中国石油大学(华东)2014-2015-2工科高等数学(2-2)期末试卷A答案

Ａ卷

2014—2015学年第二学期

《高等数学（2-2）》期末试卷

参考答案与评分标准

( 工科类)

专业班级

姓名

学号

开课系室基础数学系

考试日期2015 年6月29日

注意事项：

1．本试卷共八道大题，包括基础达标题（第一到四题），综合提高题（第五到七题），应用拓展题（第八题），满分100分；

2. 本试卷正文共8页，其中第8页第1题仅供80学时者做，第2题仅供96学时者做；

3．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；试卷本请勿撕开，否则作废。

一、辨析题（共3小题，每小题4分，共计12分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“⨯” ；如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明.

1. 若正项级数

∑∞

=1n n

a

收敛，则

∑

∞

=1

2

n n a 也收敛. （ √ ） ……（2分）

解：由正项级数

∑∞

=1

n n

a

收敛，得0lim =∞

→n n a

因此存在0>M ，使得M a n <. 故n n

Ma a <2，由比较判别法得

∑∞

=1

2n n a 收敛. ……（2分）

2．设直线⎩

⎨⎧=+--=+++031020

123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L 垂直于平面π.

（√）

……（2分）

解：直线L 的方向向量为}7,14,28{10

1223

1--=--=k j i s

， 平面π的法向量为}1,2,4{-=n

.由于

1

7

214428-=-=-， 故n s

//，因此直线L 垂直于平面π.……（2分）

3．函数),(y x f 在),(00y x 处两个偏导数),(),,(0000y x f y x f y x ''都存在，则),(y x f 在),(00y x 处一定连续. （ ⨯ ）

……（2分）

解：设⎪⎩⎪

⎨⎧=≠+=)0,0(),(,

0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy

y x f ，在)0,0(处，0)0,0()0,0(='='y x f f ，但是)

,(y x f 在)0,0(处不连续. ……（2分）

1．设1:2

2

=+y x L ，则

=⎰ds x L

0 ，

=⎰

ds y L

2π, =+⎰

ds y x L

)(22π2.

2. 交换积分次序：

=

+⎰

⎰⎰

⎰-2

20

2

1

10

),(),(x x x

dy y x f dx dy y x f dx ⎰

⎰-+2

2

111

),(y y dx y x f dy .

3. 写出下列积分在极坐标系下的二次积分形式：

=

⎰

⎰

-2

1

),(x x dy y x f dx ⎰

⎰

θ

π

θθθcos 0

20

)sin ,cos (dr r r rf d .

4. x

e x

f 2)(=关于x 的幂级数展开式为),(,!

20+∞-∞∈∑∞

=x x n n n

n .

5. 设⎩

⎨⎧≤<≤<-=10,01,2)(3x x x x f ，则以2为周期的傅立叶级数在1=x 处收敛于23

.

1. 已知),ln (y x y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz 和

y

x z

∂∂∂2. 解：

21ln f y f x

z

'+⋅'=∂∂, 21f y x f y z '-⋅'=∂∂, ……（2分） dy f f y

x

dx f y f dz )(

)ln (2121'-'+'+'= ……（1分） 222111211

21ln )(f y

x

f f y y f y x f y x z ''-⋅''+'+⋅''-⋅''=∂∂∂ 221211

1)ln (ln 1f f y y

x

f y y x f y ''-''-+''+'=

……（2分）

2. 求曲线⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧+=+==Γ⎰t t u e z t t y udu

e x 301cos sin 2cos ： 在0=t 处的切线和法平面方程.

解：曲线在0=t 处的切向量是}3,2,1{}

3,sin cos 2,cos {0

3=-==t t

t

e t t t e T ……（2分）

0=t 时切点坐标为2,1,0===z y x .……（1分）

切线方程

3

2

211-=

-=z y x ……（1分） 法平面方程0)2(3)1(2)0(=-+-+-z y x ，即：0832=-++z y x ……（1分）

3. 计算曲线积分⎰

+++L

dy x y dx y x )()(22，其中L 为圆周122=+y x 从)0,1(到)1,0(的一

段弧.

解：x y Q y x P +=+=2

2

,，

x

Q

y P ∂∂==∂∂1，因此积分与路径无关.……（3分） 原式0)1()1(0

1

21

2=+++=⎰⎰

dx x dy y ……（2分）