所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，即2π2π+⨯=-2(2π33∴在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率1=，故选A．二、填空题13．已知两个袋子中装有大小和形状相同的小球，其中甲袋中有3个小球编号为1,2,3，乙袋中有4个小球编号为1,2,3,4，若从两个袋中各取出1球，则取出的两个小球编号相同的概率为______．【答案】14【解析】设A为“取出的两个小球编号相同”，从两个袋中各取出1球，共有12种取法，取出的两个小球编号相同，共有3种取法，故()31P A==．12414．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取3支不同颜色的彩笔，则取出的3支彩笔中含有红色彩笔的概率为________．【答案】35【解析】从这5支彩笔中任取3支不同颜色的彩笔，共有10种不同的取法，从这5支彩笔中任取3支不同颜色的彩笔，则取出的3支彩笔中含有红色彩笔，共有6种不同的取法，则取出的3支彩笔中含有红色彩笔的概率为63105=，故答案为35． 15．向边长为2的正方形内随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A 的距离不大于1的区域内（图中阴影区域），由此可估计π的近似值为______．（保留四位有效数字）【答案】3.149【解析】依题意得，正方形的面积4S =正方形，阴影部分的面积4π，故落在到正方形的顶点A 的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的概率44π1π6P ==，随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A 的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的频率为196810000， 即有19681610π000p ==，解得π 3.1488=，故答案为3.149． 16．在[0,20]中任取一实数作为x ，则使得不等式12log (1)4x ->-成立的概率为______．【答案】45P =【解析】依题意，111222log (1)4log (1)log 160116117x x x x ->-⇔->⇔<-<⇔<<，故所求概率17142005P -==-，故答案为45P =．。
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古典概型和几何概型
班级学号姓名得分一选择题（每小题5分，共计60分。
请把选择答案填在答题卡上。
）1.同时向上抛100个铜板，落地时100个铜板朝上的面都相同，
你认为对这100个铜板下面情况更可能正确的是
A.这100个铜板两面是一样的 E.这100个铜板两面是
不同的
C.这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不
相同的
D.这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的
2 . 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个
球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是
A. 0.42
B. 0.28
C. 0.3
D. 0.7
3 .从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是
A.至少有一个红球与都是黒球
B.至少有一个黒球与
都是黒球
C.至少有一个黒球与至少有1个红球 D .恰有1个黒球与恰有2个黒球
4 .在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取 到长度超过30mm 的纤维的概率是
5 .先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是 C.
6 .设代B 为两个事件，且P A =0.3，则当（
P B 1=0.7
A. A 与B 互斥
B. A 与B 对立
C. A ^B
D. A 不
包含B
7. 在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这 个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第4路或第8路汽车. 假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这
位乘客所需乘的汽车的概率等于
8. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至
少有1名女生当选的概率为 A.—
B.—
C.3
D.1
15
15
5
9. 从全体3位数的正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也 是正整数的概率为
1
1 1
A.——
B.——
C.——
D.以上全不对
225
300
450
30
40 40 30 D .以上都不对
7
8
）时一定有
B .
A.1
2
C.3
5
D.2
5
10. 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪
得两段的长都不小于1 m 的概率是.
站台立即乘上车的概率是
D.-
8
12. 在1万km 2的海域中有40 km 2
的大陆架贮藏着石油，假如 在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 5分，共20分、 13. 在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为 2 cm 的正方 形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概 率是4
.
9 --------
14. 在20瓶墨水中，有5瓶已经变质不能使用，从这 20瓶墨水 1 中
任意选出1瓶，取出的墨水是变质墨水的概率为
4 —
15. 从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放回地连续抽取三个
一 12
数字，则三个数字完全不同的概率是
一 .
25 —
16. 从1，2，3，…，9这9个数字中任取2个数字.（1） 2个数
5
1
B.」
C.」
1
A.l
B.-
2
3
11.已知地铁列车每10 min 一班
C.-
4
在车站停
D.不确定 min.则乘客到达
字都是奇数的概率为一；（2） 2个数字之和为偶数的概率为
18 一
4
__9__.
三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题 共2个大题，共20分）
17. 在等腰Rt ZABC 中，在斜边AB 上任取一点
小于AC 的长的概率.
P ( AM V AC ) =P (AM V AC )
AC AC ,2
解：作图，从下图中容易看出基本事件空间与
点集 S={ （G ，P ） |G € N ，P € N ，1 <G <6， 1<P<6}中的元素 ---- 对应.因为S 中点的总 数是6 X 6=36 （个），所以基本事件总数
n=36.
（1） 记“点数之和出现7点”的事件为A ，从图中可看到事件A 包含的基本事件数共6个：（6，1 ），（5，2 ），（ 4，3 ），（3，
4），（2，5 ），（1，6 ），所以 P （A ）=—=-.
36 6
喫 磺： 生点 5.4
2 3 4 5 6 7
3 4 5 S 7 &
3点
4
S
6
7 Is
9
4J ； 5 G 7 B 9
10
5点 €
7 呂
9
10 11
瞰 7 超
9
10 11 12
.解：在AB 上截取AC = AC ，于是 M ，求AM 的长
AB AB
J 2
答：AM 的长小于AC 的长的概率为
18.抛掷两颗骰子，求： （1）点数之和出现7点的概率；（2）出
B
2
现两个4点的概率.
（2）记“出现两个4点”的事件为B，则从图中可看到事件B包
1 含的
基本事件数只有1个：（4，4）.所以P （ B）=一 .
36。