第二章 矩阵及其计算

第二章 矩阵及其计算

2.1矩阵的基本概念 2.1.1矩阵的定义

n m ⨯个数ij a (n j m i ,,2,1,,2,1 ==；)排成m 行n 列的表格：

⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 2

1

2222111211称为n m ⨯矩阵，简记为英文字母（如：A ）、阿拉伯字母

（如：α）或()n m ij a ⨯. 2.1.2几类特殊的矩阵 (1)行矩阵

只有一行的矩阵：[]n a a a 21称为行矩阵.

(2)列矩阵

只有一列的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n a a a 2

1称为列矩阵.

(3)零矩阵

如果矩阵A 中所有元素都是0，则称其为零矩阵，记作0. (4)方阵

如果矩阵A 中n m =，则称n 阶矩阵或方阵，记作n A . (6)阶梯矩阵

若矩阵A 的零行（元素全为0的行）在最下方且非零首元（即非零行的第一个不为零的元素）的列标号随行标号的增加而严格递增，则称此矩阵A 为阶梯形矩阵.

例如：⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-000

23002250

1202

. (7)转置矩阵

将矩阵A 的行列互换得到新的矩阵称为转置矩阵,记为T A . (8)矩阵的k 阶子式

设A 是一个n m ⨯矩阵，A 的任意的k 行与k 列(n k m k ≤≤,)交叉处的2k 个元素，按原来的次序所构成的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式.

注：n 阶行列式A 的顺序主子式为：由i —1(n i ,,2,1 =)行和i —1(n i ,,2,1 =)列所确定的子式. （9）矩阵的顺序主子式

设A 为n n ⨯ 阶矩阵，子式),,2,1(2

1

22221112

11

n i a a a a a a a a a D ii

i i i i

i ⋯=⋯⋯⋯=

称为A 的i 阶顺

序主子式。 对于

阶的矩阵A ，其共有n 阶顺序主子式，即矩阵A 的顺序主子式由

n D D D ,,,11⋯共n 个行列式按顺序排列而成。 2.1.3几种特殊的方阵 (1)对称矩阵

设A 是n 阶矩阵，若T A A =,即ji ij a a =(j i ,∀),则称A 为对称矩阵. (2)反对称矩阵

设A 是n 阶矩阵，若T A A -=,即ji ij a a -=(j i ,∀),则称A 为反对称矩阵. (3)对角矩阵

设A 是n 阶矩阵，若0=ij a (j i ≠∀),则称其为对角矩阵,记为Λ.

注：若对角矩阵的主对角线上元素都是1，称为n 阶单位矩阵，记为E (若要强调其阶数，则记为n E ).且对于n 阶方阵A ，规定E A =0. (4)逆矩阵

设A 是n 阶矩阵，若存在n 阶矩阵B ,使E BA AB ==,则称A 是可逆矩阵，B 是A 的逆矩阵，A 的逆矩阵唯一，记为1-A . 注：①AB 称为矩阵A 和B 的乘积;

②矩阵A 可逆的充要条件是0≠A .

证：若A 可逆，则E AA =-1,故11

1===--E A A AA （参见2.2），所以0≠A ；

若0≠A 时，由于E A A A AA ==*

*

（参见2.2），所以E A A A A A A =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**,由逆矩阵的定义可知A 可逆. (5)正交矩阵

设A 是n 阶矩阵，若E A A AA T T ==,则称A 是正交矩阵.

注：正交向量的充要条件：A 的行(列)向量是两两正交的单位向量(参见3.1.2). (6)伴随矩阵

设A 是n 阶矩阵，则行列式A 的各元素ij a 的代数余子式ij A 所构成的n 阶矩阵

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n

n

n n A A A A A A A A A L

M M M L L 212221212111称为A 的伴随矩阵，记为*A .

2.2矩阵的计算 (1)加法

设()ij a A =，()ij b B =是两个n m ⨯矩阵，则n m ⨯矩阵()()()ij ij ij b a c C +==称为矩阵A 和B 的和，记为C B A =+. (2)数乘

设()ij a A =是两个n m ⨯矩阵，k 是一个常数，则n m ⨯矩阵()ij ka 称为数k 与矩阵A 的数乘，记为kA . (3)乘法

设()ij a A =是两个n m ⨯矩阵，()ij b B =是两个s n ⨯矩阵，那么s m ⨯矩阵()ij c C =，其中()∑==++=n

k kj ik j i j i j i ij b a b a b a b a c 1112211 ，称为矩阵A 和B 的乘积，记为

C AB =.

注：①矩阵的乘法不满足交换律：BA AB ≠,其中A ,B 都为n 阶行列式；

②矩阵的乘法满足结合律：()()BC A C AB =,其中()

n

m ij

a A ⨯=，()

p

n ij

b B ⨯=，

()q p ij c C ⨯=.

(4)矩阵计算的一些重要结论（证明略）

①B A AB =； ②()T T T A B AB =； ③()1

1121121----=A A A A A A s s ； ④E A A A AA ==*

*.

【例2.1】已知⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=101110111B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=654321C ，求矩阵A 使得C AB =. 解：由于01≠=B ,所以B 可逆，且⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢

⎢⎣⎡---==*

-1111010111B B B

， 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-1231201111010116543211

CB

A . 【例2.2】已知⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1643388143131562231X ，求X . 解：设⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣⎡=33

3

222

111

z y x z y x z y x X ， 所以对于⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1643388143131562231

33

3

22

2111z y x z y x z y x ，有： 16

335621

23 438562423 338562323321

321321321321321321321321，，，

⎪⎩⎪

⎨⎧=+--=++-=++⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++=++⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++=++z z z z z z z z z y y y y y y y y y x x x x x x x x x 解得：⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+---=5021134313v u t v u t X ，其中t ，u ，v 为任意常数. 2.3矩阵的初等变换