自控 第8章-3 描述函数法
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精品文档-自动控制原理(王春侠)-第八章
19
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
1
8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
1
8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。
描述函数法讲解
0
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
《自动控制原理》描述函数法
y(t)为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：
y(t) = A0 + (An cos nwt + Bn sin nwt) = A0 + Yn sin(nwt + n )
n=1
n=1
其中，A0为直流分量， Yn sin(nwt + n ) 为第n次谐波分量，且有
Yn = An2 + Bn2
(8-60)
试计算该非线性特性的描述函数
解
x=Asinwt
(8-62)
一般情况下，描述函数N是输入信号幅值A和频率w的函数。当非线 性环节中部包括储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位
差与w无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。至于直流分量， 若非线性环节响应为关于t的奇对称函数，即
(线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响
应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出
中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用
N(A)表示：
N ( A) = N ( A) e jN (A) = Y1 e j1 = B1 + jA1
A
A
例8—3 设继电特性为
则由式(8-58)
取变换
，有
而当非线性特性为输入x的奇函数时，即f(x)=-f(-x)，有
y(t + ) = f [Asin w(t + )] = f [Asin( + wt)] = f [− Asin wt]
w
w
= f (−x) = − f (x) = − y(t)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。 ， 按下式计算：
另外，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时 间响应的确切信息。
自动控制原理：第八章 非线性控制系统分析(描述函数)
1 G1
【例8】系统如图，说明系统是否自振，并确定使系统稳定的初值
(A)范围。
【解】等效变换求等效G*(s)。
D(s) 1 N ( A) G1(s) G1(s) 0
N ( A) G1(s) 1 G1(s)
N ( A) G1(s) 1 1 G1(s)
G
*(s)
G1 ( s) 1 G1(s)
N ( A) 8
88
G( j )
2K
j (1 j )
2K
12
1
j
1
8
j
8
K
1
8 0.3927
Ac 8 2 3.6
K A ,
【例7】系统如图，已知
G1
(
s)
N
(
A)
1, s(s 1) 4M 1 A
G2 ( s)
h
2
A
K s
(A
h)
（1）G3 ( s),系1统是否自振？确定使系统自振的K值范围；求 K=2时的自振参数。
A
1
h 2
A
j
4Mh
A2
M h
4h
A
1
h 2
A
j
4h2
A2
1 A
N ( A) 4h
1 1 h 2
j
h
A
4h
1
h
2
A
j
h
A
A A
A
1
h
2
j
4h A 4
4. 自振分析（定性）
穿入 穿出 相切于
不是自振点 的点 是自振点
半稳定的周期运动
自振条件：
名称
【例8】系统如图，说明系统是否自振，并确定使系统稳定的初值
(A)范围。
【解】等效变换求等效G*(s)。
D(s) 1 N ( A) G1(s) G1(s) 0
N ( A) G1(s) 1 G1(s)
N ( A) G1(s) 1 1 G1(s)
G
*(s)
G1 ( s) 1 G1(s)
N ( A) 8
88
G( j )
2K
j (1 j )
2K
12
1
j
1
8
j
8
K
1
8 0.3927
Ac 8 2 3.6
K A ,
【例7】系统如图，已知
G1
(
s)
N
(
A)
1, s(s 1) 4M 1 A
G2 ( s)
h
2
A
K s
(A
h)
（1）G3 ( s),系1统是否自振？确定使系统自振的K值范围；求 K=2时的自振参数。
A
1
h 2
A
j
4Mh
A2
M h
4h
A
1
h 2
A
j
4h2
A2
1 A
N ( A) 4h
1 1 h 2
j
h
A
4h
1
h
2
A
j
h
A
A A
A
1
h
2
j
4h A 4
4. 自振分析（定性）
穿入 穿出 相切于
不是自振点 的点 是自振点
半稳定的周期运动
自振条件：
名称
自动控制原理-第8章 非线性控制系统教案
8 非线性控制系统前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。
本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。
8.1非线性控制系统概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。
严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。
例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。
当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。
实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。
图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。
但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。
图8-1 伺服电动机特性8.1.1控制系统中的典型非线性特性组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。
例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。
实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。
自动控制系统—— 第8章-3 描述函数法
r(t) 0 x(t) N ( A)
y (t )
G(s)
c(t )
若非线性环节和线性部分满足描述函数应用的 条件，则描述函数可以作为一个具有可变增益的比 例环节，于是系统近似为一个等效的线性系统
14
1.变增益线性系统的稳定性分析
变增益系统如图
r(t) e(t)
K
c(t )
G(s)
K 为比例环节增益 设G(s)的极点均位于s左半平面，即P=0 闭环系统特征方程的频率特性为
y(t) A1 cost B1 sin t Y1 sin( t 1)
6
非线性环节稳态输出中一次谐波分量和输入信 号的复数比定义为非线性环节的描述函数
N ( A) N ( A) e jN ( A) Y1 e j1 B1 jA1
A
A
2. 一些性质
1）一般情况下，N(A)是A和ω的函数 若非线性环节无储能元件，则N(A)只是A的函数
N ( A) 1 称为非线性环节的负倒描述函数
N ( A)
18
在复平面上分别绘制
1 N ( A)
曲线和
G 曲线
(1)两条曲线不相交
两条曲线不相交，表明特 征方程
G( j) j
1 N ( A) G( j) 0
无实数ω解
1 0
N ( A)
G(
j)曲线包围
1 N ( A)
曲线
图A
所以，闭环系统不稳定，振幅A会增大
转换关系 Yn
An2 Bn2 ,
n
arctg
An Bn
An , Bn 为傅里叶系数
5
傅里叶系数计算
An
1
2
y(t) cos ntd(t)
自动控制原理原理第8章
y (t )
KX sint Ka
0 ≤t≤1 1≤ t≤
2
第8章 非线性系统分析
y
y
Ka
a
K
0
a
x
x
0 1 1 2
t
0 1
（a）
（c）
1
1
t （b）
饱和特性及输入、输出波形
第8章 非线性系统分析
（2）由于饱和特性为单值斜对称，所以， A0 0 A1 0 1 0
X a
这是一个与输入正弦函数的振幅有关的复函数，说明输出的 基波分量对输入是有相位差的，输出滞后于输入。
第8章 非线性系统分析
4．继电器特性的描述函数 继电器特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形 y y 如图。 E
0 ma
a x
0 1 2
3 4
2
t
1 2
3
0
x
死区特性描述函数为
N ( X ) B1 2 K a a a arcsin 1 ( ) 2 X 2 X X X
( X a)
3．间隙特性的描述函数
间隙特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形
如图。 其输出表达式为
第8章 非线性系统分析
y
K
y
2
A1 B1
A1
1
2
0
y (t ) costdt
B1
1
2
0
y (t ) sin tdt
第8章 非线性系统分析
2．描述函数定义 非线性元件在正弦输入时，输出的基波分量与输入正弦量的 复数比，称为该非线性元件的描述函数。 描述函数用符号 N 表示，即
KX sint Ka
0 ≤t≤1 1≤ t≤
2
第8章 非线性系统分析
y
y
Ka
a
K
0
a
x
x
0 1 1 2
t
0 1
（a）
（c）
1
1
t （b）
饱和特性及输入、输出波形
第8章 非线性系统分析
（2）由于饱和特性为单值斜对称，所以， A0 0 A1 0 1 0
X a
这是一个与输入正弦函数的振幅有关的复函数，说明输出的 基波分量对输入是有相位差的，输出滞后于输入。
第8章 非线性系统分析
4．继电器特性的描述函数 继电器特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形 y y 如图。 E
0 ma
a x
0 1 2
3 4
2
t
1 2
3
0
x
死区特性描述函数为
N ( X ) B1 2 K a a a arcsin 1 ( ) 2 X 2 X X X
( X a)
3．间隙特性的描述函数
间隙特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形
如图。 其输出表达式为
第8章 非线性系统分析
y
K
y
2
A1 B1
A1
1
2
0
y (t ) costdt
B1
1
2
0
y (t ) sin tdt
第8章 非线性系统分析
2．描述函数定义 非线性元件在正弦输入时，输出的基波分量与输入正弦量的 复数比，称为该非线性元件的描述函数。 描述函数用符号 N 表示，即
自动控制原理胡寿松 第8章
非线性元件用一个对正弦信号的幅值和相位进行变换的环 节来代替
N ( A) X 1 j1 e A
为A和 的复函数
其中：
A为正弦输入信号的振幅 X 1为输出信号的基波分量 的振幅
1为输出信号基波分量相 对输入正弦信号的相移 当非线性特性为单值奇函数时，A1 0 1 0
N ( A) B1 A
非线性系统：只要系统中包含一个或一个以上具有非线性元 件，即称为非线性系统。其特性不能用线性微分方程来描述。
非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性 本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化
非线性系统的主要特征： 系统的稳定性除与结构参数有关 外，还与起始偏差的大小有关 。 系统的响应形式与输入信号的大小 和初始条件有关。
假设线性部分是最小相位环节，非线性系统稳定性判断规则如下：
1 曲线则系统稳定，两者距离越远，稳定程度越高 N ( A) 1 （b） G ( jw) 包围 曲线则系统不稳定 N ( A) 1 （c） G ( jw) 与 曲线相交，则非线性系统存在着周期运动，它 N ( A)
（a） G ( jw) 不包围
4. 非线性系统结构图的简化
（1）由两个并联的非线性部件和线性部分串联而成
可以将两个非线性特性进行叠加，对叠加后的特性求其 描述函数N（A）。也可以先求各非线性特性的描述函数， 之后叠加得总描述函数N（A）,二者完全相同。 非线性环节并联后，总的描述函数等于各非线性环节描述 函数之和。
（2）当两个非线性环节串联时而成
(1)控制系统的稳定性分析
C ( j ) N ( A)G( j ) R( j ) 1 N ( A)G( j )
特征方程为 1 N ( A ) G ( jw ) 0
自动控制_08b系统分析的描述函数法
3、非线性系统稳定性分析的描述函数法
附图10 描述函数表示的非线性系统 考虑附图10所示的非线性系统，假设线性动态部 分具有良好的低通特性，那么静态非线性特性可以用 描述函数N(A)来表示。为了引入频率特性分析法，我 们还假设G(s)是最小相位环节。
（1）闭环系统稳定性 前几章已介绍了分析线性时不变系统稳定性的根 轨迹法和频率特性法。如果频率特性推广到附图10 所示的非线性系统，则其闭环系统频率特性为：
Z ( j ) N ( A)G( j ) R( j ) 1 N ( A)G( j )
特征方程为
1 N ( A)G( j ) 0
为了类比，假设静态环节退化为线性环节y=kx， 即N(A)=k（常数）。因为G(s)是最小相位环节，根据 线性系统的Nyquist判据：闭环系统是否稳定取决于 在复平面上G(jω)曲线是否包围实轴上的－1／k点。
小
结
本章介绍了非线性系统分析的基础知识，主 要包括相平面法和描述函数法。本章的内容还揭 示了非线性系统的一些特殊现象，诸如：非线性 系统存在全局稳定和局部稳定问题，非线性系统 的稳定性与初始条件有关，非线性系统的振型与 初始条件和输入幅值都有关，非线性系统的稳定 极限环等，这些在线性系统中是不会出现的。
（2）极限环的稳定性
正如相平面法中所讨论的，极限环本身存在一 个稳定性问题，极限环的稳定性也可以用描述函数 来分析。参见附图11
附图11
极限环的稳定性
图中 A 、 B 两点都出现极限环，先看 A 点：如果 因某种干扰使振荡幅值略有减小，比如工作点移到
D，D点不被G(jω)曲线包围，这时闭环系统应趋向稳
r(t ) 0
x(t )
N( A)
y(t )
自动控制原理第8章
点6的另一个跳跃，也伴有振幅和相位的改变。在
这个跳跃之后，振幅A随着频率 的减小 一起减
小，并且沿着曲线从点6趋向点1。
自动控制原理
16
因此，响应曲线实际上是不连续的，并且对于频率增
加和减小的两种情况,响应曲线上的点沿着不同的路线移 动。点2与点5之间曲线对应的振荡是不稳定的振荡，在实 验中是观测不到的。
x 2
6
x 5 3
1
5
2
3
1
4
6
4
0
0
(a)具有硬弹簧的机械系统 (b)具有软弹簧的机械系统
图8.8 机械系统的频率响应
自动控制原理
17
8.3相平面分析法
相平面法是庞卡莱(H.Poincare)提出来的一 种用图解法求解一阶、二阶微分方程的方法，它 实质上属于状态空间分析法在二维空间中的应用， 该方法适合于研究给定初始状态的二阶自由运动 系统和给定初始状态及非周期输入信号(如阶跃、 斜坡或脉冲信号等)的二阶系统
假定，并且从图8.8(a)曲线上外作用频率 低的点
1开始。当 增加，A也增加，直到点2为止。若
频率继续增加，将引起从点2到点3的跳跃，并伴
有振幅和相位的改变，此现象称为跳跃谐振。当 频率 继续增加时，振幅A沿着曲线从点3到点4。
若换一个方向来进行实验，即从高频开始，这时
可观察到，当 减小时，振幅通过点3 逐渐增加， 直到点5为止。当 继续减小时，将引起从点5到
线性定常系统：例如典型二阶线性系统，如
果阻尼比=0，在初始状态的激励下，系统的零输
入响应为等幅周期振荡,其角频率 取决于系统的
参数，其振幅A与初始状态有关。但是，实际的线
性系统要维持振幅A和角频率 不变的等幅周期振 荡是不可能的。一是系统的参数会发生变化，即
这个跳跃之后，振幅A随着频率 的减小 一起减
小，并且沿着曲线从点6趋向点1。
自动控制原理
16
因此，响应曲线实际上是不连续的，并且对于频率增
加和减小的两种情况,响应曲线上的点沿着不同的路线移 动。点2与点5之间曲线对应的振荡是不稳定的振荡，在实 验中是观测不到的。
x 2
6
x 5 3
1
5
2
3
1
4
6
4
0
0
(a)具有硬弹簧的机械系统 (b)具有软弹簧的机械系统
图8.8 机械系统的频率响应
自动控制原理
17
8.3相平面分析法
相平面法是庞卡莱(H.Poincare)提出来的一 种用图解法求解一阶、二阶微分方程的方法，它 实质上属于状态空间分析法在二维空间中的应用， 该方法适合于研究给定初始状态的二阶自由运动 系统和给定初始状态及非周期输入信号(如阶跃、 斜坡或脉冲信号等)的二阶系统
假定，并且从图8.8(a)曲线上外作用频率 低的点
1开始。当 增加，A也增加，直到点2为止。若
频率继续增加，将引起从点2到点3的跳跃，并伴
有振幅和相位的改变，此现象称为跳跃谐振。当 频率 继续增加时，振幅A沿着曲线从点3到点4。
若换一个方向来进行实验，即从高频开始，这时
可观察到，当 减小时，振幅通过点3 逐渐增加， 直到点5为止。当 继续减小时，将引起从点5到
线性定常系统：例如典型二阶线性系统，如
果阻尼比=0，在初始状态的激励下，系统的零输
入响应为等幅周期振荡,其角频率 取决于系统的
参数，其振幅A与初始状态有关。但是，实际的线
性系统要维持振幅A和角频率 不变的等幅周期振 荡是不可能的。一是系统的参数会发生变化，即
自控第8章 非线性系统
6. 非线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分 量包含大量的谐波成分，频率响应复杂，输出波形会 很容易畸变。
11
三、非线性系统的分析方法
1、相平面法
时域分析法中的一种图解分析法。不适用于高阶系统。 2、描述函数法 结合频域分析法和非线性的谐波线性化的一综合图解分
析法。分析非线性系统稳定性和自激振荡比较有效。
二、继电特性
1、特性曲线
M y
来源：继电器是继电
特性的典型元件。
0
-M
x
继电特性 具有图示性质的继电特性称理想继电器。
15
2、数学表达式
y
M y M
x0
M
x 0
0
-M
x
造成的影响:
继电特性
（1）改善系统性能，简化系统结构。
（2）可能会产生自激振荡，使系统不稳定。
16
旋线，这种奇点称为稳定
焦点。 系统欠阻尼运动时的相轨迹
51
4、稳定节点
1
x(t ) A1e
q1t
这时方程的解为
A2e
q2t
其中
A1
x0 x0 2
1 2
A2
x0 x0 1
1 2
(t ) A1q1e q1t A2q2e q2t x
相轨迹: 描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫相轨迹。
相轨迹方程：x2和 x1的关系方程。
35
例1 弹簧—质量块运动系统如图。
m 是物体质量；
k 是弹性系数； x 是偏离平衡点的位移。
为方便计算令 m=k=1 ；
已知初始条件
x(0) x0 x(0) x0
自动控制原理第8章
第八章 非线性控制系统分析 y0=［0.5 1］′ c=v＼y0
y1=zeros(1, length(t))
y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)
end
plot(x1+y1′, x2+y2′, ′∶′)
end
plot(x1+y1′, x2+y2′, ′∶′)
第八章 非线性控制系统分析 y0=［-0.8 -1］′ c=v＼y0
y1=zeros(1, length(t))
y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)
第八章 非线性控制系统分析 a=［1 1 1］ n=length(a)-1 p=roots(a) v=rot90(vander(p)) y0=［0 0］′ c=v＼y0 y1=zeros(1, length(t)) y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t) end plot(x1+y1′, x2+y2) hnd=plot(x1+y1′, x2+y2′) set(hnd, ′linewidth′, 1.3) hold on
第八章 非线性控制系统分析 8.1.3 非线性系统的分析与设计方法 系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式, 以解
决稳定性问题为中心, 对系统实施有效的控制。由于非线性系
8. 《自动控制原理》胡寿松主编 第五版 电子课件——第八章
第八章 非线性控制系统分析§8－1 非线性控制系统的基本概念§ §8 8－－2 典型非线性环节及其对系统的影响 §8－4 用描述函数法分析非线性系统§8－3 描述函数法主要内容1． 非线性系统的基本概念2． 典型非线性环节及其对系统的影响 3． 描述函数的基本概念及应用前提 4． 典型非线性特性的描述函数5. 用描述函数分析非线性系统的稳定性和自激振荡6、 非线性系统的简化重 点 与 难 点1．非线性系统的性质特点2．用描述函数分析非线性系统的稳定性3. 基于描述函数法计算系统自振参数4. 非线性系统的简化系统自振参数的计算与非线性与非线性系统的简化 重 点难 点点本章引言前述均为线性系统。
严格说来，任何一 个实际 控制系统，其元部件都或多或少的带有非线性，理想 的线性系统实际上不存在。
当能够采用小偏差法将非 线性系统线性化时，称为非本质性非线性，可以应用 线性理论；但还有一些元部件的特性不能采用小偏差 法进行线性化，则称为本质性非线性，如饱和特性、 继电特性等等。
这时不能采用线性理论进行研究，所 以只运用线性理论在工程上是不够的，还需研究分析 非线性理论。
本章引言（续）饱和特性 继电特性§ §8 8－－1 非线性控制系统的基本概念 若系统含有一个或一个以上的非线性部件或 环节，则此系统为非线性系统。
线性系统用传递函 数、频率特性、根轨迹等概念，线性系统的运动特 性与输入幅值、系统初始状态无关，故常在典型输 入信号下和零初始条件下进行分析研究。
而由于非 线性系统的数学模型是非线性微分方程，故不能采 用线性系统的分析方法。
用线性系统的分析方法。
k例如：对于线性系统， 时， 当 22 1 1 x a x a x + = ； 2 2 1 1 y a y a y + = 但对于非线性系统，例如饱和 特性： 单独作用时， ， 1 1 kx y = ； 2 2 kx y = ， 若 cx x x > + = 2 1 ， 则 B y = 而不等于 21 kx kx + cx c x < < 2 1 ， 设 ； ) ( kc B y = = ∴非线性系统不能用迭加原理，而且在稳定性、运动形式等方面具有独特的特点。
西工大、西交大自动控制原理 第八章 非线性系统_03_描述函数法_1描述函数
B 若某非线性为 y(t ) y1(t ) y2 (t )
y1(t) f1[ x(t)]
N1( A)
y2(t) f2[ x(t)]
N2 ( A)
则有 N ( A) N1( A) N2( A)
五、典型非线性特性的描述函数
非线性环节特性描述函数的特点
例 如图的非线性特性是理想继电特性和线性特性K 之和。
A3
[例1] 故：该非线性元件的描述函数为
N ( A) B1 jA1 1 3 A2 A 2 16
y
6
3
123 x
N ( A)
4 2
12345 A
二、应用描述函数法的基本假设条件
基本条件： 非线性环节正弦输入的响应输出高次谐波可忽略
基本条件成立的条件：
A 经结构图等效变换，非线性系统可简化成如下典型结构
在线性环节和非线性环节两种情况下的输出。
1、描述函数定义
设其输入为正弦函数，即：x(t) Asint
则其输出 y(t) 为非正弦周期函数，
对非正弦周期函数 y(t) ，可以展开成傅立叶级数：
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) A0 Yn sin(nt n )
0
1
2
2 0
1 2
Asint
1 4
(
Asint
)3
costdt
0
1
B1
2
y(t ) s intdt
0
1
2 0
1 2
Asint
1 4
(
Asint
)3
sintdt
4
2 0
1 2
Asin2 tdt
2 0
精品文档-自动控制原理(李素玲)-第8章
x c xc
x c
(8-5)
28
在输入信号|x|＜c时，该环节是放大倍数为k的比例环 节，当|x|＞c时出现了饱和，随着|x|的不断增大，其等效 放大倍数逐步降低，如图8-6所示。
因此，饱和的存在使系统在大信号作用下的等效增益 下降，深度饱和情况下甚至使系统丧失闭环控制作用。另外， 饱和会使系统产生自振荡。但在控制系统中也可以人为地利 用饱和特性作限幅，限制某些物理量，保证系统安全合理的 工作，如调速系统中利用转速调节器的输出限幅值限制电机 的最大电枢电流，以保护电动机不致因电枢电流过大而烧坏。
16
非线性系统还具有很多与线性系统不同的特异现象，这 些现象无法用线性系统理论来解释，因而有必要研究它们， 以便抑制或消除非线性因素的不利影响。在某些情况下，还 可以人为地加入某些非线性环节，使系统获得较线性系统更 为优异的性能。
17
8.1.2 非线性系统的分析与设计方法 系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式，以
26 图8-4 包含多个死区的非线性系统
27
8.2.2 饱和特性 饱和特性也是控制系统中常见的一种非线性，几乎所有
的放大器都存在饱和现象。由于采用了铁磁材料，在电机、 变压器中存在磁饱和。系统中加入的各种限幅装置也属饱和 非线性。
典型的饱和特性如图8-5所示，其数学表达式为
kx, y kc,
kc,
29 图8-5 饱和非线性特性
30 图8-6 饱和非线性特性的等效增益
31
8.2.3 间隙(回环)特性 在各种传动机构中，由于加工精度及运动部件的动作需
要，总会存在一些间隙。如图87所示的齿轮传动系统，为了 保证转动灵活，不至于卡死，必须留有少量的间隙。
由于间隙的存在，当主动轮的转向改变时，从动轮开始 保持原有的位置，直到主动轮转过了2c的间隙，在相反方向 与从动轮啮合后，从动轮才开始转动。典型的间隙非线性特 性如图8-8所示。
自动控制_08b系统分析的描述函数法
线性系统的Nyquist判据：闭环系统是否稳定取决于
在复平面上G(jω)曲线是否包围实轴上的－1／k点。
现在将上述结论推广到N(A)为非线性函数的情 况。因为A连续变化时N(A)是复平面上的一根曲线， 所以闭环系统是否稳定取决于曲线G(jω)是否包围－ 1／N(A)曲线。具体讲就是：在复平面上，如果曲线 G(jω)不包围－1／N(A)曲线，那么闭环系统稳定； 如果G(jω)曲线包围－1／N(A)曲线，那么闭环系统 不稳定；如果曲线G(jω)与曲线－1／N(A)相交，那 么闭环系统出现自持振荡（极限环）。为了方便， 我们将曲线－1／N(A)称为‘负倒描述函数曲线’。
考虑图8－37所示死区特性，当输入为正弦函
数 x(t) Asin t ( A ) 时，输出 y(t)如图8－
37 所 示 ， 因 为 图 中 的 y(t) 是 单 值 奇 对 称 的 ， 所
以 A1 0,1 0 ，
图8－37 死区特性的描述函数
所以
B1
1
2 y(t) sin tdt 4
益与输入正弦函数的幅值有关。如果非线性特性是单值奇
对称的，那么：A1 0,1 0, N B1 / A
只有当非线性元件具有储能特性时，描述函数才既是输 入振幅又是角频率的函数。
(2)描述函数分析的应用条件
1）非线性系统应能够简化成一个非线性环节和一个 线性部分闭环连接的典型结构；
2）非线性环节的输入输出特性y(x)应是x的奇函数， 或正弦输入下的输出为t的奇对称函数；
1
2
，A
2
A A A
（2）继电特性 图8－38 继电特性的描述函数
在复平面上G(jω)曲线是否包围实轴上的－1／k点。
现在将上述结论推广到N(A)为非线性函数的情 况。因为A连续变化时N(A)是复平面上的一根曲线， 所以闭环系统是否稳定取决于曲线G(jω)是否包围－ 1／N(A)曲线。具体讲就是：在复平面上，如果曲线 G(jω)不包围－1／N(A)曲线，那么闭环系统稳定； 如果G(jω)曲线包围－1／N(A)曲线，那么闭环系统 不稳定；如果曲线G(jω)与曲线－1／N(A)相交，那 么闭环系统出现自持振荡（极限环）。为了方便， 我们将曲线－1／N(A)称为‘负倒描述函数曲线’。
考虑图8－37所示死区特性，当输入为正弦函
数 x(t) Asin t ( A ) 时，输出 y(t)如图8－
37 所 示 ， 因 为 图 中 的 y(t) 是 单 值 奇 对 称 的 ， 所
以 A1 0,1 0 ，
图8－37 死区特性的描述函数
所以
B1
1
2 y(t) sin tdt 4
益与输入正弦函数的幅值有关。如果非线性特性是单值奇
对称的，那么：A1 0,1 0, N B1 / A
只有当非线性元件具有储能特性时，描述函数才既是输 入振幅又是角频率的函数。
(2)描述函数分析的应用条件
1）非线性系统应能够简化成一个非线性环节和一个 线性部分闭环连接的典型结构；
2）非线性环节的输入输出特性y(x)应是x的奇函数， 或正弦输入下的输出为t的奇对称函数；
1
2
，A
2
A A A
（2）继电特性 图8－38 继电特性的描述函数
自控理论 8-3描述函数法
1
2kX
y(t ) B1 sinwt
饱和非线性的描述函数
B1 2k 1 a a a 2 N(X ) 1 ( ) sin X X X X
y
X a
(8 11)
a a
x
上式只有X ≥ a才有意义，因为若X＜a，尚 未进入饱和，该环节是线性的，求其描述函数 是无意义的。
(1) 首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输入下 的输出波形,并写出输出y(t)的数学表达式。
(2) 利用傅氏级数求出y(t)的基波分量。 (3) 将求得的基波分量代入定义式(8-8), 即得N(X)。 描述函数一般为输入信号振幅的函数，故记 作N ( X ) ,当非线性元件中包含储能元件时，N同 时为输入信号振幅及频率的函数，记作 N ( X , w ) 。
2M ma 2 a 2 ) 1 ( ) 1 ( X X B1 jA1 N(X ) X 2M ma 2 a 2 2 Ma ) 1 ( ) j ( m 1) 1 ( 2 X X X X
当m或a取不同数值，可得三种继电器的描述函数
. -M
M
2
X a
y
M
.
-a a
.
x
-M
x
A1 1
2
0
y( t )coswtd (wt )
wt 2
t1
M
2
w
2 Ma Mcoswtd (wt ) ( m 1) X
wt 1 w t 2
B1
1
2
0
y( t ) sinwtd (wt )
w
2
wt 2
2kX
y(t ) B1 sinwt
饱和非线性的描述函数
B1 2k 1 a a a 2 N(X ) 1 ( ) sin X X X X
y
X a
(8 11)
a a
x
上式只有X ≥ a才有意义，因为若X＜a，尚 未进入饱和，该环节是线性的，求其描述函数 是无意义的。
(1) 首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输入下 的输出波形,并写出输出y(t)的数学表达式。
(2) 利用傅氏级数求出y(t)的基波分量。 (3) 将求得的基波分量代入定义式(8-8), 即得N(X)。 描述函数一般为输入信号振幅的函数，故记 作N ( X ) ,当非线性元件中包含储能元件时，N同 时为输入信号振幅及频率的函数，记作 N ( X , w ) 。
2M ma 2 a 2 ) 1 ( ) 1 ( X X B1 jA1 N(X ) X 2M ma 2 a 2 2 Ma ) 1 ( ) j ( m 1) 1 ( 2 X X X X
当m或a取不同数值，可得三种继电器的描述函数
. -M
M
2
X a
y
M
.
-a a
.
x
-M
x
A1 1
2
0
y( t )coswtd (wt )
wt 2
t1
M
2
w
2 Ma Mcoswtd (wt ) ( m 1) X
wt 1 w t 2
B1
1
2
0
y( t ) sinwtd (wt )
w
2
wt 2
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N2
N10
N1
图C
所以N10对应的周期运动是不稳定的
27
图D：两个交点
对于N10点，若 A A1 A10 系统不稳定 A A10
若 A A2 A10 系统稳定 A A10
G( j) j
1 N ( A)
N10N1 0
N2
N20
N3 图D
所以N10对应的周期运动是稳定的
同理分析可知，A20对应的周期运动是不稳定的
8.3 描述函数法 8.3.1 描述函数的基本概念 8.3.2典型非线性特性的描述函数 8.3.3 非线性系统稳定性分析的描述函数法
1
8.3 描述函数法
达尼尔(P.J. Daniel)1940年提出描述函数法
描述函数法基本思想： 当系统满足一定条件时，系统中的非线性环
节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来 近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性， 即描述函数。
解：继电特性的特性方程为
M , x 0
y f (x) 0,
x0
M , x 0
y
M
0x
M
继电特性函数为奇函数，因为
f (x) f (x) 所以 A0 0
10
当 x Asin t 时
M ,
y(t) f (Asin t) 0,
M ,
0t t t 2
M , 0 t
描述函数法的应用： 1）分析无外作用时，非线性系统的稳定性和自振 问题 2）不受系统阶次限制 3）只能给出频率响应特性
2
8.3.1 描述函数的基本概念 1. 描述函数的定义 设非线性环节输入输出模型描述为
y f (x)
设非线性环节输入为正弦信号
x(t) Asin t
对稳态输出进行谐波分析，展开为傅里叶级 数，可得
G( j) 1 j0
N ( A)
G( j)
1
N ( A)
G( j) N ( A)
22
由此可解得两曲线相交处的频率ω和幅值A。 系统处于周期运动时，非线性环节的输入近似为 等幅振荡
x(t) Asin t
稳定的周期运动：外界小扰动作用使系统偏离周 期运动，当扰动消失后，系统的运动仍能恢复原 周期运动
3
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1
A0 (Yn sin( nt n ) n1
其中，
A0
1
2
2
y(t)d (t)
0
为直流分量
Yn sin( nt n ) 为n次谐波
转换关系 Yn
An2 Bn2 ,
n
arctg
An Bn
An , Bn 为傅里叶系数
G( j) j
1 N ( A) G( j) 0
无实数ω解
1 0
N ( A)
G(
j)曲线包围
1 N ( A)
曲线
图A
所以，闭环系统不稳定，振幅A会增大
18
G(
j)
曲线不包围
1 N ( A)
曲线
G( j) j
所以，闭环系统稳定，振 幅A会减小
1 N ( A)
非线性系统稳定判据：
0
图B
若 G( j) 曲线不包围 N (1A)曲线,则系统稳定
0
N ( A) B1 4M 继电非线性的描述函数
A A
12
8.3.3 非线性系统稳定性分析的描述函数法
非线性系统整理为如下的典型结构，用描述 函数N(A)近似表示非线性环节
r(t) 0 x(t) N ( A)
y (t )
G(s)
c(t )
若非线性环节和线性部分满足描述函数应用的 条件，则描述函数可以作为一个具有可变增益的比 例环节，于是系统近似为一个等效的线性系统
31
【例8.3.3】具有饱和特性的非线性系统如图，分析
y k2
r(t) x(t)
x y(t)
K
c(t )
a 1
s）欲使系统不出现自振荡，确定K的临界值
解：1)饱和环节的描述函数为
N ( A) 2k
(arcsin
a)
a
1
a
2
,
AA
两曲线相交于 (1, j0)
1 N ( A)
曲线为从不稳定区域进
入稳定区域，所以交点存在稳
j
1 N ( A)
1 0.5 0
定的周期运动
G( j)
根据 1 1
N ( A)
A 2.5
同时 x 7.07
所以，系统处于自振时，非线性环节的输入为
e(t) 2.5sin 7.07t
34
2)为使系统不出现自振，只需两条曲线不相交
N ( A) N ( A) e jN ( A) Y1 e j1 B1 jA1
A
A
2. 一些性质
1）一般情况下，N(A)是A和ω的函数 若非线性环节无储能元件，则N(A)只是A的函数
2）非线性环节为输入x的奇函数，即 y f (x)
满足 f (x) f (x)
6
则非线性环节的正弦响应是关于t的奇对称函数，即
稳定区域
G( j)
j
图A:稳定自振
0
不稳定区域
j
1 N ( A)
0 N1 N0 N2
G( j)
图B:不稳定自振
30
G( j) j
1 N ( A)
N3 N20
0
N2
图C N20为稳定自振 N10为不稳定自振
N10
N1
G( j) j
1 N ( A)
N10N1 0
N2
N20 N3
图D N10为稳定自振 N20为不稳定自振
4
傅里叶系数计算
An
1
2
y(t) cos ntd(t)
0
Bn
1
2
y(t) sin ntd(t)
0
(n 1,2, )
若 A0 0 ， 且 n 1 时，Yn 均很小
则可以用一次谐波近似表示非线性环节的正弦响应
y(t) A1 cost B1 sin t Y1 sin( t 1)
5
非线性环节稳态输出中一次谐波分量和输入信 号的复数比定义为非线性环节的描述函数
r(t) 0 x(t) N ( A)
y (t )
G(s)
c(t )
系统特征方程为 1 N ( A) G( j) 0 即 G( j) 1 j0
N ( A) 1 称为非线性环节的负倒描述函数
N ( A)
17
在复平面上分别绘制
1 N ( A)
曲线和
G 曲线
(1)两条曲线不相交
两条曲线不相交，表明特 征方程
y(t) f (Asin( t)) y(t )
那么，直流分量 A0 0
A1
2
y(t) costd(t)
0
B1
2
y(t) sin td(t)
0
若y(t)为奇函数，即 y(t) y(t)
那么 A1 0
B1
4
2 y(t) sin td(t)
0
7
3. 非线性系统描述函数法分析的应用条件
调整K值，使 G曲线右移 由 0.02K 0.5
0.3
K 7.5
j
1 N ( A)
1 0.5 0
所以，K的临界值为
Kc 7.5
G( j)
35
作业： 教材 8-17
36
Z P 2N 0
则系统稳定，即 G 曲线不包围(-1,j0)点
15
G( j) 1 j0
K
若K是变化的，如
K1 K K2
11
j
K1 K2
0
G
则 ( 1 , j0) 为实轴上的一段直线
K
若 G不包围这段曲线，则系统稳定，否则系 统不稳定
16
2.应用描述函数分析非线性系统的稳定性 用描述函数N(A)近似表示非线性环节的系统如图
y(t) f (Asin t) 0,
t
M , t 2
y(t) y(t) 所以，y(t)为奇函数
A1 0
11
y
M
0x
M
y(t)
x(t)
0 2 t
1
B1
2 y(t) sin td(t) 2
0
M sin td(t)
0
2M cos(t) 2M (cos cos 0) 4M
28
综合以上分析，可认为复平面上 G 包围的区域 为不稳定区域，G 不包围的区域为稳定区域
周期运动稳定性判据：
在
G
曲线和
1 N ( A)
曲线的交点处，若
1曲
N ( A)
线沿A增加的方向由不稳定区域进入稳定区域，
该交点对应的周期运动是稳定的，反之，则是不
稳定的
29
1 N ( A)
N2 N0 N1
若 A A3 A20 系统稳定 A A20
G( j) j
1 N ( A)
N3 N20
0
N2
N10
N1
图C
所以N20对应的周期运动是稳定的
26
对于N10点，若 A A1 A10 系统稳定 A 0
若 A A2 A10 系统不稳定 A A20
G( j) j
1 N ( A)
N3 N20
0
若
G(
j) 曲线包围
N
1 ( A)
曲线,则系统不稳定
19
【例8.3.2】非线性系统如图，分析系统的稳定性
r (t )
x(t )
y k 0.5
1
y (t )
10