线性代数--人民大学出版社-吴赣昌-第三版--课后习题答案

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线性代数课后习题解答第三章习题解答

第三章矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r rr --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

《线性代数》课后习题答案

《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。

（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。

所以有0=a 或0=b 。

工程数学：线性代数第三版习题三答案

1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011. (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2+r 3. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00000410003011020201.2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010101.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1210232112201023.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------106126311101042111000010000100001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------10612631110104211.4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ;解因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--412315210 100010001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-4123152101B A X .(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B . 解考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-4741121BA X .5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A , 求X .解原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011100101010110001~,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.例如, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********A , R (A )=3.0000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式.7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样? 解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013(下一步: r 1↔r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211, 矩阵的2秩为, 41113-=-是一个最高阶非零子式.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3-3r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431, 矩阵的秩是2, 71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------023*********63071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3-16r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-023010*********71210 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000100007121002301,矩阵的秩为3, 070023085570≠=-是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2;(3)R (A )=3.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x xx x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====0004321x x x x ,故方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----3127161311423327543~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000001720171910171317301,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x xx x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+83111021322421321321x x x x x x x x ; 解对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--80311102132124~⎪⎭⎫ ⎝⎛----600034111008331,于是R (A )=2, 而R (B )=3, 故方程组无解.(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x ;解对增广矩阵B 进行初等行变换, 有 B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----69141328354214132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000000021101201, 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212,即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x (k 为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412w z y x w z y x w z y x ; 解对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000010002/102/12/11,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x ,即 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数).(4)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312w z y x w z y x w z y x . 解对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----253414312311112~⎪⎭⎫ ⎝⎛----000007/57/97/5107/67/17/101,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171,即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数).14. 写出一个以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1042013221c c x为通解的齐次线性方程组.解根据已知, 可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10420132214321c c x x x x ,与此等价地可以写成⎪⎩⎪⎨⎧==+-=-=2413212211432c x c x c c x c c x ,或 ⎩⎨⎧+-=-=432431432x x x x x x ,或 ⎩⎨⎧=-+=+-04302432431x x x x x x ,这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.15. λ取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x .(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解?解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21111111λλλλλB⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011 ~λλλλλλλλλλr.(1)要使方程组有唯一解, 必须R (A )=3. 因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2≠0. 因此λ=-2时, 方程组无解.(3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R (A )=R (B )<3, 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2=0. 因此当λ=1时, 方程组有无穷多个解.16. 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212222λλx x x x x x x x x当λ取何值时有解？并求出它的解.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112λλB ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(000)1(32110121λλλλ. 要使方程组有解, 必须(1-λ)(λ+2)=0, 即λ=1, λ=-2. 当λ=1时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=121111212112B ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000001101101,方程组解为⎩⎨⎧=+=32311x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧==+=3332311x x x x x x ,即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x (k 为任意常数).当λ=-2时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=421121212112B ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000021102101,方程组解为⎩⎨⎧+=+=223231x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=33323122x x x x x x ,即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x (k 为任意常数).17. 设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1)5(4224)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x .问λ为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解.解 B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------154224521222λλλλ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------)4)(1()10)(1(0011102452λλλλλλλλ. 要使方程组有唯一解, 必须R (A )=R (B )=3, 即必须 (1-λ)(10-λ)≠0,所以当λ≠1且λ≠10时, 方程组有唯一解. 要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 即必须 (1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)≠0, 所以当λ=10时, 方程组无解.要使方程组有无穷多解, 必须R (A )=R (B )<3, 即必须 (1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)=0,所以当λ=1时, 方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为B ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000001221,方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==++-=3322321 1x x x x x x x ,或 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (k 1, k 2为任意常数).18. 证明R (A )=1的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量b T , 使A =ab T .证明必要性. 由R (A )=1知A 的标准形为 )0 , ,0 ,1(001000000001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 即存在可逆矩阵P 和Q , 使)0 , ,0 ,1(001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=PAQ , 或11)0 , ,0 ,1(001--⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=Q P A . 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=-0011P a , b T =(1, 0, ⋅⋅⋅, 0)Q -1, 则a 是非零列向量, b T 是非零行向量, 且A =ab T .充分性. 因为a 与b T 是都是非零向量, 所以A 是非零矩阵, 从而R (A )≥1. 因为1≤R (A )=R (ab T )≤min{R (a ), R (b T )}=min{1, 1}=1, 所以R (A )=1.19. 设A 为m ⨯n 矩阵, 证明(1)方程AX =E m 有解的充分必要条件是R (A )=m ;证明由定理7, 方程AX =E m 有解的充分必要条件是R (A )=R (A , E m ),而| E m |是矩阵(A , E m )的最高阶非零子式, 故R (A )=R (A , E m )=m .因此,方程AX=E m有解的充分必要条件是R(A)=m.(2)方程YA=E n有解的充分必要条件是R(A)=n.证明注意,方程YA=E n有解的充分必要条件是A T Y T=E n 有解.由(1)A T Y T=E n有解的充分必要条件是R(A T)=n.因此，方程YA=E n有解的充分必要条件是R(A)=R(A T)=n.20.设A为m⨯n矩阵,证明:若AX=AY,且R(A)=n,则X=Y.证明由AX=AY,得A(X-Y)=O.因为R(A)=n,由定理9,方程A(X-Y)=O只有零解,即X-Y=O,也就是X=Y.。

人大版线性代数课后习题答案

解：（1） = +
= + =－8+0=－8。
（2） = +
= = －0
= =8。
19、计算下列行列式
（1）；
（2）；
（3）；（4）；
（5）。
解：（1） =
=
=
= 。
（2）将第二、三、四列展开得：
原式=
=
= + =0。
（3） = +
= 。
（4）按第一列展开
= + = 。
（5）按最后一列展开
= + = 。
（1）用矩阵分别左乘给定的
正方形各顶点和各边中点坐标，设得到的点依次为
试作出由这些点构成的平面图形；
（2）考虑矩阵
分别在当和时，用左乘原正方形各顶点和各边中点的坐标，若设所得到的点的坐标和分别作出由这两组点构成的平面图形。
解：(1)以的坐标为列构造28矩阵V，令
则矩阵W的每一列依次为的坐标。如图所示。
又，
所以 = ，
即：。
（4）令AB=C= ，AB=D= ，
其中，
。
显然，当时，，
于是，即。
16、计算下列行列式
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；（8）。
解：（1） = =1。
（2） = = =12。
（3）第一列乘-1加到第二列，并从第二列提取1000，得
D= = 。
（4）设所给的行列式为D，把各行都加到第一行，并在第一行中提取n－1，得
D= = = 。
（5）设所给的行列式为D，把第一列加到第二列，依次把第j-1列加到到第j列（j=1,2，…，n），得

线性代数课后习题答案全）习题详解

线性代数课后习题答案全）习题详解前言因能力有限，资源有限，现粗略整理了《工程数学线性代数》课后习题，希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。

第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ；（4）y x y x x y x yyx y x +++. 解（1）=---381141102811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??-=416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2)1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）7110025*********4；（2）-265232112131412；（3）---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-?---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1 11111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22) 1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(+++++++++++++++ +=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边964412964412964412964412241312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+dd d c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a a d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)11))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =?---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =?-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xa a ax aa a x D n =; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) n nn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 000100000000 00001000 =按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-?-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--?-+n n n a a a(再按第一行展开)n n n nn a a a+-?-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-?-?-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即∏=-=ni i i iin D c b d22)(而 111111112c b d a d c b a D -==得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0 432111111111111111111111 --------------n n n n ,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n (6)nn a a D a +++=11111111121 ,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------100 00100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------000 00000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=--- )11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(545434323212 1x x x x x x x x x x x x x上一页下一页。

工程数学：线性代数第三版习题四答案

1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T=(1-0, 1-1, 0-1)T=(1, 0, -1)T .3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3⨯1+2⨯0-3, 3⨯1+2⨯1-4, 3⨯0+2⨯1-0)T =(0, 1, 2)T .2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得)523(61321a a a a -+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61T T T --+==(1, 2, 3, 4)T .3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------971820751610402230421301~r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----000000531400751610421301~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关. 8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式.解因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0,由此得 2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=,设211λλλ+-=c , 则 b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之. 解不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有a1+b1=(1, 2)T+b1=(0, 1)T, a2+b2=(2, 4)T+(0, 0)T=(2, 4)T,而a1+b1,a2+b2的对应分量不成比例,是线性无关的.10.举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a1,a2,⋅⋅⋅,a m是线性相关的,则a1可由a2,⋅⋅⋅,a m线性表示.解设a1=e1=(1, 0, 0,⋅⋅⋅, 0),a2=a3=⋅⋅⋅=a m=0,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,但a1不能由a2,⋅⋅⋅,a m线性表示.(2)若有不全为0的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性相关.解有不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0,原式可化为λ1(a1+b1)+⋅⋅⋅+λm(a m+b m)=0.取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,⋅⋅⋅,a m=e m=-b m,其中e1,e2,⋅⋅⋅,e m 为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,⋅⋅⋅,a m和b1,b2,⋅⋅⋅,b m 均线性无关.(3)若只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0才能成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性无关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性无关.解由于只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式由λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0成立,所以只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+⋅⋅⋅+λm(a m+b m)=0成立.因此a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,a m+b m线性无关.取a1=a2=⋅⋅⋅=a m=0,取b1,⋅⋅⋅,b m为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关.(4)若a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m=0,λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0同时成立.解a1=(1, 0)T,a2=(2, 0)T,b1=(0, 3)T,b2=(0, 4)T,λ1a1+λ2a2 =0⇒λ1=-2λ2,λ1b1+λ2b2 =0⇒λ1=-(3/4)λ2,⇒λ1=λ2=0,与题设矛盾.11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1,证明向量组b1,b2, b3,b4线性相关.证明由已知条件得a1=b1-a2,a2=b2-a3, a3=b3-a4, a4=b4-a1,于是a1 =b1-b2+a3=b1-b2+b3-a4=b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ⋅ ⋅ ⋅, b r =a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a r , 且向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关. 证明已知的r 个等式可以写成⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , 上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关.13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7).解由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=00000059014110180590590141763451312141) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1T , a 2T , a 3T )=R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例, 故a 1T , a 2T 线性无关, 所以a 1T , a 2T 是一个最大无关组.14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125; 解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~rr r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211. 解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221113142~rr r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------22201512015120122112343~rr r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211,所以第1、2、3列构成一个最大无关组.15. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T 的秩为2, 求a , b . 解设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5200111031116110111031113111332221) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.16. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 已知n 维单位坐标向量e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由它们线性表示, 证明a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关. 证法一记A =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ), E =(e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n ). 由已知条件知, 存在矩阵K , 使E =AK .两边取行列式, 得|E |=|A ||K |.可见|A |≠0, 所以R (A )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.证法二因为e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示, 所以R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )≤R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ),而R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )=n , R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )≤n , 所以R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.17.设a1,a2,⋅⋅⋅,a n是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表示.证明必要性:设a为任一n维向量.因为a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关,而a1,a2,⋅⋅⋅,a n,a是n+1个n维向量,是线性相关的,所以a能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,且表示式是唯一的.充分性:已知任一n维向量都可由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,⋅⋅⋅,e n能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,于是有n=R(e1,e2,⋅⋅⋅,e n)≤R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)≤n,即R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)=n,所以a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关.18.设向量组a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量a k (2≤k≤m),使a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k-1线性表示.证明因为a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,所以存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm,使λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λm a m=0,而且λ2,λ3,⋅⋅⋅,λm不全为零.这是因为,如若不然,则λ1a1=0,由a1≠0知λ1=0,矛盾.因此存在k(2≤k≤m),使λk≠0,λk+1=λk+2=⋅⋅⋅=λm=0,于是λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk a k=0,a k =-(1/λk )(λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λk -1a k -1),即a k 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a k -1线性表示.19. 设向量组B : b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r 能由向量组A : a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s 线性表示为 (b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )=(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s )K , 其中K 为s ⨯r 矩阵, 且A 组线性无关. 证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )=r . 证明令B =(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r ), A =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s ), 则有B =AK . 必要性: 设向量组B 线性无关.由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质, 有r =R (B )=R (AK )≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ), 及 R (K )≤min{r , s }≤r .因此R (K )=r .充分性: 因为R (K )=r , 所以存在可逆矩阵C , 使⎪⎭⎫ ⎝⎛=O E KC r 为K 的标准形. 于是(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )C =( a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s )KC =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r ).因为C 可逆, 所以R (b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )=R (a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r )=r , 从而b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r 线性无关.20. 设⎪⎩⎪⎨⎧+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=-1321312321 n n n n ααααβαααβαααβ,证明向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价. 证明将已知关系写成⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅0111101111011110) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ, 将上式记为B =AK . 因为0)1()1(0111101*********||1≠--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-n K n , 所以K 可逆, 故有A =BK -1. 由B =AK 和A =BK -1可知向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 可相互线性表示. 因此向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价.21. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x -A 2x , 且向量组x , A x , A 2x 线性无关.(1)记P =(x , A x , A 2x ), 求3阶矩阵B , 使AP =PB ;解因为AP =A (x , A x , A 2x )=(A x , A 2x , A 3x )=(A x , A 2x , 3A x -A 2x )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110301000) , ,(2x x x A A ,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110301000B .(2)求|A |.解由A 3x =3A x -A 2x , 得A (3x -A x -A 2x )=0. 因为x , A x , A 2x 线性无关, 故3x -A x -A 2x ≠0, 即方程A x =0有非零解, 所以R (A )<3, |A |=0.22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A , 于是得⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T .因此方程组的基础解系为ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x . 解对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A , 于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T .因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .(3)nx 1 +(n -1)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +2x n -1+x n =0.解原方程组即为x n =-nx 1-(n -1)x 2- ⋅ ⋅ ⋅ -2x n -1.取x 1=1, x 2=x 3= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-n ;取x 2=1, x 1=x 3=x 4= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-(n -1)=-n +1; ⋅ ⋅ ⋅ ;取x n -1=1, x 1=x 2= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -2=0, 得x n =-2.因此方程组的基础解系为ξ1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n )T ,ξ2=(0, 1, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n +1)T ,⋅ ⋅ ⋅,ξn -1=(0, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 1, -2)T .23. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛--=82593122A , 求一个4⨯2矩阵B , 使AB =0, 且 R (B )=2.解显然B 的两个列向量应是方程组AB =0的两个线性无关的解. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=8/118/5108/18/101 82593122~rA , 所以与方程组AB =0同解方程组为⎩⎨⎧+=-=432431)8/11()8/5()8/1()8/1(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(8, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 5)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 8)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 11)T .方程组AB =0的基础解系为ξ1=(1, 5, 8, 0)T , ξ2=(-1, 11, 0, 8)T .因此所求矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=800811511B .24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为ξ1=(0, 1, 2, 3)T , ξ2=(3, 2, 1, 0)T .解显然原方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01233210214321k k x x x x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==14213212213223k x k k x k k x k x , (k 1, k 2∈R ), 消去k 1, k 2得⎩⎨⎧=+-=+-023032431421x x x x x x , 此即所求的齐次线性方程组.25. 设四元齐次线性方程组I : ⎩⎨⎧=-=+004221x x x x , II : ⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x . 求: (1)方程I 与II 的基础解系; (2) I 与II 的公共解.解 (1)由方程I 得⎩⎨⎧=-=4241x x x x . 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 0)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 1)T .因此方程I 的基础解系为ξ1=(0, 0, 1, 0)T , ξ2=(-1, 1, 0, 1)T .由方程II 得⎩⎨⎧-=-=43241x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, -1)T .因此方程II 的基础解系为ξ1=(0, 1, 1, 0)T , ξ2=(-1, -1, 0, 1)T .(2) I 与II 的公共解就是方程III : ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-=+00004323214221x x x x x x x x x x 的解. 因为方程组III 的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000210010101001 1110011110100011~r A , 所以与方程组III 同解的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==-=4342412x x x x x x . 取x 4=1, 得(x 1, x 2, x 3)T =(-1, 1, 2)T , 方程组III 的基础解系为 ξ=(-1, 1, 2, 1)T .因此I 与II 的公共解为x =c (-1, 1, 2, 1)T , c ∈R .26. 设n 阶矩阵A 满足A 2=A , E 为n 阶单位矩阵, 证明R (A )+R (A -E )=n .证明因为A (A -E )=A 2-A =A -A =0, 所以R (A )+R (A -E )≤n . 又R (A -E )=R (E -A ), 可知R (A )+R (A -E )=R (A )+R (E -A )≥R (A +E -A )=R (E )=n ,由此R (A )+R (A -E )=n .27. 设A 为n 阶矩阵(n ≥2), A *为A 的伴随阵, 证明⎪⎩⎪⎨⎧-≤-===2)( 01)( 1)( *)(n A R n A R n A R n A R 当当当. 证明当R (A )=n 时, |A |≠0, 故有|AA *|=||A |E |=|A |≠0, |A *|≠0,所以R (A *)=n .当R (A )=n -1时, |A |=0, 故有AA *=|A |E =0,即A *的列向量都是方程组A x =0的解. 因为R (A )=n -1, 所以方程组A x =0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R (A *)=1.当R (A )≤n -2时, A 中每个元素的代数余子式都为0, 故A *=O , 从而R (A *)=0.28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ; 解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=213 843231x x x x x . 当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=043231x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x . 解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B . 与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x . 当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(-9, 1, 7, 0)T.ξ2=(1,-1, 0, 2)T.29.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知η1,η2,η3是它的三个解向量.且η1=(2, 3, 4, 5)T,η2+η3=(1, 2, 3, 4)T,求该方程组的通解.解由于方程组中未知数的个数是4,系数矩阵的秩为3,所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量,且由于η1,η2,η3均为方程组的解,由非齐次线性方程组解的结构性质得2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)= (3, 4, 5, 6)T为其基础解系向量,故此方程组的通解:x=k(3, 4, 5, 6)T+(2, 3, 4, 5)T, (k∈R).30.设有向量组A:a1=(α, 2, 10)T,a2=(-2, 1, 5)T, a3=(-1, 1, 4)T,及b=(1,β,-1)T,问α,β为何值时(1)向量b不能由向量组A线性表示;(2)向量b能由向量组A线性表示,且表示式唯一;(3)向量b能由向量组A线性表示,且表示式不唯一,并求一般表示式.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11054211121) , , ,(123βαb a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++---βαβαα34001110121 ~r . (1)当α=-4, β≠0时, R (A )≠R (A , b ), 此时向量b 不能由向量组A 线性表示.(2)当α≠-4时, R (A )=R (A , b )=3, 此时向量组a 1, a 2, a 3线性无关, 而向量组a 1, a 2, a 3, b 线性相关, 故向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一.(3)当α=-4, β=0时, R (A )=R (A , b )=2, 此时向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一.当α=-4, β=0时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1105402111421) , , ,(123b a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000013101201 ~r , 方程组(a 3, a 2, a 1)x =b 的解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c c c c x x x 1312011132321, c ∈R . 因此 b =(2c +1)a 3+(-3c -1)a 2+c a 1,即 b = c a 1+(-3c -1)a 2+(2c +1)a 3, c ∈R .31. 设a =(a 1, a 2, a 3)T , b =(b 1, b 2, b 3)T , c =(c 1, c 2, c 3)T , 证明三直线 l 1: a 1x +b 1y +c 1=0,l 2: a 2x +b 2y +c 2=0, (a i 2+b i 2≠0, i =1, 2, 3) l 3: a 3x +b 3y +c 3=0,相交于一点的充分必要条件为: 向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.证明三直线相交于一点的充分必要条件为方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333222111c y b x a c y b x a c y b x a , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+333222111c y b x a c y b x a c y b x a 有唯一解. 上述方程组可写为x a +y b =-c . 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c 能由a , b 唯一线性表示, 而c 能由a , b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.32. 设矩阵A =(a 1, a 2, a 3, a 4), 其中a 2, a 3, a 4线性无关, a 1=2a 2- a 3. 向量b =a 1+a 2+a 3+a 4, 求方程A x =b 的通解.解由b =a 1+a 2+a 3+a 4知η=(1, 1, 1, 1)T 是方程A x =b 的一个解.由a 1=2a 2- a 3得a 1-2a 2+a 3=0, 知ξ=(1, -2, 1, 0)T 是A x =0的一个解.由a 2, a 3, a 4线性无关知R (A )=3, 故方程A x =b 所对应的齐次方程A x =0的基础解系中含一个解向量. 因此ξ=(1, -2, 1, 0)T 是方程A x =0的基础解系.方程A x =b 的通解为x =c (1, -2, 1, 0)T +(1, 1, 1, 1)T , c ∈R .33.设η*是非齐次线性方程组A x=b的一个解, ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明:(1)η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关;(2)η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r线性无关.证明(1)反证法, 假设η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关.因为ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关,而η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关,所以η*可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性表示,且表示式是唯一的,这说明η*也是齐次线性方程组的解,矛盾.(2)显然向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r与向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r可以相互表示,故这两个向量组等价,而由(1)知向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关,所以向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r也线性无关.34.设η1,η2,⋅⋅⋅,ηs是非齐次线性方程组A x=b的s个解,k1,k2,⋅⋅⋅,k s为实数,满足k1+k2+⋅⋅⋅+k s=1. 证明x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是它的解.证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηs都是方程组A x=b的解,所以Aηi=b (i=1, 2,⋅⋅⋅,s),从而A(k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs)=k1Aη1+k2Aη2+⋅⋅⋅+k s Aηs=(k1+k2+⋅⋅⋅+k s)b=b.因此x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是方程的解.35.设非齐次线性方程组A x=b的系数矩阵的秩为r,η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1, (其中k1+k2+⋅⋅⋅+k n-r+1=1).证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1均为A x=b的解,所以ξ1=η2-η1,ξ2=η3-η1,⋅⋅⋅,ξn-r=η n-r+1-η1均为A x=b的解.用反证法证:ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.设它们线性相关,则存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn-r,使得λ1ξ1+λ2ξ2+⋅⋅⋅+λ n-rξ n-r=0,即λ1(η2-η1)+λ2(η3-η1)+⋅⋅⋅+λ n-r(ηn-r+1-η1)=0,亦即-(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)η1+λ1η2+λ2η3+⋅⋅⋅+λ n-rηn-r+1=0,由η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1线性无关知-(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)=λ1=λ2=⋅⋅⋅=λn-r=0,矛盾.因此ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r为A x=b的一个基础解系.设x为A x=b的任意解,则x-η1为A x=0的解,故x-η1可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性表出,设x-η1=k2ξ1+k3ξ2+⋅⋅⋅+k n-r+1ξn-r=k2(η2-η1)+k3(η3-η1)+⋅⋅⋅+k n-r+1(ηn-r+1-η1),x=η1(1-k2-k3⋅⋅⋅-k n-r+1)+k2η2+k3η3+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1.令k1=1-k2-k3⋅⋅⋅-k n-r+1,则k1+k2+k3⋅⋅⋅-k n-r+1=1,于是x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1.36.设V1={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T| x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=0}, V2={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T| x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=1},问V1,V2是不是向量空间？为什么？解V1是向量空间,因为任取α=(a1,a2,⋅ ⋅ ⋅,a n)T∈V1,β=(b1,b2,⋅ ⋅ ⋅,b n)T∈V1,λ∈∈R,有a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n=0,b1+b2+⋅ ⋅ ⋅ +b n=0,从而(a1+b1)+(a2+b2)+⋅ ⋅ ⋅ +(a n+b n)=(a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n)+(b1+b2+⋅ ⋅ ⋅ +b n)=0,λa1+λa2+⋅ ⋅ ⋅ +λa n=λ(a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n)=0,所以α+β=(a1+b1,a2+b2,⋅ ⋅ ⋅,a n+b n)T∈V1,λα=(λa1,λa2,⋅ ⋅ ⋅,λa n)T∈V1.V2不是向量空间,因为任取α=(a1,a2,⋅ ⋅ ⋅,a n)T∈V1,β=(b1,b2,⋅ ⋅ ⋅,b n)T∈V1,有a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n=1,b1+b2+⋅ ⋅ ⋅ +b n=1,从而(a1+b1)+(a2+b2)+⋅ ⋅ ⋅ +(a n+b n)=(a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n)+(b1+b2+⋅ ⋅ ⋅ +b n)=2,所以α+β=(a1+b1,a2+b2,⋅ ⋅ ⋅,a n+b n)T∉V1.37. 试证: 由a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 0, 1)T , a 3=(1, 1, 0)T 所生成的向量空间就是R 3.证明设A =(a 1, a 2, a 3), 由02011101110||≠-==A , 知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3是三维空间R 3的一组基, 因此由a 1, a 2, a 3所生成的向量空间就是R 3.38. 由a 1=(1, 1, 0, 0)T , a 2=(1, 0, 1, 1)T 所生成的向量空间记作V 1,由b 1=(2, -1, 3, 3)T , b 2=(0, 1, -1, -1)T 所生成的向量空间记作V 2, 试证V 1=V 2.证明设A =(a 1, a 2), B =(b 1, b 2). 显然R (A )=R (B )=2, 又由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000000013100211 1310131011010211) ,(~r B A , 知R (A , B )=2, 所以R (A )=R (B )=R (A , B ), 从而向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价. 因为向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价, 所以这两个向量组所生成的向量空间相同, 即V 1=V 2.39. 验证a 1=(1, -1, 0)T , a 2=(2, 1, 3)T , a 3=(3, 1, 2)T 为R 3的一个基, 并把v 1=(5, 0, 7)T , v 2=(-9, -8, -13)T 用这个基线性表示.解设A =(a 1, a 2, a 3). 由06230111321|) , ,(|321≠-=-=a a a , 知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3为R 3的一个基. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 1, 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321x x x x x x x x ,解之得x 1=2, x 2=3, x 3=-1, 故线性表示为v 1=2a 1+3a 2-a 3. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 2, 则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321x x x x x xx x ,解之得x 1=3, x 2=-3, x 3=-2, 故线性表示为v 2=3a 1-3a 2-2a 3.40. 已知R 3的两个基为a 1=(1, 1, 1)T , a 2=(1, 0, -1)T , a 3=(1, 0, 1)T ,b 1=(1, 2, 1)T , b 2=(2, 3, 4)T , b 3=(3, 4, 3)T . 求由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵P . 解设e 1, e 2, e 3是三维单位坐标向量组, 则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111001111) , ,() , ,(321321e e e a a a ,1321321111001111) , ,() , ,(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a e e e , 于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=341432321) , ,() , ,(321321e e e b b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-341432321111001111) , ,(1321a a a , 由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1010104323414323211110011111P .。

线性代数习题参考答案

线性代数习题参考答案(总96页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章行列式§1 行列式的概念1．填空(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。

(2) i = ，j = 时，排列1274i56j9为偶排列。

(3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。

若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。

(4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a的项的符号为，含324314516625a a a a a a的项的符号为。

2．用行列式的定义计算下列行列式的值(1)112223323300 0aa aa a解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。

(2)12,121,21,11, 12,100000nn nn n n n n n n n n nnaa aa a aa a a a------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。

3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。

证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。

对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n2n 。

4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么 5．n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少（提示：利用3题的结果） 6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）21141183---（2）222111ab c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。

近世代数(吴品三)习题解答第一章基本概念

第一章基本概念练习§1. 集合子集集合的运算1.设A ={x |x ∈R ,|x |≥5},B ={x |x ∈R ,-6≤x <0},求B A ,B A ,B A \,A B \,并用图形表示出来.[解] (图形略.)B A ={x |x ∈R ,x <0或x ≥5},B A ={x |x ∈R ,-6≤x ≤-5}, B A \={x |x ∈R ,x <-6或x ≥5}, A B \={x |x ∈R ,-5<x <0}.2. 证明:(B A ⊂)⇔(B B A = )⇔(A B A = ).[证] 先证(B A ⊂)⇔(B B A = ).若B A ⊂,则B A x ∈∀,B x ∈.所以B B A ⊂)( ;显然B B A ⊃)( ,故B B A = .反之,若B B A = ,则A x ∈∀,B B A x =∈)( ,故B A ⊂.所以(B A ⊂)⇔(B B A = ).次证(B A ⊂)⇔(A B A = ).若B A ⊂,则A x ∈∀,B x ∈,于是A x ∈∀,有B A x ∈,所以)(B A A ⊂,显然A B A ⊂)( ,所以A B A = .反之,若A B A = ,则A x ∈∀,B A x ∈,于是A x ∈∀,有B x ∈,故B A ⊂.所以(B A ⊂)⇔(A B A = ).综上所述得:(B A ⊂)⇔(B B A = )⇔(A B A = ).3. 证明:B A =⇔B A B A =.[证] 若B A =,则A B A = ,A B A = ,所以B A B A =.反之,若B A B A =,则A x ∈∀,有x ∈B A =B A ,从而B x ∈,所以B A ⊂;同理可证A B ⊂,故B A =所以B A =⇔B A B A =.4. 设n A =(n ,∞),(n ,∞)表示实数轴上的开区间,即(n ,∞)={x |x ∈R , ∞<<x n },n =0,1,2,….求 ∞=0i i A 与 ∞=0i i A[解] 因为 ⊃⊃⊃210A A A ,所以 ∞=0i i A =0A =(0,∞).因为∈∀x R ,存在非负整数n ,使n x ≤.于是n A x ∉, ∞∉i A x ,所以φ=∞= 0i i A .5. 设A ={x |x ∈Z ,x x 32-+2=0},写出A 2. [解] A ={1,2},故A 2={φ,{1},{2},{1,2}}.6. 设A ,B 是U 的子集,规定)\()\(A B B A B A =+,证明:(ⅰ)A B B A +=+; (ⅱ)A A =+φ; (ⅲ)φ=+A A .[证] (ⅰ)因为集合的并适合交换律,故)\()\(A B B A =)\()\(B A A B ,即A B B A +=+.(ⅱ)因为A A =φ\,φφ=A \,所以)\()\(A A φφ =φ A =A ,即A A =+φ.(ⅲ)因为φ=A A \,所以φ=)\()\(A A A A ,即φ=+A A .§2. 映射映射的合成1. 对于下面给出的Z 到Z 的映射f ,g ,h ,f :x x 3 ,g :13+x x ,h :23+x x计算g f ,f g ,h g ,g h ,h g f .[解] g f :39+x x , f g :19+x x , h g :79+x x ,g h :59+x x , h g f :2127+x x .2.对于上题的f ,g ,h 分别求它们的左逆映射.[解] f 的一个左逆映射为1-L f :⎪⎩⎪⎨⎧≠=.3,3,3n x x n x x x 当当 .g 的一个左逆映射为1-L g :⎪⎩⎪⎨⎧+=-+≠.13,31,13,n x x n x x x 当当 .h 的一个左逆映射为1-L h :⎪⎩⎪⎨⎧+=-+≠.23,32,23,n x x n x x x 当当 . 其中n 为任意整数. 3.对于上题的f ,g ,h ,找出f ,g ,h 的共同的左逆映射,即找出Z 到Z 的映射k ,使f k =g k =h k =Z I .[解] 令k :Z →Z ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=-=.23,32,13,31,3,3n x x n x x n x x x 当当当 ,其中n 为任意整数.容易验证,k 是f ,g ,h 的一个共同的左逆映射.4. 对于上题的f ,g ,h ,找出Z 到Z 的一个映射,使其为f ,g 的共同的左逆映射,但不是k 的左逆映射.[解] 令k :Z →Z ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=-=.23,,13,31,3,3n x x n x x n x x x 当当当 ,其中n 为任意整数.容易验证,k 为满足题中要求的映射.5. 设f 是A 到B 映射,g 是B 到C 的映射,f g 有左逆映射,能否证明f ,g 都有左逆映射?[解] 当f ,g 为题设,且f g 有左逆映射,可以证明f 有左逆映射,但g 未必有左逆映射.下面分别加以证明:(ⅰ)f 有左逆映射.设f g 有一个左逆映射k ,于是对于任一A a ∈,有A 到C 的映射)))(((a f g k =a =)(a I .根据映射合成满足结合律得:a a f g k =))()(( ,对A a ∈∀都成立.故g k 为f 的一个左逆映射.(ⅱ)g 未必有左逆映射.例如:A ={1,2},B ={1,2,3},C ={1,2},令f :B A →,x x ;g :C B →,⎩⎨⎧==.313.2,1,i i i i .容易验证,f g 存在左逆映射,但g 不存在左逆映射.6*. 设f 是A 到B 的单射(满射),g 是B 到C 的单射(满射),则f g 是A 到C 的单射(满射).[解] (ⅰ)设f 是A 到B 的单射,g 是B 到C 的单射,则对A a a ∈∀21,,且21a a ≠,有)()(21a f a f ≠,从而))((1a f g ≠))((2a f g ,于是f g 是A 到C 的单射.(ⅱ)设f 是A 到B 的满射,则B A f =)(;g 是B 到C 的满射,则C B g =)(.于是))((A f g =)(B g =C ,所以f g 是A 到C 的满射.7. 设A 表示某四年制大学数学系全体学生所成的集合,B ={1,2,3,4}.对A a ∈∀,规定)(a f 表示a 所在年级,这个f 是不是A 到B 映射?单射?满射?A a ∈∀,))((1a f f -=?设B b b ∈21,,21b b ≠,问)(11b f -∩)(21b f -=? B b b f ∈-)(1=?[解] 根据题意,A a ∈∀是且仅是某一个年级的学生,故)(a f 是B 中唯一确定的元素,所以f 是A 到B 的映射;f 未必是满射,因为未必每个年级都有学生;一般说f 不是单射,因为某年级如有学生,一般不会只有一人.A a ∈∀,))((1a f f -={a 所在年级的全体学生}.当B b b ∈21,,21b b ≠时,)(11b f -∩)(21b f -=φ, B b b f∈-)(1=A .8. 设A =B =Z ,m 是取定的正整数,A a ∈∀,规定r a f =)(,此处r 是a 被m 除所得非负余数:r qm a +=,0≤r <m .f 是不是A 到B 的映射?单射?满射?若取B ={0,1,2,…,m -1},问)0(1-f ,)1(1-f ,…,)1(1--m f 分别由哪些数组成?设B j i ∈,,j i ≠,问)()(11j f i f -- =? B b b f∈-)(1=?[解] 依题意且根据整数的带余除法知,f 是A 到B 的映射,但f 不是单射,也不是满射.设B ={0,1,2,…,m -1},则依题意有:)0(1-f ={x |km x =,k =0,±1,±2,…},)1(1-f ={x |km x =+1,k =0,±1,±2,…},…………………………………………,)1(1--m f ={x |km x =+(m -1),k =0,±1,±2,…}.当B j i ∈,,j i ≠时,)()(11j f i f -- =φ, B b b f∈-)(1=Z .9. 设A 是坐标平面上所有点的集合,B 是x 轴上所有点的集合,A a ∈∀,规定)(a f 表示a 向x 轴作垂线的垂足,这个f 是不是A 到B 的映射?单射?满射?设B b b ∈21,,21b b ≠,问)(11b f -∩)(21b f -=? ))((1a f f -=? B b b f∈-)(1=?[解] 依题意,f 是A 到B 的映射,显然f 是满射,但f 不是单射.设B b b ∈21,,21b b ≠,则:)(11b f -∩)(21b f -=φ,))((1a f f -={)(a f ,y }, Bb b f∈-)(1=A . 10. 设f :B A →,A S ⊆,证明S S f f⊇-))((1,举例说明“=”不一定成立. [解] 设f :B A →,A S ⊆,则S s ∈∀,有)()(S f s f ∈,所以))((1S f f s -∈,S S f f ⊇-))((1.例如:A =B ={0,1,2,…},S ={0}A ⊆,作A 到B 的映射f :A a ∈∀,)(a f =0,显然))((1S f f-=)0(1-f =A ≠S .§3 有限集与可数集1.证明,有限集的任一子集都是有限集;无限集的任一扩集都是无限集.[证] 设A 为有限集,若φ=A ,则结论显然成立.现在设A 非空,则A 的元素可以如下列举出来:1a ,2a ,…,n a .A 的空子集显然是有限集,若B 是A 的非空子集,则B 的元素可以如下列举出来:1i a ,2i a ,…,m i a , m i i i <<< 21.于是B 与自然数的一个断片|1,m |={1,2,…,m }等浓,从而B 是有限集.设A 为无限集,B 是A 的任一扩集.若B 不是无限集,则B 为有限集,从而由前半部证明知,B 的任一子集,特别地,B 的子集A 为有限集,此与假设矛盾.所以B 是无限集.2. 证明,一个有限集与一个可数集的并是一个可数集.[证] 设A ={1a ,2a ,…,n a }为有限集,B ={1b ,2b ,…,n b ,…}为可数集,则A ∪B ={1a ,2a ,…,n a ,1b ,2b ,…,n b ,…}.作f :(A ∪B )→+Z ,⎩⎨⎧=+≤≤.,2,1,,1, j j n b n i i a j i .显然f 是B A 到+Z 上的一一映射,所以B A 与+Z 等浓,从而B A 为可数集.3. 找出自然数集P 的三个与P 等浓的真子集1A ,2A ,3A .[解] 设P ={1,2,3,…},令1A ={全体正奇数},2A ={全体正偶数},}1{\3P A =.1A ,2A ,3A 为P 的真子集,容易看出存在i A (i =1,2,3)到P 上的一一映射,所以i A (i =1,2,3)与P 等浓.4. 证明,坐标平面上所有格子点(即坐标均为整数的点)的集合是可数集.[证] 记所有格子点的集合为A ,即:A ={(a ,b )|a ,b ∈Z}.可将A 的元素排成一个方阵,再按右图所示箭头方向给A 中的元素按自然数顺序编号:这样,A 的元素可利用自然数排列出来,故A 是可数集.5. 证明:开区间(a ,b )与闭区间[a ,b ]等浓.[证] 映射f :a x a b x +-)( 显然是(0,1)到(a ,b ),[0,1]到[a ,b ]的双射.由P.18例4知,(0,1)与[0,1]等浓.设ϕ是(0,1)到[0,1]的双射,则1-f f ϕ是(a ,b )到[a ,b ]的双射,所以(a ,b )与[a ,b ]等浓.注:此题也可以用类似P.18例4的方法,直接作(a ,b )到[a ,b ]的双射.6. 利用例3的方法,证明全体“自然数的无限序列”作成的集合是不可数集.[证] 设A ={X |X =(1a ,2a ,…,n a ,…),i a ∈+Z },显然A 为无限集.假定A 为可数集,则A 的元素可用自然数予以编号,于是A ={1X ,2X ,…,n X ,…},其中1X =(11a ,12a ,…,n a 1,…)2X =(21a ,22a ,…,n a 2,…)…………………………n X =(1n a ,2n a ,…,nn a ,…)…………………………作自然数的无限序列X =(1a ,2a ,…,n a ,…),其中ii i a a =(i =1,2,…,n ,…).显然A X ∈,但X 与1X ,2X ,…,n X ,…中的任一个都不相同,从而产生矛盾.故A 为不可数集.§4 加氏积二元关系与等价关系1. 设*R 表示一切非零实数作成的集合,数目的＋、－、×、÷是不是*R 的代数运算?为什么?n 次方幂,n 次方根是不是*R 的一元运算?为什么?x log 是不是一元运算?为什么?构造*R 的两个三元运算.[解] (ⅰ)数目的×、÷是*R 的代数运算.因为∈∀b a ,*R ,b a ⨯,b a ÷是*R中唯一确定的元素.(ⅱ)数目的＋、－不是*R 的代数运算.因为∈∀a *R ,∈-a *R ,但)(a a -+=0*R ∉,a a -=0*R ∉.(ⅲ)n 次方幂是*R 的一元运算.因为∈∀a *R ,n a 是*R 中唯一确定的元素. (ⅳ)当n 是奇数时,n 次方根是*R 的一元运算;当n 是偶数时,n 次方根不是*R 的一元运算,因为负数在实数范围内不能开偶次方.(ⅴ)x log 不是*R 的一元运算.因为1∈*R ,而*01log R ∉=.(ⅵ)构造*R 的两个三元运算1f ,2f 如下: x z y x f =),,(1,2222),,(z y x z y x f ++=,∀x ,y ,z ∈*R .2. 设A ={a ,b },R ={(a ,a )},R 是否具有反身性?对称性?传递性?反对称性?[解] R 不具有反身性,因为b R b '.但R 具有对称性,传递性,反对称性.3. 设A ={平面上所有直线},规定A 中的二元关系～为:1l ,2l ∈A ,1l ～2l ⇔1l ∥2l 或21l l =.证明,～是A 的一个等价关系,决定相应的等价类.[证] (ⅰ)依题意,A l ∈∀,有l l =,故l ～l .A l l ∈∀21,,由1l ～2l ⇒1l ∥2l 或21l l =⇒2l ∥1l 或12l l =⇒2l ～1l .A l l l ∈∀321,,,由⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⇒=⇒323232212121//~//~l l l l l l l l l l l l 或或⇒3131//l l l l =或⇒1l ～3l . 可见～具有反身性、对称性、传递性,所以～是A 的一个等价关系. (ⅱ)当A l ∈时,由l 决定的等价类为:直线y =kx ={l |A l ∈,l ∥直线kx y =,或l 就是直线kx y =},k 为任意实数; 直线x =0={l |A l ∈,l ∥直线x =0,或l 就是直线x =0}.4. 在复数集C 中,规定二元关系～为:a ～b ⇔a 的幅角=b 的幅角.证明,～是C 的一个等价关系,决定相应的等价类.[证] (ⅰ)∈∀a C ,有a a arg arg =,故a ～a .∈∀b a ,C ,由a ～b ⇒b a arg arg =⇒a b arg arg =⇒b ～a .∈∀c b a ,,C ,由⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⇒=⇒c b c b b a b a arg arg ~arg arg ~⇒c a arg arg =⇒a ～c . 可见～是C 的一个等价关系.(ⅱ)其决定的等价类为:ϕa ={z |∈z C ,πϕk z 2arg +=,k ∈Z },0≤ϕ<2π;与0={0}.5. 设A ={1,2,3,4},在A 2中规定二元关系～为:S ～T ⇔S ,T 含有元素个数相同,证明,这是一个等价关系,写出商集A2/～.[证] 记A 2的元素S 所含元素个数为|S |.A S 2∈∀,则|S |=|S |,故S ～S . A T S 2,∈∀,由S ～T ⇒|S |=|T |⇒|T |=|S |⇒T ～S .AV T S 2,,∈∀,由⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⇒=⇒||||~||||~V T V T T S T S ⇒|S |=|V |⇒S ～V . 可见～是A2的一个等价关系.商集A 2/～={φ,1A ,2A ,3A ,4A },其中 1A ={{1},{2},{3},{4}},2A ={{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}},3A ={{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}},4A =A .6. n F )(表示数域F 上全部n 阶方阵的集合,f 是n F )(到{0,1,2,…,n }上的满射f :(ij a ) (ij a ).求f 决定的等价关系,决定的等价类.[解] 由f 确定的n F )(中的等价关系为:(ij a )～(ij b )⇔))(())((ij ij b f a f =,即秩(a )=秩(b ).决定的等价类为:r A ={X |n ij F x X )()(∈=,秩X =r },r =0,1,2,…,n .7. 设1R ,2R 是A 的两个等价关系,21R R 是不是A 的二元关系?是不是等价关系?为什么?21R R 是不是A 的二元关系?[解] 集A 的二元关系实际上是A A ⨯的子集,而A A ⨯的两个子集之交、之并仍然是A A ⨯的子集,故21R R 、21R R 都是A 的二元关系.若1R ,2R 都是A 的等价关系,则21R R 仍是A 的等价关系.事实上A a ∈∀,由⎭⎬⎫∈∈21),(),(R a a R a a ⇒21),(R R a a ∈. 对A b a ∈∀,,由21),(R R b a ∈⇒⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⇒∈∈⇒∈2211),(),(),(),(21R a b R b a R a b R b a R R 为等价关系为等价关系⇒ 21),(R R a b ∈.同样可证,21R R 具有传递性,所以21R R 是A 的一个等价关系.8. 设1R ,2R 是A 的两个二元关系,规定:21R R ={),(b a |A x ∈∃:1),(R x a ∈,2),(R b x ∈}}.证明,“ ”是A 的一切二元关系所成的集合B 的一个二元关系.[证] 因为21R R 是A A ⨯的一个子集,即21R R 确定了A 的一个二元关系,所以“ ”:2121),(R R R R 是B B ⨯到B 的一个映射,故它是B 的一个二元关系.9. 设n R )(表示实数域R 上一切n 阶方阵的集合.(ⅰ)对于∈B A ,n R )(,规定:∈∃⇔Q P B AR ,1n R )(,|P |≠0,|Q |≠0:B PAQ =.证明,R 是R )(的一个等价关系.等价元素类取怎样的方阵作为代表元,形式最简单?(ⅱ)对于∈B A ,n R )(,规定:∈∃⇔P B AR 2n R )(,|P |≠0:B PAP =-1.证明,2R 是n R )(的一个等价关系.等价元素类取怎样的方阵作为代表元,形式最简单?(ⅲ)对于∈B A ,n R )(,规定:∈∃⇔P B AR 3n R )(,|P |≠0:B P PA ='.证明,3R 是n R )(的一个等价关系.等价元素类取怎样的方阵作为代表元,形式最简单?(ⅳ)对于∈B A ,n R )(,规定:∈∃⇔P B AR 4n R )(,I P P ='(单位方阵):B P PA ='.证明,4R 是n R )(的一个等价关系.等价元素类可以取怎样的代表元?[证] 由线性代数知识可知,实数域上n 阶方阵的等价、相似以及实对称矩阵的合同、正交合同皆具有反身性、对称性、传递性,故本题中的1R ,2R ,3R ,4R 都是等价关系.(ⅰ)关于1R ,等价元素类的代表元取如下方阵,形式最简单:r E =diag (rn r -0,,0,0,1,,1,1),(0≤r ≤n ). (ⅱ)由等价关系2R 所划分的等价类,其代表元可取矩阵的有理标准形(详见张远达,熊全淹的《线性代数》第五章).关于3R ,等价元素类的代表元取如下方阵,形式最简单:st E =diag ()(0,,0,0,1,1,1,1,,1,1t s n t s +----),s ,t 为非负整数,且n t s ≤+. 关于4R ,等价元素类的代表元可取如下方阵:n E λλ,,1 =diag (1λ,2λ,…,n λ),R i ∈λR ,1λ≤2λ≤…≤n λ.§5. 有序集 Zorn 引理1. 写出右边图形表示的偏序关系,指出其极大元,极小元,最大元,最小元.[解] 上图表示的偏序关系为:“≤”={),(a a ,),(b b ,),(c c ,),(d d ,),(b d ,),(c d ,),(a b ,),(a c ,),(a d }.a 为极大元同时亦为最大元,d 为极小元同时亦为最小元.下图表示的偏序关系为:“≤”={),(a a ,),(b b ,),(c c ,),(d d ,),(e e ,),(c d ,),(c e ,),(a c ,),(b c ,),(b d ,),(a d ,),(b e ,),(a e }.a ,b 为极大元,d ,e 为极小元,此偏序关系中无最大元,也无最小元.2. 举一个偏序集(S ,≤)但不是有序集的例子.[解] 令S ={数域P 上的首项系数为1的多项式},规定:对于任意S x g x f ∈)(),(,)(x f ≤)(x g ⇔)(|)(x g x f .显然可知,依规定“≤”具有反身性、对称性、传递性,故(S ,≤)是一个偏序集.但(S ,≤)不是有序集,因为存在S x g x f ∈)(),(,)(|)(x g x f /,且)(|)(x f x g /,从而既无)(x f ≤)(x g ,又无)(x g ≤)(x f .故“≤”不是顺序关系.3. 举一个有序集(S ,≤)但不是良序集的例子,并对S 规定另一偏序关系,使之成为良序集.[解] 取S =Z ,“≤”表示数目的大小关系,显然(S ,≤)是有序集,但不是良序集,因为(S ,≤)中无最小元.现在规定Z 的二元关系“≤'”:b a ≤',如果|a |<|b |;或b a =;或b a -=,且a 为负数.显然(Z ,≤')是有序集,下面证明它是良序集:设N 是Z 的任一非空子集,记N '={|a |N a ∈},因为以数目大小为二元关系的非负整数集是良序集,所以(N ',≤')有最小元|0a |,如果N a ∈∀,且0a a ≠,有|a |≠|0a |,即|a |>|0a |,则0a 是(N ,≤')中最小元;如果N a ∈∃1,且01a a ≠,但|1a |=|0a |,则1a ,0a 中是负数的那一个为(N ,≤')的最小元.总之,(N ,≤')有最小元.所以(Z ,≤')是良序集.4. 证明,一个偏序集(S ,≤)若有最大元,则只存在一个.[证] 设(S ,≤)为偏序集,m ,n 皆为其最大元,则依定义有m ≤n 和n ≤m ,由反对称性得n m =,所以(S ,≤)若有最大元,则只存在一个.5. 证明,有限偏序集的每一个非空子集均含有极小元.[证] 设S 是有限偏序集,T 是S 的任一非空子集,“≤”为偏序关系.取定T x ∈0,考虑0Tx ={x |T x ∈,x ≤0x },显然00Tx x ∈,若0Tx ={0x },则0x 为T 的一个极小元,否则01Tx x ∈∃,1x <0x .继续考虑1Tx ={x |T x ∈,x ≤1x },若1Tx ={1x },则1x 为T 的一个极小元,否则12Tx x ∈∃,2x <1x .如此继续,我们得到一个链: …<n x <…<2x <1x <0x .由于T 为有限集,此链不可能无限下去,必在有限步后中止,即存在m x ,使m Tx ={x |T x ∈,x ≤m x }={m x },从而T x ∈∀,x ≤m x ,m x 为T 的极小元.6. 举一个含有n +1个元的偏序集,使其含有n 个极大元,1个极小元.[解] 令S ={1,1p ,2p ,…,n p ,i p 为互不相同的素数}.定义S 中的二元关系“≤”为数的整除关系,显然(S ,≤)成为一个偏序集.1是S 的一个极小元,其余n 个元皆为极大元.7. 设(Z ,≤)是整数集关于整除关系作成的偏序集,T ={1,2,…,10},求T 的上界,下界,有没有最小上界?最大下界?与例6的区别何在?[解] 依题意,T 的上界和下界分别是1,2,…,10的公倍数和公约数,而最小上界和最大下界则分别是的它们的最小公倍数和最大公约数,所以T 的最小上界为:5·7·9·8=2520,T 的上界为:2520k ,k ∈+Z ;T 的最大下界为1,且是T 仅有的下界.与例6的区别在于:例6讨论的是T 的最小元,极小元,最大元,极大元,这与上,下界,最大下界,最小上界是不同的概念.对一个偏序集的子集来说,如有最小元,则最小元必是最大下界.如有最大元,由最大元必是最小上界.反之未必.例如本题中的T ,1是最小元,也是最大下界;2520是最小上界,但不是T 的最大元.8. 设A 是任意集合,在偏序集(A 2,⊆)中取其子集的序列{1a },{1a ,2a },…,{1a ,2a ,…,n a },…,它们的并集是不是A 2的一个极大元?为什么?[解] 题中所取子集序列之并未必是A 2的一个极大元.因为该子集序列的并集可能是A 的真子集,例如当A 是不可数集时.事实上,(A 2,⊆)中仅有一个极大元,也是最大元A .9. 证明,偏序集(A 2,⊆)既有最大元,也有最小元.(φ\2A ,⊆)有没有最小元?找出它的极小元.[证] 因为A A 2∈,且对A x 2∈∀,总有A x ⊆,故A 是(A 2,⊆)的最大元; 同样,由于A 2∈φ,且对A x 2∈∀,总有x ⊆φ,故φ是(A2,⊆)的最小元. (φ\2A ,⊆)没有最小元,其极小元为所有{a },A a ∈.10. 设S =Z ,“m ≤n ”表示mn 是非负整数,且n m |,证明(S ,≤)是一个偏序集.S 有没有最大元?最小元?极大元?极小元?[证] 对S x ∈∀,恒有x x ⋅为非负整数,且x |x ,故x ≤x .对S y x ∈∀,,若x ≤y 且y ≤x ,则依题意可知x ,y 或同时为0,或为同号的互相整除的整数,故y x =.对S z y x ∈∀,,,若x ≤y 且y ≤z ,则由y x |且z y |,推得z x |,再由xy ,yz 非负,可知xz 非负.所以x ≤y .可见“≤”具有反身性,对称性,传递性.所以(S ,≤)是一个偏序集.显然0为S 的一个最大元,也是S 的唯一极大元.S 没有最小元,S 有极小元1和-1.11. 设偏序集(S ,≤)有最小元,则S 有且只有唯一的极小元.[证] 首先可知(S ,≤)的最小元,也是S 的一个极小元.所以,当(S ,≤)有最小元m 时,S 至少有一个极小元.设m '是(S ,≤)的任一极小元,因为m 是最小元,所以m ≤m '.又因为m '是极小元,所以由m ≤m '⇒m m '=.12. 设A 是一个非空集合,B 是A 上一切二元关系所组成的集合,对于B 中元素1R ,2R ,如果对于x ,y ∈A ,y xR 1⇒y xR 2,那么,就规定1R ≤2R ,则(B ,≤)作成一个偏序集.[证] 依题意,对B R ∈∀,总有R ≤R .设1R ,2R ∈B ,且1R ≤2R 及2R ≤1R ,则对于x ,y ∈A ,y xR 1⇒y xR 2及y xR 2⇒y xR 1,这就是说,由(x ,y )∈1R ⇒(x ,y )∈2R 及(x ,y )∈2R ⇒(x ,y )∈1R .所以1R ,2R 表示A A ⨯的同一子集合,21R R =.设1R ,2R ,3R ∈B ,满足1R ≤2R 且2R ≤3R ,则对于x ,y ∈A ,y xR 1⇒y xR 2及y xR 2⇒y xR 3,从而y xR 1⇒y xR 3,所以1R ≤3R .可见B 中的二元关系“≤”具有反身性,对称性,传递性,所以(B ,≤)作成一个偏序集.此外,我们也可以直接由(B ,≤)=(A A ⨯2,⊆)得(B ,≤)是一个偏序集.习题1. 设n A ={a |a ∈Z ,(n 2|a )∧(a n |21/+)},求A = ∞=1n n A . [解] A = ∞=1n n A={2k |k ∈Z }.2. 设x A ={y |y ∈R ,0≤y <x },求A =1>∈x R x x A 且.[解] A = 1>∈x R x x A 且={y |y ∈R ,0≤y ≤1}.3. 设1A ,2A ,…,是集合E 的可数个子集,令A =∞=∞=1m m i i A ,A = ∞=∞=1m m i i A .证明: (ⅰ)A 由一切属于无限多个i A 的元所组成; (ⅱ)A 由一切属于“几乎所有i A ”的元所组成.(“几乎所有i A ”指除有限个外的全部i A ,也说“差不多所有i A ”.)[证] (ⅰ)若x 属于无限多个i A ,则m ∀≥1,1A ,2A ,…,1-m A 是有限个,所以E m '≥m ,使m A x '∈,于是 ∞=∈m i i A x .故A x ∈= ∞=∞=1m m i i A .若x 属于有限个i A ,不妨设x 属于1i A ,2i A ,…,k i A ,1i <2i <…<k i ,m >k i ,取m '∀≥m ,m A x '∉,于是 ∞=∉m i i A x ,故A x ∉.综上所述,A 由一切属于无限多个i A 的元组成.(ⅱ)若 ∞=∞=∈1m m i i A x ,则至少0m ∃,使 ∞=∈0m i i A x ,于是,x 至多不属于1A ,2A ,…,1-m A ,即x 属于“几乎所有的i A ”.若x 属于“几乎所有的i A ”,不妨设x 属于除了1i A ,2i A ,…,k i A 以外的所有i A ,取0m >k i ,则 ∞=∈0m i i A x .故A x ∈= ∞=∞=1m mi i A .综上所述,A 由一切属于“几乎所有的i A ”的元所组成.4. 设{i A |I i ∈}是集合E 的子集族,f 是E 到B 的映射,证明:(ⅰ) I i i I i i A f A f ∈∈=)()(;(ⅱ) Ii i I i i A f A f ∈∈⊆)()(.并举例说明,(ⅱ)中的“⊂”可能发生.[证] (ⅰ)设)( I i i A f x ∈∈',则 Ii i A x ∈∈∃,使)(x f x =',于是x 属于某一个i A ,从而x '=)(x f ∈)(i A f ⊆ I i i A f ∈)(,所以)( I i i A f ∈⊆ I i i A f ∈)(.同样可证, I i i A f ∈)(⊆)( I i i A f ∈.所以)( I i i A f ∈= Ii i A f ∈)(.(ⅱ)任取)( I i i A f x ∈∈',则 Ii i A x ∈∈∃,使)(x f x =',因为i A x ∈,I i ∈∀,所以)()(i A f x f ∈,I i ∈∀,即)(i A f x ∈',I i ∈∀.故 I i i A f x ∈∈')(,从而)( I i i A f ∈⊆ Ii i A f ∈)(.例:取E =Q ,1A ={非负有理数},2A ={非正有理数},B ={0,1}.定义f :E →B ,⎩⎨⎧≠=.0,1,0,0时当时当x x x x . 因为)(21A A f ={0},)()(21A f A f ={0,1},所以)(21A A f ⊂[)()(21A f A f ].5. 设f :A →A 且f f =f ,则f =A I .[证] 由题设,f 是A 到A 的满射,故对于A a ∈∀,A a ∈'∃,使a a f =')(.又因为f f =f ,所以有)(a f =)(a f f ' =)(a f '=a ,A a ∈∀.所以f =A I .6. 找出Z 到Z 的n +1个映射i f ,i =1,2,…,n ,n +1,使1f ,2f ,…,n f 有共同的左逆映射g ,但g 不是1+n f 的左逆映射.[解] 作Z 到Z 的n +1映射如下i f :)1(-+i nx x ,∈∀x Z ,i =1,2,…,n ,n +1.再令g :Z →Z ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x x ,∈∀x Z ,符号[a ]表示不超过a 的最大整数. 容易看出,∈∀x Z ,))((x f g i =x ,i =1,2,…,n .而))((1x f g n + =x +1≠x . 所以g 是1f ,2f ,…,n f 的共同左逆映射,但不是1+n f 的左逆映射.7. 设A ,B C 是集合E 的三个子集,且C B A =,φ=C B ,找出A 2到加氏积C B 22⨯的一个双射.[解] 作映射f :A 2→C B 22⨯,),(C A B A A i i i ,Ai A 2∈∀.由)()(C A B A i i =)(C B A i =A A i =i A ,可知f 是单射. B B i ∈∀,C C i ∈,记i i i C B A =,A i A 2∈.因为φ=C B ,所以φ=i C B ,故B A i =B C B i i )(=)()(B C B B i i =B B i =i B ;同理可证C A i =i C .于是i A 在映射f 下的象是(i B ,i C ),故f 是满射,从而f 是双射.8. 设f 是A 到B 的映射,g 是B 到C 的映射,*f 是A 2到B 2的映射,*f :)(S f S ,A S ⊆∀.*g 是B 2到C 2的映射,*g :)(T g T ,B T ⊆∀,证明下面图形交换:即*)(gf =**f g .[证] 显然*)(gf ,**f g 都是A 2到C2的映射.对A S ⊆∀,有:)()(*S gf =))((S gf =))((S f g =))((*S f g=))((**S f g =))((**S f g ,所以*)(gf =**f g .9. 设+Z ={1,2,…},证明:存在++⨯Z Z 到+Z 的双射φ. [证] ∈∀q p ,+Z ,p q p q p +-+-+)1)(2(21∈+Z . 令φ:++⨯Z Z →+Z ,p q p q p q p +-+-+)1)(2(21),( ,∈∀q p ,+Z . 则φ是映射为显然.下面首先证明它是一个满射:∈∀n +Z ,∈∃k +Z ,使得)1(21+k k ≤n <)2)(1(21++k k . 若n =)1(21+k k ,则取p =k ,q =1,有),(q p φ=n . 若)1(21+k k <n <)2)(1(21++k k ,则取p =)1(21+-k k n ,q =)1(21+k · )2(+k -n +1,有),(q p φ=n .可见对于∈∀n +Z ,∈∃),(q p ++⨯Z Z ,使),(q p φ=n .再证φ是单射:设),(q p ,),(n m ∈++⨯Z Z ,且),(q p ≠),(n m ,则p ≠m 或q ≠n .若p +q =m +n ,则p +q -2=m +n -2,p +q -1=m +n -1,且p ≠m ,于是,),(q p φ=)1)(2(21-+-+q p q p +p =)1)(2(21-+-+n m n m +p ≠)1)(2(21-+-+n m n m +m =),(n m φ. 若p +q ≠m +n ,不妨设p +q >m +n ,于是,)1)(2(21-+-+q p q p -)1)(2(21-+-+n m n m =)1)(2(21-+-+q p q p -)1)(2(21-+-+n m q p +)1)(2(21-+-+n m q p -)1)(2(21-+-+n m n m ≥)2(21-+q p +)1(21-+n m >m -1≥m -p . 所以,)1)(2(21-+-+q p q p +p >)1)(2(21-+-+n m n m +m ,即),(q p φ≠),(n m φ.故φ是单射.从而证得,φ是++⨯Z Z 到+Z 的一个双射.注:本题也可用练习三第4题的方法证明++⨯Z Z 是可数无限集,从而存在++⨯Z Z 到+Z 的双射.10. 证明,不存在A 到A2的双射,此处A ≠φ.[证] 如果存在A 到A 2的双射ϕ,则对A a ∈∀,或者)(a a ϕ∈,或者)(a a ϕ∉.令S ={a |A a ∈,)(a a ϕ∉},S '={a |A a ∈,)(a a ϕ∈}.于是A =S S ' ,且S S ' =φ.因为A S 2∈,所以A a ∈∃0,使S a =)(0ϕ.若S a ∈0,则由S a =)(0ϕ,有)(00a a ϕ∈,这与S 的定义矛盾.若S a ∉0,则S a '∈0,于是根据S '的定义,又得到S a a =∈)(00ϕ,产生矛盾. 从而,不存在A 到A 2的双射.11. 设A ={1,2,3},f 是A 到A 的满射,具有性质)1(f =3,求f 的个数.[解] 由题设,f 是A 到A 的一一变换,且限定f (1)=3,于是f 的个数为2:1f :⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321, 2f :⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21332112. 设A ={1,2,…,n },f 是A 到A 的满射,具有性质i i y x f =)(,i =1,2,…, k ,k <n ,i x ,i y ∈A ,求f 的个数.[解] 由题设,f 是A 到A 的一一变换,今限定i i y x f =)(,i =1,2,…,k ,k <n ,则f 的个数应为(n -k )个元素的全排列数)!(k n -.13. 设A 有k 个元素,B 有n 个元素,且k ≤n ,求A 到B 的单射的个数.[解] 若f 是A 到B 的单射,则)(A f 是由B 中k 个不同元素所组成,于是f 的个数为从B 中每次取k 个不同元素进行排列所得到的排列数.因而,A 到B 的单射的个数为:k n A =)!(!k n n -. 14. Z [x ]表示一切整数的一元多项式的集合,证明,Z [x ]是可数集.[证] 显然Z 是可数集.由§3练习第4题知Z Z ⨯是可数集,因此Z Z ⨯与Z 等势,于是利用归纳法可证,有限个Z 的加氏积Z Z Z ⨯⨯⨯ 是可数集.下面证明Z [x ]是可数集.)(x f ∀=n n x a +11--n n x a +…+x a 1+0a ∈Z [x ],可由系数的有序数组(n a ,1-n a ,…,1a ,0a )∈1+⨯⨯⨯n Z Z Z 唯一确定. 记n Z ={)(x f =∑=ni i i x a 0|i a ∈Z }.因为Z Z Z ⨯⨯⨯ 是可数集,所以n Z 也是可数集,而Z [x ]=+∈Z n n Z .用类似的证明方法,可以证明可数个可数集的并集是可数集.于是得到Z [x ]是可数集.15. 证明Q [x ]是可数集.[证] 由P.40例4知,全体正有理数是可数集,于是存在+Z 到+Q 的双射ϕ.作Z 到Q 的映射f :⎪⎩⎪⎨⎧=-.0,00,),(,),(时当为负整数时当为正整数时当a a a a a a a ϕϕ容易看出,f 是Z 到Q 的双射,而Z 是可数集,所以Q 也是可数集.以下仿14题的方法,可证得Q [x ]是可数集.16. 证明,+Z 2是不可数集. [证] 假设+Z 2是可数集,则+Z 2与+Z 等浓,从而存在+Z 到+Z 2的一个双射,这与习题10已得结论“不存在A 到A 2的双射”矛盾.所以+Z 2是不可数集.17. 举一个集合的例子,在它上定义一个二元关系,分别适合反身性、对称性、传递性中两个且仅适合两个.[解] 设A =Z .(ⅰ)在A 上定义二元关系1R 为通常数的整除,即A b a ∈∀,,b aR 1⇔a |b .显然,R 适合且仅适合反身性、传递性,而不适合对称性.(ⅱ)在A 上定义2R 为:A b a ∈∀,,b aR 2⇔a =b ,a ≠0.显然2R 适合传递性、对称性,但2R 不适合反身性,因为02R '0. (ⅲ)在A 上定义3R 为:A b a ∈∀,,b aR 3⇔(a ,b )≠1(即a 与b 不互素),或者a =b =±1.显然3R 适合反身性、对称性,但3R 不适合传递性.例如,取a =2,b =6,c =9,则b aR 3,c bR 3,c R a 3'. 18. 设A =++⨯Z Z ,规定(m ,n )≤(m ',n ')⇔m ≤m ',n ≤n ',证明,(A ,≤)是偏序集,并且A 有最小元.是否A 的每一个非空子集要都有最小元?极小元?[证] 对A n m ∈∀),(=++⨯Z Z ,总有⎩⎨⎧≤≤nn m m ,故(m ,n )≤(m ,n );),(11n m ∀,),(22n m ∈A ,由⎩⎨⎧≤≤),(),(),(),(11222211n m n m n m n m ,显然可得⎩⎨⎧==2121n n m m ,所以),(11n m =),(22n m .),(n m ∀,),(k l ,),(t s ∈A ,由⎩⎨⎧⎭⎬⎫≤≤⇒≤≤≤⇒≤t k s l t s k l k n l m k l n m ,),(),(,),(),(⇒⎩⎨⎧≤≤t n s m ,所以),(n m ≤),(t s .综上可见“≤”满足反身性、反对称性及传递性,所以(A ,≤)是偏序集. 由于(1,1)∈A ,且A n m ∈∀),(,均有(1,1)≤),(n m ,故(1,1)是A 的最小元. A 的每一个非空子集未必有最小元,例如A 的子集{(1,2),(2,1)}.但A 的每一个非空子集都有极小元.19. 设(A ,≤),(B ,≤)是两个偏序集,规定B A ⨯的字典排法偏序关系为:),(11b a ≤),(22b a ⇔1a ≤2a 1a =2a ,1b ≤2b ,证明,(B A ⨯,≤)是偏序集.若(A ,≤),(B ,≤)均为有序集,是否有(B A ⨯,≤)是有序集?[证] (ⅰ)由于A ,B 皆为偏序集,故B A b a ⨯∈∀),(,总有a =a ,b ≤b ,所以),(b a ≤),(b a .),(b a ∀,),(d c ,),(f e ∈B A ⨯,由⎩⎨⎧≤=≤⇒≤≤=≤⇒≤fd e c e c f e d c d b c a c a d c b a ,),(),(,),(),(或或⇒a ≤e 或a =e ,b ≤f ,所以),(b a ≤),(f e .),(b a ∀,),(d c ∈B A ⨯,由⎩⎨⎧≤⇒≤≤⇒≤a c b a d c c a d c b a ),(),(),(),(⇒a =c , 又由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫≤⇒⎭⎬⎫≤=≤⇒⎭⎬⎫=≤b d b a d c a c d b c a d c b a ),(),(),(),(⇒b =d ,所以(a ,b )=(c ,d ). 综上可见(B A ⨯,≤)是一个偏序集.(ⅱ)若(A ,≤),(B ,≤)是有序集,则(B A ⨯,≤)亦是有序集.事实上,),(b a ∀,∈),(d c (B A ⨯,≤),因为(A ,≤)是有序集,所以a <c ;c <a ;a =c 中有且仅有一种情况出现.若a <c ,则),(b a ≤),(d c ;若c <a ,则),(d c ≤),(b a ;若a =c ,因为(B ,≤)是有序集,所以必有b ≤d 或d ≤b .当b ≤d 时,有),(b a ≤),(d c ;当d ≤b 时,有),(d c ≤),(b a .总之),(b a ∀,∈),(d c (B A ⨯,≤),均有),(b a ≤),(d c 或),(d c ≤),(b a .故(B A ⨯,≤)是一个有序集.20. 给出复数集C 的两种顺序关系,使之成为有序集.与“复数无大小”的概念是否矛盾?[解] 任一复数bi a y +=决定一对有序实数),(b a ,)(bi a +∀,∈+)(di c C ,定义:bi a +1≤di c +⇔a <c 或a =c ,b ≤d ,其中“≤”为通常数目的大小关系.由于(R ,≤)是有序集,故由前题证明知“1≤”成为C 上的一个顺序关系,故使(C ,1≤)成为有序集.又任一复数都可以唯一地表示成一个三角函数式:z =)sin (cos ααi r +, 0≤α<2π.定义:)sin (cos 1ααi r +2≤)sin (cos 2ββi r +⇔α<β或α=β,1r ≤2r ,其中“≤”为通常数目的大小关系.)sin (cos 1ααi r +∀,∈+)sin (cos 2ββi r C ,同样地可知,“2≤”是C 上的一个顺序关系,故(C ,2≤)成为有序集.我们这里给出的C 上的两种顺序关系与“复数无大小”是不矛盾的.通常的数的大小关系,不仅是一种顺序关系,而且还要满足阿基米公理,乘法单调性.但我们在这里给出的两种顺序关系是不具有这些性质的:不能用来比较复数的大小.21. 设(A ,≤)是偏序集,对A a ∈∀,令)(a f ={x |A x ∈,x ≤a },证明,f 是A 到A 2的一个单射,并且,f 保持(A ,≤),(A 2,⊆)的偏序关系,即当a ≤b 时,有)(a f ⊆)(b f .[证] (ⅰ)显然f 为映射,下面仅证f 是单射.设S a f =)(,T b f =)(,且T S =.由于A 是偏序集,故a ≤a ,所以S a ∈,但T S =,所以T a ∈,于是a ≤b .同样可证,b ≤a .所以a =b ,从而f 是A 到A 2的一个单射.(ⅱ)若a ≤b ,则)(a f x ∈∀,x ≤a .于是,x ≤b ,所以)(b f x ∈,即)(a f ⊆)(b f .可见f 保持(A ,≤),(A 2,⊆)的偏序关系.22. 设(A ,≤)是偏序集,T 是(A 2,⊆)的一个子集,令T ={y |A y 2∈,t y ⊆,T t ∈},则T 与T 有相同的极大元.[证] 根据T 与T 的定义,显然有T T ⊆.若x 是T 的一个极大元,下证x 是T 的一个极大元.如若不然,则T y ∈∃,使y x ⊂.由于T y ∈,所以T t ∈∃,满足t y ⊆,从而t x ⊂,这与x 是T 的极大元矛盾.这就证明了凡T 的极大元,必是T 的极大元.反之,若y 是T 的一个极大元,则由于T y ∈,知T t ∈∃,使t y ⊆,但T T ⊆,所以T t ∈,从而T t y ∈=,即y 是T 的极大元.这就证明了凡T 的极大元必是T 的极大元.23. 设(S ,≤)是有序集,则(S ,≤)是良序集的充要条件是:对S a ∈∀,a S ={x |S x ∈,x <a }是良序集.[证] 若(S ,≤)是良序集,则对S a ∈∀,a S 必是良序集.这是因为a S 的任一非空子集必是S 的非空子集,从而有最小元.反之,若对S a ∈∀,a S 是良序集,下证(S ,≤)是良序集.设M 是S 的一个非空子集,M m ∈∀0,记M '={m |M m ∈,m <0m }.如果0m 不是M 的最小元,则M '非空.因为M '是0m S 的子集,所以M '有最小元m ',易知m '也是M 的最小元.从而(S ,≤)是一个良序集.24. 设(S ,≤)是偏序集,如果S 中每一非空子集M 均有极大元,那么S 中任意递增序列1a <2a <…<n a <…必终止于有限项.并且,反之亦然.[证] 设1a <2a <…<n a <…是S 中任一无限递增序列,则S 的非空子集{1a ,2a ,…,n a ,…}没有极大元,与题设矛盾,故递增序列1a <2a <…<n a <…必终止于有限项.反之,设S 中任意递增序列终止于有限项,下证S 的每一个非空子集皆有极大元.设M 是S 的任一非空子集,如果M 无极大元,则M a ∈∀1,M a ∈∃2,使1a <2a ;同样M a ∈∃3,使2a <3a .如此类推,取定M a n ∈后,因为n a 不是M 的极大元,所以M a n ∈∃+1,使n a <1+n a ,这样就得到S 中的一个无限递增序列1a <2a <…<n a <1+n a <…,与S 中任意递增序列必终止于有限项矛盾.此矛盾表明M 有极大元.25. 设(+Z ,≤)是整数集关于整除关系作成的偏序集,证明,(+Z ,≤)中存在无穷递增序列1a <2a <…<n a <….(+Z ,≤)中是否存在无穷递降序列?[证] 对∈∀a +Z ,且a ≠1,有a |2a ,2a |3a ,…,n a |1+n a ,…故有a <2a <3a <…<n a <1+n a <…,即(+Z ,≤)中存在无穷递增序列.在(+Z ,≤)中,不存在无穷递降序列.这是因为对∈∀a +Z ,a 的约数只有有限多个.26. 有人说,U A i i =∈ φ(见§1末)不应该规定,而是可以证明,即:假定U A i i ≠∈ φ,则U A i i ⊂∈ φ.于是,U x ∈∃,但 φ∈∉i i A x .从而,φ∈∃j ,但j A x ∉,与φ是空集矛盾.此矛盾表明U A i i =∈ φ.你以为如何?[解] 上面证明过程是错误的.“ φ∈∉i i A x ,从而存在φ∈j ,j A x ∉”,这是根据 Ii i A ∈={x |U x ∈,I i ∈∀,j A x ∈}得到的,而后者作为定义,其前提条件要求I 非空,故当φ=I 时,不能应用该定义.。

大学_大学线性代数课后答案_1

大学线性代数课后答案大学线性代数内容简介第一章矩阵与行列式1.0 预备知识1.0.1 集合1.0.2 数集1.0.3 数域1.0.4 求和号1.1 线性型和矩阵概念的引入1.1.1 矩阵的定义1.1.2 常用矩阵1.2 矩阵的运算1.2.1 矩阵的线性运算1.2.2 矩阵的乘法1.2.3 方阵的幂与方阵多项式1.3 方阵的行列式1.3.1 行列式的递归定义1.3.2 排列1.3.3 行列式的等价定义1.4 行列式的'基本性质1.4.1 转置行列式1.4.2 行线性性1.4.3 行列式的初等变换1.5 Laplace定理1.5.1 子式余子式代数余子式1.5.2 Laplace定理1.5.3 行列式的按行展开与按列展开 1.5.4 方阵乘积的行列式1.6 行列式的计算1.6.1 三角化1.6.2 降阶法与镶边法1.6.3 归纳与递推1.7 可逆矩阵1.7.1 可逆矩阵1.7.2 矩阵可逆的条件1.7.3 逆矩阵的求法1.8 分块矩阵1.8.1 矩阵的分块1.8.2 分块矩阵的运算1.8.3 分块对角矩阵习题一第二章线性方程组理论2.1 解线性方程组的消元法2.1.1 线性方程组的矩阵形式2.1.2 线性方程组的初等变换2.1.3 梯矩阵和简化梯矩阵2. 2向量空间Kn2.2.1 向量空间Kn及其运算性质2.2.2 子空间2.3 向量组的秩2.3.1 线性组合、线性方程组的向量形式 2.3.2 线性相关与线性无关2.3.3 极大线性无关组、向量组的秩2.4 矩阵的相抵标准形2.4.1 初等矩阵和矩阵的初等变换2.4.2 矩阵的秩2.5 Cramer法则2.5.1 Cramer法则2.5.2 求逆矩阵的初等变换法2.5.3 矩阵方程2.6 线性方程组解的结构2.6.1 线性方程组相容性判别准则2.6.2 齐次线性方程组的解空间2.6.3 非齐次线性方程组解的结构2.7 分块矩阵的初等变换2.7.1 分块矩阵的初等变换2.7.2 分块初等矩阵2.7.3 行列式和矩阵计算中的分块技巧习题二第三章相似矩阵3.1 方阵的特征值与特征向量3.1.1 方阵的特征值与特征向量3.1.2 特征值与特征向量的求法3.1.3 特征向量的性质3.2.1 矩阵相似的概念3.2.2 相似矩阵的性质3.3 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.1 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.2 特征值的代数重数和几何重数3.3.3 矩阵Jordan标准形3.4 方阵的最小多项式3.4.1 方阵的化零多项式3.4.2 最小多项式3.4.3 最小多项式与方阵相似于对角矩阵的条件 3.5 相似标准形的若干简单应用3.5.1 行列式求值与方阵求幂3.5.2 求与给定方阵可交换的方阵习题三第四章二次型与对称矩阵4.1 二次型及其标准形4.1.1 二次型及其矩阵表示4.1.2 二次型的标准形4.1.3 实对称矩阵的合同标准形4.2 惯性定理与二次型分类4.2.1 惯性定理4.2.2 二次型的分类4.3 正定二次型4.3.1 正定二次型4.3.2 二次型正定性判别法4.4 正交向量组与正交矩阵4.4.1 向量的内积4.4.2 正交向量组4.4.3 正交矩阵4.5 实对称矩阵的正交相似标准形4.5.1 实对称矩阵的特征值和特征向量 4.5.2 实对称矩阵的正交相似标准形 4.5.3 用正交替换化二次型为标准形习题四第五章线性空间与线性变换5.1 线性空间的概念5.1.1 线性空间的定义5.1.2 线性空间的简单性质5.1.3 线性子空间5.2 线性空间的同构5.2.1 基底，维数与坐标5.2.2 基变换与坐标变换5.2.3 线性空间的同构5.3 欧氏空间5.3.1 欧氏空间的定义与基本性质5.3.2 标准正交基5.3.3 欧氏空间的同构5.4 线性变换5.4.1 线性变换的概念与运算5.4.2 线性变换的性质5.5 线性变换的矩阵5.5.1 线性变换在给定基下的矩阵5.5.2 线性变换在不同基下矩阵间的关系习题五索引参考文献大学线性代数目录《大学数学线性代数》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材“大学数学”系列教材之一，秉承上海交通大学数学基础课程“基础厚、要求严、重实践”的特点编写而成。

线性代数第3讲中国人民大学吴赣昌

x1 - x2 3 x4 - 1
x2 2 x3 - 2 x4 0 x3 - 3x4 -1
x4 0
x1 - x2 3x4 -1
x2 2x3 -2x4 0 x3 -3x4 -1
x4 0
(2.2)
由(2.2)易知x4=0, 将其代入第3方程得x3-1,再回代前两个方程, 分别得x2=2, x1=1. 所以(1,2,1,0)是原方程组(2.1)的解. 形如(2.2)的方程组称为阶梯形线性方程组.
-x3 -x3
2x4 4x4
4x5 5x5
-2, -3,
2 3
(2.6)
x1 -x2 x3 x4 8x5 2. 4
的增广矩阵
1 -1 -1 0 3 -1 1
[A,b]2 -2 -1 2 4 -2 2 3 -3 -1 4 5 -3 3
1 -1
1
18
2
4
1 -1 -1 0 3 -1 1
[A,b]2 -2 -1 2 4 -2 2 3 -3 -1 4 5 -3 3
例2 求解线性方程组
x1 - x2 -x3 3x5 -1, 1
23xx11
-2x2 -3x2
-x3 -x3
2x4 4x4
4x5 5x5
-2, -3,
2 3
x1 -x2 x3 x4 8x5 2. 4
(2.6)
解写出方程
x1 - x2 -x3 3x5 -1, 1
23xx11
-2x2 -3x2
方程的全部解就表示为: x1=1+k1-7k2, x2=k1, x3=2-4k2, x4-1+3k2, x5=k2, 其中k1,k2为任意常数. 以后常把方程组的解写成下面的形式: