等差数列和等比数列的总结与联系

等差数列和等比数列的综合及其联系

课题设计背景：

数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型，研究等差数列的通项、性质以及求和公式，并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。

课题设计目标：

（1）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式；

（2）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式；体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。

例题分析： 1、已知(),

f x =

利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法，求和：

(5)(4)(3)...(5)f f f f

f -+-+-+++的值

2、已知公差不为零的等差数列{n a }中，236,,a a a 组成等比数列的连续三项，求公比q

3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== （1）求1a 和d 的值；（2）16b 是不是数列{}n a 中的项，为什么？

（二）等差数列和等比数列之间的转化

结论：

（1）{}n a 成等差数列，则{}(0,1)n

a c

c c >≠成等比数列；

（2）正项数列{}n a 成等比数列，则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列，再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析：

1、 已知数列)}({*

N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比，以11(0)a a >为首项的等比数列，求

12lg lg ...lg n a a a +++

2、 若数列)}({*

N n a n ∈是等差数列，则有数列*123......,()n

n a a a a b n N n

++++=

∈

也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列)}({*

N n c n ∈是等比数列，且0>n c ，则

有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。

3、 设)}({*

N n a n ∈是等差数列，12n

a n

b ⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

，已知123123211

,,88

b b b b b b ++=

=求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。

（三）学法总结：

（四）课后反思：

学案

（一） 例题分析：

等差数列与等比数列综合： 题组一：1、已知()

f x 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法，求和：

(5)(4)(3)...(5)(6)f f f f f -+-+-+++的值

2、已知公差不为零的等差数列{n a }中，236,,a a a 组成等比数列的连续三项，求公比q

3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== （1）求1a 和d 的值；（2）16b 是不是数列{}n a 中的项，为什么？

（二）等差数列和等比数列之间的转化 结论：（1）{}n a 成等差数列，则{}(0,1)n

a c

c c >≠成等比数列；

（2）正项数列{}n a 成等比数列，则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列，再还原成等比数列写出有关结论。 题组2：

4、 已知数列)}({*

N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比，以11(0)a a >为首项的等比数列，求

12lg lg ...lg n a a a +++

5、 若数列)}({*

N n a n ∈是等差数列，则有数列*123......,()n

n a a a a b n N n

++++=

∈

也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列)}({*

N n c n ∈是等比数列，且0>n c ，则

有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。

6、 设)}({*

N n a n ∈是等差数列，12n

a n

b ⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

，已知123123211

,,88

b b b b b b ++=

=求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。

课后练习：

（一）选择和填空题：

1、在等比数列{a n }中，公比为q （q ≠±1），则数列a 2, a 4, a 6, …，a 2n ,……的前n 项和T n 为

（ ） A 、2211)1(q q a n -- B 、2221)1(q q a n -- C 、2

11)1(q

q a n -- D 、221)1(q q a n -- 2、等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠1，前n 项之和为S n ，则数列{n

a 1

}的前n 项之和为（ ）

A 、n S 1

B 、n n S q 1

C 、1-n n q S

D 、n

n S q

3、已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a ++++= ，则有 （ ）

A 、11010a a +>

B 、21000a a +< ；

C 、3990a a += ； D.5151a =

4、若数列{}n a 的前n 项和为S ｎ＝3n +a ，若数列{}n a 为等比数列，则实数a 的取值是（ ） A 、3 B 、 1 C 、 0 D 、-1

5、等比数列}{n a 中，已知5,1087654321-=+++=+++a a a a a a a a ，则数列}{n a 的前16项和S 16为（ ）

A ．－50

B ．

4

25 C ．

4

125

D ．4

25-

6、已知数列{}n a 是非零等差数列，又1a 、3a 、9a 组成一个等比数列的前三项，则

139

2410

a a a a a a ++=++

7、若数列22331,2cos ,2cos ,2cos ,θθθ 前100项之和为0，则θ= 。

8、已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项和为170，则这个数列的公比等于 ，项数等于 。

9、若数列)}({*

N n a n ∈是等差数列，100a =， 则有121219

......(19,)n n a a a a a a n n N *-+++=+++<∈类比上述性质，相应地：若数列

*

{}()n b n N ∈是等比数列，且91b =，则有等式 成立。

（二）综合题

1、已知数列{}n a 、{}n b 满足：121,a a a ==(a 为常数)，且1n n n b a a +=⋅，其中1,2,3n = （1）若{}n a 是等比数列，试求数列{}n b 的前n 项和n S 的公式；

（2）当{}n b 是等比数列时，甲同学说：{}n a 一定是等比数列；乙同学说：{}n a 一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？

2、在等比数列{}n a 中，1633a a +=，3432a a ⋅=，1n n a a +<， （1）求n a ；

（2）若12lg lg lg n n T a a a =+++ ，求n T .