2021年沈阳市中考数学模拟试卷及答案解析

2021年沈阳市中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．下列各数中最大的数是（）A．5B．C．πD．﹣82．随着“一带一路”建设的不断发展，我国已与多个国家建立了经贸合作关系，去年中哈铁路（中国至哈萨克斯坦）运输量达8200000吨，将8200000用科学记数法表示为（）A．8.2×105B．82×105C．8.2×106D．82×1073．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．三棱柱B．三棱锥C．圆锥D．圆柱4．不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．下列计算正确的是（）A．x4+x4＝2x8B．x3•x2＝x6C．（x2y）3＝x6y3D．（x﹣y）（y﹣x）＝x2﹣y26．点P（4，3）关于y轴的对称点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．已知点A（﹣2，y1），B（﹣4，y2）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2的大小关系（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定8．如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1＝38°，则∠BPD为（）A．162°B．152°C．142°D．128°9．某同学5次数学小测验的成绩分别为（单位：分）：90，85，90，95，100，则该同学这5次成绩的众数是（）A．90 分B．85 分C．95 分D．100 分10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论正确的是（）A．当x＜2时，y随x增大而增大B．a+b+c＜0C．抛物线过点（﹣4，0）D．4a+2b+c＝0二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）分解因式：x4﹣2x2y2+y4＝．12．（3分）如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为．13．（3分）如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE＝AB，则∠BEA的度数是度．14．（3分）口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是．15．（3分）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，∠BAC的平分线交⊙O于D，若∠ABC＝40°，则∠ABD＝度．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABE沿着AE折叠至△AB'E，若BE＝CE，连接B'C，则B′C的长为．三、解答题17．（6分）（π﹣3.14）0+|tan60°﹣3|﹣（）﹣2+．18．（8分）对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．（1）甲组抽到A小区的概率是；（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．19．（8分）某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团A：机器人，B：围棋，C：羽毛球，D：电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，其中图（1）中A所占扇形的圆心角为36°．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；（2）请你将条形统计图补充完整；（3）若该校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团．20．（8分）如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线延长线上，AE＝CF，DE∥BF，∠1＝∠2．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若AD⊥CD，四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．21．（6分）九年级（1）班学生周末从学校出发到某实践基地，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍．求慢车与快车的速度各是多少？22．（10分）如图，在⊙O中，点D是⊙O上的一点，点C是直径AB延长线上一点，连接BD，CD，且∠A＝∠BDC．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝2时，求MN的长．23．（12分）如图，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+与坐标轴交与点A、B．点C在x轴的负半轴上，且AB：AC＝1：2．（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM 的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点，且以AB为边的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．24．（12分）猜想与证明：如图1，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE 在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．25．（12分）已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积S△MCB．（3）在坐标轴上，是否存在点N，满足△BCN为直角三角形？如存在，请直接写出所有满足条件的点N．2021年沈阳市中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．下列各数中最大的数是（）A．5B．C．πD．﹣8【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣8，所以各数中最大的数是5．故选：A．2．随着“一带一路”建设的不断发展，我国已与多个国家建立了经贸合作关系，去年中哈铁路（中国至哈萨克斯坦）运输量达8200000吨，将8200000用科学记数法表示为（）A．8.2×105B．82×105C．8.2×106D．82×107【解答】解：将8200000用科学记数法表示为：8.2×106．故选：C．3．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．三棱柱B．三棱锥C．圆锥D．圆柱【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故选：C．4．不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵x+1≥2，∴x≥1．故选：A．5．下列计算正确的是（）A．x4+x4＝2x8B．x3•x2＝x6C．（x2y）3＝x6y3D．（x﹣y）（y﹣x）＝x2﹣y2【解答】解：∵x4+x4＝2x4，故选项A错误；∵x3•x2＝x5，故选项B错误；∵（x2y）3＝x6y3，故选项C正确；∵（x﹣y）（y﹣x）＝﹣x2+2xy﹣y2，故选项D错误；故选：C．6．点P（4，3）关于y轴的对称点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：点P（4，3）关于y轴的对称点坐标为：（﹣4，3），则此点在第二象限．故选：B．7．已知点A（﹣2，y1），B（﹣4，y2）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2的大小关系（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定【解答】解：∵反比例函数y＝（k＞0）中，k＞0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点A（﹣2，y1），B（﹣4，y2）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，且﹣2＞﹣4∴y1＜y2，故选：B．8．如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1＝38°，则∠BPD为（）A．162°B．152°C．142°D．128°【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝38°，∴∠ADP＝∠1＝38°，∵矩形ABCD的对边平行，∴∠BPD+∠ADP＝180°，∴∠BPD＝180°﹣38°＝142°，故选：C．9．某同学5次数学小测验的成绩分别为（单位：分）：90，85，90，95，100，则该同学这5次成绩的众数是（）A．90 分B．85 分C．95 分D．100 分【解答】解：这组数据中90出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数为90分．故选：A．10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论正确的是（）A．当x＜2时，y随x增大而增大B．a+b+c＜0C．抛物线过点（﹣4，0）D．4a+2b+c＝0【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），∴当x＜2时，y随x增大而减小，故选项A错误；该抛物线过点（0，0），当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故选项B正确；当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故选项D错误；当x＝﹣4时，y＞0，故选项C错误；故选：B．二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）分解因式：x4﹣2x2y2+y4＝（x+y）2（x﹣y）2．【解答】解：x4﹣2x2y2+y4＝（x2﹣y2）2＝（x+y）2（x﹣y）2．故答案为：（x+y）2（x﹣y）2．12．（3分）如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为．【解答】解：根据勾股定理得：AC＝＝5，由网格得：S△ABC＝×2×4＝4，且S△ABC＝AC•BD＝×5BD，∴×5BD＝4，解得：BD＝．故答案为：13．（3分）如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE＝AB，则∠BEA的度数是67.5度．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∵AE＝AB，∴∠BEA＝∠ABE＝＝67.5°．故答案为：67.5．14．（3分）口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是0.3．【解答】解：根据概率公式摸出黑球的概率是1﹣0.2﹣0.5＝0.3．15．（3分）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，∠BAC的平分线交⊙O于D，若∠ABC＝40°，则∠ABD＝65度．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠BAC+∠ABC＝90°；∴∠BAC＝50°；∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAC＝25°；∴∠DBC＝∠DAC＝25°；故∠ABD＝∠ABC+∠DBC＝65°．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABE沿着AE折叠至△AB'E，若BE＝CE，连接B'C，则B′C的长为．【解答】解：∵将△ABE沿着AE折叠至△AB'E，∴S△ABE＝S△AB'E，BE＝B'E，∵BE＝CE，∴BE＝EC＝B'E＝3，∴∠BB'C＝90°，在Rt△ABE中，AE＝＝＝5，∵×AE×BB'＝2××AB×BE，∴BB'＝＝，∴B'C＝＝＝，故答案为：．三、解答题17．（6分）（π﹣3.14）0+|tan60°﹣3|﹣（）﹣2+．【解答】解：原式═1+3﹣＝2．18．（8分）对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．（1）甲组抽到A小区的概率是；（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．【解答】解：（1）甲组抽到A小区的概率是，故答案为：．（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的结果数为1，∴甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为．19．（8分）某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团A：机器人，B：围棋，C：羽毛球，D：电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，其中图（1）中A所占扇形的圆心角为36°．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次被调查的学生共有200人；（2）请你将条形统计图补充完整；（3）若该校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团．【解答】解：（1）∵A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，∴这次被调查的学生共有：20÷＝200（人）；故答案为：200；（2）C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人）；补充如图．（3）1000×＝300（人），答：这1000名学生中有300人参加了羽毛球社团．20．（8分）如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线延长线上，AE＝CF，DE∥BF，∠1＝∠2．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若AD⊥CD，四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．【解答】（1）证明：∵DE∥BF，∴∠E＝∠F，在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（AAS）；（2）解：四边形ABCD是矩形．理由如下：∵△AED≌△CFB，∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，∴∠DAC＝∠BCA，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AD⊥CD，∴四边形ABCD是矩形．21．（6分）九年级（1）班学生周末从学校出发到某实践基地，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍．求慢车与快车的速度各是多少？【解答】解：设慢车与快车的速是xkm/h，则快车的速度是1.2xkm/h，根据题意得﹣＝，解得：x＝50，检验：经检验x＝50是原方程的根，答：慢车速度为50千米/小时，快车速度为60千米/小时．22．（10分）如图，在⊙O中，点D是⊙O上的一点，点C是直径AB延长线上一点，连接BD，CD，且∠A＝∠BDC．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝2时，求MN的长．【解答】（1）证明：如图，连接OD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠A+∠ABD＝90°，又∵OD＝OB，∴∠ABD＝∠ODB，∵∠A＝∠BDC；∴∠CDB+∠ODB＝90°，即∠ODC＝90°．∵OD是圆O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；（2）解：∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM，又∵∠A＝∠BDC，∴∠A+∠ACM＝∠BDC+∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，∵∠ADB＝90°，DM＝2，∴DN＝DM＝2，∴MN＝＝2．23．（12分）如图，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+与坐标轴交与点A、B．点C在x轴的负半轴上，且AB：AC＝1：2．（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM 的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点，且以AB为边的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+，当y＝0 时，﹣＝0，解得：x＝1，∴A（1，0），∴OA＝1，当x＝0 时，y＝，∴B（0，），∴OB＝，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝2，∵AB：AC＝1：2，∴AC＝4，∴OC＝3，∴C（﹣3，0）；（2）如图所示，∵OA＝1，OB＝，AB＝2，∴∠ABO＝30°，同理：BC＝2，∠OCB＝30°，∴∠OBC＝60°，∴∠ABC＝90°，分两种情况考虑：①若M在线段BC上时，BC＝2，CM＝t，可得BM＝BC﹣CM＝2﹣t，此时S△ABM＝BM•AB＝×（2﹣t）×2＝2﹣t（0≤t＜2）；②若M在BC延长线上时，BC＝2，CM＝t，可得BM＝CM﹣BC＝t﹣2，此时S△ABM＝BM•AB＝×（t﹣2）×2＝t﹣2（t≥2）；综上所述，S＝；（3）存在．若AB是菱形的边，如图2所示，在菱形AP1Q1B中，Q1O＝AO＝1，所以Q1点的坐标为（﹣1，0），在菱形ABP2Q2中，AQ2＝AB＝2，所以Q2点的坐标为（1，2），在菱形ABP3Q3中，AQ3＝AB＝2，所以Q3点的坐标为（1，﹣2），综上，满足题意的点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2）或（﹣1，0）．24．（12分）猜想与证明：如图1，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE 在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为DM＝ME，DM⊥ME．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．【解答】猜想：DM＝ME证明：如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM＝∠HAM，又∵∠FME＝∠AMH，FM＝AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM＝EM，在RT△HDE中，HM＝EM，∴DM＝HM＝ME，∴DM＝ME．（1）如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是正方形，∴AD∥EF，∴∠EFM＝∠HAM，又∵∠FME＝∠AMH，FM＝AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM＝EM，在RT△HDE中，HM＝EM，∴DM＝HM＝ME，∴DM＝ME．∵四边形ABCD和CEFG是正方形，∴AD＝CD，CE＝EF，∵△FME≌△AMH，∴EF＝AH，∴DH＝DE，∴△DEH是等腰直角三角形，又∵MH＝ME，故答案为：DM＝ME，DM⊥ME．（2）如图2，连接AC，∵四边形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE＝45°，∠FCA＝45°，∴AC和EC在同一条直线上，在Rt△ADF中，AM＝MF，∴DM＝AM＝MF，∠MDA＝∠MAD，∴∠DMF＝2∠DAM．在Rt△AEF中，AM＝MF，∴AM＝MF＝ME，∴DM＝ME．∵∠MDA＝∠MAD，∠MAE＝∠MEA，∴∠DME＝∠DMF+∠FME＝∠MDA+∠MAD+∠MAE+∠MEA＝2（∠DAM+∠MAE）＝2∠DAC＝2×45°＝90°．∴DM⊥ME．25．（12分）已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积S△MCB．（3）在坐标轴上，是否存在点N，满足△BCN为直角三角形？如存在，请直接写出所有满足条件的点N．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），C（0，5），（1，8），则有：，解得．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5．（2）令y＝0，得（x﹣5）（x+1）＝0，x1＝5，x2＝﹣1，∴B（5，0）．由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，得顶点M（2，9）如图1中，作ME⊥y轴于点E，可得S△MCB＝S梯形MEOB﹣S△MCE﹣S△OBC＝（2+5）×9﹣×4×2﹣×5×5＝15．（3）存在．如图2中，∵OC＝OB＝5，∴△BOC是等腰直角三角形，①当C为直角顶点时，N1（﹣5，0）．②当B为直角顶点时，N2（0，﹣5）．③当N为直角顶点时，N3（0，0）．综上所述，满足条件的点N坐标为（0，0）或（0，﹣5）或（﹣5，0）．。