基本不等式与线性规划

基本不等式与线性规划
不等式(二)
一.基本不等式(ab
b a 2
≥+一正:两个数或式子必须都为
正数. 二定;必须有和定或积定
三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等)
积定,和有最小( 1.设41
4,4-+-=>x x y x 2.设
4
1
,4-+
=>x x y x 3.1,1>>b a ,则a
b b a
log log
+的最小为 ．4.下列函数中，最小值为22的是 （ ）
A ．x x y 2+=
B ．)0(sin 2
sin π<<+=x x
x y C ．x
x
e e
y -+=2
D ．2
log 2log
2
x x y +=
5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋x
1 B ．y= sinx ＋x
sin 1
,x ∈(0,2π) C ．y=
2
32
2++x x
D ．y=
x
x 1
+
6.若lg x ＋lg y ＝2，则x
1＋y 1
的最小值为( ) A ．201 B ．51 C ．2
1
D ．2
7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t
t t y 142+-=
的最小值
为 ． 8.若1<x ,则
2
22
22-+-=
x x x y 有( )
A.最小1
B.最大1
C.最大1-
D.最小1-
9.已知),0,0(1>>=+y x y x 则y
x 2
1+的最小 ． (09.天津)设0,0>>b a ,若3是a 3与b 3的等比中项,则b
a 1
1+的最小值为( )
A ．8
B ．4
C ．1
D ．4
1 已知312,0,0=+>>y x y x ,则y
x 11+的最小 ． 若实数a 、b 满足的最小值是则b a
b a 22,2+=+
（ ） A ．8 B ．4 C ．22 D ．4
22 和定,积有最大(和定的判断依据:相反符号)
1.设
,
20<<x 则函数
)
38(3x x y -=的最大值
为 ． 2.设,20<<x 则函数)
38(x x y -=
的最大值为 ．
3.建造一个容积83
m ，深为m 2长的游泳池，若池
底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则游泳池的最低总造价为__________元。

基本不等式与一元二次不等式的综合
1.(10.淅江)若正实数y x ,满足xy y x =++62,则xy 的最小值是 .
2.(10.重庆)已知822,0,0=++>>xy y x y x ,则y x 2+的最小值是( )
A ．3
B ．4
C ．2
9 D ．2
11 _______
23,1,的最小值为则满足若正数b a ab b a b a +=++
分析:时
当且仅当又即)22()33(5
345)1(2)1(32
5)22()33(232
)1)(1(,1-=-+=+-⋅-≥+-+-=+=--=++b a b a b a b a b a ab b a
基本不等式与不等式性质综合 对任意0>x ,不等式a x x
x
≤++4
32
恒成立,则实数a 的取
值( )
A.),81[+∞
B.),71[+∞
C.]71,0(
D.]81
,0(
二. 二元一次不等式
1.画出062<--y x 的区域
2.不等式组⎩⎨
⎧<+-≥+-0
2063y x y x 表示的平面区域是( )
3.画出不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥+≥43430
y x y x x 所表示的平面区域
4.画出不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤≤≤≤≥-+≥+-4
0310105y x y x y x 对应的平面区域
A
B C
D
线性规划的最值：不涉及“整点”、“含参”、“虚边界”的线性规划问题，将可行域的多边形顶点坐标（利用解方程组求解交点坐标）直接代入目标函数，比较各值取相应最值。

1.(10.重庆)设变量y x ,满足约束条件
⎪⎩
⎪
⎨⎧
≤--≥-≥02200y x y x x ,则
y
x z 23-=的最大值为( )
A.0
B.2
C.4
D.6
2.(09.淅江)若实数y x ,满足不等式组
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≤-≥+0422y x y x y x ,则
y
x 32+的最小值为 .
(11.广东)在平面直角坐标系xoy 上的区域D 由不等式组
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤≤y x y x 2220给定,若),(y x M 为D 上的动点,点A 的
坐标为)
1,2(
,则OA OM z ⋅=的最大值为( )
A.24
B.23
C.4
D.3
已知y x ,满足不等式组221
10x y x y y ⎧+≤⎪
+≤⎨⎪≥⎩
,则Z x y =-的取值范围
为
线性规划的整点问题：处理整点问题先将目标直
线b
Z x b a y by ax Z +-=⇒+=按方向（向下向上,0;,0<>b b ）平移至可行域中“临界点”
①若临界点在可行域内且为整点，则最优解即为该临界点；
②若临界点为不可取边界点或不为整点，则以该“临界点”为中心划“网格”找出离“临界点”最近的整数点
1.某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和
y
满足约束条件
⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-≥-625
2x y x y x ，则该校招聘的教师最多
名。

2.（1
3.广东)给定区域D
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≥+0444x y x y x ,令点集
{}y
x z Z y x D y x T +=∈∈=,,|),(0000是T 上取得最大或最小值
的点,则T 中的点共有 个,由这些点可以确定 条直线.
3.(2011·浙江理，)设实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －5>02x ＋y －7>0x ≥0，y ≥0，若x 、y 为整数，则3x ＋4y 的最小值为________．
含参的线性规划问题：①参数决定了直线的斜率.此时含参的直线恒过一”定点”,策略:将含参直线绕”定点”旋转,在直线旋转过程中寻找满足条件的位置(临界线),再利用满足的条件解”参数”值. ②参数不影响直线的斜率.此时含参的直线斜率恒为定值.含参直线为一簇”平行线”中某一条,策略:平移定斜率的直线至满足条件的位置(临界线),再利用条件求此临界线的参数值.
若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40,280,,x y x y x m ++>⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
则实数m 的取值范围是
A. ()1,-+∞
B. [)1,-+∞
C. (),1-∞-
D. (],1-∞- (14.湖南)若变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≤k y y x x
y 4，且y
x z +=2的最小值为6-，则____=k . 若,x y
满足条件
3560
23150,3,0x y x y x y Z ax y y -+≥⎧⎪
+-≤===-⎨⎪≥⎩
当且仅当时取得最小值,则实数a 的
取值范围是__________.(2335
a -<<)
(北京)关于y x ,的不等式组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤+≥≤+≥-a
y x y y x y x 0220
表示的平面区域
为一个三角形,则a 的范围为( )
3
4
.≥
a A
1
0.≤<a B
3
41.≤
≤a C
3
410.≥
≤<a a D 或
(2010·浙江)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝________． (14.北京)若实数x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥+-≥-+0020
2y y kx y x 且x y z -=的最小
值为4-,则k 的值为( )
2
.A
2
.-B
2
1.
C
2
1.-
D
3.(2013·高考浙江卷)设z ＝kx ＋y ，其中实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实
数k ＝________．
(14.淅江)当实数y x ,满足
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤--≤-+101042x y x y x 时,41≤+≤y ax 恒成
立,则实数a 的取值范围是_____________.]2
3
,1[
线性规划与基本不等式的综合
设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，
若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，求2a ＋
3b 的最小值为．
已知正数
231,1,,25,,5520x y a b x y x y Z ax by a b y -≤⎧⎪+=+≥=+⎨⎪-≤⎩满足实数满足则当34a b +取最小值时Z 的最大值为_________
(分析:319
412334()(34)5555555b a a b a b a b a b
+=++=+++≥)
线性规划与几何概率的综合
(10,佛山)已知
{}{},
,02,0,4|),(,0,0,6|),(≥-≥≤=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x 若向区
域Ω上随机投一点P,则点P 落入区域A 的概率
( ) A.92 B.32 C.31 D.9
1 (14.湖北)由不等式
⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩
⎨⎧-≥+≤+21y x y x 确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ） A.81 B.41 C. 43 D.8
7 线性规划与二次函数零点综合
关于x 的方程2(1)10(0,,)x
a x a
b a a b R +++++=≠∈的两个根为12,x x ,若12012,x x <<<<则b a
的取值范围是( ) A.
4(2,)5-- B. 34(,)25-- C. 52(,)43-- D.
51(,)42-- (07.宁夏)设有关于x 的一元二次方程0222=++b ax x
(1)若a 是从3,2,1,0四个数中任取一个数,b 是从2,1,0三个数中任取一个,求上述方程有实根的概率;
(2)若a 是从]3,0[中任取一个数,b 是从]2,0[中任取一个,求上述方程有实根的概率.。