特征值与特征向量的求法
幂法求特征值和特征向量
幂法求特征值和特征向量
幂法是一种用于求解特征值和特征向量的迭代算法。
它可以应用于任何具有特征值和特征向量的方阵，并且在实际应用中被广泛使用。
首先，我们需要了解什么是特征值和特征向量。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax = λx，其中λ是一个实数，那么λ称为A的特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。
幂法的基本思想是通过迭代过程得到一个向量序列，使得每一次迭代后的向量越来越接近于所需的特征向量。
具体步骤如下：
1. 选择一个非零向量b作为初始向量。
2. 迭代计算b的下一个近似向量b' = Ab，即将初始向量乘以
矩阵A。
3. 归一化向量b'，即将b'除以其模长，得到新的向量b。
4. 重复步骤2和步骤3，直到向量b的变化趋于稳定。
在每次迭代过程中，向量b的模长会越来越接近于最大的特征值。
此外，向量b也收敛到与最大特征值对应的特征向量。
需要注意的是，幂法只能找到矩阵A的最大特征值和对应的特征向量。
如果需要找到其他特征值和特征向量，可以通过将矩阵A进行位移变换，使得所需的特征值成为矩阵A的最大特征值。
幂法的收敛速度取决于矩阵A的特征值的大小差异。
如果特征值之间的差异很大，那么幂法将很快收敛。
然而，如果特征值之间的差异很小，那么幂法的收敛速度将较慢。
总之，幂法是一种简单而有效的方法，用于求解矩阵的特征值和
特征向量。
它在很多实际问题中都得到了广泛的应用，例如在机器学习、信号处理和物理学等领域。
数值分析第四章矩阵特征值与特征向量的计算
192.9996. 973
12
➢ 幂法的加速—原点移位法
应用幂法计算矩阵A的主特征值的收敛速度主要
由比值 r=|2/1|来决定, 但当r接近于1时, 收敛可能
很慢. 这时可以采用加速收敛的方法.
引进矩阵
B=A－0I
其中0为代选择参数. 设A的特征值为1, 2, …, n, 则B的特征值为1－0, 2－0, …, n－0, 而且A, B
10
2 1 0 例 用幂法求矩阵 A 0 2 1
0 1 2
的按模最大的特征值和相应的特征向量.
取 x(0)=(0, 0, 1)T, 要求误差不超过103.
解 y 0 x 0 0 ,0 ,1 T ,
x 1 A 0 0 y , 1 , 2 T , 1 m x ( 1 ) ) a 2 , x
y(1)
x(1)
1
(0,0.5,1)T
x ( 2 ) A ( 1 ) 0 . 5 y , 2 , 2 . 5 T ,2 m x ( 2 ) ) 12 1a . 5 ,
y(2)
x(2) 2
(0.2,0.8,1)T
x ( 3 ) A ( 2 ) 1 . 2 y , 2 . 6 , 2 . 8 T ,3 m x ( 3 ) ) 2 a . 8 ,
x
(
k
1
)
Ax
(k )
A k1 x (0)
在一定条件下, 当k充分大时:
1
x ( k 1) i
x
( i
k
)
相应的特征向量为: x(k1) 4
➢ 幂法的理论依据
n
对任意向量x(0), 有 x(0) tiui ,
i1
x(k1) Ax(k) Ak1x(0)
特征值和特征向量的基本定义及运算
特征值和特征向量的基本定义及运算特征值和特征向量是线性代数中的两个重要概念，广泛应用于机器学习、图像处理、信号处理等领域中。
本文旨在介绍特征值和特征向量的基本定义及运算，并探讨其在实际中的应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，矩阵是一个非常重要的概念。
一个 n × n 的矩阵 A 是由 n 行 n 列的元素组成的，并且可以用列向量的形式表示为 A = [a1, a2, ..., an]。
其中，ai 表示矩阵 A 的第 i 列的列向量。
矩阵 A 的特征向量是指一个非零向量 v，满足Av = λv，其中λ 是一个常数，称作该矩阵的特征值。
通常情况下，特征向量 v 与特征值λ 是成对出现的，即一个特征向量对应一个特征值。
二、特征值与特征向量的求解特征值和特征向量的求解是线性代数中的一个经典问题。
一般情况下，可以通过求解矩阵 A 的特征多项式来求解其特征值。
设矩阵 A 的特征多项式为f(λ) = |A - λI|，其中 I 表示单位矩阵。
则 A 的特征值即为方程f(λ) = 0 的根。
对于每个特征值λ，可通过解如下方程组来求解对应的特征向量：(A - λI)v = 0其中，v 表示特征向量，0 表示零向量。
上述方程组的解空间为 A - λI 的零空间，也称为矩阵 A 的特征子空间。
如果矩阵 A 的特征值λ 是重根，则λ 对应的特征向量有多个线性无关的向量。
此时，可求解齐次线性方程组 (A - λI)v = 0 的基础解系，从中选取线性无关的向量作为特征向量。
三、特征值与特征向量的性质特征值与特征向量有一些重要的性质，其中较为常见的包括：1. 特征值的和等于矩阵的迹设矩阵 A 的特征值为λ1, λ2, ..., λn，则有：λ1 + λ2 + ... + λn = tr(A)其中，tr(A) 表示矩阵 A 的迹，即主对角线上元素的和。
2. 特征值的积等于矩阵的行列式设矩阵 A 的特征值为λ1, λ2, ..., λn，则有：λ1 λ2 ... λn = |A|其中，|A| 表示矩阵 A 的行列式。
第九章矩阵特征值和特征向量的计算
从而：
容易验证：
9.2 幂法的加速与降阶
考虑A－λ0I，因它与A之间特征值有关系：μi=λｉ－λ0,且特征向量不变， 则：
因为此时：
假定最大特征值λ1和最大特征向量V1已求出，并令A(1)=A，现构造：
9.3 反幂法
反幂法用来求A的按模最小的特征值。思想是A与A-1的特征值互为倒数， 用幂法求A-1的最大特征值。
或写为：
一般的计算公式：
处理对称矩阵，下列正交化方法更为有效：
平行迭代法也可用来求按模最小的p个特征值和特征向量：
9.5 QR算法 1、基本步骤：
令A=A1，对A1进行正交分解：
QR算法产生了一个矩阵序列{Ak}，它有两个基本性质： （1）、矩阵序列{Ak}中的每一个矩阵都与A相似：
（2）、若令Hk= Rk Rk-1…. R1则有：
2、QR算法的收敛性问题：
2、定理9.1：假设
2、QR算法举例：求下面矩阵特征值
现用QR算法求解其特征值，首先令A1=A,用Schmidt正交化方法分解：
把A代替A重复上面过程，计算11次得：
9.6 Jacobi算法
其中，D是对角矩阵，它的对角元素是矩阵A的特征值，Jacobi方法 实质上是找一个正交矩阵V，使A正交化。设：
（2）、置k=1，μ=0 （3）、求xr=> λ，| xr |= （4）、计算 Y=X/ λ X=AY
max xi
1 i n
（5）、若| λ－ μ|< ε，输出λ，X,停机，否则转步骤6 （6）、若k<N，k+1=>k，，μ=0， λ=>μ，转步骤3；否则输出失败信息
4、例2：用幂法求矩阵
解：取初始向量Y(0)=(1,1,1)T，用前面公式
矩阵的特征值与特征向量认识矩阵的特征值与特征向量的计算方法
矩阵的特征值与特征向量认识矩阵的特征值与特征向量的计算方法矩阵在数学与物理等领域中起着重要的作用，而矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。
本文将介绍矩阵的特征值与特征向量的定义与性质，并探讨了计算矩阵特征值与特征向量的方法。
一、矩阵的特征值与特征向量的定义在介绍矩阵的特征值与特征向量之前，我们先来了解一下矩阵的基本概念。
矩阵是由若干个数按照一定的规则排列成的矩形阵列。
矩阵可以表示成一个二维数组，其中的元素用于表示矩阵中的各个数值。
矩阵的特征值与特征向量是对矩阵进行分析与求解时非常有用的工具。
特征值可以理解为矩阵在某个方向上的缩放因子，而特征向量则表示在特征值对应的方向上的向量。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量X，使得AX=λX，其中λ是一个常数，那么称λ为矩阵A的特征值，X为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的定义虽然比较抽象，但是通过对矩阵进行相应的计算可以得到具体的数值结果。
二、计算特征值与特征向量的方法1. 特征值的计算方法计算特征值的方法之一是通过求解矩阵特征方程来完成。
对于一个n阶矩阵A，其特征方程可以表示为det(A-λI)=0，其中det表示矩阵的行列式，I是单位矩阵，λ是特征值。
解特征方程可以得到矩阵的特征值。
由于特征方程是一个n次多项式方程，所以一般情况下可以得到n个特征值。
特征值的个数与矩阵的阶数相等。
2. 特征向量的计算方法计算特征值后，我们可以通过特征值来求解特征向量。
对于特征值λ，我们需要求解矩阵(A-λI)X=0的非零解，其中X是特征向量。
解特征向量的过程可以通过高斯消元法或者矩阵的初等变换来完成，得到的非零解即为特征向量。
三、特征值与特征向量的性质矩阵的特征值与特征向量具有一些重要的性质，这些性质在矩阵理论与应用过程中都具有重要作用。
1. 特征值和特征向量的对应关系对于一个n阶矩阵A，它有n个特征值与n个相应的特征向量。
特征值与特征向量是一一对应的关系，即每个特征值对应一个特征向量。
特征值和特征向量
特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，广泛应用于各个领域的数学和科学问题中。
特征值和特征向量的理解和运用对于解决线性代数中的矩阵方程、特征分解以及一些实际问题有着重要的意义。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得下式成立：A·x=λ·x其中，λ为一个复数，称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值的特征向量。
对于方阵A，可能存在多个特征值和对应的特征向量。
二、特征值和特征向量的性质1. 特征向量的长度无关紧要：特征向量的长度没有具体的要求，只要方向相同即可。
2. 特征向量是线性的：如果v是一个A的特征向量，那么对于任意标量k都有kv仍是A的特征向量。
3. 不同特征值对应的特征向量是线性无关的：如果λ1≠λ2，则对应的特征向量v1和v2线性无关。
三、求解特征值和特征向量的方法针对不同的方阵A，求解特征值和特征向量的方法也有所不同，常用的方法有以下几种：1. 特征方程法：令A-λI=0，其中I是单位矩阵，解方程A-λI=0可以得到方阵A的特征值λ。
然后将特征值带入方程(A-λI)x=0，求解得到方阵A对应特征值的特征向量。
2. 幂法：通过迭代的方法求解矩阵的特征值和特征向量。
先随机选择一个向量x0，然后通过迭代运算得到序列x0，Ax0，A^2x0，...，A^nx0，其中n为迭代次数。
当n足够大时，序列将收敛到A的特征向量。
3. Jacobi方法：通过迭代矩阵的相似变换，将矩阵对角化。
该方法通过交换矩阵的不同行和列来逐步减小非对角元素，最终得到对角矩阵，对角线上的元素即为特征值。
四、特征值和特征向量的应用特征值和特征向量在很多领域中都有广泛的应用，包括以下几个方面：1. 图像处理：特征值和特征向量可用于图像的降维和特征提取，通过对图像的特征向量进行分析，可以获得图像的主要特征。
2. 特征分析：特征值和特征向量可用于分析复杂系统的稳定性、动态响应和振动特性，如机械系统、电路系统等。
矩阵的特征值和特征向量的应用
矩阵的特征值和特征向量的应用矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们在许多领域中有广泛的应用。
本文将介绍特征值和特征向量的定义和计算方法，并探讨它们在实际问题中的应用。
1. 特征值和特征向量的定义在矩阵A中，如果向量v在进行线性变换后，仍然保持方向不变，只改变了长度，那么v称为A的特征向量，它所对应的标量λ称为A的特征值。
即满足下述等式：Av = λv其中，A是一个n阶方阵，v是一个n维非零向量，λ是一个标量。
2. 计算特征值和特征向量的方法要计算一个矩阵的特征值和特征向量，需要求解线性方程组(A-λI)x = 0，其中I是单位矩阵，x是一个非零向量。
解这个方程组，可以得到λ的值，即特征值，以及对应的特征向量。
3. 特征值与特征向量的性质- 特征值可以是实数或复数，特征向量通常是复数。
- 特征向量可以相互线性组合，但特征向量的数量不超过矩阵的阶数n。
- 特征值的个数等于矩阵的阶数n，不同特征值对应的特征向量线性无关。
4. 特征值和特征向量在几何中的应用矩阵的特征值和特征向量在几何中有重要的应用，可以帮助我们理解线性变换的性质。
例如，在二维空间中，对应于矩阵的特征向量可以表示空间中的特定方向，特征值代表了沿该方向进行线性变换的比例因子。
5. 特征值和特征向量在物理学中的应用在量子力学中，特征值和特征向量与物理量的测量和量子态的演化密切相关。
例如，在求解薛定谔方程时，特征值对应于能量的可能取值，特征向量对应于量子态的波函数。
6. 特征值和特征向量在数据分析中的应用特征值和特征向量在数据分析中也有广泛的应用。
例如，在主成分分析（PCA）中，特征向量可以帮助我们找到数据集中的主要变化方向，特征值可以衡量这些变化的重要性。
另外，在图像处理中，特征向量可以用于图像压缩和特征提取。
总结：矩阵的特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，它们在几何、物理学和数据分析等领域都有广泛的应用。
通过计算特征值和特征向量，我们可以更好地理解线性变换的性质，同时也可以应用于解决实际问题。
矩阵特征值和特征向量的计算方法
例：设
4 1 A 1 0
1 1
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
D1：| z 4 | 1 孤立圆盘
0 1
D2：| z | 2 D3：| z 4 | 2
3 1 5
4 D diag(1,1,109)
A D1AD
D1：| z 4 | 1
D2：| z | 199 D3：| z 4 | 1.8
x0
(3)
n
min R(x) xR n
x0
8
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
幂法及反幂法 幂法 主特征值
A (aij ) Rnn，有一组完全旳特征向量组， Axi i xi (i 1,2,, n)
{ x1, x2 ,, xn}线性无关
| 1 || 2 | | n |
9
幂法旳其本思想
设A Rnn，则存在正交矩阵Q使
R11 QT AQ
R12 R1n
R22
R2
n
Rnn
其中对角块Rii (i 1,2,, m)为一阶或二阶方阵，
且每个一阶Rii 是A的实特征值，每个二阶对角
块的两个特征值是A的一对共轭复特征值。
6
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
Def
设A Rnn为对称矩阵，x 0，称 R(x) ( Ax, x) (x, x)
A1的特征值为
|
1
1
|
|
1
2
|
|
1
n
； |
对应的特征向量，x1
,
x2 ,,
xn，
对A1应用幂法即可！
23
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
反幂法旳迭代公式
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中一个重要的概念，而矩阵的特征值与特征向量则是矩阵理论中的基本概念之一，它们在科学计算、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
本文将对矩阵的特征值与特征向量进行详细的介绍。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵理论中，给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零n维向量x，使得Ax与x线性相关，即满足下式：Ax = λx其中，λ为非零常数，称为矩阵A的特征值；而向量x称为矩阵A 对应于特征值λ的特征向量。
从定义中可以看出，特征向量并不唯一，一个特征值可以对应多个特征向量，且特征值和特征向量是成对存在的。
二、求解特征值与特征向量的方法求解一个矩阵的特征值与特征向量可以使用多种方法，其中比较常用的有特征值问题的特征多项式法和幂法。
1. 特征多项式法特征多项式法是一种较为直观的方法，其基本思想是通过解矩阵的特征方程来求解特征值。
对于一个n阶方阵A，其特征方程可以表示为：|A-λI| = 0其中，I是n阶单位矩阵，λ是一个未知量。
解特征方程可以得到矩阵A的所有特征值。
解特征方程得到特征值后，再带入Ax = λx中，可以求解对应的特征向量。
2. 幂法幂法是一种迭代的方法，通过不断迭代矩阵的幂次来逼近特征值和特征向量。
算法的基本思想是：(1)选择一个任意的非零向量x0；(2)计算x1 = Ax0；(3)计算x2 = Ax1；......(4)迭代到某一步，得到xk与x(k-1)之间的变化很小时，停止迭代。
在迭代过程中，向量x逐渐趋近于特征向量，而矩阵B = A^k中的最大特征值则逐渐趋近于特征值，因此可以通过幂法来估计特征值与特征向量。
三、特征值与特征向量的性质矩阵的特征值和特征向量具有多个重要性质。
1. 特征值的性质（1）特征值的个数等于矩阵的阶数n；（2）特征值的和等于矩阵的迹（即主对角线上元素之和）；（3）特征值的积等于矩阵的行列式；（4）特征值具有可交换性，即两个矩阵AB和BA具有相同的特征值。
《线性代数》第四章第二节 方阵的特征值与特征向量
若P是与对应的特征向量，则显然k 0时， kP也是与对应的特征向量.
6.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量．
例1
设
A
=
−2 0
1 2
1 0,
求A的特征值与特征向量．
− 4 1 3
分析：
1.特征方程的根就是特征值；
2. (A-E)x=0的通解（去掉零解）就是特征值对应
所以对应于 2 = 3 = 2的全部特征向量为 :
k2 p2 + k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例2 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值(m是任意常数).
(2) 当A可逆时,−1是A−1的特征值.
证明 (1) Ax = x A(Ax) = A(x) = (Ax) = (x) A2 x = 2 x
有x.
3. A − E = 0 为A的特征方程。
a11 −
a21
an1
a12
a22 −
an2
a1n
a2n
=0
ann −
记 f ( ) = A − E ,它是的n次多项式, 称其
为方阵A的 特征多项式 .
( ) 4. 设 n阶方阵A = aij 的特征值为1, 2 ,,
n ,则有 (1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann; (2) 12 n = A .
将1 = 2 = 1代入(A − E )x = 0,
解之得基础解系
− 2
1 = 1 ,
0
特征值和特征向量的性质与求法
特征值和特征向量的性质与求法方磊（陕理工理工学院（数学系）数学与应用数学专业071班级，陕西汉中723000）”指导老师：周亚兰[摘要] ：本文主要给出了矩阵特征值与特征向量的几个性质及特征值、特征向量的几种简单求法。
[关键词]：矩阵线性变换特征值特征向量1 特征值与特征向量的定义及性质定义1：（ⅰ）设A 是数域p 上的n 阶矩阵，则多项式|λE -A|称A 的特征多项式，则它在 c 上的根称为A 的特征值。
（ⅱ）若λ是A 的特征值，则齐次线性方程组(λE-A) X =0的非零解，称为A 的属于特征值λ的特征向量。
定义2：设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数0λ存在一个非零向量ξ，使得a ξ=0λξ，那么0λ 成为α的一个特征值而ξ称为α的属于特征值0λ的一个特征向量。
性质1： 若λ为A 的特征值，且A 可逆，则0≠λ、则1-λ 为1-A 的特征知值。
证明： 设n λλλ 21为A 的特征值，则A =n λλλ 21ο≠ ∴λi≠0(i=1、2…n)设A 的属于λ的特征向量为ξ 则ξλξi =⋅A 则λ1-A ξ=ξ即有 1-A ξ=1-λξ∴1-λ为1-A的特征值，由于A 最多只有n 个特征值 ∴1-λ为1-Aξ的特征值性质2：若λ为A 的特征值，则()f λ为()f A 的特征值 ()χf =nn a χ+101111x a x a xa n n +++--证明：设ξ为A 的属于λ的特征向量，则A ξ=λξ ∴ ()A f ξ=(nn A a +E a A a Aa n n 0111+++-- )ξ= n n A a ξ+ 11--n n A a ξ+… +E a 0 ξ=nn a λξ+11--n n a λ+…+E 0a ξ=()λf ξ 又ξ≠0∴ ()λf 是()A f 的特征值性质3：n 阶矩阵A 的每一行元素之和为a ，则a 一定是A 的特征值证明：设 A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a 212222111211则由题设条件知：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a 212222111211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a =a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111∴a 是A 的特征值推论：若λ为A 的特征值，且A 可逆，则λA为*A 的特征值(*A 为A 的伴随矩阵)。
矩阵的特征值和特征向量的计算
矩阵的特征值和特征向量的计算矩阵的特征值和特征向量是线性代数中比较重要的概念。
在机器学习、信号处理、图像处理等领域都有着广泛的应用。
本文将会介绍矩阵的特征值和特征向量的概念、意义以及计算方法。
一、特征值和特征向量的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个n维向量v和一个常数λ，使得下面的等式成立：Av=λv那么称λ为矩阵A的特征值，v为矩阵A的特征向量。
特征向量是非零向量，因为如果v为0向量，等式就无法成立。
另外，特征向量不唯一，如果v是A的特征向量，k是任意一个非零常数，那么kv也是A的特征向量。
但特征值是唯一的。
二、特征值和特征向量的意义矩阵的特征值和特征向量有着重要的物理和数学含义。
对于一个矩阵A，它的特征向量v和特征值λ描述的是矩阵A对向量v的作用和量变化。
当一个向量v与矩阵A相乘时，向量v的方向可能会发生变化，而特征向量v就是那些方向不变的向量，仅仅发生了缩放，这个缩放的倍数就是特征值λ。
也就是说，特征向量v在被矩阵A作用后仍保持了原来的方向，并且只发生了缩放。
从物理角度理解，矩阵的特征值和特征向量可以描述线性系统的固有特性。
在某些情况下，如机械振动、电路等自然界现象中，系统本身就带有某种特有的振动频率或固有响应。
而这些系统在一些特殊的情况下可以通过线性代数描述，正是因为它们具有特征值和特征向量。
三、特征值和特征向量的计算矩阵的特征值和特征向量可以通过求解特征方程来计算。
特征方程的形式为det(A-λI)=0，其中det(A-λI)表示A-λI的行列式，I是单位矩阵。
求解特征方程可以得到矩阵A的n个特征值λ1,λ2,…,λn。
接下来，针对每个特征值λi，都可以通过求解线性方程组(A-λiI)v=0来得到一个特征向量vi。
需要注意的是，一个矩阵的特征值和特征向量并不一定都能够求出来，只有在某些情况下才可以求出。
例如，对于一个非方阵，就不存在特征值和特征向量。
另外，如果矩阵的特征值出现重复，那么对应于这些特征值的特征向量可能无法确定，可以使用广义特征向量来处理。
5.2方程的特征值与特征向量
总结：
1.特征方程 A E 0的根，称为的特征值.
2.将代入方程 A E x 0后，求得的全部的非零解， 即是相应于的特征向量.
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1 计算A的特征多项式 A E ;
2 求特征方程 A E 0的全部根1 , 2 , , n , 就是A的全部特征值 ;
a1n a2 n ann
a11 a12 a21 a22 a an 2 n1
a11
则
A E
a12 an 2
a1n a2 n
=0
a21 a n1
a22
〈特征值、特征向量〉 设 A 为 n 阶矩阵， 是一 个数，如果存在非零向量 x ，使方程 Ax x （1）
成立，则称 为A 的一个特征值，相应的非零向 量 x 称为与 对应的特征向量。
若 是A 的一个特征值， 则方程 Ax x 有非零解
Ax x o 有非零解 ( A E ) x o 有非零解
即 p1 +p2 =1 p1 +2 p2， -1 p1 + -2 p2 =0，
p1 ,p2是线性无关的，故由上式得 -1 = -2 =0，即1 =2，
这与1与2是.两个不同的特征值矛盾，因此p1 +p2不是A 的特征向量
三、小结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式 A E ;
2. 求特征方程 A E 0的全部根1 , 2 , , n , 就是A的全部特征值 ;
3. 对于特征值i , 求齐次方程组
A i E x 0
(完整版)线性代数第五章特征值与特征向量(自考经管类原创)
Ak
( PP 1 )k
Pk P1
0 P
k
5
P1
上例中，对二阶方阵AP，存在可逆矩阵P, 使得P1AP .
对角阵的对角元是A的特征值，可逆阵P 即为相应对角元位置的特征值的线性无关的特 征向量组成.
接下来，主要研究方阵化对角阵的问题.
定义 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
特征值， A 为 A 的一个特征值.
问题（ ：1）已知是A的特征值，求f (A)特征值
（2）已知f (A)=O，求A的特征值
例6 设3阶矩阵A的一个特征值是-3，则-A2必有 一个特征值 ___
例7
设A=
1 0
2 3
,求B=A2
-2A+3E 的所有特征值 2
例8 设三阶矩阵A的特征值分别为1，2，3, 则 A 2E __
4 1 3
( 1) 22 ,
令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当1 1时,解方程E A x 0.由
1 1 1 1 0 1
E
A
0
3
0
0
1
0
,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
E A
a21
L
a22 L
LL
an1
an2 L
a1n
a2n
L
ann
称E A 为A的特征方阵 .
记 f E A ,它是 的 n 次多项式,
称其 为方阵 A的 特征多项式 .
称以 为未知数的一元n 次方程 E A 0
为A的特征方程 .
求矩阵特征值和特征向量
求矩阵特征值和特征向量矩阵特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们在各种应用领域都有广泛的应用，比如物理、工程、计算机科学和金融等领域。
本文将介绍矩阵特征值和特征向量的定义、性质、计算方法以及在实际问题中的应用。
矩阵特征值和特征向量是矩阵的两个特殊属性，它们对于描述矩阵的性质和解决实际问题都有重要的作用。
矩阵特征值指的是一个矩阵在一个数域内的某个数λ，使得矩阵与该数的乘积可以表示成该矩阵与某个向量v的乘积，用符号表示为：Av = λv其中，A表示矩阵，v表示非零向量，λ表示矩阵A的特征值。
当v存在时，称v是矩阵A关于特征值λ的一个特征向量。
矩阵特征值和特征向量的定义表明，矩阵的特征值和特征向量是矩阵变换的重要性质。
矩阵的特征值和特征向量不仅描述了矩阵的本质特点，还可以用于解决实际问题，如图像处理、信号处理、统计学和机器学习等。
1. 对于一个n阶矩阵，它有n个特征值和n个特征向量。
2. 一个矩阵的特征向量组成的向量空间称为矩阵的特征向量空间，特征向量空间的维度不超过矩阵的阶数。
3. 如果矩阵A的一个特征值λ的代数重数为k，其对应的特征向量的个数最多为k 个。
4. 如果矩阵A的两个特征值λ1和λ2不同，它们对应的特征向量一定线性无关。
5. 如果矩阵A是实对称矩阵，它的特征值一定是实数，对应的特征向量可以选取为正交向量。
6. 如果矩阵A是正定矩阵，所有特征值都是正实数。
计算矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的一个基本问题。
下面将介绍几种常用的计算方法。
1. 利用矩阵的行列式求特征值特征值λ是矩阵A满足如下方程的根：|A - λI|=0其中，I表示n阶单位矩阵。
解出方程得到的根即为矩阵的特征值。
矩阵A的特征值之和等于矩阵A的迹，即：λ1 + λ2 + ... + λn = tr(A)其中，tr(A)表示矩阵A的迹，即主对角线上元素的和。
3. 利用特征向量递推求特征值和特征向量如果矩阵A有n个不同的特征值λ1、λ2、…、λn，则每个特征值都对应一个线性无关的特征向量。
特征向量和特征值的求法
特征向量和特征值的求法
特征向量和特征值是线性代数中的重要概念，它们在矩阵和线性变换的理论中起到了重要的作用。
在实际应用中，求解特征向量和特征值是很常见的问题，下面介绍一下它们的求法。
1. 特征值的求法
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，那么 $\lambda$ 满足下面的特征方程：
$$
\det(A - \lambda I_n) = 0
$$
其中 $I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
特征方程的解即为 $A$ 的特征值。
2. 特征向量的求法
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，那么对应于
$\lambda$ 的特征向量 $v$ 满足下面的方程：
$$
(A - \lambda I_n)v = 0
$$
其中 $v$ 是 $n$ 维非零向量。
解上述方程即可求出对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量 $v$。
需要注意的是，对于一个特征值，可能存在多个线性无关的特征向量，因此需要通过线性组合得到所有的特征向量。
另外，当特征值为 $0$ 时，对应的特征向量称为零向量。
已知一个特征值,求解特征向量的方法
已知一个特征值，求解特征向量的方法
求解特征向量是机器学习中一种重要的应用，从表达数据信息的角度出发，重
要的特征向量可以简化数据之间的复杂关系，从而帮助用户更好地理解相关的资料，适应世界的变化。
那么当我们已经知道一个特征值时，如何求解该特征向量呢？
首先，需要明确要解决的问题：获得序列中特征值对应的特征向量。
根据求解
特征向量的基本原理，就是需要定义一组特征向量Ψ（Ψ1，Ψ2，……，Ψm），
使得特征值符合如下的关系式：λ=Ψ*A*Ψ，其中，A是特征值与特征向量的关系表，λ表示已知的特征值，而Ψ表示未知的特征向量。
因此，可以先采用特定的算法，将λ代入到上述的表达式中，并采用变分原
理求得Ψ的取值。
由于A的未知参数十分多，因此需要进行线性组合，定义出一
个适合这一组特征向量的特殊表达式，在此基础上，通过构造合适的优化函数，进而利用梯度下降法或共轭梯度下降法，求解出满足Ψ*A*Ψ=λ的最佳特征向量。
求解特征向量可以显著提升机器学习中模型的准确性与泛化能力，这也是工程
实践中常用的一种技术。
不仅能够精准定位已有的特征，而且可以在机器学习的过程中发现新的特征，进一步提升模型的准确度。
方阵的特征值与特征向量
方阵的特征值与特征向量
定义：设是阶方阵，若有数和非零向量，使得，称数是的特征值，非零向量是对应于特征值的特征向量。
【例如】：对，有及向量，使得，这
说明是的特征值，是对应于的特征向量。
特征值和特征向量的求法：
1．由得，并且由于是非零向量，故行列式，即
（称之为的特征方程）
由此可解出个根（在复数范围内），这就是的所有特征值。
2．根据某个特征值，由线性方程组解出非零解，这就是
对应于特征值的特征向量。
【例】：求的特征值和特征向量。
解：由，得，解得；
对，求解，得，取对应于的特征向量；
对，求解，得，取对应于的特征向量。
【例】：求的特征值和特征向量。
解：由，解得；
对，解得对应的特征向量；
对，求解，得，取对应的特征向量。
【例】：求的特征值和特征向量。
解：由，解得；
对，解得对应的特征向量；
对，求解，得，
取对应的特征向量。
特征值和特征向量的性质：
1．，
2．若是的特征向量，则对，也是的特征向量。
3．若是的特征值，则是的特征值，从而是的特征值。
4．是的个特征值，为依次对应的特征向量，若
各不相同，则线性无关。
特征值与特征向量 计算
特征值与特征向量计算
特征值与特征向量是线性代数中重要的概念，它们在矩阵运算、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
特征值与特征向量的计算能够帮助我们理解线性系统的性质，从而更好地分析和解决问题。
特征值可以理解为矩阵在某个方向上的伸缩因子，而特征向量则表示在该方向上的运动方向。
可以将特征值与特征向量类比为一个人在不同方向上的运动，特征值相当于移动的速度，而特征向量则是移动的方向。
举个例子来说，假设有一个二维平面上的矩阵A，它可以表示一个变换。
如果我们找到了矩阵A的特征值和特征向量，那么就可以知道在哪个方向上变换的速度最快，以及在哪个方向上变换的方向是怎样的。
特征值与特征向量的计算方法有多种，最常见的是通过求解矩阵的特征方程来得到。
特征方程是一个关于特征值的方程，解方程可以得到特征值的值。
然后，将每个特征值代入到矩阵方程(A-λI)x=0中，可以求得对应的特征向量。
特征值与特征向量的计算不仅可以帮助我们理解线性系统的性质，还可以在实际问题中发挥重要作用。
比如，在物理学中，特征值与特征向量可以用来描述振动系统的固有频率和振动模态；在工程学中，特征值与特征向量可以用来分析结构的稳定性和响应特性。
特征值与特征向量的计算是一种重要的数学工具，它能够帮助我们理解线性系统的性质，并在实际问题中发挥重要作用。
通过计算特征值与特征向量，我们能够更好地分析和解决问题，为科学研究和工程实践提供有力支持。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
满足 A E 0的数为特征值 方程组( A E)X O的非零解为特征向量。(或基础解系)
例1：求矩阵A的特征 值与特征向量。
1
2
2
A 2 2 4
2 4 2
解：
1 A E 2
2
2
2
4
2 4
2
1 2 2 A 2 2 4
2 4 2
(1 )(2 )2 16 16 4(2 ) 16(1 ) 4(2 ) (1 )(4 4 2 ) 24 32
T
T
3
求特征值与特征向量的步骤：
1.解 A E 0求出的值；即得到特征值；
2.对每一个，求方程组( A E) X O的基础解系；
即得到属于这个特征值的全部线性无关的特征向量。
练习
5 1 3
C 1
5 3, r(C) 2, a ?
3 3 a
=0是C的特征值吗？为什么？
a 3.
例2：求矩阵B的特征 值与特征向量。
矩阵的特征值与特征向量
1.定义2：设A是n阶矩阵，为一个数，若存在非零向量， 使A ，则称数为矩阵A的特征值，非零向 量为矩阵A的对应于特征值的特征向量。
特征向量为非零向量！
2.矩阵的特征值与特征向量的求法： A , O.
A (A E) O,
是方程组(A E)X O的非零解, A E 0.
2x2
2x3
0
1 (2,1, 0)T ,2 (2, 0,1)T
为属于特征值2的线性无关的特征向量；其全部特征向量为
k11 k22（, k1, k2不全为零）。
同理可求3 7的特征向量为3 (1，2，2)T .
其全部特征向量为k3(k 0).
12
((22, 0,1,1, 0))T,,3(1，(1，2，2，22) )T线线性性无无关关。
1
1
0
B 4 3 0
1 2 1,3 2.
1 0 2
对1 2 1,
2 1 0 1 0 1
B
E
4
1
2 0
0 1
பைடு நூலகம்
0 0
1 0
2
,
1
(1,
2,
1)T
.
0
线性无关 的特征向 量只有一个
对3 2,
3
B
2E
4
1 1
0 1
0
4
0 1
0 1 0 0
0 1
0 1 0 0
3 32 24 28.
经试根知，2是一个根。故
上式 ( 2)(2 5 14) ( 2)( 7)( 2)
1 2 2,3 7
对1 2 2, (解( A 2E) X O)
1 2 A 2E 2 4
2 1 2 4 0 0
2
4 4
0
0
2
0
x1
0 1
0 0
1 0 0 3 1 0
0
1 0
0 0 0
x1
0,
x2
0,
x3任意。
3
(0，0，1) . T
1 (1,2, 1)T，3 (0，0，1)T 线性无关.
求特征值与特征向量的步骤：
1.解 A E 0求出的值；即得到特征值；
2.对每一个，求方程组( A E) X O的基础解系
即得到属于这个特征值的线性无关的特征向量。
问题 矩阵的k重特征值是否一定有k个线性无关的特征向量？